क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरण को कैसे हल करें। रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रणालियाँ। क्रैमर विधि. हम साथ मिलकर क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

इस पैराग्राफ में महारत हासिल करने के लिए, आपको "दो बटा दो" और "तीन बटा तीन" निर्धारकों को प्रकट करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आप क्वालिफायर में खराब हैं, तो कृपया पाठ का अध्ययन करें निर्धारक की गणना कैसे करें?

सबसे पहले, हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर करीब से नज़र डालेंगे। किस लिए? – आख़िरकार, सबसे सरल प्रणाली को स्कूल पद्धति, शब्द-दर-चरण जोड़ की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि, यद्यपि कभी-कभी, ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर नियम का उपयोग करके हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि.

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त क्वालीफायर को लैटिन अक्षर द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

हम सूत्रों का उपयोग करके समीकरण की जड़ें पाते हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं; दाहिनी ओर अल्पविराम के साथ दशमलव भिन्न हैं। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

ऐसी व्यवस्था का समाधान कैसे करें? आप एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आप संभवतः भयानक फैंसी अंशों के साथ समाप्त हो जाएंगे जिनके साथ काम करना बेहद असुविधाजनक है, और समाधान का डिज़ाइन बहुत ही भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद दर पद घटा सकते हैं, लेकिन यहां भी वही भिन्न उत्पन्न होंगी।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूँछें हैं और लगभग पाई जाती हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और यहां तक ​​कि सामान्य) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार फ़ार्मुलों का उपयोग करके हल किया गया है, हालांकि, एक चेतावनी है। इस विधि का उपयोग करते समय, अनिवार्यकार्य डिज़ाइन का एक अंश निम्नलिखित अंश है: "इसका मतलब है कि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी, जिसे कैलकुलेटर पर आसानी से किया जा सकता है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, आपको वे संख्याएँ मिलनी चाहिए जो दाईं ओर हैं।

उदाहरण 8

उत्तर को सामान्य अनुचित भिन्नों में प्रस्तुत करें। जांच करो.

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिज़ाइन का एक उदाहरण और पाठ के अंत में उत्तर)।

आइए तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करें:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा; आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है और जड़ों को खोजने के लिए हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है, मुक्त शब्दों का स्तंभ मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ क्रमिक रूप से बाएं से दाएं "चलता" है;

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, जिसका अर्थ है कि सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य के कारण कि समाधान तैयार फ़ार्मुलों का पालन करता है। लेकिन कुछ टिप्पणियाँ हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए:।
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि आपके पास कंप्यूटर नहीं है, तो यह करें:

1) गणना में त्रुटि हो सकती है. जैसे ही आपको "खराब" अंश का सामना करना पड़ता है, आपको तुरंत जांच करने की आवश्यकता होती है क्या शर्त सही ढंग से दोबारा लिखी गई है?. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा जाता है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई जाती है, तो सबसे अधिक संभावना है कि कार्य शर्तों में कोई त्रुटि थी। इस मामले में, शांति और सावधानी से कार्य को अंत तक पूरा करें, और फिर जाँच अवश्य करेंऔर निर्णय के बाद हम इसे एक साफ़ शीट पर लिखते हैं। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बकवास के लिए माइनस देना पसंद करता है। भिन्नों को कैसे संभालना है इसका उदाहरण उदाहरण 8 के उत्तर में विस्तार से वर्णन किया गया है।

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे लाभदायक है (समाधान शुरू करने से पहले भी आप तुरंत मध्यवर्ती चरण देखेंगे जहां आपने गलती की है); वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम के समाधान की गणना करता है।

दूसरी टिप्पणी. समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहां पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
– लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगाए जाते हैं।
वैसे, जिस पंक्ति (स्तंभ) में शून्य स्थित है, उसके अनुसार शून्य के साथ निर्धारकों को खोलना तर्कसंगत है, क्योंकि इसमें काफी कम गणनाएँ होती हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिज़ाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में उत्तर)।

4 अज्ञात वाले 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारकों के गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके किसी सिस्टम को हल करना

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि मूलतः एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण क्रमांक 3 देखें)।

इस अनुभाग का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होना चाहिए। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक प्रदान किए जाएंगे।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान: आइए सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें:
, कहाँ

कृपया समीकरणों और आव्यूहों की प्रणाली को देखें। मुझे लगता है कि हर कोई उस सिद्धांत को समझता है जिसके द्वारा हम तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों से कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:
, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक को देखें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति पर किया गया है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात को खत्म करने की विधि (गॉस विधि) द्वारा हल किया जाता है।

अब हमें 9 अवयस्कों की गणना करने और उन्हें अवयस्क मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे उपस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक उस पंक्ति की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, और, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, 2 कॉलम में है

समाधान के दौरान, नाबालिगों की गणना का विस्तार से वर्णन करना बेहतर होता है, हालांकि कुछ अनुभव के साथ आप मौखिक रूप से त्रुटियों के साथ उनकी गणना करने के आदी हो सकते हैं।

समीकरणों की समान संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और केवल एक ही है)।

क्रैमर का प्रमेय.

जब किसी वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है और इसे इसके द्वारा पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

कहा पे Δ - सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक,

Δ मैंसिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसमें इसके बजाय मैंवें कॉलम में दाहिनी ओर का कॉलम है।

जब किसी प्रणाली का निर्धारक शून्य होता है, तो इसका मतलब है कि प्रणाली सहयोगी या असंगत हो सकती है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर व्यापक गणना वाली छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और यदि अज्ञात में से किसी एक को निर्धारित करना आवश्यक हो। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करने की आवश्यकता है।

क्रैमर विधि का विवरण.

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर विधि का उपयोग करके 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांकों से एक निर्धारक बनाते हैं:

यह सिस्टम निर्धारक. कब डी≠0, जिसका अर्थ है कि सिस्टम सुसंगत है। आइए अब 3 अतिरिक्त निर्धारक बनाएं:

,,

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि का उपयोग करके हल करें।

सबसे पहले आपको सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

क्योंकि Δ≠0, जिसका अर्थ है कि क्रैमर प्रमेय से प्रणाली सुसंगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक Δ 1 को निर्धारक Δ से उसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

उसी तरह, हम दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक से Δ 2 का निर्धारक प्राप्त करते हैं:

मान लीजिए कि तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, सिस्टम का मुख्य निर्धारक  अज्ञात के गुणांकों से संकलित किया जाता है। सिस्टम (1) के लिए, मुख्य निर्धारक का रूप है
.

इसके बाद, चरों के लिए निर्धारक संकलित किए जाते हैं
,,. ऐसा करने के लिए, मुख्य निर्धारक में, संबंधित चर के लिए गुणांक के एक कॉलम के बजाय, मुक्त पदों का एक कॉलम लिखा जाता है, अर्थात

,
,
.

फिर सिस्टम का समाधान क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है

,
,

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है
, यदि मुख्य निर्धारक
. अगर
और
= 0,= 0,= 0, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, जिन्हें क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके नहीं पाया जा सकता है। अगर
और
0, या 0,या 0, तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण

समाधान:

1) आइए सिस्टम के मुख्य निर्धारक की रचना और गणना करें, जिसमें अज्ञात के लिए गुणांक शामिल हैं।

.

इसलिए, सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

2) आइए सहायक निर्धारकों की रचना और गणना करें,  में संबंधित कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलें।

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम अज्ञात पाते हैं:

,
,
.

हम यह सुनिश्चित करने के लिए जाँच करेंगे कि निर्णय सही है।

वे।
.

, यानी

, यानी

उत्तर: .

उदाहरण

क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:

1) आइए अज्ञात के गुणांकों से सिस्टम के मुख्य निर्धारक की रचना और गणना करें:

.

इसलिए, सिस्टम के पास एक भी समाधान नहीं है.

2) आइए सहायक निर्धारकों की रचना और गणना करें,  में संबंधित कॉलम को मुक्त शब्दों के कॉलम से बदलें:

,
इसलिए, सिस्टम असंगत है.

उत्तर: प्रणाली असंगत है.

गॉस विधि

गॉस विधि में दो चरण होते हैं। पहले चरण में उन क्रियाओं का उपयोग करके सिस्टम के समीकरणों से चरों को क्रमिक रूप से हटाना शामिल है जो सिस्टम की समतुल्यता का उल्लंघन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, सिस्टम (1) के पहले दो समीकरणों पर विचार करें।

(1)

इन दोनों समीकरणों को जोड़कर एक ऐसा समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है जिसमें कोई चर न हो . पहले समीकरण को इससे गुणा करें , और दूसरा (
) और परिणामी समीकरण जोड़ें

आइए पहले गुणांक को बदलें य, जेडऔर मुफ़्त सदस्य चालू ,और तदनुसार, हमें समीकरणों की एक नई जोड़ी प्राप्त होती है

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में कोई चर नहीं है एक्स.

सिस्टम (1) के पहले और तीसरे समीकरणों पर और फिर जोड़ के परिणामस्वरूप प्राप्त दूसरे और तीसरे समीकरणों पर समान क्रियाएं करने के बाद, हम सिस्टम (1) को फॉर्म में बदलते हैं

(2)

यह परिणाम तभी संभव है जब सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान हो। इस मामले में, समाधान गॉसियन विधि (दूसरे चरण) के व्युत्क्रम का उपयोग करके पाया जाता है। सिस्टम के अंतिम समीकरण (2) से हमें अज्ञात चर मिलता है जेड, फिर दूसरे समीकरण से हम पाते हैं य, ए एक्सक्रमशः पहले से, उनमें पहले से पाए गए अज्ञात को प्रतिस्थापित करना।

कभी-कभी, दो समीकरणों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, परिणामी समीकरण निम्नलिखित में से एक रूप ले सकता है:

ए)
, कहाँ
. इसका मतलब यह है कि जिस प्रणाली का समाधान किया जा रहा है वह असंगत है।

बी), अर्थात्
. ऐसे समीकरण को सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है, परिणामस्वरूप, सिस्टम में समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम हो जाती है, और सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, जिनका निर्धारण उदाहरण द्वारा दिखाया जाएगा।

उदाहरण

समाधान:

आइए गॉसियन विधि द्वारा समाधान के पहले चरण को लागू करने के निम्नलिखित तरीके पर विचार करें। आइए हम सिस्टम के तीन समीकरणों के अनुरूप अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांक की तीन पंक्तियाँ लिखें। हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा से गुणांकों से मुक्त पदों को अलग करते हैं, और तीसरी रेखा के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं।

हम पहली पंक्ति पर गोला लगाएंगे, जो सिस्टम के पहले समीकरण से मेल खाती है - इस समीकरण में गुणांक अपरिवर्तित रहेंगे। दूसरी पंक्ति (समीकरण) के बजाय, आपको एक पंक्ति (समीकरण) प्राप्त करने की आवश्यकता है, जहां के लिए गुणांक है शून्य के बराबर. ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति की सभी संख्याओं को (-2) से गुणा करें और उन्हें दूसरी पंक्ति की संबंधित संख्याओं के साथ जोड़ें। हम परिणामी मात्राएँ क्षैतिज रेखा (चौथी पंक्ति) के नीचे लिखते हैं। तीसरी पंक्ति (समीकरण) के स्थान पर एक रेखा (समीकरण) भी प्राप्त करें जिसमें गुणांक पर शून्य के बराबर है, पहली पंक्ति की सभी संख्याओं को (-5) से गुणा करें और उन्हें तीसरी पंक्ति की संगत संख्याओं के साथ जोड़ें। हम परिणामी राशियों को पाँचवीं पंक्ति में लिखेंगे और उसके नीचे एक नई क्षैतिज रेखा खींचेंगे। हम चौथी पंक्ति (या यदि आप चाहें तो पांचवीं) पर गोला लगाएंगे। कम गुणांक वाली पंक्ति का चयन किया जाता है। इस पंक्ति में गुणांक अपरिवर्तित रहेंगे. पांचवीं पंक्ति के बजाय, आपको एक ऐसी रेखा प्राप्त करने की आवश्यकता है जहां दो गुणांक पहले से ही शून्य के बराबर हों। चौथी पंक्ति को 3 से गुणा करें और पाँचवीं में जोड़ें। हम क्षैतिज रेखा (छठी रेखा) के नीचे राशि लिखते हैं और उस पर गोला बनाते हैं।

सभी वर्णित क्रियाएं अंकगणितीय चिह्नों और तीरों का उपयोग करके तालिका 1 में दर्शाई गई हैं। हम तालिका में अंकित रेखाओं को फिर से समीकरण (3) के रूप में लिखेंगे और गॉस विधि के विपरीत का उपयोग करके, हम चर के मान ज्ञात करेंगे एक्स, यऔर जेड.

तालिका नंबर एक

हम अपने परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरणों की प्रणाली को पुनर्स्थापित करते हैं:

(3)

रिवर्स गॉसियन विधि

तीसरे समीकरण से
हम देखतें है
.

सिस्टम के दूसरे समीकरण में
पाए गए मान को प्रतिस्थापित करें
, हम पाते हैं
या
.

पहले समीकरण से
, चरों के पहले से पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
, वह है
.

समाधान की शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए, सिस्टम के तीनों समीकरणों में जाँच की जानी चाहिए।

परीक्षा:

, हम पाते हैं

हम पाते हैं

हम पाते हैं

इसका मतलब है कि सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है।

उत्तर:
,
,
.

उदाहरण

गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान:

इस उदाहरण की प्रक्रिया पिछले उदाहरण के समान है, और विशिष्ट चरण तालिका 2 में सूचीबद्ध हैं।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें प्रपत्र का एक समीकरण प्राप्त होता है, इसलिए, दी गई प्रणाली असंगत है।

उत्तर: प्रणाली असंगत है.

उदाहरण

गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

समाधान:

टेबल तीन

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है, जिसे विचार से बाहर रखा गया है। इस प्रकार, हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें अज्ञात की संख्या 3 है, और समीकरणों की संख्या 2 है।

सिस्टम में अनगिनत समाधान हैं. इन समाधानों को खोजने के लिए, हम एक निःशुल्क चर प्रस्तुत करते हैं। (मुक्त चर की संख्या हमेशा अज्ञात की संख्या और सिस्टम को बदलने के बाद शेष समीकरणों की संख्या के बीच अंतर के बराबर होती है। हमारे मामले में, 3 - 2 = 1)।

होने देना
- मुक्त चर.

फिर दूसरे समीकरण से हम पाते हैं
, कहाँ
, और फिर हम पाते हैं एक्सपहले समीकरण से
या
.

इस प्रकार,
;
;
.

आइए उन समीकरणों की जाँच करें जिन्हें खोजने में शामिल नहीं किया गया था और , अर्थात्, मूल प्रणाली के दूसरे और तीसरे समीकरण में।

परीक्षा:

या, हम पाते हैं
.

या, हम पाते हैं
.

सिस्टम सही ढंग से हल हो गया है. एक मनमाना स्थिरांक देना अलग-अलग मूल्य, हमें अलग-अलग मूल्य मिलेंगे एक्स, य और जेड.

उत्तर:
;
;
.

हमारे कैलकुलेटर में आपको निःशुल्क मिलेगा क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ऑनलाइन हल करनाविस्तृत समाधानों और यहां तक ​​कि जटिल संख्याओं के साथ। गणना में उपयोग किए गए प्रत्येक निर्धारक को अलग से देखा जा सकता है, और यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक अचानक शून्य हो जाता है तो आप समीकरणों की प्रणाली के सटीक रूप की भी जांच कर सकते हैं।

आप निर्देशों में हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करने के तरीके के बारे में अधिक पढ़ सकते हैं।

विधि के बारे में

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, निम्नलिखित चरण निष्पादित किए जाते हैं।

1. हम विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं.
2. मुख्य (वर्ग) मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें।
3. i-वें मूल को खोजने के लिए, हम मुक्त पदों के स्तंभ को i-वें स्थान पर मुख्य मैट्रिक्स में प्रतिस्थापित करते हैं और इसका निर्धारक ढूंढते हैं। इसके बाद, हम परिणामी निर्धारक और मुख्य निर्धारक का अनुपात ज्ञात करते हैं, यह अगला समाधान है। हम प्रत्येक वेरिएबल के लिए यह ऑपरेशन करते हैं।
4. यदि मैट्रिक्स का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर है, तो समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत है या इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं। दुर्भाग्य से, क्रैमर की विधि इस प्रश्न का अधिक सटीक उत्तर देने की अनुमति नहीं देती है। इससे आपको मदद मिलेगी

2. मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रैमर विधि.

क्रैमर विधि का उपयोग रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जाता है ( टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए सूत्र।
दिया गया:क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए निर्धारकों की प्रणाली की गणना के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को ढूंढें। :

आइए क्रैमर के सूत्र लागू करें और चरों के मान ज्ञात करें:
और .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ढूंढें:

आइए एक समान कार्य करें, पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को प्रतिस्थापित करें:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चरों के मान ज्ञात करें:
और ।
उत्तर:
टिप्पणी:यह विधि उच्च आयामों की प्रणालियों को हल कर सकती है।

टिप्पणी:यदि यह पता चलता है कि, लेकिन इसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम में या तो अनंत रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधान की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। इसका मतलब है कि अब केवल एक ही समीकरण बचा है. यह चरों के बीच संबंध के लिए एक समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता द्वारा एक दूसरे से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाएगा:
विशेष समाधान y का एक मनमाना मान चुनकर और इस कनेक्शन समानता से x की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।

वगैरह।
ऐसे अनगिनत समाधान हैं।
उत्तर:सामान्य समाधान
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
आइए सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग नहीं किया जा सकता। आइए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम का कोई एक समीकरण चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं