एक बिंदु से एक रेखा तक की न्यूनतम दूरी निर्धारित करना। अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान। दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

यह लेख इस विषय पर बात करता है « एक बिंदु से एक रेखा की दूरी », समन्वय विधि का उपयोग करके सचित्र उदाहरणों के साथ एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की परिभाषा पर चर्चा करता है। अंत में प्रत्येक सिद्धांत खंड में समान समस्याओं को हल करने के उदाहरण दिखाए गए हैं।

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी एक बिंदु से दूसरे बिंदु की दूरी निर्धारित करके ज्ञात की जाती है। आओ हम इसे नज़दीक से देखें।

मान लीजिए कि एक रेखा a और एक बिंदु M 1 है जो दी गई रेखा से संबंधित नहीं है। इसके माध्यम से हम एक सीधी रेखा बी खींचते हैं, जो सीधी रेखा ए के लंबवत स्थित है। आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में लें। हम पाते हैं कि एम 1 एच 1 एक लंबवत है जिसे बिंदु एम 1 से सीधी रेखा ए पर उतारा गया था।

परिभाषा 1

बिंदु M 1 से सीधी रेखा a तक की दूरीबिंदु M 1 और H 1 के बीच की दूरी कहलाती है।

ऐसी परिभाषाएँ हैं जिनमें लंब की लंबाई शामिल है।

परिभाषा 2

एक बिंदु से एक रेखा की दूरीकिसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।

परिभाषाएँ समतुल्य हैं. नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

यह ज्ञात है कि एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी सभी संभव से सबसे छोटी होती है। आइए इसे एक उदाहरण से देखें.

यदि हम सीधी रेखा a पर स्थित एक बिंदु Q लेते हैं, जो बिंदु M 1 से मेल नहीं खाता है, तो हम पाते हैं कि खंड M 1 Q को एक झुका हुआ खंड कहा जाता है, जो M 1 से सीधी रेखा a पर उतारा जाता है। यह इंगित करना आवश्यक है कि बिंदु एम 1 से लंबवत बिंदु से सीधी रेखा तक खींची गई किसी भी अन्य झुकी हुई रेखा से कम है।

इसे सिद्ध करने के लिए, त्रिभुज M 1 Q 1 H 1 पर विचार करें, जहाँ M 1 Q 1 कर्ण है। यह ज्ञात है कि इसकी लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है। इसका मतलब है कि हमारे पास एम 1 एच 1 है< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

एक बिंदु से एक रेखा तक खोजने के लिए प्रारंभिक डेटा आपको कई समाधान विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है: पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से, साइन, कोसाइन, कोण के स्पर्शरेखा और अन्य का निर्धारण। इस प्रकार के अधिकांश कार्य स्कूल में ज्यामिति पाठों के दौरान हल किए जाते हैं।

जब, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात करते समय, एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश की जा सकती है, तो समन्वय विधि का उपयोग किया जाता है। इस अनुच्छेद में, हम किसी दिए गए बिंदु से आवश्यक दूरी ज्ञात करने की मुख्य दो विधियों पर विचार करेंगे।

पहली विधि में एम 1 से सीधी रेखा ए पर खींचे गए लंबवत के रूप में दूरी की खोज करना शामिल है। दूसरी विधि आवश्यक दूरी ज्ञात करने के लिए सीधी रेखा a के सामान्य समीकरण का उपयोग करती है।

यदि निर्देशांक एम 1 (एक्स 1, वाई 1) के साथ विमान पर एक बिंदु है, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली, सीधी रेखा ए में स्थित है, और आपको दूरी एम 1 एच 1 खोजने की आवश्यकता है, तो आप गणना दो में कर सकते हैं तौर तरीकों। आइए उन पर नजर डालें.

पहला तरीका

यदि बिंदु H 1 के निर्देशांक x 2, y 2 के बराबर हैं, तो बिंदु से रेखा तक की दूरी की गणना सूत्र M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) से निर्देशांक का उपयोग करके की जाती है। - य 1) 2.

आइए अब बिंदु H 1 के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें।

यह ज्ञात है कि O x y में एक सीधी रेखा समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है। आइए एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण या कोणीय गुणांक वाले समीकरण को लिखकर एक सीधी रेखा को परिभाषित करने की विधि लें। हम एक सीधी रेखा का समीकरण बनाते हैं जो दी गई सीधी रेखा a के लंबवत बिंदु M 1 से होकर गुजरती है। आइए सीधी रेखा को अक्षर b से निरूपित करें। एच 1 रेखाओं ए और बी के प्रतिच्छेदन का बिंदु है, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक निर्धारित करने के लिए आपको लेख का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक के बारे में बात करता है।

यह देखा जा सकता है कि किसी दिए गए बिंदु M 1 (x 1, y 1) से सीधी रेखा a तक की दूरी ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथ्म बिंदुओं के अनुसार किया जाता है:

परिभाषा 3

• एक सीधी रेखा a का सामान्य समीकरण ज्ञात करना, जिसका रूप A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 है, या कोण गुणांक वाला एक समीकरण, जिसका रूप y = k 1 x + b 1 है;
• रेखा b का एक सामान्य समीकरण प्राप्त करना, जिसका रूप A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 या कोणीय गुणांक y = k 2 x + b 2 वाला एक समीकरण है, यदि रेखा b बिंदु M 1 को काटती है और लंबवत है एक दी गई पंक्ति a;
• बिंदु H 1 के निर्देशांक x 2, y 2 का निर्धारण, जो कि a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इस उद्देश्य के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल किया जाता है A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + बी 2 वाई + सी 2 = 0 या वाई = के 1 एक्स + बी 1 वाई = के 2 एक्स + बी 2;
• सूत्र M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 का उपयोग करके एक बिंदु से एक रेखा तक आवश्यक दूरी की गणना करना।

दूसरा तरीका

प्रमेय किसी समतल पर किसी दिए गए बिंदु से दी गई सीधी रेखा की दूरी ज्ञात करने के प्रश्न का उत्तर देने में मदद कर सकता है।

प्रमेय

आयताकार समन्वय प्रणाली में O x y का एक बिंदु M 1 (x 1, y 1) है, जहां से समतल तक एक सीधी रेखा खींची जाती है, जो समतल के सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, जिसका रूप cos α x + cos β y है। - पी = 0, रेखा के सामान्य समीकरण के बाईं ओर प्राप्त पूर्ण मान के बराबर, एक्स = एक्स 1, वाई = वाई 1 पर गणना का मतलब है कि एम 1 एच 1 = कॉस α · एक्स 1 + कॉस β · य 1 - पी.

सबूत

रेखा a समतल के सामान्य समीकरण से मेल खाती है, जिसका रूप cos α x + cos β y - p = 0 है, तो n → = (cos α, cos β) को रेखा a का सामान्य वेक्टर माना जाता है। पी इकाइयों के साथ लाइन ए की उत्पत्ति। चित्र में सभी डेटा प्रदर्शित करना आवश्यक है, निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) के साथ एक बिंदु जोड़ें, जहां बिंदु M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) का त्रिज्या वेक्टर। एक बिंदु से सीधी रेखा तक एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है, जिसे हम M 1 H 1 के रूप में दर्शाते हैं। बिंदु M 1 और H 2 के प्रक्षेपण M 2 और H 2 को बिंदु O से गुजरने वाली एक सीधी रेखा पर n → = (cos α, cos β) के दिशा वेक्टर के साथ दिखाना और निरूपित करना आवश्यक है। वेक्टर का संख्यात्मक प्रक्षेपण O M 1 → = (x 1, y 1) के रूप में दिशा n → = (cos α , cos β) के रूप में n p n → O M 1 →।

भिन्नताएँ M1 बिंदु के स्थान पर ही निर्भर करती हैं। आइए नीचे दिए गए चित्र को देखें।

हम सूत्र एम 1 एच 1 = एन पी एन → ओ एम → 1 - पी का उपयोग करके परिणाम तय करते हैं। फिर हम n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 प्राप्त करने के लिए इस रूप M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p में समानता लाते हैं।

सदिशों के अदिश गुणनफल के परिणामस्वरूप n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → रूप का एक रूपांतरित सूत्र प्राप्त होता है, जो निर्देशांक रूप में एक गुणनफल है फॉर्म n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 का। इसका मतलब है कि हमें यह मिलता है कि n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1। यह इस प्रकार है कि M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हम पाते हैं कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) से समतल पर सीधी रेखा a तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको कई क्रियाएं करने की आवश्यकता है:

परिभाषा 4

• सीधी रेखा a cos α · x + cos β · y - p = 0 का सामान्य समीकरण प्राप्त करना, बशर्ते कि यह कार्य में न हो;
• अभिव्यक्ति cos α · x 1 + cos β · y 1 - p की गणना, जहां परिणामी मान M 1 H 1 लेता है।

आइए एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी ज्ञात करने में आने वाली समस्याओं को हल करने के लिए इन विधियों को लागू करें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 (- 1, 2) वाले बिंदु से सीधी रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 तक की दूरी ज्ञात करें।

समाधान

आइए हल करने के लिए पहली विधि का उपयोग करें।

ऐसा करने के लिए, रेखा b का सामान्य समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है, जो किसी दिए गए बिंदु M 1 (- 1, 2) से होकर गुजरती है, जो रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 के लंबवत है। स्थिति से यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा b सीधी रेखा a पर लंबवत है, तो इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक (4, - 3) के बराबर हैं। इस प्रकार, हमारे पास समतल पर रेखा बी के विहित समीकरण को लिखने का अवसर है, क्योंकि बिंदु एम 1 के निर्देशांक हैं, जो रेखा बी से संबंधित है। आइए सीधी रेखा बी के दिशा वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करें। हम पाते हैं कि x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. परिणामी विहित समीकरण को एक सामान्य समीकरण में परिवर्तित किया जाना चाहिए। तब हमें वह मिलता है

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें, जिन्हें हम पदनाम एच 1 के रूप में लेंगे। परिवर्तन इस प्रकार दिखते हैं:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

ऊपर जो लिखा गया था, उससे हमें पता चला कि बिंदु H 1 के निर्देशांक (- 5; 5) के बराबर हैं।

बिंदु M 1 से सीधी रेखा a तक की दूरी की गणना करना आवश्यक है। हमारे पास बिंदु M 1 (- 1, 2) और H 1 (- 5, 5) के निर्देशांक हैं, फिर हम दूरी ज्ञात करने के लिए उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

एम 1 एच 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

दूसरा उपाय.

दूसरे तरीके से हल करने के लिए रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है। हम सामान्यीकरण कारक के मूल्य की गणना करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को 4 x - 3 y + 35 = 0 से गुणा करते हैं। यहां से हमें पता चलता है कि सामान्यीकरण कारक - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 के बराबर है, और सामान्य समीकरण इस प्रकार का होगा - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

गणना एल्गोरिथ्म के अनुसार, रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करना और x = - 1, y = 2 मानों के साथ इसकी गणना करना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

इससे हमें पता चलता है कि बिंदु M 1 (- 1, 2) से दी गई सीधी रेखा 4 x - 3 y + 35 = 0 की दूरी का मान - 5 = 5 है।

उत्तर: 5 .

यह देखा जा सकता है कि इस विधि में रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह विधि सबसे छोटी है। लेकिन पहली विधि सुविधाजनक है क्योंकि यह सुसंगत और तार्किक है, हालांकि इसमें अधिक गणना बिंदु हैं।

उदाहरण 2

समतल पर बिंदु M 1 (8, 0) और सीधी रेखा y = 1 2 x + 1 के साथ एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y है। किसी दिए गए बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

पहली विधि में कोणीय गुणांक वाले किसी दिए गए समीकरण को एक सामान्य समीकरण में कम करना शामिल है। सरल बनाने के लिए, आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं।

यदि लंबवत रेखाओं के कोणीय गुणांक के उत्पाद का मान - 1 है, तो किसी दिए गए y = 1 2 x + 1 के लंबवत रेखा के कोणीय गुणांक का मान 2 है। अब हमें निर्देशांक M 1 (8, 0) वाले एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण मिलता है। हमारे पास वह है y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

हम बिंदु H 1 के निर्देशांक खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं, अर्थात, प्रतिच्छेदन बिंदु y = - 2 x + 16 और y = 1 2 x + 1। हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 एक्स = 6 = वाई = 4 एक्स = 6 ⇒ एच 1 (6, 4)

इसका तात्पर्य यह है कि निर्देशांक M 1 (8, 0) वाले बिंदु से सीधी रेखा y = 1 2 x + 1 की दूरी निर्देशांक M 1 (8, 0) वाले प्रारंभिक बिंदु और अंत बिंदु से दूरी के बराबर है और एच 1 (6,4) . आइए गणना करें और पाएं कि एम 1 एच 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5।

दूसरे तरीके में समाधान एक गुणांक वाले समीकरण से उसके सामान्य रूप में जाना है। अर्थात्, हमें y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 मिलता है, तो सामान्यीकरण कारक का मान - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 होगा। इसका तात्पर्य यह है कि रेखा का सामान्य समीकरण - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 का रूप लेता है। आइए बिंदु M 1 8, 0 से फॉर्म की एक सीधी रेखा तक गणना करें - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0। हम पाते हैं:

एम 1 एच 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

उत्तर: 2 5 .

उदाहरण 3

निर्देशांक M 1 (- 2, 4) वाले बिंदु से रेखाओं 2 x - 3 = 0 और y + 1 = 0 तक की दूरी की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

हम सीधी रेखा 2 x - 3 = 0 के सामान्य रूप का समीकरण प्राप्त करते हैं:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

फिर हम बिंदु M 1 - 2, 4 से सीधी रेखा x - 3 2 = 0 तक की दूरी की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हम पाते हैं:

एम 1 एच 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

सीधी रेखा y + 1 = 0 के समीकरण में -1 के बराबर मान वाला एक सामान्यीकरण कारक होता है। इसका मतलब है कि समीकरण - y - 1 = 0 का रूप लेगा। हम बिंदु M 1 (- 2, 4) से सीधी रेखा - y - 1 = 0 तक की दूरी की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। हमने पाया कि यह -4 - 1 = 5 के बराबर है।

उत्तर: 3 1 2 और 5.

आइए समतल पर दिए गए बिंदु से निर्देशांक अक्षों O x और O y तक की दूरी ज्ञात करने पर करीब से नज़र डालें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, O अक्ष y में एक सीधी रेखा का समीकरण होता है, जो अधूरा है और इसका रूप x = 0 है, और O x - y = 0 है। निर्देशांक अक्षों के लिए समीकरण सामान्य हैं, तो निर्देशांक M 1 x 1, y 1 वाले बिंदु से रेखाओं की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है। यह सूत्र M 1 H 1 = x 1 और M 1 H 1 = y 1 के आधार पर किया जाता है। आइए नीचे दिए गए चित्र को देखें।

उदाहरण 4

बिंदु M 1 (6, - 7) से O x y समतल में स्थित निर्देशांक रेखाओं की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

चूँकि समीकरण y = 0 सीधी रेखा O x को संदर्भित करता है, आप सूत्र का उपयोग करके इस सीधी रेखा के दिए गए निर्देशांक के साथ M 1 से दूरी ज्ञात कर सकते हैं। हमें वह 6 = 6 मिलता है।

चूँकि समीकरण x = 0 सीधी रेखा O y को संदर्भित करता है, आप सूत्र का उपयोग करके M 1 से इस सीधी रेखा तक की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। तब हमें वह प्राप्त होता है - 7 = 7.

उत्तर: M 1 से O x की दूरी का मान 6 है, और M 1 से O y की दूरी का मान 7 है।

जब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में हमारे पास निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) वाला एक बिंदु होता है, तो बिंदु A से सीधी रेखा a तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए दो तरीकों पर विचार करें जो आपको अंतरिक्ष में स्थित एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी की गणना करने की अनुमति देते हैं। पहला मामला बिंदु एम 1 से एक रेखा की दूरी पर विचार करता है, जहां रेखा पर एक बिंदु को एच 1 कहा जाता है और यह बिंदु एम 1 से रेखा ए पर खींचे गए लंबवत का आधार है। दूसरा मामला बताता है कि इस विमान के बिंदुओं को समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के रूप में मांगा जाना चाहिए।

पहला तरीका

परिभाषा से हमारे पास यह है कि सीधी रेखा ए पर स्थित बिंदु एम 1 से दूरी लंबवत एम 1 एच 1 की लंबाई है, फिर हम इसे बिंदु एच 1 के पाए गए निर्देशांक के साथ प्राप्त करते हैं, फिर हम एम 1 के बीच की दूरी पाते हैं ( x 1 , y 1 , z 1 ) और H 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) , सूत्र M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z के आधार पर 1 2.

हम पाते हैं कि संपूर्ण समाधान एम 1 से सीधी रेखा ए पर खींचे गए लंब के आधार के निर्देशांक खोजने की ओर जाता है। यह निम्नानुसार किया जाता है: H 1 वह बिंदु है जहां सीधी रेखा दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के साथ प्रतिच्छेद करती है।

इसका मतलब यह है कि अंतरिक्ष में बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से रेखा a तक की दूरी निर्धारित करने के लिए एल्गोरिदम कई बिंदुओं को दर्शाता है:

परिभाषा 5

• रेखा के लंबवत स्थित किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान के समीकरण के रूप में विमान χ के समीकरण को तैयार करना;
• बिंदु H 1 से संबंधित निर्देशांक (x 2, y 2, z 2) का निर्धारण, जो सीधी रेखा a और समतल χ का प्रतिच्छेदन बिंदु है;
• सूत्र M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 का उपयोग करके एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करना।

दूसरा तरीका

स्थिति से हमारे पास एक सीधी रेखा a है, तो हम निर्देशांक x 3, y 3, z 3 और सीधी a से संबंधित एक निश्चित बिंदु M 3 के साथ दिशा वेक्टर a → = a x, a y, a z निर्धारित कर सकते हैं। यदि आपके पास बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 3 x 3, y 3, z 3 के निर्देशांक हैं, तो आप M 3 M 1 → की गणना कर सकते हैं:

एम 3 एम 1 → = (एक्स 1 - एक्स 3, वाई 1 - वाई 3, जेड 1 - जेड 3)

हमें बिंदु M 3 से सदिश a → = a x , a y , a z और M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 को अलग रखना चाहिए, उन्हें जोड़ना चाहिए और एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त करना चाहिए आकृति। एम 1 एच 1 समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

आइए नीचे दिए गए चित्र को देखें।

हमारे पास है कि ऊँचाई M 1 H 1 आवश्यक दूरी है, तो सूत्र का उपयोग करके इसे ज्ञात करना आवश्यक है। यानी हम एम 1 एच 1 की तलाश में हैं।

आइए हम समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को वेक्टर a → = (a x, a y, a z) और M 3 M 1 → = x 1 - x 3 का उपयोग करके सूत्र द्वारा ज्ञात अक्षर S द्वारा निरूपित करें। y 1 - y 3, z 1 - z 3. क्षेत्रफल सूत्र S = a → × M 3 M 1 → है। साथ ही, आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर है, हम पाते हैं कि S = a → · M 1 H 1 a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 के साथ, जो वेक्टर की लंबाई है a → = (a x , a y , a z) , जो समांतर चतुर्भुज की भुजा के बराबर है। इसका मतलब है कि एम 1 एच 1 बिंदु से रेखा तक की दूरी है। इसे सूत्र M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → का उपयोग करके पाया जाता है।

अंतरिक्ष में निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) वाले एक बिंदु से एक सीधी रेखा a तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको एल्गोरिथम के कई चरणों को पूरा करने की आवश्यकता है:

परिभाषा 6

• सीधी रेखा a - a → = (a x, a y, a z) के दिशा सदिश का निर्धारण;
• दिशा वेक्टर की लंबाई की गणना a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• सीधी रेखा a पर स्थित बिंदु M 3 से संबंधित निर्देशांक x 3 , y 3 , z 3 प्राप्त करना;
• वेक्टर एम 3 एम 1 → के निर्देशांक की गणना;
• सदिश a → (a x , a y , a z) और M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 का सदिश गुणनफल ज्ञात करना a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 लंबाई प्राप्त करने के लिए सूत्र a → × M 3 M 1 → का उपयोग करें;
• एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं का समाधान करना

उदाहरण 5

निर्देशांक M 1 2, - 4, - 1 वाले बिंदु से रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 तक की दूरी ज्ञात करें।

समाधान

पहली विधि एम 1 से गुजरने वाले और किसी दिए गए बिंदु के लंबवत विमान χ के समीकरण को लिखने से शुरू होती है। हमें एक अभिव्यक्ति मिलती है जैसे:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

बिंदु H 1 के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है, जो कि शर्त द्वारा निर्दिष्ट रेखा के लिए समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। आपको विहित दृष्टिकोण से प्रतिच्छेदी दृष्टिकोण की ओर बढ़ना चाहिए। तब हमें निम्न प्रकार के समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

सिस्टम की गणना करना आवश्यक है x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 क्रैमर विधि द्वारा 2 x - y + 5 z = 3, तो हमें यह मिलता है:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

यहाँ से हमें वह H 1 (1, - 1, 0) प्राप्त होता है।

एम 1 एच 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

दूसरी विधि विहित समीकरण में निर्देशांक की खोज से शुरू होनी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्न के हरों पर ध्यान देना होगा। तब a → = 2, - 1, 5 रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 का दिशा सदिश है। सूत्र a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 का उपयोग करके लंबाई की गणना करना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 बिंदु M 3 (- 1 , 0 , - 5) को प्रतिच्छेद करती है, इसलिए हमारे पास मूल M 3 (- 1 ) वाला वेक्टर है। 0 , - 5) और बिंदु M 1 2, - 4, - 1 पर इसका अंत M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 है। सदिश गुणनफल a → = (2, - 1, 5) और M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) ज्ञात कीजिए।

हमें a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · के रूप का व्यंजक प्राप्त होता है जे → = 16 · आई → + 7 · जे → - 5 · के →

हम पाते हैं कि वेक्टर उत्पाद की लंबाई a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 के बराबर है।

एक सीधी रेखा के लिए एक बिंदु से दूरी की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करने के लिए हमारे पास सभी डेटा हैं, तो आइए इसे लागू करें और प्राप्त करें:

एम 1 एच 1 = ए → × एम 3 एम 1 → ए → = 330 30 = 11

उत्तर: 11 .

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आपको एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। समस्या के समाधान के लिए सामान्य योजना:

- किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से हम दी गई सीधी रेखा पर लंबवत एक विमान खींचते हैं;

- रेखा का मिलन बिंदु ज्ञात करें

एक हवाई जहाज़ के साथ;

- हम दूरी का प्राकृतिक मान निर्धारित करते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से होकर हम रेखा AB पर लंबवत एक समतल खींचते हैं। हम समतल को प्रतिच्छेदी क्षैतिज और ललाट रेखाओं के रूप में परिभाषित करते हैं, जिनके प्रक्षेपण लंबवत एल्गोरिथ्म (व्युत्क्रम समस्या) के अनुसार निर्मित होते हैं।

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ सीधी रेखा AB समतल से मिलती है। यह एक समतल के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन के बारे में एक विशिष्ट समस्या है (अनुभाग "एक समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन" देखें)।

विमानों की लंबवतता

विमान परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनमें से एक में दूसरे विमान पर लंबवत रेखा होती है। इसलिए, किसी अन्य विमान पर लंबवत एक विमान खींचने के लिए, आपको पहले विमान पर एक लंबवत खींचना होगा, और फिर इसके माध्यम से वांछित विमान खींचना होगा। आरेख में, समतल को दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया गया है, जिनमें से एक समतल ABC पर लंबवत है।

यदि विमानों को निशानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो निम्नलिखित मामले संभव हैं:

- यदि दो लंबवत तल प्रक्षेपित हो रहे हैं, तो उनके सामूहिक निशान परस्पर लंबवत हैं;

- सामान्य तल और प्रक्षेपित तल लंबवत हैं, यदि प्रक्षेपित तल का सामूहिक निशान सामान्य तल के समान निशान के लंबवत है;

- यदि सामान्य स्थिति में दो विमानों के समान नाम के निशान लंबवत हैं, तो विमान एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं।

प्रक्षेपण विमान प्रतिस्थापन विधि

	प्रक्षेपण विमानों का प्रतिस्थापन
वह यह है कि विमान हैं
खंडों को दूसरे फ्लैट से बदल दिया गया है
	ताकि	ज्यामितिक
एक नई समतल प्रणाली में वस्तु
अनुमानों ने भागफल पर कब्ज़ा करना शुरू कर दिया - द्वारा
स्थिति, जो इसे सरल बनाना संभव बनाती है
समस्याओं को सुलझा रहा। स्थानिक पैमाने पर
केट विमान वी के प्रतिस्थापन को दर्शाता है
नया वी 1. प्रक्षेपित भी दर्शाया गया है
बिंदु A को मूल तलों में स्थानांतरित करना
प्रक्षेपण और एक नया प्रक्षेपण विमान
वि 1. प्रक्षेपण विमानों को प्रतिस्थापित करते समय
सिस्टम की रूढ़िवादिता संरक्षित है।

हम तीरों के साथ समतलों को घुमाकर स्थानिक लेआउट को समतलीय लेआउट में बदल देते हैं। हमें तीन प्रक्षेपण तल एक तल में संयोजित मिलते हैं।

फिर हम प्रक्षेपण विमानों को हटा देते हैं और
		अनुमान
एक बिंदु के आरेख से नियम का पालन होता है: कब
करने के लिए V को V 1 से प्रतिस्थापित करना
		ललाट
नई धुरी से आवश्यक बिंदु का निर्धारण
से लिए गए आवेदन बिंदु को अलग रखें
विमानों की पिछली प्रणाली
क्रियाएँ इसी प्रकार कोई भी सिद्ध कर सकता है
	H को H 1 से प्रतिस्थापित करना आवश्यक है
बिंदु की कोटि को अलग रखें।

प्रक्षेपण विमान प्रतिस्थापन विधि की पहली विशिष्ट समस्या

प्रक्षेपण विमान प्रतिस्थापन विधि का पहला विशिष्ट कार्य एक सामान्य सीधी रेखा को पहले एक स्तर रेखा में और फिर एक प्रक्षेपित सीधी रेखा में बदलना है। यह समस्या मुख्य समस्याओं में से एक है, क्योंकि इसका उपयोग अन्य समस्याओं को हल करने में किया जाता है, उदाहरण के लिए, समानांतर और प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करते समय, एक डायहेड्रल कोण निर्धारित करते समय, आदि।

हम प्रतिस्थापन V → V 1 बनाते हैं।
अक्ष को क्षैतिज के समानांतर खींचिए
		अनुमान.
ललाट प्रक्षेपण सीधा, के लिए
				हम स्थगित करते हैं
डॉट एप्लिकेटर. नया ललाट
सीधी रेखा का प्रक्षेपण HB सीधी रेखा है।
सीधी रेखा ही अग्र रेखा बन जाती है।
कोण α° निर्धारित किया जाता है।

हम प्रतिस्थापन H → H 1 करते हैं। हम सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत नई धुरी खींचते हैं। हम रेखा का एक नया क्षैतिज प्रक्षेपण बनाते हैं, जिसके लिए हम नई धुरी से प्रक्षेपण विमानों की पिछली प्रणाली से ली गई रेखा के निर्देशांक को प्लॉट करते हैं। सीधी रेखा क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित होने वाली सीधी रेखा बन जाती है और एक बिंदु में "विघटित" हो जाती है।

परिचय

इस पाठ्यक्रम में, मैंने "एक बिंदु से एक रेखा की दूरी" विषय की जांच की: एक बिंदु से एक रेखा की दूरी की परिभाषा दी गई है, ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। समन्वय विधि का उपयोग करके समतल और अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने पर चर्चा की जाती है। सिद्धांत के प्रत्येक खंड के बाद, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने के लिए उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत समाधान दिखाए गए हैं।

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी - परिभाषा

मान लीजिए कि एक रेखा a और एक बिंदु M 1 जो रेखा a पर नहीं है, एक समतल पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिया गया है। आइए हम बिंदु M 1 से होकर रेखा a पर लंबवत एक रेखा b खींचें। आइए हम रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में निरूपित करें। खंड एम 1 एच 1 को बिंदु एम 1 से रेखा ए पर खींचा गया लंबवत कहा जाता है।

परिभाषा।

बिंदु एम 1 से सीधी रेखा ए की दूरी बिंदु एम 1 और एच 1 के बीच की दूरी है।

हालाँकि, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की सबसे आम परिभाषा लंब की लंबाई है।

परिभाषा।

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है।

यह परिभाषा एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की पहली परिभाषा के बराबर है।

चित्र 1

कृपया ध्यान दें कि एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी इस बिंदु से किसी रेखा पर स्थित बिंदुओं की सबसे छोटी दूरी होती है। चलिए दिखाते हैं.

आइए रेखा a पर एक बिंदु Q लें जो बिंदु M 1 से मेल नहीं खाता है। खंड एम 1 क्यू को बिंदु एम 1 से सीधी रेखा ए तक खींचा गया झुका हुआ खंड कहा जाता है। हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि बिंदु M 1 से रेखा a पर खींचा गया लंब बिंदु M 1 से सीधी रेखा a पर खींचे गए किसी भी तिरछे से छोटा है। यह सत्य है: त्रिभुज M 1 QH 1 कर्ण M 1 Q के साथ समकोण है, और इसलिए कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।

समतल पर एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने का सूत्र

यदि रेखा Ax + By + C = 0 का समीकरण दिया गया है, तो बिंदु M(M x , M y) से रेखा की दूरी निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है

किसी समतल पर एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना के लिए समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1.

रेखा 3x + 4y - 6 = 0 और बिंदु M(-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

समाधान।आइए सूत्र में रेखा के गुणांकों और बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें

उत्तर:बिंदु से रेखा की दूरी 0.6 है।

किसी सदिश के लंबवत बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण। समतल का सामान्य समीकरण

किसी दिए गए तल पर लंबवत एक गैर-शून्य वेक्टर को कहा जाता है सामान्य वेक्टर (या, संक्षेप में, सामान्य ) इस विमान के लिए.

मान लीजिए निर्देशांक स्थान में निम्नलिखित दिया गया है (आयताकार समन्वय प्रणाली में):

ए) बिंदु ;

बी) गैर-शून्य वेक्टर (चित्र 4.8, ए)।

आपको एक बिंदु से गुजरने वाले विमान के लिए एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है वेक्टर के लंबवत प्रमाण का अंत.

आइए अब हम एक समतल पर सीधी रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरणों पर विचार करें।

1) समतल का सामान्य समीकरणपी .

समीकरण की व्युत्पत्ति से यह पता चलता है कि एक ही समय में ए, बीऔर सी 0 के बराबर नहीं हैं (क्यों समझाएँ)।

बात प्लेन की है पीकेवल तभी जब इसके निर्देशांक समतल के समीकरण को संतुष्ट करते हों। संभावनाओं पर निर्भर करता है ए, बी, सीऔर डीविमान पीकिसी न किसी पद पर आसीन:

- विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से होकर गुजरता है, - विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से नहीं गुजरता है,

- अक्ष के समानांतर समतल एक्स,

एक्स,

- अक्ष के समानांतर समतल वाई,

- तल अक्ष के समानांतर नहीं है वाई,

- अक्ष के समानांतर समतल जेड,

- तल अक्ष के समानांतर नहीं है जेड.

इन कथनों को स्वयं सिद्ध करें।

समीकरण (6) समीकरण (5) से आसानी से प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु को समतल पर स्थित होने दें पी. फिर इसके निर्देशांक समीकरण (5) से समीकरण (7) को घटाने और पदों को समूहीकृत करने पर समीकरण (6) प्राप्त होते हैं। आइए अब क्रमशः निर्देशांक वाले दो सदिशों पर विचार करें। सूत्र (6) से यह निष्कर्ष निकलता है कि उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है। इसलिए, वेक्टर वेक्टर के लंबवत है, अंतिम वेक्टर की शुरुआत और अंत क्रमशः, विमान से संबंधित बिंदुओं पर स्थित हैं पी. इसलिए, वेक्टर विमान के लंबवत है पी. बिंदु से समतल तक की दूरी पी, जिसका सामान्य समीकरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है इस सूत्र का प्रमाण एक बिंदु और एक रेखा के बीच की दूरी के सूत्र के प्रमाण के समान है (चित्र 2 देखें)।
चावल। 2. एक समतल और एक सीधी रेखा के बीच की दूरी का सूत्र प्राप्त करना।

दरअसल, दूरी डीएक सीधी रेखा और एक समतल के बीच समानता होती है

समतल पर एक बिंदु कहाँ स्थित है? यहाँ से, जैसा कि व्याख्यान संख्या 11 में है, उपरोक्त सूत्र प्राप्त होता है। दो तल समानांतर होते हैं यदि उनके सामान्य सदिश समानांतर हों। यहां से हमें दो तलों की समांतरता की स्थिति प्राप्त होती है - समतलों के सामान्य समीकरणों के गुणांक। दो तल लंबवत होते हैं यदि उनके सामान्य सदिश लंबवत होते हैं, इसलिए यदि उनके सामान्य समीकरण ज्ञात हों तो हम दो विमानों के लंबवतता के लिए शर्त प्राप्त करते हैं।

कोना एफदो तलों के बीच का कोण उनके सामान्य सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है (चित्र 3 देखें) और इसलिए इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
समतलों के बीच के कोण का निर्धारण।

(11)

एक बिंदु से एक समतल तक की दूरी और उसे ज्ञात करने की विधियाँ

बिंदु से दूरी विमान- इस तल पर एक बिंदु से डाले गए लंब की लंबाई। किसी बिंदु से समतल तक की दूरी ज्ञात करने के कम से कम दो तरीके हैं: ज्यामितिकऔर बीजगणितीय.

ज्यामितीय विधि सेआपको सबसे पहले यह समझना होगा कि एक बिंदु से एक समतल पर लंब कैसे स्थित होता है: हो सकता है कि यह किसी सुविधाजनक तल पर स्थित हो, किसी सुविधाजनक (या इतना सुविधाजनक नहीं) त्रिभुज में ऊंचाई हो, या हो सकता है कि यह लंब आम तौर पर किसी पिरामिड में ऊंचाई हो।

इस पहले और सबसे जटिल चरण के बाद, समस्या कई विशिष्ट प्लानिमेट्रिक कार्यों (शायद विभिन्न स्तरों पर) में विभाजित हो जाती है।

बीजगणितीय विधि सेएक बिंदु से एक विमान की दूरी ज्ञात करने के लिए, आपको एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करना होगा, बिंदु के निर्देशांक और विमान के समीकरण को ढूंढना होगा, और फिर एक बिंदु से एक विमान की दूरी के लिए सूत्र लागू करना होगा।

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी, बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई है। वर्णनात्मक ज्यामिति में, इसे नीचे दिए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जाता है।

एल्गोरिदम

1. सीधी रेखा को ऐसी स्थिति में ले जाया जाता है जहां वह किसी प्रक्षेपण तल के समानांतर होगी। इस प्रयोजन के लिए, ऑर्थोगोनल अनुमानों को बदलने के तरीकों का उपयोग किया जाता है।
2. एक बिंदु से एक रेखा पर लंब खींचा जाता है। यह निर्माण समकोण के प्रक्षेपण के बारे में प्रमेय पर आधारित है।
3. लम्ब की लंबाई उसके प्रक्षेपणों को परिवर्तित करके या समकोण त्रिभुज विधि का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।

निम्नलिखित चित्र खंड सीडी द्वारा परिभाषित बिंदु एम और रेखा बी का एक जटिल चित्रण दिखाता है। आपको उनके बीच की दूरी ज्ञात करनी होगी।

हमारे एल्गोरिदम के अनुसार, पहली चीज़ जो करने की ज़रूरत है वह है रेखा को प्रक्षेपण तल के समानांतर स्थिति में ले जाना। यह समझना महत्वपूर्ण है कि परिवर्तन किए जाने के बाद, बिंदु और रेखा के बीच की वास्तविक दूरी नहीं बदलनी चाहिए। इसीलिए यहां समतल प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिसमें अंतरिक्ष में आकृतियों को हिलाना शामिल नहीं है।

निर्माण के पहले चरण के परिणाम नीचे दिखाए गए हैं। चित्र से पता चलता है कि कैसे एक अतिरिक्त ललाट तल P 4 को b के समानांतर पेश किया जाता है। नई प्रणाली (पी 1, पी 4) में, बिंदु सी"" 1, डी"" 1, एम"" 1 एक्स 1 अक्ष से सी"", डी"", एम"" के समान दूरी पर हैं। अक्ष एक्स.

एल्गोरिथ्म के दूसरे भाग को आगे बढ़ाते हुए, M"" 1 से हम लंबवत M"" 1 N"" 1 को सीधी रेखा b"" 1 से नीचे लाते हैं, क्योंकि b और MN के बीच समकोण MND को समतल P पर प्रक्षेपित किया जाता है। पूर्ण आकार में 4. संचार लाइन का उपयोग करते हुए, हम बिंदु N" की स्थिति निर्धारित करते हैं और खंड MN का प्रक्षेपण M"N" करते हैं।

अंतिम चरण में, आपको खंड एमएन का आकार इसके अनुमानों एम"एन" और एम"" 1 एन"" 1 से निर्धारित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज M"" 1 N"" 1 N 0 बनाते हैं, जिसका पैर N"" 1 N 0 बिंदु M" और N" की दूरी के अंतर (Y M 1 - Y N 1) के बराबर है। एक्स 1 अक्ष से. त्रिभुज M"" 1 N"" 1 N 0 के कर्ण M"" 1 N 0 की लंबाई M से b तक वांछित दूरी के अनुरूप है।

दूसरा उपाय

• सीडी के समानांतर, हम एक नया फ्रंटल प्लेन पी 4 पेश करते हैं। यह P 1 को X 1 अक्ष और X 1 ∥C"D" पर प्रतिच्छेद करता है। विमानों को बदलने की विधि के अनुसार, हम बिंदु C"" 1, D"" 1 और M"" 1 के प्रक्षेपण निर्धारित करते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
• C"" 1 D"" 1 के लंबवत हम एक अतिरिक्त क्षैतिज विमान P 5 बनाते हैं, जिस पर सीधी रेखा b को बिंदु C" 2 = b" 2 पर प्रक्षेपित किया जाता है।
• बिंदु M और रेखा b के बीच की दूरी खंड M" 2 C" 2 की लंबाई से निर्धारित होती है, जो लाल रंग में दर्शाया गया है।

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