सामान्यीकृत विभेदक समीकरण. प्रथम कोटि के सजातीय अवकल समीकरण। सामान्यीकृत कार्यों में विभेदक समीकरण

सामान्यीकृत कार्यों में विभेदक समीकरण

चलो एक समीकरण बन गया. यदि यह एक सामान्य फलन है, तो इसका समाधान प्रतिअवकलन अर्थात् प्रतिअवकलन है। आइए अब एक सामान्यीकृत कार्य करें।

परिभाषा। एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन को आदिम सामान्यीकृत फ़ंक्शन कहा जाता है यदि। यदि यह एक एकल सामान्यीकृत कार्य है, तो ऐसे संभावित मामले हैं जब इसका प्रतिअवकलन एक नियमित सामान्यीकृत कार्य है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिअवकलन है; प्रतिअवकलन एक फलन है, और समीकरण का समाधान इस रूप में लिखा जा सकता है: , कहाँ।

अचर गुणांकों के साथ वें क्रम का एक रैखिक समीकरण है

एक सामान्यीकृत कार्य कहाँ है. मान लीजिए कि यह वें क्रम का एक अवकल बहुपद है।

परिभाषा। अवकल समीकरण (8) का एक सामान्यीकृत समाधान एक सामान्यीकृत कार्य है जिसके लिए निम्नलिखित संबंध है:

यदि एक सतत फलन है, तो समीकरण (8) का एकमात्र समाधान शास्त्रीय समाधान है।

परिभाषा। समीकरण (8) का मौलिक समाधान कोई भी सामान्यीकृत फलन है।

ग्रीन का कार्य एक मौलिक समाधान है जो सीमा, प्रारंभिक, या स्पर्शोन्मुख स्थिति को संतुष्ट करता है।

प्रमेय. समीकरण (8) का एक समाधान मौजूद है और इसका रूप इस प्रकार है:

जब तक कनवल्शन को परिभाषित नहीं किया जाता है।

सबूत। वास्तव में, । कनवल्शन प्रॉपर्टी के अनुसार यह इस प्रकार है:।

यह देखना आसान है कि इस समीकरण का मूल समाधान है, चूँकि

सामान्यीकृत डेरिवेटिव के गुण

विभेदीकरण की संक्रिया रैखिक और निरंतर है:

में, यदि अंदर;

प्रत्येक सामान्यीकृत फलन अपरिमित रूप से भिन्न होता है। वास्तव में, यदि, तो; बदले में, आदि;

विभेदीकरण का परिणाम विभेदीकरण के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। उदाहरण के लिए, ;

यदि और, तो किसी उत्पाद के विभेदन के लिए लाइबनिज़ का सूत्र मान्य है। उदाहरण के लिए, ;

यदि यह एक सामान्यीकृत कार्य है, तो;

यदि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों से बनी श्रृंखला प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से परिवर्तित होती है, तो इसे किसी भी संख्या में शब्द-दर-शब्द विभेदित किया जा सकता है (एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन के रूप में), और परिणामी श्रृंखला में परिवर्तित हो जाएगी।

उदाहरण। होने देना

फ़ंक्शन को हेविसाइड फ़ंक्शन या यूनिट फ़ंक्शन कहा जाता है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है और इसलिए इसे एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन माना जा सकता है। आप इसका व्युत्पन्न पा सकते हैं. परिभाषा के अनुसार, अर्थात्। .

जटिल गुणांक वाले द्विघात रूपों के अनुरूप सामान्यीकृत कार्य

अब तक, केवल वास्तविक गुणांक वाले द्विघात रूपों पर ही विचार किया गया है। इस अनुभाग में हम जटिल गुणांक वाले सभी द्विघात रूपों के स्थान का अध्ययन करते हैं।

कार्य सामान्यीकृत फ़ंक्शन को निर्धारित करना है, जहां एक जटिल संख्या है। हालाँकि, सामान्य स्थिति में कोई अद्वितीय विश्लेषणात्मक कार्य नहीं होगा। इसलिए, सभी द्विघात रूपों के स्थान में, एक सकारात्मक निश्चित काल्पनिक भाग के साथ द्विघात रूपों के "ऊपरी आधे तल" को अलग किया जाता है और उनके लिए एक फ़ंक्शन निर्धारित किया जाता है। अर्थात्, यदि कोई द्विघात रूप इस "अर्ध-तल" से संबंधित है, तो यह माना जाता है कि कहाँ। ऐसा फ़ंक्शन एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है।

अब हम फ़ंक्शन को सामान्यीकृत फ़ंक्शन के साथ जोड़ सकते हैं:

जहां संपूर्ण स्थान पर एकीकरण किया जाता है। इंटीग्रल (13) इस अर्ध-तल में अभिसरण करता है और एक विश्लेषणात्मक कार्य है। इस फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखते हुए, अन्य मानों के लिए कार्यात्मकता निर्धारित की जाती है।

सकारात्मक निश्चित काल्पनिक भाग वाले द्विघात रूपों के लिए, कार्यों के एकवचन बिंदु पाए जाते हैं और एकवचन बिंदुओं पर इन कार्यों के अवशेषों की गणना की जाती है।

सामान्यीकृत फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से न केवल पर निर्भर करता है, बल्कि द्विघात रूप के गुणांक पर भी निर्भर करता है। इस प्रकार, यह प्रपत्र के सभी द्विघात रूपों के ऊपरी "अर्ध-तल" में एक विश्लेषणात्मक कार्य है जहां एक सकारात्मक निश्चित रूप होता है। नतीजतन, यह "काल्पनिक अर्ध-अक्ष" पर अपने मूल्यों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है, अर्थात, रूप के द्विघात रूपों के सेट पर, जहां एक सकारात्मक निश्चित रूप है।

यह दिखाया गया है कि सामान्यीकृत सजातीय अंतर समीकरण को कैसे पहचाना जाए। पहले क्रम के सामान्यीकृत सजातीय अंतर समीकरण को हल करने की एक विधि पर विचार किया जाता है। ऐसे समीकरण के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण दिया गया है।

सामग्री

परिभाषा

पहले क्रम का एक सामान्यीकृत सजातीय अंतर समीकरण इस रूप का एक समीकरण है:
, कहां α ≠ 0 , α ≠ 1 , एफ - फ़ंक्शन।

यह कैसे निर्धारित करें कि एक विभेदक समीकरण सामान्यीकृत सजातीय है या नहीं

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक विभेदक समीकरण सामान्यीकृत सजातीय है, आपको एक स्थिरांक t प्रस्तुत करने और प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है:
y → t α · y , x → t · x .
यदि ऐसा मान α चुनना संभव है जिस पर स्थिरांक t घटता है, तो यह है - सामान्यीकृत सजातीय अंतर समीकरण. इस प्रतिस्थापन के साथ व्युत्पन्न y' में परिवर्तन का रूप है:
.

उदाहरण

निर्धारित करें कि क्या दिया गया समीकरण सामान्यीकृत सजातीय है:
.

हम प्रतिस्थापन y → t α y, x → t x, y′ → t α- करते हैं 1 वर्ष':
;
.
t α+ से विभाजित करें 5 :
;
.
समीकरण में t शामिल नहीं होगा यदि
4 α - 6 = 0, α = 3/2 .
कब से α = 3/2 , तो फिर t कम हो गया है यह एक सामान्यीकृत सजातीय समीकरण है.

समाधान विधि

पहले क्रम के सामान्यीकृत सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
आइए हम दिखाएं कि प्रतिस्थापन का उपयोग करके इसे एक सजातीय समीकरण में घटा दिया गया है:
टी = एक्सα.
वास्तव में,
.
यहाँ से
; .
(1) :
;
.

यह एक सजातीय समीकरण है. इसे प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है:
वाई = जेड टी,
जहाँ z, t का एक फलन है।
समस्याओं को हल करते समय, तुरंत प्रतिस्थापन का उपयोग करना आसान होता है:
y = z x α,
जहाँ z, x का एक फलन है।

प्रथम कोटि के सामान्यीकृत सजातीय अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

अवकल समीकरण हल करें
(पृ.1) .

आइए जाँच करें कि क्या यह समीकरण सामान्यीकृत सजातीय है। इस प्रयोजन के लिए में (पृ.1)प्रतिस्थापन करें:
y → t α y , x → t x , y′ → t α- 1 वर्ष'.
.
t α से विभाजित करें:
.
यदि हम α = - सेट करते हैं तो t रद्द कर दिया जाएगा 1 .

इसका मतलब यह है कि यह एक सामान्यीकृत सजातीय समीकरण है।
आइए एक प्रतिस्थापन करें: 1 ,
जहाँ z, x का एक फलन है।
.
y = z x α = z x - (पृ.1):
(पृ.1) ;
;
.
मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें
;
;
.
x से गुणा करें और कोष्ठक खोलें: 2 हम चरों को अलग करते हैं - dx से गुणा करते हैं और x z से विभाजित करते हैं 0 .
.
जब z ≠
;
;
;
.
हमारे पास है:
.
हम अभिन्नों की तालिका का उपयोग करके एकीकृत करते हैं:
.

आइए प्रबल करें:
.
आइए स्थिरांक e C → C को प्रतिस्थापित करें और मापांक चिह्न को हटा दें, क्योंकि वांछित चिह्न का चुनाव स्थिरांक C के चिह्न के चयन से निर्धारित होता है:
आइए वेरिएबल y पर वापस लौटें। .

स्थानापन्न z = xy: 2 x से विभाजित करें: 0 (पृ.2) 0 जब हम z से विभाजित होते हैं 0 .
, हमने मान लिया कि z ≠ 0 . आइए वेरिएबल y पर वापस लौटें।अब समाधान z = xy = पर विचार करें 0 .

;
.

, या y =
कब से y=

, अभिव्यक्ति के बाईं ओर

परिभाषित नहीं है, तो परिणामी सामान्य समाकलन में हम समाधान y = जोड़ते हैंप्रयुक्त साहित्य:

एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003। ;

वियोज्य चरों के साथ प्रथम क्रम के अंतर समीकरण। परिभाषा।वियोज्य चरों वाला एक विभेदक समीकरण (3.1) के रूप का एक समीकरण या (3.2) के रूप का एक समीकरण होता है। समीकरण (3.1) में चरों को अलग करने के लिए, अर्थात् इस समीकरण को तथाकथित पृथक चर समीकरण में बदलें, निम्नलिखित कार्य करें:अब हमें समीकरण को हल करने की जरूरत है जी(वाई)= 0. यदि इसका कोई वास्तविक समाधान है

आप=ए,

वह . (3.3)

आप=ए समीकरण (3.1) का भी समाधान होगा।

समीकरण (3.2) को उत्पाद से विभाजित करके एक अलग समीकरण में बदल दिया जाता है:

, जो हमें समीकरण (3.2) का सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त करने की अनुमति देता है:इंटीग्रल कर्व्स (3.3) को समाधानों के साथ पूरक किया जाएगा , यदि ऐसे समाधान मौजूद हैं।

प्रथम क्रम के सजातीय अंतर समीकरण।दिखाएँ कि फ़ंक्शन शून्य आयाम का सजातीय है।

समाधान। ,

क्यू.ई.डी.

प्रमेय.कोई भी फ़ंक्शन सजातीय है और, इसके विपरीत, शून्य आयाम के किसी भी सजातीय फ़ंक्शन को फॉर्म में घटा दिया जाता है।

सबूत।प्रमेय का पहला कथन स्पष्ट है, क्योंकि . आइए दूसरे कथन को सिद्ध करें। आइए फिर एक सजातीय फ़ंक्शन के लिए सेट करें , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

परिभाषा 2.समीकरण (4.1) जिसमें एमऔर एन- समान डिग्री के सजातीय कार्य, अर्थात्। सभी के लिए संपत्ति है, सजातीय कहा जाता है। जाहिर है, इस समीकरण को हमेशा फॉर्म (4.2) में घटाया जा सकता है, हालांकि इसे हल करने के लिए यह आवश्यक नहीं हो सकता है। वांछित फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करके एक सजातीय समीकरण को अलग-अलग चर वाले समीकरण में बदल दिया जाता है यसूत्र के अनुसार y=zx,कहाँ जेड(एक्स)- नया आवश्यक कार्य। समीकरण (4.2) में इस प्रतिस्थापन को करने पर, हम प्राप्त करते हैं: या या।

एकीकृत करते हुए, हम फ़ंक्शन के संबंध में समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं जेड(एक्स) , जो बार-बार प्रतिस्थापन के बाद मूल समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग देता है। इसके अलावा, यदि समीकरण की जड़ें हैं, तो फ़ंक्शन एक सजातीय दिए गए समीकरण के समाधान हैं। यदि, तो समीकरण (4.2) का रूप लेता है

और यह वियोज्य चरों वाला एक समीकरण बन जाता है। इसके समाधान आधे-प्रत्यक्ष हैं: .

टिप्पणी।कभी-कभी उपरोक्त प्रतिस्थापन के स्थान पर प्रतिस्थापन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है एक्स=ज़ी.

सामान्यीकृत सजातीय समीकरण.

समीकरण M(x,y)dx+N(x,y)dy=0यदि ऐसी संख्या का चयन करना संभव हो तो इसे सामान्यीकृत सजातीय कहा जाता है के, कि इस समीकरण का बायाँ भाग कुछ डिग्री का एक सजातीय फलन बन जाता है एमअपेक्षाकृत एक्स, वाई, डीएक्सऔर डीवाईउसे उपलब्ध कराया एक्सप्रथम आयाम का मान माना जाता है, य – क‑वें माप ,डीएक्सऔर डाई -क्रमशः शून्य और (के-1)वें माप. उदाहरण के लिए, यह समीकरण होगा . (6.1) माप के संबंध में बनाई गई धारणा के तहत मान्य एक्स, वाई, डीएक्सऔर डीवाईवामपंथ के सदस्य और डीवाईक्रमशः आयाम -2, 2 होंगे केऔर के-1. उन्हें बराबर करने पर, हमें एक शर्त प्राप्त होती है कि आवश्यक संख्या को पूरा करना होगा के: -2 = 2के=के-1. यह शर्त तब संतुष्ट होती है जब के= -1 (इसके साथ केविचाराधीन समीकरण के बाईं ओर के सभी पदों का आयाम -2 होगा)। नतीजतन, समीकरण (6.1) सामान्यीकृत सजातीय है।

डीईएफ़ 1 डीयू प्रकार

बुलाया प्रथम कोटि का समांगी अवकल समीकरण(ओडीयू)।

वें 1 मान लीजिए कि फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) निरंतर पर

तब ODE (1) का एक सामान्य समाकलन होता है, जो सूत्र द्वारा दिया जाता है:

फ़ंक्शन का कुछ प्रतिव्युत्पन्न कहां है साथएक मनमाना स्थिरांक है.

नोट 1यदि कुछ के लिए शर्त पूरी हो जाती है, तो ओडीई (1) को हल करने की प्रक्रिया में फॉर्म के समाधान खो सकते हैं, ऐसे मामलों को अधिक सावधानी से व्यवहार किया जाना चाहिए और उनमें से प्रत्येक की अलग से जांच की जानी चाहिए;

इस प्रकार प्रमेय से Th1चाहिए ODE को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम (1):

1) प्रतिस्थापन करें:

2) इस प्रकार, अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त किया जाएगा, जिसे एकीकृत किया जाना चाहिए;

3) पुराने चरों पर लौटें;

4) समाधान में उनकी भागीदारी के लिए मूल्यों की जाँच करें मूल रिमोट कंट्रोलजिसके तहत शर्त पूरी की जाएगी

5) उत्तर लिखिए.

उदाहरण 1डीई (4) को हल करें।

समाधान: DE (4) एक समांगी अवकल समीकरण है, क्योंकि इसका रूप (1) है। आइए एक बदलाव करें (3), इससे समीकरण (4) इस रूप में आ जाएगा:

समीकरण (5) DE (4) का सामान्य समाकलन है।

ध्यान दें कि चरों को अलग करते समय और विभाजित करते समय, समाधान खो सकते हैं, लेकिन यह DE (4) का समाधान नहीं है, जिसे समानता (4) में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से सत्यापित किया जाता है, क्योंकि यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है। मूल DE का.

उत्तर:

नोट 2कभी-कभी आप ODE को चरों के अंतर के रूप में लिख सकते हैं एक्सऔर यूरिमोट कंट्रोल के इस नोटेशन से व्युत्पन्न के माध्यम से अभिव्यक्ति की ओर बढ़ने की सिफारिश की जाती है और उसके बाद ही प्रतिस्थापन (3) किया जाता है।

विभेदक समीकरणों को घटाकर सजातीय बना दिया गया।

हार 2 फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है डिग्री k का सजातीय कार्य क्षेत्र में, जिसके लिए समानता संतुष्ट होगी:

यहां सबसे सामान्य प्रकार के अंतर समीकरण हैं जिन्हें विभिन्न परिवर्तनों के बाद फॉर्म (1) में घटाया जा सकता है।

1) फ़ंक्शन कहां है सजातीय है, डिग्री शून्य, अर्थात्, समानता मान्य है: DE (6) को आसानी से फॉर्म (1) में घटा दिया जाता है, यदि हम डालते हैं, जिसे प्रतिस्थापन (3) का उपयोग करके आगे एकीकृत किया जाता है।

2) (7), जहां कार्य समान डिग्री के सजातीय हैं के . फॉर्म (7) का डीई भी प्रतिस्थापन (3) का उपयोग करके एकीकृत किया गया है।

उदाहरण 2 DE(8) को हल करें।

समाधान:आइए हम दिखाएं कि DE (8) सजातीय है। आइए हम जो संभव है उससे भाग दें, क्योंकि यह DE (8) का समाधान नहीं है।

आइए एक बदलाव करें (3), इससे समीकरण (9) इस रूप में आ जाएगा:

समीकरण (10) DE (8) का सामान्य समाकलन है।

ध्यान दें कि चरों को अलग करते समय और विभाजित करते समय, और के मानों के अनुरूप समाधान खो सकते हैं। आइए इन भावों की जाँच करें। आइए उन्हें DE (8) में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि इस उदाहरण को हल करते समय, एक फ़ंक्शन दिखाई देता है जिसे संख्या का "चिह्न" कहा जाता है एक्स(पढ़ता है " साइनम एक्स"), अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित:

नोट 3डीई (6) या (7) को फॉर्म (1) में कम करना आवश्यक नहीं है; यदि यह स्पष्ट है कि डीई सजातीय है, तो आप तुरंत प्रतिस्थापन कर सकते हैं

3) फॉर्म (11) का एक डीई ओडीई के रूप में एकीकृत किया गया है यदि, और प्रतिस्थापन शुरू में किया जाता है:

(12), सिस्टम का समाधान कहां है: (13), और फिर फ़ंक्शन के लिए प्रतिस्थापन (3) का उपयोग करें, सामान्य अभिन्न प्राप्त करने के बाद, वे चर पर लौट आते हैं एक्सऔर पर.

यदि, तो, समीकरण (11) में मानते हुए, हम वियोज्य चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 3कॉची समस्या का समाधान करें (14)।

समाधान:आइए हम दिखाते हैं कि DE (14) को एक सजातीय DE में घटा दिया गया है और उपरोक्त योजना के अनुसार एकीकृत किया गया है:

आइए हम क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (15) की अमानवीय प्रणाली को हल करें:

आइए चरों में परिवर्तन करें और परिणामी समीकरण को एकीकृत करें:

(16) - डीई (14) का सामान्य अभिन्न अंग। चरों को अलग करते समय, अभिव्यक्ति से विभाजित करने पर समाधान खो सकता है, जिसे द्विघात समीकरण को हल करने के बाद स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है। हालाँकि, उन्हें सामान्य अभिन्न (16) में ध्यान में रखा जाता है

आइए कॉची समस्या का समाधान खोजें: मानों को सामान्य अभिन्न (16) में प्रतिस्थापित करें और खोजें साथ.

इस प्रकार, आंशिक अभिन्न अंग सूत्र द्वारा दिया जाएगा:

उत्तर:

4) यदि हम फॉर्म का प्रतिस्थापन लागू करते हैं तो एक नए, अभी तक अज्ञात फ़ंक्शन के लिए कुछ अंतर समीकरणों को सजातीय समीकरणों में कम करना संभव है:

इस मामले में, संख्या एमइस शर्त से चुना जाता है कि परिणामी समीकरण, यदि संभव हो, कुछ हद तक सजातीय हो जाए। हालाँकि, यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, तो विचाराधीन डीई को इस तरह से एक सजातीय में कम नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 4 DE को हल करें. (18)

समाधान:आइए हम दिखाते हैं कि DE (18) को प्रतिस्थापन (17) का उपयोग करके एक सजातीय DE में घटा दिया गया है और प्रतिस्थापन (3) का उपयोग करके आगे एकीकृत किया गया है:

पता लगाते हैं साथ:

इस प्रकार, DE (24) के एक विशेष समाधान का रूप है