एक घातीय फलन का टेलर श्रृंखला विस्तार। शक्ति श्रृंखला, उनका अभिसरण, शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, केंद्रीय स्थान पर एक फ़ंक्शन के श्रृंखला में विस्तार के लिए समर्पित अनुभाग का कब्जा है।

इस प्रकार, कार्य निर्धारित है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए हमें ऐसी शक्ति शृंखला खोजने की आवश्यकता है

जो एक निश्चित अंतराल पर एकत्रित होता था और उसका योग बराबर होता था
, वे।

= ..

इस कार्य को कहा जाता है किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या।

किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए एक आवश्यक शर्तक्या इसकी भिन्नता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से निम्नानुसार है। यह शर्त आमतौर पर संतुष्ट होती है प्राथमिक कार्यउनकी परिभाषा के क्षेत्र में।

तो चलिए मान लेते हैं कि function
किसी भी क्रम का व्युत्पन्न है। क्या इसे पावर श्रृंखला में विस्तारित करना संभव है? यदि हां, तो हम इस श्रृंखला को कैसे ढूंढ सकते हैं? समस्या का दूसरा भाग हल करना आसान है, तो चलिए इससे शुरू करते हैं।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन
बिंदु युक्त अंतराल में अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ ए 0 ,ए 1 ,ए 2 ,...,ए एन ,... - अज्ञात (अभी तक) गुणांक।

आइए हम मान को समानता (*) में रखें एक्स = एक्स 0 , तो हम पाते हैं

.

आइए हम पद दर पद घात श्रृंखला (*) में अंतर करें

= ..

और यहाँ विश्वास है एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं

.

अगले विभेदन से हमें श्रृंखला प्राप्त होती है

= ..

विश्वास एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ
.

बाद एन-गुना विभेदन हमें मिलता है

अंतिम समानता में मानते हुए एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ

तो, गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

जिसे श्रृंखला (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

परिणामी श्रृंखला कहलाती है टेलर के बगल मेंसमारोह के लिए
.

इस प्रकार, हमने इसे स्थापित किया है यदि फ़ंक्शन को घातों (x - x) में घात श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है 0 ), तो यह विस्तार अद्वितीय है और परिणामी श्रृंखला आवश्यक रूप से एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है जिसमें बिंदु पर किसी भी क्रम का व्युत्पन्न होता है एक्स = एक्स 0 . लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि फ़ंक्शन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिह्न रखा जा सकता है, अर्थात। कि श्रृंखला का योग मूल फलन के बराबर है। सबसे पहले, ऐसी समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला भिन्न हो सकती है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल फ़ंक्शन के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2. टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ

आइए एक कथन तैयार करें जिसकी सहायता से कार्य हल हो जाएगा।

यदि फ़ंक्शन
बिंदु x के किसी पड़ोस में 0 तक डेरिवेटिव हैं (एन+ 1) आदेश समावेशी, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैFORMULAटेलर

कहाँआर एन (एक्स)-टेलर सूत्र के शेष पद का रूप है (लैग्रेंज रूप)

कहाँ डॉटξ x और x के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र के बीच अंतर है: टेलर सूत्र एक सीमित योग है, अर्थात। पी -निर्धारित अंक।

श्रृंखला के उस योग को याद करें एस(एक्स) इसे आंशिक योगों के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस एन (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार, किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का मतलब किसी के लिए ऐसी श्रृंखला ढूंढना है एक्सएक्स

आइए टेलर के सूत्र को इस रूप में लिखें

ध्यान दें कि
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करता है एफ(एक्स) बहुपद एस एन (एक्स).

अगर
, वह
,वे। फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है। इसके विपरीत, यदि
, वह
.

इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया टेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटितता के लिए मानदंड।

समारोह के लिएएफ(x) टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है, इस अंतराल पर यह आवश्यक और पर्याप्त है
, कहाँआर एन (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष पद है।

तैयार किए गए मानदंड का उपयोग करके, कोई भी प्राप्त कर सकता है पर्याप्तटेलर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x का कुछ पड़ोस 0 फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के निरपेक्ष मान समान संख्या M तक सीमित हैं≥ 0, यानी

, टीo इस पड़ोस में फ़ंक्शन टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है।

ऊपर से यह इस प्रकार है एल्गोरिदमकार्य विस्तारएफ(एक्स) टेलर श्रृंखला मेंएक बिंदु के आसपास एक्स 0 :

1. फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न ढूँढना एफ(एक्स):

एफ(एक्स), एफ'(एक्स), एफ"(एक्स), एफ'"(एक्स), एफ (एन) (एक्स),…

2. बिंदु पर फ़ंक्शन के मान और उसके डेरिवेटिव के मान की गणना करें एक्स 0

एफ(एक्स 0 ), एफ'(एक्स 0 ), एफ”(एक्स 0 ), एफ''(x 0 ), एफ (एन) (एक्स 0 ),…

3. हम औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला लिखते हैं और परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ढूंढते हैं।

4. हम पर्याप्त शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं, अर्थात। जिसके लिए हम स्थापित करते हैं एक्सअभिसरण क्षेत्र से, शेष पद आर एन (एक्स) के रूप में शून्य हो जाता है
या
.

इस एल्गोरिथम का उपयोग करके टेलर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार को कहा जाता है परिभाषा के अनुसार किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला में विस्तारया प्रत्यक्ष अपघटन.

"फ़ंक्शन f(x) का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें" - यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा उच्च गणित में कार्य लगता है, जिसे कुछ छात्र कर सकते हैं, जबकि अन्य उदाहरणों का सामना नहीं कर सकते। शक्तियों में एक श्रृंखला का विस्तार करने के कई तरीके हैं; यहां हम मैकलॉरिन श्रृंखला में कार्यों का विस्तार करने की एक तकनीक देंगे। किसी श्रृंखला में कोई फ़ंक्शन विकसित करते समय, आपको डेरिवेटिव की गणना करने में अच्छा होना चाहिए।

उदाहरण 4.7 किसी फ़ंक्शन को x की घातों में विस्तृत करें

गणना: हम फ़ंक्शन का विस्तार मैकलॉरिन सूत्र के अनुसार करते हैं। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन के हर को एक श्रृंखला में विस्तारित करें

अंत में, विस्तार को अंश से गुणा करें।
पहला पद शून्य f (0) = 1/3 पर फ़ंक्शन का मान है।
आइए पहले और उच्च क्रम f (x) के फ़ंक्शन के डेरिवेटिव और बिंदु x=0 पर इन डेरिवेटिव का मान खोजें




इसके बाद, 0 पर डेरिवेटिव के मान में परिवर्तन के पैटर्न के आधार पर, हम nवें डेरिवेटिव के लिए सूत्र लिखते हैं

इसलिए, हम हर को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार के रूप में दर्शाते हैं

हम अंश-गणक से गुणा करते हैं और x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है।
सभी प्रमुख बिंदुडेरिवेटिव की गणना करने और शून्य पर उच्च-क्रम डेरिवेटिव के मूल्य को तुरंत सामान्यीकृत करने की क्षमता पर आधारित हैं। निम्नलिखित उदाहरण आपको यह सीखने में मदद करेंगे कि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रृंखला में शीघ्रता से कैसे व्यवस्थित किया जाए।

उदाहरण 4.10 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, हम कोसाइन को अंश में एक श्रृंखला में रखेंगे। ऐसा करने के लिए, आप अपरिमित मात्राओं के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, या डेरिवेटिव के माध्यम से कोसाइन विस्तार प्राप्त कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, हम x की घातों में निम्नलिखित श्रृंखला पर पहुँचते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास न्यूनतम गणनाएं और श्रृंखला विस्तार का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण 4.16 x की घातों में एक फ़ंक्शन का विस्तार करें:
7/(12-x-x^2)
गणना: इस प्रकार के उदाहरणों में, साधारण भिन्नों के योग के माध्यम से भिन्न का विस्तार करना आवश्यक है।
हम अभी यह नहीं दिखाएंगे कि यह कैसे करना है, लेकिन अनिश्चित गुणांकों की सहायता से हम भिन्नों के योग पर पहुंचेंगे।
आगे हम हरों को घातांकीय रूप में लिखते हैं

मैकलॉरिन सूत्र का उपयोग करके शर्तों का विस्तार करना बाकी है। "x" की समान घातों पर पदों का योग करके, हम एक श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के सामान्य पद के लिए एक सूत्र बनाते हैं



शुरुआत में श्रृंखला में संक्रमण के अंतिम भाग को लागू करना मुश्किल है, क्योंकि युग्मित और अयुग्मित सूचकांकों (डिग्री) के लिए सूत्रों को संयोजित करना मुश्किल है, लेकिन अभ्यास के साथ आप इसमें बेहतर हो जाएंगे।

उदाहरण 4.18 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें

गणना: आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए मैकलेरन के सूत्रों में से एक का उपयोग करके फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करें:

हम श्रृंखला का योग प्रत्येक पद के आधार पर इस तथ्य के आधार पर करते हैं कि दोनों बिल्कुल समान हैं। पूरी श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत करने के बाद, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करते हैं

विस्तार की अंतिम दो पंक्तियों के बीच एक संक्रमण होता है जिसमें शुरुआत में आपका काफी समय लगेगा। किसी श्रृंखला सूत्र को सामान्य बनाना हर किसी के लिए आसान नहीं है, इसलिए एक अच्छा, संक्षिप्त सूत्र प्राप्त न कर पाने के बारे में चिंता न करें।

उदाहरण 4.28 फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार खोजें:

आइए लघुगणक को इस प्रकार लिखें

मैकलॉरिन के सूत्र का उपयोग करके, हम x की शक्तियों में एक श्रृंखला में लघुगणक फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं

अंतिम कनवल्शन पहली नज़र में जटिल है, लेकिन संकेतों को बदलने पर आपको हमेशा कुछ समान मिलेगा। एक पंक्ति में कार्यों को शेड्यूल करने के विषय पर इनपुट पाठ पूरा हो गया है। दूसरे भी कम नहीं दिलचस्प योजनाएंनिम्नलिखित सामग्रियों में अपघटन पर विस्तार से चर्चा की जाएगी।

किसी वेबसाइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा काम करेगा), लेकिन नैतिक रूप से यह पहले से ही पुराना हो चुका है।

यदि आप अपनी साइट पर लगातार गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप MathJax का उपयोग करें - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो प्रदर्शित करती है गणितीय संकेतन MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को कॉपी करके आपके वेब पेज के कोड में पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण एक निश्चित नियम के अनुसार किया जाता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा ही करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

व्यावहारिक कौशल के प्रशिक्षण के लिए एक साइट पर टेलर, मैकलॉरिन और लॉरेंट श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार। किसी फ़ंक्शन का यह श्रृंखला विस्तार गणितज्ञों को इसकी परिभाषा के क्षेत्र में किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के अनुमानित मूल्य का अनुमान लगाने की अनुमति देता है। ब्रेडिस तालिका का उपयोग करने की तुलना में ऐसे फ़ंक्शन मान की गणना करना बहुत आसान है, जो कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के युग में बहुत अप्रासंगिक है। किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का अर्थ है इस श्रृंखला के रैखिक कार्यों के गुणांक की गणना करना और इसे इसमें लिखना सही फार्म. छात्र इन दोनों श्रृंखलाओं को भ्रमित करते हैं, समझ नहीं पाते कि सामान्य मामला क्या है और दूसरे का विशेष मामला क्या है। हम आपको एक बार और हमेशा के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला की याद दिलाते हैं - विशेष मामलाटेलर श्रृंखला, यानी, यह टेलर श्रृंखला है, लेकिन बिंदु x = 0 पर। प्रसिद्ध कार्यों के विस्तार के लिए सभी संक्षिप्त प्रविष्टियाँ, जैसे कि e^x, SIN(x), Cos(x) और अन्य, टेलर श्रृंखला विस्तार हैं, लेकिन तर्क के लिए बिंदु 0 पर। एक जटिल तर्क के कार्यों के लिए, लॉरेंट श्रृंखला टीएफसीटी में सबसे आम समस्या है, क्योंकि यह दो-तरफा अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। यह दो श्रृंखलाओं का योग है. हमारा सुझाव है कि आप सीधे वेबसाइट पर अपघटन का एक उदाहरण देखें; किसी भी संख्या के साथ "उदाहरण" और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करके ऐसा करना बहुत आसान है। यह वास्तव में एक फ़ंक्शन का एक श्रृंखला में विस्तार है जो एक प्रमुख श्रृंखला से जुड़ा हुआ है जो मूल फ़ंक्शन को ऑर्डिनेट अक्ष के साथ एक निश्चित क्षेत्र में सीमित करता है यदि चर एब्सिस्सा क्षेत्र से संबंधित है। वेक्टर विश्लेषण की तुलना गणित के एक अन्य दिलचस्प अनुशासन से की जाती है। चूँकि प्रत्येक शब्द की जांच की आवश्यकता होती है, इस प्रक्रिया में काफी समय की आवश्यकता होती है। किसी भी टेलर श्रृंखला को x0 को शून्य से प्रतिस्थापित करके मैकलॉरिन श्रृंखला के साथ जोड़ा जा सकता है, लेकिन मैकलॉरिन श्रृंखला के लिए कभी-कभी टेलर श्रृंखला को विपरीत रूप से प्रस्तुत करना स्पष्ट नहीं होता है। मानो इसे इसके शुद्ध रूप में करने की आवश्यकता नहीं है, यह सामान्य आत्म-विकास के लिए दिलचस्प है। प्रत्येक लॉरेंट श्रृंखला पूर्णांकों में दो-तरफा अनंत शक्ति श्रृंखला से मेल खाती है शक्तियाँ z-a, दूसरे शब्दों में, समान टेलर प्रकार की एक श्रृंखला, लेकिन गुणांक की गणना में थोड़ा भिन्न। हम कई सैद्धांतिक गणनाओं के बाद, लॉरेंट श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे। पिछली शताब्दी की तरह, किसी फ़ंक्शन का श्रृंखला में चरण-दर-चरण विस्तार केवल शब्दों को एक सामान्य हर में लाकर आसानी से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि हर में फ़ंक्शन अरेखीय होते हैं। समस्याओं के निरूपण के लिए कार्यात्मक मूल्य की अनुमानित गणना की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बारे में सोचें कि जब टेलर श्रृंखला का तर्क एक रैखिक चर होता है, तो विस्तार कई चरणों में होता है, लेकिन तस्वीर पूरी तरह से अलग होती है जब विस्तारित किए जा रहे फ़ंक्शन का तर्क एक जटिल या गैर-रैखिक फ़ंक्शन होता है, तो प्रक्रिया पावर श्रृंखला में ऐसे फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना स्पष्ट है, क्योंकि, इस प्रकार, परिभाषा क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, अनुमानित मूल्य के बावजूद, न्यूनतम त्रुटि के साथ गणना करना आसान है जिसका आगे की गणना पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है। यह मैकलॉरिन श्रृंखला पर भी लागू होता है। जब शून्य बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक हो। हालाँकि, लॉरेंट श्रृंखला को यहाँ काल्पनिक इकाइयों के साथ समतल विस्तार द्वारा दर्शाया गया है। यह भी सफलता के बिना नहीं होगा सही निर्णयसमग्र प्रक्रिया के दौरान कार्य। यह दृष्टिकोण गणित में ज्ञात नहीं है, लेकिन यह वस्तुनिष्ठ रूप से मौजूद है। परिणामस्वरूप, आप तथाकथित बिंदुवार उपसमुच्चय के निष्कर्ष पर आ सकते हैं, और किसी श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार में आपको इस प्रक्रिया के लिए ज्ञात विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि डेरिवेटिव के सिद्धांत का अनुप्रयोग। एक बार फिर हम आश्वस्त हैं कि शिक्षक सही थे, जिन्होंने कम्प्यूटेशनल गणना के परिणामों के बारे में अपनी धारणाएँ बनाईं। आइए ध्यान दें कि गणित के सभी सिद्धांतों के अनुसार प्राप्त टेलर श्रृंखला मौजूद है और संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित है, हालांकि, साइट सेवा के प्रिय उपयोगकर्ता, मूल फ़ंक्शन के प्रकार को न भूलें, क्योंकि यह खराब हो सकता है प्रारंभ में फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को स्थापित करना आवश्यक है, अर्थात, उन बिंदुओं को लिखना और आगे के विचार से बाहर करना जिन पर फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में परिभाषित नहीं है। यूं कहें तो यह समस्या को सुलझाने में आपकी दक्षता को दर्शाएगा। शून्य तर्क मान के साथ मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण जो कहा गया है उसका अपवाद नहीं होगा। किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने की प्रक्रिया को किसी ने रद्द नहीं किया है, और आपको इस गणितीय ऑपरेशन को पूरी गंभीरता से लेना चाहिए। मुख्य भाग वाली लॉरेंट श्रृंखला के मामले में, पैरामीटर "ए" को एक पृथक एकवचन बिंदु कहा जाएगा, और लॉरेंट श्रृंखला को एक रिंग में विस्तारित किया जाएगा - यह इसके भागों के अभिसरण के क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है, इसलिए संगत प्रमेय का अनुसरण करेगा। लेकिन सब कुछ उतना जटिल नहीं है जितना एक अनुभवहीन छात्र को पहली नज़र में लग सकता है। टेलर श्रृंखला का अध्ययन करने के बाद, आप लॉरेंट श्रृंखला को आसानी से समझ सकते हैं - संख्याओं के स्थान के विस्तार के लिए एक सामान्यीकृत मामला। किसी फ़ंक्शन का कोई भी श्रृंखला विस्तार केवल फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में एक बिंदु पर ही किया जा सकता है। कार्यों के गुणों जैसे आवधिकता या अनंत भिन्नता को ध्यान में रखा जाना चाहिए। हमारा यह भी सुझाव है कि आप प्राथमिक कार्यों के तैयार टेलर श्रृंखला विस्तार की तालिका का उपयोग करें, क्योंकि एक फ़ंक्शन को दर्जनों विभिन्न पावर श्रृंखलाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसा कि हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करके देखा जा सकता है। ऑनलाइन श्रृंखलामैकलॉरिन का निर्धारण करना नाशपाती के छिलके जितना आसान है, यदि आप साइट की अनूठी सेवा का उपयोग करते हैं, तो आपको बस सही लिखित फ़ंक्शन दर्ज करना होगा और आपको प्रस्तुत उत्तर कुछ ही सेकंड में प्राप्त हो जाएगा, यह सटीक और एक मानक में होने की गारंटी होगी लिखित रूप. आप शिक्षक को प्रस्तुत करने के लिए परिणाम को सीधे एक साफ प्रति में कॉपी कर सकते हैं। पहले रिंगों में प्रश्न में फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता निर्धारित करना सही होगा, और फिर स्पष्ट रूप से बताएं कि यह ऐसे सभी रिंगों में लॉरेंट श्रृंखला में विस्तार योग्य है। यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री पर से नज़र न हटे नकारात्मक शक्तियांलॉरेंट श्रृंखला के सदस्य। जितना हो सके इसी पर फोकस करें. पूर्णांक घातों में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर लॉरेंट के प्रमेय का अच्छा उपयोग करें।

16.1. टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला में प्राथमिक कार्यों का विस्तार

आइए हम दिखाते हैं कि यदि किसी सेट पर एक मनमाना फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है
, बिंदु के आसपास के क्षेत्र में
इसके कई व्युत्पन्न हैं और यह एक घात श्रृंखला का योग है:

तो आप इस श्रृंखला के गुणांक पा सकते हैं।

आइए एक शक्ति श्रृंखला में स्थानापन्न करें
. तब
.

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें
:

पर
:
.

दूसरे व्युत्पन्न के लिए हमें मिलता है:

पर
:
.

यह प्रक्रिया जारी है एनएक बार हमें मिल जाए:
.

इस प्रकार, हमें फॉर्म की एक शक्ति श्रृंखला प्राप्त हुई:

,

जिसे कहा जाता है टेलर के बगल मेंसमारोह के लिए
बिंदु के आसपास
.

टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है मैकलॉरिन श्रृंखलापर
:

टेलर (मैकलॉरिन) श्रृंखला का शेष भाग मुख्य श्रृंखला को हटाकर प्राप्त किया जाता है एनपहले सदस्यों और के रूप में दर्शाया गया है
. फिर फ़ंक्शन
योग के रूप में लिखा जा सकता है एनश्रृंखला के पहले सदस्य
और शेष
:,

.

शेष सामान्यतः होता है
विभिन्न सूत्रों में व्यक्त किया गया है।

उनमें से एक लैग्रेंज रूप में है:

, कहाँ
.
.

ध्यान दें कि व्यवहार में मैकलॉरिन श्रृंखला का अधिक बार उपयोग किया जाता है। इस प्रकार, फ़ंक्शन लिखने के लिए
घात श्रृंखला योग के रूप में यह आवश्यक है:

1) मैकलॉरिन (टेलर) श्रृंखला के गुणांक ज्ञात करें;

2) परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें;

3) सिद्ध करें कि यह श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है
.

प्रमेय 1 (मैकलॉरिन श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। माना श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या
. इस श्रृंखला को अंतराल में अभिसरण करने के लिए
कार्य करने के लिए
शर्त पूरी होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है:
निर्दिष्ट अंतराल में.

प्रमेय 2. यदि किसी फ़ंक्शन के किसी क्रम का व्युत्पन्न
कुछ अंतराल में
निरपेक्ष मान में समान संख्या तक सीमित एम, वह है
, फिर इस अंतराल में फ़ंक्शन
मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है।

उदाहरण 1. बिंदु के चारों ओर टेलर श्रृंखला में विस्तार करें
समारोह।

समाधान।

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

अभिसरण क्षेत्र
.

उदाहरण 2. किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास
.

समाधान:

फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

आइए इन मानों को एक पंक्ति में रखें। हम पाते हैं:

या
.

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात करें। डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण के अनुसार, एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि

.

इसलिए, किसी के लिए यह सीमा 1 से कम है, और इसलिए श्रृंखला के अभिसरण की सीमा होगी:
.

आइए बुनियादी प्राथमिक कार्यों के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार के कई उदाहरणों पर विचार करें। मैकलॉरिन श्रृंखला को याद करें:

.

अंतराल पर एकत्रित होता है
कार्य करने के लिए
.

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए यह आवश्यक है:

ए) इस फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला के गुणांक खोजें;

बी) परिणामी श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या की गणना करें;

ग) साबित करें कि परिणामी श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
.

उदाहरण 3. फ़ंक्शन पर विचार करें
.

समाधान।

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान की गणना करें
.

तब श्रृंखला के संख्यात्मक गुणांक का रूप होता है:

किसी के लिए भी एन।आइए पाए गए गुणांकों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

आइए हम परिणामी श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें, अर्थात्:

.

इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
.

यह शृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है किसी भी मान के लिए , क्योंकि किसी भी अंतराल पर
समारोह और निरपेक्ष मूल्य में इसके व्युत्पन्न संख्या द्वारा सीमित हैं .

उदाहरण 4. फ़ंक्शन पर विचार करें
.

समाधान.

:

यह देखना आसान है कि व्युत्पन्न सम क्रम का है
, और व्युत्पन्न विषम क्रम के हैं। आइए हम पाए गए गुणांकों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और विस्तार प्राप्त करें:

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण का अंतराल ज्ञात करें। डी'एलेम्बर्ट के संकेत के अनुसार:

किसी के लिए भी . इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
.

यह शृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
, क्योंकि इसके सभी व्युत्पन्न एकता तक ही सीमित हैं।

उदाहरण 5.
.

समाधान।

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
:

इस प्रकार, इस श्रृंखला के गुणांक:
और
, इस तरह:

पिछली पंक्ति के समान, अभिसरण का क्षेत्र
. श्रृंखला फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है
, क्योंकि इसके सभी व्युत्पन्न एकता तक ही सीमित हैं।

कृपया ध्यान दें कि फ़ंक्शन
विषम शक्तियों में विषम और श्रृंखला विस्तार, कार्य
- सम और सम घातों में एक श्रृंखला में विस्तार।

उदाहरण 6. द्विपद श्रृंखला:
.

समाधान.

आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव का मान ज्ञात करें
:

इससे यह देखा जा सकता है कि:

आइए हम इन गुणांक मानों को मैकलॉरिन श्रृंखला में प्रतिस्थापित करें और इस फ़ंक्शन का पावर श्रृंखला में विस्तार प्राप्त करें:

आइए इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें:

इसलिए, श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
. सीमित बिंदुओं पर
और
घातांक के आधार पर कोई श्रृंखला अभिसरित हो भी सकती है और नहीं भी
.

अध्ययन की गई श्रृंखला अंतराल पर अभिसरण करती है
कार्य करने के लिए
, अर्थात् श्रृंखला का योग
पर
.

उदाहरण 7. आइए मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें
.

समाधान।

इस फ़ंक्शन को एक श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, हम द्विपद श्रृंखला का उपयोग करते हैं
. हम पाते हैं:

शक्ति श्रृंखला की संपत्ति के आधार पर (एक शक्ति श्रृंखला को इसके अभिसरण के क्षेत्र में एकीकृत किया जा सकता है), हम इस श्रृंखला के बाएं और दाएं पक्षों का अभिन्न अंग पाते हैं:

आइये इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र ज्ञात करें:
,

अर्थात् इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र अंतराल है
.

. यह शृंखला एक सामंजस्यपूर्ण शृंखला है, अर्थात विचलन करती है। पर
हमें एक सामान्य पद वाली एक संख्या श्रृंखला मिलती है
.

श्रृंखला लीबनिज़ के परीक्षण के अनुसार अभिसरण करती है। इस प्रकार, इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र अंतराल है
.

16.2. अनुमानित गणना में शक्ति श्रृंखला का अनुप्रयोग

अनुमानित गणना में, शक्ति श्रृंखला अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उनकी सहायता से, त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएँ, लघुगणक की तालिकाएँ, अन्य कार्यों के मूल्यों की तालिकाएँ संकलित की गई हैं, जिनका उपयोग ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों में। इसके अलावा, कार्यों का एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार उनके सैद्धांतिक अध्ययन के लिए उपयोगी है। अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का उपयोग करते समय मुख्य मुद्दा श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग के साथ प्रतिस्थापित करते समय त्रुटि का अनुमान लगाने का मुद्दा है एनसदस्य.

आइए दो मामलों पर विचार करें:

फ़ंक्शन को संकेत-प्रत्यावर्ती श्रृंखला में विस्तारित किया गया है;

फ़ंक्शन को स्थिर चिह्न की एक श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।

वैकल्पिक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

कार्य करने दो
एक वैकल्पिक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित। फिर किसी विशिष्ट मान के लिए इस फ़ंक्शन की गणना करते समय हमें एक संख्या श्रृंखला प्राप्त होती है जिस पर हम लाइबनिज़ मानदंड लागू कर सकते हैं। इस मानदंड के अनुसार, यदि किसी श्रृंखला के योग को उसके पहले के योग से बदल दिया जाए एनशर्तें, तो पूर्ण त्रुटि इस श्रृंखला के शेष के पहले पद से अधिक नहीं है, अर्थात:
.

उदाहरण 8. गणना
0.0001 की सटीकता के साथ।

समाधान.

हम मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करेंगे
, कोण मान को रेडियन में प्रतिस्थापित करने पर:

यदि हम दी गई सटीकता के साथ श्रृंखला के पहले और दूसरे शब्दों की तुलना करते हैं, तो:।

विस्तार का तीसरा कार्यकाल:

निर्दिष्ट गणना सटीकता से कम। इसलिए, गणना करने के लिए
यह श्रृंखला के दो पदों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है, अर्थात्

.

इस प्रकार
.

उदाहरण 9. गणना
0.001 की सटीकता के साथ.

समाधान.

हम द्विपद श्रृंखला सूत्र का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए लिखें
प्रपत्र में:
.

इस अभिव्यक्ति में
,

आइए श्रृंखला के प्रत्येक पद की निर्दिष्ट सटीकता के साथ तुलना करें। यह तो स्पष्ट है
. इसलिए, गणना करने के लिए
यह श्रृंखला के तीन पदों को छोड़ने के लिए पर्याप्त है।

या
.

सकारात्मक श्रृंखला का उपयोग करके गणना

उदाहरण 10. संख्या की गणना करें 0.001 की सटीकता के साथ.

समाधान.

किसी समारोह के लिए एक पंक्ति में
आइए स्थानापन्न करें
. हम पाते हैं:

आइए उस त्रुटि का अनुमान लगाएं जो किसी श्रृंखला के योग को पहली श्रृंखला के योग से प्रतिस्थापित करने पर उत्पन्न होती है सदस्य. आइए हम स्पष्ट असमानता को लिखें:

वह 2 है