Metode reševanja trigonometričnih neenačb. Reševanje preprostih trigonometričnih neenačb
1.5 Trigonometrične neenačbe in metode za njihovo reševanje
1.5.1 Reševanje preprostih trigonometričnih neenačb
Večina avtorjev sodobnih matematičnih učbenikov predlaga začetek obravnave te teme z reševanjem najpreprostejših trigonometričnih neenakosti. Načelo reševanja najpreprostejših trigonometričnih neenakosti temelji na znanju in veščinah določanja ne le osnovnih vrednosti na trigonometričnem krogu. trigonometrični koti, temveč tudi druge pomene.
Medtem pa lahko rešitev neenačb oblike , , , izvedemo takole: najprej najdemo nek interval (), na katerem je ta neenakost izpolnjena, nato pa končni odgovor zapišemo tako, da na konce najdenega intervala dodamo a število, ki je večkratnik periode sinusa ali kosinusa: ( 
). V tem primeru je vrednost enostavno najti, ker ali . Iskanje smisla temelji na intuiciji učencev, njihovi sposobnosti zaznavanja enakosti lokov ali odsekov, izkoriščanju simetrije posameznih delov sinusnega ali kosinusnega grafa. In to je lepo veliko število učenci tega včasih ne zmorejo. Da bi premagali opažene težave v učbenikih v Zadnja leta za reševanje najenostavnejših trigonometričnih neenačb so bili uporabljeni različni pristopi, ki pa niso prinesli izboljšav učnih rezultatov.
Že vrsto let precej uspešno uporabljamo formule za korene ustreznih enačb za iskanje rešitev trigonometričnih neenačb.
To temo preučujemo na naslednji način:
1. Gradimo grafe in y = a ob predpostavki, da .
Nato zapišemo enačbo in njeno rešitev. Podajanje n 0; 1; 2, najdemo tri korenine sestavljene enačbe: . Vrednosti so abscisa treh zaporednih točk presečišča grafov in y = a. Očitno je, da neenakost vedno velja na intervalu (), neenakost pa vedno velja na intervalu ().
Če na konce teh intervalov dodamo število, ki je večkratnik periode sinusa, v prvem primeru dobimo rešitev neenačbe v obliki: ; v drugem primeru pa rešitev neenačbe v obliki:
Le v nasprotju s sinusom iz formule, ki je rešitev enačbe, dobimo za n = 0 dva korena, tretji koren za n = 1 pa v obliki 
. In spet so tri zaporedne abscise presečišč grafov in . V intervalu () velja neenakost, v intervalu () neenakost
Zdaj ni težko zapisati rešitve neenačb in . V prvem primeru dobimo: ;
in v drugem: .
Povzemite. Če želite rešiti neenačbo ali, morate sestaviti ustrezno enačbo in jo rešiti. Iz dobljene formule poiščite korenine in , odgovor na neenakost pa zapišite v obliki: .
Pri reševanju neenačb iz formule za korene ustrezne enačbe poiščemo korena in , odgovor na neenačbo pa zapišemo v obliki: .
Ta tehnika vam omogoča, da vse študente naučite reševanja trigonometričnih neenakosti, ker Ta tehnika se v celoti opira na veščine, ki jih učenci dobro obvladajo. To so spretnosti za reševanje preprostih problemov in iskanje vrednosti spremenljivke s pomočjo formule. Poleg tega skrbno reševanje pod vodstvom učitelja postane popolnoma nepotrebno. velika količina vaje za prikaz vseh vrst tehnik sklepanja glede na predznak neenakosti, vrednost modula števila a in njegov predznak. In sam proces reševanja neenakosti postane kratek in, kar je zelo pomembno, enoten.
Še ena prednost ta metoda je, da vam omogoča enostavno reševanje neenakosti, tudi če desna stran ni tabelarna vrednost sinusa ali kosinusa.
Pokažimo to s konkretnim primerom. Recimo, da moramo rešiti neenačbo. Ustvarimo ustrezno enačbo in jo rešimo:
Poiščimo vrednosti in .
Ko je n = 1 
Ko je n = 2 
Končni odgovor na to neenakost zapišemo:
V obravnavanem primeru reševanja najpreprostejših trigonometričnih neenakosti je lahko le ena pomanjkljivost - prisotnost določene količine formalizma. Toda če se vse oceni samo s teh stališč, potem bo mogoče korenske formule obtožiti formalizma kvadratna enačba, in vse formule rešitev trigonometrične enačbe, in veliko več.
Čeprav predlagana metoda zavzema vredno mesto pri oblikovanju veščin pri reševanju trigonometričnih neenakosti, ni mogoče podcenjevati pomena in značilnosti drugih metod za reševanje trigonometričnih neenakosti. Ti vključujejo intervalno metodo.
Razmislimo o njegovem bistvu.
Komplet uredil A.G. Mordkovich, čeprav ne smete zanemariti niti preostalih učbenikov. § 3. Metodologija poučevanja teme "Trigonometrične funkcije" v tečaju algebre in začetki analize Pri študiju trigonometričnih funkcij v šoli lahko ločimo dve glavni stopnji: ü Začetno seznanitev s trigonometričnimi funkcijami ...
Med raziskavo so bile rešene naslednje naloge: 1) Analizirani so bili aktualna algebra in osnovni učbeniki. matematična analiza prepoznati v njih predstavljene metode reševanja iracionalne enačbe in neenakosti. Analiza nam omogoča naslednje zaključke: ·v srednji šoli se premalo pozornosti posveča metodam reševanja različnih iracionalnih enačb, predvsem...
Neenakosti, ki vsebujejo trigonometrične funkcije, ko jih rešimo, reduciramo na najpreprostejše neenačbe oblike cos(t)>a, sint(t)=a in podobne. In že so najpreprostejše neenakosti rešene. Poglejmo si različni primeri načini reševanja preprostih trigonometričnih neenakosti.
Primer 1. Rešite neenačbo sin(t) > = -1/2.
Nariši enotski krog. Ker je sin(t) po definiciji koordinata y, označimo točko y = -1/2 na osi Oy. Skozenj potegnemo premico vzporedno z osjo Ox. Na presečišču premice z grafom enotskega kroga označimo točki Pt1 in Pt2. Izhodišče koordinat povežemo s točkama Pt1 in Pt2 z dvema odsekoma.
Rešitev te neenakosti bodo vse točke enotskega kroga, ki se nahajajo nad temi točkami. Z drugimi besedami, rešitev bo lok l Sedaj je treba navesti pogoje, pod katerimi bo poljubna točka pripadala loku l.
Pt1 leži v desnem polkrogu, njegova ordinata je -1/2, potem je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Za opis točke Pt1 lahko zapišete naslednjo formulo:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kot rezultat dobimo naslednjo neenakost za t:
Ohranjamo neenakosti. In ker je sinusna funkcija periodična, to pomeni, da se bodo rešitve ponovile vsakih 2*pi. Ta pogoj dodamo dobljeni neenakosti za t in zapišemo odgovor.
Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Primer 2. Rešite cos(t) neenačbo<1/2.
Narišimo enotski krog. Ker je po definiciji cos(t) koordinata x, na grafu na osi Ox označimo točko x = 1/2.
Skozi to točko narišemo premico vzporedno z osjo Oy. Na presečišču premice z grafom enotskega kroga označimo točki Pt1 in Pt2. Izhodišče koordinat povežemo s točkama Pt1 in Pt2 z dvema odsekoma.
Rešitve bodo vse točke enotskega kroga, ki pripadajo loku l. Poiščimo točki t1 in t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dobili smo neenakost za t: pi/3 Ker je kosinus periodična funkcija, se bodo rešitve ponovile vsakih 2*pi. Ta pogoj dodamo dobljeni neenakosti za t in zapišemo odgovor. Odgovor: pi/3+2*pi*n Primer 3. Rešite neenačbo tg(t)< = 1. Perioda tangente je enaka pi. Poiščimo rešitve, ki pripadajo intervalu (-pi/2;pi/2) desni polkrog. Nato s pomočjo periodičnosti tangente zapišemo vse rešitve te neenačbe. Narišimo enotski krog in na njem označimo tangento. Če je t rešitev neenačbe, mora biti ordinata točke T = tg(t) manjša ali enaka 1. Množica takih točk bo sestavljala žarek AT. Množica točk Pt, ki bodo ustrezale točkam tega žarka, je lok l. Poleg tega točka P(-pi/2) ne pripada temu loku. Algoritem za reševanje enostavnih trigonometričnih neenačb in prepoznavanje metod za reševanje trigonometričnih neenačb. Učitelji najvišje kvalifikacijske kategorije: Širko F.M. str. Napredek, MOBU-SOSH št. 6 Sankina L.S. Armavir, zasebna srednja šola "Nova pot" Univerzalnih metod za poučevanje naravoslovnih in matematičnih disciplin ni. Vsak učitelj najde svoje načine poučevanja, ki so sprejemljivi le zanj. Naše dolgoletne izkušnje s poučevanjem kažejo, da učenci lažje usvajajo snov, ki zahteva koncentracijo in zadrževanje velike količine informacij v spominu, če jih že na začetni stopnji učenja kompleksne teme naučimo uporabljati algoritme pri svojih dejavnostih. Takšna tema je po našem mnenju tema reševanja trigonometričnih neenačb. Preden torej z učenci začnemo prepoznavati tehnike in metode za reševanje trigonometričnih neenačb, vadimo in utrdimo algoritem za reševanje najenostavnejših trigonometričnih neenačb. Algoritem za reševanje preprostih trigonometričnih neenačb
Označite točke na ustrezni osi ( Za
greh
x– os OA, zacos
x– os OX) Na os obnovimo pravokotnico, ki bo sekala krožnico v dveh točkah. Prva točka na krožnici je točka, ki po definiciji pripada intervalu območja ločne funkcije. Začenši od označene točke, zasenčite lok kroga, ki ustreza zasenčenemu delu osi. Posebno pozornost namenjamo smeri obvoza. Če prečkanje poteka v smeri urinega kazalca (tj. obstaja prehod skozi 0), bo druga točka na krogu negativna, v nasprotni smeri urinega kazalca pa pozitivna. Odgovor zapišemo v obliki intervala, pri čemer upoštevamo periodičnost funkcije. Oglejmo si delovanje algoritma na primerih.
1)
greh
≥ 1/2;
rešitev: Upodabljamo enotski krog.; Označimo točko ½ na OU osi. Obnovimo pravokotno na os, ki krožnico seka v dveh točkah. Z definicijo arkusina najprej opazimo točka π/6. Osenčite del osi, ki ustreza dana neenakost, nad točko ½. Osenčite lok kroga, ki ustreza osenčenemu delu osi. Prehod poteka v nasprotni smeri urinega kazalca, dobimo točko 5π/6. Odgovor zapišemo v obliki intervala, pri čemer upoštevamo periodičnost funkcije; odgovor:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z. Najenostavnejšo neenačbo rešimo z enakim algoritmom, če zapis odgovora ne vsebuje vrednosti tabele. Učenci pri reševanju neenačb na tabli pri prvih učnih urah glasno recitirajo vsak korak algoritma. 2) 5
cos
x
– 1 ≥ 0;
R 5 cos x – 1 ≥ 0; cos
x ≥ 1/5; Nariši enotski krog. Na OX osi označimo točko s koordinato 1/5. Obnavljamo pravokotnico os, ki seka krog v dveh točkah. Prva točka na krožnici je točka, ki po definiciji pripada intervalu območja ark kosinusa (0;π). Osenčimo del osi, ki ustreza tej neenakosti. Začenši s podpisano točko
arccos 1/5, zasenčite lok kroga, ki ustreza zasenčenemu delu osi. Prehod poteka v smeri urinega kazalca (tj. obstaja prehod skozi 0), kar pomeni, da bo druga točka na krogu negativna - arccos 1/5. Odgovor zapišemo v obliki intervala, pri čemer upoštevamo periodičnost funkcije, od manjše vrednosti k večji. odgovor: x [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z. Izboljšanje sposobnosti reševanja trigonometričnih neenačb olajšajo naslednja vprašanja: »Kako bomo rešili skupino neenačb?«; “Kako se ena neenakost razlikuje od druge?”; "Kako je ena neenakost podobna drugi?"; Kako bi se odgovor spremenil, če bi bila dana stroga neenakost?"; Kako bi se spremenil odgovor, če bi namesto znaka "" bil znak " Naloga analize seznama neenakosti z vidika metod za njihovo reševanje vam omogoča, da vadite njihovo prepoznavanje. Učenci dobijo neenačbe, ki jih morajo rešiti v razredu. vprašanje: Označite neenačbe, ki zahtevajo uporabo ekvivalentnih transformacij pri redukciji trigonometrične neenačbe na njeno najpreprostejšo obliko? Odgovori 1, 3, 5. vprašanje: Katere so neenakosti, pri katerih morate kompleksen argument obravnavati kot preprostega? odgovor: 1, 2, 3, 5, 6. vprašanje: Za katere neenakosti je mogoče uporabiti trigonometrične formule? odgovor: 2, 3, 6. vprašanje: Poimenujte neenačbe, kjer lahko uporabimo metodo vnosa nove spremenljivke? odgovor: 6. Naloga analize seznama neenakosti z vidika metod za njihovo reševanje vam omogoča, da vadite njihovo prepoznavanje. Pri razvijanju spretnosti je pomembno prepoznati stopnje njegovega izvajanja in jih oblikovati v splošni obliki, ki je predstavljena v algoritmu za reševanje najpreprostejših trigonometričnih neenakosti. Projekt Algebra "Reševanje trigonometričnih neenakosti" Izpolnil učenec 10. razreda "B" Kazačkova Yulia Nadzornik: učiteljica matematike Kochakova N.N. Cilj Utrditi gradivo na temo "Reševanje trigonometričnih neenakosti" in ustvariti opomnik za študente, da se pripravijo na prihajajoči izpit. Cilji: povzeti gradivo o tej temi. Sistematizirajte prejete informacije. Razmislite o tej temi na enotnem državnem izpitu. Ustreznost Ustreznost teme, ki sem jo izbral, je v tem, da so naloge na temo "Reševanje trigonometričnih neenakosti" vključene v naloge enotnega državnega izpita. Trigonometrične neenakosti Neenakost je relacija, ki povezuje dve števili ali izraza z enim od predznakov: (večje od); ≥ (večje ali enako). Trigonometrična neenakost je neenakost, ki vključuje trigonometrične funkcije. Trigonometrične neenačbe Rešitev neenačb, ki vsebujejo trigonometrične funkcije, se praviloma reducira na rešitev najpreprostejših neenakosti oblike: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x Algoritem za reševanje trigonometričnih neenačb Na osi, ki ustreza dani trigonometrični funkciji, označimo dano številsko vrednost te funkcije. Skozi označeno točko narišite črto, ki seka enotski krog. Izberite presečišča premice in kroga, pri čemer upoštevajte strogi ali nestrogi znak neenakosti. Izberi lok kroga, na katerem so rešitve neenačbe. Določite vrednosti kotov na začetni in končni točki krožnega loka. Zapišite rešitev neenačbe ob upoštevanju periodičnosti podane trigonometrične funkcije. Formule za reševanje trigonometričnih neenačb sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn; arctan + πn). ctgx Grafična rešitev osnovne trigonometrične neenakosti sinx >a Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb sinx Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb cosx >a Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb cosx Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb tgx >a Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb tgx Grafično reševanje osnovnih trigonometričnih neenačb ctgx >a Neenakosti so relacije oblike a › b, kjer sta a in b izraza, ki vsebujeta vsaj eno spremenljivko. Neenakosti so lahko stroge - ‹, › in nestroge - ≥, ≤. Trigonometrične neenakosti so izrazi oblike: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, v katerih je F(x) predstavljena z eno ali več trigonometričnimi funkcijami . Primer najpreprostejše trigonometrične neenakosti je: sin x ‹ 1/2. Takšne probleme je običajno reševati grafično, za to sta bili razviti dve metodi. Če želite najti interval, ki izpolnjuje pogoje neenakosti sin x ‹ 1/2, morate izvesti naslednje korake: Če so v izrazu prisotni strogi znaki, presečišča niso rešitve. Ker je najmanjša pozitivna perioda sinusoide 2π, zapišemo odgovor takole: Če znaki izraza niso strogi, mora biti interval rešitve priložen oglati oklepaji— . Odgovor na nalogo lahko zapišemo tudi kot naslednjo neenakost: Podobne probleme je mogoče enostavno rešiti s trigonometričnim krogom. Algoritem za iskanje odgovorov je zelo preprost: Analizirajmo stopnje reševanja na primeru neenačbe sin x › 1/2. Na krogu sta označeni točki α in β – vrednosti Točki loka, ki se nahajata nad α in β, sta intervala za rešitev podane neenačbe. Če morate rešiti primer za cos, bo lok odgovora nameščen simetrično na os OX, ne na OY. Razliko med intervali rešitve za sin in cos lahko upoštevate v diagramih spodaj v besedilu. Grafične rešitve tangensnih in kotangensnih neenakosti se bodo razlikovale od sinusnih in kosinusnih. To je posledica lastnosti funkcij. Arktangens in arkkotangens sta tangenti na trigonometrični krog, najmanjša pozitivna perioda za obe funkciji pa je π. Za hitro in pravilno uporabo druge metode se morate spomniti, na kateri osi so narisane vrednosti sin, cos, tg in ctg. Tangenta tangente poteka vzporedno z osjo OY. Če narišemo vrednost arctan a na enotski krog, potem bo druga zahtevana točka v diagonalni četrtini. Koti So prelomne točke za funkcijo, saj se graf nagiba k njim, vendar jih nikoli ne doseže. V primeru kotangensa poteka tangenta vzporedno z osjo OX, funkcija pa se prekine v točkah π in 2π. Če argumenta funkcije neenakosti ne predstavlja samo spremenljivka, ampak celoten izraz, ki vsebuje neznano, potem že govorimo o kompleksna neenakost. Postopek in postopek reševanja se nekoliko razlikujeta od zgoraj opisanih metod. Recimo, da moramo najti rešitev za naslednjo neenakost: Grafična rešitev vključuje konstrukcijo navadne sinusoide y = sin x z uporabo poljubno izbranih vrednosti x. Izračunajmo tabelo s koordinatami za kontrolne točke grafa: Rezultat mora biti lepa krivulja. Za lažje iskanje rešitve zamenjajmo argument kompleksne funkcije
rešitev:pri
1. način – Reševanje neenačb z grafom funkcije
2. način – Reševanje trigonometričnih neenakosti z uporabo enotskega kroga
Kompleksne trigonometrične neenakosti
