Enačba ravnine v treh. Problem C2: enačba ravnine skozi determinanto

Recimo, da moramo najti enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici. Če njihove radijske vektorje označimo z in trenutni radijski vektor z , zlahka dobimo zahtevano enačbo v vektorski obliki. Pravzaprav morajo biti vektorji komplanarni (vsi ležijo v želeni ravnini). Zato mora biti vektorsko-skalarni produkt teh vektorjev enak nič:

To je enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke v vektorski obliki.

Če preidemo na koordinate, dobimo enačbo v koordinatah:

Če bi tri dane točke ležale na isti premici, bi bili vektorji kolinearni. Zato bi bili ustrezni elementi zadnjih dveh vrstic determinante v enačbi (18) sorazmerni in determinanta bi bila enaka enako nič. Posledično bi enačba (18) postala enaka za vse vrednosti x, y in z. Geometrijsko to pomeni, da skozi vsako točko v prostoru poteka ravnina, v kateri ležijo tri dane točke.

Opomba 1. Isti problem je mogoče rešiti brez uporabe vektorjev.

Če označimo koordinate treh danih točk, bomo zapisali enačbo katere koli ravnine, ki poteka skozi prvo točko:

Za pridobitev enačbe želene ravnine je potrebno zahtevati, da enačbi (17) zadostijo koordinate dveh drugih točk:

Iz enačb (19) je treba določiti razmerje med dvema koeficientoma in tretjim in ugotovljene vrednosti vnesti v enačbo (17).

Primer 1. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke.

Enačba ravnine, ki poteka skozi prvo od teh točk, bo:

Pogoji, da letalo (17) preleti še dve drugi točki in prvo točko, so:

Če dodamo drugo enačbo prvi, ugotovimo:

Če nadomestimo v drugo enačbo, dobimo:

Če nadomestimo v enačbo (17) namesto A, B, C oziroma 1, 5, -4 (števila, ki so sorazmerna z njimi), dobimo:

Primer 2. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Enačba katere koli ravnine, ki poteka skozi točko (0, 0, 0), bo]

Pogoji za prehod te ravnine skozi točke (1, 1, 1) in (2, 2, 2) so:

Če drugo enačbo zmanjšamo za 2, vidimo, da za določitev dveh neznank obstaja ena enačba z

Od tu dobimo. Sedaj nadomestimo vrednost ravnine v enačbo in ugotovimo:

To je enačba želene ravnine; odvisno od poljubnega

količine B, C (in sicer iz relacije t.j. skozi tri dane točke poteka neskončno število ravnin (tri dane točke ležijo na isti premici).

Opomba 2. Problem risanja ravnine skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti premici, zlahka rešimo v splošni pogled, če uporabimo determinante. Dejansko, ker v enačbah (17) in (19) koeficienti A, B, C ne morejo biti hkrati enaki nič, potem te enačbe obravnavamo kot homogeni sistem s tremi neznankami A, B, C zapišemo nujen in zadosten pogoj za obstoj rešitve tega sistema, ki je različna od nič (1. del, VI. poglavje, 6. odstavek):

Ko to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enačbo prve stopnje glede na trenutne koordinate, ki jo bodo zadovoljile zlasti koordinate treh danih točk.

To slednje lahko preverite tudi neposredno tako, da nadomestite koordinate katere koli od teh točk namesto . Na levi strani dobimo determinanto, v kateri so bodisi elementi prve vrstice ničle bodisi sta dve enaki vrstici. Tako sestavljena enačba predstavlja ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.

Enačba ravnine. Kako napisati enačbo ravnine?
Medsebojna razporeditev ravnin. Naloge

Prostorska geometrija ni veliko bolj zapletena kot "ravna" geometrija in naši poleti v vesolju se začnejo s tem člankom. Če želite obvladati temo, morate dobro razumeti vektorji, poleg tega je priporočljivo poznati geometrijo letala - veliko bo podobnosti, veliko analogij, zato bodo informacije veliko bolje prebavljene. V nizu mojih lekcij se 2D svet odpre s člankom Enačba premice na ravnini. Toda zdaj je Batman zapustil ploski TV zaslon in se izstreli s kozmodroma Baikonur.

Začnimo z risbami in simboli. Shematsko lahko ravnino narišemo v obliki paralelograma, ki ustvarja vtis prostora:

Letalo je neskončno, vendar imamo možnost upodobiti le delček tega. V praksi se poleg paralelograma nariše tudi oval ali celo oblak. Zaradi tehničnih razlogov mi bolj ustreza, da letalo upodobim točno na ta način in v točno tem položaju. Prava letala, ki jih bomo obravnavali v praktični primeri, lahko postavite na kakršen koli način - miselno vzemite risbo v roke in jo zavrtite v prostoru, tako da ravnini daste kakršen koli naklon, kateri koli kot.

Poimenovanja: letala so običajno označena z malimi grškimi črkami, očitno zato, da jih ne bi zamenjali z premica na ravnini ali z ravna črta v prostoru. Navajen sem uporabljati pismo. Na risbi je črka "sigma" in sploh ne luknja. Čeprav je luknjasto letalo zagotovo precej smešno.

V nekaterih primerih je priročno uporabiti iste grške črke z nižjimi indeksi za označevanje ravnin, na primer .

Očitno je, da ravnino enolično določajo tri različne točke, ki ne ležijo na isti premici. Zato so tričrkovne oznake ravnin zelo priljubljene - na primer po točkah, ki jim pripadajo itd. Črke so pogosto v oklepajih: , da ne bi zamenjali ravnine z drugim geometrijskim likom.

Za izkušene bralce bom dal meni za hitri dostop:

• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in dveh vektorjev?
• Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

in ne bomo obupovali dolga čakanja:

Splošna enačba ravnine

Splošna enačba ravnine ima obliko , kjer koeficienti niso hkrati enaki nič.

Številni teoretični izračuni in praktični problemi veljajo tako za običajno ortonormirano bazo kot za afino bazo prostora (če je olje olje, se vrnite k lekciji Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev). Zaradi poenostavitve bomo predpostavili, da se vsi dogodki zgodijo v ortonormirani bazi in kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zdaj pa malo vadimo našo prostorsko domišljijo. Nič hudega, če je vaš slab, zdaj ga bomo malo razvili. Tudi igranje na živce zahteva trening.

V najbolj splošnem primeru, ko števila niso enaka nič, ravnina seka vse tri koordinatne osi. Na primer takole:

Še enkrat ponavljam, da se ravnina nadaljuje v nedogled v vse smeri in imamo možnost upodobiti le njen del.

Razmislimo o najpreprostejših enačbah ravnin:

Kako razumeti to enačbo? Pomislite: »Z« je VEDNO enak nič, za vse vrednosti »X« in »Y«. Ta enačba je "domača" koordinatna ravnina. Pravzaprav je formalno enačbo mogoče prepisati na naslednji način: , od koder lahko jasno vidite, da nam ni vseeno, kakšne vrednosti imata "x" in "y", pomembno je, da je "z" enak nič.

Enako:
– enačba koordinatne ravnine;
– enačba koordinatne ravnine.

Malo zakomplicirajmo problem, razmislimo o ravnini (tu in naprej v odstavku predpostavimo, da numerični koeficienti niso enaki nič). Zapišimo enačbo v obliki: . Kako to razumeti? "X" je VEDNO, za vse vrednosti "Y" in "Z", enako določenemu številu. Ta ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino. Na primer, ravnina je vzporedna z ravnino in poteka skozi točko.

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno ravnino.

Dodajmo člane: . Enačbo lahko prepišemo na naslednji način: , to pomeni, da je »zet« lahko karkoli. Kaj to pomeni? “X” in “Y” sta povezana z relacijo, ki nariše določeno premico v ravnini (izvedeli boste enačba premice v ravnini?). Ker je "z" lahko karkoli, se ta ravna črta "replicira" na kateri koli višini. Tako enačba določa ravnino, vzporedno s koordinatno osjo

Enako:
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo;
– enačba ravnine, ki je vzporedna s koordinatno osjo.

Če so prosti členi enaki nič, bodo ravnine neposredno prehajale skozi ustrezne osi. Na primer, klasična "neposredna sorazmernost": . Narišite ravno črto v ravnini in jo mentalno pomnožite navzgor in navzdol (ker je "Z" karkoli). Zaključek: letalo, podana z enačbo, poteka skozi koordinatno os.

Zaključimo pregled: enačba ravnine prehaja skozi izvor. No, tukaj je povsem očitno, da točka izpolnjuje to enačbo.

In končno primer, prikazan na risbi: – ravnina je prijateljska z vsemi koordinatnimi osemi, medtem ko vedno »odseka« trikotnik, ki se lahko nahaja v katerem koli od osmih oktantov.

Linearne neenakosti v prostoru

Če želite razumeti informacije, jih morate dobro preučiti linearne neenakosti v ravnini, saj bo marsikaj podobno. Odstavek bo kratkega preglednega značaja z več primeri, saj je gradivo v praksi precej redko.

Če enačba določa ravnino, potem neenakosti
vprašaj polprostori. Če neenačba ni stroga (zadnji dve na seznamu), potem rešitev neenačbe poleg polprostora vključuje tudi samo ravnino.

Primer 5

Poiščite enotski normalni vektor ravnine .

rešitev: Enotski vektor je vektor, katerega dolžina je ena. Označimo ta vektor z . Popolnoma jasno je, da so vektorji kolinearni:

Najprej odstranimo normalni vektor iz enačbe ravnine: .

Kako najti enotski vektor? Če želite najti enotski vektor, potrebujete vsak vektorsko koordinato delimo z vektorsko dolžino.

Prepišimo normalni vektor v obliki in poiščimo njegovo dolžino:

Glede na zgoraj navedeno:

Odgovori:

Preverjanje: kaj je bilo potrebno preveriti.

Bralci, ki so natančno preučili zadnji odstavek lekcije, so to verjetno opazili koordinate enotskega vektorja so točno smerni kosinusi vektorja:

Oddahnimo si od obravnavane težave: ko vam je dan poljuben vektor, ki ni nič, glede na pogoj pa je treba najti njegove smerne kosinuse (glej zadnje naloge lekcije Točkovni produkt vektorjev), potem dejansko najdete enotski vektor, kolinearen temu. Pravzaprav dve nalogi v eni steklenici.

Potreba po iskanju enotskega normalnega vektorja se pojavi pri nekaterih problemih matematične analize.

Ugotovili smo, kako najti normalni vektor, zdaj pa odgovorimo na nasprotno vprašanje:

Kako ustvariti enačbo ravnine z uporabo točke in normalnega vektorja?

Ta toga konstrukcija normalnega vektorja in točke je dobro znana igralcem pikada. Iztegnite roko naprej in v mislih izberite poljubno točko v prostoru, na primer majhno mačko v kredenci. Očitno lahko skozi to točko narišete eno ravnino, pravokotno na vašo roko.

Enačba ravnine, ki poteka skozi točko pravokotno na vektor, je izražena s formulo:

V tej lekciji si bomo ogledali, kako uporabiti determinanto za ustvarjanje enačba ravnine. Če ne veste, kaj je determinanta, pojdite na prvi del lekcije - "Matrike in determinante". V nasprotnem primeru tvegate, da ne boste razumeli ničesar v današnjem gradivu.

Enačba ravnine s tremi točkami

Zakaj sploh potrebujemo enačbo ravnine? Preprosto je: če ga poznamo, zlahka izračunamo kote, razdalje in druge bedarije v nalogi C2. Na splošno brez te enačbe ne morete. Zato formuliramo problem:

Naloga. V prostoru so podane tri točke, ki ne ležijo na isti premici. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Ustvariti morate enačbo za ravnino, ki poteka skozi te tri točke. Poleg tega bi morala enačba izgledati takole:

Ax + By + Cz + D = 0

kjer so števila A, B, C in D koeficienti, ki jih je dejansko treba najti.

No, kako dobiti enačbo ravnine, če so znane samo koordinate točk? Najlažji način je, da koordinate nadomestimo v enačbo Ax + By + Cz + D = 0. Rezultat je sistem treh enačb, ki jih je enostavno rešiti.

Mnogi študenti menijo, da je ta rešitev izjemno dolgočasna in nezanesljiva. Lanskoletni enotni državni izpit iz matematike je pokazal, da je verjetnost računske napake res velika.

Zato so najnaprednejši učitelji začeli iskati preprostejše in elegantne rešitve. In so ga našli! Res je, da je pridobljena tehnika bolj povezana z višjo matematiko. Osebno sem moral brskati po celotnem Zveznem seznamu učbenikov, da sem se prepričal, da imamo pravico uporabljati to tehniko brez kakršne koli utemeljitve ali dokazov.

Enačba ravnine skozi determinanto

Dovolj besedil, pojdimo k poslu. Za začetek izrek o tem, kako sta determinanta matrike in enačba ravnine povezani.

Izrek. Naj bodo podane koordinate treh točk, skozi katere je treba narisati ravnino: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Potem lahko enačbo te ravnine zapišemo skozi determinanto:

Na primer, poskusimo najti par ravnin, ki se dejansko pojavljajo v problemih C2. Poglejte, kako hitro se vse izračuna:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Sestavimo determinanto in jo enačimo na nič:

Razširimo determinanto:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kot vidite, sem pri izračunu števila d enačbo malo "prečesal", da so spremenljivke x, y in z prešle v pravilno zaporedje. To je vse! Enačba ravnine je pripravljena!

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Koordinate točk takoj nadomestimo v determinanto:

Spet razširimo determinanto:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Torej, spet dobimo enačbo ravnine! Ponovno smo morali na zadnjem koraku spremeniti znake v njej, da smo dobili bolj »lepšo« formulo. V tej rešitvi tega sploh ni potrebno storiti, vendar je še vedno priporočljivo - za poenostavitev nadaljnje rešitve problema.

Kot lahko vidite, je sestavljanje enačbe ravnine zdaj veliko lažje. Točke nadomestimo v matriko, izračunamo determinanto - in to je to, enačba je pripravljena.

To bi lahko končalo lekcijo. Vendar mnogi učenci nenehno pozabljajo, kaj je znotraj determinante. Na primer, katera vrstica vsebuje x 2 ali x 3 in katera vrstica vsebuje samo x. Da bi se temu res izognili, poglejmo, od kod prihaja posamezna številka.

Od kod formula z determinanto?

Torej, ugotovimo, od kod prihaja tako ostra enačba z determinanto. To vam bo pomagalo, da si ga zapomnite in ga uspešno uporabite.

Vse ravnine, ki se pojavljajo v nalogi C2, so določene s tremi točkami. Te točke so vedno označene na risbi ali celo označene neposredno v besedilu problema. V vsakem primeru bomo morali za sestavo enačbe zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Oglejmo si še eno točko na naši ravnini s poljubnimi koordinatami:

T = (x, y, z)

Vzemite katero koli točko iz prvih treh (na primer točko M) in iz nje narišite vektorje v vsako od treh preostalih točk. Dobimo tri vektorje:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Zdaj pa sestavimo iz teh vektorjev kvadratna matrika in njegovo determinanto enači z nič. Koordinate vektorjev bodo postale vrstice matrike - in dobili bomo tisto determinanto, ki je navedena v izreku:

Ta formula pomeni, da je prostornina paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih MN, MK in MT, enaka nič. Zato vsi trije vektorji ležijo v isti ravnini. Zlasti poljubna točka T = (x, y, z) je točno to, kar smo iskali.

Zamenjava točk in premic determinante

Kvalifikatorjev je več izjemne lastnosti, ki še dodatno poenostavijo rešitev problema C2. Na primer, ni nam pomembno, iz katere točke narišemo vektorje. Zato naslednje determinante dajejo enako enačbo ravnine kot zgornja:

Vrstici determinante lahko tudi zamenjate. Enačba bo ostala nespremenjena. Mnogi ljudje na primer radi napišejo črto s koordinatami točke T = (x; y; z) čisto na vrhu. Prosimo, če vam ustreza:

Nekatere ljudi zmoti dejstvo, da ena od črt vsebuje spremenljivke x, y in z, ki ne izginejo pri zamenjavi točk. Vendar ne smejo izginiti! Če številke zamenjate v determinanto, bi morali dobiti to konstrukcijo:

Nato se determinanta razširi v skladu z diagramom, podanim na začetku lekcije, in dobimo standardno enačbo ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Oglejte si primer. To je zadnja v današnji lekciji. Premici bom namerno zamenjal, da se prepričam, da bo odgovor dal isto enačbo ravnine.

Naloga. Zapišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Torej upoštevamo 4 točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprej ustvarimo standardno determinanto in jo enačimo z nič:

Razširimo determinanto:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0.

Zdaj pa preuredimo nekaj vrstic v determinanti in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Na primer, napišimo vrstico s spremenljivkami x, y, z ne na dnu, ampak na vrhu:

Ponovno razširimo nastalo determinanto:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo popolnoma enako enačbo ravnine: x + y + z − 2 = 0. To pomeni, da res ni odvisna od vrstnega reda vrstic. Preostane le še zapis odgovora.

Prepričani smo torej, da enačba ravnine ni odvisna od zaporedja premic. Izvedemo lahko podobne izračune in dokažemo, da enačba ravnine ni odvisna od točke, katere koordinate odštejemo od drugih točk.

V zgoraj obravnavanem problemu smo uporabili točko B 1 = (1, 0, 1), vendar je bilo povsem mogoče vzeti C = (1, 1, 0) ali D 1 = (0, 1, 1). Na splošno katera koli točka z znanimi koordinatami, ki leži na želeni ravnini.

V tem gradivu si bomo ogledali, kako najti enačbo ravnine, če poznamo koordinate treh različnih točk, ki ne ležijo na isti ravnini. Za to se moramo spomniti, kaj je pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru. Za začetek bomo predstavili osnovni princip te enačbe in natančno pokazali, kako jo uporabiti za reševanje specifičnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej se moramo spomniti enega aksioma, ki zveni takole:

Definicija 1

Če tri točke ne sovpadajo med seboj in ne ležijo na isti premici, potem v tridimenzionalnem prostoru skozi njih poteka samo ena ravnina.

Z drugimi besedami, če imamo tri različne točke, katerih koordinate se ne ujemajo in jih ni mogoče povezati z ravno črto, potem lahko določimo ravnino, ki poteka skozi to.

Recimo, da imamo pravokotni koordinatni sistem. Označimo ga z O x y z. Vsebuje tri točke M s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ki jih ni mogoče povezati. ravna črta. Na podlagi teh pogojev lahko zapišemo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo. Obstajata dva pristopa k reševanju tega problema.

1. Prvi pristop uporablja splošno enačbo ravnine. IN v pisemski obliki zapisano je kot A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Z njegovo pomočjo lahko v pravokotnem koordinatnem sistemu določimo določeno alfa ravnino, ki poteka skozi prvo dano točko M 1 (x 1, y 1, z 1). Izkazalo se je, da bo normalni vektor ravnine α imel koordinate A, B, C.

Opredelitev N

Če poznamo koordinate normalnega vektorja in koordinate točke, skozi katero poteka ravnina, lahko zapišemo splošno enačbo te ravnine.

Iz tega bomo izhajali tudi v prihodnje.

Tako imamo glede na pogoje problema koordinate želene točke (tudi treh), skozi katero poteka ravnina. Če želite najti enačbo, morate izračunati koordinate njenega normalnega vektorja. Označimo ga z n → .

Spomnimo se pravila: vsak neničelni vektor dane ravnine je pravokoten na normalni vektor iste ravnine. Potem imamo, da bo n → pravokoten na vektorje, sestavljene iz prvotnih točk M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 → . Potem lahko n → označimo kot vektorski produkt oblike M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ker je M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi teh enakosti so podani v članku, posvečenem izračunu koordinat vektorja iz koordinat točk), potem se izkaže, da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Če izračunamo determinanto, dobimo koordinate normalnega vektorja n → potrebujemo. Zdaj lahko zapišemo enačbo, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.

2. Drugi pristop k iskanju enačbe, ki poteka skozi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), temelji na konceptu koplanarnosti vektorjev.

Če imamo množico točk M (x, y, z), potem v pravokotnem koordinatnem sistemu določajo ravnino za dane točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo v primeru, ko so vektorji M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) bosta komplanarna .

V diagramu bo videti takole:

To bo pomenilo, da bo mešani produkt vektorjev M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → enak nič: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , saj je to glavni pogoj koplanarnosti: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) in M ​​1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Zapišimo dobljeno enačbo v koordinatni obliki:

Ko izračunamo determinanto, lahko dobimo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo za tri točke, ki ne ležijo na isti premici M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

Iz dobljene enačbe lahko preidete na enačbo ravnine v segmentih ali na normalno enačbo ravnine, če to zahtevajo pogoji problema.

V naslednjem odstavku bomo navedli primere, kako se pristopi, ki smo jih navedli, izvajajo v praksi.

Primeri nalog za sestavljanje enačbe ravnine, ki poteka skozi 3 točke

Prej smo identificirali dva pristopa, ki ju je mogoče uporabiti za iskanje želene enačbe. Oglejmo si, kako se uporabljajo za reševanje problemov in kdaj morate izbrati katerega od njih.

Primer 1

Obstajajo tri točke, ki ne ležijo na isti premici, s koordinatami M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi njih.

rešitev

Oba načina uporabljamo izmenično.

1. Poiščite koordinate dveh vektorjev, ki jih potrebujemo M 1 M 2 →, M 1 M 3 →:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Zdaj pa izračunajmo njihov vektorski produkt. Izračunov determinante ne bomo opisovali:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo normalni vektor ravnine, ki poteka skozi tri zahtevane točke: n → = (- 5, 30, 2) . Nato moramo vzeti eno od točk, na primer M 1 (- 3, 2, - 1), in zapisati enačbo za ravnino z vektorjem n → = (- 5, 30, 2). Dobimo, da je: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To je enačba, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri točke.

2. Izberimo drugačen pristop. Zapišimo enačbo za ravnino s tremi točkami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v naslednji obrazec:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tukaj lahko nadomestite podatke iz izjave o problemu. Ker je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kot rezultat dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo enačbo, ki smo jo potrebovali.

odgovor:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Kaj pa, če dane točke še vedno ležijo na isti premici in moramo zanje sestaviti enačbo ravnine? Tukaj je treba takoj povedati, da ta pogoj ne bo povsem pravilen. Skozi takšne točke lahko poteka neskončno število ravnin, zato je nemogoče izračunati enoten odgovor. Razmislimo o takem problemu, da dokažemo nepravilnost takšne formulacije vprašanja.

Primer 2

V tridimenzionalnem prostoru imamo pravokotni koordinatni sistem, v katerem so postavljene tri točke s koordinatami M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1) . Treba je napisati enačbo za ravnino, ki poteka skozi njo.

rešitev

Uporabimo prvo metodo in začnimo z izračunom koordinat dveh vektorjev M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 →. Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Navzkrižni produkt bo enak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ker je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, bodo naši vektorji kolinearni (ponovno preberite članek o njih, če ste pozabili definicijo tega pojma). Tako so začetne točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici in naš problem ima neskončno veliko možnosti odgovora.

Če uporabimo drugo metodo, dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz dobljene enakosti tudi sledi, da so dane točke M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) na isti premici.

Če želite najti vsaj en odgovor na to težavo med neskončnim številom njenih možnosti, potem morate slediti tem korakom:

1. Zapišite enačbo premice M 1 M 2, M 1 M 3 ali M 2 M 3 (če je potrebno, si oglejte gradivo o tem dejanju).

2. Vzemimo točko M 4 (x 4, y 4, z 4), ki ne leži na premici M 1 M 2.

3. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri različne točke M 1, M 2 in M ​​4, ki ne ležijo na isti premici.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Lahko nastavite različne poti(ena točka in vektor, dve točki in vektor, tri točke itd.). S tem v mislih ima lahko enačba ravnine različne vrste. Poleg tega so ravnine pod določenimi pogoji lahko vzporedne, pravokotne, sekajoče se itd. O tem bomo govorili v tem članku. Naučili se bomo sestaviti splošno enačbo ravnine in še več.

Normalna oblika enačbe

Recimo, da obstaja prostor R 3, ki ima pravokotni koordinatni sistem XYZ. Določimo vektor α, ki se bo sprostil iz začetne točke O. Skozi konec vektorja α narišemo ravnino P, ki bo pravokotna nanj.

Označimo poljubno točko na P kot Q = (x, y, z). Radius vektor točke Q označimo s črko p. V tem primeru je dolžina vektorja α enaka р=IαI in Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

To je enotski vektor, ki je usmerjen vstran, kot vektor α. α, β in γ so koti, ki se tvorijo med vektorjem Ʋ in pozitivnimi smermi prostorskih osi x, y, z. Projekcija poljubne točke QϵП na vektor Ʋ je konstantna vrednost, ki je enaka p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Zgornja enačba je smiselna, ko je p=0. Edina stvar je, da bo ravnina P v tem primeru sekala točko O (α=0), ki je izhodišče koordinat, enotski vektor Ʋ, sproščen iz točke O, pa bo pravokoten na P, kljub svoji smeri, kar pomeni, da je vektor Ʋ določen s predznakom natančno. Prejšnja enačba je enačba naše ravnine P, izražena v vektorski obliki. Toda v koordinatah bo videti takole:

P je tu večji ali enak 0. Našli smo enačbo ravnine v prostoru v normalni obliki.

Splošna enačba

Če enačbo v koordinatah pomnožimo s poljubnim številom, ki ni enako nič, dobimo tej enakovredno enačbo, ki določa prav to ravnino. Videti bo takole:

Tu so A, B, C števila, ki so hkrati različna od nič. Ta enačba se imenuje splošna enačba ravnine.

Enačbe ravnin. Posebni primeri

Enačbo v splošni obliki je mogoče spremeniti ob prisotnosti dodatnih pogojev. Poglejmo jih nekaj.

Predpostavimo, da je koeficient A enak 0. To pomeni, da je ta ravnina vzporedna z dano osjo Ox. V tem primeru se bo oblika enačbe spremenila: Ву+Cz+D=0.

Podobno se bo oblika enačbe spremenila pod naslednjimi pogoji:

• Prvič, če je B = 0, se bo enačba spremenila v Ax + Cz + D = 0, kar bo pokazalo vzporednost z osjo Oy.
• Drugič, če je C=0, bo enačba preoblikovana v Ax+By+D=0, kar bo pokazalo vzporednost z dano osjo Oz.
• Tretjič, če je D=0, bo enačba videti kot Ax+By+Cz=0, kar bo pomenilo, da ravnina seka O (izhodišče).
• Četrtič, če je A=B=0, se bo enačba spremenila v Cz+D=0, kar bo vzporedno z Oxy.
• Petič, če je B=C=0, postane enačba Ax+D=0, kar pomeni, da je ravnina na Oyz vzporedna.
• Šestič, če je A=C=0, bo enačba imela obliko Ву+D=0, kar pomeni, da bo poročala o vzporednosti z Oxz.

Vrsta enačbe v segmentih

V primeru, da so števila A, B, C, D različna od nič, je oblika enačbe (0) lahko naslednja:

x/a + y/b + z/c = 1,

kjer je a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Kot rezultat dobimo Omeniti velja, da bo ta ravnina sekala os Ox v točki s koordinatami (a,0,0), Oy - (0,b,0) in Oz - (0,0,c). ).

Ob upoštevanju enačbe x/a + y/b + z/c = 1 si ni težko vizualno predstavljati postavitve letala glede na dani koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Normalni vektor n na ravnino P ima koordinate, ki so koeficienti splošna enačba dane ravnine, to je n (A, B, C).

Za določitev koordinat normale n zadostuje poznavanje splošne enačbe dane ravnine.

Pri uporabi enačbe v segmentih, ki ima obliko x/a + y/b + z/c = 1, kot tudi pri uporabi splošne enačbe, lahko zapišete koordinate katerega koli normalnega vektorja dane ravnine: (1 /a + 1/b + 1/ Z).

Omeniti velja, da normalni vektor pomaga pri reševanju različnih problemov. Najpogostejši so problemi, ki vključujejo dokazovanje pravokotnosti ali vzporednosti ravnin, problemi iskanja kotov med ravninami ali kotov med ravninami in premicami.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate točke in normalnega vektorja

Neničelni vektor n, pravokoten na dano ravnino, imenujemo normala za dano ravnino.

Predpostavimo, da so v koordinatnem prostoru (pravokotni koordinatni sistem) podani Oxyz:

• točka Mₒ s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ);
• ničelni vektor n=A*i+B*j+C*k.

Treba je sestaviti enačbo za ravnino, ki bo potekala skozi točko Mₒ pravokotno na normalo n.

Izberemo poljubno točko v prostoru in jo označimo z M (x y, z). Naj bo radij vektor poljubne točke M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k in radij vektor točke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Točka M bo pripadala dani ravnini, če je vektor MₒM pravokoten na vektor n. Zapišimo pogoj ortogonalnosti s skalarnim produktom:

[MₒM, n] = 0.

Ker je MₒM = r-rₒ, bo vektorska enačba ravnine videti takole:

Ta enačba ima lahko tudi drugo obliko. Za to se uporabijo lastnosti skalarnega produkta in leva stran enačbe se transformira. = - . Če ga označimo s c, dobimo naslednjo enačbo: - c = 0 ali = c, ki izraža konstantnost projekcij na normalni vektor radijskih vektorjev danih točk, ki pripadajo ravnini.

Zdaj lahko dobite koordinatni pogled pisanje vektorske enačbe naše ravnine = 0. Ker je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k in n = A*i+B*j+ C* k, imamo:

Izkazalo se je, da imamo enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko, pravokotno na normalo n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vrsta enačbe ravnine glede na koordinate dveh točk in vektorja kolinearnega na ravnino

Določimo dve poljubni točki M′ (x′,y′,z′) in M″ (x″,y″,z″) ter vektor a (a′,a″,a‴).

Zdaj lahko ustvarimo enačbo za dano ravnino, ki bo potekala skozi obstoječi točki M′ in M″, kot tudi katero koli točko M s koordinatami (x, y, z), vzporednimi z danim vektorjem a.

V tem primeru morata biti vektorja M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) in M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) komplanarna z vektorjem a=(a′,a″,a‴), kar pomeni, da je (M′M, M″M, a)=0.

Torej bo naša enačba ravnine v prostoru videti takole:

Vrsta enačbe ravnine, ki seka tri točke

Recimo, da imamo tri točke: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ki ne pripadajo isti premici. Napisati je treba enačbo ravnine, ki poteka skozi dane tri točke. Teorija geometrije trdi, da tovrstna ravnina res obstaja, vendar je edina in edinstvena. Ker ta ravnina seka točko (x′,y′,z′), bo oblika njene enačbe naslednja:

Tukaj so A, B, C hkrati različni od nič. Poleg tega dana ravnina seka še dve točki: (x″,y″,z″) in (x‴,y‴,z‴). V zvezi s tem morajo biti izpolnjeni naslednji pogoji:

Zdaj lahko ustvarimo homogeni sistem z neznankami u, v, w:

V našem primer x,y ali z deluje kot poljubna točka, ki ustreza enačbi (1). Glede na enačbo (1) ter sistem enačb (2) in (3) sistem enačb, prikazan na zgornji sliki, izpolnjuje vektor N (A, B, C), ki ni trivialen. Zato je determinanta tega sistema enaka nič.

Enačba (1), ki smo jo dobili, je enačba ravnine. Gre natančno skozi 3 točke in to je enostavno preveriti. Da bi to naredili, moramo našo determinanto razširiti na elemente v prvi vrstici. Iz obstoječih lastnosti determinante sledi, da naša ravnina hkrati seka tri prvotno dane točke (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . To pomeni, da smo rešili nalogo, ki nam je bila dodeljena.

Diedrski kot med ravninama

Diedrski kot predstavlja prostor geometrijski lik, ki ga tvorita dve polravnini, ki izhajata iz ene premice. Z drugimi besedami, to je del prostora, ki je omejen s temi polravninami.

Recimo, da imamo dve ravnini z naslednjima enačbama:

Vemo, da sta vektorja N=(A,B,C) in N¹=(A¹,B¹,C¹) pravokotna glede na danih letal. V zvezi s tem je kot φ med vektorjema N in N¹ enak kotu (diedru), ki se nahaja med tema ravninama. Skalarni produkt ima obliko:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

prav zato, ker

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovolj je upoštevati, da je 0≤φ≤π.

Pravzaprav dve ravnini, ki se sekata, tvorita dva kota (diedra): φ 1 in φ 2. Njuna vsota je enaka π (φ 1 + φ 2 = π). Kar zadeva njihove kosinuse, so njihove absolutne vrednosti enake, vendar se razlikujejo po predznaku, to je cos φ 1 = -cos φ 2. Če v enačbi (0) nadomestimo A, B in C s števili -A, -B oziroma -C, potem enačba, ki jo dobimo, določa isto ravnino, edino, kot φ v enačbi cos φ= NN 1 /|. N||N 1 | bo nadomeščen s π-φ.

Enačba pravokotne ravnine

Ravnine, med katerimi je kot 90 stopinj, imenujemo pravokotne. Z uporabo zgoraj predstavljenega materiala lahko najdemo enačbo ravnine, ki je pravokotna na drugo. Recimo, da imamo dve ravnini: Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Lahko rečemo, da bodo pravokotni, če je cosφ=0. To pomeni, da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Enačba vzporedne ravnine

Dve ravnini, ki nimata skupnih točk, imenujemo vzporedni.

Pogoj (njuni enačbi sta enaki kot v prejšnjem odstavku) je, da sta vektorja N in N¹, ki sta pravokotna nanju, kolinearna. To pomeni, da so izpolnjeni naslednji pogoji sorazmernosti:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Če so pogoji sorazmernosti razširjeni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

to pomeni, da ti ravnini sovpadata. To pomeni, da enačbi Ax+By+Cz+D=0 in A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisujeta eno ravnino.

Razdalja do ravnine od točke

Recimo, da imamo ravnino P, ki je podana z enačbo (0). Treba je najti razdaljo do nje od točke s koordinatami (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Če želite to narediti, morate enačbo ravnine P prenesti v normalno obliko:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN v tem primeruρ (x,y,z) je radij vektor naše točke Q, ki se nahaja na P, p je dolžina navpičnice P, ki je bila spuščena iz ničelne točke, v je enotski vektor, ki se nahaja v smeri a.

Razlika ρ-ρº vektor radij neke točke Q = (x, y, z), ki pripada P, kot tudi radij vektor dane točke Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) je tak vektor, absolutna vrednost katere projekcije na v je enaka razdalji d, ki jo je treba najti od Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, vendar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Tako se izkaže

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Tako bomo našli absolutno vrednost dobljenega izraza, to je želeni d.

Z uporabo jezika parametrov dobimo očitno:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

če nastavljena točka Q 0 je na drugi strani ravnine P, kot izhodišče koordinat, potem se med vektorjem ρ-ρ 0 in v torej nahaja:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

V primeru, da se točka Q 0 skupaj z izhodiščem koordinat nahaja na isti strani od P, je ustvarjeni kot oster, to je:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Posledično se izkaže, da v prvem primeru (ρ 0 ,v)>р, v drugem (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravnina in njena enačba

Tangentna ravnina na površino v točki stika Mº je ravnina, ki vsebuje vse možne tangente na krivulje, narisane skozi to točko na površini.

S to vrsto površinske enačbe F(x,y,z)=0 bo enačba tangentne ravnine v tangentni točki Mº(xº,yº,zº) videti takole:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Če podate površino v eksplicitni obliki z=f (x,y), bo tangentna ravnina opisana z enačbo:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Presek dveh ravnin

V koordinatnem sistemu (pravokotni) se nahaja Oxyz, podani sta dve ravnini П′ in П″, ki se sekata in ne sovpadata. Ker je katera koli ravnina v pravokotnem koordinatnem sistemu določena s splošno enačbo, predpostavimo, da sta P′ in P″ podani z enačbama A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x +B″y+ С″z+D″=0. V tem primeru imamo normalo n′ (A′,B′,C′) ravnine P′ in normalo n″ (A″,B″,C″) ravnine P″. Ker naši ravnini nista vzporedni in ne sovpadata, ti vektorji niso kolinearni. Z uporabo jezika matematike lahko ta pogoj zapišemo takole: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Naj bo premica, ki leži na presečišču P′ in P″, označena s črko a, v tem primeru a = P′ ∩ P″.

a je premica, sestavljena iz množice vseh točk (skupnih) ravnin P′ in P″. To pomeni, da morajo koordinate katere koli točke, ki pripada premici a, hkrati izpolnjevati enačbi A′x+B′y+C′z+D′=0 in A″x+B″y+C″z+D″=0 . To pomeni, da bodo koordinate točke delna rešitev naslednjega sistema enačb:

Posledično se izkaže, da bo (splošna) rešitev tega sistema enačb določila koordinate vsake točke premice, ki bo delovala kot presečišče P′ in P″, ter določila ravno črto a v Oxyz (pravokotni) koordinatni sistem v prostoru.