Primeri reševanja problemov na temo "Naključne spremenljivke. Diskretne naključne spremenljivke. zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke

Naključna spremenljivka Spremenljivka se imenuje spremenljivka, ki kot rezultat vsakega testa prevzame eno prej neznano vrednost, odvisno od naključnih razlogov. Naključne spremenljivke so označene z velikimi latiničnimi črkami: $X,\ Y,\ Z,\ \pike $ Naključne spremenljivke so lahko glede na vrsto diskretna in neprekinjeno.

Diskretno naključna vrednost - to je naključna spremenljivka, katere vrednosti ne morejo biti več kot štetne, torej končne ali štetne. S štetnostjo mislimo, da je mogoče vrednosti naključne spremenljivke oštevilčiti.

Primer 1 . Tukaj so primeri diskretnih naključnih spremenljivk:

a) število zadetkov v tarčo z $n$ streli, tukaj so možne vrednosti $0,\ 1,\ \pike ,\ n$.

b) število emblemov, ki so padli pri metanju kovanca, tukaj so možne vrednosti $0,\ 1,\ \pike ,\ n$.

c) število ladij, ki prispejo na krov (štetni niz vrednosti).

d) število klicev, ki prispejo na PBX (štetni niz vrednosti).

1. Zakon verjetnostne porazdelitve diskretne naključne spremenljivke.

Diskretna naključna spremenljivka $X$ lahko zavzame vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ z verjetnostmi $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondenca med temi vrednostmi in njihovimi verjetnostmi se imenuje zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Praviloma je to ujemanje določeno s tabelo, katere prva vrstica označuje vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, druga vrstica pa vsebuje verjetnosti $p_1,\dots ,\ p_n$, ki ustrezajo te vrednote.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pike & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \pike & p_n \\
\hline
\konec(matrika)$

Primer 2 . Naj bo naključna spremenljivka $X$ število vrženih točk pri metanju kocke. Takšna naključna spremenljivka $X$ ima lahko naslednje vrednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Verjetnosti vseh teh vrednosti so enake $1/6$. Potem je zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke $X$:

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\konec(matrika)$

Komentiraj. Ker v porazdelitvenem zakonu diskretne naključne spremenljivke $X$ dogodki $1,\ 2,\ \pike ,\ 6$ tvorijo popolno skupino dogodkov, mora biti vsota verjetnosti enaka ena, to je $ \vsota(p_i)=1$.

2. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke.

Pričakovanje naključne spremenljivke določa svoj »osrednji« pomen. Za diskretno naključno spremenljivko pričakovana vrednost se izračuna kot vsota zmnožkov vrednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ z verjetnostmi $p_1,\dots ,\ p_n$, ki ustrezajo tem vrednostim, to je: $M\left(X\right )=\vsota^n_(i=1 )(p_ix_i)$. V literaturi v angleškem jeziku se uporablja drug zapis $E\left(X\right)$.

Lastnosti matematičnega pričakovanja$M\levo(X\desno)$:

1. $M\left(X\desno)$ je med najmanjšim in najvišje vrednosti naključna spremenljivka $X$.
2. Matematično pričakovanje konstante je enako konstanti sami, tj. $M\levo(C\desno)=C$.
3. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja: $M\levo(CX\desno)=CM\levo(X\desno)$.
4. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj: $M\levo(X+Y\desno)=M\levo(X\desno)+M\levo(Y\desno)$.
5. Matematično pričakovanje zmnožka neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku njihovih matematičnih pričakovanj: $M\levo(XY\desno)=M\levo(X\desno)M\levo(Y\desno)$.

Primer 3 . Poiščimo matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$$M\levo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\nad (6))+2\cdot ((1)\nad (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1 )\nad (6))=3,5.$$

Opazimo lahko, da $M\left(X\right)$ leži med najmanjšo ($1$) in največjo ($6$) vrednostjo naključne spremenljivke $X$.

Primer 4 . Znano je, da je matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ enako $M\left(X\right)=2$. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke $3X+5$.

Z uporabo zgornjih lastnosti dobimo $M\levo(3X+5\desno)=M\levo(3X\desno)+M\levo(5\desno)=3M\levo(X\desno)+5=3\ cdot 2 +5=11 $.

Primer 5 . Znano je, da je matematično pričakovanje naključne spremenljivke $X$ enako $M\levo(X\desno)=4$. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke $2X-9$.

Z uporabo zgornjih lastnosti dobimo $M\levo(2X-9\desno)=M\levo(2X\desno)-M\levo(9\desno)=2M\levo(X\desno)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne spremenljivke.

Možne vrednosti naključnih spremenljivk z enakimi matematičnimi pričakovanji se lahko različno razpršijo okoli svojih povprečnih vrednosti. Na primer, v dveh skupinah študentov se je povprečna ocena na izpitu iz teorije verjetnosti izkazala za 4, vendar so se v eni skupini vsi izkazali za dobre študente, v drugi skupini pa so bili samo C študenti in odličnjaki. Zato obstaja potreba po numerični karakteristiki naključne spremenljivke, ki bi pokazala širjenje vrednosti naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja. Ta lastnost je disperzija.

Varianca diskretne naključne spremenljivke$X$ je enako:

$$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2).\ $$

V angleški literaturi se uporablja zapis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Zelo pogosto se varianca $D\left(X\right)$ izračuna s formulo $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ levo(X \desno)\desno))^2$.

Disperzijske lastnosti$D\levo(X\desno)$:

1. Varianca je vedno večja ali enaka nič, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
2. Varianca konstante je nič, tj. $D\levo(C\desno)=0$.
3. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka disperzije pod pogojem, da je kvadratiran, tj. $D\levo(CX\desno)=C^2D\levo(X\desno)$.
4. Varianca vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk je enaka vsoti njihovih varianc, tj. $D\levo(X+Y\desno)=D\levo(X\desno)+D\levo(Y\desno)$.
5. Varianca razlike med neodvisnimi slučajnimi spremenljivkami je enaka vsoti njihovih varianc, tj. $D\levo(X-Y\desno)=D\levo(X\desno)+D\levo(Y\desno)$.

Primer 6 . Izračunajmo varianco naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$$D\levo(X\desno)=\vsota^n_(i=1)(p_i(\levo(x_i-M\levo(X\desno)\desno))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\levo(1-3,5\desno))^2+((1)\nad (6))\cdot (\levo(2-3,5\desno))^2+ \pike +( (1)\nad (6))\cdot (\levo(6-3,5\desno))^2=((35)\nad (12))\približno 2,92.$$

Primer 7 . Znano je, da je varianca naključne spremenljivke $X$ enaka $D\levo(X\desno)=2$. Poiščite varianco naključne spremenljivke $4X+1$.

Z uporabo zgornjih lastnosti najdemo $D\levo(4X+1\desno)=D\levo(4X\desno)+D\levo(1\desno)=4^2D\levo(X\desno)+0= 16D\ levo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primer 8 . Znano je, da je varianca naključne spremenljivke $X$ enaka $D\levo(X\desno)=3$. Poiščite varianco naključne spremenljivke $3-2X$.

Z uporabo zgornjih lastnosti najdemo $D\levo(3-2X\desno)=D\levo(3\desno)+D\levo(2X\desno)=0+2^2D\levo(X\desno)= 4D\ levo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Porazdelitvena funkcija diskretne slučajne spremenljivke.

Metoda predstavitve diskretne naključne spremenljivke v obliki porazdelitvene serije ni edina in, kar je najpomembneje, ni univerzalna, saj zvezne naključne spremenljivke ni mogoče določiti s porazdelitveno serijo. Obstaja še en način za predstavitev naključne spremenljivke - distribucijska funkcija.

Distribucijska funkcija naključna spremenljivka $X$ se imenuje funkcija $F\left(x\right)$, ki določa verjetnost, da bo naključna spremenljivka $X$ zavzela vrednost, manjšo od neke fiksne vrednosti $x$, to je $F\ levo(x\desno)=P\levo(X< x\right)$

Lastnosti porazdelitvene funkcije:

1. $0\le F\levo(x\desno)\le 1$.
2. Verjetnost, da bo naključna spremenljivka $X$ prevzela vrednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, je enaka razliki med vrednostmi porazdelitvene funkcije na koncih tega interval: $P\levo(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\desno)$ - ne padajoče.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\desno)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primer 9 . Poiščimo porazdelitveno funkcijo $F\left(x\right)$ za porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke $X$ iz primera $2$.

$\začetek(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\konec(matrika)$

Če je $x\le 1$, potem je očitno $F\left(x\desno)=0$ (vključno z $x=1$ $F\left(1\desno)=P\left(X< 1\right)=0$).

Če 1 $< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Če 2 $< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Če 3 $< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Če 4 $< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Če 5 $< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Če je $x > 6$, potem $F\levo(x\desno)=P\levo(X=1\desno)+P\levo(X=2\desno)+P\levo(X=3\desno) +P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Torej $F(x)=\levo\(\begin(matrix)
0,\ pri\ x\le 1,\\
1/6, pri \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, pri \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ na\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ na\ 4< x\le 5,\\
1,\ za\ x > 6.
\konec(matrika)\desno.$

X; pomen F(5); verjetnost, da naključna spremenljivka X bo vzel vrednosti iz segmenta. Konstruirajte porazdelitveni poligon.

1. Porazdelitvena funkcija F(x) diskretne naključne spremenljivke je znana X:

Postavite zakon porazdelitve naključne spremenljivke X v obliki tabele.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

X	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Verjetnost, da ima trgovina certifikate kakovosti za celotno ponudbo izdelkov, je 0,7. Komisija je preverila razpoložljivost certifikatov v štirih trgovinah na tem območju. Pripravite razdelitveni zakon, izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo števila trgovin, v katerih pri inšpekcijskem nadzoru niso bili najdeni certifikati kakovosti.

1. Za določitev povprečno trajanje zgorevanje električnih sijalk v seriji 350 enakih škatel, iz vsake škatle je bila za testiranje vzeta ena električna luč. Spodaj ocenite verjetnost, da se povprečni čas gorenja izbranih električnih sijalk razlikuje od povprečnega časa gorenja celotne serije v absolutni vrednosti za manj kot 7 ur, če je znano, da je standardna deviacija časa gorenja električnih sijalk v vsaka škatla je manj kot 9 ur.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,002. Poiščite verjetnost, da bo med 500 povezavami prišlo do naslednjega:

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Zgradite grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Avtomatski stroj izdeluje valje. Menijo, da je njihov premer normalno porazdeljena naključna spremenljivka s srednjo vrednostjo 10 mm. Kolikšen je standardni odklon, če je z verjetnostjo 0,99 premer v območju od 9,7 mm do 10,3 mm.

Vzorec A: 6 9 7 6 4 4

Vzorec B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Možnost 17.

1. Med 35 deli je 7 nestandardnih. Poiščite verjetnost, da se dva naključno vzeta dela izkažeta za standardna.

1. Vržejo tri kocke. Poiščite verjetnost, da je vsota točk na izpuščenih straneh večkratnik števila 9.

1. Beseda "AVANTURA" je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo, ne da bi se vrnile. Poiščite verjetnost, da črke, odvzete po vrstnem redu, tvorijo besedo: a) AVANTURA; b) UJETNIK.

1. Žara vsebuje 6 črnih in 5 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:
1. 2 beli kroglici;
2. manj kot 2 beli žogi;
3. vsaj eno črno kroglo.

1. A v enem testu je enaka 0,4. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:
1. dogodek A pojavi se 3-krat v seriji 7 neodvisnih poskusov;
2. dogodek A se bo pojavilo najmanj 220 in največ 235-krat v nizu 400 poskusov.

1. Tovarna je v bazo poslala 5000 kakovostnih izdelkov. Verjetnost poškodbe posameznega izdelka med prevozom je 0,002. Poiščite verjetnost, da se med potovanjem ne poškodujejo več kot 3 izdelki.

1. V prvi žari so 4 bele in 9 črnih kroglic, v drugi žari pa 7 belih in 3 črne kroglice. Iz prve žare so naključno izžrebane 3 kroglice, iz druge žare pa 4. Poiščite verjetnost, da so vse izžrebane kroglice iste barve.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Izračunajte njegovo matematično pričakovanje in varianco.

1. V škatli je 10 svinčnikov. Naključno izžrebani 4 svinčniki. Naključna vrednost X– število modrih svinčnikov med izbranimi. Poiščite zakon njegove porazdelitve, začetni in osrednji trenutek 2. in 3. reda.

1. Služba tehničnega nadzora pregleda 475 izdelkov za napake. Verjetnost, da je izdelek okvarjen, je 0,05. Z verjetnostjo 0,95 poiščite meje, znotraj katerih bo vsebovano število izdelkov z napako med testiranimi.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,003. Poiščite verjetnost, da bo med 1000 povezavami prišlo do naslednjega:
1. vsaj 4 nepravilne povezave;
2. več kot dve nepravilni povezavi.

1. Slučajna spremenljivka je podana s funkcijo gostote porazdelitve:

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Zgradite grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Naključna spremenljivka je podana s funkcijo porazdelitve:

1. Po vzorcu A reši naslednje težave:
1. ustvarite variacijsko serijo;

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

Način in mediana;

Vzorec A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunati numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Možnost 18.

1. Med 10 srečke 2 zmagujeta. Poiščite verjetnost, da bo od petih naključno izbranih srečk ena dobitna.

1. Vržene so tri kocke. Poiščite verjetnost, da je vsota vrženih točk večja od 15.

1. Beseda »PERIMETER« je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo brez vrnitve. Ugotovite verjetnost, da iz izločenih črk sestoji beseda: a) OBOD; b) METER.

1. Žara vsebuje 5 črnih in 7 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:
1. 4 bele kroglice;
2. manj kot 2 beli žogi;
3. vsaj eno črno kroglo.

1. Verjetnost, da se zgodi dogodek A v enem poskusu je enako 0,55. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:
1. dogodek A se bo pojavil 3-krat v seriji 5 izzivov;
2. dogodek A se bo pojavil najmanj 130 in največ 200-krat v nizu 300 poskusov.

1. Verjetnost, da se pločevinka konzerve razbije, je 0,0005. Poiščite verjetnost, da bo med 2000 pločevinkami dve puščalo.

1. V prvi žari so 4 bele in 8 črnih kroglic, v drugi žari pa 7 belih in 4 črne kroglice. Dve žogi sta naključno izžrebani iz prve žare in tri krogle so naključno izžrebane iz druge žare. Poiščite verjetnost, da so vse izvlečene kroglice enake barve.

1. Med deli, ki prispejo v montažo, je 0,1 % okvarjenih s prvega stroja, 0,2 % z drugega, 0,25 % s tretjega in 0,5 % s četrtega. Razmerja produktivnosti stroja so 4:3:2:1. Naključno vzeti del se je izkazal za standardnega. Poiščite verjetnost, da je bil del narejen na prvem stroju.

1. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

Izračunajte njegovo matematično pričakovanje in varianco.

1. Električar ima tri žarnice, od katerih ima vsaka napako z verjetnostjo 0,1. Ko je tok vklopljen, okvarjena žarnica takoj pregori in jo nadomesti druga. Poiščite zakon porazdelitve, matematično pričakovanje in disperzijo števila preizkušenih žarnic.

1. Verjetnost zadetka tarče je 0,3 za vsakega od 900 neodvisnih strelov. S pomočjo Čebiševove neenakosti ocenite verjetnost, da bo tarča zadeta najmanj 240-krat in največ 300-krat.

1. Na telefonski centrali pride do nepravilne povezave z verjetnostjo 0,002. Poiščite verjetnost, da bo med 800 povezavami prišlo do naslednjega:
1. vsaj tri nepravilne povezave;
2. več kot štiri nepravilne povezave.

1. Slučajna spremenljivka je podana s funkcijo gostote porazdelitve:

Poišči porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Nariši grafe funkcij in . Izračunajte matematično pričakovanje, varianco, način in mediano naključne spremenljivke X.

1. Naključna spremenljivka je podana s funkcijo porazdelitve:

1. Po vzorcu A reši naslednje težave:
1. ustvarite variacijsko serijo;
2. izračunati relativne in akumulirane frekvence;
3. sestaviti empirično porazdelitveno funkcijo in jo narisati;
4. izračunajte numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec A: 4 7 6 3 3 4

1. Z vzorcem B rešite naslednje naloge:
1. ustvarite združeno variacijsko serijo;
2. zgraditi histogram in frekvenčni poligon;
3. izračunajte numerične značilnosti variacijske serije:

· povprečje vzorca;

· varianca vzorca;

standardni odklon vzorca;

· način in mediana;

Vzorec B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Možnost 19.

1. Na delovišču dela 16 žensk in 5 moških. 3 osebe so bile naključno izbrane z njihovimi osebnimi številkami. Poiščite verjetnost, da bodo vsi izbrani moški.

2. Vrženi so štirje kovanci. Poiščite verjetnost, da bosta samo dva kovanca imela »grb«.

3. Beseda PSIHOLOGIJA je sestavljena iz kartic, na vsaki je napisana ena črka. Karte se premešajo in jemljejo eno za drugo, ne da bi se vrnile. Ugotovite verjetnost, da izločene črke tvorijo besedo: a) PSIHOLOGIJA; b) OSEBJE.

4. Žara vsebuje 6 črnih in 7 belih kroglic. Naključno je izžrebanih 5 kroglic. Poiščite verjetnost, da so med njimi:

a. 3 bele kroglice;

b. manj kot 3 bele kroglice;

c. vsaj eno belo kroglo.

5. Verjetnost, da se zgodi dogodek A v enem poskusu je enako 0,5. Poiščite verjetnosti naslednjih dogodkov:

a. dogodek A pojavi se 3-krat v seriji 5 neodvisnih poskusov;

b. dogodek A se bo pojavil vsaj 30 in ne več kot 40-krat v nizu 50 poskusov.

6. Obstaja 100 strojev enake moči, ki delujejo neodvisno drug od drugega v enakem načinu, pri katerem je njihov pogon vklopljen 0,8 delovne ure. Kakšna je verjetnost, da bo v danem trenutku vklopljenih od 70 do 86 strojev?

7. V prvi žari so 4 bele in 7 črnih kroglic, v drugi žari pa 8 belih in 3 črne kroglice. Iz prve žare so naključno izžrebane 4 kroglice, iz druge pa 1 žoga. Poiščite verjetnost, da so med izvlečenimi kroglicami samo 4 črne kroglice.

8. Avtohiša ​​vsak dan prejema nove artikle. avtomobili treh blagovne znamke v obsegu: "Moskvich" - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% vseh uvoženih avtomobilov. Med avtomobili Moskvich jih ima 0,5 % protivlomno napravo, Oka – 0,01 %, Volga – 0,1 %. Poiščite verjetnost, da ima avto, odpeljan na pregled, protivlomno napravo.

9. Številke in so izbrane naključno na segmentu. Poiščite verjetnost, da ta števila izpolnjujejo neenakosti.

10. Podan je zakon porazdelitve naključne spremenljivke X:

X
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X; pomen F(2); verjetnost, da naključna spremenljivka X bo vzel vrednosti iz intervala. Konstruirajte porazdelitveni poligon.

Kot je znano, naključna spremenljivka se imenuje spremenljiva količina, ki lahko zavzame določene vrednosti, odvisno od primera. Naključne spremenljivke so označene z velikimi črkami latinice (X, Y, Z), njihove vrednosti pa z ustreznimi malimi črkami (x, y, z). Naključne spremenljivke delimo na diskontinuirane (diskretne) in zvezne.

Diskretna naključna spremenljivka je naključna spremenljivka, ki sprejme le končen ali neskončen (štet) niz vrednosti z določenimi verjetnostmi, ki niso nič.

Porazdelitveni zakon diskretne naključne spremenljivke je funkcija, ki povezuje vrednosti naključne spremenljivke z njihovimi ustreznimi verjetnostmi. Distribucijski zakon je mogoče določiti na enega od naslednjih načinov.

1 . Zakon porazdelitve lahko podamo s tabelo:

kjer je λ>0, k = 0, 1, 2, ….

V) z uporabo porazdelitvena funkcija F(x) , ki za vsako vrednost x določa verjetnost, da bo naključna spremenljivka X zavzela vrednost, manjšo od x, tj. F(x) = P(X< x).

Lastnosti funkcije F(x)

3 . Porazdelitveni zakon lahko podamo grafično – porazdelitveni poligon (poligon) (glej problem 3).

Upoštevajte, da za rešitev nekaterih problemov ni potrebno poznati distribucijskega zakona. V nekaterih primerih je dovolj, da poznate eno ali več številk, ki najbolj odražajo pomembne lastnosti distribucijski zakon. To je lahko število, ki ima pomen »povprečne vrednosti« naključne spremenljivke, ali število, ki kaže povprečno velikost odstopanja naključne spremenljivke od njene srednje vrednosti. Števila te vrste imenujemo numerične značilnosti naključne spremenljivke.

Osnovne numerične značilnosti diskretne slučajne spremenljivke :

• Matematično pričakovanje (povprečna vrednost) diskretne naključne spremenljivke M(X)=Σ x i p i.
  Za binomsko porazdelitev M(X)=np, za Poissonovo porazdelitev M(X)=λ
• Razpršenost diskretna naključna spremenljivka D(X)=M2 oz D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) se imenuje odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.
  Za binomsko porazdelitev D(X)=npq, za Poissonovo porazdelitev D(X)=λ
• Standardni odklon (standardni odklon) σ(X)=√D(X).

Primeri reševanja problemov na temo "Zakon porazdelitve diskretne naključne spremenljivke"

Naloga 1.

Izdanih je bilo 1000 loterijskih srečk: 5 od njih bo dobilo 500 rubljev, 10 bo dobilo 100 rubljev, 20 bo dobilo 50 rubljev, 50 bo dobilo 10 rubljev. Določite zakon porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X – dobitek na listek.

rešitev. V skladu s pogoji problema so možne naslednje vrednosti naključne spremenljivke X: 0, 10, 50, 100 in 500.

Število vstopnic brez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, potem je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobno najdemo vse druge verjetnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Naj nastali zakon predstavimo v obliki tabele:

Poiščimo matematično pričakovanje vrednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Naloga 3.

Napravo sestavljajo trije neodvisno delujoči elementi. Verjetnost okvare vsakega elementa v enem poskusu je 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število neuspelih elementov v enem poskusu, zgradite porazdelitveni poligon. Poiščite porazdelitveno funkcijo F(x) in jo narišite. Poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon diskretne naključne spremenljivke.

rešitev. 1. Diskretna naključna spremenljivka X = (število neuspešnih elementov v enem poskusu) ima naslednje možne vrednosti: x 1 = 0 (noben od elementov naprave ni odpovedal), x 2 = 1 (en element je odpovedal), x 3 = 2 ( dva elementa sta odpovedala) in x 4 =3 (trije odpovedani elementi).

Odpovedi elementov so neodvisne druga od druge, verjetnosti odpovedi vsakega elementa so enake, zato velja Bernoullijeva formula . Glede na to, da je glede na pogoj n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, določimo verjetnosti vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Preverite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Tako ima želeni zakon binomske porazdelitve X obliko:

Možne vrednosti x i narišemo vzdolž abscisne osi, ustrezne verjetnosti p i pa vzdolž ordinatne osi. Izdelajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). S povezovanjem teh točk z ravnimi črtami dobimo želeni razdelilni poligon.

3. Poiščemo porazdelitveno funkcijo F(x) = Р(Х

Za x ≤ 0 velja F(x) = Р(Х<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bo F(x) = 1, ker dogodek je zanesljiv.

Graf funkcije F(x)

4. Za binomsko porazdelitev X:
- matematično pričakovanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varianca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- povprečno standardni odklonσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Podana je vrsta porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Poiščite manjkajočo verjetnost in narišite porazdelitveno funkcijo. Izračunajte matematično pričakovanje in varianco te količine.

Naključna spremenljivka X ima samo štiri vrednosti: -4, -3, 1 in 2. Vsako od teh vrednosti zavzame z določeno verjetnostjo. Ker mora biti vsota vseh verjetnosti enaka 1, je manjkajoča verjetnost enaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sestavimo porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke X. Znano je, da porazdelitvena funkcija , potem:

torej

Narišimo funkcijo F(x) .

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je enako vsoti produktov vrednosti naključne spremenljivke in ustrezne verjetnosti, tj.

Varianco diskretne naključne spremenljivke najdemo po formuli:

APLIKACIJA

Elementi kombinatorike Tukaj: - faktoriel števila

Ukrepi na dogodkih Dogodek je vsako dejstvo, ki se lahko zgodi ali ne zgodi kot posledica izkušnje. Združevanje dogodkov A in IN- ta dogodek Z ki je sestavljen iz pojava ali dogodka A, ali dogodki IN, ali oba dogodka hkrati. Oznaka: ; Crossing Dogodki A in IN- ta dogodek Z, ki je sestavljen iz hkratnega pojava obeh dogodkov. Oznaka: ;

Klasična definicija verjetnosti Verjetnost dogodka A je razmerje med številom poskusov , ugodno za nastanek dogodka A, na skupno število poskusov :

Formula za množenje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: - verjetnost dogodka A, - verjetnost dogodka IN, - verjetnost dogodka IN pod pogojem, da dogodek A se je že zgodilo. Če sta dogodka A in B neodvisna (pojav enega ne vpliva na nastop drugega), je verjetnost dogodka enaka:

Formula za seštevanje verjetnosti Verjetnost dogodka lahko najdete s formulo: Verjetnost dogodka A, Verjetnost dogodka IN, - verjetnost sopojavitve dogodkov A in IN. Če sta dogodka A in B nekompatibilna (se ne moreta zgoditi hkrati), je verjetnost dogodka enaka:

Formula skupne verjetnosti Naj dogodek A se lahko zgodi hkrati z enim od dogodkov , , …, - recimo jim hipoteze. Znano tudi - verjetnost izvedbe jaz-ta hipoteza in - verjetnost pojava dogodka A pri izvedbi jaz-ta hipoteza. Nato verjetnost dogodka A lahko najdete po formuli:

Bernoullijeva shema Naj bo n neodvisnih testov. Verjetnost pojava (uspeha) dogodka A v vsakem od njih stalna in enaka str, verjetnost okvare (tj. dogodka, ki se ne zgodi A) q = 1 - str. Nato verjetnost pojava k uspeh v n teste je mogoče najti z uporabo Bernoullijeve formule: Najverjetneje število uspehov v Bernoullijevi shemi je to število pojavov določenega dogodka, ki ima največjo verjetnost. Najdete ga lahko po formuli:

Naključne spremenljivke diskretno zvezno (na primer število deklet v družini s 5 otroki) (na primer čas, ko kotliček pravilno deluje) Numerične značilnosti diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bo diskretna količina podana z nizom porazdelitve: X R , , …, - vrednosti naključne spremenljivke X; , , …, so ustrezne vrednosti verjetnosti. Distribucijska funkcija Porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke X je funkcija, definirana na celotni številski premici in enaka verjetnosti, da X bo manj X:

Vprašanja za izpit

Dogodek.

Operacije na naključnih dogodkih.

Koncept verjetnosti dogodka.

Pravila za seštevanje in množenje verjetnosti. Pogojne verjetnosti.

Formula skupne verjetnosti. Bayesova formula.

Bernoullijeva shema.

Naključna spremenljivka, njena porazdelitvena funkcija in porazdelitvena vrsta.

Osnovne lastnosti porazdelitvene funkcije.

Pričakovana vrednost. Lastnosti matematičnega pričakovanja.

Razpršenost.

Lastnosti disperzije.

Gostota porazdelitve verjetnosti enodimenzionalne naključne spremenljivke.

Vrste porazdelitev: enakomerna, eksponentna, normalna, binomska in Poissonova porazdelitev.

Lokalni in integralni Moivre-Laplaceov izrek.

Zakon in porazdelitvena funkcija sistema dveh naključnih spremenljivk.

Gostota porazdelitve sistema dveh slučajnih spremenljivk.

Pogojni zakoni porazdelitve, pogojno matematično pričakovanje.

Odvisne in neodvisne naključne spremenljivke. Korelacijski koeficient.

Vzorec.

Obdelava vzorcev. Poligon in frekvenčni histogram. Empirična porazdelitvena funkcija. Koncept ocenjevanja porazdelitvenih parametrov. Zahteve za ocenjevanje. Interval zaupanja. Konstrukcija intervalov za ocenjevanje matematičnega pričakovanja in standardnega odklona. Statistične hipoteze. Merila privolitve.

Spodaj boste našli primere odločitev o diskretnih naključnih spremenljivkah, pri katerih morate uporabiti znanje iz prejšnjih razdelkov teorije verjetnosti, da sestavite porazdelitveni zakon, nato pa izračunate matematično pričakovanje, disperzijo, standardni odklon, sestavite porazdelitveno funkcijo, odgovorite vprašanja o DSV itd. P.

Primeri priljubljenih zakonov porazdelitve verjetnosti:

Kalkulatorji za DSV karakteristike

• Izračun matematičnega pričakovanja, disperzije in standardnega odklona DSV.

Rešene težave glede DSV

Porazdelitve blizu geometrijskim

Naloga 1. Na poti avtomobila so 4 semaforji, od katerih vsak prepoveduje nadaljnje premikanje avtomobila z verjetnostjo 0,5. Poiščite porazdelitveno vrsto števila semaforjev, ki jih prevozi avtomobil pred prvim postankom. Kakšna sta matematično pričakovanje in varianca te naključne spremenljivke?

Naloga 2. Lovec strelja na divjad do prvega zadetka, vendar ne uspe izstreliti več kot štiri strele. Sestavite porazdelitveni zakon za število zgrešenih strelov, če je verjetnost zadetka tarče z enim strelom 0,7. Poiščite varianco te naključne spremenljivke.

Naloga 3. Strelec, ki ima 3 naboje, strelja na tarčo do prvega zadetka. Verjetnost zadetka za prvi, drugi in tretji strel je 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $\xi$ - število preostalih kartuš. Sestavite niz porazdelitve naključne spremenljivke, poiščite matematično pričakovanje, varianco, standardni odklon naključne spremenljivke, sestavite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke, poiščite $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Naloga 4.Škatla vsebuje 7 standardnih in 3 pokvarjene dele. Dele vzamejo zaporedno, dokler se ne pojavi standardni, ne da bi jih vrnili nazaj. $\xi$ je število najdenih okvarjenih delov.
Nariši porazdelitveni zakon za diskretno naključno spremenljivko $\xi$, izračunaj njeno matematično pričakovanje, varianco, standardni odklon, nariši porazdelitveni poligon in graf porazdelitvene funkcije.

Naloge s samostojnimi dogodki

Naloga 5. Na popravni izpit iz teorije verjetnosti so se prijavili 3 študenti. Verjetnost, da bo prvi opravil izpit, je 0,8, drugi 0,7 in tretji 0,9. Poiščite porazdelitveno vrsto naključne spremenljivke $\xi$ števila študentov, ki so opravili izpit, narišite porazdelitveno funkcijo, poiščite $M(\xi), D(\xi)$.

Naloga 6. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8 in se z vsakim strelom zmanjša za 0,1. Sestavite porazdelitveni zakon za število zadetkov v tarčo, če so izstreljeni trije streli. Poiščite pričakovano vrednost, varianco in S.K.O. to naključno spremenljivko. Nariši graf porazdelitvene funkcije.

Naloga 7. V tarčo se izstrelijo 4 streli. Verjetnost zadetka se povečuje takole: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Poiščite zakon porazdelitve naključne spremenljivke $X$ - število zadetkov. Poiščite verjetnost, da je $X \ge 1$.

Naloga 8. Vržeta se dva simetrična kovanca in prešteje se število grbov na obeh zgornjih straneh kovancev. Upoštevamo diskretno naključno spremenljivko $X$ - število grbov na obeh kovancih. Zapišite porazdelitveni zakon naključne spremenljivke $X$, poiščite njeno matematično pričakovanje.

Drugi problemi in zakonitosti distribucije DSV

Naloga 9. Dva košarkarja udarita trikrat na koš. Verjetnost zadetka za prvega košarkarja je 0,6, za drugega 0,7. Naj bo $X$ razlika med številom uspešnih strelov prvega in drugega košarkarja. Poiščite porazdelitveni niz, modus in porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke $X$. Konstruirajte porazdelitveni poligon in graf porazdelitvene funkcije. Izračunajte pričakovano vrednost, varianco in standardni odklon. Poiščite verjetnost dogodka $(-2 \lt X \le 1)$.

Problem 10.Število nerezidenčnih ladij, ki dnevno prispejo za natovarjanje v določeno pristanišče, je naključna spremenljivka $X$, podana kot sledi:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) poskrbite, da je navedena distribucijska serija,
B) poiščite porazdelitveno funkcijo naključne spremenljivke $X$,
C) če na določen dan prispe več kot tri ladje, prevzame pristanišče odgovornost za stroške zaradi potrebe po najemu dodatnih voznikov in nakladalcev. Kakšna je verjetnost, da bo imelo pristanišče dodatne stroške?
D) poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardni odklon naključne spremenljivke $X$.

Problem 11. Vržene so 4 kocke. Poiščite matematično pričakovanje vsote števila točk, ki se bodo pojavile na vseh straneh.

Problem 12. Oba izmenično mečeta kovanec, dokler se prvi ne prikaže grb. Igralec, ki je dobil grb, prejme od drugega igralca 1 rubelj. Poiščite matematično pričakovanje zmage za vsakega igralca.