Как найти сумму углов многоугольника формула. Многоугольники. Подробная теория с примерами. Сбор и использование персональной информации

Внутренний угол многоугольника - это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника - это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d (n - 2)

где s - это сумма углов, 2d - два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n - количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d ), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d (n - 2) = 180 · 4 = 720°

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d ).

s = 4d

где s - это сумма внешних углов, 4d - четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d ), так как они являются смежными углами . Например, ∠1 и ∠2 :

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn . Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d (n - 2):

s = 2dn - 2d (n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Видеоурок 2: Многоугольники. Решение задач

Лекция: Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника

Многоугольники – это фигуры, которые окружают нас везде – это и форма сот, в которых пчелы хранят свой мед, архитектурные сооружения, а так же многое другое.

Как уже говорилось ранее, многоугольники – это фигуры, у которых больше двух углов. Они состоять из замкнутой ломаной линии.

Причем углы многоугольников могут быть наружные и внутренние. Например, звезда – это фигура, которая имеет 10 углов, при этом некоторые из них выпуклые, а другие вогнутые:

Примеры выпуклых многоугольников:

Обратите внимание, на рисунке показаны правильные многоугольники – именно такие подробно изучаются в школьном курсе математики.

У любого многоугольника количество вершин совпадает с количеством сторон. Так же обратите внимание, что соседними вершинами называются те, которые имеют одну общую сторону. Например, у треугольника все вершины соседние.

Чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше их градусная мера. Однако, градусная мера угла выпуклого многоугольника не может быть больше или равной 180 градусам.

Чтобы определить общую градусную меру многоугольника, необходимо воспользоваться формулой.

Примечание . Данный материал содержит теорему и ее доказательство, а также ряд задач, иллюстрирующих применение теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника на практических примерах .

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Доказательство .

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n - данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).

Задача.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные - 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Решение.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая:

180(n-2)=3*80+x*150, где

3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит обозначим их количество как x.

Однако, из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом уравнение будет выглядеть так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Решаем полученное уравнение

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Ответ: 5 вершин

Задача.

Какое количество вершин может иметь многоугольник, если величина каждого из углов менее 120 градусов?

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех углов равна 180°(n-2) .

Значит, для нашего случая необходимо сначала оценить граничные условия задачи. То есть, сделать допущение, что каждый из углов равен 120 градусам. Получаем:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (это выражение рассмотрим отдельно ниже)

Исходя из полученного уравнения, делаем вывод: при величине углов менее 120 градусов, количество углов многоугольника менее шести.

Объяснение:

Исходя из выражения 180n - 120n = 360 , при условии, что вычитаемое правой части будет менее 120n, разность должна быть более 60n. Таким образом, частное от деления всегда будет менее шести.

Ответ: количество вершин многоугольника будет менее шести.

Задача

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера - целое число. Найти количество вершин многоугольника.

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма всех внешних углов равна 360° .

Таким образом,

3*(180-113)+(n-3)x=360

правая часть выражения - сумма внешних углов, в левой части сумма трех углов известна по условию, а градусная мера остальных (их количество, соответственно n-3, так как три угла известны) обозначена как x.

159 раскладывается только на два множителя 53 и 3, при чем 53 - простое число. То есть других пар множителей не существует.

Таким образом, n-3 = 3, n=6, то есть количество углов многоугольника - шесть.

Ответ : шесть углов

Задача

Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов.

Решение

Как известно, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 0 . Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника не менее четырех острых внутренних углов, следовательно среди его внешних углов не менее четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.

Для случая выпуклого n-угольника

Пусть A 1 A 2 . . . A n {\displaystyle A_{1}A_{2}...A_{n}} - данный выпуклый многоугольник и n > 3 . Тогда проведем из одной вершины к противоположным вершинам (n − 3) диагонали: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 {\displaystyle A_{1}A_{3},A_{1}A_{4},A_{1}A_{5}...A_{1}A_{n-1}} . Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на (n − 2) треугольника: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n {\displaystyle \Delta A_{1}A_{2}A_{3},\Delta A_{1}A_{3}A_{4},...,\Delta A_{1}A_{n-1}A_{n}} . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n − 2 . Следовательно, сумма углов n -угольника равна 180°(n − 2) . Теорема доказана.

Замечание

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n − 2) . Доказательство может быть аналогично, используя в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники, и не опираясь на то, что диагонали проведены обязательно из одной вершины (ограниченное таким условием разрезание невыпуклого многоугольника не всегда возможно в том смысле, что у невыпуклого многоугольника не обязательно есть хотя бы одна вершина, все диагонали из которой лежат внутри многоугольника, как и треугольники, ими образуемые).