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कौन सी संख्याएँ 3 से विभाज्य नहीं हैं। अध्याय II। प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण। अध्याय I. संख्याओं की विभाज्यता की परिभाषा और गुण

परिभाषा 1. संख्या दें ए 1) दो संख्याओं का गुणनफल होता है बीतथा क्यूइसलिए ए = बीक्यू।फिर एबहु कहा जाता है बी.

1) इस लेख में, शब्द संख्या का अर्थ एक पूर्णांक होगा।

तुम भी कह सकते हो एद्वारा विभाजित बी,या बीएक भाजक है ए, या बीविभाजित ए, या बीमें एक कारक है ए.

परिभाषा 1 का तात्पर्य निम्नलिखित कथनों से है:

कथन1. अगर ए- एकाधिक बी, बी- एकाधिक सी, फिर एविभिन्न सी.

सचमुच। चूंकि

कहां एमतथा एनकुछ नंबर, तो

अत एद्वारा विभाजित सी।

यदि संख्याओं की एक पंक्ति में, प्रत्येक अगले एक से विभाज्य है, तो प्रत्येक संख्या बाद की सभी संख्याओं का गुणज है।

कथन 2. अगर संख्या एतथा बी- गुणक सी, तो उनका योग और अंतर भी गुणज होते हैं सी.

सचमुच। चूंकि

ए + बी = एमसी + एनसी = (एम + एन) सी,

ए-बी = एमसी-एनसी = (एम-एन) सी।

अत ए + बीद्वारा विभाजित सीतथा ए - बीद्वारा विभाजित सी .

विभाज्यता मानदंड

आइए हम किसी प्राकृत संख्या से संख्याओं की विभाज्यता की कसौटी निर्धारित करने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें एम, जिसे पास्कल विभाज्यता मानदंड कहा जाता है।

द्वारा भाग के शेषफल ज्ञात कीजिए एमनिम्नलिखित क्रम। 10 को से विभाजित करने के बाद शेषफल दें एममर्जी आर 1, 10 और मिडडॉट आर 1 पर एममर्जी आर 2, आदि तब आप लिख सकते हैं:

आइए हम सिद्ध करें कि संख्या के भाग का शेषफल एपर एमसंख्या के विभाजन के शेष के बराबर

(3)

जैसा कि आप जानते हैं, यदि दो संख्याओं को किसी संख्या से विभाजित करने पर एमवही शेषफल दें, तो अंतर को से विभाजित किया जाता है एमशेष के बिना।

अंतर पर विचार करें ए - ए "

(6)

(7)

दायीं ओर के प्रत्येक पद (5) को से विभाजित किया जाता है एमइसलिए समीकरण का बायां पक्ष भी से विभाज्य है एम... इसी तरह से तर्क करने पर, हम पाते हैं कि (6) का दाहिना हाथ से विभाज्य है एम, इसलिए (6) का बायाँ भाग भी से विभाज्य है एम, दाहिने हाथ की ओर (7) को . में विभाजित किया गया है एम, इसलिए (7) का बायाँ भाग भी से विभाज्य है एम... हमने पाया कि समीकरण (4) का दाहिना भाग से विभाज्य है एम... अत एतथा ए "से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है एम... इस मामले में कहा जा रहा है कि एतथा ए "मापांक में बराबर या तुलनीय एम.

तो अगर ए "द्वारा विभाजित एम एम) , फिर एमें भी विभाजित एम(जब से विभाजित किया जाता है तो शून्य शेष रहता है एम) हमने दिखाया है कि विभाज्यता का निर्धारण करने के लिए एआप एक सरल संख्या की विभाज्यता को परिभाषित कर सकते हैं ए ".

व्यंजक (3) के आधार पर विशिष्ट संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड प्राप्त करना संभव है।

संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . की विभाज्यता

2 से विभाज्यता।

निम्नलिखित प्रक्रिया (1) के लिए एम = 2, हम पाते हैं:

2 से भाग देने पर शेषफल शून्य के बराबर होता है। तब, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

3 से भाग देने के बाद सभी शेषफल 1 के बराबर होते हैं। फिर, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

4 से भाग देने के बाद, पहले वाले को छोड़कर सभी शेषफल 0 के बराबर हैं। फिर, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

सभी अवशेष शून्य हैं। तब, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

सभी शेषफल 4 के बराबर हैं। तब समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

इसलिए, संख्या 6 से विभाज्य है यदि और केवल यदि दहाई की चौगुनी संख्या, इकाई की संख्या के साथ जोड़ा जाता है, 6 से विभाज्य है। छोड़े गए नंबर को जोड़ें। यदि दी गई संख्या 6 से विभाज्य है, तो मूल संख्या 6 से विभाज्य होगी।

उदाहरण। 2742 6 से विभाज्य है क्योंकि 274 * 4 + 2 = 1098, 1098 = 109 * 4 + 8 = 444, 444 = 44 * 4 + 4 = 180 को 6 से विभाजित किया जाता है।

एक सरल विभाज्यता मानदंड। एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि यह 2 और 3 से विभाज्य है (अर्थात, यदि यह एक सम संख्या है और यदि अंकों का योग 3 से विभाज्य है)। संख्या 2742 6 से विभाज्य है, क्योंकि संख्या सम है और 2 + 7 + 4 + 2 = 15 को 3 से विभाजित किया जाता है।

7 से विभाज्यता

निम्नलिखित प्रक्रिया (1) के लिए एम = 7, हम पाते हैं:

सभी अवशेष अलग हैं और 7 चरणों के बाद दोहराए जाते हैं। तब, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

पहले दो को छोड़कर सभी अवशेष शून्य हैं। तब, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

9 से भाग देने के बाद सभी शेषफल 1 के बराबर होते हैं। फिर, समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

10 से भाग देने के बाद सभी शेषफल 0 के बराबर होते हैं। तब समीकरण (3) से हमें प्राप्त होता है

इसलिए, संख्या 10 से विभाज्य है यदि और केवल यदि अंतिम अंक 10 से विभाज्य है (अर्थात अंतिम अंक शून्य है)।

छठी कक्षा का गणित विभाज्यता और विभाज्यता मानदंड के अध्ययन से शुरू होता है। अक्सर वे ऐसी संख्याओं से विभाज्यता के संकेतों तक सीमित होते हैं:

पर 2 : अंतिम अंक 0, 2, 4, 6 या 8 होना चाहिए;
पर 3 : संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए;
पर 4 : अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए;
पर 5 : अंतिम अंक 0 या 5 होना चाहिए;
पर 6 : संख्या 2 और 3 से विभाज्य होनी चाहिए;
द्वारा विभाज्यता 7 अक्सर देखा गया;
विभाज्यता मानदंड के बारे में शायद ही कभी ऐसा कहा जाता है 8 , हालांकि यह 2 और 4 से विभाज्यता के संकेतों के समान है। किसी संख्या के 8 से विभाज्य होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि तीन अंकों का अंत 8 से विभाज्य हो।
द्वारा विभाज्यता 9 हर कोई जानता है: किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। हालांकि, अंकशास्त्रियों द्वारा उपयोग की जाने वाली तिथियों के साथ सभी प्रकार की चाल के खिलाफ प्रतिरक्षा विकसित नहीं होती है।
द्वारा विभाज्यता 10 शायद सबसे सरल है: संख्या शून्य में समाप्त होनी चाहिए।
कभी-कभी छठी कक्षा के छात्रों को भी विभाज्यता के बारे में बताया जाता है 11 ... संख्या के अंकों को सम स्थानों में जोड़ना, विषम स्थानों की संख्याओं को परिणाम से घटाना आवश्यक है। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 11 से विभाज्य है।

आइए अब 7 से विभाज्यता पर लौटते हैं। यदि वे इसके बारे में बात करते हैं, तो इसे 13 से विभाज्यता के साथ जोड़ा जाता है और इसे इसी तरह उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

हम नंबर लेते हैं। हम इसे 3 अंकों के ब्लॉक में विभाजित करते हैं (सबसे बाएं ब्लॉक में एक या 2 अंक हो सकते हैं) और इन ब्लॉकों को बारी-बारी से जोड़ते / घटाते हैं।

यदि परिणाम 7, 13 (या 11) से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 7, 13 (या 11) से विभाज्य है।

यह विधि, साथ ही कई गणितीय तरकीबें, इस तथ्य पर आधारित है कि 7x11x13 = 1001। हालाँकि, तीन अंकों की संख्याओं का क्या करें, जिसके लिए विभाज्यता का प्रश्न, कभी-कभी, विभाजन के बिना भी हल नहीं किया जा सकता है। .

सार्वभौमिक विभाज्यता मानदंड का उपयोग करके, यह निर्धारित करने के लिए अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का निर्माण करना संभव है कि कोई संख्या 7 और अन्य "असुविधाजनक" संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।

7 मानदंड से बेहतर विभाज्यता
यह जांचने के लिए कि कोई संख्या 7 से विभाज्य है या नहीं, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाना होगा और परिणामी परिणाम से इस अंक को दो बार घटाना होगा। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 7 से विभाज्य है।

उदाहरण 1:
क्या 238 7 से विभाज्य है?
23-8-8 = 7. अतः संख्या 238 7 से विभाज्य है।
दरअसल, 238 = 34x7

यह क्रिया कई बार की जा सकती है।
उदाहरण 2:
क्या 65835 7 से विभाज्य है?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 7 से विभाज्य है (यदि हमने इस पर ध्यान नहीं दिया होता, तो हम एक और कदम उठा सकते थे: 6-3-3 = 0, और 0 निश्चित रूप से 7 से विभाज्य है)।

इसका मतलब है कि संख्या 65835 7 से विभाज्य है।

सार्वभौमिक विभाज्यता मानदंड के आधार पर, विभाज्यता मानदंड को 4 और 8 से सुधारा जा सकता है।

4 मानदंड से बेहतर विभाज्यता
यदि दहाई की संख्या में जोड़े गए लोगों की संख्या का आधा एक सम संख्या है, तो संख्या को 4 से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण 3
क्या 52 4 से विभाज्य है?
5 + 2/2 = 6, संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि संख्या 4 से विभाज्य है।

उदाहरण 4
क्या 134 4 से विभाज्य है?
3 + 4/2 = 5, संख्या विषम है, इसलिए 134 4 से विभाज्य नहीं है।

8 मानदंड से बेहतर विभाज्यता
यदि आप सैकड़ों की संख्या, दहाई की संख्या और इकाइयों की संख्या का आधा जोड़ दें, और परिणाम 4 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 8 से विभाज्य है।

उदाहरण 5
क्या 512 8 से विभाज्य है?
5 * 2 + 1 + 2/2 = 12, संख्या 4 से विभाज्य है, इसलिए 512 8 से विभाज्य है।

उदाहरण 6
क्या 1984 8 का गुणज है?
9*2 + 8 + 4/2 = 28, संख्या 4 से विभाज्य है, अर्थात 1984 8 से विभाज्य है।

12 . से विभाज्यता- यह 3 और 4 से विभाज्यता के संकेतों का मिलन है। किसी भी n के लिए वही काम करता है जो परस्पर अभाज्य p और q का गुणनफल है। किसी संख्या को n से विभाज्य होने के लिए (जो pq के गुणनफल के बराबर है, ताकि GCD (p, q) = 1), एक को p और q द्वारा एक साथ विभाज्य होना चाहिए।

हालाँकि, सावधान रहें! काम करने के लिए समग्र विभाज्यता मानदंड के लिए, किसी संख्या के गुणनखंड परस्पर अभाज्य होने चाहिए। यह बिना कहे चला जाता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 4 से विभाज्य हो।

13 मानदंड से बेहतर विभाज्यता
यह जांचने के लिए कि क्या संख्या 13 से विभाज्य है, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाना होगा और परिणामी परिणाम में चार बार जोड़ना होगा। यदि परिणाम 13 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 13 से विभाज्य है।

उदाहरण 7
क्या 65835 8 से विभाज्य है?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

संख्या 43, 13 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि संख्या 65835, 13 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 8
क्या 715 13 से विभाज्य है?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13, 13 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 715, 13 से विभाज्य है।

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 . से विभाज्यताऔर अन्य भाज्य संख्याएँ जो अभाज्य संख्याओं की घात नहीं हैं, 12 से विभाज्यता के मानदंड के समान हैं। हम इन संख्याओं के सहअभाज्य गुणनखंडों द्वारा विभाज्यता की जाँच करते हैं।

14: 2 और 7 के लिए;
15:3 और 5 के लिए;
18:2 और 9 के लिए;
21:3 और 7 के लिए;
20 के लिए: 4 से और 5 तक (या, दूसरे शब्दों में, अंतिम अंक शून्य होना चाहिए, और अंतिम अंक सम होना चाहिए);
24:3 और 8 के लिए;
26: 2 और 13 के लिए;
28: 4 और 7 के लिए।

16 मानदंड से बेहतर विभाज्यता।
यह देखने के लिए जाँच करने के बजाय कि क्या किसी संख्या का 4-अंकीय अंत 16 से विभाज्य है, आप इकाई के अंक को दहाई के अंक के 10 गुणा, चौगुनी सैकड़ा और c के साथ जोड़ सकते हैं।
हजारों की संख्या का 8 गुना, और जांचें कि क्या परिणाम 16 से विभाज्य है।

उदाहरण 9
क्या 1984 16 का गुणज है?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30, 16 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 1984 16 से विभाज्य नहीं है।

उदाहरण 10
क्या 1526 16 से विभाज्य है?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48, 16 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 1526, 16 से विभाज्य है।

17 से बेहतर विभाज्यता मानदंड।
यह जांचने के लिए कि क्या संख्या 17 से विभाज्य है, आपको संख्या से अंतिम अंक को हटाना होगा और परिणाम से इस अंक को पांच गुना घटाना होगा। यदि परिणाम 13 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं 13 से विभाज्य है।

उदाहरण 11
क्या 59772 17 से विभाज्य है?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 17 से विभाज्य है, इसलिए 59772 संख्या 17 से विभाज्य है।

उदाहरण 12
क्या 4913 17 से विभाज्य है?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17, 17 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 4913, 17 से विभाज्य है।

19 मानदंड से बेहतर विभाज्यता।
यह जांचने के लिए कि क्या संख्या 19 से विभाज्य है, आपको अंतिम अंक को छोड़ने के बाद छोड़ी गई संख्या में दोगुना अंतिम अंक जोड़ना होगा।

उदाहरण 13
क्या 9044 19 से विभाज्य है?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19, 19 से विभाज्य है, इसलिए 9044, 19 से विभाज्य है।

23 से बेहतर विभाज्यता मानदंड।
यह जांचने के लिए कि संख्या 23 से विभाज्य है या नहीं, आपको अंतिम अंक को छोड़ने के बाद शेष संख्या में अंतिम अंक, 7 गुना बढ़ा हुआ जोड़ना होगा।

उदाहरण 14
क्या 208012 23 से विभाज्य है?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
दरअसल, आप पहले ही देख सकते हैं कि 253 23 है,

आइए "3 से विभाज्यता" विषय पर विचार करना शुरू करें। हम कसौटी के निरूपण के साथ शुरू करते हैं और प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। फिर हम 3 संख्याओं से विभाज्यता स्थापित करने के मुख्य तरीकों पर विचार करेंगे, जिसका मूल्य कुछ अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है। खंड 3 से विभाज्यता मानदंड के उपयोग के आधार पर मुख्य प्रकार की समस्याओं के समाधान का विश्लेषण प्रदान करता है।

3 से विभाज्यता, उदाहरण

3 मानदंड से विभाज्यता सरल रूप से तैयार की जाती है: एक पूर्णांक बिना शेष के 3 से विभाज्य होगा यदि इसके घटक अंकों का योग 3 से विभाज्य है। यदि सभी अंकों का कुल मान जो एक पूर्णांक का भाग है, 3 से विभाज्य नहीं है, तो मूल संख्या स्वयं 3 से विभाज्य नहीं है। आप प्राकृत संख्याओं को जोड़कर एक पूर्णांक में शामिल सभी अंकों का योग प्राप्त कर सकते हैं।

अब आइए 3 मानदंड से विभाज्यता लागू करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

क्या 42 3 से विभाज्य है?

समाधान

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम उन सभी संख्याओं को जोड़ते हैं जो संख्या बनाती हैं - 42: 4 + 2 = 6।

उत्तर:विभाज्यता मानदंड के अनुसार, चूंकि मूल संख्या में शामिल अंकों का योग तीन से विभाज्य है, तो मूल संख्या स्वयं 3 से विभाज्य है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि क्या संख्या 0, 3 से विभाज्य है, हमें विभाज्यता गुण की आवश्यकता है, जिसके अनुसार शून्य किसी भी पूर्णांक से विभाज्य हो। यह पता चला है कि शून्य तीन से विभाज्य है।

ऐसी समस्याएं हैं जिनके समाधान के लिए कई बार 3 मानदंड से विभाज्यता का सहारा लेना आवश्यक है।

उदाहरण 2

दिखाएँ कि संख्या 907 444 812 3 से विभाज्य है।

समाधान

आइए उन सभी अंकों का योग ज्ञात करें जो मूल संख्या का रिकॉर्ड बनाते हैं: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या 39, 3 से विभाज्य है। एक बार फिर हम उन संख्याओं को जोड़ते हैं जो इस संख्या को बनाते हैं: 3 + 9 = 12 ... अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए संख्याओं को फिर से जोड़ना हमारे लिए शेष है: 1 + 2 = 3 ... संख्या 3, 3 . से विभाज्य है

उत्तर:मूल संख्या 907 444 812 3 से भी विभाज्य है।

उदाहरण 3

क्या संख्या 3 . से विभाज्य है? − 543 205 ?

समाधान

आइए उन अंकों के योग की गणना करें जो मूल संख्या बनाते हैं: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . अब आइए परिणामी संख्या के अंकों के योग की गणना करें: 1 + 9 = 10 . अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आइए एक और जोड़ का परिणाम खोजें: 1 + 0 = 1 .
उत्तर:एक 3 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल संख्या 3 से भी विभाज्य नहीं है।

यह निर्धारित करने के लिए कि दी गई संख्या बिना शेष के 3 से विभाज्य है या नहीं, हम इस संख्या को 3 से विभाजित कर सकते हैं। यदि आप संख्या को विभाजित करते हैं − 543 205 उपरोक्त उदाहरण से एक कॉलम में तीन से, तो उत्तर में हमें एक पूर्णांक नहीं मिलेगा। इसका मतलब यह भी है कि − 543 205 शेषफल के बिना 3 से विभाज्य नहीं है।

3 . से विभाज्यता का प्रमाण

यहां हमें निम्नलिखित कौशल की आवश्यकता है: किसी संख्या का अंकों में अपघटन और 10, 100 से गुणा करने का नियम, आदि। प्रमाण को पूरा करने के लिए, हमें फॉर्म की संख्या a का प्रतिनिधित्व प्राप्त करने की आवश्यकता है , कहां ए एन, ए एन - 1, ..., ए 0- ये वे संख्याएँ हैं जो संख्या रिकॉर्ड में बाएँ से दाएँ स्थित होती हैं।

यहां एक विशिष्ट संख्या का उपयोग करके एक उदाहरण दिया गया है: 528 = 500 + 20 + 8 = 5100 + 210 + 8.

हम समानता की एक श्रृंखला लिखते हैं: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1,000 = 999 + 1 = 333 3 + 1, आदि।

आइए अब इन समानताओं को 10, 100 और 1000 के स्थान पर पूर्व में दी गई समानताओं में प्रतिस्थापित करें। a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 +… + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0.

इस तरह हम समानता में आए:

a = a n · १० n + ... + a २ · १०० + a १ · १० + a ० = = a n · ३३। ... ... ... 3 · 3 + 1 +… + ए 2 · 33 · 3 + 1 + ए 1 · 3 · 3 + 1 + ए 0

और अब हम परिणामी समानता को फिर से लिखने के लिए प्राकृतिक संख्याओं के योग और गुणन के गुणों को लागू करेंगे:

ए = ए एन 33। ... ... 3 3 + 1 +। ... ... + + ए 2 33 3 + 1 + ए 1 3 3 + 1 + ए 0 = = 33 33। ... ... 3 ए एन + ए एन +। ... ... + 333 ए 2 + ए 2 + 3 3 ए 1 + ए 1 + ए 0 = = 33 33। ... ... 3 ए एन +। ... ... + + 3 33 ए 2 + 3 3 ए 1 + + ए एन +। ... ... + ए 2 + ए 1 + ए 0 = = 33 33। ... ... 3 · ए एन +… + 33 · ए 2 + 3 · ए 1 + + ए एन +। ... ... + ए 2 + ए 1 + ए 0

अभिव्यक्ति ए एन +। ... ... + a 2 + a 1 + a 0 मूल संख्या a के अंकों का योग है। आइए हम इसके लिए एक नया संक्षिप्त संकेतन पेश करें ए... हम पाते हैं: ए = ए एन +। ... ... + ए 2 + ए 1 + ए 0।

इस स्थिति में, संख्या a = 33 का निरूपण। ... ... 3 ए एन +। ... ... +33 a 2 + 3 a 1 + A वह रूप लेता है जो हमारे लिए 3 से विभाज्यता की कसौटी को सिद्ध करने के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक होगा।

परिभाषा 1

आइए अब विभाज्यता के निम्नलिखित गुणों को याद करें:

एक पूर्णांक a के लिए एक पूर्णांक से विभाज्य होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त
B वह स्थिति है जिसके द्वारा संख्या a के मापांक को संख्या b के मापांक से विभाजित किया जाता है;
अगर समानता में ए = एस + टीएक को छोड़कर सभी सदस्य किसी पूर्णांक b से विभाज्य हैं, तो यह एक पद b से विभाज्य है।

हमने 3 से विभाज्यता के प्रमाण की नींव रखी है। अब हम इस मानदंड को एक प्रमेय के रूप में तैयार करेंगे और इसे सिद्ध करेंगे।

प्रमेय 1

यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक पूर्णांक a 3 से विभाज्य है, हमें आवश्यकता है और पर्याप्त है कि अंक का योग 3 से विभाज्य है।

सबूत 1

अगर हम मूल्य लेते हैं ए = 0, तो प्रमेय स्पष्ट है।

यदि हम एक अशून्य संख्या a लेते हैं, तो संख्या a का मापांक एक प्राकृत संख्या होगी। यह हमें निम्नलिखित समानता लिखने की अनुमति देता है:

ए = 33. ... ... 3 ए एन +। ... ... + 33 ए 2 + 3 ए 1 + ए, जहां ए = ए एन +। ... ... + ए 2 + ए 1 + ए 0 - संख्या ए के अंकों का योग।

चूँकि पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक है, तो
33. ... ... 3 ए एन +। ... ... + 33 · a 2 + 3 · a 1 एक पूर्णांक है, तो, विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, गुणनफल 3 · 33 है। ... ... 3 ए एन +। ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 से विभाज्य है 3 किसी के लिए ए 0, ए 1, ..., ए एन.

यदि संख्या के अंकों का योग एद्वारा विभाजित 3 , अर्थात्, एद्वारा विभाजित 3 , तो प्रमेय से पहले विभाज्यता संपत्ति के आधार पर, a विभाज्य है 3 , इसलिए, एद्वारा विभाजित 3 ... इस प्रकार पर्याप्तता सिद्ध होती है।

अगर एद्वारा विभाजित 3 , तो a विभाज्य है 3 , फिर, समान विभाज्यता गुण के आधार पर, संख्या
एद्वारा विभाजित 3 , यानी संख्या के अंकों का योग एद्वारा विभाजित 3 ... इस प्रकार आवश्यकता सिद्ध होती है।

द्वारा विभाज्यता के अन्य मामले 3

पूर्णांक को कुछ अभिव्यक्ति के मान के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसमें एक चर होता है, इस चर के मान को देखते हुए। अतः, कुछ प्राकृत n के लिए, व्यंजक 4 n + 3 n - 1 का मान एक प्राकृत संख्या है। इस मामले में, द्वारा प्रत्यक्ष विभाजन 3 हमें इस प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकता कि क्या कोई संख्या किसके द्वारा विभाज्य है? 3 ... द्वारा विभाज्यता मानदंड का अनुप्रयोग 3 मुश्किल भी हो सकता है। आइए ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर विचार करें और उनके समाधान के तरीकों का विश्लेषण करें।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, कई दृष्टिकोण लागू किए जा सकते हैं। उनमें से एक का सार इस प्रकार है:

हम कई कारकों के उत्पाद के रूप में मूल अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं;
पता लगाएं कि क्या कारकों में से कम से कम एक कारक विभाज्य हो सकता है 3 ;
विभाज्यता संपत्ति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संपूर्ण कार्य विभाज्य है 3 .

समाधान के दौरान, न्यूटन द्विपद सूत्र का उपयोग करना अक्सर आवश्यक होता है।

उदाहरण 4

क्या व्यंजक 4 n + 3 n - 1 से विभाज्य है? 3 किसी भी प्राकृतिक के साथ एन?

समाधान

हम समानता 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 लिखते हैं। आइए न्यूटन द्विपद का न्यूटन द्विपद सूत्र लागू करें:

4 एन + 3 एन - 4 = (3 + 1) एन + 3 एन - 4 = = (सी एन 0 3 एन + सी एन 1 3 एन - 1 1 +.. + सी एनएन - 2 3 2 1 एन - 2 + सी एनएन - 1 3 1 एन - 1 + सी एनएन 1 एन) + + 3 एन - 4 = = 3 एन + सी एन 1 3 एन - 1 1 +। ... ... + सी एन एन - 2 3 2 + एन 3 + 1 + + 3 एन - 4 = = 3 एन + सी एन 1 3 एन - 1 1 +। ... ... + सी एन एन - 2 3 2 + 6 एन - 3

अब निकाल लेते हैं 3 कोष्ठक के बाहर: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 +। ... ... + सी एन एन - 2 3 + 2 एन -1। परिणामी उत्पाद में एक कारक होता है 3 , और प्राकृत n के लिए कोष्ठक में व्यंजक का मान एक प्राकृत संख्या है। यह हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि परिणामी उत्पाद और मूल अभिव्यक्ति 4 n + 3 n - 1 से विभाज्य हैं 3 .

उत्तर:हां।

हम गणितीय प्रेरण की विधि भी लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 5

गणितीय आगमन विधि का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी भी प्राकृतिक के लिए
n व्यंजक n n 2 + 5 के मान को . से विभाजित किया जाता है 3 .

समाधान

व्यंजक n n 2 + 5 at . का मान ज्ञात कीजिए एन = 1: 1 1 2 + 5 = 6. 6 में बांटा गया है 3 .

अब मान लीजिए कि व्यंजक n n 2 + 5 at . का मान एन = केद्वारा विभाजित 3 ... वास्तव में, हमें व्यंजक k k 2 + 5 के साथ कार्य करना होगा, जिसके द्वारा हम विभाज्य होने की अपेक्षा करते हैं 3 .

यह मानते हुए कि k k 2 + 5 से विभाज्य है 3 , हम दिखाएंगे कि व्यंजक n n 2 + 5 at . का मान एन = के + 1द्वारा विभाजित 3 , अर्थात्, हम दिखाएंगे कि k + 1 k + 1 2 + 5 से विभाज्य है 3 .

आइए रूपांतरण करते हैं:

के + 1 के + 1 2 + 5 = = (के + 1) (के 2 + 2 के + 6) = = के (के 2 + 2 के + 6) + के 2 + 2 के + 6 = = के (के 2 + 5 + 2 के + 1) + के 2 + 2 के + 6 = = के (के 2 + 5) + के 2 के + 1 + के 2 + 2 के + 6 = = के (के 2 + 5) + ३ के २ + ३ के + ६ = = के (के २ + ५) + ३ के २ + के + २

व्यंजक k (k 2 + 5) से विभाज्य है 3 और व्यंजक 3 k 2 + k + 2 से विभाज्य है 3 , तो उनका योग द्वारा विभाज्य है 3 .

अतः हमने सिद्ध किया कि व्यंजक n (n 2 + 5) का मान से विभाज्य है 3 किसी भी प्राकृतिक एन.

आइए अब हम विभाज्यता सिद्ध करने के दृष्टिकोण का विश्लेषण करें 3 , जो क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम पर आधारित है:

हम दिखाते हैं कि n = 3 m, n = 3 m + 1 और n पर चर n के साथ इस व्यंजक का मान एन = 3 मीटर + 2, कहां एम- मनमाना पूर्णांक, से विभाज्य 3 ;
हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि व्यंजक किसके द्वारा विभाज्य होगा? 3 किसी भी पूर्णांक n के लिए

मामूली विवरणों से ध्यान न भटकाने के लिए, हम इस एल्गोरिथ्म को पिछले उदाहरण के समाधान पर लागू करेंगे।

उदाहरण 6

दर्शाइए कि n (n 2 + 5) से विभाज्य है 3 किसी भी प्राकृतिक एन.

समाधान

आइए दिखाते हैं कि एन = 3 एम... तब: n · n 2 + 5 = 3 मीटर · 3 मीटर 2 + 5 = 3 मीटर · 9 मीटर 2 + 5। हमें प्राप्त उत्पाद में एक गुणक होता है 3 , इसलिए, कार्य स्वयं से विभाज्य है 3 .

आइए दिखाते हैं कि एन = 3 मीटर + 1... फिर:

एन एन 2 + 5 = 3 मीटर 3 मीटर 2 + 5 = (3 मीटर + 1) 9 मीटर 2 + 6 मीटर + 6 = 3 मीटर + 1 3 (2 मीटर 2 + 2 मीटर + 2)

हमें जो टुकड़ा मिला है वह में बांटा गया है 3 .

मान लीजिए n = 3 मी + 2। फिर:

एन एन 2 + 5 = 3 मीटर + 1 3 मीटर + 2 2 + 5 = 3 मीटर + 2 9 मीटर 2 + 12 मीटर + 9 = = 3 मीटर + 2 3 3 मीटर 2 + 4 मीटर + 3

यह टुकड़ा भी में बांटा गया है 3 .

उत्तर:इस प्रकार हमने सिद्ध किया कि व्यंजक n n 2 + 5 से विभाज्य है 3 किसी भी प्राकृतिक एन.

उदाहरण 7

क्या इसे में विभाजित किया गया है 3 कुछ प्राकृतिक n के लिए व्यंजक 10 3 n + 10 2 n + 1 का मान।

समाधान

आइए दिखाते हैं कि एन = 1... हम पाते हैं:

10 3 एन + 10 2 एन + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

आइए दिखाते हैं कि एन = 2... हम पाते हैं:

१० ३ एन + १० २ एन + १ = १० ६ + १० ४ + १ = १०००००० + १०००० + १ = १०१०००१

अतः हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी प्राकृत n के लिए हमें 3 से विभाज्य संख्याएँ प्राप्त होंगी। इसका अर्थ है कि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 10 3 n + 10 2 n + 1 3 से विभाज्य है।

उत्तर:हां

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संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 और अन्य नंबरों पर किसी संख्या के डिजिटल नोटेशन पर समस्याओं के त्वरित समाधान के लिए जानना उपयोगी है। एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने के बजाय, यह कई संकेतों की जांच करने के लिए पर्याप्त है, जिसके आधार पर यह स्पष्ट रूप से निर्धारित करना संभव है कि एक संख्या दूसरे से समान रूप से विभाज्य है (चाहे वह एक से अधिक हो) या नहीं।

विभाज्यता के लिए बुनियादी मानदंड

आइए हम देते हैं संख्याओं की विभाज्यता के लिए बुनियादी मानदंड:

किसी संख्या की "2" से विभाज्यतासंख्या 2 से विभाज्य है यदि संख्या सम है (अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है)
उदाहरण: 1256 2 का गुणज है क्योंकि यह 6 पर समाप्त होता है और 49603 2 से भी विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 3 में समाप्त होता है।
किसी संख्या की "3" से विभाज्यताएक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 . से विभाज्य हो
उदाहरण: संख्या 4761 3 से समान रूप से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 18 है और यह 3 से विभाज्य है। और संख्या 143 3 का गुणज नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 8 है और यह विभाज्य नहीं है। 3 से
किसी संख्या की "4" से विभाज्यतासंख्या 4 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंतिम दो अंक शून्य के बराबर हों या अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो
उदाहरण: संख्या 2344, 4 का गुणज है, क्योंकि 44/4 = 11. और संख्या 3951, 4 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 51, 4 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "5" से विभाज्यतासंख्या 5 से विभाज्य है यदि संख्या का अंतिम अंक 0 या 5 . है
उदाहरण: 5830 5 से विभाज्य है क्योंकि यह 0 पर समाप्त होता है। और 4921 5 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 1 में समाप्त होता है।
किसी संख्या की "6" से विभाज्यताएक संख्या 6 से विभाज्य है यदि वह 2 और 3 . से विभाज्य है
उदाहरण: संख्या 3504 6 का गुणज है, क्योंकि यह 4 (2 से विभाज्यता) में समाप्त होती है और संख्या के अंकों का योग 12 है और यह 3 से विभाज्य है (3 से विभाज्यता)। और संख्या 5432 6 से विभाज्य नहीं है, हालाँकि संख्या 2 से समाप्त होती है (2 से विभाज्यता का चिन्ह देखा जाता है), लेकिन अंकों का योग 14 है और यह 3 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "8" से विभाज्यतासंख्या 8 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंतिम तीन अंक शून्य के बराबर हों या संख्या के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो
उदाहरण: संख्या 93112 8 से विभाज्य है, क्योंकि संख्या 112/8 = 14. और संख्या 9212 8 का गुणज नहीं है, क्योंकि 212 8 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "9" से विभाज्यताएक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 . से विभाज्य हो
उदाहरण: संख्या 2916 9 का गुणज है, क्योंकि अंकों का योग 18 है और यह 9 से विभाज्य है। और संख्या 831 9 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्या के अंकों का योग 12 है और यह 9 से विभाज्य नहीं है।
किसी संख्या की "10" से विभाज्यतासंख्या 10 से विभाज्य है यदि यह 0 . पर समाप्त होती है
उदाहरण: संख्या ३९५९० १० से समान रूप से विभाज्य है क्योंकि यह 0 पर समाप्त होती है। और संख्या ५९६४, १० से समान रूप से विभाज्य नहीं है, क्योंकि यह ० के साथ समाप्त नहीं होती है।
किसी संख्या की "11" से विभाज्यतासंख्या 11 से विभाज्य है यदि विषम स्थानों के अंकों का योग सम स्थानों के अंकों के योग के बराबर है या योग 11 से भिन्न होना चाहिए
उदाहरण: संख्या 3762 11 से विभाज्य है, क्योंकि 3 + 6 = 7 + 2 = 9. और संख्या 2374 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 2 + 7 = 9, और 3 + 4 = 7।
किसी संख्या की "25" से विभाज्यतासंख्या 25 से विभाज्य है यदि यह 00, 25, 50, या 75 . में समाप्त होती है
उदाहरण: 4950 25 का गुणज है क्योंकि यह 50 पर समाप्त होता है। और 4935 25 से विभाज्य नहीं है क्योंकि यह 35 में समाप्त होता है।

भाज्य संख्या से विभाज्यता

यह पता लगाने के लिए कि दी गई संख्या एक भाज्य संख्या से विभाज्य है या नहीं, आपको इस भाज्य संख्या को में विघटित करना होगा सहप्रमुख कारकजिनके विभाज्यता मानदंड ज्ञात हैं। पारस्परिक रूप से अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें 1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक संख्या 15 से विभाज्य है यदि वह 3 और 5 से विभाज्य है।

एक संयुक्त भाजक के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: एक संख्या 18 से विभाज्य है यदि यह 2 और 9 से विभाज्य है। इस मामले में, 18 को 3 और 6 में विघटित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे सहअभाज्य नहीं हैं, क्योंकि उनके पास एक सामान्य भाजक है। आइए इसे उदाहरण के द्वारा सत्यापित करें।

संख्या 456 3 से विभाज्य है, क्योंकि इसके अंकों का योग 15 है, और 6 से विभाज्य है, क्योंकि यह 3 और 2 दोनों से विभाज्य है। लेकिन यदि आप 456 को 18 से मैन्युअल रूप से विभाजित करते हैं, तो आपको शेष मिलता है। यदि, संख्या 456 के लिए, हम 2 और 9 से विभाज्यता के संकेतों की जाँच करते हैं, तो आप तुरंत देख सकते हैं कि यह 2 से विभाज्य है, लेकिन 9 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि संख्या के अंकों का योग 15 है और यह नहीं है 9 से विभाज्य

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परिचय

"विभाज्यता के संकेत" विषय का अध्ययन करते समय गणित के पाठों में, जहाँ हम 2 से विभाज्यता के संकेतों से परिचित हुए; 5; 3; नौ; 10, मुझे इस बात में दिलचस्पी थी कि क्या अन्य संख्याओं से विभाज्यता के संकेत हैं, और क्या किसी प्राकृतिक संख्या से विभाज्यता की कोई सार्वभौमिक विधि है। इसलिए मैंने इस विषय पर शोध कार्य प्रारंभ किया।

अध्ययन का उद्देश्य:प्राकृतिक संख्याओं की 100 तक विभाज्यता के संकेतों का अध्ययन, प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के पहले से ही ज्ञात संकेतों को जोड़ना, स्कूल में अध्ययन किया गया।

लक्ष्य हासिल करने के लिए, कार्य:

सूचना के विभिन्न स्रोतों का उपयोग करते हुए प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों पर सामग्री एकत्र, अध्ययन और व्यवस्थित करें।

किसी भी प्राकृतिक संख्या से विभाज्यता के लिए एक सार्वभौमिक मानदंड खोजें।

संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए पास्कल के विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करना सीखें, और किसी भी प्राकृतिक संख्या से विभाज्यता के लिए परीक्षण तैयार करने का भी प्रयास करें।

अध्ययन की वस्तु:प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता।

अध्ययन का विषय:प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड।

अनुसंधान की विधियां:जानकारी का संग्रह; मुद्रित सामग्री के साथ काम करें; विश्लेषण; संश्लेषण; सादृश्य; सर्वेक्षण; पूछताछ; सामग्री का व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।

शोध परिकल्पना:यदि प्राकृतिक संख्याओं की 2, 3, 5, 9, 10 से विभाज्यता निर्धारित करना संभव है, तो ऐसे संकेत होने चाहिए जिनसे कोई अन्य संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित कर सके।

नवीनताकिए गए शोध कार्य में यह तथ्य शामिल है कि यह कार्य विभाज्यता मानदंड और प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता की सार्वभौमिक विधि के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित करता है।

व्यवहारिक महत्व: इस शोध कार्य की सामग्री का उपयोग "संख्याओं की विभाज्यता" विषय का अध्ययन करते समय वैकल्पिक कक्षाओं में ग्रेड 6 - 8 में किया जा सकता है।

अध्याय I. संख्याओं की विभाज्यता की परिभाषा और गुण

1.1 विभाज्यता की अवधारणाओं की परिभाषा और विभाज्यता के मानदंड, विभाज्यता के गुण।

संख्या सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो संख्याओं के गुणों का अध्ययन करती है। संख्या सिद्धांत का मुख्य उद्देश्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं। उनकी मुख्य संपत्ति, जिसे संख्या सिद्धांत द्वारा माना जाता है, विभाज्यता है। परिभाषा:एक पूर्णांक a एक पूर्णांक b से विभाज्य है, जो शून्य के बराबर नहीं है, यदि कोई ऐसा पूर्णांक k है जो a = bk है (उदाहरण के लिए, 56, 8 से विभाज्य है, क्योंकि 56 = 8x7)। विभाज्यता मानदंड- एक नियम जो आपको यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि क्या दी गई प्राकृतिक संख्या कुछ अन्य संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है, अर्थात। शेष के बिना।

विभाज्यता गुण:

शून्य के अलावा कोई भी संख्या स्वयं से विभाज्य होती है।

शून्य किसी भी b से विभाज्य है जो शून्य नहीं है।

यदि a, b (b0) से विभाज्य है और b, c (c0) से विभाज्य है, तो a, c से विभाज्य है।

यदि a, b (b0) से विभाज्य है और b, a (a0) से विभाज्य है, तो संख्याएँ a और b या तो बराबर या विपरीत संख्याएँ हैं।

१.२. योग और उत्पाद की विभाज्यता गुण:

यदि पूर्णांकों के योग में प्रत्येक पद किसी संख्या से विभाज्य है, तो योग को इस संख्या से विभाजित किया जाता है।

2) यदि पूर्णांकों के अंतर में घटाया और घटाया गया कुछ संख्या से विभाज्य हो, तो अंतर भी किसी संख्या से विभाज्य होता है।

3) यदि पूर्णांकों के योग में एक को छोड़कर सभी पद किसी संख्या से विभाज्य हैं, तो योग इस संख्या से विभाज्य नहीं है।

4) यदि पूर्णांकों के गुणनफल में कोई एक गुणनखंड किसी संख्या से विभाज्य हो, तो गुणनफल भी इस संख्या से विभाज्य होता है।

5) यदि पूर्णांकों के गुणनफल में एक गुणनखंड m से और दूसरा n से विभाज्य है, तो गुणनफल mn से विभाज्य है।

इसके अलावा, संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड का अध्ययन करते समय, मैं अवधारणा से परिचित हुआ "डिजिटल रूट"... आइए एक प्राकृतिक संख्या लें। आइए इसके अंकों का योग ज्ञात करें। हम परिणाम में अंकों का योग भी पाएंगे, और इसी तरह जब तक हमें एक अंक की संख्या नहीं मिलती। परिणाम को संख्या का डिजिटल रूट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 654321 का डिजिटल रूट 3: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.2 + 1 = 3 है। और अब आप इस प्रश्न के बारे में सोच सकते हैं: "विभाज्यता के मानदंड क्या हैं और क्या एक संख्या से दूसरी संख्या की विभाज्यता के लिए कोई सार्वभौमिक मानदंड है?"

द्वितीय अध्याय। प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता परीक्षण।

२.१. 2,3,5,9,10 से विभाज्यता मानदंड।

विभाज्यता मानदंड में, 6 वीं कक्षा के स्कूल गणित पाठ्यक्रम से सबसे सुविधाजनक और प्रसिद्ध:

2 से विभाज्यता। यदि किसी प्राकृत संख्या की रिकॉर्डिंग एक सम अंक या शून्य के साथ समाप्त होती है, तो संख्या 2 से विभाजित होती है। संख्या 52738 को 2 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि अंतिम अंक 8-सम होता है।

3 . से विभाज्यता ... यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य है (567 3 से विभाज्य है, क्योंकि 5 + 6 + 7 = 18, और 18 3 से विभाज्य है)

5 से विभाज्यता यदि किसी प्राकृत संख्या की रिकॉर्डिंग अंक 5 या शून्य के साथ समाप्त होती है, तो संख्या को 5 से विभाजित किया जाता है (संख्या 130 और 275 5 से विभाज्य हैं, क्योंकि संख्याओं के अंतिम अंक 0 और 5 हैं, लेकिन संख्या 302 5 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि अंतिम अंक संख्या 0 और 5 नहीं हैं)।

9 से विभाज्यता। यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो संख्या भी 9 से विभाज्य है (676332 9 से विभाज्य है क्योंकि 6 + 7 + 6 + 3 + 3 + 2 = 27, और 27 9 से विभाज्य है)।

10 . से विभाज्यता ... यदि किसी प्राकृत संख्या की रिकॉर्डिंग अंक 0 के साथ समाप्त होती है, तो इस संख्या को 10 से विभाजित किया जाता है (230 को 10 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि संख्या का अंतिम अंक 0 है)।

२.२ ४,६,८,११,१२,१३, आदि से विभाज्यता मानदंड।

विभिन्न स्रोतों के साथ काम करने के बाद, मैंने अन्य विभाज्यता मानदंड की खोज की। मैं उनमें से कुछ का वर्णन करूंगा।

6 . द्वारा विभाजन ... हमें ब्याज की संख्या की 2 और 3 से विभाज्यता की जांच करने की आवश्यकता है। संख्या 6 से विभाज्य है यदि और केवल अगर यह सम है, और इसका डिजिटल रूट 3 से विभाज्य है। (उदाहरण के लिए, 678 6 से विभाज्य है। , क्योंकि यह सम है और 6 + 7 + 8 = 21, 2 + 1 = 3) विभाज्यता का एक और संकेत है: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दसियों की चौगुनी संख्या को उनकी संख्या में जोड़ा जाता है, तो वह 6 से विभाज्य होती है। (73.7 * 4 + 3 = 31, 31, 6 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 7 6 से विभाज्य नहीं है)

8 से विभाजन। एक संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंतिम तीन अंक एक संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य है। (12,224 224: 8 = 28 के बाद से 8 से विभाज्य है)। तीन अंकों की एक संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब दहाई और चौगुनी सैकड़ा में जोड़े गए लोगों की संख्या 8 से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 952 8 से विभाज्य है क्योंकि 8 9 * 4 + 5 * 2 + से विभाज्य है। 2 = 48 ...

4 और 25 से विभाजन। यदि अंतिम दो अंक शून्य हैं या 4 या (और) 25 से विभाज्य संख्या को व्यक्त करते हैं, तो संख्या 4 या (और) 25 से विभाज्य है (संख्या 1500 4 और 25 से विभाज्य है, क्योंकि यह दो के साथ समाप्त होती है शून्य, संख्या 348 4 से विभाज्य है, क्योंकि 48 4 से विभाज्य है, लेकिन यह संख्या 25 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 48 25 से विभाज्य नहीं है, संख्या 675 25 से विभाज्य है, क्योंकि 75 25 से विभाज्य है, लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है, अर्थात .k. 75, 4 का गुणज नहीं है)।

अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता के मुख्य मानदंड को जानने के बाद, हम भाज्य संख्याओं में विभाज्यता के मानदंड प्राप्त कर सकते हैं:

द्वारा विभाज्यता11 . यदि सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर 11 से विभाज्य है, तो संख्या 11 से विभाज्य है (संख्या 593868 11 से विभाज्य है, क्योंकि 9 + 8 + 8 = 25, और 5 + 3 + 6 = 14, उनका अंतर 11 है, और 11 11 से विभाज्य है)।

12 से विभाज्यता:एक संख्या 12 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हों और अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

जबसे १२ = ४ ३, अर्थात्। संख्या 4 और 3 से विभाज्य होनी चाहिए।

13 से विभाज्यता:एक संख्या 13 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि किसी दी गई संख्या के अंकों के क्रमिक त्रिगुणों से बनने वाली संख्याओं के प्रत्यावर्ती योग को 13 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप कैसे जानते हैं कि संख्या 354862625, 13 से विभाज्य है? 625-862 + 354 = 117, 13 से विभाज्य है, 117: 13 = 9, जिसका अर्थ है कि संख्या 354862625 13 से विभाज्य है।

14 से विभाज्यता:एक संख्या 14 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि यह एक सम अंक के साथ समाप्त होती है और जब अंतिम अंक के बिना इस संख्या से अंतिम दोगुने अंक को घटाने का परिणाम 7 से विभाज्य है।

जबसे 14 = 2 7, यानी। संख्या 2 और 7 से विभाज्य होनी चाहिए।

15 से विभाज्यता:एक संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह 5 और 0 पर समाप्त होती है और अंकों का योग 3 से विभाज्य है।

जबसे 15 = 3 5, अर्थात्। संख्या 3 और 5 से विभाज्य होनी चाहिए।

18 से विभाज्यता:एक संख्या 18 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह एक सम अंक के साथ समाप्त होती है और उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है।

क्योंकि 18 = 2 9, अर्थात्। संख्या 2 और 9 से विभाज्य होनी चाहिए।

20 से विभाज्यता:एक संख्या 20 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि संख्या 0 पर समाप्त होती है और अंतिम अंक सम है।

जबसे 20 = 10 2 यानी। संख्या 2 और 10 से विभाज्य होनी चाहिए।

25 से विभाज्यता:कम से कम तीन अंकों वाली संख्या 25 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 25 से विभाज्य हो।

द्वारा विभाज्यता30 .

द्वारा विभाज्यता59 . एक संख्या 59 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दहाई की संख्या, इकाई की संख्या में जोड़ा जाता है, 6 से गुणा किया जाता है, 59 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 767 59 से विभाज्य है, क्योंकि 59 76 + 6 * 7 से विभाज्य है = ११८ और ११ + ६ * ८ = ५९।

द्वारा विभाज्यता79 ... एक संख्या 79 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दहाई की संख्या को 8 से गुणा करने पर 79 से विभाज्य हो। उदाहरण के लिए, 711 79 से विभाज्य है, क्योंकि 79 71 + 8 * 1 = 79 से विभाज्य है।

द्वारा विभाज्यता99. एक संख्या 99 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दो अंकों के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग (एक से शुरू होकर) 99 से विभाजित होता है। उदाहरण के लिए, 12573 99 से विभाज्य है क्योंकि 99 1 + 25 + 73 = 99 से विभाज्य है।

द्वारा विभाज्यता100 . केवल वे संख्याएँ जिनके अंतिम दो अंक शून्य हैं, 100 से विभाज्य हैं।

125 से विभाज्यता:कम से कम चार अंकों वाली संख्या 125 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य हो।

उपरोक्त सभी विशेषताओं को एक तालिका के रूप में संक्षेपित किया गया है। (परिशिष्ट 1)

2.3 से विभाज्यता मानदंड 7.

1) परीक्षण के लिए संख्या 5236 लें। आइए इस संख्या को इस प्रकार लिखें: 5236 = 5 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6 = 10 3 * 5 + 10 2 * 2 + 10 * 3 + 6 (" व्यवस्थित »संख्या के अंकन का रूप), और हर जगह आधार 10 को आधार 3 से बदल दिया जाता है); 3 3 * 5 + 2 * 2 + 3 * 3 + 6 = 168। यदि परिणामी संख्या 7 से विभाज्य (विभाज्य नहीं) है, तो यह संख्या 7 से विभाज्य (विभाज्य नहीं) है। चूँकि 168 7 से विभाज्य है, तो 5236 7.68: 7 = 24, 5236: 7 = 748 से विभाज्य है।

2) इस विशेषता में, आपको पिछले वाले की तरह ही कार्य करना चाहिए, केवल इस अंतर के साथ कि गुणन चरम दाईं ओर से शुरू होना चाहिए और 3 से नहीं, बल्कि 5 से गुणा करना चाहिए। (5236, 7 से विभाज्य है, क्योंकि 6 * 5 3 + 3 * 5 2 + 2 * 5 + 5 = 840, 840: 7 = 120)

3) इस चिन्ह को मन में लागू करना कम आसान है, लेकिन यह बहुत दिलचस्प भी है। अंतिम अंक को दोगुना करें और दूसरे को दाईं ओर से घटाएं, परिणाम को दोगुना करें और दाईं ओर से तीसरा जोड़ें, आदि, घटाव और जोड़ के बीच बारी-बारी से और प्रत्येक परिणाम को, जहां संभव हो, 7 से या सात के गुणक से घटाएं। यदि अंतिम परिणाम 7 से विभाज्य (विभाज्य नहीं) है, तो परीक्षित संख्या भी 7 से विभाज्य (विभाज्य नहीं) है। ((6 * 2-3) * 2 + 2) * 2-5 = 35, 35: 7 = 5.

4) कोई संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि किसी दी गई संख्या के अंकों के क्रमिक त्रिगुणों द्वारा गठित संख्याओं के प्रत्यावर्ती योग को 7 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप कैसे जानते हैं कि संख्या 363862625 7 से विभाज्य है? 625-862 + 363 = 126 7, 126: 7 = 18 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 363862625 7, 363862625: 7 = 51980375 से विभाज्य है।

5) 7 से विभाज्यता के सबसे पुराने मानदंडों में से एक इस प्रकार है। संख्या के अंकों को उल्टे क्रम में लिया जाना चाहिए, दाएं से बाएं, पहले अंक को 1 से गुणा करके, दूसरे को 3 से, तीसरे को 2 से, चौथे को -1 से, पांचवें को -3 से, छठे से - 2, आदि (यदि वर्णों की संख्या 6 से अधिक है, तो कारक 1, 3, 2, -1, -3, -2 के अनुक्रम को जितनी बार आवश्यक हो उतनी बार दोहराया जाना चाहिए)। परिणामी कार्यों को तह किया जाना चाहिए। मूल संख्या 7 से विभाज्य है यदि परिकलित योग को 7 से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह चिन्ह 5236 संख्या के लिए यही संकेत देता है। 1 * 6 + 3 * 3 + 2 * 2 + 5 * (- 1) = 14. 14: 7 = 2, अतः संख्या 5236 7 से विभाज्य है।

6) संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दहाई की तिगुनी संख्या, इकाई की संख्या के साथ जोड़ा जाता है, 7 से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 154 को 7 से विभाजित किया जाता है, क्योंकि संख्या 49 से 7, जिसे हम प्राप्त करते हैं यह मानदंड: 15 * 3 + 4 = 49।

2.4 पास्कल का चिन्ह।

बी. पास्कल (1623-1662), एक फ्रांसीसी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी, ने संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के अध्ययन में एक महान योगदान दिया। उन्होंने किसी भी पूर्णांक की किसी अन्य पूर्णांक से विभाज्यता के संकेत खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म पाया, जिसे उन्होंने "संख्याओं की विभाज्यता की प्रकृति पर" ग्रंथ में प्रकाशित किया था। लगभग सभी ज्ञात विभाज्यता मानदंड पास्कल के मानदंड का एक विशेष मामला है: "यदि संख्या को विभाजित करने पर शेषफलों का योगए अंकों के अनुसार प्रति संख्यावी द्वारा विभाजितवी , फिर संख्याए द्वारा विभाजितवी ». इसे जानना आज भी उपयोगी है। हम ऊपर दिए गए विभाज्यता मानदंड (उदाहरण के लिए, 7 से विभाज्यता के लिए परिचित मानदंड) को कैसे साबित कर सकते हैं? मैं इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करूंगा। लेकिन पहले, आइए संख्या लिखने के तरीके पर सहमत हों। एक संख्या लिखने के लिए, जिसकी संख्या अक्षरों द्वारा इंगित की जाती है, आइए हम इन अक्षरों पर एक रेखा खींचने के लिए सहमत हों। इस प्रकार, abcdef एक संख्या को निरूपित करेगा जिसमें f इकाइयाँ, e tens, d सैकड़ों, आदि हैं।

एबीसीडीईएफ = ए. 10 5 + ख. १० ४ + ग. 10 3 + घ. 10 2 + ई. 10 + एफ। अब मैं 7 से विभाज्यता की उपरोक्त कसौटी को सिद्ध करूँगा।

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(7 से विभाजन के बाद शेष)।

नतीजतन, हमें ऊपर तैयार किया गया 5 वां नियम मिलता है: एक प्राकृतिक संख्या को 7 से विभाजित करने के शेष का पता लगाने के लिए, आपको इस संख्या के दाईं से बाईं ओर के अंकों के नीचे गुणांक (भाग के शेष) पर हस्ताक्षर करने की आवश्यकता है: फिर आपको प्रत्येक अंक को इसके नीचे के गुणांक से गुणा करना होगा और जोड़ना होगा परिणामी उत्पाद; प्राप्त राशि का वही शेषफल प्राप्त होगा जो ली गई संख्या से 7 से विभाजित होता है।

आइए संख्या 4591 और 4907 को एक उदाहरण के रूप में लें और नियम में बताए अनुसार कार्य करते हुए, हम परिणाम पाएंगे:

-1 2 3 1

4 + 10 + 27 + 1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (शेष 6) (7 से समान रूप से विभाज्य नहीं)

-1 2 3 1

4 + 18 + 0 + 7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (7 से विभाज्य)

इस तरह, आप किसी भी संख्या से विभाज्यता मानदंड पा सकते हैं टी।आपको बस यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन से गुणांक (विभाजन के शेष) को लिए गए नंबर ए के अंकों के तहत हस्ताक्षरित किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको दस 10 की प्रत्येक शक्ति को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, यदि संभव हो तो, विभाजित करते समय समान शेष होने पर टी,संख्या 10 के रूप में। For टी= 3 या टी = 9, ये गुणांक बहुत सरल निकले: वे सभी 1 के बराबर हैं। इसलिए, 3 या 9 से विभाज्यता का संकेत बहुत सरल निकला। पर टी= 11, गुणांक भी जटिल नहीं थे: वे बारी-बारी से 1 और -1 के बराबर होते हैं। और के लिए टी = 7गुणांक अधिक जटिल हो गए; इसलिए, 7 से विभाज्यता की कसौटी अधिक जटिल निकली। 100 तक विभाजन के संकेतों पर विचार करने के बाद, मुझे विश्वास हो गया कि प्राकृतिक संख्याओं के लिए सबसे जटिल गुणांक 23 हैं (10 23 से गुणांक दोहराए जाते हैं), 43 (10 39 से गुणांक दोहराए जाते हैं)।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के लिए सूचीबद्ध सभी मानदंडों को 4 समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1 समूह- जब संख्याओं की विभाज्यता अंतिम (अंकों) द्वारा निर्धारित की जाती है - ये 2 से, 5 से, बिट इकाई से, 4 से, 8 से, 25 से, 50 से विभाज्यता के संकेत हैं।

समूह 2- जब संख्याओं की विभाज्यता किसी संख्या के अंकों के योग से निर्धारित होती है, तो ये 3 से, 9 से, 7, 37 से, 11 (1 चिन्ह) से विभाज्यता के चिह्न होते हैं।

समूह 3- जब किसी संख्या के अंकों पर कुछ क्रियाएं करने के बाद संख्याओं की विभाज्यता निर्धारित की जाती है, तो ये 7 से 11 (1 चिन्ह), 13 से, 19 से विभाज्यता के संकेत हैं।

4 समूह- जब किसी संख्या की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए विभाज्यता के अन्य संकेतों का उपयोग किया जाता है, तो ये 6 से, 15 से, 12 से, 14 से विभाज्यता के संकेत हैं।

प्रायोगिक भाग

सर्वेक्षण

सर्वेक्षण छठी, सातवीं कक्षा के छात्रों के बीच किया गया था। सर्वेक्षण में बेलारूस गणराज्य के MOBU Karaidel माध्यमिक विद्यालय 1 MR Karaidel जिले के 58 छात्र शामिल थे। उन्हें निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए कहा गया था:

क्या आपको लगता है कि विभाज्यता के अन्य लक्षण पाठ में पढ़े गए संकेतों से भिन्न हैं?

क्या अन्य प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड हैं?

क्या आप इन विभाज्यता मानदंडों को जानना चाहेंगे?

क्या आप प्राकृत संख्याओं के लिए किसी विभाज्यता मानदंड के बारे में जानते हैं?

सर्वेक्षण के परिणामों से पता चला कि 77 प्रतिशत उत्तरदाताओं का मानना है कि स्कूल में अध्ययन किए गए लोगों के अलावा विभाज्यता के अन्य लक्षण भी हैं; 9% ऐसा नहीं सोचते हैं, 13% उत्तरदाताओं ने उत्तर देना मुश्किल पाया। दूसरे प्रश्न पर "क्या आप अन्य प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता मानदंड जानना चाहेंगे?" 33% ने सकारात्मक उत्तर दिया, 17% उत्तरदाताओं ने "नहीं" उत्तर दिया और उत्तर देना मुश्किल पाया - 50%। तीसरे प्रश्न का 100% उत्तरदाताओं ने सकारात्मक उत्तर दिया। चौथे प्रश्न का उत्तर 89% ने सकारात्मक रूप से दिया, "नहीं" का उत्तर दिया - 11% छात्र जिन्होंने शोध कार्य के दौरान सर्वेक्षण में भाग लिया।

निष्कर्ष

इस प्रकार, कार्य के दौरान, कार्यों को हल किया गया:

इस मुद्दे पर सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन किया;

2, 3, 5, 9 और 10 से मुझे ज्ञात चिह्नों के अलावा, मैंने सीखा कि 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, आदि से भी विभाज्यता के चिह्न हैं;

3) पास्कल की कसौटी का अध्ययन किया गया है - किसी भी प्राकृतिक संख्या से विभाज्यता के लिए एक सार्वभौमिक मानदंड;

विभिन्न स्रोतों के साथ काम करते हुए, अध्ययन के तहत विषय पर मिली सामग्री का विश्लेषण करते हुए, मुझे विश्वास हो गया कि अन्य प्राकृतिक संख्याओं से विभाज्यता के संकेत हैं। उदाहरण के लिए, 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 को, जिसने प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के अन्य संकेतों के अस्तित्व के बारे में मेरी परिकल्पना की शुद्धता की पुष्टि की। मुझे यह भी पता चला कि विभाज्यता के लिए एक सार्वभौमिक मानदंड है, जिसका एल्गोरिदम फ्रांसीसी गणितज्ञ पास्कल ब्लेज़ द्वारा पाया गया था और उनके ग्रंथ "संख्याओं की विभाज्यता की प्रकृति पर" में प्रकाशित हुआ था। इस एल्गोरिथम का उपयोग करके, आप किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए विभाज्यता मानदंड प्राप्त कर सकते हैं।

शोध कार्य का परिणामएक तालिका के रूप में एक व्यवस्थित सामग्री बन गई है "संख्याओं की विभाज्यता के संकेत", जिसका उपयोग गणित के पाठों में, ओलंपियाड की समस्याओं को हल करने के लिए छात्रों को तैयार करने के लिए पाठ्येतर गतिविधियों में, छात्रों को OGE और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयार करने में किया जा सकता है।

भविष्य में, मैं समस्याओं को हल करने के लिए संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के आवेदन पर काम करना जारी रखने का प्रस्ताव करता हूं।

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

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परिशिष्ट 1

पृथक्करण के संकेतों की तालिका

	संकेत	उदाहरण
	संख्या एक सम अंक के साथ समाप्त होती है।	………………2(4,6,8,0)
	अंकों का योग 3 से विभाज्य है।	3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
	इसके अंतिम दो अंकों की संख्या शून्य या 4 से विभाज्य होती है।	………………12
	संख्या 5 या 0 में समाप्त होती है।	………………0(5)
	संख्या एक सम अंक के साथ समाप्त होती है और अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है।	375018: 8-सम संख्या 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
	इस संख्या में से बिना अंतिम अंक के अंतिम दोगुने अंक को घटाने पर प्राप्त परिणाम को 7 से विभाजित किया जाता है।	36 - (2 × 4) = 28, 28: 7
	इसके अंतिम तीन अंक शून्य होते हैं या एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य होती है।	……………..064
	इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है।	3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
	संख्या शून्य में समाप्त होती है	………………..0
	प्रत्यावर्ती चिन्हों वाली किसी संख्या के अंकों का योग 11 से विभाज्य होता है।	1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22
	संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हैं और अंकों का योग 3 से विभाज्य है।	2 + 1 + 6 = 9, 9: 3 और 16: 4
	इस संख्या के दहाई की संख्या को, इकाइयों की चौगुनी संख्या के साथ जोड़ने पर, 13 का गुणज होता है।	84 + (4 × 5) = 104,
	संख्या एक सम अंक के साथ समाप्त होती है और जब अंतिम अंक के बिना इस संख्या से दोगुने अंतिम अंक को घटाने के परिणाम को 7 से विभाजित किया जाता है।	364: 4 एक सम संख्या है 36 - (2 × 4) = 28, 28: 7
	संख्या 5 और 0 से है और अंकों का योग 3 से विभाज्य है।	6+3+4+8+0=21, 21:3
	इसके चार अंतिम अंक शून्य हैं या एक संख्या बनाते हैं जो 16 से विभाज्य है।	…………..0032
	इस संख्या के दसियों की संख्या, इकाइयों की संख्या में 12 गुना वृद्धि के साथ, 17 का गुणज है।	29053→2905+36=2941→294+12= ३०६ → ३० + ७२ = १०२ → १० + २४ = ३४। चूँकि 34, 17 से विभाज्य है, तो 29053 भी 17 . से विभाज्य है
	संख्या एक सम अंक के साथ समाप्त होती है और इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।	2034: 4 - सम संख्या
	इस संख्या के दहाई की संख्या, इकाइयों की संख्या के दोगुने के साथ जोड़ी जाती है, 19 . का गुणज है	64 + (6 × 2) = 76,
	संख्या 0 के साथ समाप्त होती है और दूसरा से अंतिम अंक सम होता है	…………………40
	अंतिम दो अंक 25 . से विभाज्य हैं	…………….75
	एक संख्या 30 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह 0 पर समाप्त होती है और सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य है।	……………..360
	एक संख्या 59 से विभाज्य होती है यदि और केवल तभी जब दहाई की संख्या को इकाई की संख्या में जोड़ा जाता है, 6 से गुणा किया जाता है, 59 से विभाज्य होता है।	उदाहरण के लिए, 767 59 से विभाज्य है, क्योंकि 59 76 + 6 * 7 = 118 और 11 + 6 * 8 = 59 से विभाज्य है।
	संख्या 79 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दहाई की संख्या, इकाई की संख्या में जोड़ा जाता है, 8 से गुणा किया जाता है, तो 79 से विभाज्य होता है।	उदाहरण के लिए, 711, 79 से विभाज्य है, क्योंकि 79, 71 + 8 * 1 = 79 से विभाज्य है
	एक संख्या 99 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दो अंकों के समूह बनाने वाली संख्याओं का योग (एक से शुरू होकर) 99 से विभाजित होता है।	उदाहरण के लिए, 12573 99 से विभाज्य है क्योंकि 99 1 + 25 + 73 = 99 से विभाज्य है।
125 . पर	अंतिम तीन अंक 125 . से विभाज्य हैं	……………375