विस्तृत शोध के साथ किसी फ़ंक्शन का ऑनलाइन ग्राफ़ बनाएं। मेरे निपुण यात्रा नोट्स

यदि समस्या के लिए इसके ग्राफ के निर्माण के साथ फ़ंक्शन f (x) = x 2 4 x 2 - 1 का संपूर्ण अध्ययन आवश्यक है, तो हम इस सिद्धांत पर विस्तार से विचार करेंगे।

समस्या का समाधान करने के लिए इस प्रकार कामुख्य के गुण और ग्राफ़ प्राथमिक कार्य. अनुसंधान एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

Yandex.RTB R-A-339285-1

परिभाषा का क्षेत्र ढूँढना

चूंकि अनुसंधान फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र पर किया जाता है, इसलिए इस चरण से शुरुआत करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

के लिए यह उदाहरणइसमें हर को ODZ से बाहर करने के लिए उसके शून्यों को खोजना शामिल है।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

परिणामस्वरूप, आप मूल, लघुगणक इत्यादि प्राप्त कर सकते हैं। फिर ODZ को असमानता g (x) ≥ 0 द्वारा, लघुगणक लॉग a g (x) के लिए असमानता g (x) > 0 द्वारा, प्रकार g (x) 4 की एक सम डिग्री की जड़ के लिए खोजा जा सकता है।

ओडीजेड की सीमाओं का अध्ययन करना और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजना

फ़ंक्शन की सीमाओं पर लंबवत अनंतस्पर्शी रेखाएं होती हैं, जब ऐसे बिंदुओं पर एकतरफा सीमाएं अनंत होती हैं।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, x = ± 1 2 के बराबर सीमा बिंदुओं पर विचार करें।

फिर एकतरफ़ा सीमा ज्ञात करने के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना आवश्यक है। तब हमें यह मिलता है: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ लिम x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ लिम x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

इससे पता चलता है कि एकतरफ़ा सीमाएँ अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखाएँ x = ± 1 2 ग्राफ़ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।

किसी फलन का अध्ययन करना और जानना कि यह सम है या विषम

जब शर्त y (- x) = y (x) संतुष्ट होती है, तो फ़ंक्शन को सम माना जाता है। इससे पता चलता है कि ग्राफ ओए के संबंध में सममित रूप से स्थित है। जब शर्त y (- x) = - y (x) संतुष्ट हो जाती है, तो फ़ंक्शन को विषम माना जाता है। इसका मतलब यह है कि समरूपता निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष है। यदि कम से कम एक असमानता संतुष्ट नहीं होती है, तो हमें सामान्य रूप का एक फलन प्राप्त होता है।

समानता y (- x) = y (x) इंगित करती है कि फलन सम है। निर्माण करते समय यह ध्यान रखना आवश्यक है कि ओय के संबंध में समरूपता हो।

असमानता को हल करने के लिए, क्रमशः f " (x) ≥ 0 और f " (x) ≤ 0 स्थितियों के साथ बढ़ने और घटने के अंतराल का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

स्थिर बिंदु- ये वे बिंदु हैं जो व्युत्पन्न को शून्य में बदल देते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदु- ये परिभाषा के क्षेत्र से आंतरिक बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

निर्णय लेते समय, निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• फॉर्म f "(x) > 0 की बढ़ती और घटती असमानताओं के मौजूदा अंतराल के लिए, समाधान में महत्वपूर्ण बिंदु शामिल नहीं हैं;
• जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन को परिमित व्युत्पन्न के बिना परिभाषित किया गया है, उन्हें बढ़ते और घटते अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, y = x 3, जहां बिंदु x = 0 फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, इस पर व्युत्पन्न का अनंत का मान होता है) बिंदु, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 बढ़ते अंतराल में शामिल है);
• असहमति से बचने के लिए, शिक्षा मंत्रालय द्वारा अनुशंसित गणितीय साहित्य का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है।

सक्षम महत्वपूर्ण बिंदुबढ़ने और घटने के अंतराल में यदि वे फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को संतुष्ट करते हैं।

परिभाषा 2

के लिए किसी फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल को निर्धारित करना, खोजना आवश्यक है:

• व्युत्पन्न;
• महत्वपूर्ण बिंदु;
• महत्वपूर्ण बिंदुओं का उपयोग करके परिभाषा डोमेन को अंतरालों में विभाजित करें;
• प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें, जहां + वृद्धि है, और - कमी है।

उदाहरण 3

परिभाषा के क्षेत्र पर व्युत्पन्न खोजें f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1)2 .

समाधान

हल करने के लिए आपको चाहिए:

• स्थिर बिंदु खोजें, इस उदाहरण में x = 0 है;
• हर के शून्य ज्ञात कीजिए, उदाहरण x = ± 1 2 पर मान शून्य लेता है।

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए संख्या अक्ष पर बिंदु रखते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतराल से कोई भी बिंदु लेना और गणना करना पर्याप्त है। पर सकारात्मक परिणामग्राफ़ पर हम + दर्शाते हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और - का अर्थ है कि यह घट रहा है।

उदाहरण के लिए, f'' (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर के पहले अंतराल में + चिह्न है। संख्या रेखा पर विचार करें।

उत्तर:

• फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है - ∞; - 1 2 और (- 1 2 ; 0 ] ;
• अंतराल में कमी है [ 0 ; 1 2) और 1 2 ; + ∞ .

आरेख में, + और - का उपयोग करके, फ़ंक्शन की सकारात्मकता और नकारात्मकता को दर्शाया गया है, और तीर कमी और वृद्धि को दर्शाते हैं।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां फ़ंक्शन परिभाषित होता है और जिसके माध्यम से व्युत्पन्न संकेत बदलता है।

उदाहरण 4

यदि हम एक उदाहरण पर विचार करें जहां x = 0 है, तो इसमें फ़ंक्शन का मान f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 के बराबर है। जब अवकलज का चिह्न + से - में परिवर्तित होता है और बिंदु x = 0 से होकर गुजरता है, तो निर्देशांक (0; 0) वाला बिंदु अधिकतम बिंदु माना जाता है। जब चिह्न - से + में बदलता है, तो हमें एक न्यूनतम बिंदु प्राप्त होता है।

उत्तलता और अवतलता का निर्धारण f "" (x) ≥ 0 और f "" (x) ≤ 0 के रूप की असमानताओं को हल करके किया जाता है। अवतलता के बजाय नीचे की ओर उत्तलता, और उत्तलता के बजाय ऊपर की ओर उत्तलता नाम का आमतौर पर कम उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 3

के लिए अवतलता और उत्तलता के अंतराल का निर्धारणज़रूरी:

• दूसरा व्युत्पन्न खोजें;
• दूसरे व्युत्पन्न फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात करें;
• परिभाषा क्षेत्र को प्रकट बिंदुओं के साथ अंतरालों में विभाजित करें;
• अंतराल का चिह्न निर्धारित करें.

उदाहरण 5

परिभाषा के क्षेत्र से दूसरा व्युत्पन्न खोजें।

समाधान

एफ "" (एक्स) = - 2 एक्स (4 एक्स 2 - 1) 2 " = = (- 2 एक्स) " (4 एक्स 2 - 1) 2 - - 2 एक्स 4 एक्स 2 - 1 2 " (4 एक्स 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

हम अंश और हर के शून्य पाते हैं, जहां हमारे उदाहरण में हमारे पास है कि हर के शून्य x = ± 1 2

अब आपको संख्या रेखा पर बिंदुओं को आलेखित करने और प्रत्येक अंतराल से दूसरे अवकलज का चिह्न निर्धारित करने की आवश्यकता है। हमें वह मिल गया

उत्तर:

• फ़ंक्शन अंतराल से उत्तल है - 1 2 ; 1 2 ;
• फलन अंतरालों से अवतल है - ∞ ; - 1 2 और 1 2; + ∞ .

परिभाषा 4

विभक्ति बिंदु– यह x 0 के रूप का एक बिंदु है; च (x0) . जब इसकी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा होती है, तो जब यह x 0 से होकर गुजरती है तो फ़ंक्शन का चिह्न विपरीत में बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, यह एक बिंदु है जिसके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न गुजरता है और संकेत बदलता है, और बिंदुओं पर स्वयं यह शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है। सभी बिंदुओं को फ़ंक्शन का डोमेन माना जाता है।

उदाहरण में, यह स्पष्ट था कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न बिंदु x = ± 1 2 से गुजरते समय संकेत बदलता है। बदले में, वे परिभाषा के दायरे में शामिल नहीं हैं।

क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी खोजना

किसी फ़ंक्शन को अनंत पर परिभाषित करते समय, आपको क्षैतिज और तिरछे अनंतस्पर्शी को देखने की आवश्यकता होती है।

परिभाषा 5

तिरछा स्पर्शोन्मुखसीधी रेखाओं का उपयोग करके दर्शाया गया है, समीकरण द्वारा दिया गया y = k x + b, जहां k = lim x → ∞ f (x) x और b = lim x → ∞ f (x) - k x।

k = 0 और b अनंत के बराबर नहीं होने पर, हम पाते हैं कि तिरछा अनंतस्पर्शी बन जाता है क्षैतिज.

दूसरे शब्दों में, अनंतस्पर्शी रेखाएँ वे रेखाएँ मानी जाती हैं जिन पर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत तक पहुँचता है। यह फ़ंक्शन ग्राफ़ के त्वरित निर्माण की सुविधा प्रदान करता है।

यदि कोई अनंतस्पर्शी नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को दोनों अनन्तताओं पर परिभाषित किया गया है, तो यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे व्यवहार करेगा, इन अनन्तताओं पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 6

आइये इसे एक उदाहरण के तौर पर समझते हैं

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ वाई = 1 4

एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है. फ़ंक्शन की जांच करने के बाद, आप इसका निर्माण शुरू कर सकते हैं।

मध्यवर्ती बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना

ग्राफ़ को अधिक सटीक बनाने के लिए, मध्यवर्ती बिंदुओं पर कई फ़ंक्शन मान खोजने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 7

हमने जिस उदाहरण पर विचार किया है, उससे x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि फ़ंक्शन सम है, हम पाते हैं कि मान इन बिंदुओं पर मानों से मेल खाते हैं, अर्थात, हमें x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 मिलता है।

आइए लिखें और हल करें:

एफ (- 2) = एफ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 एफ (- 1) - एफ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 एफ - 3 4 = एफ 3 4 = 3 4 2 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 एफ - 1 4 = एफ 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

फ़ंक्शन के मैक्सिमा और मिनिमा, विभक्ति बिंदु और मध्यवर्ती बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, अनंतस्पर्शी का निर्माण करना आवश्यक है। सुविधाजनक पदनाम के लिए, बढ़ने, घटने, उत्तलता और अवतलता के अंतराल दर्ज किए जाते हैं। आइए नीचे दी गई तस्वीर देखें।

चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ़ रेखाएँ खींचना आवश्यक है, जो आपको तीरों का अनुसरण करके स्पर्शोन्मुख तक पहुँचने की अनुमति देगा।

इससे फ़ंक्शन की संपूर्ण खोज समाप्त हो जाती है। कुछ प्राथमिक कार्यों के निर्माण के मामले हैं जिनके लिए ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

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सबसे छोटा बर्नर- यह 145 मिलीमीटर (14.5 सेंटीमीटर) है

मध्य बर्नर- यह 180 मिलीमीटर (18 सेंटीमीटर) है।

और अंत में, सबसे ज्यादा बड़ा बर्नर- यह 225 मिलीमीटर (22.5 सेंटीमीटर) है।

यह आंख से आकार निर्धारित करने और यह समझने के लिए पर्याप्त है कि आपको किस व्यास के बर्नर की आवश्यकता है। जब मुझे यह नहीं पता था, तो मैं इन आयामों के बारे में चिंतित था, मुझे नहीं पता था कि कैसे मापना है, किस किनारे पर नेविगेट करना है, आदि। अब मैं बुद्धिमान हूं :) मुझे आशा है कि मैंने आपकी भी मदद की है!

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निर्देश

फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पाप (x) को -∞ से +∞ तक पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता के क्षेत्रों और असंततता के बिंदुओं की पहचान करें। आमतौर पर कोई फ़ंक्शन उसी क्षेत्र में निरंतर होता है जहां उसे परिभाषित किया गया है। असंततताओं का पता लगाने के लिए, किसी को गणना करनी चाहिए क्योंकि तर्क परिभाषा के क्षेत्र के भीतर अलग-अलग बिंदुओं तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर जाता है, और x→0- होने पर माइनस अनंत की ओर जाता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरे प्रकार का असंततता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएं परिमित हैं, लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह की असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

लंबवत अनंतस्पर्शी खोजें, यदि कोई हो। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी लगभग हमेशा दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु पर स्थित होता है। हालाँकि, कभी-कभी यह व्यक्तिगत बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा डोमेन से बाहर रखा जाता है, बल्कि बिंदुओं के संपूर्ण अंतराल, और फिर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी इन अंतरालों के किनारों पर स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: सम, विषम और आवधिक।
फ़ंक्शन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos(x) और x^2 सम फलन हैं।

आवधिकता एक गुण है जो कहता है कि एक निश्चित संख्या T है, जिसे आवर्त कहा जाता है, जो कि किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी मुख्य त्रिकोणमितीय कार्य(साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) - आवधिक।

अंक खोजें. ऐसा करने के लिए, के व्युत्पन्न की गणना करें दिया गया कार्यऔर x के वे मान ज्ञात कीजिए जहाँ यह शून्य हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 का व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है, जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य पर व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन को ट्रैक करें। g(x) बिंदु x = -6 पर प्लस से चिह्न बदलता है, और बिंदु x = 0 पर वापस माइनस से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन f(x) के पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपको एकरसता के क्षेत्र भी मिल गए हैं: f(x) अंतराल -∞;-6 पर एकरसता से बढ़ता है, एकरसता से -6;0 तक घटता है और फिर से 0;+∞ से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए। इसकी जड़ें बताएंगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहां उत्तल होगा और कहां अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) का दूसरा व्युत्पन्न h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर शून्य हो जाता है, और चिह्न माइनस से प्लस में बदल जाता है। नतीजतन, इस बिंदु से पहले f(x) का ग्राफ उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

किसी फ़ंक्शन में लंबवत अनंतस्पर्शी के अलावा अन्य अनंतस्पर्शी भी हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के क्षेत्र में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, x→∞ या x→-∞ होने पर f(x) की सीमा की गणना करें। यदि यह परिमित है, तो आपको क्षैतिज अनंतस्पर्शी मिल गया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b रूप की एक सीधी रेखा है। K ज्ञात करने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के लिए b - सीमा (f(x) – kx) ज्ञात करने के लिए।

के लिए पूर्ण शोधफ़ंक्शन और उसके ग्राफ़ का निर्माण करते समय, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1) फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें;

2) फ़ंक्शन के असंततता बिंदु और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (यदि वे मौजूद हैं) खोजें;

3) अनंत पर फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें;

4) समता (विषमता) और आवधिकता (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें;

5) फ़ंक्शन की एकरसता के चरम और अंतराल का पता लगाएं;

6) उत्तलता अंतराल और विभक्ति बिंदु निर्धारित करें;

7) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें, और, यदि संभव हो तो, कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ़ को स्पष्ट करते हैं।

फ़ंक्शन का अध्ययन उसके ग्राफ़ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।

उदाहरण 9फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ़ बनाएं।

1. परिभाषा का दायरा: ;

2. फ़ंक्शन बिंदुओं पर असंततता से ग्रस्त है
,
;

हम ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं।

;
,
─ लंबवत अनंतस्पर्शी।

;
,
─ लंबवत अनंतस्पर्शी।

3. हम तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शी की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं।

सीधा
─ तिरछा अनंतस्पर्शी, यदि
,
.

,
.

सीधा
─ क्षैतिज अनंतस्पर्शी।

4. फलन सम है क्योंकि
.

फ़ंक्शन की समता कोटि अक्ष के सापेक्ष ग्राफ़ की समरूपता को इंगित करती है।

5. फ़ंक्शन की एकरसता अंतराल और चरम का पता लगाएं।
;
आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात्। वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न 0 है या मौजूद नहीं है:
;

. हमारे पास तीन बिंदु हैं . ये बिंदु संपूर्ण वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए संकेतों को परिभाषित करें

उनमें से प्रत्येक पर.
अंतराल (-∞; -1) और (-1; 0) पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अंतराल (0; 1) और (1; +∞) पर यह घटता है। किसी बिंदु से गुजरते समय
.

व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, इसलिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है

6. उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल ज्ञात करें। आइये जानते हैं किन बिंदुओं पर

0 है, या अस्तित्व में नहीं है.
,
,

इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं.
अंक
और वास्तविक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करें। आइए संकेत को परिभाषित करें

हर अंतराल पर.
इस प्रकार, अंतराल पर वक्र
और
अंक
नीचे की ओर उत्तल, अंतराल पर (-1;1) ऊपर की ओर उत्तल; कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि फ़ंक्शन बिंदुओं पर है

परिभाषित नहीं.

7. अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
धुरी के साथ
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1) पर और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है

ग्राफ़ प्रतिच्छेद नहीं करता, क्योंकि इस फ़ंक्शन के अंश का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र 1 ─ फ़ंक्शन ग्राफ़

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग। लोच समारोह

आर्थिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए, किसी फ़ंक्शन की लोच की अवधारणा का अक्सर उपयोग किया जाता है।परिभाषा।
लोच समारोह फलन की सापेक्ष वृद्धि के अनुपात की सीमा कहलाती है चर की सापेक्ष वृद्धि के लिए
पर

, . (सातवीं)
किसी फ़ंक्शन की लोच से पता चलता है कि फ़ंक्शन कितने प्रतिशत बदल जाएगा जब स्वतंत्र चर बदलता है

लोच फ़ंक्शन का उपयोग मांग और खपत के विश्लेषण में किया जाता है। यदि मांग की लोच (निरपेक्ष मूल्य में)
, तो मांग को लोचदार माना जाता है यदि
─ तटस्थ अगर
─ कीमत (या आय) के सापेक्ष बेलोचदार।

उदाहरण 10फ़ंक्शन की लोच की गणना करें
और इसके लिए लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए = 3.

समाधान: सूत्र (VII) के अनुसार, फ़ंक्शन की लोच है:

मान लीजिए x=3, तो
.इसका मतलब यह है कि यदि स्वतंत्र चर में 1% की वृद्धि होती है, तो आश्रित चर के मूल्य में 1.42% की वृद्धि होगी।

उदाहरण 11मांग को चलने दीजिए कीमत के संबंध में की तरह लगता है
, कहाँ ─ स्थिर गुणांक। कीमत x = 3 डेन पर मांग फलन के लोच सूचक का मान ज्ञात कीजिए। इकाइयां

समाधान: सूत्र (VII) का उपयोग करके मांग फ़ंक्शन की लोच की गणना करें

विश्वास
मौद्रिक इकाइयाँ, हमें मिलती हैं
. इसका मतलब है कि एक कीमत पर
मौद्रिक इकाइयाँ कीमत में 1% की वृद्धि से मांग में 6% की कमी होगी, अर्थात। मांग लोचदार है.

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हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।