बहुभुज सूत्र के कोणों का योग कैसे ज्ञात करें। बहुभुज। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत। व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

बहुभुज के अंदर का कोनाबहुभुज के दो आसन्न पक्षों द्वारा गठित कोण है। उदाहरण के लिए, एबीसीभीतरी कोने है।

बहुभुज बाहरी कोनाबहुभुज के एक तरफ से बनने वाला कोण और दूसरी तरफ का विस्तार है। उदाहरण के लिए, एलबीसीबाहरी कोना है।

एक बहुभुज के कोनों की संख्या हमेशा उसकी भुजाओं की संख्या के बराबर होती है। यह आंतरिक कोनों और बाहरी कोनों दोनों पर लागू होता है। यद्यपि आप बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष के लिए दो समान बाहरी कोनों को आकर्षित कर सकते हैं, उनमें से केवल एक को हमेशा ध्यान में रखा जाता है। इसलिए, किसी भी बहुभुज के कोनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको भुजाओं की संख्या गिनने की आवश्यकता है।

आंतरिक कोणों का योग

एक उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 ° के गुणनफल के बराबर होता है और भुजाओं की संख्या घटा दो।

एस = 2डी(एन - 2)

कहाँ पे एसकोणों का योग है, 2 डी- दो समकोण (अर्थात 2 90 = 180 °), और एन- पार्टियों की संख्या।

अगर हम ऊपर से ड्रा करें एबहुभुज एबीसीडीईएफसभी संभव विकर्ण, फिर हम इसे त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जिनकी संख्या बहुभुज की भुजाओं से दो कम होगी:

इसलिए, बहुभुज के कोणों का योग सभी परिणामी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होगा। चूँकि प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है (2 .) डी), तो सभी त्रिभुजों के कोणों का योग गुणनफल 2 . के बराबर होगा डीउनकी संख्या से:

एस = 2डी(एन- 2) = 180 4 = 720 °

इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि आंतरिक कोणों का योग स्थिर होता है और यह बहुभुज की भुजाओं की संख्या पर निर्भर करता है।

बाहरी कोणों का योग

एक उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° (या 4 .) होता है डी).

एस = 4डी

कहाँ पे एसबाहरी कोणों का योग है, 4 डी- चार समकोण (अर्थात 4 · 90 = 360 °)।

बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर बाहरी और आंतरिक कोणों का योग 180 ° (2 .) होता है डी) क्योंकि वे आसन्न कोने हैं। उदाहरण के लिए, 1 और 2 :

इसलिए, यदि बहुभुज में एनपार्टियां (और एनकोने), फिर सभी के लिए बाहरी और आंतरिक कोणों का योग एनशीर्ष 2 . के बराबर होंगे डीएन... ताकि इस राशि से 2 डीएनकेवल बाहरी कोणों का योग प्राप्त करें, आपको इससे आंतरिक कोणों का योग घटाना होगा, अर्थात 2 डी(एन - 2):

एस = 2डीएन - 2डी(एन - 2) = 2डीएन - 2डीएन + 4डी = 4डी

वीडियो ट्यूटोरियल 2: बहुभुज। समस्याओं को सुलझा रहा

भाषण: बहुभुज। उत्तल बहुभुज के कोणों का योग

बहुभुज- ये वे आंकड़े हैं जो हमें हर जगह घेरते हैं - यह छत्ते का आकार है जिसमें मधुमक्खियां अपना शहद, वास्तुशिल्प संरचनाएं और बहुत कुछ संग्रहीत करती हैं।

जैसा कि पहले चर्चा की गई है, बहुभुज ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें दो से अधिक कोने होते हैं। इनमें एक बंद पॉलीलाइन होती है।

इसके अलावा, बहुभुज के कोने बाहरी और आंतरिक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक तारा एक आकृति है जिसमें 10 कोने होते हैं, जिसमें कुछ उत्तल और अन्य अवतल होते हैं:

उत्तल बहुभुज के उदाहरण:

कृपया ध्यान दें कि यह आंकड़ा नियमित बहुभुज दिखाता है - ये ठीक वही हैं जिनका स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

किसी भी बहुभुज में भुजाओं की संख्या के समान ही शीर्षों की संख्या होती है। यह भी ध्यान दें कि पड़ोसी कोने वे हैं जिनमें एक पक्ष समान है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के सभी शीर्ष आसन्न होते हैं।

एक नियमित बहुभुज में जितने अधिक कोण होते हैं, उनकी डिग्री माप उतनी ही अधिक होती है। हालांकि, उत्तल बहुभुज के कोण का डिग्री माप 180 डिग्री से अधिक या उसके बराबर नहीं हो सकता है।

बहुभुज की सामान्य डिग्री माप निर्धारित करने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

ध्यान दें... इस सामग्री में एक प्रमेय और उसका प्रमाण है, साथ ही व्यावहारिक उदाहरणों में उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय के अनुप्रयोग को दर्शाने वाली कई समस्याएं हैं।.

उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय

सबूत.

उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम पहले से ही सिद्ध प्रमेय का उपयोग करते हैं कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

मान लीजिए A 1 A 2 ... A n एक उत्तल बहुभुज है, और n> 3. शीर्ष A से बहुभुज के सभी विकर्ण खींचे। वे इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं: A 1 A 2 A 3 , ए 1 ए 3 ए 4, ..., ए 1 ए एन - 1 ए एन। एक बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है तथा त्रिभुजों की संख्या (n-2) होती है। इसलिए, उत्तल n -gon A 1 A 2 ... A n के कोणों का योग 180 ° (n - 2) होता है।

कार्य।

एक उत्तल बहुभुज में 80 डिग्री के तीन कोने होते हैं, और शेष 150 डिग्री होते हैं। उत्तल बहुभुज में कितने कोण होते हैं?

समाधान।

प्रमेय कहता है: उत्तल n-gon के लिए, कोणों का योग 180° (n-2) होता है .

तो, हमारे मामले के लिए:

180 (n-2) = 3 * 80 + x * 150, जहाँ

समस्या कथन के अनुसार हमें 80 डिग्री के 3 कोण दिए गए हैं, और अन्य कोणों की संख्या अभी भी हमारे लिए अज्ञात है, इसलिए हम उनकी संख्या x के रूप में नामित करेंगे।

हालाँकि, बाईं ओर की प्रविष्टि से, हमने बहुभुज के कोनों की संख्या n के रूप में निर्धारित की, क्योंकि हम समस्या की स्थिति से तीन कोणों के मूल्यों को जानते हैं, यह स्पष्ट है कि x = n-3।

इस प्रकार, समीकरण इस तरह दिखेगा:

180 (एन-2) = 240 + 150 (एन-3)

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं

180एन - 360 = 240 + 150एन - 450

180एन - 150एन = 240 + 360 - 450

उत्तर: 5 चोटियाँ

कार्य।

यदि प्रत्येक कोण 120 डिग्री से कम है, तो बहुभुज के कितने शीर्ष हो सकते हैं?

समाधान।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय कहता है: उत्तल n-gon के लिए, सभी कोणों का योग 180° (n-2) होता है .

इसलिए, हमारे मामले के लिए, समस्या की सीमा स्थितियों का अनुमान लगाना सबसे पहले आवश्यक है। अर्थात्, यह मान लीजिए कि प्रत्येक कोण 120 डिग्री का है। हम पाते हैं:

180एन - 360 = 120एन

180n - 120n = 360 (हम नीचे इस व्यंजक पर अलग से विचार करेंगे)

प्राप्त समीकरण के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: यदि कोण 120 डिग्री से कम हैं, तो बहुभुज कोनों की संख्या छह से कम है।

व्याख्या:

व्यंजक 180n - 120n = 360 के आधार पर, बशर्ते कि घटाई गई दाईं ओर 120n से कम हो, अंतर 60n से अधिक होना चाहिए। इस प्रकार, भाग का भागफल हमेशा छह से कम होगा।

उत्तर:बहुभुज में शीर्षों की संख्या छह से कम होगी।

टास्क

एक बहुभुज में, 113 डिग्री के तीन कोण होते हैं, और शेष एक दूसरे के बराबर होते हैं और उनकी डिग्री माप एक पूर्णांक है। एक बहुभुज में शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम एक उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय कहता है: उत्तल n-gon के लिए सभी बाह्य कोणों का योग 360° . होता है .

इस तरह,

3 * (180-113) + (एन-3) एक्स = 360

अभिव्यक्ति का दाहिना भाग बाहरी कोणों का योग है, बाईं ओर तीन कोणों का योग स्थिति से जाना जाता है, और बाकी की डिग्री माप (उनकी संख्या, क्रमशः, n-3, क्योंकि तीन कोण हैं ज्ञात) को x के रूप में दर्शाया गया है।

159 को केवल दो कारकों 53 और 3 में विघटित किया जा सकता है, जिसमें 53 एक अभाज्य संख्या है। अर्थात्, कारकों के अन्य जोड़े नहीं हैं।

अत: n-3 = 3, n = 6, अर्थात् बहुभुज के कोनों की संख्या छह है।

उत्तर: छह कोने

टास्क

सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल बहुभुज में अधिक से अधिक तीन न्यून कोण हो सकते हैं।

समाधान

जैसा कि आप जानते हैं, उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग 360 0 होता है। आइए हम विरोधाभास से साबित करें। यदि एक उत्तल बहुभुज में कम से कम चार तीव्र आंतरिक कोने होते हैं, इसलिए, इसके बाहरी कोनों में कम से कम चार अधिक कोण होते हैं, जहां से यह पता चलता है कि बहुभुज के सभी बाहरी कोणों का योग 4 * 90 0 = 360 0 से अधिक है। हमारे पास एक विरोधाभास है। कथन सिद्ध होता है।

उत्तल n-gon . के मामले के लिए

होने देना ए 1 ए 2. ... ... ए एन (\ डिस्प्लेस्टाइल ए_ (1) ए_ (2) ... ए_ (एन))एक दिया गया उत्तल बहुभुज है और एन> 3. फिर हम एक शीर्ष से विपरीत शीर्षों की ओर खींचते हैं ( एन- 3) विकर्ण: ए 1 ए 3, ए 1 ए 4, ए 1 ए 5। ... ... ए 1 ए एन -1 (\ डिस्प्लेस्टाइल ए_ (1) ए_ (3), ए_ (1) ए_ (4), ए_ (1) ए_ (5) ... ए_ (1) ए_ (एन -1))... चूंकि बहुभुज उत्तल है, इसलिए इन विकर्णों ने इसे ( एन- 2) त्रिकोण: ए 1 ए 2 ए 3, ए 1 ए 3 ए 4,. ... ... , Δ ए 1 ए एन -1 ए एन (\ डिस्प्लेस्टाइल \ डेल्टा ए_ (1) ए_ (2) ए_ (3), \ डेल्टा ए_ (1) ए_ (3) ए_ (4), ..., \ डेल्टा ए_ (1) ए_ (एन -1) ए_ (एन))... एक बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है और इन त्रिभुजों की संख्या होती है एन- 2. इसलिए, कोणों का योग एन-गॉन 180 ° के बराबर होता है ( एन − 2) . प्रमेय सिद्ध होता है।

टिप्पणी

एक गैर-उत्तल n-gon के लिए, कोणों का योग भी 180 ° होता है ( एन- 2)। प्रमाण समान हो सकता है, इसके अलावा लेम्मा का उपयोग करते हुए कि किसी भी बहुभुज को विकर्णों द्वारा त्रिभुजों में काटा जा सकता है, और इस तथ्य पर निर्भर नहीं है कि विकर्णों को एक शीर्ष से आवश्यक रूप से खींचा जाता है (इस स्थिति से घिरा, एक गैर-उत्तल बहुभुज को काटना हमेशा नहीं होता है इस अर्थ में संभव है कि एक गैर-उत्तल बहुभुज में आवश्यक रूप से कम से कम एक शीर्ष नहीं होता है, सभी विकर्ण जिसमें से बहुभुज के अंदर स्थित होते हैं, साथ ही साथ त्रिभुज भी होते हैं)।