अंकगणितीय प्रगति और उसका योग। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सामान्य शिक्षा विद्यालय (ग्रेड 9) में बीजगणित का अध्ययन करते समय, महत्वपूर्ण विषयों में से एक संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन है, जिसमें प्रगति शामिल है - ज्यामितीय और अंकगणित। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति और समाधानों के साथ उदाहरणों पर विचार करेंगे।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है?

इसे समझने के लिए, मानी गई प्रगति की परिभाषा देना आवश्यक है, साथ ही उन बुनियादी सूत्रों को भी देना है जिनका उपयोग आगे समस्याओं को हल करने में किया जाएगा।

यह ज्ञात है कि कुछ बीजीय प्रगति में पहला पद 6 के बराबर है, और 7 वां पद 18 के बराबर है। अंतर को खोजना और इस क्रम को 7 वें पद पर पुनर्स्थापित करना आवश्यक है।

आइए अज्ञात शब्द निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें: a n = (n - 1) * d + a 1. हम इसमें ज्ञात डेटा को स्थिति से प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात, संख्याएँ a 1 और a 7, हमारे पास है: 18 = 6 + 6 * d। इस व्यंजक से, आप आसानी से अंतर की गणना कर सकते हैं: d = (18 - 6) / 6 = 2। इस प्रकार, हमने समस्या के पहले भाग का उत्तर दिया है।

7 शब्दों तक के अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए, आपको एक बीजीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, अर्थात, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, और इसी तरह। नतीजतन, हम पूरे अनुक्रम को पुनर्स्थापित करते हैं: ए 1 = 6, ए 2 = 6 + 2 = 8, ए 3 = 8 + 2 = 10, ए 4 = 10 + 2 = 12, ए 5 = 12 + 2 = 14 , एक 6 = 14 + 2 = 16, ए 7 = 18।

उदाहरण # 3: प्रगति करना

आइए समस्या की स्थिति को और भी जटिल करें। अब इस प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है कि अंकगणितीय प्रगति कैसे ज्ञात की जाए। आप निम्नलिखित उदाहरण दे सकते हैं: दो संख्याएँ दी गई हैं, उदाहरण के लिए - 4 और 5। बीजगणितीय प्रगति करना आवश्यक है ताकि इनके बीच तीन और शब्द फिट हों।

इस समस्या को हल करने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि भविष्य की प्रगति में दी गई संख्याएं किस स्थान पर होंगी। चूँकि उनके बीच तीन और पद होंगे, तो a 1 = -4 और a 5 = 5। इसे स्थापित करने के बाद, हम समस्या पर आगे बढ़ते हैं, जो पिछले वाले के समान है। फिर से, n-वें पद के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a 5 = a 1 + 4 * d। कहां से: डी = (ए 5 - ए 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25। यहां हमें अंतर का पूर्णांक मान नहीं मिला, बल्कि यह एक परिमेय संख्या है, इसलिए बीजगणितीय प्रगति के सूत्र समान रहते हैं।

अब पाया गया अंतर 1 में जोड़ें और प्रगति के लापता सदस्यों को पुनर्स्थापित करें। हम पाते हैं: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, जो कि समस्या की स्थिति के साथ।

उदाहरण # 4: प्रगति का पहला पद

आइए समाधान के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण देना जारी रखें। पिछली सभी समस्याओं में, बीजीय प्रगति की पहली संख्या ज्ञात थी। अब एक अलग प्रकार की समस्या पर विचार करें: दो संख्याएँ दी गई हैं, जहाँ एक 15 = 50 और एक 43 = 37 है। उस संख्या को खोजना आवश्यक है जिससे यह क्रम शुरू होता है।

अब तक प्रयुक्त सूत्र 1 और d का ज्ञान ग्रहण करते हैं। समस्या विवरण में इन संख्याओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। फिर भी, हम प्रत्येक सदस्य के लिए ऐसे व्यंजक लिखते हैं जिनके बारे में जानकारी है: a 15 = a 1 + 14 * d और a 43 = a 1 + 42 * d। दो समीकरण प्राप्त हुए जिनमें 2 अज्ञात मात्राएँ (a 1 और d) हैं। इसका मतलब है कि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गई है।

इस प्रणाली को हल करने का सबसे आसान तरीका प्रत्येक समीकरण में 1 व्यक्त करना है, और फिर परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना करना है। पहला समीकरण: a १ = a १५ - १४ * d = ५० - १४ * d; दूसरा समीकरण: ए 1 = ए 43 - 42 * डी = 37 - 42 * डी। इन व्यंजकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, जहाँ से अंतर d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (केवल 3 दशमलव स्थान दिए गए हैं)।

d को जानने के बाद, आप उपरोक्त 2 में से किसी एक का उपयोग 1 के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, पहला: a १ = ५० - १४ * d = ५० - १४ * (- ०.४६४) = ५६.४९६।

यदि आपको परिणाम के बारे में संदेह है, तो आप इसकी जांच कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रगति की 43 अवधि निर्धारित करें, जो कि शर्त में निर्दिष्ट है। हम पाते हैं: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008। एक छोटी सी त्रुटि इस तथ्य के कारण है कि गणना का उपयोग हजारवें हिस्से तक किया जाता है।

उदाहरण # 5: राशि

अब आइए अंकगणितीय प्रगति के योग के समाधान के साथ कुछ उदाहरण देखें।

मान लीजिए कि निम्नलिखित रूप की संख्यात्मक प्रगति दी गई है: 1, 2, 3, 4, ...,। आप इन 100 संख्याओं के योग की गणना कैसे करते हैं?

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के लिए धन्यवाद, इस समस्या को हल करना संभव है, अर्थात्, सभी संख्याओं को क्रमिक रूप से जोड़ना, जो कंप्यूटर जैसे ही कोई व्यक्ति एंटर कुंजी दबाता है, करेगा। हालाँकि, समस्या को दिमाग में हल किया जा सकता है, यदि हम ध्यान दें कि संख्याओं की प्रस्तुत श्रृंखला एक बीजगणितीय प्रगति है, और इसका अंतर 1 है। योग के सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S n = n * (a 1 + ए) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस समस्या को "गॉसियन" कहा जाता है, क्योंकि 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रसिद्ध जर्मन, जबकि अभी भी केवल 10 वर्ष का था, कुछ ही सेकंड में इसे अपने सिर में हल करने में सक्षम था। लड़के को बीजगणितीय प्रगति के योग का सूत्र नहीं पता था, लेकिन उसने देखा कि यदि आप अनुक्रम के किनारों पर संख्याओं को जोड़े में जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक परिणाम मिलता है, अर्थात 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., और चूंकि इन राशियों में से ठीक 50 (100/2) होगी, तो सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह 50 को 101 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण # 6: n से m . तक के सदस्यों का योग

अंकगणितीय प्रगति के योग का एक और विशिष्ट उदाहरण निम्नलिखित है: संख्याओं की एक श्रृंखला दी गई है: 3, 7, 11, 15, ..., आपको यह पता लगाना होगा कि इसके सदस्यों का योग 8 से 14 तक क्या होगा।

समस्या का समाधान दो तरह से होता है। उनमें से पहले में 8 से 14 तक अज्ञात शब्दों को खोजना शामिल है, और फिर उनका अनुक्रमिक योग। चूंकि कुछ शब्द हैं, इसलिए यह विधि पर्याप्त श्रमसाध्य नहीं है। फिर भी, इस समस्या को दूसरी विधि द्वारा हल करने का प्रस्ताव है, जो अधिक सार्वभौमिक है।

विचार m और n पदों के बीच बीजगणितीय प्रगति के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है, जहां n> m पूर्णांक हैं। आइए हम दोनों स्थितियों के योग के लिए दो व्यंजक लिखें:

1. एस एम = एम * (ए एम + ए 1) / 2।
2. एस एन = एन * (ए एन + ए 1) / 2।

चूंकि n> m, यह स्पष्ट है कि 2 योग में पहला शामिल है। अंतिम निष्कर्ष का अर्थ है कि यदि हम इन योगों के बीच के अंतर को लेते हैं, और इसमें शब्द एम जोड़ते हैं (अंतर लेने के मामले में, इसे योग एस एन से घटाया जाता है), तो हमें समस्या का आवश्यक उत्तर मिलता है। हमारे पास है: एस एमएन = एस एन - एस एम + एम = एन * (ए 1 + ए) / 2 - एम * (ए 1 + एम) / 2 + एम = ए 1 * (एन - एम) / 2 + ए * एन/2 + पूर्वाह्न * (1- एम / 2)। इस व्यंजक में n और m के सूत्रों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हम प्राप्त करते हैं: एस एमएन = ए 1 * (एन - एम) / 2 + एन * (ए 1 + (एन -1) * डी) / 2 + (ए 1 + (एम -1) * डी) * (1 - एम / 2) = ए 1 * (एन - एम + 1) + डी * एन * (एन -1) / 2 + डी * (3 * एम - एम 2 - 2) / 2।

परिणामी सूत्र कुछ बोझिल है; फिर भी, S mn का योग केवल n, m, a 1 और d पर निर्भर करता है। हमारे मामले में, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: S mn = 301।

जैसा कि दिए गए समाधानों से देखा जा सकता है, सभी समस्याएँ nवें पद के व्यंजक के ज्ञान और प्रथम पदों के समुच्चय के योग के सूत्र पर आधारित हैं। इनमें से किसी भी समस्या के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, शर्त को ध्यान से पढ़ने की सिफारिश की जाती है, स्पष्ट रूप से समझें कि क्या खोजने की आवश्यकता है, और उसके बाद ही समाधान के लिए आगे बढ़ें।

एक और युक्ति सरलता के लिए प्रयास करना है, अर्थात, यदि आप जटिल गणितीय गणनाओं का उपयोग किए बिना किसी प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं, तो आपको बस यही करने की आवश्यकता है, क्योंकि इस मामले में गलती करने की संभावना कम है। उदाहरण के लिए, समाधान # 6 के साथ अंकगणितीय प्रगति के उदाहरण में, कोई सूत्र S mn = n * (a 1 + a) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, पर रुक सकता है और ब्रेक कर सकता है अलग-अलग उप-कार्यों में सामान्य समस्या (इस मामले में, पहले सदस्यों को खोजें और मैं)।

यदि प्राप्त परिणाम के बारे में संदेह है, तो इसकी जांच करने की सिफारिश की जाती है, जैसा कि दिए गए कुछ उदाहरणों में किया गया था। हमने पता लगाया कि अंकगणितीय प्रगति कैसे प्राप्त करें। यदि आप इसे समझ लेते हैं, तो यह इतना कठिन नहीं है।

इससे पहले कि हम निर्णय लेना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्या, विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व की अपनी क्रमिक संख्या होती है... इस समुच्चय के तत्वों को अनुक्रम का सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पांचवा तत्व;

- अनुक्रम का "nth" तत्व, अर्थात। आइटम "कतार में" n.

एक अनुक्रम तत्व के मूल्य और उसकी क्रम संख्या के बीच एक संबंध है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में सोच सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम तीन तरीकों से सेट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके सेट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और शुरुआत करने के लिए, गणना करें कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय बिताता है। तालिका में समय लिखते हुए, उसे सात तत्वों से युक्त एक क्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिनों की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को, किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को, केवल 15।

2 . अनुक्रम को nवें पद सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, अनुक्रम तत्व के मूल्य की संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तो

दी गई संख्या के साथ अनुक्रम के एक तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम ऐसा ही करते हैं यदि हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि तर्क का मान ज्ञात है। हम फ़ंक्शन के समीकरण के बजाय तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , फिर

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक अनुक्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक कार्य के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 ... अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्य पर क्रमांकित अनुक्रम सदस्य के मूल्य की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम के सदस्यों के मूल्य पा सकते हैं क्रम सेतीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर वापस जाते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द . से पुनरावर्ती- वापस लौटें।

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर... अंकगणितीय प्रगति में अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

यदि शीर्षक = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि, तो समांतर श्रेणी का प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से कम है, और प्रगति है कम होनेवाला.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि, तो प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है स्थावर.

उदाहरण के लिए, 2; 2; 2; 2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर को देखें।

हम देखते है कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

समानता के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, फिर

, और इसलिए

शीर्षक से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य का सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

जरूरी!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को पा सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम से समान दूरी वाले सदस्यों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n पदों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। माना इस प्रगति के n सदस्यों का योग है।

आइए हम प्रगति के सदस्यों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए जोड़े में जोड़ें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग समान है, युग्मों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति के लिए समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक समांतर श्रेढ़ी है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर समान संख्या के बराबर है।

हमने पाया कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और स्थिर है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . आपको एक समांतर श्रेणी -31 दी गई है; -27;...

ए) प्रगति के 31 सदस्यों का पता लगाएं।

बी) निर्धारित करें कि इस प्रगति में संख्या 41 शामिल है या नहीं।

ए)हम देखते है कि;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसलिए

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संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरा नंबर (जैसे -th नंबर) हमेशा एक होता है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस संख्या अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी में वापस पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्या अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से लिया गया था, जिस पर प्राचीन यूनानियों का कब्जा था।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझा? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति की संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं बचा है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति में वें पद का मान ज्ञात करना है? सारांश में हमें एक घंटे से अधिक का समय लगेगा, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमसे गलती नहीं होगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर पर करीब से नज़र डालें ... निश्चित रूप से आप पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दे चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें सदस्य का मान कैसे जोड़ा जाता है:


दूसरे शब्दों में:

इस प्रकार स्वयं ज्ञात करने का प्रयास करें कि दी गई अंकगणितीय प्रगति के सदस्य का मान क्या है।

परिकलित? अपने नोट्स की तुलना उत्तर से करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको ठीक वैसी ही संख्या मिली है जैसी पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे सामान्य रूप में लाएंगे और प्राप्त करेंगे:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति आरोही और कभी-कभी घट रही है।

आरोही- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक होता है।
उदाहरण के लिए:

घटाना- प्रगति जिसमें सदस्यों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों में पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है: आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति की संख्या क्या होगी यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं:

तब से:

इस प्रकार, हमने सुनिश्चित किया कि यह सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के वें और वें पदों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
आसान, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर हम इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन अगर हमें इस स्थिति में संख्याएँ दी जाती हैं? इसे स्वीकार करें, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का उपयोग करके इस समस्या को एक क्रिया में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और यह वह है जिसे हम अब वापस लेने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला सदस्य है:

आइए प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य का दोगुना मूल्य है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति के सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! सीखने के लिए केवल एक ही सूत्र बचा है, जो कि किंवदंती के अनुसार, आसानी से अपने लिए सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो अन्य ग्रेड में छात्रों के काम की जाँच में लगे एक शिक्षक ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट में समस्या का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने, लंबी गणना के बाद, गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास -वें सदस्यों से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति है: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम सभी मूल्यों को मैन्युअल रूप से जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य में इसके सदस्यों का योग खोजना आवश्यक है, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए एक दी गई प्रगति बनाएं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या गौर किया? सही! उनकी राशि बराबर है

अब मुझे बताओ, दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि एक समान्तर श्रेणी के दो सदस्यों का योग समान है, और समान समान युग्म हैं, हम पाते हैं कि कुल योग है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र इस प्रकार होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति में अंतर जानते हैं। योग के सूत्र में, वें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुमने क्या किया?

बहुत बढ़िया! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस से पूछी गई थी: स्वयं की गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि सदस्यों का योग बराबर होता है और सदस्यों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोग अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग शक्ति और मुख्य के साथ कर रहे थे।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे महत्वाकांक्षी निर्माण स्थल की कल्पना करें - पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? बारीकी से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


क्या यह एक अंकगणितीय प्रगति नहीं है? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया है। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली चलाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (आइए ब्लॉकों की संख्या को 2 तरीकों से गिनें)।

विधि १।

विधि २।

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह एक साथ आया? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति की शर्तों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

व्यायाम

कार्य:

1. गर्मियों तक माशा आकार में आ रहा है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या बढ़ाती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी, अगर पहली कसरत में उसने स्क्वाट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक लॉग कम होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि लॉग चिनाई के आधार के रूप में काम करते हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह के बाद, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति का अंतर।
   में विषम संख्याओं की संख्या आधी है, तथापि, हम एक अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करेंगे:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   उपलब्ध डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. आइए पिरामिड समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, फिर केवल परतों के एक समूह में, यानी।
   आइए डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

आइए संक्षेप करें

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह आरोही और घट सकता है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है -, प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक अनुक्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, दूसरा कौन सा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या सौंपी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक ही। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य एक ही अक्षर है जिसमें इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक होता है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम निर्दिष्ट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

वां टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक एक सूत्र कहते हैं जिसमें वें सदस्य का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब बहुत अधिक सुविधाजनक है, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है। क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे अंतर कहा जाता है, जो प्रगति के लगातार सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्याओं का योग बराबर है, दूसरी और आखिरी का योग है लेकिन एक समान है, तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े होंगे? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले सदस्यों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या है। प्रत्येक अगला पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति का वां पद सूत्र है:

कितने सदस्य प्रगति में हैं यदि उन सभी को दोहरे अंक में होना है?

बहुत आसान: ।

प्रगति में अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन, एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक हर दिन पिछले वाले की तुलना में अधिक किलोमीटर ड्राइव करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. किमी को तय करने के लिए उसे कितने दिनों की यात्रा करने की आवश्यकता है? यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो जाती है, अगर, रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा जाता है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले सदस्यों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यह यहाँ दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब है।
   आइए th टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके अंतिम दिन के लिए तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   उत्तर:

3. दिया गया:। पाना: ।
   यह आसान नहीं हो सकता:
   (रगड़)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति आरोही () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

समांतर श्रेणी का n-वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा गया है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको आसानी से प्रगति के सदस्य को खोजने की अनुमति देता है यदि इसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हैं - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि खोजने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

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उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक की तुलना में एक ही राशि से अधिक (या कम) होती है।

यह विषय अक्सर कठिन और समझ से बाहर होता है। अक्षरों के लिए सूचकांक, प्रगति का n-वाँ पद, प्रगति में अंतर - यह सब किसी तरह शर्मनाक है, हाँ ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत काम करेगा।)

अंकगणितीय प्रगति अवधारणा।

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। संदेह करना? व्यर्थ।) अपने लिए देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस पंक्ति को बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद कौन-सी संख्याएँ आगे बढ़ेंगी? हर कोई ... उह-उह ..., संक्षेप में, सभी को एहसास होगा कि संख्या 6, 7, 8, 9, आदि आगे बढ़ेगी।

आइए कार्य को जटिल करें। मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ने, श्रृंखला का विस्तार करने और नाम देने में सक्षम होंगे सातवींपंक्ति नंबर?

यदि आपको पता चला कि यह संख्या 20 है - मैं आपको बधाई देता हूं! न केवल आपने महसूस किया अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख बिंदु,लेकिन व्यापार में भी उनका सफलतापूर्वक उपयोग किया! यदि आपने इसे नहीं समझा है, तो पढ़ें।

आइए अब मुख्य बिंदुओं को सनसनी से गणित में अनुवाद करें।)

पहला मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, रेखांकन और वह सब करने के आदी हैं ... और फिर श्रृंखला का विस्तार करें, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करें ...

ठीक है। गणित की एक नई शाखा के साथ केवल प्रगति ही पहला परिचय है। अनुभाग को "पंक्तियाँ" कहा जाता है और यह संख्याओं और भावों की श्रृंखला के साथ काम करता है। आदत डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु।

एक समान्तर श्रेणी में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से।

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है। आप जो भी संख्या लेते हैं, वह एक-एक करके पिछले वाले से बड़ा होता है। दूसरे में - तीन। कोई भी संख्या जो पिछले एक से तीन से अधिक हो। दरअसल, यह वह क्षण है जो हमें पैटर्न को पकड़ने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा प्रमुख बिंदु।

यह क्षण हड़ताली नहीं है, हाँ ... लेकिन यह बहुत, बहुत महत्वपूर्ण है। यह रहा: प्रगति में प्रत्येक संख्या अपने स्थान पर है।पहला अंक है, सातवां है, पैंतालीसवां है, आदि। यदि वे यादृच्छिक रूप से भ्रमित होते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी। केवल संख्याओं की एक पंक्ति होगी।

यह पूरी बात है।

बेशक, नए विषय में नए नियम और पदनाम दिखाई देते हैं। आपको उन्हें जानने की जरूरत है। अन्यथा, आप कार्य को नहीं समझेंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ ऐसा तय करना होगा:

समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पद लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 हो।

क्या यह प्रेरित करता है?) पत्र, कुछ सूचकांक ... और कार्य, वैसे - आसान नहीं हो सकता। आपको बस शब्दों और पदनामों के अर्थ को समझने की जरूरत है। अब हम इस व्यवसाय में महारत हासिल करेंगे और कार्य पर लौट आएंगे।

शर्तें और पदनाम।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

इस मात्रा को कहा जाता है ... आइए इस अवधारणा से अधिक विस्तार से निपटें।

अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

अंकगणितीय प्रगति का अंतरवह राशि है जिसके द्वारा प्रगति की कोई भी संख्या अधिकपिछला वाला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु। कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि प्रगति में प्रत्येक संख्या प्राप्त होती है जोड़नेपिछली संख्या से अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना के लिए, मान लें दूसराश्रृंखला की संख्या, यह आवश्यक है सबसे पहलारेखावृत्त जोड़ेंअंकगणितीय प्रगति का यह बहुत अंतर। गणना के लिए पांचवां- अंतर आवश्यक है जोड़ेंप्रति चौथा,अच्छा, आदि

अंकगणितीय प्रगति का अंतरशायद सकारात्मक,तो पंक्ति की प्रत्येक संख्या वास्तव में निकलेगी पिछले एक से अधिक।इस प्रगति को कहा जाता है की बढ़ती।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहां हर नंबर मिलता है जोड़नेसकारात्मक संख्या, पिछले एक के लिए +5।

अंतर हो सकता है नकारात्मक,तो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम।ऐसी प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है।

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां हर नंबर भी मिलता है जोड़नेपिछले करने के लिए, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5।

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रहा हो या घट रहा हो। यह समाधान को नेविगेट करने, अपनी गलतियों का पता लगाने और बहुत देर होने से पहले उन्हें ठीक करने में बहुत मदद करता है।

अंकगणितीय प्रगति का अंतरनिरूपित, एक नियम के रूप में, पत्र द्वारा डी।

कैसे ढूंढें डी? बहुत सरल। श्रृंखला की किसी भी संख्या से घटाना आवश्यक है पहले कासंख्या। घटाना। वैसे, घटाव के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

हम परिभाषित करते हैं, उदाहरण के लिए, डीअंकगणितीय प्रगति बढ़ाने के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम जितनी भी पंक्ति चाहते हैं, उसकी कोई भी संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 11. इसमें से घटाना पिछली संख्या,वे। आठ:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

आप बिल्कुल ले सकते हैं प्रगति की कोई भी संख्या,जबसे एक विशिष्ट प्रगति के लिए डी -हमेशा एक ही।कम से कम कहीं पंक्ति की शुरुआत में, कम से कम बीच में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर नहीं ले सकते। सिर्फ इसलिए कि पहले नंबर पर कोई पिछला नहीं है।)

वैसे, यह जानते हुए कि डी = 3, इस प्रगति की सातवीं संख्या को खोजना बहुत आसान है। पांचवें नंबर में 3 जोड़ें - हमें छठा मिलता है, यह 17 होगा। छठे नंबर में तीन जोड़ें, हमें सातवां नंबर - बीस मिलता है।

हम परिभाषित करते हैं डीघटती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करने के लिए डीयह किसी भी संख्या से आवश्यक है पिछले एक को दूर ले जाओ।हम प्रगति की कोई भी संख्या चुनते हैं, उदाहरण के लिए -7। पिछला वाला -2 है। फिर:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकती है: पूर्ण, भिन्नात्मक, अपरिमेय, जो भी हो।

अन्य शर्तें और पदनाम।

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य।

प्रगति के प्रत्येक सदस्य का अपना नंबर है।बिना किसी तरकीब के, संख्याएँ सख्ती से क्रम में हैं। पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, आदि। उदाहरण के लिए, प्रगति में 2, 5, 8, 11, 14, ... दो पहला पद है, पांच दूसरा है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं ...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - नंबर खुदबिल्कुल कोई भी हो सकता है, संपूर्ण, भिन्नात्मक, नकारात्मक, जो भी हो, लेकिन संख्याओं की संख्या- कड़ाई से क्रम में!

सामान्य शब्दों में प्रगति को कैसे रिकॉर्ड करें? कोई दिक्कत नहीं है! पंक्ति में प्रत्येक संख्या एक अक्षर के रूप में लिखी जाती है। एक नियम के रूप में, अक्षर का उपयोग अंकगणितीय प्रगति को दर्शाने के लिए किया जाता है ए... सदस्य संख्या नीचे दाईं ओर एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है। हम सदस्यों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करते हैं, जैसे:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1पहला नंबर है, एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी पेचीदा नहीं। आप इस श्रृंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: (एक).

प्रगति हैं सीमित और अंतहीन।

अंतिमप्रगति में सदस्यों की सीमित संख्या है। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन - एक सीमित संख्या।

अनंतप्रगति - में अनंत संख्या में सदस्य हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप इस तरह की श्रृंखला के माध्यम से अंतिम प्रगति लिख सकते हैं, सभी सदस्य और अंत में एक बिंदु:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5.

या तो, यदि कई सदस्य हैं:

ए 1, ए 2, ... ए 14, ए 15.

एक छोटी प्रविष्टि में, आपको सदस्यों की संख्या को अतिरिक्त रूप से इंगित करना होगा। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(ए एन), एन = 20

पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा एक अंतहीन प्रगति को पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप कार्यों को हल कर सकते हैं। कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति पर कार्यों के उदाहरण।

आइए कार्य पर करीब से नज़र डालें, जो ऊपर दिया गया है:

1. समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पद लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 हो।

हम कार्य को समझने योग्य भाषा में अनुवाद करते हैं। एक अनंत अंकगणितीय प्रगति दी गई है। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: ए 2 = 5.प्रगति में अंतर ज्ञात है: डी = -2.5।इस प्रगति के पहले, तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे सदस्यों को खोजना आवश्यक है।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थिति के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह पद, जहां दूसरा पद पांच है:

ए 1, 5, ए 3, ए 4, ए 5, ए 6, ....

एक 3 = एक 2 + डी

अभिव्यक्ति में बदलें ए 2 = 5तथा घ = -2.5... माइनस के बारे में मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा पद दूसरे से छोटा है। सब कुछ तार्किक है। यदि संख्या पिछले एक से अधिक है नकारात्मकमान, तो संख्या स्वयं पिछले वाले से कम हो जाएगी। प्रगति घट रही है। ठीक है, आइए इसे ध्यान में रखते हैं।) हम अपनी श्रृंखला के चौथे सदस्य पर विचार करते हैं:

एक 4 = एक 3 + डी

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + डी

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + डी

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

तो, तीसरे से छठे तक की शर्तों की गणना की जाती है। परिणाम ऐसी श्रृंखला है:

ए 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

यह पहला पद खोजने के लिए बनी हुई है एक 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। यह दूसरी दिशा में एक कदम है, बाईं ओर।) इसलिए, अंकगणितीय प्रगति का अंतर डीमें जोड़ने की आवश्यकता नहीं है एक 2, ए दूर करना:

एक 1 = एक 2 - डी

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

यही सब है इसके लिए। कार्य उत्तर:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

रास्ते में, मैं ध्यान दूंगा कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तकरास्ता। इस डरावने शब्द का अर्थ केवल प्रगति के सदस्य की तलाश करना है। पिछली (आसन्न) संख्या से।हम बाद में प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर विचार करेंगे।

इस सरल कार्य से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद रखना:

यदि हम कम से कम एक पद और एक समांतर श्रेणी का अंतर जानते हैं, तो हम इस प्रगति के किसी भी सदस्य को पा सकते हैं।

याद रखना? यह सरल निष्कर्ष आपको इस विषय पर स्कूल पाठ्यक्रम के अधिकांश कार्यों को हल करने की अनुमति देता है। सभी कार्य तीन मुख्य मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमते हैं: अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, प्रगति का अंतर, प्रगति के सदस्य की संख्या।हर चीज़।

बेशक, पिछले सभी बीजगणित रद्द नहीं किए गए हैं।) असमानताएं, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। परंतु बहुत प्रगति से- सब कुछ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमता है।

आइए एक उदाहरण के रूप में इस विषय पर कुछ लोकप्रिय सत्रीय कार्यों को देखें।

2. यदि n = 5, d = 0.4, और a 1 = 3.6 हो तो अंतिम अंकगणितीय प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखिए।

यहाँ सब कुछ सरल है। सब कुछ पहले ही दिया जा चुका है। आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को कैसे गिना जाता है, गिनें और उन्हें लिखें। यह सलाह दी जाती है कि कार्य की स्थिति में शब्दों को याद न करें: "अंतिम" और " एन = 5"। चेहरे में पूरी तरह से नीला होने तक गिनती नहीं है।) इस प्रगति में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 = ए 1 + डी = 3.6 + 0.4 = 4

ए 3 = ए 2 + डी = 4 + 0.4 = 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

एक अन्य कार्य:

3. निर्धारित करें कि क्या संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (a n) का सदस्य है, यदि ए 1 = 4.1; घ = १.२.

हम्म ... कौन जानता है? कुछ कैसे निर्धारित करें?

कैसे, कैसे ... हाँ, एक श्रंखला के रूप में प्रगति लिखिए और देखिए कि वहाँ सात होंगे या नहीं! हम विचार करते हैं:

ए 2 = ए 1 + डी = 4.1 + 1.2 = 5.3

ए 3 = ए 2 + डी = 5.3 + 1.2 = 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि हम सिर्फ सात हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में नहीं आए, और इसलिए, सात दी गई प्रगति के सदस्य नहीं होंगे।

जवाब न है।

और यहाँ GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित एक कार्य है:

4. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; 15; एन एस; नौ; 6; ...

यहाँ एक पंक्ति बिना अंत और शुरुआत के लिखी गई है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं डी... ठीक है। समस्या को हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझना पर्याप्त है। हम देखते हैं और सोचते हैं कि क्या संभव है पता करने के लिएइस श्रृंखला से? तीन मुख्य पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है।

लेकिन तीन नंबर हैं और - ध्यान! - शब्द "लगातार"हालत में। इसका मतलब है कि संख्याएं बिना अंतराल के सख्ती से क्रम में हैं। क्या इस पंक्ति में दो हैं पड़ोसीज्ञात संख्या? हाँ वहाँ है! ये 9 और 6 हैं। अतः हम समांतर श्रेणी के अंतर की गणना कर सकते हैं! हम छह . से घटाते हैं पहले कासंख्या, यानी नौ:

केवल ट्रिफ़ल्स बचे हैं। X के लिए पिछली संख्या क्या है? पंद्रह। इसका मतलब है कि x को सरल जोड़ द्वारा आसानी से पाया जा सकता है। अंकगणितीय प्रगति के अंतर को 15 में जोड़ें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स = 12

हम निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करते हैं। नोट: ये समस्याएँ फ़ार्मुलों के बारे में नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम केवल संख्या-अक्षरों के साथ एक श्रृंखला लिखते हैं, देखते हैं और सोचते हैं।

5. समांतर श्रेणी का पहला धनात्मक पद ज्ञात कीजिए यदि a 5 = -3; घ = १.१.

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 1.6; डी = 1.3। इस सदस्य की संख्या n ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में a 2 = 4; एक 5 = 15.1। एक 3 खोजें।

8. अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई सदस्यों को लिखा:

...; 15.6; एन एस; ३.४; ...

अक्षर x द्वारा इंगित प्रगति में पद ज्ञात कीजिए।

9. ट्रेन ने स्टेशन से चलना शुरू किया, अपनी गति में लगातार 30 मीटर प्रति मिनट की वृद्धि की। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

10. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में 2 = 5; एक 6 = -5। 1 . खोजें.

उत्तर (अव्यवस्था में): 7.7; 7.5; 9.5; नौ; 0.3; 4.

सब कुछ ठीक हो गया? आश्चर्यजनक! आप निम्न पाठों में उच्च स्तर पर अंकगणितीय प्रगति में महारत हासिल कर सकते हैं।

सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई दिक्कत नहीं है। विशेष धारा 555 में, इन सभी कार्यों को टुकड़ों में हल किया गया है।) और निश्चित रूप से, एक सरल व्यावहारिक तकनीक का वर्णन किया गया है जो ऐसे कार्यों के समाधान को तुरंत स्पष्ट, स्पष्ट रूप से उजागर करती है, जैसे कि आपके हाथ की हथेली में!

वैसे ट्रेन को लेकर पहेली में दो ऐसी समस्याएं हैं जिन पर लोग अक्सर ठोकर खाते हैं। एक विशुद्ध रूप से प्रगति पर है, और दूसरा गणित, और भौतिकी में भी किसी भी समस्या के लिए सामान्य है। यह आयामों का एक से दूसरे में अनुवाद है। इसमें दिखाया गया है कि इन समस्याओं को कैसे हल किया जाना चाहिए।

इस पाठ में, हमने अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ और इसके मुख्य मापदंडों की जांच की। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ें डीसंख्याओं के लिए, एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ तय हो जाएगा।

उंगली का घोल एक पंक्ति के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए अच्छी तरह से काम करता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है। यदि पंक्ति लंबी है, तो गणना अधिक जटिल हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में, प्रतिस्थापित करें "पांच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या काफी गंभीर हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो संक्षेप में सरल हैं, लेकिन गणना के मामले में अविश्वसनीय हैं, उदाहरण के लिए:

आपको एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है। यदि a 1 = 3 और d = 1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

और क्या, हम 1/6 से कई, कई बार जोड़ेंगे?! आप इसे मार सकते हैं!?

आप कर सकते हैं।) यदि आप एक सरल सूत्र नहीं जानते हैं, जिसके अनुसार ऐसे कार्यों को एक मिनट में हल किया जा सकता है। यह सूत्र अगले पाठ में होगा। और यह समस्या वहीं हल हो जाती है। एक मिनट में।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा का तात्पर्य है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या कुछ वास्तविक मूल्य से मेल खाती है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला या तो मनमानी हो सकती है या कुछ गुण हो सकते हैं - एक प्रगति। बाद के मामले में, अनुक्रम के प्रत्येक बाद के तत्व (सदस्य) की गणना पिछले एक का उपयोग करके की जा सकती है।

अंकगणितीय प्रगति संख्यात्मक मानों का एक क्रम है जिसमें इसके पड़ोसी सदस्य एक दूसरे से समान संख्या में भिन्न होते हैं (श्रृंखला के सभी तत्व, 2 से शुरू होकर, समान गुण रखते हैं)। यह संख्या - पिछले और अगले सदस्य के बीच का अंतर - स्थिर है और इसे प्रगति में अंतर कहा जाता है।

अंतर प्रगति: परिभाषा

एक अनुक्रम पर विचार करें जिसमें जे मान ए = ए (1), ए (2), ए (3), ए (4) ... ए (जे), जे प्राकृतिक संख्या एन के सेट से संबंधित है। के अनुसार इसकी परिभाषा, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है, जिसमें ए (3) - ए (2) = ए (4) - ए (3) = ए (5) - ए (4) =… = ए (जे) - ए (जे -1) = डी। मान d दी गई प्रगति का आवश्यक अंतर है।

डी = ए (जे) - ए (जे -1)।

आवंटित करें:

• बढ़ती हुई प्रगति, इस मामले में d> 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20,…
• घटती प्रगति, फिर d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

प्रगति और उसके मनमाने तत्वों का अंतर

यदि प्रगति के 2 मनमाने सदस्य ज्ञात हैं (i-th, k-th), तो इस अनुक्रम के लिए अंतर अनुपात के आधार पर स्थापित किया जा सकता है:

a (i) = a (k) + (i - k) * d, इसलिए d = (a (i) - a (k)) / (i-k)।

प्रगति का अंतर और उसका पहला पद

यह अभिव्यक्ति अज्ञात मान को केवल उन मामलों में निर्धारित करने में मदद करेगी जब अनुक्रम तत्व की संख्या ज्ञात हो।

प्रगति और उसके योग का अंतर

प्रगति का योग इसके सदस्यों का योग है। इसके पहले j तत्वों के कुल मान की गणना करने के लिए, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें:

एस (जे) = ((ए (1) + ए (जे)) / 2) * जे, लेकिन चूंकि ए (जे) = ए (1) + डी (जे -1), फिर एस (जे) = ((ए (1) + ए (1) + डी (जे -1)) / 2) * जे = (( २ए (१) + डी (- १)) / २) * जे।