घर » ठोस » इनमें से कौन सा फलन सांकेतिक है? पाठ विषय: "घातांकीय फलन, उसके गुण और ग्राफ़"

इनमें से कौन सा फलन सांकेतिक है? पाठ विषय: "घातांकीय फलन, उसके गुण और ग्राफ़"

1.घातांक प्रकार्यघातांक x के आधार पर y(x) = a .

आइए विचार करें यदि आधार शर्त को पूरा नहीं करता है तो फ़ंक्शन का ग्राफ़: a>0
ए)ए< 0
यदि एक< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
ए = -2

यदि a = 0 है, तो फ़ंक्शन y = परिभाषित है और इसका स्थिर मान 0 है

ग) ए =1
यदि a = 1 है, तो फ़ंक्शन y = परिभाषित है और इसका स्थिर मान 1 है

2. आइए घातांकीय फलन पर करीब से नज़र डालें:

0

फ़ंक्शन डोमेन (डीओएफ)

अनुमेय फ़ंक्शन मानों की सीमा (एपीवी)

3. फ़ंक्शन के शून्य (y = 0)

4. कोटि अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु oy (x = 0)

5. बढ़ते, घटते कार्य

यदि , तो फलन f(x) बढ़ता है
यदि , तो फलन f(x) घट जाता है
फलन y= , 0 पर फ़ंक्शन y =, a> 1 के लिए, नीरस रूप से बढ़ता है
यह एक वास्तविक प्रतिपादक के साथ एक शक्ति की एकरसता के गुणों का अनुसरण करता है।

6. सम, विषम फलन

फ़ंक्शन y = 0y अक्ष के संबंध में और मूल बिंदु के संबंध में सममित नहीं है, इसलिए यह न तो सम है और न ही विषम है। (सामान्य कार्य)

7. फलन y = का कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है

8. वास्तविक प्रतिपादक के साथ डिग्री के गुण:

मान लीजिए a > 0; a≠1
बी> 0; बी≠1

फिर xϵR के लिए; वर्ष:

डिग्री एकरसता के गुण:

यदि , तो
उदाहरण के लिए:

यदि a> 0, तो .
घातांकीय फलन किसी भी बिंदु ϵ R पर सतत है।

9. फ़ंक्शन की सापेक्ष स्थिति

आधार a जितना बड़ा होगा, अक्ष x और oy के उतना ही करीब होगा

ए > 1, ए = 20

यदि a0, तो घातांकीय फलन y = 0 के करीब का रूप लेता है।
यदि a1, तो ox और oy अक्षों से आगे और ग्राफ़ फ़ंक्शन y = 1 के करीब एक रूप लेता है।

उदाहरण 1.
y = का एक ग्राफ़ बनाइये

घातांक प्रकार्य

प्रपत्र का फलन y = a एक्स , जहां a शून्य से बड़ा है और a एक के बराबर नहीं है, उसे घातीय फलन कहा जाता है। घातीय फलन के मूल गुण:

1. घातीय फलन की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा।

2. घातीय फलन के मानों की सीमा सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगी। कभी-कभी संक्षिप्तता के लिए इस सेट को R+ के रूप में दर्शाया जाता है।

3. यदि किसी घातीय फलन में आधार a एक से बड़ा है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता जाएगा। यदि आधार के लिए घातीय फ़ंक्शन में निम्नलिखित शर्त संतुष्ट है 0

4. डिग्रियों की सभी मूल संपत्तियां मान्य होंगी। डिग्रियों के मुख्य गुण निम्नलिखित समानताओं द्वारा दर्शाए जाते हैं:

ए एक्स *ए य = ए (x+y) ;

(ए एक्स )/(ए य ) = ए (x-y) ;

(ए*बी) एक्स = (ए एक्स )*(ए य );

(ए/बी) एक्स = ए एक्स /बी एक्स ;

(ए एक्स ) य = ए (एक्स * वाई) .

ये समानताएं x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए मान्य होंगी।

5. एक घातीय फलन का ग्राफ हमेशा निर्देशांक (0;1) वाले बिंदु से होकर गुजरता है

6. घातांक फलन बढ़ता है या घटता है, इसके आधार पर इसके ग्राफ के दो रूपों में से एक होगा।

निम्नलिखित चित्र एक बढ़ते हुए घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है: a>0।

निम्नलिखित आंकड़ा घटते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है: 0

पांचवें पैराग्राफ में वर्णित संपत्ति के अनुसार, बढ़ते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ और घटते घातीय फ़ंक्शन का ग्राफ़ दोनों बिंदु (0; 1) से गुजरते हैं।

7. एक घातांकीय फ़ंक्शन में चरम बिंदु नहीं होते हैं, यानी दूसरे शब्दों में, इसमें फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु नहीं होते हैं। यदि हम किसी विशिष्ट खंड पर किसी फ़ंक्शन पर विचार करते हैं, तो फ़ंक्शन इस अंतराल के अंत में न्यूनतम और अधिकतम मान लेगा।

8. फलन सम या विषम नहीं है। एक घातांकीय फलन सामान्य रूप का एक फलन है। इसे ग्राफ़ से देखा जा सकता है; उनमें से कोई भी ओए अक्ष के संबंध में या निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित नहीं है।

लोगारित्म

स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में लघुगणक को हमेशा एक कठिन विषय माना गया है। लघुगणक की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन किसी कारण से अधिकांश पाठ्यपुस्तकें उनमें से सबसे जटिल और असफल परिभाषाओं का उपयोग करती हैं।

हम लघुगणक को सरल एवं स्पष्ट रूप से परिभाषित करेंगे। ऐसा करने के लिए, आइए एक तालिका बनाएं:

तो, हमारे पास दो की शक्तियाँ हैं। यदि आप नीचे की पंक्ति से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिस तक आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को चौथी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

परिभाषा

लोगारित्मतर्क x का आधार बनाना वह शक्ति है जिससे संख्या को बढ़ाया जाना चाहिएए नंबर पाने के लिएएक्स।

पद का नाम

लॉग ए एक्स = बी
जहां a आधार है, x तर्क है, b - दरअसल, लघुगणक किसके बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 ⇒ लघुगणक 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। उसी सफलता के साथ, लॉग 2 64 = 6, क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार पर किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की संक्रिया कहलाती हैलोगारित्म . तो, आइए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ें:

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक की गणना इतनी आसानी से नहीं की जाती है। उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क बताता है कि लघुगणक अंतराल पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को अनंत तक लिखा जा सकता है, और उन्हें कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस प्रकार छोड़ना बेहतर है: लघुगणक 2 5, लघुगणक 3 8, लघुगणक 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक अभिव्यक्ति है। पहले तो कई लोग भ्रमित हो जाते हैं कि आधार कहां है और तर्क कहां है। कष्टप्रद ग़लतफहमियों से बचने के लिए, बस चित्र देखें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है। याद रखें: लघुगणक एक शक्ति है , जिसमें तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बनाया जाना चाहिए।यह आधार है जिसे एक शक्ति तक उठाया जाता है - इसे चित्र में लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। इससे पता चलता है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने विद्यार्थियों को पहले पाठ में ही यह अद्भुत नियम बता देता हूँ - और कोई भ्रम पैदा नहीं होता।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया है - जो कुछ बचा है वह सीखना है कि लघुगणक की गणना कैसे करें, अर्थात्। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम उस पर ध्यान देते हैं परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य निकलते हैं:

तर्क और आधार सदैव शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा से अनुसरण करता है, जिसमें लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।

आधार एक से भिन्न होना चाहिए, क्योंकि किसी भी स्तर तक एक अभी भी एक ही रहता है।इस कारण से, यह प्रश्न कि "दो प्राप्त करने के लिए एक को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए" निरर्थक है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधकहा जाता है स्वीकार्य मूल्यों की सीमा(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: लॉगए एक्स = बी ⇒ एक्स > 0, ए > 0, ए ≠ 1.

कृपया ध्यान दें कि संख्या पर कोई प्रतिबंध नहींबी (लघुगणक मान) ओवरलैप नहीं होता है. उदाहरण के लिए, लघुगणक ऋणात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 = −1, क्योंकि 0.5 = 2 −1.

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक का VA जानने की आवश्यकता नहीं है। कार्यों के लेखकों द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लघुगणक समीकरण और असमानताएं चलन में आएंगी, तो डीएल आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। आख़िरकार, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण शामिल हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब सामान्य पर विचार करें लघुगणक की गणना के लिए योजना. इसमें तीन चरण होते हैं:

कोई कारण बताएंए और तर्क एक्स एक से अधिक न्यूनतम संभावित आधार वाली शक्ति के रूप में। साथ ही, दशमलव से छुटकारा पाना बेहतर है;

एक चर के संबंध में हल करेंबी समीकरण: एक्स = ए बी ;

परिणामी संख्याबी उत्तर होगा.

इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय हो जाता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। यह आवश्यकता कि आधार एक से बड़ा हो, बहुत महत्वपूर्ण है: इससे त्रुटि की संभावना कम हो जाती है और गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं। दशमलव भिन्नों के साथ भी ऐसा ही है: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य अंशों में बदल दें, तो बहुत कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देखें कि यह योजना कैसे काम करती है:

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 5 25

आइए आधार और तर्क की कल्पना पाँच की घात के रूप में करें: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

हमें उत्तर मिला: 2.

लघुगणक की गणना करें:

आइए आधार और तर्क की कल्पना तीन की घात के रूप में करें: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:

हमें उत्तर मिला: −4.

−4

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 4 64

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 4 64 = बी ⇒ (2 2) बी = 2 6 ⇒ 2 2 बी = 2 6 ⇒ 2बी = 6 ⇒ बी = 3;

हमें उत्तर मिला: 3.

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 16 1

आइए आधार और तर्क की कल्पना दो की घात के रूप में करें: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 16 1 = बी ⇒ (2 4) बी = 2 0 ⇒ 2 4 बी = 2 0 ⇒ 4बी = 0 ⇒ बी = 0;

हमें उत्तर मिला: 0.

लघुगणक की गणना करें: लघुगणक 7 14

आइए आधार और तर्क की कल्पना सात की घात के रूप में करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की घात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;

पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि लघुगणक की गिनती नहीं होती है;

उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14।

लॉग 7 14

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक संख्या किसी अन्य संख्या की सटीक घात नहीं है? यह बहुत सरल है - बस इसे अभाज्य गुणनखंडों में शामिल करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या सटीक शक्ति नहीं है।

पता लगाएँ कि क्या संख्याएँ सटीक घात हैं: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - एक सटीक घात नहीं है, क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 · 5 - फिर से कोई सटीक शक्ति नहीं;
14 = 7 · 2 - फिर भी कोई सटीक डिग्री नहीं;

8, 81 - सटीक डिग्री; 48, 35, 14 - नहीं।

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा स्वयं की सटीक घातें होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य हैं कि उनका एक विशेष नाम और प्रतीक होता है।

परिभाषा

दशमलव लघुगणकतर्क x से आधार 10 का लघुगणक है, अर्थात वह शक्ति जिससे संख्या प्राप्त करने के लिए संख्या 10 को बढ़ाया जाना चाहिएएक्स।

पद का नाम

एलजी एक्स

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; एलजी 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें: यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है. हालाँकि, यदि आप इस संकेतन से अपरिचित हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

जो कुछ सामान्य लघुगणक के लिए सत्य है वह दशमलव लघुगणक के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना पदनाम है। कुछ मायनों में, यह दशमलव से भी अधिक महत्वपूर्ण है। हम प्राकृतिक लघुगणक के बारे में बात कर रहे हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकतर्क x से आधार का लघुगणक हैई , यानी वह शक्ति जिससे किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिएई नंबर पाने के लिएएक्स।

पद का नाम

एलएन एक्स

बहुत से लोग पूछेंगे: ई संख्या क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है; इसका सटीक मान न तो पाया जा सकता है और न ही लिखा जा सकता है। मैं केवल प्रथम आंकड़े दूँगा:
ई = 2.718281828459...

यह नंबर क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है, इसके बारे में हम विस्तार से नहीं बताएंगे। बस इतना याद रखें कि ई - प्राकृतिक लघुगणक का आधार:
एल.एनएक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार ln e = 1; एलएन ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एक को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, वे सभी नियम मान्य हैं जो सामान्य लघुगणक के लिए सत्य हैं।

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूँकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने नियम हैं, जिन्हें मूल गुण कहा जाता है।

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगएक एक्स और लॉग ए वाई . फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स + लॉगएक य = लॉगए ( एक्स · य );

लकड़ी का लट्ठाएक एक्स − लॉगएक य = लॉगए ( एक्स : य ).

इसलिए, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है।कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु वही आधार है। यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ देखें " "). उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 6 4 + लॉग 6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 2 48 − log 2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48:3) = लॉग 2 16 = 4।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 3 135 − log 3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग 3 135 - लॉग 3 5 = लॉग 3 (135:5) = लॉग 3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? तब इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बिल्कुल यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 7 49 6।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग 7 49 6 = 6 लॉग 7 49 = 6 2 = 12

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

प्रमेय

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया हैएक एक्स . फिर किसी भी संख्या के लिए c इस प्रकार है कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम डालते हैंसी = एक्स, हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है.

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 5 16 लॉग 2 25।

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लॉग 2 25 = लॉग 2 5 2 = 2 लॉग 2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लॉग 9 100 एलजी 3।

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्याएन तर्क में स्थिति की डिग्री का सूचक बन जाता है। संख्याएन बिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह सिर्फ एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं:बुनियादी लघुगणकीय पहचान.

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम

अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

समाधान

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस आधार से वर्ग और लघुगणक का तर्क लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

200

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लॉग ए ए = 1 है लघुगणकीय इकाई. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार पर लघुगणकए इसी से आधार एक के बराबर है।

लॉग ए 1 = 0 है लघुगणकीय शून्य. आधार ए कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकिएक 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें!

घातांकीय और लघुगणकीय फलन VIII

§ 179 घातांकीय फलन के मूल गुण

इस अनुभाग में हम घातांकीय फलन के मूल गुणों का अध्ययन करेंगे

वाई = ए एक्स (1)

आइए इसे नीचे याद रखें ए सूत्र (1) में हमारा तात्पर्य 1 के अलावा किसी भी निश्चित धनात्मक संख्या से है।

संपत्ति 1. एक घातीय फलन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

वास्तव में, एक सकारात्मकता के साथ ए अभिव्यक्ति ए एक्स किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित एक्स .

संपत्ति 2. घातांकीय फलन केवल सकारात्मक मान स्वीकार करता है।

वास्तव में, यदि एक्स > 0, फिर, जैसा कि § 176 में सिद्ध हुआ था,

ए एक्स > 0.

अगर एक्स <. 0, то

ए एक्स =

कहाँ - एक्स पहले से ही शून्य से अधिक. इसीलिए ए - एक्स > 0. लेकिन फिर

ए एक्स = > 0.

आख़िरकार, कब एक्स = 0

ए एक्स = 1.

घातीय फ़ंक्शन की दूसरी संपत्ति की एक सरल ग्राफिकल व्याख्या है। यह इस तथ्य में निहित है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ (चित्र 246 और 247 देखें) पूरी तरह से भुज अक्ष के ऊपर स्थित है।

संपत्ति 3. अगर ए >1, फिर कब एक्स > 0 ए एक्स > 1, और जब एक्स < 0 ए एक्स < 1. अगर ए < 1, тओह, इसके विपरीत, जब एक्स > 0 ए एक्स < 1, और जब एक्स < 0 ए एक्स > 1.

घातीय फ़ंक्शन की यह संपत्ति एक सरल ज्यामितीय व्याख्या की भी अनुमति देती है। पर ए > 1 (चित्र 246) वक्र वाई = ए एक्स सीधी रेखा के ऊपर स्थित है पर = 1 बजे एक्स > 0 और सीधी रेखा से नीचे पर = 1 बजे एक्स < 0.

अगर ए < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые वाई = ए एक्स सीधी रेखा के नीचे स्थित है पर = 1 बजे एक्स > 0 और इस रेखा से ऊपर एक्स < 0.

आइए हम तीसरी संपत्ति का एक कठोर प्रमाण दें। होने देना ए > 1 और एक्स - एक मनमाना सकारात्मक संख्या. चलिए वो दिखाते हैं

ए एक्स > 1.

यदि संख्या एक्स तर्कसंगत ( एक्स = एम / एन ) , वह ए एक्स = ए एम/ एन = एन √ए एम .

तब से ए > 1, फिर ए एम > 1, लेकिन एक से बड़ी संख्या का मूल भी स्पष्ट रूप से 1 से बड़ा होता है।

अगर एक्स अपरिमेय है, तो धनात्मक परिमेय संख्याएँ होती हैं एक्स" और एक्स" , जो किसी संख्या के दशमलव सन्निकटन के रूप में कार्य करते हैं एक्स :

एक्स"< х < х" .

लेकिन फिर, एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के अनुसार

ए एक्स" < ए एक्स < ए एक्स"" .

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, संख्या ए एक्स" एक से अधिक। इसलिए संख्या ए एक्स , से अधिक ए एक्स" , 1 से भी बड़ा होना चाहिए,

तो हमने वो कब दिखाया है ए >1 और मनमाना सकारात्मक एक्स

ए एक्स > 1.

यदि संख्या एक्स नकारात्मक था, तो हमारे पास होता

ए एक्स =

नंबर कहां है एक्स पहले से ही सकारात्मक होगा. इसीलिए ए - एक्स > 1. इसलिए,

ए एक्स = < 1.

इस प्रकार, जब ए > 1 और मनमाना नकारात्मक एक्स

ए एक्स < 1.

मामला जब 0< ए < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

संपत्ति 4. यदि एक्स = 0, फिर चाहे कोई भी हो ए एक्स =1.

यह डिग्री शून्य की परिभाषा का अनुसरण करता है; शून्य के अलावा किसी भी संख्या की शून्य घात 1 के बराबर होती है। ग्राफ़िक रूप से, यह गुण इस तथ्य में व्यक्त किया जाता है कि किसी के लिए ए वक्र पर = ए एक्स (चित्र 246 और 247 देखें) अक्ष को प्रतिच्छेद करता है पर कोटि 1 वाले एक बिंदु पर।

संपत्ति 5. पर ए >1 घातांक प्रकार्य = ए एक्स नीरस रूप से बढ़ रहा है, और एक के लिए < 1 - नीरस रूप से घट रहा है।

यह संपत्ति एक सरल ज्यामितीय व्याख्या की भी अनुमति देती है।

पर ए > 1 (चित्र 246) वक्र पर = ए एक्स विकास के साथ एक्स ऊँचा और ऊँचा उठता है, और कब ए < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

आइए हम 5वीं संपत्ति का एक कठोर प्रमाण दें।

होने देना ए > 1 और एक्स 2 > एक्स 1. चलिए वो दिखाते हैं

ए एक्स 2 > ए एक्स 1

तब से एक्स 2 > एक्स 1., फिर एक्स 2 = एक्स 1 + डी , कहाँ डी - कुछ सकारात्मक संख्या. इसीलिए

ए एक्स 2 - ए एक्स 1 = ए एक्स 1 + डी - ए एक्स 1 = ए एक्स 1 (ए डी - 1)

घातांकीय फलन की दूसरी संपत्ति द्वारा ए एक्स 1 > 0. चूँकि डी > 0, फिर घातांकीय फलन के तीसरे गुण द्वारा ए डी > 1. उत्पाद में दोनों कारक ए एक्स 1 (ए डी - 1) सकारात्मक हैं, इसलिए यह उत्पाद स्वयं सकारात्मक है। मतलब, ए एक्स 2 - ए एक्स 1 > 0, या ए एक्स 2 > ए एक्स 1, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

तो, कब ए > 1 फ़ंक्शन पर = ए एक्स नीरस रूप से बढ़ रहा है। इसी प्रकार यह भी सिद्ध है कि जब ए < 1 функция पर = ए एक्स नीरस रूप से घट रहा है।

परिणाम। यदि 1 के अलावा एक ही धनात्मक संख्या की दो घातें बराबर हों, तो उनके घातांक बराबर होते हैं।

दूसरे शब्दों में, यदि

ए बी = ए सी (ए > 0 और ए =/= 1),

बी = सी .

वास्तव में, यदि संख्याएँ बी और साथ फ़ंक्शन की एकरसता के कारण, समान नहीं थे पर = ए एक्स उनमें से जो बड़ा होगा उसके अनुरूप होगा ए >1 बड़ा, और कब ए < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или ए बी > ए सी , या ए बी < ए सी . दोनों ही स्थिति का खंडन करते हैं ए बी = ए सी . यह स्वीकार करना बाकी है बी = सी .

संपत्ति 6. यदि एक > 1, फिर तर्क-वितर्क में असीमित वृद्धि के साथ एक्स (एक्स -> ∞ ) फ़ंक्शन मान पर = ए एक्स अनिश्चित काल तक भी बढ़ते हैं (पर -> ∞ ). जब तर्क बिना सीमा के घट जाता है एक्स (एक्स -> -∞ ) इस फ़ंक्शन का मान सकारात्मक रहते हुए शून्य हो जाता है (पर->0; पर > 0).

ऊपर सिद्ध किए गए फ़ंक्शन की एकरसता को ध्यान में रखते हुए पर = ए एक्स , हम कह सकते हैं कि विचाराधीन मामले में फ़ंक्शन पर = ए एक्स नीरस रूप से 0 से बढ़ जाता है ∞ .

अगर 0 <ए < 1, फिर तर्क x (x -> ∞) में असीमित वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन y = a x का मान सकारात्मक रहते हुए शून्य हो जाता है (पर->0; पर > 0). जब तर्क x बिना किसी सीमा के घटता है (एक्स -> -∞ ) इस फ़ंक्शन के मान असीमित रूप से बढ़ते हैं (पर -> ∞ ).

फ़ंक्शन की एकरसता के कारण y = एक एक्स हम कह सकते हैं कि इस मामले में फ़ंक्शन पर = ए एक्स से एकरसता कम हो जाती है ∞ से 0.

घातांकीय फलन का छठा गुण चित्र 246 और 247 में स्पष्ट रूप से परिलक्षित होता है। हम इसे सख्ती से साबित नहीं करेंगे।

हमें बस घातीय फलन की भिन्नता की सीमा स्थापित करनी है y = एक एक्स (ए > 0, ए =/= 1).

ऊपर हमने साबित किया कि फ़ंक्शन y = एक एक्स केवल सकारात्मक मान लेता है और या तो 0 से नीरस रूप से बढ़ता है ∞ (पर ए > 1), या से नीरस रूप से घटता है ∞ से 0 (0 पर< ए <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = एक एक्स जब आप बदलते हैं तो क्या कोई उछाल होता है? क्या यह कोई सकारात्मक मूल्य लेता है? इस मुद्दे को सकारात्मक रूप से हल किया गया है। अगर ए > 0 और ए =/= 1, फिर जो भी धनात्मक संख्या हो पर 0 जरूर मिलेगा एक्स 0 , ऐसा कि

ए एक्स 0 = पर 0 .

(फ़ंक्शन की एकरसता के कारण y = एक एक्स निर्दिष्ट मान एक्स 0, निःसंदेह, केवल एक ही होगा।)

इस तथ्य को साबित करना हमारे कार्यक्रम के दायरे से बाहर है। इसकी ज्यामितीय व्याख्या यह है कि किसी भी सकारात्मक मूल्य के लिए पर 0 फ़ंक्शन ग्राफ़ y = एक एक्स निश्चित रूप से एक सीधी रेखा से प्रतिच्छेद करेगा पर = पर 0 और, इसके अलावा, केवल एक बिंदु पर (चित्र 248)।

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जिसे हम संपत्ति 7 के रूप में तैयार करते हैं।

संपत्ति 7. घातीय फलन y = a x के परिवर्तन का क्षेत्र (ए > 0, ए =/= 1)सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

अभ्यास

1368. निम्नलिखित कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र खोजें:

1369. इनमें से कौन सी संख्या 1 से बड़ी है और कौन सी 1 से कम है:

1370. घातांक फलन के किस गुण के आधार पर यह कहा जा सकता है

ए) (5/7) 2.6 > (5/7) 2.5; बी) (4/3) 1.3 > (4/3) 1.2

1371. कौन सी संख्या बड़ी है:

ए) π - √3 या (1/ π ) - √3 ; ग) (2/3) 1 + √6 या (2/3) √2 + √5 ;

बी) ( π / 4) 1 + √3 या ( π / 4)2; डी) (√3) √2 - √5 या (√3) √3 - 2 ?

1372. क्या असमानताएँ समतुल्य हैं:

1373. संख्याओं के बारे में क्या कहा जा सकता है एक्स और पर , अगर एक एक्स = और य , कहाँ ए - एक दी गई सकारात्मक संख्या?

1374. 1) क्या फ़ंक्शन के सभी मानों के बीच यह संभव है पर = 2एक्स प्रमुखता से दिखाना:

2) क्या फ़ंक्शन के सभी मानों के बीच यह संभव है पर = 2 | एक्स| प्रमुखता से दिखाना:

ए) सबसे बड़ा मूल्य; बी) सबसे छोटा मूल्य?

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घातीय फलन, उसके गुण और ग्राफ़

आइए अभिव्यक्ति 2x पर विचार करें और चर x के विभिन्न तर्कसंगत मूल्यों के लिए इसके मान खोजें, उदाहरण के लिए, x = 2 के लिए;

सामान्य तौर पर, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम चर x को कौन सा तर्कसंगत अर्थ देते हैं, हम हमेशा अभिव्यक्ति 2 x के संबंधित संख्यात्मक मान की गणना कर सकते हैं। इस प्रकार, हम घातीय के बारे में बात कर सकते हैं कार्य y=2 x, परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q पर परिभाषित:

आइए इस फ़ंक्शन के कुछ गुणों पर नज़र डालें।

संपत्ति 1.-बढ़ता हुआ कार्य। हम प्रमाण दो चरणों में पूरा करते हैं।
प्रथम चरण।आइए हम सिद्ध करें कि यदि r एक धनात्मक परिमेय संख्या है, तो 2 r >1.
दो स्थितियाँ संभव हैं: 1) r - प्राकृतिक संख्या, आर = एन; 2) साधारण अपरिवर्तनीय अंश,

अंतिम असमानता के बाईं ओर हमारे पास है, और दाईं ओर 1 है। इसका मतलब है कि अंतिम असमानता को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है

तो, किसी भी स्थिति में, असमानता 2 r > 1 कायम है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

दूसरा चरण.मान लीजिए x 1 और x 2 संख्याएँ हैं, और x 1 और x 2 हैं< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(हमने अंतर x 2 - x 1 को अक्षर r से दर्शाया है)।

चूँकि r एक धनात्मक परिमेय संख्या है, तो पहले चरण में जो सिद्ध हुआ, उससे 2 r > 1, अर्थात। 2 आर -1 >0. संख्या 2x" भी धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि गुणनफल 2 x-1 (2 Г -1) भी धनात्मक है। इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है कि असमानता 2 Xg -2x" >0.

तो, असमानता x 1 से< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

संपत्ति 2.नीचे से सीमित और ऊपर से सीमित नहीं।
नीचे से फ़ंक्शन की सीमा असमानता 2 x >0 से अनुसरण करती है, जो फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से x के किसी भी मान के लिए मान्य है। साथ ही, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सी सकारात्मक संख्या एम लेते हैं, आप हमेशा एक घातांक एक्स चुन सकते हैं जैसे कि असमानता 2 एक्स >एम संतुष्ट हो जाएगा - जो ऊपर से फ़ंक्शन की असीमितता को दर्शाता है। आइए हम कई उदाहरण दें.

संपत्ति 3.इसका न तो सबसे छोटा मूल्य है और न ही सबसे बड़ा।

इस फ़ंक्शन में क्या नहीं है उच्चतम मूल्य, जाहिर है, चूंकि, जैसा कि हमने अभी देखा, यह ऊपर तक सीमित नहीं है। लेकिन यह नीचे से सीमित है, इसका न्यूनतम मूल्य क्यों नहीं है?

आइए मान लें कि 2 ग्राम - सबसे छोटा मूल्यफ़ंक्शन (आर कुछ तर्कसंगत संकेतक है)। आइए एक परिमेय संख्या q लें<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

आप कहते हैं, यह सब अच्छा है, लेकिन हम फ़ंक्शन y-2 x को केवल तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर ही क्यों मानते हैं, हम इसे संपूर्ण संख्या रेखा पर या कुछ निरंतर अंतराल पर अन्य ज्ञात कार्यों की तरह क्यों नहीं मानते हैं संख्या रेखा? हमें क्या रोक रहा है? आइए स्थिति के बारे में सोचें।

संख्या रेखा में न केवल परिमेय, बल्कि अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं। पहले अध्ययन किए गए कार्यों के लिए इसने हमें परेशान नहीं किया। उदाहरण के लिए, हमने x के परिमेय और अपरिमेय दोनों मानों के लिए फ़ंक्शन y = x2 का मान समान रूप से आसानी से पाया: यह x के दिए गए मान का वर्ग करने के लिए पर्याप्त था।

लेकिन फ़ंक्शन y=2 x के साथ स्थिति अधिक जटिल है। यदि तर्क x को तर्कसंगत अर्थ दिया गया है, तो सिद्धांत रूप में x की गणना की जा सकती है (पैराग्राफ की शुरुआत में फिर से वापस जाएं, जहां हमने बिल्कुल यही किया था)। यदि तर्क x को अतार्किक अर्थ दिया जाए तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, गणना कैसे करें? ये हमें अभी तक नहीं पता.
गणितज्ञों ने एक रास्ता खोज लिया है; उन्होंने इसी प्रकार तर्क किया।

ह ज्ञात है कि तर्कसंगत संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें - नुकसान से किसी संख्या का दशमलव अनुमान:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

यह स्पष्ट है कि 1.732 = 1.7320, और 1.732050 = 1.73205। ऐसी पुनरावृत्ति से बचने के लिए, हम अनुक्रम के उन सदस्यों को हटा देते हैं जो संख्या 0 पर समाप्त होते हैं।

तब हमें एक बढ़ता हुआ क्रम मिलता है:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

तदनुसार क्रम बढ़ता जाता है

इस अनुक्रम के सभी पद 22 से कम धनात्मक संख्याएँ हैं, अर्थात्। यह क्रम सीमित है. वीयरस्ट्रैस के प्रमेय (§ 30 देखें) के अनुसार, यदि कोई अनुक्रम बढ़ रहा है और घिरा हुआ है, तो यह अभिसरण करता है। इसके अलावा, § 30 से हम जानते हैं कि यदि कोई अनुक्रम अभिसरण करता है, तो यह केवल एक सीमा तक ही ऐसा करता है। इस बात पर सहमति हुई कि इस एकल सीमा को संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मान माना जाना चाहिए। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि संख्यात्मक अभिव्यक्ति 2 का अनुमानित मान ज्ञात करना बहुत कठिन है; यह महत्वपूर्ण है कि यह एक विशिष्ट संख्या है (आखिरकार, हम यह कहने से नहीं डरते थे, उदाहरण के लिए, यह एक तर्कसंगत समीकरण की जड़ है, एक त्रिकोणमितीय समीकरण का मूल, वास्तव में यह सोचे बिना कि वास्तव में ये संख्याएँ क्या हैं:
तो, हमने पता लगा लिया है कि गणितज्ञ प्रतीक 2^ में क्या अर्थ रखते हैं। इसी तरह, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि a क्या है और, सामान्य तौर पर, a a क्या है, a कहाँ है अपरिमेय संख्याऔर ए > 1.
लेकिन क्या होगा अगर 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
अब हम न केवल मनमाने तर्कसंगत घातांक वाली शक्तियों के बारे में बात कर सकते हैं, बल्कि मनमाने वास्तविक घातांक वाली शक्तियों के बारे में भी बात कर सकते हैं। यह साबित हो चुका है कि किसी भी वास्तविक घातांक वाली डिग्री में डिग्री के सभी सामान्य गुण होते हैं: समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं, विभाजित करते समय उन्हें घटाया जाता है, जब किसी डिग्री को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है तो उन्हें गुणा किया जाता है, आदि। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब हम सभी वास्तविक संख्याओं के सेट पर परिभाषित फ़ंक्शन y-ax के बारे में बात कर सकते हैं।
आइए फ़ंक्शन y = 2 x पर वापस लौटें और इसका ग्राफ़ बनाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फ़ंक्शन मानों की एक तालिका बनाएं y=2x:

आइए बिंदुओं को चिह्नित करें विमान का समन्वय(चित्र 194), वे एक निश्चित रेखा की रूपरेखा बनाते हैं, आइए इसे खींचते हैं (चित्र 195)।

फ़ंक्शन के गुण y - 2 x:
1)
2) न तो सम है और न ही विषम; 248
3) बढ़ता है;

5) का न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है;
6) निरंतर;
7)
8) नीचे की ओर उत्तल।

फ़ंक्शन y-2 x के सूचीबद्ध गुणों के कठोर प्रमाण उच्च गणित के पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। हमने इनमें से कुछ गुणों पर पहले किसी न किसी हद तक चर्चा की थी, उनमें से कुछ को निर्मित ग्राफ़ द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया है (चित्र 195 देखें)। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन की समता या विषमता की कमी ज्यामितीय रूप से क्रमशः y-अक्ष के सापेक्ष या मूल के सापेक्ष ग्राफ़ की समरूपता की कमी से संबंधित है।

y = a x के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहां a > 1, समान गुण रखता है। चित्र में. एक समन्वय प्रणाली में 196 का निर्माण किया गया, कार्यों के ग्राफ़ y=2 x, y=3 x, y=5 x।

आइए अब फ़ंक्शन पर विचार करें और इसके लिए मानों की एक तालिका बनाएं:

आइए निर्देशांक तल पर बिंदुओं को चिह्नित करें (चित्र 197), वे एक निश्चित रेखा को चिह्नित करते हैं, आइए इसे बनाएं (चित्र 198)।

कार्य गुण

1)
2) न तो सम है और न ही विषम;
3) घट जाती है;
4) ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित;
5) न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मूल्य है;
6) निरंतर;
7)
8) नीचे की ओर उत्तल।
y=a x के रूप का कोई भी फ़ंक्शन, जहांO में समान गुण होते हैं<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
कृपया ध्यान दें: फ़ंक्शन ग्राफ़ वे। y=2 x, y-अक्ष के प्रति सममित (चित्र 201)। यह सामान्य कथन का परिणाम है (§ 13 देखें): फ़ंक्शन y = f(x) और y = f(-x) के ग्राफ़ y-अक्ष के बारे में सममित हैं। इसी प्रकार, फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = 3 x और

जो कहा गया है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, हम घातीय फलन की परिभाषा देंगे और इसके सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर प्रकाश डालेंगे।

परिभाषा।प्रपत्र के एक फ़ंक्शन को घातीय फ़ंक्शन कहा जाता है।
घातांकीय फलन y = a x के मूल गुण

a> 1 के लिए फ़ंक्शन y=a x का ग्राफ़ चित्र में दिखाया गया है। 201, और 0 के लिए<а < 1 - на рис. 202.

चित्र में दिखाया गया वक्र। 201 या 202 को घातांक कहा जाता है। वास्तव में, गणितज्ञ आमतौर पर घातांकीय फलन को y = a x ही कहते हैं। इसलिए "घातांक" शब्द का प्रयोग दो अर्थों में किया जाता है: दोनों ही घातीय फ़ंक्शन को नाम देने के लिए और घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ को नाम देने के लिए। आमतौर पर अर्थ स्पष्ट है कि हम किसी घातीय फलन के बारे में बात कर रहे हैं या उसके ग्राफ़ के बारे में।

घातीय फ़ंक्शन y=ax के ग्राफ़ की ज्यामितीय विशेषता पर ध्यान दें: x-अक्ष ग्राफ़ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। सच है, इस कथन को आमतौर पर इस प्रकार स्पष्ट किया जाता है।
x-अक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है

दूसरे शब्दों में

पहला महत्वपूर्ण नोट. स्कूली बच्चे अक्सर शब्दों को भ्रमित करते हैं: पावर फ़ंक्शन, एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन। तुलना करना:

ये शक्ति कार्यों के उदाहरण हैं;

ये घातीय फलनों के उदाहरण हैं।

सामान्य तौर पर, y = x r, जहां r एक विशिष्ट संख्या है, एक पावर फ़ंक्शन है (तर्क x डिग्री के आधार में निहित है);
y = a", जहां a एक विशिष्ट संख्या है (धनात्मक और 1 से भिन्न), एक घातीय फलन है (तर्क x घातांक में निहित है)।

y = x" जैसे "विदेशी" फ़ंक्शन को न तो घातांकीय और न ही घातांकीय माना जाता है (इसे कभी-कभी घातांकीय भी कहा जाता है)।

दूसरा महत्वपूर्ण नोट. आमतौर पर कोई आधार a = 1 या असमानता a को संतुष्ट करने वाले आधार a वाले घातीय फलन पर विचार नहीं करता है<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 और a तथ्य यह है कि यदि a = 1 है, तो x के किसी भी मान के लिए समानता Ix = 1 है। इस प्रकार, a = 1 के साथ घातीय फलन y = a" एक स्थिर फलन y = 1 में "घट जाता है"। दिलचस्प नहीं है। यदि a = 0 है, तो x के किसी भी सकारात्मक मान के लिए 0x = 0 है, यानी हमें x > 0 के लिए परिभाषित फ़ंक्शन y = 0 मिलता है - यह भी अरुचिकर है यदि, अंततः, a।<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, ध्यान दें कि घातांकीय फलन आपके द्वारा अब तक पढ़े गए सभी फलनों से काफी भिन्न है। किसी नई वस्तु का गहन अध्ययन करने के लिए, आपको विभिन्न स्थितियों में, विभिन्न कोणों से उस पर विचार करने की आवश्यकता है, इसलिए कई उदाहरण होंगे।
उदाहरण 1.

समाधान, ए) एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2 x और y = 1 के ग्राफ़ बनाने के बाद, हम देखते हैं (चित्र 203) कि उनके पास एक सामान्य बिंदु (0; 1) है। इसका मतलब यह है कि समीकरण 2x = 1 का एक ही मूल x =0 है।

तो, समीकरण 2x = 2° से हमें x = 0 मिलता है।

बी) एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2 x और y = 4 के ग्राफ़ बनाने के बाद, हम देखते हैं (चित्र 203) कि उनके पास एक सामान्य बिंदु (2; 4) है। इसका मतलब यह है कि समीकरण 2x = 4 का एक ही मूल x = 2 है।

तो, समीकरण 2 x = 2 2 से हमें x = 2 मिलता है।

सी) और डी) उन्हीं विचारों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण 2 x = 8 का एक ही मूल है, और इसे खोजने के लिए, संबंधित फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता नहीं है;

यह स्पष्ट है कि x = 3, चूँकि 2 3 = 8. इसी प्रकार, हम समीकरण का एकमात्र मूल पाते हैं

तो, समीकरण 2x = 2 3 से हमें x = 3 प्राप्त हुआ, और समीकरण 2 x = 2 x से हमें x = -4 प्राप्त हुआ।
ई) फ़ंक्शन y = 2 x का ग्राफ़ x > 0 के लिए फ़ंक्शन y = 1 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है - यह चित्र में स्पष्ट रूप से पढ़ने योग्य है। 203. इसका मतलब है कि असमानता 2x > 1 का समाधान अंतराल है
ई) फ़ंक्शन y = 2 x का ग्राफ़ x पर फ़ंक्शन y = 4 के ग्राफ़ के नीचे स्थित है<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
आपने शायद देखा होगा कि उदाहरण 1 को हल करते समय निकाले गए सभी निष्कर्षों का आधार फ़ंक्शन y = 2 x की एकरसता (वृद्धि) का गुण था। समान तर्क हमें निम्नलिखित दो प्रमेयों की वैधता को सत्यापित करने की अनुमति देता है।

समाधान।आप इस तरह आगे बढ़ सकते हैं: y-3 x फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं, फिर इसे x अक्ष से 3 के कारक तक खींचें, और फिर परिणामी ग्राफ़ को 2 स्केल इकाइयों तक ऊपर उठाएं। लेकिन इस तथ्य का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है कि 3- 3* = 3 * + 1, और, इसलिए, फ़ंक्शन y = 3 x * 1 + 2 का ग्राफ़ बनाएं।

आइए आगे बढ़ते हैं, जैसा कि हमने ऐसे मामलों में कई बार किया है, बिंदु (-1; 2) पर मूल के साथ एक सहायक समन्वय प्रणाली पर - बिंदीदार रेखाएं x = - 1 और 1x = 2 अंजीर में। 207. आइए फ़ंक्शन y=3* को नई समन्वय प्रणाली से "लिंक" करें। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन के लिए नियंत्रण बिंदु चुनें , लेकिन हम उन्हें पुराने में नहीं, बल्कि नई समन्वय प्रणाली में बनाएंगे (ये बिंदु चित्र 207 में चिह्नित हैं)। फिर हम बिंदुओं से एक घातांक बनाएंगे - यह आवश्यक ग्राफ होगा (चित्र 207 देखें)।
खंड [-2, 2] पर किसी दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, हम इस तथ्य का लाभ उठाते हैं कि दिया गया फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और इसलिए यह क्रमशः अपने सबसे छोटे और सबसे बड़े मान लेता है। खंड के बाएँ और दाएँ सिरे।
इसलिए:

उदाहरण 4.समीकरण और असमानताओं को हल करें:

समाधान, ए) आइए हम एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y=5* और y=6-x के ग्राफ़ बनाएं (चित्र 208)। वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं; चित्र को देखते हुए, यह बिंदु (1; 5) है। जाँच से पता चलता है कि वास्तव में बिंदु (1; 5) समीकरण y = 5* और समीकरण y = 6-x दोनों को संतुष्ट करता है। इस बिंदु का भुज दिए गए समीकरण के एकमात्र मूल के रूप में कार्य करता है।

तो, समीकरण 5 x = 6 - x का एक ही मूल x = 1 है।

बी) और सी) घातांक y-5x सीधी रेखा y=6-x के ऊपर स्थित है, यदि x>1 है, तो यह चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। 208. इसका मतलब है कि असमानता 5*>6 का समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: x>1. और असमानता का समाधान 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
उत्तर: ए)एक्स = 1; बी)x>1; ग)एक्स<1.

उदाहरण 5.एक फ़ंक्शन दिया गया साबित करें कि
समाधान।हमारी जो स्थिति है उसके अनुसार.

केंद्र:

परिभाषा। समारोह प्रजाति कहा जाता है घातांक प्रकार्य .

टिप्पणी। आधार मूल्यों से बहिष्करण एसंख्या 0; 1 और नकारात्मक मान एनिम्नलिखित परिस्थितियों द्वारा समझाया गया है:

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति ही एक एक्सइन मामलों में, इसका अर्थ बरकरार रहता है और इसका उपयोग समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के लिए x yडॉट एक्स = 1; य = 1 स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर है.

फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाएं: और।



एक घातीय फलन का ग्राफ़
आप=ए एक्स, ए > 1	आप=ए एक्स , 0< a < 1

घातीय फलन के गुण

घातीय फलन के गुण	आप=ए एक्स, ए > 1	आप=ए एक्स , 0< a < 1
फ़ंक्शन डोमेन
2. फ़ंक्शन रेंज
3. इकाई के साथ तुलना के अंतराल	पर एक्स> 0, ए एक्स > 1	पर एक्स > 0, 0< a एक्स < 1
	पर एक्स < 0, 0< a एक्स < 1	पर एक्स < 0, a एक्स > 1
4. सम, विषम।	फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम (फ़ंक्शन सामान्य रूप से देखें).
5.एकरसता.	नीरस रूप से बढ़ता है आर	द्वारा नीरस रूप से घटता है आर
6. अति.	घातांकीय फलन का कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।
7.अस्पर्शोन्मुख	O-अक्ष एक्सएक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है.
8. किसी भी वास्तविक मूल्य के लिए एक्सऔर य;

जब तालिका भर दी जाती है, तो कार्यों को भरने के समानांतर हल किया जाता है।

कार्य संख्या 1. (किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजने के लिए)।

फ़ंक्शंस के लिए कौन से तर्क मान मान्य हैं:

कार्य संख्या 2. (किसी फ़ंक्शन के मानों की सीमा ज्ञात करने के लिए)।

यह चित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र और मानों की सीमा निर्दिष्ट करें:

कार्य संख्या 3. (एक के साथ तुलना के अंतराल को इंगित करने के लिए)।

निम्नलिखित में से प्रत्येक शक्ति की तुलना एक से करें:

टास्क नंबर 4. (एकरसता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना)।

आकार के आधार पर वास्तविक संख्याओं की तुलना करें एमऔर एनअगर:

टास्क नंबर 5. (एकरसता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना)।

आधार के संबंध में निष्कर्ष निकालें ए, अगर:

y(x) = 10 x ; एफ(एक्स) = 6 एक्स ; जेड(एक्स) - 4 एक्स

x > 0, x = 0, x के लिए घातीय फलनों के ग्राफ़ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे हैं< 0?

निम्नलिखित फ़ंक्शन ग्राफ़ एक समन्वय विमान में प्लॉट किए गए हैं:

y(x) = (0,1) x ; एफ(एक्स) = (0.5) एक्स ; z(x) = (0.8) x .

x > 0, x = 0, x के लिए घातीय फलनों के ग्राफ़ एक दूसरे के सापेक्ष कैसे हैं< 0?

संख्या गणित में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांकों में से एक। परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम की सीमा के बराबर असीमित के साथ बढ़ रहा है एन . पद का नामई प्रविष्टि की लियोनार्ड यूलर

1736 में। उन्होंने दशमलव अंकन में इस संख्या के पहले 23 अंकों की गणना की, और इस संख्या को नेपियर के सम्मान में "गैर-पियरे संख्या" नाम दिया गया। पद का नामसंख्या में विशेष भूमिका निभाता है. गणितीय विश्लेषण घातांक प्रकार्य पद का नाम, आधार के साथ प्रतिपादक कहा जाता है और नामित किया गया है.

वाई = ई एक्स पहला संकेत पद का नामनंबर याद रखना आसान: