एक अंतराल पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

फंक्शन का एक्सट्रीमम क्या होता है और एक्सट्रीमम के लिए जरूरी कंडीशन क्या होती है?

किसी फ़ंक्शन का चरम किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (एक्सट्रीमम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f (x) का बिंदु x = a पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह शर्त आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न इस बिंदु पर एक चरम होने वाले फ़ंक्शन के बिना अनंत तक गायब हो सकता है, या मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में व्युत्पन्न f? (X) a के बाईं ओर धनात्मक है और a के दाईं ओर ऋणात्मक है, तो बिंदु x = a पर फलन f (x) है ज्यादा से ज्यादा

यदि बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में व्युत्पन्न f? (X) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो बहुत बिंदु x = a पर फलन f (x) है न्यूनतमबशर्ते कि फलन f (x) यहां निरंतर है।

इसके बजाय, आप फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग कर सकते हैं:

माना बिंदु x = a पर पहला अवकलज f? (X) लुप्त हो जाता है; यदि इस स्थिति में दूसरा अवकलज f ?? (a) ऋणात्मक है, तो फलन f (x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह धनात्मक है, तो न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का टिपिंग पॉइंट क्या है और आप इसे कैसे ढूंढते हैं?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का एक चरम (यानी, अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f? (x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f? (x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर एक हो सकता है चरम। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न प्लॉट: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिसा अक्ष (अक्ष ऑक्स) को पार करता है और जिन पर ग्राफ़ टूट जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें एक परवलय का चरम.

फलन y (x) = 3x2 + 2x - 50।

फलन का व्युत्पन्न: y? (X) = 6x + 2

समीकरण को हल करना: y? (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु x0 = -1 / 3 है। यह तर्क के इस मूल्य के लिए है कि फ़ंक्शन है चरम... तो ये है पाना, "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए मिली संख्या को व्यंजक में बदलें:

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरते समय अवकलज का चिन्ह "धन" से "ऋण" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर कोई अधिकतम या न्यूनतम नहीं है।

माना उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, व्युत्पन्न का मान y होगा? (- 1) = 6 * (- 1) + 2 = -6 + 2 = -4 (अर्थात चिन्ह "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

जब x = 1, व्युत्पन्न का मान y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिन्ह "धन" है)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न ने अपना संकेत माइनस से प्लस में बदल दिया। इसका मतलब है कि महत्वपूर्ण मूल्य x0 पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

सबसे बड़ा और सबसे छोटा फंक्शन वैल्यू अंतराल पर(एक खंड पर) एक ही प्रक्रिया का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल से बाहर हैं उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के भीतर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसमें अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y (x) = 3sin (x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y? (x) = 3cos (x) - 0.5

समीकरण को हल करना 3cos (x) - 0.5 = 0

cos (x) = 0.5 / 3 = 0.16667

x = ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजें [-9; 9]:

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos (0.16667) - 2π * 1 = -7.687

x = आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

एक्स = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

y (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा गया है कि अंतराल पर [-9; 9], फ़ंक्शन का x = -4.88 पर सबसे बड़ा मान है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 के बराबर है।

अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात कीजिए:

y (-6) = 3cos (-6) - 0.5 = 3.838

y (-3) = 3cos (-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का उच्चतम मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 . पर

सबसे छोटा मान है

y = 1.077 x = -3 . पर

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के विभक्ति बिंदुओं को कैसे खोजें और उत्तलता और अवतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y = f (x) के विभक्ति के सभी बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है , अनंत या मौजूद नहीं है। यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण की जड़ें f? (x) = 0, साथ ही फलन के संभावित असंततता बिंदु और दूसरा अवकलज, फलन के प्रांत को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के संकेत से निर्धारित होती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f (x) यहां ऊपर की ओर अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर।

कैसे दो चर के एक समारोह के चरम को खोजने के लिए?

फ़ंक्शन f (x, y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके असाइनमेंट के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (एक्स, वाई) = 0, एफयू? (एक्स, वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए Р0 (ए; बी) जांच करें कि क्या अंतर का संकेत अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x; y) के लिए पर्याप्त रूप से Po के करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि ऋणात्मक है, तो अधिकतम है। यदि अंतर चिह्न को संरक्षित नहीं करता है, तो बिंदु P0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

बड़ी संख्या में तर्कों के लिए एक फ़ंक्शन का चरम समान तरीके से निर्धारित किया जाता है।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 ... हम ODZ फ़ंक्शन पाते हैं।

2 ... फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

3 ... व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना

4 ... हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 "शीर्षक =" (! LANG: f ^ (अभाज्य) (x)> 0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ जाती है।

यदि अंतराल I पर फलन का अवकलज है, तो फलन इस अंतराल में घट जाती है।

5 ... हम खोजें फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

वी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

वी समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं.

6 ... खंड के सिरों पर फलन का मान ज्ञात कीजिए,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे बड़ा चुनें, अगर हमें फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे छोटा चुनें यदि हमें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है

हालांकि, सेगमेंट पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस पर निर्भर करते हुए, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें ... इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए कार्यों के ओपन बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

एक । टास्क बी15 (# 26695)

खंड पर।

1. फ़ंक्शन को x . के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इन समीकरणों का कोई समाधान नहीं है, और व्युत्पन्न x के सभी मूल्यों के लिए सकारात्मक है। नतीजतन, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x = 0 पर अपना सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर : 5.

2 . टास्क बी15 (# 26702)

सबसे बड़ा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें खंड पर।

1. ओडीजेड फ़ंक्शन शीर्षक = "(! लैंग: एक्स (पीआई) / 2 + (पीआई) के, के (इन) (बीबीजेड)">!}

व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक = "(! LANG: 3 / (cos ^ 2 (x))> = 3">, значит, title="3 / (cos ^ 2 (x)) - 3> = 0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, पर।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए व्यंजक को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

शीर्षक = "(! LANG: y ^ (प्राइम) = 3 / (cos ^ 2 (x)) - 3 = (3-3cos ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = (3sin ^ 2 (x)) / (cos ^ 2 (x)) = 3tg ^ 2 (x)> = 0">!}

उत्तर : 5.

3. टास्क बी15 (# 26708)

खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक = "(! LANG: x (pi) / 2 + (pi) k, k (in) (bbZ)">!}

हम इस समीकरण के मूल त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखते हैं।

बीच में दो संख्याएँ हैं: और

आइए निशान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न के चिह्न को परिभाषित करते हैं: ... बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

आइए हम निर्देशांक रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (इस पर व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करता है), और सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएं छोर पर,।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्य को खोजने की प्रक्रिया एक हेलीकॉप्टर में एक वस्तु (फ़ंक्शन ग्राफ) के आकर्षक फ्लाईबाई जैसा दिखता है, जिसमें कुछ बिंदुओं पर लंबी दूरी की तोप से फायरिंग होती है और इन बिंदुओं से नियंत्रण के लिए बहुत ही विशेष बिंदु चुनते हैं। शॉट। अंक एक निश्चित तरीके से और कुछ नियमों के अनुसार चुने जाते हैं। नियम क्या हैं? इस बारे में हम आगे बात करेंगे।

यदि समारोह आप = एफ(एक्स) खंड पर निरंतर है [ ए, बी], तब यह इस खंड पर पहुँचती है सबसे छोटा तथा उच्चतम मूल्य ... यह या तो में हो सकता है चरम बिंदु, या खंड के सिरों पर। इसलिए, खोजने के लिए सबसे छोटा तथा अधिकतम फ़ंक्शन मान खंड पर निरंतर [ ए, बी], आपको सभी में इसके मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है महत्वपूर्ण बिंदुऔर खंड के सिरों पर, और फिर उनमें से सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्धारित करना आवश्यक है एफ(एक्स) खंड पर [ ए, बी]. ऐसा करने के लिए, इसके सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें [ ए, बी] .

महत्वपूर्ण बिंदु उस बिंदु को कहा जाता है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित, और वह यौगिकया तो शून्य है या मौजूद नहीं है। फिर आपको महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करनी चाहिए। और, अंत में, किसी को महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की तुलना करनी चाहिए ( एफ(ए) तथा एफ(बी))। इनमें से सबसे बड़ी संख्या होगी खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान [ए, बी] .

खोजने की समस्या सबसे छोटा फ़ंक्शन मान .

एक साथ समारोह के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की तलाश में

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 2] .

समाधान। इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं। आइए हम व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और दो महत्वपूर्ण बिंदु प्राप्त करें: और। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, खंड के सिरों पर और एक बिंदु पर इसके मूल्यों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि बिंदु खंड से संबंधित नहीं है [-1, 2]. ये फ़ंक्शन मान इस प्रकार हैं:,,। यह इस प्रकार है कि सबसे छोटा फ़ंक्शन मान(नीचे दिए गए ग्राफ़ में इसे लाल रंग में चिह्नित किया गया है), -7 के बराबर, खंड के दाहिने छोर पर - बिंदु पर, और महानतम(ग्राफ पर भी लाल), 9 के बराबर, - महत्वपूर्ण बिंदु पर।

यदि कोई फ़ंक्शन कुछ अंतराल में निरंतर है और यह अंतराल एक खंड नहीं है (लेकिन, उदाहरण के लिए, एक अंतराल है; एक अंतराल और एक खंड के बीच का अंतर: अंतराल के सीमा बिंदु अंतराल में शामिल नहीं हैं, और सीमा खंड के बिंदु खंड में शामिल हैं), फिर फ़ंक्शन के मूल्यों में यह सबसे छोटा और सबसे बड़ा नहीं हो सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया फ़ंक्शन निरंतर है] -∞, + [और इसका कोई सबसे बड़ा मूल्य नहीं है।

हालांकि, किसी भी अंतराल (बंद, खुला, या अनंत) के लिए, निरंतर कार्यों की निम्नलिखित संपत्ति सत्य है।

उदाहरण 4. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर [-1, 3] .

समाधान। हम इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल के व्युत्पन्न के रूप में पाते हैं:

.

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो हमें एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड [-1, 3] के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

हम इन मूल्यों की तुलना करते हैं। निष्कर्ष: -5/13 के बराबर, बिंदु पर और सबसे बड़ा मूल्यबिंदु पर 1 के बराबर।

हम एक साथ फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की खोज करना जारी रखते हैं

ऐसे शिक्षक हैं, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के विषय पर, छात्रों को उन उदाहरणों की तुलना में अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने के लिए नहीं देते हैं, अर्थात्, जिनमें फ़ंक्शन एक बहुपद या एक अंश है, जिसके अंश और हर बहुपद हैं। लेकिन हम खुद को ऐसे उदाहरणों तक सीमित नहीं रखेंगे, क्योंकि शिक्षकों में ऐसे भी हैं जो छात्रों को पूरी तरह से सोचना पसंद करते हैं (व्युत्पन्न तालिका)। इसलिए, लघुगणक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा।

उदाहरण 6. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं: व्युत्पन्न कार्य :

हम व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं, जो एक महत्वपूर्ण बिंदु देता है:। यह खंड के अंतर्गत आता है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

सभी क्रियाओं का परिणाम: फ़ंक्शन अपने सबसे छोटे मान तक पहुँचता हैबिंदु पर और बिंदु पर 0 के बराबर और सबसे बड़ा मूल्यके बराबर इ, बिंदु पर।

उदाहरण 7. किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें खंड पर .

समाधान। इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करना:

एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु रेखाखंड का है। किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों को खंड के सिरों पर और महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु पर पाते हैं:

निष्कर्ष: फ़ंक्शन अपने सबसे छोटे मान तक पहुँचता हैबिंदु पर के बराबर और सबसे बड़ा मूल्य, बराबर, बिंदु पर।

लागू चरम समस्याओं में, किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे (सबसे बड़े) मूल्यों को खोजने के लिए, एक नियम के रूप में, न्यूनतम (अधिकतम) खोजने के लिए घटाया जाता है। लेकिन अधिक व्यावहारिक रुचि स्वयं मिनीमा या मैक्सिमा नहीं है, बल्कि तर्क के वे मूल्य हैं जिन पर वे पहुंचे हैं। लागू समस्याओं को हल करते समय, एक अतिरिक्त कठिनाई उत्पन्न होती है - विचाराधीन घटना या प्रक्रिया का वर्णन करने वाले कार्यों का संकलन।

उदाहरण 8. 4 की क्षमता वाला एक टैंक, जिसमें एक वर्गाकार आधार के साथ समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है और शीर्ष पर खुला होता है, को टिन से निकाला जाना चाहिए। कम से कम सामग्री को कवर करने के लिए टैंक कितना बड़ा होना चाहिए?

समाधान। होने देना एक्स- आधार के किनारे, एच- टैंक की ऊंचाई, एस- बिना आवरण के इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल, वी- इसकी मात्रा। टैंक का सतह क्षेत्र सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात। दो चर का एक कार्य है। ज़ाहिर करना एसएक चर के एक फलन के रूप में, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि, कहाँ से। पाया अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना एचके लिए सूत्र में एस:

आइए हम इस फ़ंक्शन की एक चरम सीमा के लिए जाँच करें। यह हर जगह परिभाषित और भिन्न है] 0, + ∞ [, और

.

व्युत्पन्न को शून्य () के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदु खोजें। इसके अलावा, व्युत्पन्न के लिए मौजूद नहीं है, लेकिन यह मान परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है और इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। तो, यह एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके इसे चरम सीमा की उपस्थिति के लिए जांचें। आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें। जब दूसरा व्युत्पन्न शून्य () से अधिक हो। इसलिए, पर, फ़ंक्शन न्यूनतम तक पहुंच जाता है ... इसके बाद से न्यूनतम इस फ़ंक्शन का एकमात्र चरम है, यह इसका सबसे छोटा मान भी है... तो, टैंक के आधार का पक्ष 2 मीटर और इसकी ऊंचाई के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण 9.पैराग्राफ से एपॉइंट टू रेलवे लाइन पर स्थित साथउससे कुछ दूरी पर मैं, कार्गो परिवहन किया जाना चाहिए। एक भार इकाई को रेल द्वारा दूरी की प्रति इकाई परिवहन की लागत बराबर है, और राजमार्ग से यह बराबर है। किस बिंदु तक एमरेलवे लाइन एक राजमार्ग द्वारा खींची जानी चाहिए ताकि माल का परिवहन एवी साथसबसे किफायती था (अनुभाग अबरेलवे को सीधा माना जाता है)?

एक तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में काम करने वालों की श्रेणी से एक छोटा और सरल कार्य। प्रकृति जुलाई के मध्य में एक नींद का क्षेत्र है, इसलिए समुद्र तट पर अपने लैपटॉप के साथ बसने का समय आ गया है। सुबह-सुबह, सिद्धांत की सनबीम ने अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए खेला, जिसमें घोषित हल्केपन के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े होते हैं। इस संबंध में, मैं इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए सद्भाव में अनुशंसा करता हूं। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए, आपको सक्षम होना चाहिए डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एक समारोह के मोनोटोनिक अंतराल और एक्स्ट्रेमा.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। पाठ में . के बारे में समारोह की निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। एक खंड पर एक समारोह का अनुकरणीय व्यवहार इसी तरह से तैयार किया जाता है। फ़ंक्शन खंड पर निरंतर है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) बिंदु पर निरंतर है दाहिने तरफऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरे पैराग्राफ में, हमने तथाकथित के बारे में बात की एकतरफा निरंतरताबिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं उस पंक्ति पर कायम रहूंगा जिसे मैंने पहले शुरू किया था:

फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर है दाहिने तरफयदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: ... यह बिंदु पर भी निरंतर है बाएं, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाएँ हाथ की सीमा इस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना कीजिए कि हरे रंग के बिंदु नाखून हैं जिनके साथ एक जादू रबर बैंड जुड़ा हुआ है:

अपने दिमाग में लाल रेखा उठाओ। जाहिर है, हम ग्राफ को ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) कितनी भी दूर तक क्यों न खींचे, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- शीर्ष पर एक हेज, तल पर एक हेज, और हमारा उत्पाद कोरल में चरता है। इस तरह, एक खंड पर एक सतत कार्य उस पर बंधा होता है... गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य कहा गया है और कड़ाई से साबित हुआ है। वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्रारंभिक कथनों को उबाऊ रूप से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने दृश्यता की सीमा से परे आकाश में ग्राफ़ खींच लिया, इसने इसे डाला। टेलीस्कोप के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में कार्य की सीमाएं बिल्कुल स्पष्ट नहीं थीं! वास्तव में, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज से परे हमारा क्या इंतजार है? आखिरकार, कभी पृथ्वी को समतल माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार वीयरस्ट्रैस का दूसरा प्रमेय, एक खंड पर निरंतरसमारोह अपने को प्राप्त करता है सटीक शीर्ष किनारेऔर उसका सटीक निचला किनारा .

संख्या भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर के माध्यम से निरूपित करें, और संख्या - खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम माननोटिस के साथ।

हमारे मामले में:

ध्यान दें : सिद्धांत रूप में, सामान्य रिकॉर्ड .

मोटे तौर पर, उच्चतम मान वह है जहां ग्राफ़ पर उच्चतम बिंदु है, और निम्नतम वह स्थान है जहां निम्नतम बिंदु है।

जरूरी!जैसा कि लेख में पहले ही बताया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, उच्चतम फ़ंक्शन मानतथा सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या अधिकतम कार्यतथा न्यूनतम कार्य... तो, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हां, बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के संदर्भ में, यह हमें बिल्कुल भी रूचि नहीं देता है। कार्य में केवल दो नंबर ढूंढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, कोई ड्राइंग आवश्यक नहीं!

एल्गोरिथम सतह पर स्थित है और दिए गए आंकड़े से खुद को सुझाता है:

1) फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस खंड से संबंधित हैं.

एक और बन पकड़ो: यहां एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहीं हैकि न्यूनतम या अधिकतम मूल्य है। प्रदर्शन समारोह अपने अधिकतम तक पहुंचता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। लेकिन, निश्चित रूप से, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, भले ही उनके पास एक्स्ट्रेमा है या नहीं।

2) हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।

3) पहले और दूसरे अंक में पाए गए फ़ंक्शन के मूल्यों में से, सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का चयन करें, उत्तर लिखें।

हम नीले समुद्र के किनारे पर बैठते हैं और उथले पानी में अपनी एड़ी को लात मारते हैं:

उदाहरण 1

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

समाधान:
1) हम इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं:

आइए दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

2) हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं:

3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए जाते हैं, जिससे उनकी तुलना करना मुश्किल हो जाता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह न भूलें:

अब सब कुछ स्पष्ट है।

उत्तर:

एक स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें

"एक अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना" विषय पर पाठ, व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करेगा। .

थीम: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में, हम एक सरल समस्या पर विचार करेंगे, अर्थात् एक अंतराल निर्दिष्ट किया जाएगा, इस अंतराल पर एक सतत फलन निर्दिष्ट किया जाएगा। दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना आवश्यक है कार्योंकिसी दिए गए पर अंतराल.

संख्या 32.1 (बी)। दिया गया:,। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ़।

यह ज्ञात है कि यह फ़ंक्शन अंतराल में बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह अंतराल में भी बढ़ता है। इसलिए, यदि आप बिंदुओं पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं और, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमा, इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, ज्ञात हो जाएगा।

जब तर्क 8 से बढ़कर 8 हो जाता है, तो फलन इससे बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

32.2 (ए) दिया गया है: दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें।

आइए इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं (चित्र 2 देखें)।

यदि अंतराल में तर्क बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से 2 तक बढ़ जाता है। यदि तर्क से बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. फंक्शन ग्राफ।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, ... यदि, तो यह मान भी निर्दिष्ट खंड से संबंधित है। तो अगर। यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है, संबंधित स्थिर बिंदु निर्दिष्ट खंड से आगे जाते हैं। आइए हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें और उन चयनित बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। पाना

;

उत्तर: ;.

तो उत्तर प्राप्त होता है। इस मामले में व्युत्पन्न का उपयोग किया जा सकता है, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते हैं, पहले अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के गुणों को लागू करें। यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया:,। किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, हमने पिछले कार्य में जिस तकनीक का उल्लेख किया है वह पूरी तरह से लागू है।

1. व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, इसलिए महत्वपूर्ण बिंदु। उनमें से हम उन लोगों का चयन करते हैं जो दिए गए खंड से संबंधित हैं:। आइए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें,। इसके लिए हम पाते हैं

आइए हम चित्र में परिणाम को स्पष्ट करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फलन मानों के परिवर्तन की सीमा

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 में बदल जाता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 में बदल जाता है। फ़ंक्शन नीरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, एक अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एक सामान्य तकनीक को प्रदर्शित करने के लिए तीन उदाहरणों का उपयोग किया गया था, इस मामले में, एक खंड पर।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के सिरों पर और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मानों की तुलना करें, और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं।

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

पहले, इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फंक्शन ग्राफ।

अंतराल में, इस फ़ंक्शन की सीमा है ... बिंदु अधिकतम बिंदु है। पर - फलन बढ़ता है, पर - फलन घटता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि, - अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, पाठ में, हमने सबसे बड़े और सबसे छोटे फ़ंक्शन मान की समस्या पर विचार किया, जब दिया गया अंतराल एक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम तैयार किया।

1. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड। एजी मोर्दकोविच। -एम।: निमोसिना, 2009।

2. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर), एड। एजी मोर्दकोविच। -एम।: निमोसिना, 2007।

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अतिरिक्त वेब संसाधन

2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल ()।

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संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफाइल स्तर) एजी मोर्दकोविच द्वारा संपादित। -एम।: मेमोज़िना, 2007।)