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सरल त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करें. त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं

मैंने एक बार दो आवेदकों के बीच बातचीत देखी:

– आपको 2πn कब जोड़ना चाहिए, और आपको πn कब जोड़ना चाहिए? मुझे बस याद नहीं आ रहा!

- और मेरी भी यही समस्या है।

मैं बस उन्हें बताना चाहता था: "आपको याद रखने की ज़रूरत नहीं है, बल्कि समझने की ज़रूरत है!"

यह लेख मुख्य रूप से हाई स्कूल के छात्रों को संबोधित है और मुझे आशा है कि यह उन्हें "समझ" के साथ सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में मदद करेगा:

संख्या चक्र

संख्या रेखा की अवधारणा के साथ-साथ संख्या वृत्त की भी अवधारणा है। जैसा कि हम जानते हैं एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, बिंदु (0; 0) और त्रिज्या 1 पर केंद्र वाले एक वृत्त को एक इकाई वृत्त कहा जाता है।आइए एक संख्या रेखा को एक पतले धागे के रूप में कल्पना करें और इसे इस सर्कल के चारों ओर लपेटें: हम मूल बिंदु (बिंदु 0) को यूनिट सर्कल के "दाएं" बिंदु से जोड़ देंगे, हम सकारात्मक अर्ध-अक्ष को वामावर्त लपेटेंगे, और नकारात्मक अर्ध-अक्ष को लपेटेंगे -अक्ष दिशा में (चित्र 1)। ऐसे इकाई वृत्त को संख्यात्मक वृत्त कहा जाता है।

संख्या वृत्त के गुण

प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या वृत्त पर एक बिंदु पर स्थित होती है।
संख्या वृत्त पर प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में वास्तविक संख्याएँ होती हैं। चूँकि इकाई वृत्त की लंबाई 2π है, वृत्त के एक बिंदु पर किन्हीं दो संख्याओं के बीच का अंतर ±2π संख्याओं में से एक के बराबर है; ±4π ; ±6π ; ...

आइए निष्कर्ष निकालें: बिंदु A की किसी एक संख्या को जानकर, हम बिंदु A की सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं.

आइए एसी का व्यास बनाएं (चित्र 2)। चूँकि x_0 बिंदु A की संख्याओं में से एक है, तो संख्याएँ x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... और केवल वे बिंदु C की संख्याएँ होंगी। आइए इन संख्याओं में से एक चुनें, मान लें, x_0+π, और इसका उपयोग बिंदु C की सभी संख्याओं को लिखने के लिए करें: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ जेड ध्यान दें कि बिंदु A और C पर संख्याओं को एक सूत्र में जोड़ा जा सकता है: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... के लिए हम संख्याएँ प्राप्त करते हैं बिंदु A, और k = ±1 के लिए … - बिंदु C की संख्या)।

आइए निष्कर्ष निकालें: व्यास AC के बिंदु A या C में से किसी एक संख्या को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

वृत्त के बिंदुओं पर दो विपरीत संख्याएँ स्थित हैं जो भुज अक्ष के संबंध में सममित हैं।

आइए एक ऊर्ध्वाधर जीवा AB खींचें (चित्र 2)। चूँकि बिंदु A और B, ऑक्स अक्ष के बारे में सममित हैं, संख्या -x_0 बिंदु B पर स्थित है और इसलिए, बिंदु B की सभी संख्याएँ सूत्र द्वारा दी गई हैं: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. हम एक सूत्र का उपयोग करके बिंदु A और B पर संख्याएँ लिखते हैं: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. आइए निष्कर्ष निकालें: ऊर्ध्वाधर जीवा AB के बिंदु A या B में से किसी एक संख्या को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ पा सकते हैं। आइए क्षैतिज जीवा AD पर विचार करें और बिंदु D की संख्या ज्ञात करें (चित्र 2)। चूँकि BD एक व्यास है और संख्या -x_0 बिंदु B से संबंधित है, तो -x_0 + π बिंदु D की संख्याओं में से एक है और इसलिए, इस बिंदु की सभी संख्याएँ सूत्र x_D=-x_0+π+ द्वारा दी गई हैं 2πk ,k∈Z. बिंदु A और D पर संख्याएँ एक सूत्र का उपयोग करके लिखी जा सकती हैं: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; ... के लिए हमें बिंदु A की संख्याएँ मिलती हैं, और k = ±1; ±3; ±5; ... के लिए - बिंदु D की संख्याएँ मिलती हैं)।

आइए निष्कर्ष निकालें: क्षैतिज जीवा AD के बिंदु A या D में से किसी एक संख्या को जानकर, हम इन बिंदुओं पर सभी संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

संख्या वृत्त के सोलह मुख्य बिन्दु

व्यवहार में, समाधान सबसे सरल है त्रिकोणमितीय समीकरणवृत्त पर सोलह बिंदुओं से संबद्ध (चित्र 3)। ये बिंदु क्या हैं? लाल, नीले और हरे बिंदु वृत्त को 12 भागों में विभाजित करते हैं बराबर भाग. चूँकि अर्धवृत्त की लंबाई π है, तो चाप A1A2 की लंबाई π/2 है, चाप A1B1 की लंबाई π/6 है, और चाप A1C1 की लंबाई π/3 है।

अब हम एक समय में एक संख्या बता सकते हैं:

C1 पर π/3 और

नारंगी वर्ग के शीर्ष प्रत्येक तिमाही के चापों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए, चाप A1D1 की लंबाई π/4 के बराबर है और, इसलिए, π/4 बिंदु D1 की संख्याओं में से एक है। संख्या वृत्त के गुणों का उपयोग करके, हम अपने वृत्त के सभी चिह्नित बिंदुओं पर सभी संख्याओं को लिखने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। इन बिंदुओं के निर्देशांक भी चित्र में अंकित हैं (हम उनके अधिग्रहण का विवरण छोड़ देंगे)।

उपरोक्त में महारत हासिल करने के बाद, अब हमारे पास विशेष मामलों (संख्या के नौ मानों के लिए) को हल करने के लिए पर्याप्त तैयारी है ए)सरलतम समीकरण.

समीकरण हल करें

1)पापx=1⁄(2).

- हमसे क्या अपेक्षित है?

– वे सभी संख्याएँ x ज्ञात कीजिए जिनकी ज्या 1/2 है.

आइए साइन की परिभाषा याद रखें: सिनएक्स - संख्या वृत्त पर उस बिंदु की कोटि जिस पर संख्या x स्थित है. वृत्त पर हमारे पास दो बिंदु हैं जिनकी कोटि 1/2 के बराबर है। ये क्षैतिज जीवा B1B2 के सिरे हैं। इसका मतलब यह है कि आवश्यकता "समीकरण synx=1⁄2 को हल करें" आवश्यकता के बराबर है "बिंदु B1 पर सभी संख्याएं और बिंदु B2 पर सभी संख्याएं ढूंढें।"

2)sinx=-√3⁄2 .

हमें बिंदु C4 और C3 पर सभी संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी।

3) पापx=1. वृत्त पर हमारे पास कोटि 1 वाला केवल एक बिंदु है - बिंदु A2 और, इसलिए, हमें इस बिंदु की केवल सभी संख्याएँ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

उत्तर: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)पापx=-1 .

केवल बिंदु A_4 की कोटि -1 है। इस बिंदु के सभी अंक समीकरण के घोड़े होंगे।

उत्तर: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) पापx=0 .

वृत्त पर हमारे पास कोटि 0 वाले दो बिंदु हैं - बिंदु A1 और A3। आप प्रत्येक बिंदु पर संख्याओं को अलग से इंगित कर सकते हैं, लेकिन यह देखते हुए कि ये बिंदु बिल्कुल विपरीत हैं, उन्हें एक सूत्र में संयोजित करना बेहतर है: x=πk,k∈Z।

उत्तर: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

आइए कोसाइन की परिभाषा याद रखें: cosx संख्या वृत्त पर उस बिंदु का भुज है जिस पर संख्या x स्थित है।वृत्त पर हमारे पास भुज √2⁄2 के साथ दो बिंदु हैं - क्षैतिज जीवा D1D4 के सिरे। हमें इन बिंदुओं पर सभी नंबर खोजने होंगे। आइए उन्हें एक सूत्र में संयोजित करते हुए लिखें।

उत्तर: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

हमें बिंदु C_2 और C_3 पर संख्याएं ढूंढनी होंगी।

उत्तर: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

केवल बिंदु A2 और A4 का भुज 0 है, जिसका अर्थ है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु पर सभी संख्याएँ समीकरण का समाधान होंगी।
.

सिस्टम के समीकरण के समाधान असमानता cosx पर बिंदु B_3 और B_4 पर संख्याएँ हैं<0 удовлетворяют только числа b_3
उत्तर: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

ध्यान दें कि x के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, दूसरा कारक सकारात्मक है और इसलिए, समीकरण सिस्टम के बराबर है

सिस्टम समीकरण के समाधान बिंदुओं की संख्या D_2 और D_3 हैं। बिंदु D_2 की संख्याएँ असमानता synx≤0.5 को संतुष्ट नहीं करती हैं, लेकिन बिंदु D_3 की संख्याएँ संतुष्ट करती हैं।

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सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।

जटिलता के किसी भी स्तर के त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना अंततः सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए आता है। और इसमें त्रिकोणमितीय वृत्त फिर से सबसे अच्छा सहायक साबित होता है।

आइए कोसाइन और साइन की परिभाषाओं को याद करें।

किसी कोण की कोज्या किसी दिए गए कोण के माध्यम से घूमने के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज (अर्थात, अक्ष के साथ निर्देशांक) है।

किसी कोण की ज्या किसी दिए गए कोण के माध्यम से घूमने के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि (अर्थात, अक्ष के साथ निर्देशांक) है।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर गति की सकारात्मक दिशा वामावर्त होती है। 0 डिग्री (या 0 रेडियन) का घूर्णन निर्देशांक (1;0) वाले एक बिंदु से मेल खाता है

हम सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए इन परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।

1. समीकरण हल करें

यह समीकरण घूर्णन कोण के सभी मानों से संतुष्ट होता है जो वृत्त पर उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनकी कोटि बराबर होती है।

आइए कोटि अक्ष पर कोटि से एक बिंदु चिह्नित करें:

x-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा खींचें जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। हमें वृत्त पर स्थित और एक कोटि वाले दो बिंदु मिलते हैं। ये बिंदु घूर्णन कोण और रेडियन के अनुरूप हैं:

यदि हम, प्रति रेडियन घूर्णन कोण के संगत बिंदु को छोड़कर, एक पूर्ण वृत्त के चारों ओर घूमते हैं, तो हम प्रति रेडियन घूर्णन कोण के अनुरूप और समान कोटि वाले एक बिंदु पर पहुंचेंगे। अर्थात यह घूर्णन कोण हमारे समीकरण को भी संतुष्ट करता है। हम जितने चाहें उतने "निष्क्रिय" चक्कर लगा सकते हैं, एक ही बिंदु पर लौट सकते हैं, और ये सभी कोण मान हमारे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। "निष्क्रिय" क्रांतियों की संख्या को अक्षर (या) द्वारा दर्शाया जाएगा। चूँकि हम इन क्रांतियों को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में कर सकते हैं, (या) कोई भी पूर्णांक मान ले सकते हैं।

अर्थात्, मूल समीकरण के समाधान की पहली श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

, , - पूर्णांकों का समुच्चय (1)

इसी प्रकार, समाधानों की दूसरी श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

, कहाँ , । (2)

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, समाधानों की यह श्रृंखला वृत्त के घूर्णन कोण के संगत बिंदु पर आधारित है।

समाधानों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में जोड़ा जा सकता है:

यदि हम इस प्रविष्टि में (अर्थात सम) लेते हैं, तो हमें समाधानों की पहली श्रृंखला प्राप्त होगी।

यदि हम इस प्रविष्टि में (अर्थात् विषम) लेते हैं, तो हमें समाधानों की दूसरी श्रृंखला प्राप्त होती है।

2. अब समीकरण को हल करते हैं

चूँकि यह एक कोण के माध्यम से घूमने से प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज है, हम अक्ष पर भुज के साथ बिंदु को चिह्नित करते हैं:

अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें जब तक कि वह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। हमें वृत्त पर पड़े हुए और भुज वाले दो बिंदु मिलेंगे। ये बिंदु घूर्णन कोण और रेडियन के अनुरूप हैं। याद रखें कि दक्षिणावर्त दिशा में घूमने पर हमें एक ऋणात्मक घूर्णन कोण प्राप्त होता है:

आइए समाधानों की दो श्रृंखलाएँ लिखें:

(हम मुख्य पूर्ण चक्र से जाकर वांछित बिंदु तक पहुंचते हैं।

आइए इन दोनों श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में संयोजित करें:

3. समीकरण हल करें

स्पर्शरेखा रेखा ओए अक्ष के समानांतर इकाई वृत्त के निर्देशांक (1,0) वाले बिंदु से होकर गुजरती है

आइए उस पर 1 के बराबर कोटि से एक बिंदु चिह्नित करें (हम उस स्पर्शरेखा की तलाश कर रहे हैं जिसमें कोण 1 के बराबर है):

आइए इस बिंदु को निर्देशांक के मूल से एक सीधी रेखा से जोड़ें और इकाई वृत्त के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें। सीधी रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु घूर्णन के कोणों के अनुरूप होते हैं और:

चूँकि हमारे समीकरण को संतुष्ट करने वाले घूर्णन कोणों के संगत बिंदु एक दूसरे से रेडियन की दूरी पर स्थित हैं, हम समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

4. समीकरण हल करें

कोटैंजेंट की रेखा अक्ष के समानांतर इकाई वृत्त के निर्देशांक वाले बिंदु से होकर गुजरती है।

आइए कोटैंजेंट रेखा पर भुज -1 से एक बिंदु चिह्नित करें:

आइए इस बिंदु को सीधी रेखा के मूल से जोड़ें और इसे तब तक जारी रखें जब तक यह वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए। यह सीधी रेखा वृत्त को घूर्णन कोण और रेडियन के संगत बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी:

चूँकि ये बिंदु एक दूसरे से समान दूरी से अलग होते हैं, हम इस समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिख सकते हैं:

सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को दर्शाने वाले दिए गए उदाहरणों में, त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों का उपयोग किया गया था।

हालाँकि, यदि समीकरण के दाएँ पक्ष में एक गैर-सारणीबद्ध मान है, तो हम मान को समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:

विशेष समाधान:

आइए वृत्त पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनकी कोटि 0 है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसकी कोटि 1 है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसकी कोटि -1 के बराबर है:

चूँकि यह शून्य के निकटतम मानों को इंगित करने की प्रथा है, हम समाधान इस प्रकार लिखते हैं:

आइए वृत्त पर उन बिंदुओं को चिह्नित करें जिनका भुज 0 के बराबर है:

5.
आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसका भुज 1 के बराबर है:

आइए वृत्त पर एक बिंदु चिह्नित करें जिसका भुज -1 के बराबर है:

और थोड़े अधिक जटिल उदाहरण:

यदि तर्क बराबर है तो ज्या एक के बराबर है

हमारी ज्या का तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

समानता के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:

उत्तर:

यदि कोसाइन का तर्क है तो कोसाइन शून्य है

हमारी कोज्या का तर्क बराबर है, इसलिए हमें मिलता है:

आइए व्यक्त करें, ऐसा करने के लिए हम पहले विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर जाते हैं:

आइए दाईं ओर को सरल बनाएं:

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें:

ध्यान दें कि पद के सामने का चिह्न नहीं बदलता है, क्योंकि k कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है।

उत्तर:

और अंत में, वीडियो पाठ देखें "त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय समीकरण में मूलों का चयन करना"

इससे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में हमारी बातचीत समाप्त होती है। अगली बार हम बात करेंगे कि निर्णय कैसे लें.

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हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

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कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

उदाहरण:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें:

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाना चाहिए:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

जहां \(t\) एक x के साथ एक अभिव्यक्ति है, \(a\) एक संख्या है। ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं सबसे सरल. इन्हें () या विशेष सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है:

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) को हल करें।
समाधान:

उत्तर: \(\left[ \begin(इकट्ठा)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(इकट्ठा)\दाएं.\) \(k,n∈Z\)

त्रिकोणमितीय समीकरणों के मूलों के सूत्र में प्रत्येक प्रतीक का क्या अर्थ है, देखें।

ध्यान!समीकरण \(\sin⁡x=a\) और \(\cos⁡x=a\) का कोई समाधान नहीं है यदि \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). क्योंकि किसी भी x के लिए साइन और कोसाइन \(-1\) से अधिक या उसके बराबर और \(1\) से कम या उसके बराबर हैं:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

उदाहरण . समीकरण \(\cos⁡x=-1,1\) को हल करें।
समाधान: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
उत्तर : कोई समाधान नहीं.

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण tg\(⁡x=1\) को हल करें।
समाधान:

आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके समीकरण को हल करें। यह करने के लिए:
1) एक वृत्त का निर्माण करें)
2) कुल्हाड़ियों \(x\) और \(y\) और स्पर्शरेखा अक्ष की रचना करें (यह बिंदु \((0;1)\) से होकर गुजरती है जो अक्ष \(y\) के समानांतर है।
3) स्पर्शरेखा अक्ष पर, बिंदु \(1\) अंकित करें।
4) इस बिंदु और निर्देशांक की उत्पत्ति को एक सीधी रेखा से जोड़ें।
5) इस रेखा और संख्या वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
6) आइए इन बिंदुओं के मानों पर हस्ताक्षर करें: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) आइए इन बिंदुओं के सभी मूल्यों को लिखें। चूँकि वे एक दूसरे से बिल्कुल \(π\) की दूरी पर स्थित हैं, सभी मान एक सूत्र में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) को हल करें।
समाधान:

आइए फिर से संख्या वृत्त का उपयोग करें।
1) एक वृत्त, अक्ष \(x\) और \(y\) का निर्माण करें।
2) कोसाइन अक्ष (\(x\) अक्ष) पर, \(0\) अंकित करें।
3) इस बिंदु से होकर कोज्या अक्ष पर एक लंब खींचिए।
4) लम्ब और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।
5) आइए इन बिंदुओं के मान पर हस्ताक्षर करें: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) हम इन बिंदुओं का संपूर्ण मान लिखते हैं और उन्हें कोसाइन (कोसाइन के अंदर क्या है) के बराबर करते हैं।

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) हमेशा की तरह, हम \(x\) को समीकरणों में व्यक्त करेंगे।
संख्याओं को \(π\), साथ ही \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), आदि से व्यवहार करना न भूलें। ये अन्य सभी संख्याओं के समान ही हैं। कोई संख्यात्मक भेदभाव नहीं!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

उत्तर: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरलतम बनाना एक रचनात्मक कार्य है, यहां आपको समीकरणों को हल करने के लिए दोनों और विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है:
- विधि (एकीकृत राज्य परीक्षा में सबसे लोकप्रिय)।
- तरीका।
- सहायक तर्क की विधि.

आइए द्विघात त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें

उदाहरण . त्रिकोणमितीय समीकरण \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) को हल करें
समाधान:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	आइए प्रतिस्थापन करें \(t=\cos⁡x\).

	हमारा समीकरण सामान्य हो गया है. आप इसका उपयोग करके इसे हल कर सकते हैं।
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं।
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	हम संख्या वृत्त का उपयोग करके पहला समीकरण हल करते हैं। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है क्योंकि \(\cos⁡x∈[-1;1]\) और किसी भी x के लिए दो के बराबर नहीं हो सकता।
	आइए इन बिंदुओं पर मौजूद सभी संख्याओं को लिखें।

उत्तर: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

ODZ के अध्ययन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

उदाहरण (USE) . त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	एक भिन्न है और एक कोटैंजेंट है - इसका मतलब है कि हमें इसे लिखना होगा। मैं आपको याद दिला दूं कि कोटैंजेंट वास्तव में एक भिन्न है: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) इसलिए, ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\) के लिए ODZ।
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	आइए संख्या गोले पर "गैर-समाधान" को चिह्नित करें।

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	आइए समीकरण में हर को ctg\(x\) से गुणा करके छुटकारा पाएं। हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हमने ऊपर लिखा है कि ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	आइए ज्या के लिए द्विकोण सूत्र लागू करें: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	यदि आपके हाथ कोज्या से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ते हैं, तो उन्हें पीछे खींचें! यदि यह निश्चित रूप से शून्य के बराबर नहीं है तो आप एक चर वाले अभिव्यक्ति से विभाजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, ये: \(x^2+1.5^x\))। इसके बजाय, आइए \(\cos⁡x\) को कोष्ठक से बाहर निकालें।
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	आइए समीकरण को दो भागों में "विभाजित" करें।
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके पहले समीकरण को हल करें। आइए दूसरे समीकरण को \(2\) से विभाजित करें और \(\sin⁡x\) को दाईं ओर ले जाएं।

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	परिणामी जड़ें ODZ में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हम उन्हें प्रतिक्रिया में नहीं लिखेंगे। दूसरा समीकरण विशिष्ट है. आइए इसे \(\sin⁡x\) से विभाजित करें (\(\sin⁡x=0\) समीकरण का हल नहीं हो सकता क्योंकि इस मामले में \(\cos⁡x=1\) या \(\cos⁡ x=-1\)).
	हम फिर से एक वृत्त का उपयोग करते हैं।
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	इन जड़ों को ODZ द्वारा बाहर नहीं रखा गया है, इसलिए आप उन्हें उत्तर में लिख सकते हैं।