एक वृत्त को 18 बराबर भागों में कैसे विभाजित करें। एक कम्पास और एक रूलर का उपयोग करके एक वृत्त को बराबर भागों में विभाजित करना

इसे दो प्रकार से विभाजित किया जा सकता है। उनमें से एक के लिए, आपको एक कम्पास और एक शासक की आवश्यकता होगी, और दूसरे के लिए, एक शासक और चांदा। कौन सा विकल्प बेहतर है आप पर निर्भर है।

आपको चाहिये होगा

• - दिशा सूचक यंत्र
• - शासक
• - चाँदा

निर्देश

मान लीजिए R त्रिज्या का एक वृत्त दिया गया है, इसे एक परकार की सहायता से तीन बराबर भागों में बाँटना आवश्यक है। वृत्त की त्रिज्या की मात्रा से कम्पास खोलें। आप इस मामले में एक शासक का उपयोग कर सकते हैं, या आप सर्कल के केंद्र में कंपास की सुई डाल सकते हैं, और सर्कल का वर्णन करने वाले सर्कल में पैर ले सकते हैं। रूलर बाद में वैसे भी काम आएगा। कम्पास सुई को वृत्त की परिधि पर कहीं भी रखें, और एक पेंसिल से एक छोटा चाप बनाएं जो वृत्त की बाहरी रूपरेखा को काटता हो। फिर कम्पास सुई को पाए गए चौराहे के बिंदु पर सेट करें और फिर से उसी त्रिज्या (वृत्त की त्रिज्या के बराबर) के साथ चाप खींचें। इन चरणों को तब तक दोहराएं जब तक कि अगला चौराहा बिंदु पहले से मेल न खाए। आपको वृत्त पर छह समान दूरी वाले अंक मिलेंगे। यह एक के माध्यम से तीन बिंदुओं का चयन करने और उन्हें एक शासक के साथ सर्कल के केंद्र से जोड़ने के लिए रहता है, और आपको तीन से विभाजित एक सर्कल मिलेगा।

एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके वृत्त को तीन भागों में विभाजित करने के लिए, यह याद रखना पर्याप्त है कि इसकी धुरी के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति 360 ° - है। तब वृत्त के एक तिहाई के संगत कोण 360° -/3 = 120° - होता है। अब 120 ° के कोण से तीन गुना - सर्कल के बाहर सेट करें और सर्कल पर परिणामी बिंदुओं को केंद्र से कनेक्ट करें।

ध्यान दें

यदि आप बिंदुओं को केंद्र से नहीं, बल्कि एक-दूसरे से जोड़ते हैं, तो आपको एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होगा।

पहले चरण में वर्णित विधि से आप वृत्त को छह बराबर भागों में विभाजित कर सकते हैं।

एक कम्पास और एक रूलर का उपयोग करके, आप वृत्त को किसी भी संख्या में भागों में विभाजित नहीं कर सकते हैं। गणितज्ञों ने सिद्ध किया है कि 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... भागों में 7, 9, 11, में विभाजित करना संभव है। 13, 14, ... भाग नहीं हो सकते ...

दुर्भाग्य से, विभाजित करने का कोई समान तरीका नहीं है। यहाँ सबसे महत्वपूर्ण हैं।

1) वृत्त को 6, 3, 12, 24,…, 3 × 2 k (k = 0,1,2,3,…) बराबर भागों में विभाजित करना।

हम शुरू करते हैं एक वृत्त को 6 भागों में विभाजित करना... इसके लिए वृत्त के किसी भी बिंदु से वृत्त को खींचने के लिए जिस कंपास का उपयोग किया गया था, उसी समाधान से एक वृत्त खींचना आवश्यक है। फिर प्रक्रिया को दोहराएं, केंद्र के रूप में शुरुआत और नए सर्कल के चौराहे के बिंदु को लेते हुए।

एक वृत्त को 3 भागों में विभाजित करने के लिए, आपको इसे 6 भागों में विभाजित करना होगा और एक से होकर अंक लेने होंगे (चित्र 5क)। वृत्त को 12 भागों में विभाजित करने के लिए, आपको इसे 6 भागों में विभाजित करने और प्रत्येक चाप को आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है, फिर चापों को आधे में विभाजित करने की प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है।

वृत्त के केंद्र से षट्भुज की तरफ गिराए गए लंबवत की लंबाई सर्कल में अंकित हेप्टागन के किनारे की लंबाई के लिए एक अच्छा सन्निकटन है (चित्र 5 ए में हैचिंग द्वारा दिखाया गया है)। लंबवत लंबाई 0.866R, हेप्टागन पक्ष लंबाई ≈0.868R - सटीकता ≈2%।

2) वृत्त का 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k = 1,2,3,…) बराबर भागों में विभाजन।

आप वृत्त के केंद्र के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचकर एक रूलर का उपयोग करके वृत्त को 2 भागों में विभाजित कर सकते हैं। लेकिन आप वृत्त की त्रिज्या को वृत्त के किसी भी बिंदु से 3 बार स्थगित कर सकते हैं। प्रारंभ और अंत बिंदु सर्कल को आधा में विभाजित करते हैं (उनके माध्यम से एक व्यास खींचा जा सकता है - चित्र 5 ए)। सर्कल को 4 भागों में विभाजित करने के लिए, आपको परिणामी चापों को आधा करना होगा। आधे में परिणामी चापों के विभाजन का क्रमिक निष्पादन वृत्त के विभाजन को 8, 16, आदि द्वारा सुनिश्चित करता है। भागों।

3) वृत्त का 5 भागों में विभाजन।

ड्राइंग में अपनाई गई निर्माण विधि एक नियमित दशमांश के पक्षों के बीच के अनुपात का उपयोग करती है ( एक 10) और नियमित पेंटागन ( एक 5) - ए 5 2 = आर 2 + ए 10 2। निर्माण निम्नानुसार किया जाता है। आइए सर्कल ओ के केंद्र के माध्यम से 2 लंबवत सीधी रेखाएं खींचें। ए और बी - सर्कल के साथ उनके चौराहे के बिंदु। बिंदु A से, जैसा कि केंद्र से है, उसी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए (खंड AO - बिंदु C का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए)। बिंदु C के खंड AO के मध्य से CB त्रिज्या का एक और वृत्त खींचिए। खंड BE पंचभुज की भुजा के बराबर है, OE दशमांश की भुजा के बराबर है (चित्र 5b)।

आप वृत्त को चित्र 5c में दर्शाए गए तरीके से 5 और 10 भागों में विभाजित कर सकते हैं। खंड बीसी - पेंटागन की ओर, एसी - दशहरा। हम पेंटागन और डेकोगन के उल्लेखनीय गुणों पर चर्चा करेंगे और अगले अध्याय में चित्र 5c में दिखाया गया निर्माण तरीका सही क्यों है।

मदरसा कुकेलदाश (XVI सदी, ताशकंद)

चित्र 5d एक वृत्त को किसी भी संख्या में भागों में विभाजित करने की समस्या के अनुमानित ज्यामितीय समाधान के स्वागत को दर्शाता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, आप इस वृत्त को 7 बराबर भागों में विभाजित करना चाहते हैं। आइए वृत्त AB के व्यास पर एक समबाहु त्रिभुज ABC की रचना करें और AD के संबंध में व्यास AB को बिंदु D से विभाजित करें: AB = 2: 7 (सामान्य स्थिति में 2: n)। ऐसा करने के लिए, आपको एक सहायक सीधी रेखा खींचनी होगी, उस पर n + 2 समान खंड रखना होगा, चरम बिंदु को बिंदु B से जोड़ना होगा और दूसरे बिंदु के माध्यम से सीधी रेखा BF के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना होगा। वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन तक DC रेखा खींचिए। आर्क एई सर्कल का 7 वां हिस्सा बना देगा (सामान्य स्थिति में, nth)। n . के लिए यह विधि<11 дает погрешность не более 1%.

एक सर्कल को बराबर भागों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सर्पिल के संदर्भ बिंदुओं का निर्माण करने के लिए - आर्किमिडीज सर्पिल, जिसका नाम महान प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक आर्किमिडीज (III शताब्दी ईसा पूर्व) के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने पहली बार इस रेखा का अध्ययन किया था, और लॉगरिदमिक सर्पिल।

कभी-कभी स्टेंसिल, टेम्प्लेट, ड्राइंग, पैटर्न, शिल्प के निर्माण के लिए अलग करना आवश्यक होता है 6 टुकड़े.
उदाहरण के लिए, हमें छह-बिंदु वाले तारे के रूप में एक फूल के लिए एक टेम्पलेट बनाने की आवश्यकता है।

जो लोग ज्यामिति भूल गए हैं, उनके लिए मैं आपको याद दिलाता हूं कि एक वृत्त को 6 भागों में विभाजित करने के दो तरीके हैं:

1. का उपयोग करके चांदा.
2. का उपयोग करके परकार.

1. चाँदे की सहायता से वृत्त को 6 भागों में कैसे विभाजित करें

किसी वृत्त को चांदे से विभाजित करना बहुत आसान है।

वृत्त पर केंद्र और किसी भी बिंदु (उदाहरण के लिए, बिंदु 1) को जोड़ने वाली एक रेखा खींचें। इस रेखा से, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, हम 60, 120, 180 डिग्री के कोण को स्थगित करते हैं। हम सर्कल पर अंक डालते हैं (उदाहरण के लिए, अंक 2, 3, 4)। चांदा का विस्तार करें और उसी तरह सर्कल के दूसरे भाग को विभाजित करें।

2. कम्पास का उपयोग करके एक वृत्त को 6 भागों में कैसे विभाजित करें

ऐसा होता है कि हाथ में कोई चांदा नहीं है। फिर वृत्त को एक कंपास की सहायता से 6 बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, हम एक वृत्त खींचते हैं, जिसकी त्रिज्या 5 सेमी (लाल वृत्त) है। त्रिज्या को बदले बिना, हम कम्पास के पैर को सर्कल (बिंदु 1) में स्थानांतरित करते हैं और दूसरा सर्कल बनाते हैं। हमें काले और लाल वृत्त 6 और 2 के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु मिलते हैं।

कम्पास के पैर को 2 बिंदु पर ले जाएं और फिर से एक वृत्त बनाएं। हमें बिंदु 3 मिलता है।

कम्पास के पैर को 3 बिंदु पर ले जाएं। फिर से एक वृत्त बनाएं।

इस प्रकार, हम वृत्त को तब तक विभाजित करना जारी रखते हैं जब तक कि हम इसे 6 बराबर भागों में विभाजित नहीं कर देते।

एक वृत्त को समान भागों में विभाजित करना, नियमित बहुभुज बनाना

एक वृत्त का 4 और 8 बराबर भागों में विभाजन

परस्पर लंबवत व्यास के सिरेजैसातथाबीडी(अंजीर। 1) बिंदु पर केंद्रित सर्कल को विभाजित करेंहे4 बराबर भागों में। इन व्यासों के सिरों को जोड़कर आप एक वर्ग प्राप्त कर सकते हैंएरविडी.

अगर कोणएसओएपरस्पर लंबवत व्यास के बीचऐतथासाथजी(अंजीर। 2) आधे में विभाजित करें और परस्पर लंबवत व्यास बनाएंधनबाद केतथाBF के, तो उनके सिरे बिंदु पर केंद्रित वृत्त को अलग कर देंगेहे8 बराबर भागों में। इन व्यासों के सिरों को जोड़कर, आप एक नियमित अष्टकोण प्राप्त कर सकते हैंएबीसीडीईएफजीएच.

चावल। चित्र एक 2

एक वृत्त का 3, 6 और 12 भागों में विभाजन

एक वृत्त को 6 बराबर भागों में विभाजित करने के लिए, एक नियमित षट्भुज की भुजाओं की परिवृत्त वृत्त की त्रिज्या से समानता का उपयोग करें। यदि बिंदु पर केंद्र के साथ एक वृत्त दिया गया हैहे(अंजीर। 3) और त्रिज्याआर, फिर इसके व्यास में से एक के सिरों से (अंकएतथाडी), केंद्रों की तरह, त्रिज्या वाले वृत्तों के चाप बनाएंआर... दिए गए वृत्त के साथ इन चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु इसे 6 बराबर भागों में विभाजित करेंगे। पाए गए बिंदुओं को क्रमिक रूप से जोड़ने पर, आपको एक नियमित षट्भुज मिलता हैएबीसीडीईएफ.

यदि वृत्त एक बिंदु के साथ केंद्रित हैहे(चित्र 4) को 3 बराबर भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, फिर इस सर्कल के त्रिज्या के बराबर त्रिज्या के साथ, व्यास के केवल एक छोर से एक चाप खींचा जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक बिंदुडी... अंकवीतथासाथदिए गए वृत्त के साथ इस चाप का प्रतिच्छेदन, साथ ही बिंदुएबाद वाले को 3 बराबर भागों में विभाजित करें। बिंदुओं को कनेक्ट करनाए, वीतथासाथ, आप एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त कर सकते हैंएबीसी.

चावल। अंजीर। 3 4

वृत्त को 12 भागों में विभाजित करने के लिए, वृत्त को 6 भागों में विभाजित करके दो बार दोहराया जाता है (चित्र 5), केंद्रों के रूप में परस्पर लंबवत व्यास के सिरों का उपयोग करते हुए: बिंदुएतथाजी, डीतथाजे... दिए गए वृत्त के साथ खींचे गए चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु इसे 12 भागों में विभाजित करेंगे। निर्मित बिंदुओं को जोड़कर, आप एक नियमित बारह गॉन प्राप्त कर सकते हैं।

चावल। 5

एक वृत्त को 5 भागों में विभाजित करना

हे(चित्र 6) 5 भागों में, निम्नानुसार आगे बढ़ें। वृत्त की त्रिज्याओं में से एक, उदाहरण के लिएओएम, पहले बताए अनुसार आधे में विभाजित। खंड के बीच सेओएमबिंदुएनRADIUSआर1 खंड के बराबरएएन, एक वृत्त का चाप खींचे और एक बिंदु चिह्नित करेंआरइस चाप का उस व्यास के साथ प्रतिच्छेदन जिससे त्रिज्या संबंधित हैओएम... अनुभागएआरएक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा के बराबर है। तो अंत सेएव्यास लंबवतओएम, त्रिज्याआर2 खंड के बराबरएआर, एक वृत्ताकार चाप खींचिए। अंकवीतथाइदिए गए वृत्त के साथ इस चाप के प्रतिच्छेदन पंचभुज के दो शीर्षों को चिह्नित करते हैं।

दो और चोटियाँ (साथतथाडी) त्रिज्या वाले वृत्ताकार चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैंआर2 बिंदुओं पर केंद्रों के साथवीतथाइबिंदुओं पर केन्द्रित दिए गए वृत्त के साथहे... एक नियमित पंचभुज के शीर्षएबीसीडीईदिए गए वृत्त को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।

चावल। 6

एक वृत्त को 7 भागों में विभाजित करना

एक बिंदु पर केन्द्रित वृत्त को उपविभाजित करने के लिएहे(चित्र 6) 7 भागों में, बिंदु 1 . से त्रिज्या के साथ एक सहायक चाप खींचना आवश्यक हैआरदिए गए वृत्त की त्रिज्या के बराबर, जो वृत्त को बिंदु पर काटता हैएम... बिंदु सेएनमैं लंबवत को क्षैतिज केंद्र रेखा पर कम करता हूं। बिंदु सेएत्रिज्या त्रिज्या के बराबरएम.एन., सर्कल के चारों ओर 7 सेरिफ़ बनाएं और सात वांछित बिंदु प्राप्त करें, जो एक नियमित हेप्टागन प्राप्त करते हैंएबीसीडीईएफजी.

चावल। 7

एक वृत्त का समान भागों की मनमानी संख्या में विभाजन

यदि पहले से विचार किए गए विकल्पों में से कोई भी समस्या की स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है, तो एक तकनीक का उपयोग किया जाता है जो आपको सर्कल को समान भागों की मनमानी संख्या में विभाजित करने की अनुमति देता है और मनमाने ढंग से पक्षों की संख्या के साथ समान रूप से अंकित नियमित बहुभुज का निर्माण करता है।

बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त को विभाजित करने के उदाहरण का उपयोग करके ऐसी रचना पर विचार करेंहे(चित्र 8a) 7 बराबर भागों में। सबसे पहले, आपको दो परस्पर लंबवत व्यास खींचने की जरूरत है, जिनमें से एक, उदाहरण के लिए, बिंदु से गुजरनाए, 7 बराबर भागों में विभाजित किया जाना चाहिए, अंक 1 ... 7 द्वारा सीमित। बिंदु सेए, केंद्र से, त्रिज्या के साथआरदिए गए वृत्त के व्यास के बराबर, एक चाप खींचना आवश्यक है, जिसका प्रतिच्छेदन दूसरे व्यास की निरंतरता के साथ अंक निर्धारित करेगाआर1 तथाआर2 ... फिर बिंदुओं के माध्यम सेआर1 तथाआर2 (चित्रा 8बी), और यहां तक ​​कि व्यास को विभाजित करके प्राप्त अंकए7(अंक 2.4 और 6), सीधी रेखाएँ खींचें। अंकवी, साथ, डीतथाइ, एफ, जीदिए गए वृत्त और बिंदु के साथ इन रेखाओं का प्रतिच्छेदनएवृत्त को केंद्र से विभाजित करेंहे7 बराबर भागों में। निर्मित बिंदुओं को क्रमिक रूप से जोड़कर, आप एक वृत्त में अंकित एक नियमित सप्तभुज खींच सकते हैं।

चावल। आठ

निर्देश

संबंध विच्छेद वृत्तचार बराबर भागों में बाँटना बहुत सरल है, यह एक तुच्छ कार्य है। ऐसा करने के लिए, आपको बस एक दूसरे के लंबवत दो केंद्र रेखाएँ खींचने की आवश्यकता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बिंदु वृत्तयू और यह चार भागों में। अधिक बार विभाजित वृत्तचार नहीं, बल्कि आठ बराबर भाग। ऐसा करने के लिए, आपको चाप को, जो वृत्त का एक चौथाई है, दो बराबर भागों में विभाजित करना होगा। फिर एक कंपास लें और इसे छवि में रंग द्वारा इंगित दूरी तक फैलाएं। अब यह केवल पहले प्राप्त चार अंकों में से प्रत्येक से इस दूरी को स्थगित करने के लिए बनी हुई है।

तोड़ने के लिए वृत्ततीन बराबर भागों में, वृत्त की त्रिज्या से पैरों को अलग करें। उसके बाद, अक्षीय रेखाओं और वृत्त के प्रतिच्छेदन के किसी भी बिंदु पर, कम्पास की सुई को सेट करें। सहायक के लिए एक पतली रेखा खींचना वृत्त... प्रतिच्छेदन बिंदुओं और सहायक मंडलियों के साथ-साथ एक बिंदु जो रेखा पर स्थित है, या इसके विपरीत छोर पर तीन बराबर भागों।

और अगर आपको विभाजित करने की आवश्यकता है वृत्तछह बराबर भागों में, फिर आपको लगभग सब कुछ समान करने की आवश्यकता है। फर्क सिर्फ इतना है कि इन्हें दूसरी सेंटरलाइन के लिए दोहराया जाना चाहिए। इस मामले में, आपको एक बार में सर्कल पर छह अंक मिलते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बहुत बार विभाजित करना आवश्यक हो जाता है वृत्तपाँच बराबर भागों में। ऐसा करना भी मुश्किल नहीं है। सबसे पहले, आपको केंद्र रेखा पर त्रिज्या को दो बराबर भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है। यह इस बिंदु पर है कि कम्पास की सुई की आवश्यकता होती है। हालाँकि, लीड को वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु और लंबवत केंद्र रेखा तक ले जाना चाहिए। यह चित्र में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है। इस पर यह दूरी लाल रंग से दिखाई गई है। इस दूरी को वृत्त पर अलग रख दें। आपको केंद्र रेखा से शुरू करने की आवश्यकता है, और फिर सुई को नए परिणामी चौराहे बिंदु पर स्थानांतरित करें। तोड़ने के लिए वृत्तदस भागों में, उपरोक्त सभी चरणों को एक दर्पण छवि में दोहराएं।