रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-तुच्छ और मौलिक समाधान कैसे खोजें। समीकरणों की सजातीय प्रणाली

गॉस विधि के कई नुकसान हैं: यह जानना असंभव है कि सिस्टम संगत है या नहीं जब तक गॉस पद्धति में आवश्यक सभी परिवर्तन नहीं किए गए हैं; गाऊसी विधि अक्षर गुणांक वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त नहीं है।

रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की अन्य विधियों पर विचार कीजिए। ये विधियां मैट्रिक्स के रैंक की अवधारणा का उपयोग करती हैं और किसी भी संयुक्त प्रणाली के समाधान को उस सिस्टम के समाधान तक कम करती हैं जिस पर क्रैमर का नियम लागू होता है।

उदाहरण 1।कम सजातीय प्रणाली के समाधान की मौलिक प्रणाली और अमानवीय प्रणाली के एक विशेष समाधान का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें।

1. मैट्रिक्स की रचना एऔर विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स (1)

2. सिस्टम की जांच करें (1) अनुकूलता के लिए। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स के रैंक पाते हैं एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "चौड़ाई =" 17 "ऊंचाई =" 26 src = ">)। अगर यह पता चलता है, तो सिस्टम (1) असंगत। अगर हम इसे प्राप्त करें , तो यह प्रणाली संगत है और हम इसे हल करेंगे। (संगतता अध्ययन क्रोनकर-कैपेली प्रमेय पर आधारित है।)

ए। हम खोजें आरए.

ढूँढ़ने के लिए आरए, हम क्रमिक रूप से पहले, दूसरे, आदि के गैर-शून्य नाबालिगों पर विचार करेंगे, मैट्रिक्स के आदेश एऔर उनके किनारे नाबालिग।

एम1= 1 ≠ 0 (1 मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से लिया गया है ए).

बॉर्डर एम1इस मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति और दूसरा कॉलम। ... हम सीमा पर जारी रखते हैं एम1दूसरी पंक्ति और तीसरा कॉलम..gif "चौड़ाई =" 37 "ऊंचाई =" 20 src = ">। अब एक गैर-शून्य नाबालिग सीमा एम 2दूसरा आदेश।

हमारे पास है: (चूंकि पहले दो कॉलम समान हैं)

(क्योंकि दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ समानुपाती होती हैं)।

हम देखते है कि आरए = 2, a मैट्रिक्स का मूल नाबालिग है ए.

बी। हम खोजें।

बेसिक माइनर पर्याप्त एम 2मैट्रिक्स एमुक्त सदस्यों और सभी पंक्तियों के एक स्तंभ के साथ सीमा (हमारे पास केवल अंतिम पंक्ति है)।

... इसलिए यह इस प्रकार है कि 3मैट्रिक्स का मूल नाबालिग रहता है https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "चौड़ाई =" 168 ऊंचाई = 75 "ऊंचाई =" 75 "> (2)

चूंकि एम 2- मैट्रिक्स का बेस माइनर एप्रणाली (2) , तो यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है (3) प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (2) (के लिये एम 2मैट्रिक्स ए की पहली दो पंक्तियों में है)।

(3)

चूंकि आधार नाबालिग https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "चौड़ाई =" 153 "ऊंचाई =" 51 "> (4)

इस प्रणाली में, दो मुक्त अज्ञात ( x2 तथा x4 ) इसलिए एफएसआर प्रणाली (4) दो समाधान होते हैं। उन्हें खोजने के लिए, आइए हम इसमें मुक्त अज्ञात जोड़ें (4) मान पहले x2 = 1 , x4 = 0 , और फिर - x2 = 0 , x4 = 1 .

पर x2 = 1 , x4 = 0 हम पाते हैं:

.

यह प्रणाली पहले से ही है एकमात्र वस्तु समाधान (यह क्रैमर के नियम या किसी अन्य तरीके से पाया जा सकता है)। दूसरे समीकरण से पहले को घटाकर, हम प्राप्त करते हैं:

उसका समाधान होगा x1 = -1 , x3 = 0 ... मूल्यों को देखते हुए x2 तथा x4 जो हमने दिया है, हमें सिस्टम का पहला मौलिक समाधान मिलता है (2) : .

अब हम डालते हैं (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... हम पाते हैं:

.

हम इस प्रणाली को क्रैमर के प्रमेय द्वारा हल करते हैं:

.

हमें सिस्टम का दूसरा मौलिक समाधान मिलता है (2) : .

समाधान β1 , β2 और श्रृंगार एफएसआर प्रणाली (2) ... तब इसका सामान्य हल होगा

γ= सी 1 β1 + C2 β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)

यहाँ सी 1 , सी2 - मनमाना स्थिरांक।

4. एक खोजें निजी उपाय विषम प्रणाली(1) ... पैराग्राफ के रूप में 3 , सिस्टम के बजाय (1) समकक्ष प्रणाली पर विचार करें (5) प्रणाली के पहले दो समीकरणों से मिलकर बनता है (1) .

(5)

मुक्त अज्ञात को दाईं ओर ले जाएं x2तथा x4.

(6)

आइए मुफ्त अज्ञात दें x2 तथा x4 मनमाना मूल्य, उदाहरण के लिए x2 = 2 , x4 = 1 और उन्हें प्रतिस्थापित करें (6) ... हमें सिस्टम मिलता है

इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है (क्योंकि इसके निर्धारक 2′0) इसे हल करने पर (क्रैमर प्रमेय या गॉस विधि द्वारा), हम प्राप्त करते हैं x1 = 3 , x3 = 3 ... मुक्त अज्ञात के मूल्यों को देखते हुए x2 तथा x4 , हम पाते हैं एक विषम प्रणाली का विशेष समाधान(1)α1 = (3,2,3,1)।

5. अब लिखना बाकी है अमानवीय प्रणाली का सामान्य समाधान α(1) : यह योग के बराबर है निजी समाधानयह प्रणाली और इसकी कम सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान (2) :

α = α1 + = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)।

इसका मतलब है की: (7)

6. इंतिहान।यह जाँचने के लिए कि क्या आपने सिस्टम को सही ढंग से हल किया है (1) , हमें एक सामान्य समाधान की आवश्यकता है (7) में स्थानापन्न (1) ... यदि प्रत्येक समीकरण पहचान बन जाता है ( सी 1 तथा सी2 नष्ट किया जाना चाहिए), तो समाधान सही ढंग से मिल जाता है।

हम स्थानापन्न करेंगे (7) उदाहरण के लिए, सिस्टम का केवल अंतिम समीकरण (1) (एक्स1 + एक्स2 + एक्स3 ‑9 एक्स4 =‑1) .

हम पाते हैं: (3 - С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) -9 (1 + С2) = - 1

(C1 - C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

जहां से -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है। हम इसे सिस्टम के अन्य सभी समीकरणों के साथ करते हैं (1) .

टिप्पणी।चेक आमतौर पर काफी बोझिल होता है। निम्नलिखित "आंशिक जांच" की सिफारिश की जा सकती है: सिस्टम के समग्र समाधान में (1) मनमाने स्थिरांक के लिए कुछ मान निर्दिष्ट करने के लिए और प्राप्त विशेष समाधान को केवल त्याग किए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित करें (यानी, उन समीकरणों में (1) जो में शामिल नहीं है (5) ) पहचान मिले तो, सबसे अधिक संभावना, सिस्टम समाधान (1) सही पाया गया (लेकिन ऐसा चेक शुद्धता की पूरी गारंटी नहीं देता है!) उदाहरण के लिए, यदि (7) रखना सी2 =- 1 , सी1 = 1, तो हम प्राप्त करते हैं: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0। सिस्टम (1) के अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , अर्थात्, -1 = -1। हमें एक पहचान मिली है।

उदाहरण 2।रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें (1) , बुनियादी अज्ञात को मुक्त लोगों के रूप में व्यक्त करना।

समाधान।के रूप में उदाहरण 1, मैट्रिक्स लिखें एऔर https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "चौड़ाई =" 156 "ऊंचाई =" 50 "> इन मैट्रिक्स में से। अब हम सिस्टम के केवल उन समीकरणों को छोड़ देते हैं (1) , जिसके गुणांक इस मूल नाबालिग में शामिल हैं (यानी, हमारे पास पहले दो समीकरण हैं) और उनमें से एक प्रणाली पर विचार करें जो सिस्टम (1) के बराबर है।

हम इन समीकरणों के दायीं ओर मुक्त अज्ञात को स्थानांतरित करते हैं।

प्रणाली (9) हम गॉस विधि द्वारा हल करते हैं, दाएं हाथ के पक्षों को मुक्त शर्तों पर विचार करते हुए।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "चौड़ाई =" 202 ऊंचाई = 106 "ऊंचाई =" 106 ">

विकल्प 2।

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "चौड़ाई =" 192 "ऊंचाई =" 106 src = ">

विकल्प 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "चौड़ाई =" 172 "ऊंचाई =" 80 ">

विकल्प 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "चौड़ाई =" 179 ऊंचाई = 106 "ऊंचाई =" 106 ">

विकल्प 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "चौड़ाई =" 195 "ऊंचाई =" 106 ">

रैखिक समीकरण कहलाता है सजातीय, यदि इसका मुक्त पद शून्य के बराबर है, और अन्यथा अमानवीय है। सजातीय समीकरणों से युक्त एक प्रणाली को सजातीय कहा जाता है और इसका सामान्य रूप होता है:

जाहिर है, कोई भी सजातीय प्रणाली सुसंगत है और इसका शून्य (तुच्छ) समाधान है। इसलिए, जैसा कि रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियों पर लागू होता है, गैर-शून्य समाधानों के अस्तित्व के प्रश्न का उत्तर खोजना अक्सर आवश्यक होता है। इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है।

प्रमेय . रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल तभी जब इसकी रैंक अज्ञात की संख्या से कम हो .

सबूत: मान लीजिए कि एक प्रणाली जिसका रैंक समान है, का एक गैर-शून्य समाधान है। जाहिर है श्रेष्ठ नहीं। मामले में सिस्टम के पास केवल एक ही समाधान है। चूंकि सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में हमेशा शून्य समाधान होता है, यह वास्तव में शून्य समाधान होता है जो यह अद्वितीय समाधान होगा। इस प्रकार, शून्येतर समाधान केवल के लिए ही संभव हैं।

परिणाम 1 : समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है, हमेशा एक गैर-शून्य समाधान होता है।

सबूत: यदि समीकरणों की प्रणाली, तो प्रणाली की रैंक समीकरणों की संख्या से अधिक नहीं होती है, अर्थात। ... इस प्रकार, शर्त संतुष्ट है और इसलिए, सिस्टम में एक गैर-शून्य समाधान है।

परिणाम 2 : अज्ञात के साथ समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल यदि इसका निर्धारक शून्य हो।

सबूत: मान लीजिए कि रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली जिसका सारणिक के साथ मैट्रिक्स का एक गैर-शून्य समाधान है। फिर, सिद्ध प्रमेय द्वारा, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स पतित है, अर्थात। ...

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय: SLN सुसंगत है यदि और केवल यदि सिस्टम मैट्रिक्स का रैंक इस सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है। उर-वें प्रणाली को जोड़ कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक समाधान हो।

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली.

n चर के साथ m रैखिक ur-s की एक प्रणाली को रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली कहा जाता है यदि सभी मुक्त शब्द 0 के बराबर हैं। रैखिक सजातीय ur-s की प्रणाली हमेशा संगत होती है, क्योंकि इसका हमेशा कम से कम एक शून्य समाधान होता है। रैखिक सजातीय ur-s की एक प्रणाली का एक गैर-शून्य समाधान होता है यदि और केवल यदि चर के लिए इसके गुणांक मैट्रिक्स की रैंक चर की संख्या से कम है, अर्थात। रंग ए पर (एन। कोई भी lin.combination

लिनन प्रणाली के समाधान। सजातीय उर-वें भी इस प्रणाली का एक समाधान है।

रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान е1, е2, ..., еk की एक प्रणाली को मौलिक कहा जाता है यदि सिस्टम का प्रत्येक समाधान समाधानों का एक रैखिक संयोजन है। प्रमेय: यदि रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के चर के लिए गुणांक के मैट्रिक्स का रैंक r चर n की संख्या से कम है, तो सिस्टम के समाधान की किसी भी मौलिक प्रणाली में n-r समाधान होते हैं। इसलिए, लिनन का सामान्य समाधान। एक क्रम। ur-th का रूप है: c1e1 + c2e2 +… + ckek, जहां e1, e2,…, ek समाधान की कोई भी मौलिक प्रणाली है, c1, c2,…, ck मनमानी संख्याएं हैं और k = n-r। n चर वाले m रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल योग के बराबर होता है

संबंधित प्रणाली का सामान्य समाधान सजातीय है। रैखिक उर-एस और इस प्रणाली का एक मनमाना विशेष समाधान।

7. रैखिक रिक्त स्थान। उप-स्थान। आधार, आयाम। रैखिक खोल। रैखिक स्थान कहलाता है n आयामीयदि इसमें रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की एक प्रणाली है, और अधिक वैक्टरों की कोई भी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। नंबर कहा जाता है आयाम (आयामों की संख्या)रैखिक स्थान और निरूपित। दूसरे शब्दों में, किसी स्थान का आयाम इस स्थान के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या है। यदि ऐसी संख्या मौजूद है, तो अंतरिक्ष को परिमित-आयामी कहा जाता है। यदि अंतरिक्ष में किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर से युक्त एक प्रणाली है, तो ऐसे स्थान को अनंत-आयामी कहा जाता है (लिखें :)। इसके अलावा, जब तक अन्यथा न कहा गया हो, परिमित-आयामी रिक्त स्थान पर विचार किया जाएगा।

एक n-आयामी रैखिक स्थान का आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक क्रमबद्ध संग्रह है ( आधार वैक्टर).

प्रमेय 8.1 एक सदिश के एक आधार पर प्रसार पर। यदि एक एन-आयामी रैखिक स्थान का आधार है, तो किसी भी वेक्टर को आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

वी = वी1 * ई1 + वी2 * ई2 +… + वीएन + एन
और, इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से, अर्थात्। गुणांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर को आधार पर और इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से विघटित किया जा सकता है।

दरअसल, अंतरिक्ष का आयाम बराबर है। वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है (यह आधार है)। किसी भी वेक्टर को आधार से जोड़ने के बाद, हम एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त करते हैं (चूंकि इस प्रणाली में n-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर होते हैं)। रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के गुण 7 से, हम प्रमेय का निष्कर्ष प्राप्त करते हैं।

रैखिक बीजीय समीकरणों की सजातीय प्रणाली

पाठों के भीतर गॉस विधितथा एक सामान्य समाधान के साथ असंगत सिस्टम / सिस्टमहमने माना रैखिक समीकरणों की अमानवीय प्रणाली, कहाँ पे स्वतंत्र सदस्य(जो आमतौर पर दाईं ओर होता है) कम से कम एकसमीकरणों की संख्या शून्य नहीं थी।
और अब, एक अच्छे वार्म-अप के बाद मैट्रिक्स की रैंक, हम तकनीक को पीसना जारी रखेंगे प्राथमिक परिवर्तनपर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली.
पहले पैराग्राफ में, सामग्री उबाऊ और साधारण लग सकती है, लेकिन यह धारणा धोखा दे रही है। तकनीकों को और विकसित करने के अलावा बहुत सी नई जानकारी होगी, इसलिए कृपया इस लेख में उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें।

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली क्या है?

जवाब खुद ही बताता है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सजातीय है यदि मुक्त पद प्रत्येक कीसिस्टम के समीकरण शून्य के बराबर हैं। उदाहरण के लिए:

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि एक सजातीय प्रणाली हमेशा संगत होती है, यानी इसका हमेशा एक समाधान होता है। और, सबसे बढ़कर, तथाकथित तुच्छउपाय ... तुच्छ, उन लोगों के लिए जो विशेषण का अर्थ बिल्कुल नहीं समझते हैं, का अर्थ है bespontov। अकादमिक नहीं, निश्चित रूप से, लेकिन समझदार =) ... झाड़ी के चारों ओर क्यों मारो, आइए जानें कि क्या इस प्रणाली के पास कोई अन्य समाधान है:

उदाहरण 1

समाधान: एक सजातीय प्रणाली को हल करने के लिए लिखना आवश्यक है सिस्टम मैट्रिक्सऔर प्रारंभिक परिवर्तनों की सहायता से इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं। कृपया ध्यान दें कि यहां फ्री मेंबर्स का वर्टिकल बार और जीरो कॉलम लिखने की जरूरत नहीं है - आखिर आप जीरो के साथ जो भी करेंगे, वे जीरो ही रहेंगे:

(1) पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(2) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समान सजातीय प्रणाली प्राप्त की गई थी , और, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स को लागू करने से, यह सत्यापित करना आसान है कि समाधान अद्वितीय है।

उत्तर:

आइए हम एक स्पष्ट मानदंड तैयार करें: रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली में है केवल तुच्छ समाधान, अगर सिस्टम मैट्रिक्स रैंक(इस मामले में 3) चर की संख्या के बराबर है (इस मामले में - 3 पीसी।)।

हम अपने रेडियो रिसीवर को प्राथमिक परिवर्तनों की लहर में गर्म और ट्यून करते हैं:

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

लेख से मैं मैट्रिक्स की रैंक कैसे प्राप्त करूं?आव्यूह संख्याओं को एक साथ घटाने की परिमेय विधि याद रखें। अन्यथा, आपको बड़ी और अक्सर काटने वाली मछलियों को काटना होगा। पाठ के अंत में असाइनमेंट का अनुमानित नमूना।

शून्य अच्छे और सुविधाजनक होते हैं, लेकिन व्यवहार में मामला तब अधिक सामान्य होता है जब सिस्टम के मैट्रिक्स की पंक्तियाँ होती हैं रैखिक रूप से आश्रित... और फिर एक सामान्य समाधान का उदय अपरिहार्य है:

उदाहरण 3

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें

समाधान: हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं। पहली क्रिया का उद्देश्य न केवल एक मान प्राप्त करना है, बल्कि पहले कॉलम में संख्याओं को कम करना भी है:

(1) तीसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके पहली पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। ऊपर बाईं ओर, मुझे "माइनस" वाली एक इकाई मिली, जो अक्सर आगे के परिवर्तनों के लिए बहुत अधिक सुविधाजनक होती है।

(2) पहली दो पंक्तियाँ समान हैं, उनमें से एक को हटा दिया गया है। ईमानदारी से, मैंने समाधान में जल्दबाजी नहीं की - यह बस हो गया। यदि आप किसी टेम्पलेट में परिवर्तन करते हैं, तो रैखिक संबंधथोड़ी देर बाद लाइनें दिखाई देंगी।

(3) दूसरी पंक्ति, 3 से गुणा करके, तीसरी पंक्ति में जोड़ी गई।

(4) पहली पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समान प्रणाली प्राप्त की गई थी:

एल्गोरिथ्म ठीक उसी तरह काम करता है जैसे for विषम प्रणाली... चर "कदमों पर बैठे" मुख्य हैं, वे चर जिन्हें "चरण" नहीं मिला है, वह मुफ़्त है।

आइए बुनियादी चरों को एक मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर: आम निर्णय:

सामान्य सूत्र में एक तुच्छ समाधान शामिल है, और इसे अलग से लिखना अनावश्यक है।

चेक भी सामान्य योजना के अनुसार किया जाता है: परिणामी सामान्य समाधान को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए और सभी प्रतिस्थापनों के लिए एक कानूनी शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए।

इस पर कोई चुपचाप और शांति से समाप्त कर सकता है, लेकिन समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान को अक्सर प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है वेक्टर रूप मेंके जरिए मौलिक निर्णय प्रणाली... कृपया अस्थायी रूप से भूल जाएं विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अब से हम सामान्य बीजगणितीय अर्थों में वैक्टर के बारे में बात करेंगे, जिसे मैंने एक लेख में थोड़ा खोला था मैट्रिक्स रैंक... शब्दावली को अस्पष्ट करने की कोई आवश्यकता नहीं है, सब कुछ काफी सरल है।

होने देना एम 0 रैखिक समीकरणों के समांगी निकाय (4) के हलों का समुच्चय है।

परिभाषा 6.12.वैक्टर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथजो रैखिक समीकरणों की एक समांगी प्रणाली के समाधान कहलाते हैं समाधान का एक मौलिक सेट(एफएनआर के रूप में संक्षिप्त) यदि

1) वैक्टर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथरैखिक रूप से स्वतंत्र (अर्थात, उनमें से कोई भी दूसरों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है);

2) रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के किसी अन्य समाधान को समाधान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथ.

ध्यान दें कि अगर साथ 1 ,साथ 2 , …, पी के साथ- कोई f.n.r., फिर व्यंजक क 1 × साथ 1 + क 2 × साथ 2 + … + कश्मीर पी× पी के साथपूरा सेट एमसिस्टम के 0 समाधान (4), इसलिए इसे कहा जाता है सिस्टम समाधान का सामान्य दृश्य (4).

प्रमेय 6.6।रैखिक समीकरणों की किसी भी अनिश्चित सजातीय प्रणाली में समाधानों का एक मौलिक समूह होता है।

समाधान के मूलभूत सेट को खोजने का तरीका इस प्रकार है:

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली का सामान्य समाधान खोजें;

निर्माण ( एन – आर) इस प्रणाली के विशेष समाधान, जबकि मुक्त अज्ञात के मूल्यों को एक इकाई मैट्रिक्स बनाना चाहिए;

इसमें शामिल समाधान का एक सामान्य दृष्टिकोण लिखें एम 0 .

उदाहरण 6.5।निम्नलिखित प्रणाली के लिए समाधान का एक मौलिक सेट खोजें:

समाधान... आइए इस प्रणाली का एक सामान्य समाधान खोजें।

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ इस प्रणाली में, पांच अज्ञात ( एन= 5), जिनमें से दो मुख्य अज्ञात हैं ( आर= 2), तीन मुक्त अज्ञात ( एन – आर), यानी मौलिक समाधान सेट में तीन समाधान वैक्टर होते हैं। आइए उनका निर्माण करें। हमारे पास है एक्स 1 और एक्स 3 - मुख्य अज्ञात, एक्स 2 , एक्स 4 , एक्स 5 - मुक्त अज्ञात

मुक्त अज्ञात के मूल्य एक्स 2 , एक्स 4 , एक्स 5 पहचान मैट्रिक्स बनाते हैं इतीसरा आदेश। हमें वह वैक्टर मिल गया है साथ 1 ,साथ 2 , साथ 3 फॉर्म एफ.एन.आर. यह प्रणाली। तब इस समांगी निकाय के विलयनों का समुच्चय होगा एम 0 = {क 1 × साथ 1 + क 2 × साथ 2 + क 3 × साथ 3 , क 1 , क 2 , क 3 आर)।

आइए अब हम रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-शून्य समाधानों के अस्तित्व के लिए शर्तों को स्पष्ट करते हैं, दूसरे शब्दों में, समाधानों के एक मौलिक सेट के अस्तित्व के लिए शर्तें।

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में गैर-शून्य समाधान होते हैं, अर्थात यह अनिश्चित होता है यदि

1) सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है;

2) रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है;

3) यदि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली में समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और मूल मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है (अर्थात, | ए| = 0).

उदाहरण 6.6... पैरामीटर के किस मान पर एरैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली गैर-शून्य समाधान हैं?

समाधान... आइए इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स की रचना करें और इसके सारणिक खोजें: = = 1 × (-1) 1 + 1 × = - ए- 4. इस मैट्रिक्स का निर्धारक के लिए शून्य के बराबर है ए = –4.

उत्तर: –4.

7. अंकगणित एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष

मूल अवधारणा

पिछले अनुभागों में, हम पहले से ही एक विशिष्ट क्रम में व्यवस्थित वास्तविक संख्याओं के एक समूह की अवधारणा का सामना कर चुके हैं। यह एक पंक्ति (या स्तंभ) मैट्रिक्स है और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान है एनअनजान। इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

परिभाषा 7.1. एन-आयामी अंकगणितीय वेक्टरका क्रमित समुच्चय कहलाता है एनवास्तविक संख्याये।

माध्यम ए= (ए 1, ए 2, ..., ए एन), जहाँ एक मैंआर, मैं = 1, 2, …, एन- वेक्टर का सामान्य दृश्य। संख्या एनबुलाया आयामवेक्टर, और संख्याएँ a मैंउसे बुलाया COORDINATES.

उदाहरण के लिए: ए= (1, -8, 7, 4,) एक पंचविमीय सदिश है।

पूरा सेट एन-आयामी वैक्टर को आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है आर नहीं.

परिभाषा 7.2.दो वैक्टर ए= (ए 1, ए 2, ..., ए एन) तथा बी= (बी 1, बी 2, ..., बी एन) एक ही आयाम के बराबर हैंयदि और केवल यदि उनके संगत निर्देशांक समान हैं, अर्थात् a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a एन= बी एन.

परिभाषा 7.3.योगदो एन-आयामी वैक्टर ए= (ए 1, ए 2, ..., ए एन) तथा बी= (बी 1, बी 2, ..., बी एन) को सदिश कहा जाता है ए + बी= (ए 1 + बी 1, ए 2 + बी 2, ..., ए एन+ बी एन).

परिभाषा 7.4. उत्पाद द्वारावास्तविक संख्या कप्रति वेक्टर ए= (ए 1, ए 2, ..., ए एन) को सदिश कहा जाता है क× ए = (क× ए 1, क× ए 2,…, क× ए एन)

परिभाषा 7.5.वेक्टर हे= (0, 0, ..., 0) कहा जाता है शून्य(या शून्य वेक्टर).

यह जांचना आसान है कि वैक्टर जोड़ने और उन्हें वास्तविक संख्या से गुणा करने की क्रियाओं (संचालन) में निम्नलिखित गुण हैं: " ए, बी, सी Î आर नहीं, " क, मैंआर:

1) ए + बी = बी + ए;

2) ए + (बी+ सी) = (ए + बी) + सी;

3) ए + हे = ए;

4) ए+ (–ए) = हे;

5) 1 × ए = ए, 1 आर;

6) क×( मैं× ए) = मैं×( क× ए) = (मैं× क)× ए;

7) (क + मैं)× ए = क× ए + मैं× ए;

8) क×( ए + बी) = क× ए + क× बी.

परिभाषा 7.6.गुच्छा आर नहींइस पर दिए गए सदिशों के योग और वास्तविक संख्या से उनके गुणन की संक्रियाएँ कहलाती हैं अंकगणित एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष.

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क्या है समझने के लिए मौलिक निर्णय प्रणालीआप क्लिक करके उसी उदाहरण के लिए एक वीडियो ट्यूटोरियल देख सकते हैं। अब आइए सभी आवश्यक कार्यों के वास्तविक विवरण पर चलते हैं। इससे आपको इस मुद्दे के सार को और अधिक विस्तार से समझने में मदद मिलेगी।

एक रैखिक समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली कैसे खोजें?

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली लें:

आइए समीकरणों की इस रैखिक प्रणाली का हल खोजें। शुरू करने के लिए, हम सिस्टम के गुणांकों के मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

आइए इस मैट्रिक्स को त्रिकोणीय में बदलें।हम बिना बदलाव के पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं। और सभी तत्व जो $a_ (11)$ के अंतर्गत हैं, उन्हें शून्य कर दिया जाना चाहिए। तत्व $ a_ (21) $ के स्थान पर शून्य करने के लिए, दूसरी पंक्ति से पहली घटाएँ, और दूसरी पंक्ति में अंतर लिखें। तत्व $a_ (31)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए तीसरी पंक्ति से पहली घटाकर तीसरी पंक्ति में अंतर लिखिए। तत्व $ a_ (41) $ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए चौथी पंक्ति से पहले को 2 से गुणा करके चौथी पंक्ति में अंतर लिखिए। तत्व $ a_ (31) $ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए, पाँचवीं पंक्ति से पहले को 2 से गुणा करके पाँचवीं पंक्ति में अंतर लिखिए।

हम पहली और दूसरी पंक्तियों को बिना किसी बदलाव के फिर से लिखते हैं। और सभी तत्व जो $a_ (22)$ के अंतर्गत हैं, उन्हें शून्य कर दिया जाना चाहिए। तत्व $ a_ (32) $ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए तीसरी पंक्ति से दूसरे को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में अंतर लिखिए। तत्व $a_(42)$ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए चौथी पंक्ति से दूसरी को 2 से गुणा करके चौथी पंक्ति में अंतर लिखिए। तत्व $ a_ (52) $ के स्थान पर शून्य बनाने के लिए पाँचवीं पंक्ति से दूसरे को 3 से गुणा करके पाँचवीं पंक्ति में अंतर लिखिए।

हम देखते है कि अंतिम तीन पंक्तियाँ समान हैंइसलिए, यदि आप चौथे और पांचवें में से तीसरा घटाते हैं, तो वे शून्य हो जाएंगे।

इस मैट्रिक्स के अनुसार समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखें.

हम देखते हैं कि हमारे पास केवल तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरण हैं, और पांच अज्ञात हैं, इसलिए समाधान की मूलभूत प्रणाली में दो वैक्टर शामिल होंगे। सो हम् आपको अंतिम दो अज्ञात को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है.

अब, हम उन अज्ञातों को व्यक्त करना शुरू करते हैं जो बाईं ओर हैं जो दाईं ओर हैं। हम अंतिम समीकरण से शुरू करते हैं, पहले हम $ x_3 $ व्यक्त करते हैं, फिर हम प्राप्त परिणाम को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और $ x_2 $ व्यक्त करते हैं, और फिर पहले समीकरण में और यहां हम $ x_1 $ व्यक्त करते हैं। इस प्रकार, हम बाईं ओर के सभी अज्ञात को दाईं ओर अज्ञात के माध्यम से व्यक्त करते हैं।

उसके बाद, $ x_4 $ और $ x_5 $ के बजाय, हम किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और $ x_1 $, $ x_2 $ और $ x_3 $ ढूंढ सकते हैं। इन पांच संख्याओं में से प्रत्येक हमारे समीकरणों की मूल प्रणाली की जड़ें होंगी। में शामिल सदिशों को खोजने के लिए एफएसआरहमें $ x_4 $ के बजाय 1 को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और $ x_5 $ के बजाय 0 को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, $ x_1 $, $ x_2 $ और $ x_3 $ खोजें, और फिर इसके विपरीत $ x_4 = 0 $ और $ x_5 = 1 $।