समलम्ब चतुर्भुज का योग क्या होता है। एक ट्रेपोजॉइड क्या है

पाठ विषय

चतुर्भुज

पाठ मकसद

ज्यामिति में नई परिभाषाओं का परिचय देना जारी रखें;
पहले से अध्ययन की गई ज्यामितीय आकृतियों के बारे में ज्ञान को समेकित करना;
ट्रेपेज़ॉइड के गुणों के निर्माण और प्रमाण से परिचित होना;
समस्याओं को हल करने और कार्यों को पूरा करने में विभिन्न आकृतियों के गुणों के उपयोग को सिखाने के लिए;
स्कूली बच्चों में ध्यान, तार्किक सोच और गणितीय भाषण विकसित करना जारी रखें;
विषय में रुचि पैदा करें।

पाठ मकसद

ज्यामिति के ज्ञान में रुचि जगाना;
समस्या समाधान में छात्रों को प्रशिक्षित करना जारी रखें;
गणित के पाठों में संज्ञानात्मक रुचि जगाना।

शिक्षण योजना

1. पहले अध्ययन की गई सामग्री की समीक्षा करें।
2. ट्रेपोजॉइड, इसके गुणों और संकेतों से परिचित हों।
3. समस्याओं को हल करना और कार्यों को पूरा करना।

पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति

पिछले पाठ में आप चतुर्भुज जैसी आकृति से परिचित हुए थे। आइए कवर की गई सामग्री को समेकित करें और पूछे गए प्रश्नों के उत्तर दें:

1. एक 4-गॉन में कितने कोण और भुजाएँ होती हैं?
2. 4-गॉन की परिभाषा तैयार करें?
3. 4-गॉन के विपरीत पक्षों का नाम क्या है?
4. आप किस प्रकार के चतुर्भुजों को जानते हैं? उन्हें सूचीबद्ध करें और प्रत्येक को परिभाषित करें।
5. एक उत्तल और गैर-उत्तल चतुर्भुज का एक उदाहरण बनाइए।

ट्रेपेज़ियम। सामान्य गुण और परिभाषा

समलम्ब चतुर्भुज एक आयताकार आकार है जिसमें विपरीत पक्षों का केवल एक जोड़ा समानांतर होता है।

ज्यामितीय परिभाषा में, एक ट्रैपेज़ॉयड एक 4-गॉन को संदर्भित करता है जिसमें दो समानांतर पक्ष होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं।

"ट्रेपेज़ियम" जैसी असामान्य आकृति का नाम "ट्रेपेज़ियम" शब्द से आया है, जिसका ग्रीक से अनुवाद "टेबल" शब्द है, जिससे "भोजन" शब्द और अन्य संबंधित शब्द भी उत्पन्न हुए हैं।

कुछ मामलों में, एक समलम्ब चतुर्भुज में, विपरीत पक्षों की एक जोड़ी समानांतर होती है, और इसकी दूसरी जोड़ी समानांतर नहीं होती है। इस मामले में, ट्रेपोजॉइड को घुमावदार कहा जाता है।

समलंब तत्व

एक ट्रेपोजॉइड आधार, साइडलाइन, सेंटरलाइन और सेंटरलाइन ऊंचाई जैसे तत्वों से बना होता है।

समलम्ब चतुर्भुज के आधार को इसकी समानांतर भुजाएँ कहते हैं;
भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज की अन्य दो भुजाएँ कहा जाता है, जो समानांतर नहीं होती हैं;
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा को वह खंड कहा जाता है जो इसके पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है;
एक समलंब की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है।

ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार

व्यायाम:

1. समद्विबाहु समलंब की परिभाषा बनाइए।
2. किस समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है?
3. न्यूनकोण समलम्ब चतुर्भुज का क्या अर्थ है?
4. कौन सा समलम्ब चतुर्भुज अधिक है?

समलम्ब चतुर्भुज के सामान्य गुण

सबसे पहले, समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आकृति के आधार के समानांतर है और इसके आधे योग के बराबर है;

दूसरे, एक 4-पक्षीय आकृति के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड इसके आधारों के आधे-अंतर के बराबर है;

तीसरा, एक समलम्ब चतुर्भुज में, समानांतर सीधी रेखाएँ जो किसी दी गई आकृति के कोने के किनारों को काटती हैं, कोने के किनारों से आनुपातिक खंडों को काट देती हैं।

चौथा, किसी भी प्रकार के समलम्ब चतुर्भुज में उसकी पार्श्व भुजा को जोड़ने वाले कोणों का योग 180° होता है।

ट्रेपेज़ॉइड और कहाँ मौजूद है?

शब्द "ट्रेपेज़ॉइड" न केवल ज्यामिति में मौजूद है, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में इसका व्यापक अनुप्रयोग है।

हम इस असामान्य शब्द का सामना तब कर सकते हैं जब जिमनास्टों की खेल प्रतियोगिताओं को एक ट्रैपेज़ पर कलाबाजी अभ्यास करते हुए देखते हैं। जिम्नास्टिक में, एक ट्रेपेज़ को एक खेल उपकरण कहा जाता है, जिसमें दो रस्सियों से निलंबित एक क्रॉसबार होता है।

इसके अलावा, इस शब्द को जिम में व्यायाम करते समय या शरीर सौष्ठव में लगे लोगों के बीच सुना जा सकता है, क्योंकि ट्रेपेज़ न केवल एक ज्यामितीय आकृति या एक खेल कलाबाजी उपकरण है, बल्कि गर्दन के पीछे स्थित शक्तिशाली पीठ की मांसपेशियां भी हैं।

यह आंकड़ा एक हवाई ट्रेपेज़ दिखाता है, जिसका आविष्कार फ्रांस में उन्नीसवीं शताब्दी में कलाकार जूलियस लियोटार्ड द्वारा सर्कस कलाबाजों के लिए किया गया था। प्रारंभ में, इस संख्या के निर्माता ने अपने प्रक्षेप्य को कम ऊंचाई पर स्थापित किया, लेकिन अंत में इसे सर्कस के बहुत गुंबद में ले जाया गया।

ट्रैपेज़-ट्रैपेज़ ट्रैपेज़-टू-ट्रैपेज़ फ़्लाइट ट्रिक्स, क्रॉस फ़्लाइट्स, और हवा में सोमरसल्ट्स सर्कस में ट्रैपेज़ कलाकारों द्वारा किए जाते हैं।

घुड़सवारी के खेल में, घोड़े के शरीर को खींचने या खींचने के लिए एक ट्रेपेज़ एक व्यायाम है, जो जानवर के लिए बहुत फायदेमंद और सुखद है। ट्रेपेज़ियम स्थिति में घोड़े की स्थिति के दौरान, जानवर के पैरों या उसकी पीठ की मांसपेशियों को खींचना काम करता है। हम धनुष या तथाकथित "फ्रंट क्रंच" के दौरान इस खूबसूरत अभ्यास का निरीक्षण कर सकते हैं, जब घोड़ा गहराई से झुकता है।

असाइनमेंट: अपने उदाहरण दें कि रोजमर्रा की जिंदगी में आप "ट्रेपेज़ॉइड" शब्द कहाँ सुन सकते हैं?

क्या आप जानते हैं कि 1947 में पहली बार प्रसिद्ध फ्रांसीसी फैशन डिजाइनर क्रिश्चियन डायर ने एक फैशन शो का प्रदर्शन किया था जिसमें एक ट्रेपेज़ स्कर्ट का सिल्हूट मौजूद था। और यद्यपि साठ से अधिक वर्ष बीत चुके हैं, यह सिल्हूट अभी भी प्रचलन में है, और आज तक इसकी प्रासंगिकता नहीं खोता है।

इंग्लैंड की रानी की अलमारी में, एक ट्रेपेज़ स्कर्ट एक अनिवार्य वस्तु और उसका कॉलिंग कार्ड बन गया है।

एक ट्रेपेज़ के ज्यामितीय आकार की याद ताजा करती है, उसी नाम की स्कर्ट किसी भी स्वेटर, ब्लाउज, टॉप और जैकेट के साथ अच्छी तरह से चलती है। इस लोकप्रिय शैली की क्लासिक और लोकतांत्रिक प्रकृति आपको इसे सख्त जैकेट और थोड़े तुच्छ टॉप के साथ पहनने की अनुमति देती है। ऑफिस और डिस्को दोनों जगह इस तरह की स्कर्ट में दिखना मुनासिब रहेगा।

समलंब समस्या

ट्रेपेज़ियम के साथ समस्याओं के समाधान की सुविधा के लिए, कुछ बुनियादी नियमों को याद रखना महत्वपूर्ण है:

सबसे पहले, दो ऊंचाइयां बनाएं: बीएफ और एसके।

एक मामले में, परिणामस्वरूप आपको एक आयत - बीसीएफके मिलेगा जिससे यह स्पष्ट है कि एफके = बीसी।

एडी = एएफ + एफके + केडी, इसलिए एडी = एएफ + बीसी + केडी।

इसके अलावा, यह तुरंत स्पष्ट है कि ABF और DSC समकोण त्रिभुज हैं।

एक अन्य विकल्प संभव है, जब समलंब काफी मानक नहीं है, जहां

एडी = एएफ + एफडी = एएफ + एफके - डीके = एएफ + बीसी - डीके।

लेकिन सबसे आसान विकल्प यह है कि यदि हमारा समलम्ब समद्विबाहु है। तब समस्या को हल करना और भी आसान हो जाता है, क्योंकि ABF और DSC समकोण त्रिभुज हैं, और वे बराबर हैं। AB = CD, क्योंकि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, और BF = SK, समलंब की ऊँचाई के रूप में। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य संगत भुजाओं की समानता से है।

विभिन्न परीक्षणों और परीक्षाओं की सामग्री में, यह खोजना बहुत आम है समलम्बाकार कार्य, जिसके समाधान के लिए इसके गुणों का ज्ञान आवश्यक है।

आइए जानें कि समस्याओं को हल करने के लिए एक समलम्ब चतुर्भुज में कौन से दिलचस्प और उपयोगी गुण हैं।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के गुणों का अध्ययन करने के बाद, हम सूत्र बना सकते हैं और सिद्ध कर सकते हैं समलम्ब चतुर्भुज विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का गुण... समलम्ब चतुर्भुज विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है।

MO त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है और 1/2BC के बराबर है (चित्र .1)।

MQ त्रिभुज ABD की मध्य रेखा है और 1/2AD के बराबर है।

तब OQ = MQ - MO, इसलिए, OQ = 1/2AD - 1/2BC = 1/2 (AD - BC)।

एक ट्रेपोजॉइड पर कई समस्याओं को हल करते समय, मुख्य तकनीकों में से एक इसमें दो ऊंचाइयों को पकड़ना है।

निम्न पर विचार करें टास्क.

मान लें कि BT एक समद्विबाहु समलम्बाकार ABCD की ऊंचाई है जिसके आधार BC और AD हैं, और BC = a, AD = b है। रेखाखंडों AT और TD की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।

समस्या का समाधान सीधा है (रेखा चित्र नम्बर 2), लेकिन यह आपको प्राप्त करने की अनुमति देता है एक अधिक कोण के शीर्ष से खींचे गए समद्विबाहु समलंब की ऊँचाई का गुण: एक समद्विबाहु समलम्बाकार की ऊंचाई, एक अधिक कोण के शीर्ष से खींची गई, बड़े आधार को दो खंडों में विभाजित करती है, जिनमें से छोटा आधारों के आधे-अंतर के बराबर होता है, और बड़ा आधा-योग के बराबर होता है ठिकानों की।

एक ट्रेपोजॉइड के गुणों का अध्ययन करते समय, आपको समानता जैसी संपत्ति पर ध्यान देने की आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण इसे चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और आधारों से सटे त्रिभुज समान होते हैं, और पार्श्व भुजाओं से सटे त्रिभुज समान होते हैं। इस कथन को कहा जा सकता है त्रिभुजों का वह गुण जिसमें समलम्ब चतुर्भुज को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है... इसके अलावा, कथन का पहला भाग दो कोणों में त्रिभुजों की समानता की कसौटी के माध्यम से बहुत आसानी से सिद्ध होता है। आइए साबित करेंकथन का दूसरा भाग।

त्रिभुज BOC और COD की ऊँचाई समान होती है (अंजीर। 3), यदि हम खंडों BO और OD को उनके आधार के रूप में लेते हैं। तब एस बीओसी / एस सीओडी = बीओ / ओडी = के। इसलिए, एस सीओडी = 1 / के एस बीओसी।

इसी तरह, त्रिभुज BOC और AOB की ऊंचाई समान होती है यदि खंड CO और OA को उनके आधार के रूप में लिया जाए। फिर एस बीओसी / एस एओबी = सीओ / ओए = के और एस ए ओ बी = 1 / के एस बीओसी।

इन दो वाक्यों से यह निष्कर्ष निकलता है कि S COD = S A O B.

हम तैयार किए गए बयान पर ध्यान नहीं देंगे, लेकिन पाएंगे त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच संबंध जिसमें समलम्ब चतुर्भुज को उसके विकर्णों द्वारा विभाजित किया जाता है... ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करेंगे।

बिंदु O को समलम्ब चतुर्भुज ABCD के आधारों BC और AD के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। यह ज्ञात है कि त्रिभुज BOC और AOD के क्षेत्रफल क्रमशः S 1 और S 2 के बराबर हैं। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चूँकि S COD = S A O B, तो S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD।

त्रिभुज BОC और AOD की समानता से यह इस प्रकार है कि BO / OD = (S₁ / S 2)।

इसलिए, S₁ / S COD = BO / OD = (S₁ / S 2), और इसलिए S COD = (S 1 S 2)।

तब एस एबीसी डी = एस 1 + एस 2 + 2√ (एस 1 एस 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

समानता के प्रयोग से यह सिद्ध होता है कि आधारों के समानांतर समलम्बाकार विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले रेखाखंड का गुण.

विचार करना टास्क:

मान लीजिए कि बिंदु O समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जिसके आधार BC और AD हैं। बीसी = ए, एडी = बी। आधारों के समानांतर समलम्बाकार विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले खंड PK की लंबाई ज्ञात कीजिए। PK को बिंदु O (चित्र 4) से किस खंड में विभाजित किया गया है?

त्रिभुज AOD और BOC की समानता से यह पता चलता है कि AO / OС = AD / BC = b / a।

त्रिभुज AOP और ACB की समानता से यह पता चलता है कि AO / AC = PO / BC = b / (a ​​+ b)।

इसलिए पीओ = बीसी बी / (ए + बी) = एबी / (ए + बी)।

इसी प्रकार, त्रिभुज DOK और DBC की समानता से, यह निम्नानुसार है कि OK = ab / (a ​​+ b)।

अतः PO = OK और PK = 2ab/(a + b)।

तो, सिद्ध संपत्ति को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: ट्रेपेज़ॉइड के आधार के समानांतर एक खंड, विकर्णों के चौराहे के बिंदु से गुजरता है और पार्श्व पक्षों पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, विकर्णों के चौराहे के बिंदु से विभाजित होता है। आधा। इसकी लंबाई समलम्बाकार आधार का हार्मोनिक माध्य है।

अगले चार बिंदु संपत्ति: एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, पार्श्व पक्षों की निरंतरता का प्रतिच्छेदन बिंदु, समलंब के आधारों के मध्यबिंदु एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।

त्रिभुज बीएससी और एएसडी समान हैं (अंजीर। 5)और उनमें से प्रत्येक में माध्यिकाएँ ST और SG शीर्ष S पर कोण को बराबर भागों में विभाजित करती हैं। नतीजतन, बिंदु S, T और G संरेख हैं।

इसी तरह, बिंदु T, O और G एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह त्रिभुज BOC और AOD की समानता का अनुसरण करता है।

इसलिए, सभी चार बिंदु S, T, O और G एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

आप एक समलम्ब को दो समान भागों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई भी ज्ञात कर सकते हैं।

यदि समलम्ब चतुर्भुज ALFD और LBCF समान हैं (अंजीर। 6)तब ए / एलएफ = एलएफ / बी।

अत: LF = (ab)।

इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज को दो समान समलंबों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई आधारों की लंबाई के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।

आइए साबित करें समलम्ब को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाले रेखाखंड का गुणधर्म.

माना समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल S (अंजीर। 7)। h 1 और h 2 ऊँचाई के भाग हैं, और x वांछित खंड की लंबाई है।

फिर एस/2 = एच 1 (ए + एक्स)/2 = एच 2 (बी + एक्स)/2 और

एस = (एच 1 + एच 2) (ए + बी) / 2।

आइए एक प्रणाली की रचना करें

(एच 1 (ए + एक्स) = एच 2 (बी + एक्स)
(एच 1 (ए + एक्स) = (एच 1 + एच 2) (ए + बी) / 2।

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x = (1/2 (a 2 + b 2)) प्राप्त होता है।

इस तरह, समलम्ब चतुर्भुज को दो समान आकारों में विभाजित करने वाले खंड की लंबाई ((a 2 + b 2) / 2) है(आधार लंबाई का मूल माध्य वर्ग)।

इसलिए, AD और BC (BC = a, AD = b) के आधार वाले समलम्बाकार ABCD के लिए, हमने सिद्ध किया कि खंड:

1) एमएन, ट्रैपेज़ॉयड के पार्श्व पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने, आधारों के समानांतर है और उनके अर्ध-योग (संख्याओं ए और बी का अंकगणितीय माध्य) के बराबर है;

2) आधारों के समानांतर समलम्बाकार विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाला पीके बराबर है
2ab / (a ​​+ b) (संख्याओं का हार्मोनिक माध्य a और b);

3) एक समलम्ब को दो समान समलंबों में विभाजित करने वाले LF की लंबाई संख्या a और b के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है, (ab);

4) ईएच, एक समलम्ब को दो बराबर आकारों में विभाजित करते हुए, लंबाई √ ((एक 2 + बी 2) / 2) (संख्याओं ए और बी का औसत वर्ग) है।

अंकित और वर्णित समलम्बाकार का चिन्ह और गुण।

अंकित समलम्बाकार गुण:एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि यह समद्विबाहु है।

वर्णित ट्रेपोजॉइड के गुण।एक समलंब चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि और केवल यदि आधारों की लंबाई का योग पार्श्व पक्षों की लंबाई के योग के बराबर हो।

इस तथ्य के उपयोगी परिणाम कि एक वृत्त एक समलम्ब में अंकित है:

1. वर्णित ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई खुदे हुए वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर है।

2. वर्णित ट्रैपेज़ॉइड का पार्श्व पक्ष एक समकोण पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र से दिखाई देता है।

पहला स्पष्ट है। दूसरे उपफल को सिद्ध करने के लिए यह स्थापित करना आवश्यक है कि COD कोण सीधा है, जो कठिन भी नहीं है। लेकिन इस परिणाम का ज्ञान समस्याओं को हल करते समय एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करने की अनुमति देता है।

हम कंक्रीट करते हैं समद्विबाहु परिचालित समलम्बाकार के लिए परिणाम:

समलम्बाकार वर्णित समद्विबाहु की ऊंचाई समलंब के आधार का ज्यामितीय माध्य है
एच = 2r = (एबी)।

विचार किए गए गुण आपको ट्रेपेज़ॉइड को और अधिक गहराई से समझने और इसके गुणों के आवेदन पर समस्याओं को हल करने में सफलता सुनिश्चित करने की अनुमति देंगे।

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पाठ का उद्देश्य:

• शिक्षण- एक समलम्ब की अवधारणा का परिचय दें, समलम्ब के प्रकारों से परिचित हों, एक समलंब के गुणों का अध्ययन करें, छात्रों को समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त ज्ञान को लागू करना सिखाएं;
• विकसित होना- छात्रों के संचार गुणों का विकास, प्रयोग करने की क्षमता का विकास, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालना, विषय में रुचि विकसित करना।
• शिक्षात्मक- ध्यान को शिक्षित करना, सफलता की स्थिति बनाना, कठिनाइयों को अपने दम पर पार करने से खुशी, विभिन्न प्रकार के कार्यों के माध्यम से छात्रों की आत्म-अभिव्यक्ति की आवश्यकता विकसित करना।

काम के रूप:ललाट, स्टीम रूम, समूह।

बच्चों की गतिविधियों के संगठन का रूप:सुनने की क्षमता, चर्चा का निर्माण, एक विचार, प्रश्न, जोड़ व्यक्त करना।

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन। छात्र तालिकाओं पर: डेस्क पर प्रत्येक छात्र के लिए एक ट्रेपोजॉइड बनाने के लिए सामग्री को काटें; असाइनमेंट के साथ कार्ड (पाठ की रूपरेखा से चित्र और असाइनमेंट के प्रिंटआउट)।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

नमस्ते, पाठ के लिए कार्यस्थल की तत्परता की जाँच करना।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन

• वस्तुओं को वर्गीकृत करने के लिए कौशल का विकास;
• वर्गीकरण में मुख्य और माध्यमिक विशेषताओं पर प्रकाश डालना।

चित्र 1 माना जाता है।

इसके बाद ड्राइंग की चर्चा आती है।
- यह ज्यामितीय आकृति किससे बनी है? लोग तस्वीरों में जवाब ढूंढते हैं: [एक आयत और त्रिकोण से]।
- एक समलम्ब चतुर्भुज बनाने वाले त्रिभुज क्या होने चाहिए?
सभी राय सुनी जाती है और उन पर चर्चा की जाती है, एक विकल्प चुना जाता है: [त्रिकोण आयताकार होने चाहिए]।
- त्रिभुज और आयत कैसे बनते हैं? [ताकि आयत की सम्मुख भुजाएँ प्रत्येक त्रिभुज के पाद के साथ मेल खाती हों]।
- आयत के विपरीत पक्षों के बारे में आप क्या जानते हैं? [वे समानांतर हैं]।
- तो, ​​इस चतुर्भुज में समानांतर भुजाएँ होंगी? [हां]।
- कितने हैं? [दो]।
चर्चा के बाद, शिक्षक "पाठ की रानी" - ट्रेपोजॉइड प्रदर्शित करता है।

III. नई सामग्री की व्याख्या

1. समलम्ब, समलम्बाकार तत्वों की परिभाषा

• छात्रों को एक समलम्ब को परिभाषित करना सिखाएं;
• इसके तत्वों को नाम दें;
• सहयोगी स्मृति का विकास।

- अब समलम्ब की पूरी परिभाषा देने का प्रयास करें। प्रत्येक छात्र प्रश्न के उत्तर के बारे में सोचता है। वे जोड़ियों में विचारों का आदान-प्रदान करते हैं, एक प्रश्न का एकल उत्तर तैयार करते हैं। मौखिक उत्तर एक छात्र को 2-3 जोड़े में से दिया जाता है।
[एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं]।

- समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? [समांतर भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है और अन्य दो भुजाओं को कहा जाता है]।

शिक्षक कटे हुए आकृतियों से समलम्ब को मोड़ने का प्रस्ताव करता है। छात्र जोड़े में काम करते हैं, आंकड़े जोड़ते हैं। यह अच्छा है यदि छात्रों के जोड़े अलग-अलग स्तरों के हैं, तो छात्रों में से एक सलाहकार है और कठिनाई के मामले में एक दोस्त की मदद करता है।

- नोटबुक में एक ट्रेपोजॉइड बनाएं, ट्रेपोजॉइड के किनारों के नाम लिखें। अपने पड़ोसी से ड्राइंग के बारे में प्रश्न पूछें, उसके उत्तर सुनें, उत्तर के लिए अपने विकल्प बताएं।

इतिहास संदर्भ

"ट्रेपेज़ियम"- ग्रीक शब्द, जिसका प्राचीन काल में अर्थ था "टेबल" (ग्रीक में "ट्रैपेडज़ियन" का अर्थ है एक टेबल, एक डाइनिंग टेबल। ज्यामितीय आकृति का नाम एक छोटी मेज के बाहरी समानता के लिए रखा गया था।
"एलिमेंट्स" (ग्रीक Στοιχεῖα, लैटिन एलिमेंटा) में - यूक्लिड का मुख्य कार्य, लगभग 300 ईसा पूर्व लिखा गया था। इ। और ज्यामिति के व्यवस्थित निर्माण के लिए समर्पित) शब्द "ट्रेपेज़ॉइड" का प्रयोग आधुनिक में नहीं, बल्कि दूसरे अर्थ में किया जाता है: कोई भी चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज नहीं)। हमारे अर्थ में "ट्रेपेज़ियम" पहली बार प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पॉसिडोनियस (पहली शताब्दी) में पाया जाता है। मध्य युग में, यूक्लिड के अनुसार, एक समलंब चतुर्भुज कहा जाता था, कोई भी चतुर्भुज (समांतर चतुर्भुज नहीं); केवल XVIII सदी में। यह शब्द आधुनिक अर्थ लेता है।

अपने निर्दिष्ट तत्वों से एक समलम्ब चतुर्भुज का निर्माण। लोग कार्ड नंबर 1 पर कार्य करते हैं।

छात्रों को विभिन्न प्रकार के स्थानों और शैलियों में ट्रेपेज़ॉइड का निर्माण करना होता है। चरण 1 में, आपको एक आयताकार ट्रेपोजॉइड बनाने की आवश्यकता है। बिंदु 2 में, समद्विबाहु समलम्बाकार बनाना संभव हो जाता है। बिंदु 3 पर, समलम्ब चतुर्भुज "अपनी तरफ झूठ" होगा। पैराग्राफ 4 में, ड्राइंग ऐसे ट्रेपोजॉइड के निर्माण के लिए प्रदान करता है, जिसमें से एक आधार असामान्य रूप से छोटा हो जाता है।
छात्र एक सामान्य नाम वाले विभिन्न आकृतियों वाले शिक्षक को "आश्चर्य" करते हैं - ट्रेपेज़ॉइड। शिक्षक ट्रेपेज़ॉइड के निर्माण के संभावित विकल्पों को प्रदर्शित करता है।

समस्या 1... क्या दो समलम्ब चतुर्भुज समान होंगे, जिनके लिए क्रमशः एक आधार और दो भुजाएँ समान हैं?
समूह में समस्या के समाधान पर चर्चा करें, तर्क की शुद्धता साबित करें।
प्रति समूह एक छात्र बोर्ड पर एक चित्र बनाता है, तर्क की रेखा की व्याख्या करता है।

2. समलम्ब चतुर्भुज के प्रकार

• मोटर मेमोरी का विकास, समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक प्रसिद्ध आंकड़ों में ट्रेपोजॉइड को तोड़ने की क्षमता;
• सामान्यीकरण करने, तुलना करने, सादृश्य द्वारा एक परिभाषा देने, परिकल्पनाओं को सामने रखने के कौशल का विकास।

तस्वीर पर विचार करें:

- आकृति में दिखाए गए समलंबों के बीच क्या अंतर है?
लोगों ने देखा कि समलम्बाकार का प्रकार बाईं ओर त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करता है।
- वाक्य पूरा करें:

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि...
समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि...

3. समलम्ब चतुर्भुज के गुण। एक समद्विबाहु समलम्बाकार के गुण।

• एक समद्विबाहु त्रिभुज के सादृश्य द्वारा, एक समद्विबाहु समलंब के गुण के बारे में एक परिकल्पना को सामने रखते हुए;
• विश्लेषणात्मक कौशल का विकास (तुलना करना, परिकल्पना करना, साबित करना, निर्माण करना)।

• विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है।
• एक समद्विबाहु समलम्ब में, कोण किसी भी आधार पर बराबर होते हैं।
• एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान विकर्ण होते हैं।
• एक समद्विबाहु समलम्बाकार में, ऊपर से बड़े आधार तक की ऊँचाई इसे दो खंडों में विभाजित करती है, जिनमें से एक आधारों के आधे योग के बराबर है, दूसरा आधारों का आधा-अंतर है।

उद्देश्य 2.सिद्ध करें कि एक समद्विबाहु समलम्ब में: क) प्रत्येक आधार पर कोण बराबर होते हैं; बी) विकर्ण बराबर हैं। समद्विबाहु समलम्बाकार के इन गुणों को सिद्ध करने के लिए, हम त्रिभुजों की समानता के मानदंड को याद करते हैं। छात्र समूहों में असाइनमेंट पूरा करते हैं, चर्चा करते हैं, एक नोटबुक में समाधान लिखते हैं।
समूह का एक छात्र ब्लैकबोर्ड पर प्रूफ़ का संचालन करता है।

4. ध्यान के लिए व्यायाम

5. दैनिक जीवन में समलंब आकृतियों के प्रयोग के उदाहरण:

• अंदरूनी हिस्सों में (सोफे, दीवारें, निलंबित छत);
• लैंडस्केप डिज़ाइन में (लॉन की सीमाएँ, कृत्रिम जलाशय, पत्थर);
• फैशन उद्योग में (कपड़े, जूते, सहायक उपकरण);
• रोजमर्रा की वस्तुओं के डिजाइन में (लैंप, व्यंजन, ट्रेपोजॉइड आकृतियों का उपयोग करके);
• वास्तुकला में।

व्यावहारिक कार्य(विकल्पों के अनुसार)।

- एक निर्देशांक प्रणाली में, दिए गए तीन शीर्षों के लिए समद्विबाहु समलंब खींचिए।

विकल्प 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) और (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3), (...; ...)।
विकल्प 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) और (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), (...; ...)

- चौथे शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करें।
समाधान की समीक्षा की जाती है और पूरी कक्षा द्वारा उस पर टिप्पणी की जाती है। छात्र चौथे पाए गए बिंदु के निर्देशांक को इंगित करते हैं और मौखिक रूप से यह समझाने की कोशिश करते हैं कि दी गई शर्तें केवल एक बिंदु को क्यों परिभाषित करती हैं।

एक मनोरंजक कार्य।इसमें से एक समलम्ब जोड़ें: a) चार समकोण त्रिभुज; b) तीन समकोण त्रिभुजों का; c) दो समकोण त्रिभुजों के।

चतुर्थ। होम वर्क

• सही आत्मसम्मान की शिक्षा;
• प्रत्येक छात्र के लिए "सफलता" की स्थिति बनाना।

p.44, परिभाषा, समलम्ब के तत्व, इसके प्रकार, समलम्बाकार के गुणों को जानें, उन्हें सिद्ध करने में सक्षम हों, संख्या 388, संख्या 390।

वी सबक सारांश। पाठ के अंत में, बच्चों को दिया जाता है प्रश्नावली,जो आत्मनिरीक्षण की अनुमति देता है, पाठ का गुणात्मक और मात्रात्मक मूल्यांकन देता है .

एक समलम्ब चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्षों की एक जोड़ी एक दूसरे के समानांतर होती है, और दूसरी नहीं होती है।

समलम्ब चतुर्भुज की परिभाषा और समांतर चतुर्भुज के संकेतों के आधार पर, समलम्ब चतुर्भुज की समानांतर भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकती हैं। अन्यथा, भुजाओं का अन्य युग्म भी एक दूसरे के समानांतर और बराबर हो जाएगा। इस मामले में, हम एक समांतर चतुर्भुज से निपटेंगे।

समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर विपरीत पक्ष इसे कहते हैं मैदान... अर्थात्, समलम्ब चतुर्भुज के दो आधार होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज के गैर-समानांतर विपरीत पक्ष इसे कहते हैं पार्श्व पक्ष.

किस पार्श्व पक्ष के आधार पर, वे आधारों के साथ कौन से कोण बनाते हैं, विभिन्न प्रकार के ट्रेपेज़ॉइड प्रतिष्ठित हैं। सबसे अधिक बार, ट्रेपेज़ियम को गैर-समद्विबाहु (एकतरफा), समद्विबाहु (समद्विबाहु) और आयताकार में विभाजित किया जाता है।

पास होना अनियमित समलम्बाकारपक्ष एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसके अलावा, एक बड़े आधार के साथ, वे दोनों केवल तेज कोनों का निर्माण कर सकते हैं, या एक कोना मोटा होगा, और दूसरा तेज होगा। पहले मामले में, समलंब चतुर्भुज कहा जाता है तीव्र कोण, क्षण में - कुंठित.

पास होना समद्विबाहु समलम्बाकारपक्ष एक दूसरे के बराबर हैं। इसके अलावा, एक बड़े आधार के साथ, वे केवल तेज कोनों का निर्माण कर सकते हैं, अर्थात। सभी समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज तीव्र कोण वाले होते हैं। इसलिए, वे न्यूनकोण और अधिक कोण में विभाजित नहीं हैं।

पास होना आयताकार समलम्ब चतुर्भुजएक भुजा आधारों के लंबवत है। दूसरा पक्ष उनके लिए लंबवत नहीं हो सकता है, क्योंकि इस मामले में हम एक आयत के साथ काम करेंगे। आयताकार ट्रेपेज़ियम में, गैर-लंबवत पार्श्व पक्ष हमेशा एक बड़े आधार के साथ एक न्यून कोण बनाता है। लंबवत भुजा दोनों आधारों पर लंबवत है क्योंकि आधार समानांतर हैं।

8वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में उत्तल चतुर्भुजों के गुणों और विशेषताओं का अध्ययन निहित है। इनमें समांतर चतुर्भुज शामिल हैं, जिनमें से विशेष मामले वर्ग, आयत और समचतुर्भुज और ट्रेपेज़ॉइड हैं। और यदि समांतर चतुर्भुज के विभिन्न रूपों के लिए समस्याओं का समाधान अक्सर गंभीर कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, तो यह पता लगाना कुछ अधिक कठिन होता है कि किस चतुर्भुज को समलम्बाकार कहा जाता है।

परिभाषा और प्रकार

स्कूल के पाठ्यक्रम में अध्ययन किए गए अन्य चतुर्भुजों के विपरीत, एक ट्रेपोजॉइड को एक ऐसी आकृति कहने की प्रथा है, जिसके दो विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं, और अन्य दो नहीं हैं। एक और परिभाषा है: यह एक चतुर्भुज है जिसमें पक्षों की एक जोड़ी होती है जो एक दूसरे के बराबर नहीं होती है और समानांतर होती है।

नीचे दी गई तस्वीर में विभिन्न प्रकार दिखाए गए हैं.

नंबर 1 पर छवि एक मनमाना ट्रेपोजॉइड दिखाती है। नंबर 2 एक विशेष मामले को दर्शाता है - एक आयताकार ट्रेपोजॉइड, जिसका एक पक्ष इसके आधारों के लंबवत है। अंतिम आंकड़ा भी एक विशेष मामला है: यह एक समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार है, जो समान पार्श्व भुजाओं वाला एक चतुर्भुज है।

सबसे महत्वपूर्ण गुण और सूत्र

चतुर्भुज के गुणों का वर्णन करने के लिए, कुछ तत्वों का चयन करने की प्रथा है। एक उदाहरण के रूप में, एक मनमाना समलम्ब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें।

उसमे समाविष्ट हैं:

• आधार बीसी और एडी - एक दूसरे के समानांतर दो पक्ष;
• पार्श्व पक्ष एबी और सीडी - दो गैर-समानांतर तत्व;
• विकर्ण AC और BD - आकृति के विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड;
• समलम्बाकार ऊंचाई सीएच - आधारों के लंबवत खंड;
• मध्य रेखा EF - भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा।

तत्वों के मूल गुण

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए या किसी भी कथन को साबित करने के लिए, सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले गुण हैं जो चतुर्भुज के विभिन्न तत्वों को जोड़ते हैं। वे निम्नानुसार तैयार किए गए हैं:

इसके अलावा, निम्नलिखित कथनों को जानना और लागू करना अक्सर सहायक होता है:

1. एक मनमाना कोण से खींचा गया एक द्विभाजक आधार पर एक खंड को अलग करता है, जिसकी लंबाई आकृति के किनारे के बराबर होती है।
2. जब विकर्ण खींचे जाते हैं, तो 4 त्रिभुज बनते हैं; उनमें से आधारों और विकर्णों के खंडों से बने 2 त्रिभुजों में समानता है, और शेष जोड़े का क्षेत्रफल समान है।
3. विकर्णों के चौराहे के बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है O, आधारों के मध्य बिंदु, और वह बिंदु जिस पर पार्श्व पक्षों के विस्तार प्रतिच्छेद करते हैं।

परिधि और क्षेत्र की गणना

परिधि की गणना सभी चार पक्षों की लंबाई के योग के रूप में की जाती है (किसी भी अन्य ज्यामितीय आकार के समान):

पी = एडी + बीसी + एबी + सीडी।

अंकित और परिचालित वृत्त

चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन तभी किया जा सकता है जब चतुर्भुज की भुजाएँ समान हों।

परिचालित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए, आपको विकर्ण, भुजा और बड़े आधार की लंबाई जानने की आवश्यकता है। महत्व पी,सूत्र में प्रयुक्त सभी उपरोक्त तत्वों के आधे योग के रूप में गणना की जाती है: पी = (ए + सी + डी) / 2.

एक उत्कीर्ण वृत्त के लिए, शर्त इस प्रकार होगी: आधारों का योग आकृति की भुजाओं के योग के साथ मेल खाना चाहिए। इसकी त्रिज्या ऊंचाई के माध्यम से ज्ञात की जा सकती है, और यह के बराबर होगी आर = एच / 2।

विशेष स्थितियां

एक सामान्य मामले पर विचार करें - एक समद्विबाहु (समबाहु) समलम्ब। इसके चिन्ह पक्षों की समानता या विपरीत कोणों की समानता हैं। सभी कथन उस पर लागू होते हैं।, जो एक मनमाना ट्रेपोजॉइड की विशेषता है। समद्विबाहु समलम्बाकार के अन्य गुण:

आयताकार समलम्बाकार समस्याओं में इतना आम नहीं है। इसके संकेत 90 डिग्री के बराबर दो आसन्न कोणों की उपस्थिति और आधारों के लंबवत पार्श्व पक्ष की उपस्थिति हैं। इस तरह के चतुर्भुज में ऊंचाई एक ही समय में इसकी एक भुजा होती है।

सभी माने गए गुण और सूत्र आमतौर पर प्लेनिमेट्रिक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। हालांकि, उन्हें स्टीरियोमेट्री पाठ्यक्रम से कुछ कार्यों में भी इस्तेमाल किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक काटे गए पिरामिड के सतह क्षेत्र का निर्धारण करते समय, जो बाहरी रूप से एक वॉल्यूमेट्रिक ट्रेपेज़ॉइड जैसा दिखता है।