प्राकृतिक संख्या क्या है और दशमलव अंश को किससे विभाजित करें? प्राकृतिक भिन्नों का विभाजन

भागफल (विभाजन का परिणाम) का पहला अंक ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, लाभांश के पहले अंक को भाजक से विभाजित करें। परिणाम को भाजक के नीचे लिखें.

• हमारे उदाहरण में, लाभांश का पहला अंक 3 है। 3 को 12 से विभाजित करें। चूँकि 3, 12 से कम है, विभाजन का परिणाम 0 होगा। भाजक के नीचे 0 लिखें - यह भागफल का पहला अंक है।

परिणाम को भाजक से गुणा करें।गुणन का परिणाम लाभांश के पहले अंक के नीचे लिखें, क्योंकि यह वह अंक है जिसे आपने अभी-अभी भाजक से विभाजित किया है।

• हमारे उदाहरण में, 0 × 12 = 0, इसलिए 3 के नीचे 0 लिखें।

गुणा के परिणाम को लाभांश के पहले अंक से घटाएं।अपना उत्तर एक नई पंक्ति में लिखें।

• हमारे उदाहरण में: 3 - 0 = 3. 0 के ठीक नीचे 3 लिखें।

लाभांश के दूसरे अंक को नीचे ले जाएँ।ऐसा करने के लिए, घटाव के परिणाम के आगे लाभांश का अगला अंक लिखें।

• हमारे उदाहरण में, लाभांश 30 है। लाभांश का दूसरा अंक 0 है। 3 (घटाने का परिणाम) के आगे 0 लिखकर इसे नीचे ले जाएँ। आपको 30 नंबर प्राप्त होगा.

परिणाम को भाजक से विभाजित करें.आपको भागफल का दूसरा अंक मिलेगा। ऐसा करने के लिए, नीचे की रेखा पर स्थित संख्या को भाजक से विभाजित करें।

• हमारे उदाहरण में, 30 को 12 से विभाजित करें। 30 ÷ 12 = 2 और कुछ शेषफल (चूँकि 12 x 2 = 24)। भाजक के नीचे 0 के बाद 2 लिखें - यह भागफल का दूसरा अंक है।
• यदि आपको उपयुक्त अंक नहीं मिल रहा है, तो अंकों को तब तक देखें जब तक कि किसी अंक को भाजक से गुणा करने का परिणाम छोटा न हो और कॉलम में अंतिम स्थित संख्या के निकटतम न हो। हमारे उदाहरण में, संख्या 3 पर विचार करें। इसे भाजक से गुणा करें: 12 x 3 = 36। चूँकि 36, 30 से बड़ा है, इसलिए संख्या 3 उपयुक्त नहीं है। अब संख्या 2 पर विचार करें। 12 x 2 = 24। 24, 30 से कम है, इसलिए संख्या 2 सही समाधान है।

अगली संख्या ज्ञात करने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराएँ।वर्णित एल्गोरिदम का उपयोग किसी भी लंबी विभाजन समस्या में किया जाता है।

• भागफल के दूसरे अंक को भाजक से गुणा करें: 2 x 12 = 24.
• गुणन (24) का परिणाम कॉलम (30) में अंतिम संख्या के नीचे लिखें।
• बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ। हमारे उदाहरण में: 30 - 24 = 6. परिणाम (6) को एक नई लाइन पर लिखें।

यदि लाभांश में ऐसे अंक बचे हैं जिन्हें नीचे ले जाया जा सकता है, तो गणना प्रक्रिया जारी रखें।अन्यथा, अगले चरण पर जारी रखें.

• हमारे उदाहरण में, आप नीचे चले गए अंतिम अंकलाभांश (0). तो अगले चरण पर आगे बढ़ें।

यदि आवश्यक हो, तो लाभांश का विस्तार करने के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करें।यदि लाभांश भाजक से विभाज्य है, तो अंतिम पंक्ति पर आपको संख्या 0 मिलेगी। इसका मतलब है कि समस्या हल हो गई है, और उत्तर (पूर्णांक के रूप में) भाजक के नीचे लिखा गया है। लेकिन यदि कॉलम के बिल्कुल नीचे 0 के अलावा कोई अन्य अंक है, तो दशमलव बिंदु जोड़कर और 0 जोड़कर लाभांश का विस्तार करना आवश्यक है। हमें याद रखें कि इससे लाभांश का मूल्य नहीं बदलता है।

• हमारे उदाहरण में, अंतिम पंक्ति में संख्या 6 है। इसलिए, 30 (लाभांश) के दाईं ओर, एक दशमलव बिंदु लिखें, और फिर 0 लिखें। इसके अलावा, भागफल के पाए गए अंकों के बाद एक दशमलव बिंदु रखें, जिसे आप भाजक के नीचे लिखें (इस अल्पविराम के बाद अभी कुछ भी न लिखें!)।

अगली संख्या ज्ञात करने के लिए ऊपर वर्णित चरणों को दोहराएँ।मुख्य बात यह है कि लाभांश के बाद और भागफल के पाए गए अंकों के बाद दशमलव बिंदु लगाना न भूलें। बाकी प्रक्रिया ऊपर वर्णित प्रक्रिया के समान है।

• हमारे उदाहरण में, 0 (जो आपने दशमलव बिंदु के बाद लिखा था) को नीचे ले जाएँ। आपको संख्या 60 मिलेगी। अब इस संख्या को भाजक से विभाजित करें: 60 ÷ 12 = 5। भाजक के नीचे 2 के बाद (और दशमलव बिंदु के बाद) 5 लिखें। यह भागफल का तीसरा अंक है. तो अंतिम उत्तर 2.5 है (2 से पहले के शून्य को नजरअंदाज किया जा सकता है)।

मैं। किसी दशमलव भिन्न को इससे विभाजित करना प्राकृतिक संख्या, आपको अंश को इस संख्या से विभाजित करना होगा, जैसे आप प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते हैं, और पूरे भाग का विभाजन पूरा होने पर भागफल में अल्पविराम लगाना होता है।

उदाहरण.

विभाजन करना: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

समाधान।

उदाहरण 1) 96,25: 5.

हम "कोने" से उसी तरह विभाजित करते हैं जैसे प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है। हम नंबर नोट करने के बाद 2 (दसवें की संख्या लाभांश 96 में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक है, 2 5), भागफल में हम अल्पविराम लगाते हैं और विभाजन जारी रखते हैं।

उत्तर: 19,25.

उदाहरण 2) 4,78: 4.

हम उसी प्रकार विभाजित करते हैं जिस प्रकार प्राकृतिक संख्याएँ विभाजित होती हैं। भागफल में हम उसे हटाते ही अल्पविराम लगा देंगे 7 - लाभांश 4 में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक, 7 8. हम विभाजन को आगे भी जारी रखते हैं। 38-36 घटाने पर 2 प्राप्त होता है, परन्तु भाग पूरा नहीं होता। हमें कैसे आगे बढे? हम जानते हैं कि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़ा जा सकता है - इससे भिन्न का मान नहीं बदलेगा। हम शून्य निर्दिष्ट करते हैं और 20 को 4 से विभाजित करते हैं। हमें 5 मिलता है - विभाजन समाप्त हो गया है।

उत्तर: 1,195.

उदाहरण 3) 183,06: 45.

18306 को 45 से विभाजित करें। भागफल में हम संख्या हटाते ही अल्पविराम लगा देते हैं 0 - लाभांश 183 में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक, 0 6. उदाहरण 2 की तरह), हमें संख्या 36 को शून्य निर्दिष्ट करना था - संख्या 306 और 270 के बीच का अंतर।

उत्तर: 4,068.

निष्कर्ष: किसी दशमलव भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय निजी हम अल्पविराम लगाते हैं लाभांश के दसवें स्थान का आंकड़ा निकालने के तुरंत बाद. कृपया ध्यान दें: सभी पर प्रकाश डाला गया लाल रंग में संख्याएँ इनमें तीन उदाहरण श्रेणी के हैं लाभांश का दसवां हिस्सा.

द्वितीय. किसी दशमलव अंश को 10, 100, 1000, आदि से विभाजित करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, आदि अंकों से बाईं ओर ले जाना होगा।

उदाहरण.

विभाजन करें: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

समाधान।

दशमलव बिंदु को बाईं ओर ले जाना इस बात पर निर्भर करता है कि भाजक में एक के बाद कितने शून्य हैं। अतः, दशमलव भिन्न को इससे विभाजित करते समय 10 हम लाभांश में आगे बढ़ेंगे बाईं ओर एक अंक अल्पविराम; जब विभाजित किया जाता है 100 - अल्पविराम हटाएँ दो अंक बचे; जब विभाजित किया जाता है 1000 इस दशमलव अंश में कनवर्ट करें बायीं ओर तीन अंकों का अल्पविराम।

पिछले पाठ में, हमने दशमलव को जोड़ना और घटाना सीखा (देखें पाठ "दशमलव को जोड़ना और घटाना")। उसी समय, हमने मूल्यांकन किया कि सामान्य "दो-कहानी" अंशों की तुलना में गणना कितनी सरल है।

दुर्भाग्य से, यह प्रभाव दशमलव को गुणा करने और विभाजित करने पर नहीं होता है। कुछ मामलों में, दशमलव अंकन इन परिचालनों को और भी जटिल बना देता है।

सबसे पहले, आइए एक नई परिभाषा प्रस्तुत करें। हम उसे अक्सर देखेंगे, न कि केवल इस पाठ में।

किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग पहले और अंतिम गैर-शून्य अंक के बीच का सब कुछ है, जिसमें अंत भी शामिल है। हम केवल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, दशमलव बिंदु पर ध्यान नहीं दिया जाता है।

किसी संख्या के सार्थक भाग में सम्मिलित अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उन्हें दोहराया जा सकता है और शून्य के बराबर भी किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कई दशमलव अंशों पर विचार करें और संबंधित महत्वपूर्ण भागों को लिखें:

1. 91.25 → 9125 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (महत्वपूर्ण आंकड़े: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (महत्वपूर्ण आंकड़ाकेवल एक: 3).

कृपया ध्यान दें: संख्या के महत्वपूर्ण भाग के अंदर का शून्य कहीं नहीं जाता। जब हमने दशमलव भिन्नों को साधारण अंशों में बदलना सीखा तो हम पहले ही कुछ इसी तरह का सामना कर चुके हैं (पाठ "दशमलव" देखें)।

यह बिंदु इतना महत्वपूर्ण है, और यहां गलतियाँ इतनी बार की जाती हैं, कि मैं निकट भविष्य में इस विषय पर एक परीक्षण प्रकाशित करूंगा। अभ्यास अवश्य करें! और हम, महत्वपूर्ण भाग की अवधारणा से लैस होकर, वास्तव में, पाठ के विषय पर आगे बढ़ेंगे।

दशमलव को गुणा करना

गुणन संक्रिया में तीन क्रमिक चरण होते हैं:

1. प्रत्येक भिन्न के लिए, महत्वपूर्ण भाग लिखिए। आपको दो साधारण पूर्णांक मिलेंगे - बिना किसी हर और दशमलव बिंदु के;
2. इन संख्याओं को किसी से गुणा करें सुविधाजनक तरीके से. सीधे तौर पर, यदि संख्याएँ छोटी हैं, या किसी कॉलम में हैं। हमें वांछित भिन्न का महत्वपूर्ण भाग प्राप्त होता है;
3. पता लगाएं कि संबंधित महत्वपूर्ण भाग प्राप्त करने के लिए मूल भिन्नों में दशमलव बिंदु को कहां और कितने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है। पिछले चरण में प्राप्त महत्वपूर्ण भाग के लिए रिवर्स शिफ्ट निष्पादित करें।

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि महत्वपूर्ण भाग के किनारों पर शून्य को कभी भी ध्यान में नहीं रखा जाता है। इस नियम की अनदेखी करने से त्रुटियां होती हैं।

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132.5 · 0.0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 · 10,000.

हम पहली अभिव्यक्ति के साथ काम करते हैं: 0.28 · 12.5।

1. आइए इस अभिव्यक्ति से संख्याओं के महत्वपूर्ण भाग लिखें: 28 और 125;
2. उनका उत्पाद: 28 · 125 = 3500;
3. पहले कारक में दशमलव बिंदु 2 अंक दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (0.28 → 28), और दूसरे में यह 1 और अंक स्थानांतरित हो जाता है। कुल मिलाकर, आपको तीन अंकों द्वारा बाईं ओर बदलाव की आवश्यकता है: 3500 → 3,500 = 3.5।

अब आइए व्यंजक 6.3 · 1.08 को देखें।

1. आइए महत्वपूर्ण भागों को लिखें: 63 और 108;
2. उनका उत्पाद: 63 · 108 = 6804;
3. पुनः, दाईं ओर दो बदलाव: क्रमशः 2 और 1 अंक से। कुल - फिर से दाईं ओर 3 अंक, इसलिए विपरीत बदलाव बाईं ओर 3 अंक होगा: 6804 → 6.804। इस बार कोई पिछला शून्य नहीं है.

हम तीसरी अभिव्यक्ति पर पहुँचे: 132.5 · 0.0034।

1. महत्वपूर्ण भाग: 1325 और 34;
2. उनका उत्पाद: 1325 · 34 = 45,050;
3. पहले अंश में, दशमलव बिंदु 1 अंक से दाईं ओर चला जाता है, और दूसरे में - 4 से अधिक। कुल: दाईं ओर 5। हम 5 से बाईं ओर शिफ्ट होते हैं: 45,050 → .45050 = 0.4505। शून्य को अंत में हटा दिया गया, और सामने जोड़ दिया गया ताकि कोई "नग्न" दशमलव बिंदु न छूटे।

निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: 0.0108 · 1600.5.

1. हम महत्वपूर्ण भाग लिखते हैं: 108 और 16005;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. हम दशमलव बिंदु के बाद की संख्याओं को गिनते हैं: पहली संख्या में 4 हैं, दूसरी में 1 हैं। कुल फिर 5 है। हमारे पास है: 1,728,540 → 17.28540 = 17.2854। अंत में, "अतिरिक्त" शून्य हटा दिया गया।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति: 5.25 · 10,000.

1. महत्वपूर्ण भाग: 525 और 1;
2. हम उन्हें गुणा करते हैं: 525 · 1 = 525;
3. पहला अंश 2 अंकों में दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है, और दूसरा अंश 4 अंकों में बाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है (10,000 → 1.0000 = 1)। बाईं ओर कुल 4 − 2 = 2 अंक। हम दाईं ओर 2 अंकों का रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 525, → 52,500 (हमें शून्य जोड़ना पड़ा)।

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें: चूंकि दशमलव बिंदु को स्थानांतरित कर दिया गया है अलग-अलग दिशाएँ, कुल बदलाव अंतर के माध्यम से पाया जाता है। ये बहुत महत्वपूर्ण बिंदु! यहाँ एक और उदाहरण है:

संख्याओं 1.5 और 12,500 पर विचार करें: 1.5 → 15 (1 से दाईं ओर शिफ्ट); 12,500 → 125 (बाईं ओर 2 शिफ्ट करें)। हम 1 अंक को दाईं ओर और फिर 2 को बाईं ओर "कदम" बढ़ाते हैं। परिणामस्वरूप, हमने बायीं ओर 2 − 1 = 1 अंक बढ़ाया।

दशमलव विभाजन

विभाजन शायद सबसे कठिन ऑपरेशन है। बेशक, यहां आप गुणन के अनुरूप कार्य कर सकते हैं: महत्वपूर्ण भागों को विभाजित करें, और फिर दशमलव बिंदु को "स्थानांतरित" करें। लेकिन इस मामले में, कई सूक्ष्मताएं उत्पन्न होती हैं जो संभावित बचत को नकार देती हैं।

तो आइये एक नजर डालते हैं सार्वभौमिक एल्गोरिदम, जो थोड़ा लंबा है, लेकिन बहुत अधिक विश्वसनीय है:

1. सभी दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें। थोड़े से अभ्यास के साथ, यह कदम आपको कुछ ही सेकंड में पूरा कर देगा;
2. परिणामी भिन्नों को विभाजित करें क्लासिक तरीके से. दूसरे शब्दों में, पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करें (पाठ देखें "संख्यात्मक भिन्नों को गुणा और विभाजित करना");
3. यदि संभव हो, तो परिणाम को दशमलव अंश के रूप में दोबारा प्रस्तुत करें। यह कदम भी त्वरित है, क्योंकि हर अक्सर पहले से ही दस की घात होता है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

आइए पहली अभिव्यक्ति पर विचार करें. सबसे पहले, आइए भिन्नों को दशमलव में बदलें:

आइए दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करें। पहले भिन्न के अंश को फिर से गुणनखंडित किया जाएगा:

तीसरे और चौथे उदाहरण में एक महत्वपूर्ण बिंदु है: दशमलव अंकन से छुटकारा पाने के बाद, कम करने योग्य अंश दिखाई देते हैं। हालाँकि, हम यह कटौती नहीं करेंगे.

अंतिम उदाहरण दिलचस्प है क्योंकि दूसरे भिन्न के अंश में एक अभाज्य संख्या होती है। यहां कारक बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, इसलिए हम इस पर सीधे विचार करते हैं:

कभी-कभी विभाजन का परिणाम पूर्णांक होता है (मैं अंतिम उदाहरण के बारे में बात कर रहा हूं)। इस स्थिति में, तीसरा चरण बिल्कुल भी निष्पादित नहीं किया जाता है।

इसके अलावा, विभाजित करते समय, "बदसूरत" अंश अक्सर उत्पन्न होते हैं जिन्हें दशमलव में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह विभाजन को गुणा से अलग करता है, जहां परिणाम हमेशा दशमलव रूप में दर्शाए जाते हैं। बेशक, इस मामले में अंतिम चरण फिर से नहीं किया जाता है।

तीसरे और चौथे उदाहरण पर भी ध्यान दें। उनमें हम जानबूझकर दशमलव से प्राप्त साधारण भिन्नों को कम नहीं करते हैं। अन्यथा, यह उलटे कार्य को जटिल बना देगा - अंतिम उत्तर को फिर से दशमलव रूप में प्रस्तुत करना।

याद रखें: भिन्न का मूल गुण (गणित के किसी भी अन्य नियम की तरह) अपने आप में यह मतलब नहीं है कि इसे हर जगह और हमेशा, हर अवसर पर लागू किया जाना चाहिए।

हर भाग.
समाधान। समस्या को हल करने के लिए, आइए टेप की लंबाई को डेसीमीटर में व्यक्त करें: 19.2 मीटर = 192 डीएम। लेकिन 192:8 = 24. इसका मतलब है कि प्रत्येक भाग की लंबाई 24 डीएम है,

यानी, 2.4 मीटर यदि हम 2.4 को 8 से गुणा करें, तो हमें 19.2 मिलता है। इसका मतलब यह है कि 2.4, 19.2 का भागफल 8 से विभाजित है।

वे लिखते हैं: 19.2:8 = 2.4.

मीटरों को परिवर्तित किए बिना भी यही उत्तर प्राप्त किया जा सकता है डेसीमीटर. ऐसा करने के लिए, आपको अल्पविराम पर ध्यान न देते हुए 19.2 को 8 से विभाजित करना होगा, और पूरे भाग का विभाजन समाप्त होने पर भागफल में अल्पविराम लगाना होगा:

किसी दशमलव अंश को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसा अंश खोजना, जिसे इस प्राकृतिक संख्या से गुणा करने पर लाभांश मिलता है।

किसी दशमलव भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) अल्पविराम को अनदेखा करते हुए भिन्न को इस संख्या से विभाजित करें;
2) पूरे भाग का विभाजन समाप्त होने पर भागफल में अल्पविराम लगाएं;

अगर संपूर्ण भागभाजक से कम है, तो भागफल शून्य पूर्णांक से शुरू होता है:

96.1 को 10 से विभाजित करें। यदि आप भागफल को 10 से गुणा करते हैं, तो आपको फिर से 96.1 प्राप्त होना चाहिए।

दूसरे शब्दों में, विभाजन का प्रयोग उलटने के लिए किया जाता है सामान्य अंशदशमलव तक.
उदाहरण।भिन्न को दशमलव में बदलें.
समाधान। भिन्न 3 का भागफल है जिसे 4 से विभाजित किया जाता है। 3 को 4 से विभाजित करने पर दशमलव भिन्न 0.75 प्राप्त होता है। तो = 0.75.

किसी दशमलव भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का क्या अर्थ है?
आप दशमलव भिन्न को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित करते हैं?
दशमलव को 10, 100, 1000 से कैसे विभाजित करें?
भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें?

1340. विभाजन करें:

ए) 20.7:9;
बी) 243.2:8;
ग) 88.298: 7;
घ) 772.8:12;
ई) 93.15: 23;
ई) 0.644:92;
छ) 1:80;
ज) 0.909:45;
मैं) 3:32;
जे) 0.01242: 69;
एल) 1.016: 8;
एम) 7.368:24.

1341. ध्रुवीय अभियान के लिए 3 ट्रैक्टर, प्रत्येक का वजन 1.2 टन और 7 स्नोमोबाइल विमान पर लादे गए थे। सभी स्नोमोबाइल्स का द्रव्यमान ट्रैक्टरों के द्रव्यमान से 2 टन अधिक है। एक स्नोमोबाइल का द्रव्यमान कितना होता है?

ए) 4x - x = 8.7; ग) ए + ए + 8.154 = 32;
बी) ज़ू + बाय = 9.6; घ) 7k - 4k - 55.2 = 63.12.

1349. दो टोकरियों में 16.8 किलोग्राम टमाटर हैं। एक टोकरी में दूसरी टोकरी से दोगुने टमाटर हैं। प्रत्येक टोकरी में कितने किलोग्राम टमाटर हैं?

1350. पहले खेत का क्षेत्रफल 5 गुना है अधिक क्षेत्रफलदूसरा। प्रत्येक क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है यदि वर्गदूसरा 23.2 हेक्टेयर पर कम क्षेत्रफलपहला?

1351. कॉम्पोट तैयार करने के लिए सूखे सेब के 8 भाग (वजन के अनुसार), खुबानी के 4 भाग और किशमिश के 3 भाग का मिश्रण बनाया गया था। ऐसे मिश्रण के 2.7 किलोग्राम के लिए प्रत्येक सूखे फल के कितने किलोग्राम की आवश्यकता थी?

1352. दो बैग में 1.28 क्विंटल आटा है। पहले बैग में दूसरे की तुलना में 0.12 क्विंटल अधिक आटा है। प्रत्येक बैग में कितने क्विंटल आटा है?

1353. दो टोकरियों में 18.6 किलोग्राम सेब हैं। सेब की पहली टोकरी में दूसरी से 2.4 किग्रा कम है। प्रत्येक टोकरी में कितने किलोग्राम सेब हैं?

1354. दशमलव के रूप में व्यक्त करें:

1355. 100 ग्राम शहद इकट्ठा करने के लिए, एक मधुमक्खी छत्ते में 16 हजार भार अमृत पहुंचाती है। अमृत ​​का एक बोझ क्या है?

1356. एक बोतल में 30 ग्राम दवा है। यदि बोतल में 1500 बूँदें हैं तो दवा की एक बूँद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

1357. किसी भिन्न को दशमलव के रूप में निरूपित करें और इन चरणों का पालन करें:

1358. समीकरण हल करें:

ए) (एक्स - 5.46) -2 = 9;

बी) (वाई + 0.5): 2 = 1.57।

1359. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) 91.8: (10.56 - 1.56) + 0.704; ई) 15.3 -4:9 + 3.2;
बी) (61.5 - 5.16) : 30 + 5.05; ई) (4.3 + 2.4:8) 3;
ग) 66.24 - 16.24: (3.7 + 4.3); छ) 280.8: 12 - 0.3 24;
घ) 28.6 + 11.4: (6.595 + 3.405); ज) (17.6 13 - 41.6) : 12.

1360. मौखिक रूप से गणना करें:

ए) 2.5 - 1.6; बी) 1.8 + 2.5; ग) 3.4 - 0.2; घ) 5 + 0.35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.

ए) 0.3 2; घ) 2.3 3; छ) 3.7 10; मैं) 0.18 5;
बी) 0.8 3; ई) 0.21 4; ज) 0.09 6; जे) 0.87 0.
ग) 1.2 2; ई) 1.6 5;

1362. अनुमान लगाएँ कि समीकरण की जड़ें क्या हैं:

ए) 2.9x = 2.9; ग) 3.7x = 37; ई) ए 3 = ए;
बी) 5.25x = 0; डी) एक्स 2 = एक्स ई) एम 2 = एम 3।

1363. यदि a: में 1 की वृद्धि की जाए तो अभिव्यक्ति 2.5a का मान कैसे बदल जाएगा? 2 से वृद्धि? 2 गुना वृद्धि?

1364. हमें बताएं कि निर्देशांक बीम पर संख्या कैसे अंकित करें: 0.25; 0 5; 0.75. इस बारे में सोचें कि दी गई संख्याओं में से कौन सी संख्याएँ समान हैं। हर 4 वाला कौन सा भिन्न 0.5 के बराबर होता है? तह करना:
1365. उस नियम के बारे में सोचें जिसके द्वारा संख्याओं की एक श्रृंखला बनाई जाती है, और इस श्रृंखला से दो और संख्याएँ लिखें:

ए) 1.2; 1.8; 2.4; 3; ... ग) 0.9; 1.8; 3.6; 7.2; ...
बी) 9.6; 8.9; 8.2; 7.5; ... घ) 1.2; 0.7; 2.2; 1.4; 3.2; 2.1; ...

1366. इन चरणों का पालन करें:

ए) (37.8 - 19.1) 4; ग) (64.37 + 33.21 - 21.56) 14;
बी) (14.23 + 13.97) 31; घ) (33.56 - 18.29) (13.2 + 24.9 - 38.1)।

ए) 3.705; 62.8; 0.5 गुना 10;

बी) 2.3578; 0.0068; 0.3 प्रति 100 बार।

1368. संख्या 82,719.364 को पूर्णांकित करें:

ए) इकाइयों तक; ग) दसवें तक; घ) हजारों तक।
बी) सैकड़ों तक; घ) सौवें तक;

1369. कार्रवाई करें:

1370. तुलना करें:

1371. कोल्या, पेट्या, झेन्या और सेन्या ने खुद को तराजू पर तौला। परिणाम थे: 37.7 किग्रा; 42.5 किग्रा; 39.2 किग्रा; 40.8 किग्रा. प्रत्येक लड़के का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि कोल्या सेन्या से भारी है और पेट्या से हल्का है, और झेन्या सेन्या से हल्का है।

1372. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये और उसका अर्थ ज्ञात कीजिये:

ए) 23.9 - 18.55 - एमटी यदि टी = 1.64;
बी) 16.4 + के + 3.8, यदि के = 2.7।

1373. समीकरण हल करें:

ए) 16.1 - (एक्स - 3.8) = 11.3;

बी) 25.34 - (2.7 + वाई) = 15.34।

1374. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.

1375. विभाजन करें:

ए) 53.5:5; ई) 0.7:25; मैं) 9.607:10;
बी) 1.75:7; ई) 7.9: 316; जे) 14.706: 1000;
ग) 0.48: 6; छ) 543.4:143; एल) 0.0142: 100;
घ) 13.2:24; ज) 40.005: 127; एम) 0.75:10,000।

1376. कार 65.8 किमी/घंटा की गति से 3 घंटे तक राजमार्ग पर चली, और फिर 5 घंटे तक गंदगी वाली सड़क पर चली। यदि उसका पूरा रास्ता 324.9 किमी है तो वह गंदगी वाली सड़क पर किस गति से चली?

1377. गोदाम में 180.4 टन कोयला था। इस कोयले की आपूर्ति स्कूलों को गर्म करने के लिए की गई थी। गोदाम में कितना टन कोयला बचा है?

1378. खेतों की जुताई की गई। यदि 32.5 हेक्टेयर की जुताई की गई हो तो इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1379. समीकरण हल करें:

ए) 15x = 0.15; च) 8पी - 2पी - 14.21 = 75.19;
बी) 3.08: वाई = 4; छ) 295.1: (एन - 3) = 13;
ग) +8ए = 1.87 के लिए; ज) 34 (एम + 1.2) = 61.2;
घ) 7z - 3z = 5.12; i) 15 (k - 0.2) = 21.
ई) 2टी + 5टी + 3.18 = 25.3;

1380. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ए) 0.24: 4 + 15.3: 5 + 12.4: 8 + 0.15: 30;
बी) (1.24 + 3.56) : 16;
ग) 2.28 + 3.72: 12;
घ) 3.6 4- 2.4: (11.7 - 3.7).

1381. तीन घास के मैदानों से 19.7 टन घास एकत्र की गई। पहले और दूसरे घास के मैदानों से समान मात्रा में घास एकत्र की गई थी, और तीसरे से पहले दो घास के मैदानों की तुलना में 1.1 टन अधिक एकत्र किया गया था। प्रत्येक घास के मैदान से कितनी घास एकत्र की गई?

1382. स्टोर ने 3 दिनों में 1240.8 किलोग्राम चीनी बेची। पहले दिन 543 किलो बिकी, दूसरे दिन - तीसरे से 2 गुना ज्यादा। तीसरे दिन कितनी किलोग्राम चीनी बेची गई?

1383. कार ने मार्ग के पहले खंड को 3 घंटे में और दूसरे खंड को 2 घंटे में तय किया। दोनों खंडों की कुल लंबाई 267 किमी है। यदि दूसरे खंड में गति पहले की तुलना में 8.5 किमी/घंटा अधिक थी, तो प्रत्येक खंड में कार किस गति से जा रही थी?

1384. दशमलव में बदलें;

1385. चित्र 151 में दर्शाई गई आकृति के बराबर एक आकृति बनाइए।

1386. एक साइकिल चालक 13.4 किमी/घंटा की गति से शहर से बाहर निकला। 2 घंटे बाद एक अन्य साइकिल चालक उसके पीछे चला गया, जिसकी गति 17.4 किमी/घंटा थी। के माध्यम से

जाने के कितने घंटे बाद दूसरा साइकिल चालक पहले को पकड़ लेगा?

1387. नाव ने धारा के विपरीत चलते हुए 6 घंटे में 177.6 किमी की दूरी तय की। खोजो अपनी गतियदि वर्तमान गति 2.8 किमी/घंटा है तो नाव।

1388. एक नल जो प्रति मिनट 30 लीटर पानी की आपूर्ति करता है, बाथटब को 5 मिनट में भर देता है। फिर नल बंद कर दिया गया और खोल दिया गया नाली का छेदजिससे 6 मिनट में सारा पानी बह गया। 1 मिनट में कितने लीटर पानी डाला गया?

1389. समीकरण हल करें:

ए) 26 (एक्स + 427) = 15,756; ग) 22,374: (के - 125) = 1243;
बी) 101 (351 + वाई) = 65,549; डी) 38,007: (4223 - टी) = 9।

एन.या. विलेनकिन, वी. आई. ज़ोखोव, ए. एस. चेस्नोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड, गणित ग्रेड 5, पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों

गणित वीडियो डाउनलोड, होमवर्क, शिक्षकों और स्कूली बच्चों के लिए सहायता

आइए इस प्रकाश में दशमलव को विभाजित करने के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 1.2 को दशमलव भिन्न 0.48 से विभाजित करें।

समाधान।

उत्तर:

1,2:0,48=2,5 .

उदाहरण।

आवधिक दशमलव भिन्न 0.(504) को दशमलव भिन्न 0.56 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए आवर्त दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें: . हम अंतिम दशमलव भिन्न 0.56 को भी साधारण भिन्न में परिवर्तित करते हैं, हमारे पास 0.56 = 56/100 है। अब हम मूल दशमलव भिन्नों को विभाजित करने से सामान्य भिन्नों को विभाजित करने की ओर बढ़ सकते हैं और गणना समाप्त कर सकते हैं:।

आइए एक कॉलम के साथ अंश को हर से विभाजित करके परिणामी साधारण अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करें:

उत्तर:

0,(504):0,56=0,(900) .

अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों को विभाजित करने का सिद्धांतपरिमित और आवधिक दशमलव भिन्नों को विभाजित करने के सिद्धांत से भिन्न है, क्योंकि गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों का विभाजन परिमित दशमलव अंशों के विभाजन तक कम हो जाता है, जिसके लिए हम कार्य करते हैं संख्याओं को पूर्णांकित करनाएक निश्चित स्तर तक. इसके अलावा, यदि संख्याओं में से एक जिसके साथ विभाजन किया जाता है, एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश है, तो इसे गैर-आवधिक दशमलव अंश के समान अंक तक भी पूर्णांकित किया जाता है।

उदाहरण।

अनंत गैर-आवधिक दशमलव 0.779... को परिमित दशमलव 1.5602 से विभाजित करें।

समाधान।

सबसे पहले आपको दशमलव को गोल करने की आवश्यकता है ताकि आप अनंत गैर-आवधिक दशमलव को विभाजित करने से लेकर परिमित दशमलव को विभाजित करने की ओर बढ़ सकें। हम निकटतम सौवें तक पूर्णांक बना सकते हैं: 0.779…≈0.78 और 1.5602≈1.56। इस प्रकार, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

उत्तर:

0,779…:1,5602≈0,5 .

किसी प्राकृत संख्या को दशमलव भिन्न से विभाजित करना और इसके विपरीत

किसी प्राकृतिक संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने और दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के दृष्टिकोण का सार दशमलव अंशों को विभाजित करने के सार से अलग नहीं है। अर्थात्, परिमित और आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को पूर्णांकित किया जाता है।

स्पष्ट करने के लिए, दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 25.5 को प्राकृत संख्या 45 से विभाजित करें।

समाधान।

दशमलव भिन्न 25.5 को सामान्य भिन्न 255/10=51/2 से प्रतिस्थापित करने पर, विभाजन को सामान्य भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने तक सीमित कर दिया जाता है:। दशमलव अंकन में परिणामी भिन्न का रूप 0.5(6) होता है।

उत्तर:

25,5:45=0,5(6) .

एक दशमलव अंश को एक कॉलम के साथ एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना

प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के अनुरूप, परिमित दशमलव अंशों को एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं में विभाजित करना सुविधाजनक है। आइए विभाजन नियम प्रस्तुत करें।

को एक कॉलम का उपयोग करके दशमलव अंश को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें, ज़रूरी:

• विभाजित किए जा रहे दशमलव अंश के दाईं ओर कई अंक 0 जोड़ें (विभाजन प्रक्रिया के दौरान, यदि आवश्यक हो, तो आप किसी भी संख्या में शून्य जोड़ सकते हैं, लेकिन इन शून्यों की आवश्यकता नहीं हो सकती है);
• दशमलव अंश के एक स्तंभ द्वारा एक प्राकृतिक संख्या द्वारा विभाजन करना, प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के सभी नियमों के अनुसार करना, लेकिन जब दशमलव अंश के पूरे भाग का विभाजन पूरा हो जाता है, तो आपको भागफल में डालना होगा अल्पविराम और विभाजन जारी रखें.

आइए तुरंत कहें कि एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक परिमित दशमलव अंश को विभाजित करने के परिणामस्वरूप, आप या तो एक परिमित दशमलव अंश या अनंत आवधिक दशमलव अंश प्राप्त कर सकते हैं। दरअसल, विभाजित किए जा रहे अंश के सभी गैर-0 दशमलव स्थानों का विभाजन पूरा होने के बाद, या तो शेषफल 0 हो सकता है, और हमें अंतिम दशमलव अंश मिलेगा, या शेष समय-समय पर दोहराना शुरू कर देंगे, और हमें एक मिलेगा आवधिक दशमलव अंश.

आइए उदाहरणों को हल करते समय एक कॉलम में दशमलव भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने की सभी जटिलताओं को समझें।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 65.14 को 4 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक कॉलम का उपयोग करके दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें। आइए भिन्न 65.14 के अंकन में दाईं ओर कुछ शून्य जोड़ें, और हमें एक समान दशमलव भिन्न 65.1400 प्राप्त होगा (समान और असमान दशमलव भिन्न देखें)। अब आप दशमलव अंश 65.1400 के पूर्णांक भाग को एक कॉलम से प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करना शुरू कर सकते हैं:

इससे दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है। यहां भागफल में आपको दशमलव बिंदु लगाना होगा और विभाजन जारी रखना होगा:

हम 0 के शेषफल पर पहुंच गए हैं, इस स्तर पर कॉलम द्वारा विभाजन समाप्त होता है। परिणामस्वरूप, हमारे पास 65.14:4=16.285 है।

उत्तर:

65,14:4=16,285 .

उदाहरण।

164.5 को 27 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक कॉलम का उपयोग करके दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें। पूरे भाग को विभाजित करने पर हमें निम्नलिखित चित्र प्राप्त होता है:

अब हम भागफल में अल्पविराम लगाते हैं और एक कॉलम से विभाजित करना जारी रखते हैं:

अब यह स्पष्ट दिखाई दे रहा है कि शेषफल 25, 7 और 16 की पुनरावृत्ति होने लगी है, जबकि भागफल में संख्या 9, 2 और 5 की पुनरावृत्ति होने लगी है। इस प्रकार, दशमलव 164.5 को 27 से विभाजित करने पर हमें आवर्त दशमलव 6.0(925) प्राप्त होता है।

उत्तर:

164,5:27=6,0(925) .

दशमलव भिन्नों का स्तंभ विभाजन

दशमलव अंश को दशमलव अंश से विभाजित करने को दशमलव अंश को एक स्तंभ के साथ एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने तक कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक को 10, या 100, या 1,000, आदि जैसी संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या बन जाए, और फिर एक कॉलम के साथ एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाए। हम विभाजन और गुणन के गुणों के कारण ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, किसी अनुवर्ती दशमलव को अनुगामी दशमलव से विभाजित करना, करने की जरूरत है:

• लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को दाहिनी ओर उतने स्थानों तक ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं यदि लाभांश में अल्पविराम को हटाने के लिए पर्याप्त स्थान नहीं हैं, तो आपको जोड़ना होगा; आवश्यक मात्रादाईं ओर शून्य;
• इसके बाद दशमलव कॉलम से किसी प्राकृतिक संख्या से भाग दें।

किसी उदाहरण को हल करते समय, दशमलव भिन्न से विभाजन के इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

एक कॉलम 7.287 को 2.1 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए इन दशमलव भिन्नों में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएँ, इससे हमें दशमलव भिन्न 7.287 को दशमलव भिन्न 2.1 से विभाजित करने से लेकर दशमलव भिन्न 72.87 को प्राकृतिक संख्या 21 से विभाजित करने की सुविधा मिलेगी। आइए कॉलम द्वारा विभाजन करें:

उत्तर:

7,287:2,1=3,47 .

उदाहरण।

दशमलव 16.3 को दशमलव 0.021 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश और भाजक में अल्पविराम को दाएँ तीन स्थानों पर ले जाएँ। जाहिर है, भाजक के पास दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, इसलिए हम दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ देंगे। आइए अब भिन्न 16300.0 के कॉलम को प्राकृत संख्या 21 से विभाजित करें:

इस क्षण से, शेषफल 4, 19, 1, 10, 16 और 13 दोहराना शुरू हो जाते हैं, जिसका अर्थ है कि भागफल में संख्याएँ 1, 9, 0, 4, 7 और 6 भी दोहराई जाएंगी। परिणामस्वरूप, हमें आवर्त दशमलव भिन्न 776,(190476) प्राप्त होता है।

उत्तर:

16,3:0,021=776,(190476) .

ध्यान दें कि घोषित नियम आपको एक प्राकृतिक संख्या को एक कॉलम द्वारा अंतिम दशमलव अंश में विभाजित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 3 को दशमलव भिन्न 5.4 से विभाजित करें।

समाधान।

दशमलव बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाने के बाद, हम संख्या 30.0 को 54 से विभाजित करने पर पहुंचते हैं। आइए कॉलम द्वारा विभाजन करें:
.

यह नियम अनंत दशमलव भिन्नों को 10, 100, ... से विभाजित करते समय भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3,(56):1,000=0.003(56) और 593.374…:100=5.93374…।

दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करना।

चूँकि 0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100, आदि, तो सामान्य भिन्न से विभाजित करने के नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि दशमलव भिन्न को 0.1, 0.01, 0.001, आदि से विभाजित करें। यह किसी दिए गए दशमलव को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करने के समान है। क्रमश।

दूसरे शब्दों में, दशमलव अंश को 0.1, 0.01, ... से विभाजित करने के लिए आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, ... अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा, और यदि दशमलव अंश में अंक पर्याप्त नहीं हैं दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए, आपको आवश्यक संख्या को सही शून्य में जोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, 5.739:0.1=57.39 और 0.21:0.00001=21,000.

अनंत दशमलव भिन्नों को 0.1, 0.01, 0.001 आदि से विभाजित करते समय भी यही नियम लागू किया जा सकता है। इस मामले में, आपको आवधिक अंशों को विभाजित करते समय बहुत सावधान रहना चाहिए ताकि विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश की अवधि के साथ गलती न हो। उदाहरण के लिए, 7.5(716):0.01=757,(167), चूंकि दशमलव अंश 7.5716716716... में दशमलव बिंदु को दाईं ओर दो स्थानों पर ले जाने के बाद, हमारे पास प्रविष्टि 757.167167... है। अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के साथ सब कुछ सरल है: 394,38283…:0,001=394382,83… .

किसी भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव से विभाजित करना और इसके विपरीत

एक सामान्य अंश या मिश्रित संख्या को एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश से विभाजित करना, साथ ही एक परिमित या आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश या मिश्रित संख्या से विभाजित करना, सामान्य अंशों को विभाजित करने के लिए आता है। ऐसा करने के लिए, दशमलव भिन्नों को संगत साधारण भिन्नों से बदल दिया जाता है, और मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है।

एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश या मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय और इसके विपरीत, आपको दशमलव अंश को विभाजित करने के लिए आगे बढ़ना चाहिए, सामान्य अंश या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव अंश से प्रतिस्थापित करना चाहिए।

सन्दर्भ.

• अंक शास्त्र: पाठ्यपुस्तक 5वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / एन. हां. विलेनकिन, वी. आई. झोखोव, ए. एस. चेसनोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड। - 21वां संस्करण, मिटाया गया। - एम.: मेनेमोसिन, 2007. - 280 पीपी.: बीमार। आईएसबीएन 5-346-00699-0।
• अंक शास्त्र।छठी कक्षा: शैक्षणिक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [एन. हां विलेनकिन और अन्य]। - 22वां संस्करण, रेव। - एम.: मेनेमोसिन, 2008. - 288 पी.: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-00897-2.
• बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।