एक अपरिमेय संख्या का क्या अर्थ है? तर्कहीन संख्या

हर किसी का भरपूर प्राकृतिक संख्याअक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है। प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं: 1,2,3,4, ... कुछ स्रोतों में, संख्या 0 को एक प्राकृतिक संख्या भी माना जाता है।

सभी पूर्णांकों के समुच्चय को Z अक्षर से दर्शाया जाता है। पूर्णांक सभी प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ हैं:

1,-2,-3, -4, …

अब हम सभी पूर्णांकों के समुच्चय में सभी के समुच्चय को जोड़ते हैं साधारण अंश: 2/3, 18/17, -4/5 इत्यादि। तब हमें सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को अक्षर Q द्वारा दर्शाया जाता है। सभी परिमेय संख्याओं (Q) का समुच्चय m/n, -m/n रूप की संख्याओं और संख्या 0 से युक्त समुच्चय है। जैसे एन,एमकोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी तर्कसंगत संख्याओं को एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका विपरीत भी सत्य है कि किसी भी परिमित या अनंत आवर्त दशमलव अंश को परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

लेकिन, उदाहरण के लिए, संख्या 2.0100100010... के बारे में क्या? यह एक अपरिमित गैर-आवधिक दशमलव अंश है। और यह परिमेय संख्याओं पर लागू नहीं होता.

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, केवल वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का अध्ययन किया जाता है। सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। समुच्चय R में सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा

अपरिमेय संख्याएँ सभी अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं। अपरिमेय संख्याओं का कोई विशेष पदनाम नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का वर्गमूल निकालने से प्राप्त सभी संख्याएँ जो प्राकृतिक संख्याओं का वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय होंगी। (√2, √3, √5, √6, आदि)।

लेकिन यह मत सोचिए कि केवल वर्गमूल निकालने से ही अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या "पाई" भी अपरिमेय है, और यह विभाजन द्वारा प्राप्त की जाती है। और चाहे आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप किसी भी प्राकृत संख्या का वर्गमूल निकालकर इसे प्राप्त नहीं कर सकते।

इस लेख की सामग्री के बारे में प्रारंभिक जानकारी प्रदान करती है तर्कहीन संख्या. सबसे पहले हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा देंगे और उसे समझायेंगे। नीचे हम अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण देते हैं। अंत में, आइए यह पता लगाने के लिए कुछ तरीकों पर गौर करें कि कोई दी गई संख्या अपरिमेय है या नहीं।

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अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा एवं उदाहरण

दशमलव भिन्नों का अध्ययन करते समय, हमने अलग से अनंत गैर-आवधिक पर विचार किया दशमलव. ऐसे अंश तब उत्पन्न होते हैं जब खंडों की दशमलव लंबाई मापते हैं जो एक इकाई खंड के साथ असंगत होते हैं। हमने यह भी नोट किया कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है (साधारण अंशों को दशमलव में परिवर्तित करना और इसके विपरीत देखें), इसलिए, ये संख्याएँ तर्कसंगत संख्याएँ नहीं हैं, वे तथाकथित अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।

तो हम आते हैं अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा.

परिभाषा।

वे संख्याएँ जो दशमलव संकेतन में अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों का प्रतिनिधित्व करती हैं, कहलाती हैं तर्कहीन संख्या.

ध्वनिबद्ध परिभाषा हमें देने की अनुमति देती है अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण. उदाहरण के लिए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 4.10110011100011110000... (एक और शून्य की संख्या हर बार एक बढ़ जाती है) एक अपरिमेय संख्या है। आइए एक अपरिमेय संख्या का एक और उदाहरण दें: -22.353335333335... (आठ को अलग करने वाली तीन की संख्या हर बार दो बढ़ जाती है)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अपरिमेय संख्याएँ अंतहीन गैर-आवधिक दशमलव अंशों के रूप में बहुत कम पाई जाती हैं। वे आम तौर पर फॉर्म आदि के साथ-साथ विशेष रूप से दर्ज किए गए अक्षरों के रूप में भी पाए जाते हैं। सबसे प्रसिद्ध उदाहरणइस अंकन में अपरिमेय संख्याएँ दो का अंकगणितीय वर्गमूल, संख्या "pi" π=3.141592..., संख्या e=2.718281... और स्वर्णिम संख्या हैं।

अपरिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जो तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं को जोड़ती हैं।

परिभाषा।

तर्कहीन संख्यावास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं।

क्या यह संख्या अतार्किक है?

जब कोई संख्या दशमलव भिन्न के रूप में नहीं, बल्कि किसी मूल, लघुगणक आदि के रूप में दी जाती है, तो इस प्रश्न का उत्तर देना कि क्या यह अपरिमेय है, कई मामलों में काफी कठिन होता है।

निस्संदेह, पूछे गए प्रश्न का उत्तर देते समय यह जानना बहुत उपयोगी होता है कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। इस प्रकार, अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

• परिमित और अनंत आवधिक दशमलव अंश।

साथ ही, अंकगणितीय संक्रियाओं (+, −, ·, :) के चिह्नों से जुड़ी परिमेय संख्याओं की कोई भी संरचना एक अपरिमेय संख्या नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल एक परिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, भावों के मान तथा परिमेय संख्याएँ हैं। यहां हम ध्यान दें कि यदि ऐसे व्यंजकों में परिमेय संख्याओं के बीच एक एकल अपरिमेय संख्या शामिल है, तो संपूर्ण अभिव्यक्ति का मान एक अपरिमेय संख्या होगी। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में संख्या अपरिमेय है, और शेष संख्याएँ परिमेय हैं, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है। यदि यह एक परिमेय संख्या होती, तो संख्या की तर्कसंगतता का अनुसरण होता, लेकिन यह परिमेय नहीं है।

यदि संख्या निर्दिष्ट करने वाले व्यंजक में कई अपरिमेय संख्याएँ, मूल चिह्न, लघुगणक शामिल हों, त्रिकोणमितीय कार्य, संख्याएं π, ई, आदि, तो प्रत्येक विशिष्ट मामले में किसी दिए गए नंबर की अतार्किकता या तर्कसंगतता को साबित करना आवश्यक है। हालाँकि, पहले से ही प्राप्त कई परिणाम हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है। आइए मुख्य सूचीबद्ध करें।

यह सिद्ध हो चुका है कि किसी पूर्णांक का kवां मूल एक परिमेय संख्या है, यदि मूल के नीचे की संख्या किसी अन्य पूर्णांक की kth घात है, तो ऐसा मूल एक अपरिमेय संख्या निर्दिष्ट करता है; उदाहरण के लिए, संख्याएँ अपरिमेय हैं, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग 7 हो, और ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका पाँचवीं घात तक बढ़ाने पर संख्या 15 प्राप्त होती है। और संख्याएँ अतार्किक नहीं हैं, चूँकि और।

जहाँ तक लघुगणक का प्रश्न है, कभी-कभी विरोधाभास की विधि का उपयोग करके उनकी अतार्किकता को सिद्ध करना संभव होता है। उदाहरण के तौर पर, आइए साबित करें कि लॉग 2 3 एक अपरिमेय संख्या है।

आइए मान लें कि लॉग 2 3 एक परिमेय संख्या है, अपरिमेय नहीं, यानी इसे एक साधारण भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है। और हमें समानताओं की निम्नलिखित श्रृंखला लिखने की अनुमति दें:। अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि इसके बायीं ओर विषम संख्या , और दाहिनी ओर - सम। तो हम एक विरोधाभास पर आ गए, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत निकली, और इससे साबित हुआ कि लॉग 2 3 एक अपरिमेय संख्या है।

ध्यान दें कि किसी भी सकारात्मक और गैर-एक परिमेय के लिए lna एक अपरिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, और अपरिमेय संख्याएँ हैं।

यह भी सिद्ध है कि किसी भी गैर-शून्य परिमेय a के लिए संख्या e अपरिमेय है, और किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक z के लिए संख्या π z अपरिमेय है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ अपरिमेय हैं।

अपरिमेय संख्याएँ भी त्रिकोणमितीय होती हैं कार्य पापतर्क के किसी भी तर्कसंगत और गैर-शून्य मान के लिए , cos , tg और ctg। उदाहरण के लिए, syn1 , tan(−4) , cos5,7 अपरिमेय संख्याएँ हैं।

अन्य सिद्ध परिणाम भी हैं, लेकिन हम खुद को पहले से सूचीबद्ध परिणामों तक ही सीमित रखेंगे। यह भी कहा जाना चाहिए कि उपरोक्त परिणामों को सिद्ध करते समय, सिद्धांत जुड़ा हुआ है बीजगणितीय संख्याएँऔर पारलौकिक संख्याएँ.

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि हमें दी गई संख्याओं की अतार्किकता के संबंध में जल्दबाजी में निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक अपरिमेय संख्या एक अपरिमेय डिग्री तक एक अपरिमेय संख्या होती है। हालांकि, यह मामला हमेशा नहीं होता है। बताए गए तथ्य की पुष्टि के लिए हम डिग्री प्रस्तुत करते हैं। यह ज्ञात है कि - एक अपरिमेय संख्या है, और यह भी सिद्ध हो चुका है कि - एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन एक परिमेय संख्या है। आप अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण भी दे सकते हैं, जिनका योग, अंतर, गुणनफल और भागफल परिमेय संख्याएँ हैं। इसके अलावा, संख्याओं π+e, π−e, π·e, π π, π e और कई अन्य संख्याओं की तर्कसंगतता या अतार्किकता अभी तक सिद्ध नहीं हुई है।

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सभी परिमेय संख्याओं को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह पूर्ण संख्याओं (उदाहरण के लिए, 12, -6, 0), और परिमित दशमलव भिन्नों (उदाहरण के लिए, 0.5; -3.8921), और अनंत आवधिक दशमलव भिन्नों (उदाहरण के लिए, 0.11(23); -3 ,(87) पर लागू होता है )).

तथापि अनंत गैर-आवधिक दशमलवसाधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता। वे यही हैं तर्कहीन संख्या(अर्थात, तर्कहीन)। ऐसी संख्या का एक उदाहरण संख्या π है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। हालाँकि, यह वास्तव में क्या बराबर है यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि संख्या 4 के बाद अन्य संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला होती है जिसमें दोहराई जाने वाली अवधियों को अलग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, हालाँकि संख्या π को सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसमें एक विशिष्टता है ज्यामितीय अर्थ. संख्या π किसी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात है। इस प्रकार, परिमेय संख्याओं की तरह, अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तव में प्रकृति में मौजूद हैं।

अपरिमेय संख्याओं का एक और उदाहरण है वर्गमूलसकारात्मक संख्याओं से. कुछ संख्याओं से मूल निकालने पर तर्कसंगत मान मिलते हैं, दूसरों से - अपरिमेय। उदाहरण के लिए, √4 = 2, अर्थात 4 का मूल एक परिमेय संख्या है। लेकिन √2, √5, √7 और कई अन्य के परिणामस्वरूप अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, अर्थात, उन्हें केवल सन्निकटन द्वारा, एक निश्चित दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करके निकाला जा सकता है। इस स्थिति में, अंश गैर-आवधिक हो जाता है। अर्थात् इन संख्याओं का मूल क्या है, यह ठीक-ठीक और निश्चित रूप से कहना असंभव है।

तो √5 संख्या 2 और 3 के बीच स्थित एक संख्या है, क्योंकि √4 = 2, और √9 = 3. हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि √5, 3 की तुलना में 2 के करीब है, क्योंकि √4, √5 की तुलना में करीब है √9 से √5. दरअसल, √5 ≈ 2.23 या √5 ≈ 2.24।

अपरिमेय संख्याएँ अन्य गणनाओं में भी प्राप्त की जाती हैं (और केवल जड़ें निकालते समय नहीं), और नकारात्मक हो सकती हैं।

अपरिमेय संख्याओं के संबंध में हम कह सकते हैं कि ऐसी संख्या द्वारा व्यक्त लंबाई को मापने के लिए हम चाहे कोई भी इकाई खंड लें, हम उसे निश्चित रूप से मापने में सक्षम नहीं होंगे।

अंकगणितीय संक्रियाओं में, परिमेय संख्याओं के साथ-साथ अपरिमेय संख्याएँ भी भाग ले सकती हैं। साथ ही, कई नियमितताएं भी हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी अंकगणितीय संक्रिया में केवल परिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं, तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि केवल अपरिमेय लोग ही ऑपरेशन में भाग लेते हैं, तो यह स्पष्ट रूप से कहना असंभव है कि परिणाम एक तर्कसंगत या अपरिमेय संख्या होगी या नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि आप दो अपरिमेय संख्याओं √2 * √2 को गुणा करते हैं, तो आपको 2 मिलता है - यह एक परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, √2 * √3 = √6 एक अपरिमेय संख्या है।

यदि किसी अंकगणितीय संक्रिया में तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं, तो परिणाम अपरिमेय होगा। उदाहरण के लिए, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

√17 – 4 एक अपरिमेय संख्या क्यों है? आइए कल्पना करें कि परिणाम एक परिमेय संख्या x है। तब √17 = x + 4. लेकिन x + 4 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि हमने मान लिया कि x परिमेय संख्या है। संख्या 4 भी परिमेय है, इसलिए x + 4 भी परिमेय है। हालाँकि, एक परिमेय संख्या अपरिमेय संख्या √17 के बराबर नहीं हो सकती। इसलिए, यह धारणा कि √17 – 4 एक तर्कसंगत परिणाम देता है गलत है। अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम अतार्किक होगा।

हालाँकि, इस नियम का एक अपवाद है। यदि हम किसी अपरिमेय संख्या को 0 से गुणा करते हैं, तो हमें परिमेय संख्या 0 प्राप्त होती है।

हमने पहले दिखाया है कि $1\frac25$, $\sqrt2$ के करीब है। यदि यह बिल्कुल $\sqrt2$ के बराबर होता, . फिर अनुपात $\frac(1\frac25)(1)$ है, जिसे भिन्न के शीर्ष और निचले हिस्से को 5 से गुणा करके पूर्णांक अनुपात $\frac75$ में बदला जा सकता है, और यह वांछित मान होगा।

लेकिन, दुर्भाग्यवश, $1\frac25$, $\sqrt2$ का सटीक मान नहीं है। एक अधिक सटीक उत्तर, $1\frac(41)(100)$, हमें $\frac(141)(100)$ का संबंध देता है। जब हम $\sqrt2$ को $1\frac(207)(500)$ के बराबर करते हैं तो हम और भी अधिक सटीकता प्राप्त करते हैं। इस मामले में, पूर्णांकों में अनुपात $\frac(707)(500)$ के बराबर होगा। लेकिन $1\frac(207)(500)$, 2 के वर्गमूल का सटीक मान नहीं है। ग्रीक गणितज्ञों ने $\sqrt2$ के सटीक मान की गणना करने के लिए बहुत समय और प्रयास खर्च किया, लेकिन वे कभी सफल नहीं हुए। वे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में अनुपात $\frac(\sqrt2)(1)$ का प्रतिनिधित्व करने में असमर्थ थे।

अंततः महान यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने साबित कर दिया कि गणना की सटीकता चाहे कितनी भी बढ़ जाए, $\sqrt2$ का सटीक मान प्राप्त करना असंभव है। ऐसा कोई भिन्न नहीं है जिसका वर्ग करने पर परिणाम 2 आएगा। वे कहते हैं कि पाइथागोरस इस निष्कर्ष पर पहुंचने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन यह अकथनीय तथ्यवैज्ञानिक इतना आश्चर्यचकित हुआ कि उसने स्वयं शपथ ली और अपने छात्रों से भी इस खोज को गुप्त रखने की शपथ ली। हालाँकि, यह जानकारी सत्य नहीं हो सकती है।

लेकिन यदि संख्या $\frac(\sqrt2)(1)$ को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, तो $\sqrt2$ वाली कोई संख्या नहीं, उदाहरण के लिए $\frac(\sqrt2)(2)$ या $\frac (4)(\sqrt2)$ को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में भी प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऐसे सभी भिन्नों को $\frac(\sqrt2)(1)$ में किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है। तो $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. या $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, जिसे $\frac(4) प्राप्त करने के लिए ऊपर और नीचे को $\sqrt2$ से गुणा करके परिवर्तित किया जा सकता है (\sqrt2)$. (हमें याद रखना चाहिए कि संख्या $\sqrt2$ चाहे कोई भी हो, यदि हम इसे $\sqrt2$ से गुणा करते हैं तो हमें 2 मिलता है।)

चूँकि संख्या $\sqrt2$ को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे कहा जाता है अपरिमेय संख्या. दूसरी ओर, वे सभी संख्याएँ जिन्हें पूर्णांकों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, कहलाती हैं तर्कसंगत.

सभी पूर्ण और भिन्नात्मक संख्याएँ, धनात्मक और ऋणात्मक दोनों, परिमेय हैं।

जैसा कि यह पता चला है, अधिकांश वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ हैं। वर्ग संख्याओं की श्रृंखला में केवल संख्याओं के ही तर्कसंगत वर्गमूल होते हैं। इन संख्याओं को पूर्ण वर्ग भी कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ भी इन्हीं पूर्ण वर्गों से बनी भिन्नें हैं। उदाहरण के लिए, $\sqrt(1\frac79)$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ या $1\frac13$ (4 मूल है) 16 का वर्गमूल, और 3 9 का वर्गमूल है)।

प्राचीन गणितज्ञ पहले से ही इकाई लंबाई के एक खंड के बारे में जानते थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग की भुजा की असंगतता, जो संख्या की अतार्किकता के बराबर है।

तर्कहीन हैं:

अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

2 की जड़

आइए इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम सम और है। इसे वहीं रहने दो जहां संपूर्ण है। तब

अत: सम का अर्थ सम और है। हमने पाया कि और सम हैं, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसका मतलब यह है कि मूल धारणा गलत थी, और यह एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 का द्विआधारी लघुगणक

आइए इसके विपरीत मान लें: तर्कसंगत, यानी, एक अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और को सकारात्मक चुना जा सकता है। तब

लेकिन सम और विषम. हमें एक विरोधाभास मिलता है.

ई

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। .

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था, जिसने पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके यह प्रमाण पाया था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जो किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक में प्रवेश करती थी। हालाँकि, हिप्पासस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ एऔर बीजितना संभव हो उतना छोटा चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए² = 2 बी².
• क्योंकि ए- यहां तक ​​की, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• क्योंकि ए:बीअलघुकरणीय बीअजीब होना चाहिए.
• क्योंकि एयहां तक ​​कि, हम निरूपित करते हैं ए = 2य.
• तब ए² = 4 य² = 2 बी².
• बी² = 2 य², इसलिए बी- फिर भी बीयहां तक ​​की।
• हालाँकि, यह बात सिद्ध हो चुकी है बीविषम। विरोधाभास।

यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पायथागॉरियन गणित को चुनौती दी गंभीर समस्या, पूरे सिद्धांत की अंतर्निहित धारणा को नष्ट कर रहा है कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।

यह भी देखें

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