एन-वें डिग्री की जड़: परिभाषाएं, पदनाम, उदाहरण। वर्गमूल। व्यापक गाइड (2019)

आइए एक वर्ग की भुजा ज्ञात करने की एक सरल समस्या को हल करें जिसका क्षेत्रफल 9 सेमी 2 है। यदि हम मान लें कि वर्ग की भुजा एसेमी, फिर हम समस्या की स्थितियों के अनुसार, समीकरण बनाते हैं:

एएन एस ए = 9

ए 2 = 9

ए 2 -9 = 0

(ए-3) (ए + 3) = 0

ए = 3 या ए = -3

वर्ग की भुजा की लंबाई ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, इसलिए वर्ग की अभीष्ट भुजा 3 सेमी है।

समीकरण को हल करते समय, हमें संख्याएँ 3 और -3 मिलीं, जिनके वर्ग 9 हैं। इनमें से प्रत्येक संख्या को 9 का वर्गमूल कहा जाता है। इन मूलों की गैर-ऋणात्मक संख्या, अर्थात संख्या 3 कहलाती है। संख्या का अंकगणितीय मूल।

इस तथ्य को स्वीकार करना काफी तर्कसंगत है कि जड़ को तीसरी डिग्री (घनमूल), चौथी डिग्री, और इसी तरह की संख्याओं से पाया जा सकता है। और सिद्धांत रूप में, रूट एक्सपोनेंटिएशन के लिए रिवर्स ऑपरेशन है।

जड़एन -वीं डिग्रीसंख्या से α ऐसी संख्या है बी, कहां बी नहीं = α .

यहां एन- प्राकृत संख्या को सामान्यतः कहा जाता है मूल प्रतिपादक(या जड़ की डिग्री); एक नियम के रूप में, यह 2 से बड़ा या उसके बराबर है, क्योंकि मामला एन = 1 घिनौना।

वे लिखित रूप में निरूपित करते हैं इसलिए दाईं ओर के प्रतीक (मूल चिह्न) को कहा जाता है मौलिक... संख्या α - मूल अभिव्यक्ति... एक पक्ष के साथ हमारे उदाहरण के लिए, समाधान इस तरह दिख सकता है: चूंकि (± 3) 2 = 9 .

हमें सकारात्मक और नकारात्मक मूल मान मिले हैं। यह सुविधा गणना को जटिल बनाती है। असंदिग्धता प्राप्त करने के लिए, अवधारणा पेश की गई थी अंकगणितीय जड़, जिसका मान हमेशा धनात्मक चिह्न के साथ होता है, अर्थात केवल धनात्मक।

जड़बुलाया अंकगणितयदि इसे एक धनात्मक संख्या से निकाला जाता है और यह स्वयं एक धनात्मक संख्या है।

उदाहरण के लिए,

दी गई संख्या की दी गई घात का केवल एक अंकगणितीय मूल होता है।

निपटान संचालन को आमतौर पर कहा जाता है " जड़ निष्कर्षण एन-th डिग्री "बीच से α ... वास्तव में, हम एक शक्ति को बढ़ाने के लिए विपरीत ऑपरेशन करते हैं, अर्थात्, शक्ति का आधार खोजना बीएक ज्ञात संकेतक द्वारा एनऔर घातांक परिणाम

α = बी एन।

दूसरी और तीसरी डिग्री की जड़ें दूसरों की तुलना में व्यवहार में अधिक बार उपयोग की जाती हैं, और इसलिए उन्हें विशेष नाम दिए गए थे।

वर्गमूल: इस मामले में, 2 के घातांक को न लिखने की प्रथा है, और घातांक को निर्दिष्ट किए बिना "रूट" शब्द का अर्थ अक्सर वर्गमूल होता है। ज्यामितीय रूप से, व्याख्या एक वर्ग की भुजा की लंबाई है जिसका क्षेत्रफल के बराबर है α .

घनमूल: ज्यामितीय रूप से व्याख्या की गई, यह एक घन के किनारे की लंबाई के लिए खड़ा है, जिसका आयतन है α .

अंकगणितीय जड़ों के गुण।

1) गणना करते समय उत्पाद की अंकगणितीय जड़, इसे प्रत्येक कारक से अलग से निकालना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

2) गणना के लिए भिन्न मूल, इसे इस भिन्न के अंश और हर से निकालना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

3) गणना करते समय शक्ति की जड़, घातांक को मूल घातांक से विभाजित करना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

वर्गमूल की निकासी से संबंधित पहली गणना प्राचीन बेबीलोन और चीन, भारत, ग्रीस के गणितज्ञों के कार्यों में पाई गई थी (इस संबंध में प्राचीन मिस्र की उपलब्धियों के बारे में कोई जानकारी नहीं है)।

प्राचीन बेबीलोन (द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व) के गणितज्ञों ने वर्गमूल निकालने के लिए एक विशेष संख्यात्मक विधि का उपयोग किया। वर्गमूल के लिए प्रारंभिक सन्निकटन मूल (नीचे की ओर) के निकटतम प्राकृतिक संख्या के आधार पर पाया गया था एन... कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को रूप में प्रस्तुत करना: α = एन 2 + आर, हम पाते हैं: एक्स 0 = एन + आर / 2एन, फिर एक पुनरावृत्त शोधन प्रक्रिया लागू की गई:

इस पद्धति में पुनरावृत्ति बहुत जल्दी अभिसरण करती है। के लिये ,

उदाहरण के लिए, α = 5; एन = 2; आर = 1; एक्स 0 = 9/4 = 2.25और हमें सन्निकटन का एक क्रम मिलता है:

अंतिम मान में, अंतिम अंक को छोड़कर सभी अंक सही हैं।

यूनानियों ने एक घन को दोगुना करने की समस्या तैयार की, जो एक कंपास और एक शासक का उपयोग करके घनमूल बनाने के लिए उबाल गया। एक पूर्णांक से किसी भी डिग्री की गणना के नियमों का अध्ययन भारत और अरब राज्यों के गणितज्ञों द्वारा किया जाता है। इसके अलावा, वे मध्ययुगीन यूरोप में व्यापक रूप से विकसित हुए थे।

आज, वर्ग और घनमूलों की गणना की सुविधा के लिए कैलकुलेटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रथम स्तर

जड़ और उसके गुण। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि यह अवधारणा "रूट" क्या है और "इसके साथ क्या खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका आप पहले ही पाठों में सामना कर चुके हैं (ठीक है, या आपको बस इसका सामना करना होगा)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है। इस समीकरण का हल क्या है? आप एक ही समय में किन संख्याओं का वर्ग और प्राप्त कर सकते हैं? गुणन तालिका को याद करके, आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (आखिरकार, जब आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरलता के लिए, गणितज्ञों ने वर्गमूल की एक विशेष अवधारणा पेश की और इसे एक विशेष प्रतीक सौंपा।

आइए अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या अनिवार्य रूप से गैर-ऋणात्मक क्यों होनी चाहिए? उदाहरण के लिए, किसके बराबर है। अच्छा, चलो इसे लेने की कोशिश करते हैं। शायद तीन? आइए जांचें:, नहीं। शायद, ? फिर से, जांचें:। अच्छा, यह नहीं आ रहा है? यह उम्मीद की जानी चाहिए - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता होने पर ऋणात्मक संख्या दे!
यह याद रखना चाहिए: मूल चिह्न के नीचे की संख्या या व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए!

हालांकि, सबसे चौकस लोगों ने शायद पहले ही ध्यान दिया है कि परिभाषा कहती है कि किसी संख्या के वर्गमूल के समाधान को ऐसा कहा जाता है गैर नकारात्मकएक संख्या जिसका वर्ग ". आप में से कुछ कहेंगे कि शुरुआत में हमने एक उदाहरण का विश्लेषण किया था, चयनित संख्याएं जिन्हें चुकता किया जा सकता है और एक ही समय में प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, लेकिन यहां यह किसी प्रकार की "गैर-ऋणात्मक संख्या" के बारे में कहा गया है! ऐसी टिप्पणी काफी उचित है। यहां आपको केवल द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यह एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है।

यह उसका अनुसरण करता है, अर्थात्, या। (विषय "" पढ़ें)

और उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि संकेत समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय, हमें सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर, सही परिणाम। दोनों और हमारे द्विघात समीकरण के लिए उपयुक्त हैं।

हालांकि, यदि बस वर्गमूल निकालेंकिसी चीज से, फिर हमेशा हमें एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है.

अब ऐसे समीकरण को हल करने का प्रयास करें। यह पहले से ही इतना सरल और सहज नहीं है, है ना? संख्याओं पर पुनरावृति करने का प्रयास करें, शायद कुछ जल जाएगा? चलो शुरू से शुरू करते हैं - खरोंच से: - यह फिट नहीं है, हम आगे बढ़ते हैं - तीन से कम, हम इसे एक तरफ भी स्वीप करते हैं, लेकिन क्या होगा। आइए जाँचते हैं: - भी फिट नहीं है, क्योंकि यह तीन से अधिक है। नकारात्मक संख्याएं एक ही कहानी बनाती हैं। तो अब क्या करना है? वास्तव में पाशविक बल ने हमें कुछ नहीं दिया? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर कुछ संख्या के बीच में होगा, साथ ही साथ और के बीच भी। साथ ही, यह स्पष्ट है कि हल पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें और उस पर समाधानों को चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को चकमा देने की कोशिश करें और कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें! आइए व्यापार से जड़ निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है। यह संख्या कभी समाप्त नहीं होती। आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कैलकुलेटर नहीं होगा! सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको एक अनुमानित मूल्य को याद रखने (या जल्दी से अनुमान लगाने में सक्षम) की आवश्यकता है। और पहले से ही जवाब खुद। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, ऐसी संख्याओं के लेखन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।

आइए पिनिंग के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए इस समस्या का विश्लेषण करें: आपको एक वर्गाकार क्षेत्र को किमी की एक भुजा के साथ तिरछे पार करने की आवश्यकता है, आपको कितने किमी जाना है?

यहाँ सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस प्रकार, । तो यहाँ वांछित दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती है, हमें वह मिलता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

ताकि उदाहरणों को जड़ों से हल करने से समस्या न हो, आपको उन्हें देखने और पहचानने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानने की जरूरत है, और उन्हें पहचानने में भी सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि वर्ग में क्या बराबर है, और इसके विपरीत, वर्ग में क्या है।

समझे कि वर्गमूल क्या होता है? फिर कुछ उदाहरण हल करें।

उदाहरण।

अच्छा, यह कैसे काम किया? आइए अब कुछ उदाहरण देखें:

उत्तर:

घन जड़

खैर, हमने वर्गमूल की अवधारणा को समझ लिया है, अब आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि घनमूल क्या है और उनका अंतर क्या है।

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या होती है जिसका घन होता है। क्या आपने देखा है कि यहाँ सब कुछ बहुत आसान है? घनमूल चिह्न और निकाले जाने वाली संख्या के अंतर्गत दोनों मानों के संभावित मानों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। यानी क्यूब रूट को किसी भी नंबर से निकाला जा सकता है:.

क्यूब रूट क्या है और इसे कैसे निकाला जाता है, इसकी समझ है? फिर उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

उदाहरण।

उत्तर:

जड़ - वें डिग्री

खैर, हमने वर्ग और घनमूल की अवधारणाओं का पता लगाया। अब आइए अवधारणा द्वारा प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें वें रूट.

गु जड़एक संख्या का एक संख्या है, जिसका वां घात बराबर है, अर्थात।

समकक्ष है।

अगर यहाँ तक कि, फिर:

• नकारात्मक के साथ, व्यंजक का कोई मतलब नहीं है (सम-ऋणात्मक संख्याओं की जड़ें निकाला नहीं जा सकता!);
• गैर-नकारात्मक के साथ() व्यंजक में एक ऋणात्मक जड़ होती है।

यदि - विषम है, तो व्यंजक में किसी के लिए एक ही मूल है।

चिंतित न हों, यहां भी वही सिद्धांत लागू होते हैं जैसे वर्ग और घन जड़ों के साथ। यही है, हम उन सिद्धांतों को लागू करते हैं जिन्हें हमने वर्गमूलों पर विचार करते समय सम-थ डिग्री के सभी मूलों पर लागू किया था।

और क्यूब रूट के लिए जो गुण इस्तेमाल किए गए थे, वे ऑड-वें डिग्री की जड़ों पर लागू होते हैं।

अच्छा, क्या यह स्पष्ट हो गया है? आइए उदाहरणों के साथ समझते हैं:

यहां सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: पहले हम देखते हैं - अहा, डिग्री सम है, जड़ के नीचे की संख्या सकारात्मक है, इसलिए हमारा काम ऐसी संख्या को खोजना है, जिसकी चौथी डिग्री हमें देगी। अच्छा, क्या कोई सुझाव हैं? शायद, ? बिल्कुल,!

तो, डिग्री है - विषम, मूल के नीचे संख्या ऋणात्मक है। हमारा काम ऐसी संख्या को खोजना है, जब किसी शक्ति को बढ़ाया जाए, तो यह निकला। जड़ को तुरंत नोटिस करना मुश्किल है। हालांकि, आप तुरंत अपनी खोज को कम कर सकते हैं, है ना? सबसे पहले, वांछित संख्या निश्चित रूप से नकारात्मक है, और दूसरी बात, आप देख सकते हैं कि - विषम, और इसलिए वांछित संख्या विषम है। जड़ खोजने की कोशिश करो। बेशक, आप इसे सुरक्षित रूप से एक तरफ स्वीप कर सकते हैं। शायद, ?

हाँ, हम यही खोज रहे थे! ध्यान दें कि गणना को सरल बनाने के लिए, हमने शक्ति गुणों का उपयोग किया:।

जड़ों के मूल गुण

स्पष्ट? यदि नहीं, तो उदाहरणों को देखने के बाद सब कुछ ठीक हो जाना चाहिए।

जड़ों का गुणन

जड़ों को कैसे गुणा करें? सबसे सरल और सबसे बुनियादी संपत्ति इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करती है:

आइए एक साधारण से शुरू करें:

परिणामी संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं निकाली जाती हैं? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

लेकिन क्या होगा यदि कारक दो नहीं, बल्कि अधिक हों? वैसा ही! मूल गुणन सूत्र किसी भी कारक के साथ काम करता है:

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निश्चित रूप से, तीनों को जड़ के नीचे छिपाएं, याद रखें कि तीनों का वर्गमूल है!

हमें यह क्यों चाहिये? हां, उदाहरणों को हल करते समय अपनी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या यह जीवन को बहुत आसान बनाता है? मेरे लिए, यह सही है! बस इतना याद रखना हम सम अंश के मूल के चिह्न के अंतर्गत केवल धनात्मक संख्याओं का परिचय दे सकते हैं.

आइए देखें कि यह और कहां काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, एक समस्या के लिए आपको दो संख्याओं की तुलना करनी होगी:

की अधिक:

आप बल्ले से सही नहीं बता सकते। ठीक है, आइए मूल चिह्न के तहत एक संख्या दर्ज करने की विश्लेषण की गई संपत्ति का उपयोग करें? तो आगे बढ़ो:

खैर, यह जानते हुए कि मूल चिह्न के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी! वे। तो अगर,। इससे हम दृढ़ता से यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

इससे पहले, हमने मूल चिह्न के तहत कारक का परिचय दिया, लेकिन इसे कैसे निकाला जाए? आपको बस इसे कारक बनाना है और जो निकाला जाता है उसे निकालना है!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विघटित होना संभव था:

बुरा नहीं है, हुह? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, तय करें कि आपको सबसे अच्छा क्या सूट करता है।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन क्या होगा यदि यह विषम है? फिर से, शक्ति गुण लागू करें और सब कुछ कारक करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट होने लगता है, लेकिन किसी संख्या के मूल को किसी घात में कैसे निकाला जाए? उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत आसान है, है ना? और अगर डिग्री दो से ज्यादा है? हम शक्ति गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर यहाँ एक उदाहरण है:

ये नुकसान हैं, इनके बारे में हमेशा याद रखने लायक... यह वास्तव में संपत्ति के उदाहरणों का प्रतिबिंब है:

विषम के लिए: सम और के लिए:

स्पष्ट? उदाहरणों के साथ सुदृढ़ करें:

हाँ, हम देखते हैं, जड़ सम घात में है, मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या भी सम घात में है। अच्छा, क्या यह वही है? यहाँ क्या है:

बस इतना ही! अब यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

समझ गया? फिर उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

उदाहरण।

उत्तर।

यदि आपको उत्तर मिल गए हैं, तो आप मन की शांति के साथ आगे बढ़ सकते हैं। यदि नहीं, तो आइए इन उदाहरणों को समझते हैं:

आइए जड़ों के दो अन्य गुणों को देखें:

उदाहरणों में इन गुणों का विश्लेषण किया जाना चाहिए। अच्छा, हम करेंगे?

समझा? आइए इसे ठीक करें।

उदाहरण।

उत्तर।

जड़ें और उनके गुण। औसत स्तर

अंकगणित वर्गमूल

समीकरण के दो हल हैं: और। ये वे संख्याएँ हैं जिनका वर्ग है।

समीकरण पर विचार करें। आइए इसे ग्राफिक रूप से हल करें। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ और स्तर पर एक रेखा बनाएं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान होंगे। हम देखते हैं कि इस समीकरण के भी दो समाधान हैं - एक सकारात्मक, दूसरा नकारात्मक:

लेकिन इस मामले में, समाधान पूर्ण संख्याएं नहीं हैं। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। इन अपरिमेय निर्णयों को लिखने के लिए, हम विशेष वर्गमूल चिह्न का परिचय देते हैं।

अंकगणित वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग है। जब व्यंजक परिभाषित नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर हो।

वर्गमूल: .

उदाहरण के लिए, । और यह उसका अनुसरण करता है या।

एक बार फिर, मैं आपका ध्यान आकर्षित करता हूं, यह बहुत महत्वपूर्ण है: वर्गमूल हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है: !

घन जड़किसी संख्या का वह संख्या है जिसका घन है। घनमूल सभी के लिए परिभाषित है। इसे किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है:. जैसा कि आप देख सकते हैं, यह नकारात्मक मान भी ले सकता है।

किसी संख्या की वें घात का मूल वह संख्या होती है, जिसका वां घात बराबर होता है, अर्थात।

यदि - सम, तब:

• यदि, तो a का वां मूल अपरिभाषित है।
• यदि, तो समीकरण के गैर-ऋणात्मक मूल को th डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है और इसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।

यदि - विषम है, तो समीकरण में किसी के लिए एक ही मूल होता है।

क्या आपने देखा है कि हम इसकी डिग्री को मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखते हैं? लेकिन वर्गमूल के लिए नहीं! यदि आप बिना डिग्री के जड़ देखते हैं, तो वह वर्ग (डिग्री) है।

उदाहरण।

जड़ों के मूल गुण

जड़ें और उनके गुण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

वर्गमूल (अंकगणित वर्गमूल)एक गैर-ऋणात्मक संख्या को ऐसा कहा जाता है गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका वर्ग है

मूल गुण:

इस लेख में, हम परिचय देंगे मूल अवधारणा... हम क्रमिक रूप से आगे बढ़ेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम घनमूल के विवरण पर आगे बढ़ेंगे, उसके बाद हम n-वें मूल को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाओं, पदनामों का परिचय देंगे, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, आपके पास होना चाहिए। इस बिंदु पर, हम अक्सर किसी संख्या की दूसरी घात - किसी संख्या का वर्ग देखेंगे।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

a . का वर्गमूलएक संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, हम कई संख्याएँ लेते हैं, उदाहरण के लिए, 5, -0.3, 0.3, 0, और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25, 0.09, 0.09 और 0, संख्याएँ मिलती हैं (5 2 = 5 5 = 25, (-0.3) 2 = (- 0.3) (-0.3) = 0.09, (0.3) 2 = 0.3 · 0.3 = 0.09 और 0 2 = 0 · 0 = 0)। फिर, उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक संख्या के लिए a मौजूद नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए, एक भी वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर होगा। वास्तव में, समानता a = b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है... दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक a के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दिए गए गैर-ऋणात्मक संख्या से सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक?" यहाँ उत्तर है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं। आइए इसे सही ठहराते हैं।

आइए केस ए = 0 से शुरू करें। सबसे पहले, आइए दिखाते हैं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0 · 0 = 0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है। आइए विरोधाभास द्वारा विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कोई शून्येतर संख्या b है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त b 2 = 0 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य b के लिए व्यंजक b 2 का मान धनात्मक होता है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

हम उन मामलों को पास करते हैं जब a एक धनात्मक संख्या होती है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए कि a का वर्गमूल संख्या b है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएँ b 2 = a और c 2 = a होल्ड, जिससे यह अनुसरण करता है कि b 2 - c 2 = a - a = 0, लेकिन चूंकि b 2 - c 2 = (b - सी) बी + सी), फिर (बी - सी) (बी + सी) = 0। के कारण परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणयह तभी संभव है जब b - c = 0 या b + c = 0 हो। इस प्रकार, संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, जिसमें वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।

वर्गमूलों के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक मूल को धनात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, अंकगणितीय वर्गमूल परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन अपनाया जाता है। चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल साइन भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल के चिन्ह के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अभिलेख में संख्या 151 एक मूलांक है, और अभिलेख में व्यंजक एक मूलांक है।

"अंकगणित" शब्द को पढ़ते समय अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, रिकॉर्ड को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का उच्चारण तभी किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल की बात कर रहे हैं।

प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a.

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के रूप में और उसका उपयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और। शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, जब तक हम अध्ययन नहीं करेंगे तब तक हमें अंकन का कोई अर्थ नहीं होगा जटिल आंकड़े... उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।

इस मद के निष्कर्ष में, ध्यान दें कि संख्या a का वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 = a के रूप का हल है।

किसी संख्या का घनमूल

घनमूल ज्ञात करनासंख्या का एक वर्गमूल की परिभाषा के समान दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।

परिभाषा

संख्या a . का घनमूलएक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

आइए हम देते हैं घनमूलों के उदाहरण... ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7, 0, −2/3, और उन्हें घन करें: 7 3 = 7 7 7 = 343, 0 3 = 0 0 0 = 0, ... फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम यह तर्क दे सकते हैं कि संख्या 7, 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और −2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। इसके लिए हम अलग-अलग तीन स्थितियों पर विचार करेंगे: a एक धनात्मक संख्या है, a = 0 है और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 = a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b = 0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 = b · b · b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अलावा संख्या a का एक और घनमूल है, हम इसे c से निरूपित करते हैं। फिर सी 3 = ए। इसलिए, बी 3 - सी 3 = ए - ए = 0, और बी 3 -सी 3 = (बी - सी) (बी 2 + बी सी + सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहां से (बी - सी) (बी 2 + बी सी + सी 2) = 0। प्राप्त समानता तभी संभव है जब b - c = 0 या b 2 + b · c + c 2 = 0 हो। पहली समानता से हमारे पास b = c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां हाथ किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन सकारात्मक पदों b 2, b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।

a = 0 के लिए, केवल संख्या शून्य ही संख्या a का घनमूल है। वास्तव में, यदि हम मान लें कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 होनी चाहिए, जो तभी संभव है जब b = 0 हो।

नकारात्मक a के लिए, कोई व्यक्ति सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरा, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले के साथ मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक ही होता है।

चलो हम देते है अंकगणित घनमूल परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के अंकगणितीय घनमूल को निरूपित किया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल प्रतिपादक... मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है मूल अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, यह अंकगणित का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिसमें अंकगणितीय घनमूल के चिह्न के नीचे ऋणात्मक संख्याएं हैं। हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम मूल के गुणों पर सामान्य लेख में घनमूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट वैल्यू की गणना को क्यूब रूट एक्सट्रैक्शन कहा जाता है, इस क्रिया पर लेख रूट एक्सट्रैक्शन में चर्चा की गई है: तरीके, उदाहरण, समाधान।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि संख्या a का घनमूल x 3 = a के रूप का एक हल है।

वां मूल, वां अंकगणितीय मूल

किसी संख्या के मूल की अवधारणा को सामान्य बनाने के लिए, हम परिचय देते हैं nवीं डिग्री की जड़ का निर्धारणएन के लिए

परिभाषा

a . का वां मूलएक संख्या है जिसका n -th घात a है।

इस परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि संख्या की पहली डिग्री की जड़ संख्या एक ही है, क्योंकि प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = ए लिया।

ऊपर, हमने n = 2 और n = 3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवें मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए n-वें डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम अंश (अर्थात n = 5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों की जड़ें वर्गमूल के समान होती हैं, और विषम अंशों की जड़ें घनमूल के समान होती हैं। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करते हैं, जिनकी घातें सम संख्याएँ 4, 6, 8, ... हैं, जैसा कि हमने कहा, वे संख्या a के वर्गमूल के अनुरूप हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी भी सम अंश का मूल केवल एक ऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a = 0 है, तो a का मूल अद्वितीय है और शून्य के बराबर है, और यदि a> 0 है, तो संख्या a से सम घात के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।

आइए हम अंतिम कथन की पुष्टि करें। मान लीजिए b एक सम घात का मूल है (हम इसे 2 m के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ m कोई प्राकृत संख्या है) संख्या a से। मान लीजिए कि एक संख्या c है - संख्या a के घात 2 m का एक और मूल। फिर बी 2 एम - सी 2 एम = ए - ए = 0। लेकिन हम b 2 m −c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम - 2 + बी 2 एम -4 सी 2 + बी 2 एम - 6 सी 4 +… + सी 2 एम - 2), फिर (बी - सी) (बी + सी) (बी 2 एम - 2 + बी 2 एम -4 सी 2 + बी 2 एम - 6 सी 4 +… + सी 2 एम - 2) = 0... इस समानता का अर्थ है कि b - c = 0, या b + c = 0, or बी 2 एम -2 + बी 2 एम -4 सी 2 + बी 2 एम -6 सी 4 +… + सी 2 एम -2 = 0... पहली दो समानता का अर्थ है कि संख्याएँ b और c बराबर हैं या b और c विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल b = c = 0 के लिए मान्य है, क्योंकि इसके बाईं ओर एक ऐसा व्यंजक है जो किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।

a के विषम अंश 2 m + 1 के मूल की विशिष्टता, a के घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। समानता की जगह सिर्फ यहीं ए 3 -बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + ए बी + सी 2) b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = . के रूप की समानता (बी - सी) (बी 2 एम + बी 2 एम - 1 सी + बी 2 एम - 2 सी 2 +… + सी 2 एम)... अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम + सी 2 एम + बी सी (बी 2 एम -2 + सी 2 एम -2 + बी सी (बी 2 एम -4 + सी 2 एम -4 + बी सी (... + (बी 2 + सी 2 + बी सी))))... उदाहरण के लिए, m = 2 के लिए हमारे पास है बी 5 -सी 5 = (बी - सी) (बी 4 + बी 3 सी + बी 2 सी 2 + बी सी 3 + सी 4) = (बी - सी) (बी 4 + सी 4 + बी सी (बी 2 + सी 2 + बी सी))... जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हों, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होती है, तो उच्चतम नेस्टिंग कोष्ठकों में व्यंजक b 2 + c 2 + b · c धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में धनात्मक होता है। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं कि समानता बी 2 एम + 1 - सी 2 एम + 1 = (बी - सी) (बी 2 एम + बी 2 एम - 1 सी + बी 2 एम - 2 सी 2 +… + सी 2 एम) = 0यह तभी संभव है जब b - c = 0 हो, अर्थात जब संख्या b, संख्या c के बराबर हो।

यह n-th डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवें अंकगणितीय मूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसकी n -th घात a के बराबर है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या की n-वें घात का अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका n-th घात बराबर है:

जड़ की शक्ति एक प्राकृतिक संख्या है जो 1 . से अधिक है.

3.

4.

विशेष स्थितियां:

1. यदि मूल का घातांक एक विषम पूर्णांक है() तब मूलक व्यंजक ऋणात्मक हो सकता है।

एक विषम घातांक के मामले में, समीकरणकिसी भी वास्तविक मान और पूर्णांक के लिए हमेशा एक ही जड़ होती है:

विषम घात वाले मूल के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिका सत्य है:

,

2. यदि मूल का घातांक एक पूर्णांक सम संख्या है (), तब मूलक व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

सम घातांक के मामले में, समीकरणयह है

पर एकल जड़

और अगर तुम

सम अंश के मूल के लिए, निम्नलिखित सर्वसमिका सत्य है:

एक समान डिग्री के मूल के लिए, समानताएं:

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ।

पावर फ़ंक्शन और इसके गुण।

प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ पावर-लॉ फ़ंक्शन। फलन y = x n, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, एक प्राकृत घातांक वाला घात फलन कहलाता है। n = 1 के लिए हमें फलन y = x मिलता है, इसके गुण:

प्रत्यक्ष आनुपातिकता। प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र y = kx n द्वारा दिया गया एक फलन है, जहाँ संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है।

आइए हम फलन y = kx के गुणों की सूची बनाएं।

किसी फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।

y = kx एक विषम फलन है (f (- x) = k (- x) = - kx = -k (x))।

3) k> 0 के लिए, फलन बढ़ता है, और k . के लिए< 0 убывает на всей числовой прямой.

ग्राफ (सीधी रेखा) चित्र II.1 में दिखाया गया है।

चावल। II.1.

n = 2 के लिए हमें फलन y = x 2 प्राप्त होता है, इसके गुण:

फंक्शन y-x 2. आइए हम फलन y = x 2 के गुणों की सूची बनाएं।

y = x 2 एक सम फलन है (f (- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x))।

अंतराल में, फ़ंक्शन कम हो जाता है।

भिन्न में ही, यदि, तो - x 1> - x 2> 0, और इसलिए

(-x 1) 2> (- x 2) 2, अर्थात, और इसका अर्थ है फलन में कमी।

फलन y = x 2 का आलेख एक परवलय है। यह ग्राफ चित्र II.2 में दर्शाया गया है।

चावल। II.2।

n = 3 के लिए हमें फलन y = x 3 प्राप्त होता है, इसके गुण:

फलन का प्रांत पूर्ण संख्या रेखा है।

y = x 3 एक विषम फलन है (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x))।

3) फलन y = x 3 पूर्ण संख्या रेखा पर बढ़ता है। फलन y = x 3 का आलेख चित्र में दिखाया गया है। इसे घन परवलय कहते हैं।

ग्राफ (घन परवलय) चित्र II.3 में दिखाया गया है।

चावल। II.3।

मान लीजिए n दो से बड़ी एक स्वेच्छ सम प्राकृत संख्या है:

एन = 4, 6, 8, .... इस स्थिति में, फलन y = x n के गुण वही हैं जो फलन y = x 2 के हैं। ऐसे फलन का आलेख एक परवलय y = x 2 जैसा दिखता है, केवल | n | के लिए आलेख की शाखाएँ। > 1, जितना तेज वे ऊपर जाते हैं, उतना बड़ा n, और साथ ही वे x-अक्ष के "करीब दबाते हैं", बड़ा n।

मान लीजिए n तीन से बड़ी एक मनमानी विषम संख्या है: n = = 5, 7, 9, .... इस स्थिति में, फलन y = x n के गुण वही हैं जो फलन y = x 3 के हैं। इस तरह के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक क्यूबिक परवलय जैसा दिखता है (केवल ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर और नीचे जाती हैं, जितना अधिक n। यह भी ध्यान दें कि अंतराल (0; 1) पर पावर फ़ंक्शन का ग्राफ y = xn धीमा है। x-अक्ष से बढ़ते हुए x से दूर चला जाता है, जो n से बड़ा है।

नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन। फलन y = x - n पर विचार कीजिए, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है। n = 1 के लिए हमें y = x - n या y = इस फलन के गुण प्राप्त होते हैं:

ग्राफ (हाइपरबोला) चित्र II.4 में दिखाया गया है।