Метод стокса. Описание метода стокса В чем заключается сущность метода стокса

Цель работы:ознакомление с методом Стокса и определение коэффициента вязкости различных жидкостей.

Теоретическое введение

Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного слоя относительно другого возникают силы трения. Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Наоборот, со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой действует тормозящая сила. Эти силы, носящие название сил внутреннего трения , направлены по касательной к поверхности слоёв.

Пусть два слоя (рис.15.1) площади , отстоящих друг от друга на расстояние , движутся со скоростями v 1 и v 2 соответственно, Δv=v 2 –v 1 . Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями (ось z ), перпендикулярно вектору скорости движения слоев. Величина

,

которая показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою, называется градиентом скорости . Величина силы внутреннего трения , действующей между слоями, пропорциональна площади соприкосновения движущихся слоёв и градиенту скорости (закон Ньютона):

где – коэффициент вязкости (динамическая вязкость ). Знак «–» показывает, что сила направлена противоположно градиенту скорости, то есть что быстрый слой тормозится, а медленный – ускоряется.

Единицей измерения коэффициента вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/с на 1м, приводит к силе внутреннего трения в 1 Н на 1 м 2 площади слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (Па. с). В некоторые формулы (например, число Рейнольдса, формула Пуазейля) входит отношение коэффициента вязкости к плотности жидкости ρ . Это отношение получило название коэффициента кинематической вязкости :

Для жидкостей, течение которых подчиняется уравнению Ньютона (15.1), вязкость не зависит от градиента скорости. Такие жидкости называются ньютоновскими . К неньютоновским (то есть не подчиняющимся уравнению (15.1)) жидкостям относятся жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, например, растворы полимеров.

Вязкость данной жидкости сильно зависит от температуры: при изменениях температуры, которые сравнительно нетрудно осуществить на опыте, вязкость некоторых жидкостей может изменяться в миллионы раз. При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей настолько возрастает, что жидкость теряет текучесть, превращаясь в аморфное твердое тело.

Я.И. Френкель вывел формулу, связывающую коэффициент вязкости жидкости с температурой:

, (15.3)

где А – множитель, который зависит от расстояния между соседними положениями равновесия молекул в жидкости и от частоты колебаний молекул, ΔЕ – энергия, которую надо сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перескочить из одного положения равновесия в другое, соседнее (энергия активации). Величина ΔЕ обычно имеет порядок (2÷3) . 10 -20 Дж, поэтому, согласно формуле (15.3), при нагревании жидкости на 10 0 С вязкость её уменьшается на 20÷30%.

Значения коэффициентов вязкости газов существенно меньше, чем жидкостей. С повышением температуры вязкость газа увеличивается (рис.15.2) и при критической температуре становится равной вязкости жидкости.

Отличие в характере поведения вязкости при изменении температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах. Молекулярно-кинетическая теория объясняет вязкость газов переносом импульса из одного слоя в другой слой, происходящим за счет переноса вещества при хаотическом движении молекул газа. В результате в слое газа, движущемся медленно, увеличивается доля быстрых молекул, и его скорость (средняя скорость направленного движения молекул) возрастает. Слой газа, движущийся медленно, увлекается более быстрым слоем, а слой газа, движущийся с большей скоростью, замедляется. С повышением температуры интенсивность хаотического движения молекул газа возрастает, и вязкость газа увеличивается.

Вязкость жидкости имеет другую природу. В силу малой подвижности молекул жидкости перенос импульса из слоя в слой происходит из-за взаимодействия молекул. Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия молекул между собой (силами сцепления). С повышением температуры взаимодействие молекул жидкости уменьшается, и вязкость также уменьшается.

Несмотря на различную природу, вязкость жидкостей и газов с макроскопической точки зрения описывается одинаковым уравнением (15.1). Величину импульса , перенесенного из одного слоя газа или жидкости в другой слой за время Δt , можно найти из второго закона Ньютона:

Из (15.1) и (15.4) получим:

. (15.5)

Тогда физический смысл коэффициента динамической вязкости можно сформулировать так: коэффициент вязкости численно равен импульсу, перенесенному между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу времени при единичном градиенте скорости. Знак «минус» показывает, что импульс переносится из более быстрого слоя в более медленный.

При движении тела в вязкой среде возникают силы сопротивления. Происхождение этого сопротивления двояко.

При небольших скоростях, когда за телом нет вихрей (то есть обтекание тела ламинарное ), сила сопротивления обуславливается вязкостью среды. Между движущимся телом и средой существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы прилипая к телу. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Для ламинарного потока сила трения пропорциональна скорости тела: . Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарикав вязкой среде с небольшой скоростью, когда нет вихрей, приводит к формуле Стокса :

, (15.6)

где – радиус шарика, – скорость его движения, – коэффициент динамической вязкости среды.

Второй механизм сил сопротивления включается при больших скоростях движения тела, когда поток становится турбулентным. При увеличении скорости тела вокруг него возникают вихри. Часть работы, совершаемой при движении тела в жидкости или газе, идет на образование вихрей, энергия которых переходит во внутреннюю энергию. При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела: .

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, микрометр, линейка, штангенциркуль, секундомер, шарики.

Метод определения

Этот метод основан на измерении скорости установившегося движения твердого шарика в вязкой среде под действием постоянной внешней силы, в простейшем случае – силы тяжести.

Выведем рабочую формулу для определения коэффициента вязкости методом Стокса. Если взять шарик большей плотности, чем плотность жидкости, то он будет тонуть, опускаясь на дно сосуда. На падающий шарик действуют три силы (рис.15.3):

1. сила вязкого трения F С по закону Стокса (15.6), направленная вверх, навстречу скорости: F С = 6πηr v;

2. сила тяжести, направленная вниз:

, (15.7)

где – масса шарика; – плотность шарика; – ускорение свободного падения; – объем шарика, равный:

; (15.8)

3. выталкивающая сила F Арх, согласно закону Архимеда, равная весу вытесненной жидкости:

F Арх =Vρ ж g , (15.9)

где – плотность жидкости.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) для падающего шарика в проекциях на вертикальную ось:

ma=F тяж –F Арх –F С. (15.10)

Сила тяжести и выталкивающая сила не зависят от скорости движения шарика. Сила трения в законе Стокса прямо пропорциональна скорости. Поэтому на некотором начальном участке l 0 (рис.15.3) падения шарика в жидкости, пока скорость мала, сила трения меньше разности сил тяжести и выталкивающей, и шарик в результате движется с ускорением. Величину участка l 0 можно оценить из уравнения движения (см. дальше).

По мере нарастания скорости падения шарика растет сила вязкого трения. С момента достижения равенства

F С = F тяж – F Арх (15.11)

сумма сил, действующих на шарик, становится равной нулю, и шарик, в соответствии с первым законом Ньютона, движется по инерции равномерно, с набранной им к этому моменту скоростью.

По измеренной скорости установившегося падения шарика можно найти коэффициент вязкости жидкости η .

После подстановки в (15.11) выражений (15.6-15.9) получим:

после сокращения и замены радиуса шарика через его диаметр , :

. (15.12)

Из (15.12) выразим коэффициент динамической вязкости:

. (15.13)

Наконец, скорость v шарика выражаем через пройденный путь и время падения : :

. (15.14)

Выведенная формула (15.14) для расчета коэффициента вязкости, как и формула Стокса (15.6), получены в предположении, что шарик движется в сосуде неограниченного объема. При движении шарика по оси цилиндрического сосуда конечного диаметра D в формуле (14) необходимо учесть влияние стенок сосуда. Уточненная рабочая формула имеет вид:

. (15.15)

где – диаметр цилиндрического сосуда установки.

Описание установки .

Установка состоит из высокого цилиндрического прозрачного сосуда 1 (рис.15.3), по высоте которого на стенке нанесены на определенном расстоянии друг от друга метки 2. В сосуд налита исследуемая жидкость 3 с известной плотностью. Для определения ее вязкости в верхней части сосуда вблизи центра в жидкость опускают маленькие шарики 4, плотность которых несколько больше плотности жидкости.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Определение коэффициента вязкости жидкости без учета влияния стенок сосуда .

1. Штангенциркулем измерить диаметр d шарика.

2. Пинцетом или смоченной палочкой опустить шарик по центру сосуда.

3. Определить при помощи секундомера время прохождения шарика между метками.

4. Измерить линейкой расстояние между метками . Повторить пункты 1-3 еще для четырех шариков.

6. Найти среднее значение коэффициента вязкости и рассчитать погрешность .

Упражнение 2. Определение коэффициента вязкости жидкости по уточненной формуле с учетом влияния стенок сосуда .

1. Измерить линейкой внутренний диаметр сосуда 1.

3. Сравнить результаты, полученные по формулам (15.14) и (15.15) и сделать выводы.

4. Все результаты занести в таблицу по форме 15.1.

Форма 15.1.

№

d, м

Δd, м

t, c

Δt, c

h, м

Δh, м

η, Па.с

Δη i , Па.с

Δη по (15.17)

D , м

η’, Па.с

l 0 , м

Средние

–

–

Замечание . Погрешность коэффициента вязкости Δη рассчитывается двумя способами:

а) по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (15.16)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов и доверительной вероятности α=0.95 равен: t n, α =2.57; Δη i =|η ср.– η i |.

б) исходя из формулы (15.14) по стандартной методике расчета погрешностей при косвенных измерениях:

, (15.17)

где , , .

Расчет по (15.17) производится для одного какого-либо опыта, при этом в качестве , и нужно взять приборные погрешности.

Упражнение 3. Оценка участка неравномерного падения шарика l 0 .

Выведем формулу для оценки l 0 .

Запишем формулу (15.10):

ma=F тяж –F Арх –F С. (15.10)

после подстановки выражений (15.6-15.9) получим:

ρ ш a= (ρ ш – ρ ж) g –6πηr v,

или после почленного деления на ρ ш :

,

. (15.18)

Решением дифференциального уравнения (15.18) будет функция:

где v р – скорость равномерного (установившегося) движения, v 0 – начальная скорость шарика, которую можно принять равной нулю, коэффициент b в показателе степени экспоненты равен:

Убедиться в том, что (15.19) является решением уравнения (15.18), можно путем подстановки (15.19) в (15.18), рассчитав предварительно производную скорости v по времени; при этом будут получены также и выражение для b (15.20), и формула для установившейся скорости движения (см.(15.13)):

. (15.21)

Заметим, что (15.19) удовлетворяет начальным условиям: при t= 0 скорость равна v 0 , при t →∞ скорость v→v р. Движение можно считать практически равномерным, если экспонента мала:

Это реализуется при (bt )→∞, то есть если t >>b -1 . Достаточно потребовать (bt )=4; в этом случае отличие скорости от установившейся составит не более 2% (при v 0 =0): . Таким образом, оценим l 0 , проинтегрировав (15.19) по времени на промежутке , где :

откуда с учетом (15.20) и (15.21):

,

и окончательно:

. (15.22)

1. Оценить участок неравномерного движения шарика по формуле (15.22).

2. Записать результат в таблицу 15.1.

3. Сравнить полученное значение с величиной l0, реально используемой в установке.

4. Сделать вывод.

Контрольные вопросы .

1. Запишите формулу Ньютона для коэффициента динамической вязкости. Сделайте поясняющий рисунок.

2. Что называется коэффициентом динамической вязкости? Поясните его физический смысл и выведите его размерность.

3. Объяснить механизм внутреннего трения для газов и жидкостей. Как зависит от температуры вязкость газов и жидкостей? Почему?

4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Сделайте рисунок, запишите второй закон Ньютона для шарика, падающего в вязкой жидкости.

5. Почему, начиная с некоторого момента, шарик движется равномерно?

6. Как зависит скорость падения шарика от его диаметра?

7. Имеет ли смысл использование уточненной формулы (15.15) при выполнении работы на данной установке?

8. Выведите приближенную расчетную формулу (15.14) для коэффициента вязкости.

9. Докажите (15.19) и (15.20).

Используемая литература

§9.4; §10.7, 10.8; §75, 76, 78, 130; §5.6, 5.7; §31, 33, 48.

Лабораторная работа 1-16 “Определение модуля Юнга методом прогиба”

Цель работы: определение модуля Юнга материала путем измерения прогиба стержня при нагрузке.

Теоретическое введение

Прочность, долговечность и надежность металлических изделий (твердых тел), работающих в различных условиях, во многом зависит от характеристик, определяющих упругие свойства материалов.

Твердые тела при этом будем рассматривать как сплошную среду с определенной плотностью . Под воздействием внешних сил твердые тела в той или иной степени деформируются, то есть изменяют свою форму и объем. При всем разнообразии деформаций тел возможно любую деформацию свести к двум основным (элементарным): растяжению (сжатию) и сдвигу. Деформация растяжения характеризуется величиной относительного удлинения :

где – длина тела до растяжения; – после растяжения; – абсолютное удлинение.

Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки полностью восстанавливаются размеры и форма тела, т.е. это обратимая деформация.

Сдвигом называется такая деформация твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация сдвига характеризуется величиной относительного сдвига. При малых деформациях сдвига относительный сдвиг есть просто измеренный в радианах угол .

При деформации однородного сдвига величина во всех точках тела одна и та же.

Растяжение тела всегда сопровождается соответствующим сокращением его поперечного сечения и, наоборот, сжатие – соответствующим увеличением поперечного сечения. Характеристикой этого изменения поперечных размеров при растяжении и сжатии является относительное поперечное расширение или сжатие:

, (16.2)

где – поперечный размер тела до деформации, а – после деформации..

Ясно, что знак продольной деформации противоположен знаку поперечной . Отношение

называют коэффициентом Пуассона. Он не зависит от размеров тел и для всех тел, сделанных из данного материала, является константой, характеризующей его свойства. Для всех известных в природе тел коэффициент Пуассона имеет значение в пределах от 0 до 0,5.

Деформацию реальных твердых тел представляют в виде диаграммы. При этом удобно растяжение задавать не силой как таковой, а отношением силы к площади сечения:

(16.4)

Величина в механике деформируемых твердых тел называется напряжением и измеряется в Н/м 2 . Диаграмма растяжения схематически представлена на рис.16.1 в виде зависимости . Как видно из рис.16.1, при малых деформациях (напряжение пропорционально деформациям). Это есть известный из школы закон Гука. Точка А соответствует максимальному напряжению, при котором еще сохраняется пропорциональность между и , то есть еще справедлив закон Гука.

где – модуль упругости (модуль Юнга для данного материала).

Напряжение, соответствующее точке А, называется пределом пропорциональности . Выше т.А удлинение растет быстрее, чем напряжение . В этой области (т.А’) находится предел упругости тела . Точного определения предела упругости тела дать вообще невозможно, так как малые остаточные деформации наблюдаются всегда.

Далее (за т.А’) начинается область текучести материала (пластическая деформация) – наибольшие деформации, которым подвергся материал, почти целиком сохраняются как остаточные, но целость материала еще не нарушается. При еще больших нагрузках наступает разрушение.

Область упругих деформаций обычно очень незначительна (например, для стали пределу упругости соответствует значение порядка 0,001).

В отличие от растяжения и сжатия деформация сдвига вызывается касательными напряжениями

где – сила, параллельная поверхности твердого тела, которая вызывает сдвиг.

При малых деформациях закон Гука в этом случае имеет вид, аналогичный (16.5):

где – коэффициент пропорциональности между напряжением сдвига и углом сдвига - называется модулем сдвига.

Итак, упругие свойства деформируемого упругого тела характеризуются двумя основными модулями упругости – модулем Юнга и модулем сдвига . Еще одна упругая константа – коэффициент Пуассона . В изотропных твердых телах (у таких тел свойства одинаковы во всех направлениях) эти три константы , и не являются независимыми, а связаны между собой соотношением

Из (16.8), кстати, следует, что в твердых телах.

Экспериментальная часть

В работе определяется модуль упругости предложенных образцов и проверяется зависимость деформации от нагрузки.

Используется установка, которая показана на рис. 16.2.

Изгиб представляет собой более сложный вид деформации, чем деформация растяжения или сжатия, так как заключает в себе одновременно и растяжение, и сжатие. Различные слои образца при изгибе несут неодинаковую нагрузку. В большинстве случаев испытания на изгиб проводятся сосредоточенной нагрузкой на образец, лежащий на двух опорах. Образцы изготовляют обычно в виде стержней прямоугольного сечения. Длина образца на 40-60 мм больше, чем расстояние между опорами. Ширина образца должна быть вдвое больше его толщины.

На исследуемый образец надевается подвеска для грузов, а образец кладется на острые металлические опоры. Подвеска с грузами находится на одинаковом расстоянии от точек опоры стержня. Стрела прогиба h образца измеряется индикатором часового типа.

Если к середине стержня (рис. 16.2), опирающегося концами на неподвижные опоры, приложить вертикальную силу, направленную перпендикулярно оси стержня, то будет наблюдаться деформация изгиба (на рис. 16.2 деформации представлены не в масштабе). Нижние слои стержня при этом испытывают деформацию растяжения, верхние - деформацию сжатия, а средний слой, длина которого не изменяется, нагрузок не несет и называется нейтральным. При так называемом чистом изгибе напряжения, которые испытывают слои материала при деформации, имеют прямую зависимость от их деформации: сжатию соответствуют отрицательные напряжения, растяжению - положительные.

Величина прогиба при этом оказывается обратно пропорциональной модулю Юнга . Вывод формулы для модуля Юнга по этому методу относительно сложен. Окночательно формула имеет вид:

, (16.9)

где: F – приложенная к образцу сила, ;

– длина образца между опорами;

– стрела прогиба образца;

– ширина образца;

– толщина образца.

Лабораторная установка

Схема установки для определения модуля Юнга по прогибу представлена на рис. 16.3.

На основании 1 закреплена массивная направляющая 2. По ней могут перемещаться стойки 3 и кронштейн 4, зажимаемые в необходимом положении винтами 5 (вручную). Стойки вверху оканчиваются призмами 6, на параллельные острия которых устанавливается измеряемый образец 7. В гнезде 8 кронштейна зажимается вручную винтом 9 индикатор перемещения 10. На образце напротив индикатора подвешена серьга 11 с платформой для специальных (с прорезью) гирь 12. При нагружении платформы гирями образец прогибается. Стрела прогиба 13 регистрируется перемещением стрелки индикатора.

Методика измерений

1. Ослабив винты 5, установите призмы 6 на заданное (преподавателем) расстояние. Закрепите винты.

2. Установите кронштейн 4 на одинаковом расстоянии от стоек. Закрепите винты.

3. Расположите образец на призмах так, чтобы гнездо индикатора находилось над средней частью по ширине образца.

4. Вставьте индикатор в гнездо, осторожно утопив его так, чтобы стрелка малой шкалы оказалась около метки 5 мм. Аккуратно зажмите индикатор винтом 9.

5. Измерьте штангенциркулем толщину b и ширину a образца. Измерьте линейкой расстояние между ребрами призм l . Установите поворотом кольца нуль на индикаторе.

6. Аккуратно поставьте на платформу гирю. Запишите (по красной шкале) показания индикатора.

7. Снимите с платформы гирю. Если стрелка сместилась с нулевой отметки, установить нуль. Повторите для контроля несколько раз измерения с тем же грузом.

8. Проведите аналогично п.7 измерение прогиба с гирями большей массы (массы брать около 1,2,3,4,5 кг).

9. Результаты занести в таблицу предложенной формы 16.1.

Форма 16.1.

10. Рассчитайте модуль Юнга при каждом измерении и усредните результат.

11. Рассчитайте ошибку определения модуля Юнга DE (достаточно рассчитать для одного опыта).

12. Значения модуля Юнга, совпадающие с учетом ошибки DE друг с другом, т.е. не выходящие за границы значений (E cp + DE )и (E cp - DE ), позволяют определить истинное (среднее) значение модуля Юнга.

13. С учетом п.12 определить среднее значение модуля Юнга.

14. Ошибка модуля Юнга DE определяется из рабочей формулы (16.9) как сумма частных ошибок всех величин, входящих в выражение:

Контрольные вопросы.

1. Что такое модуль Юнга?

2. Что такое абсолютное и относительное удлинение образца?

3. Что такое механическое напряжение?

4. Что такое коэффициент Пуассона?

5. Что такое абсолютное и относительное поперечное сжатие?

6. Какие из перечисленных характеристик относятся к материалу?

7. Какие из перечисленных характеристик относятся к образцу?

8. Закон Гука и его физический смысл.

9. Кривая зависимости s (e ) и ее характерные точки и участки.

10. Деформация сдвига, иллюстрация пластических деформаций.

11. В чем состоит суть данного метода измерения Е?

12. Зависит ли модуль Юнга от нагрузки и стрелы прогиба?

13. Чем отличается деформация прогиба от деформации растяжения?

14. Напишите формулу для модуля Юнга по прогибу.

Используемая литература

§14; §21; §48.

Лабораторная работа 1-17 “Изучение упругой деформации растяжения”

Цель работы: определить коэффициент упругости, модуль Юнга и коэффициент Пуассона для образца резины и проверить применимость для этого образца закона Гука .

Теоретическое введение

Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.

Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются напряжениями . В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам, которые поэтому называют

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем упругости или модулем Юнга данного материала.

Если деформации тела достаточны малы, то по прекращению действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние. Такие деформации называются упругими.

Соотношение (17.2) называют законом Гука. Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка 17.1. – продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие

Пусть жидкость течёт вдоль твёрдой вертикальной поверхности АВ . Если на достаточно большом расстоянии от поверхности её скорость равна v , то прилегающий к поверхности АВ слой жидкости 1 будет двигаться очень медленно благодаря трению о поверхность. Второй слой жидкости 2 будет двигаться уже быстрее, но всё же не со скоростью v , т.к. он испытывает трение о первый слой. Третий слой, испытывая трение о второй слой, будет двигаться быстрее и т. д. На достаточно большом расстоянии от горизонтальной поверхности скорость течения жидкости станет, наконец, равной v. Вязкостью или внутренним трением называется трение между слоями жидкости, возникающее при их движении относительно друг друга. Оно обусловлено переносом молекулами из слоя в слой своего импульса. Таким образом, благодаря внутреннему трению, жидкость вблизи поверхности движется параллельными слоями, скорость которых убывает в направлении ОХ, перпендикулярном поверхности. Такое движение называется ламинарным .

Пусть в ламинарном потоке жидкости скорость течения убывает в направлении ОХ. Вообразим площадку ∆S , по которой соприкасаются два соседних слоя жидкости, и обозначим через v 1 и v 2 значения скоростей течения на расстояниях λ от этой площадки (v 1 > v 2 ). Очевидно, что на хаотическое движение молекул наложится скорость потока v, ввиду чего молекулы верхнего слоя будут обладать большим импульсом, чем молекулы нижнего слоя: mv 1 > mv 2 , где m – масса молекулы. В процессе хаотического движения молекулы верхнего слоя будут переносить свой импульс в нижний слой, увеличивая тем самым его скорость; в свою очередь молекулы нижнего слоя будут переносить свой импульс в верхний слой, уменьшая тем самым его скорость. В результате между слоями возникает трение, сила которого будут действовать вдоль площадки параллельно скорости потока:

(1)

где F – сила внутреннего трения, возникающая в плоскости сопротивления двух скользящих относительно друг друга слоев жидкости, пропорциональна площади их соприкосновения ∆Ѕ и градиенту скорости коэффициент пропорциональности называется коэффициентом вязкости . Полагая, в формуле (1) ∆S = 1м 2 и , получим F = η.

Коэффициент вязкости численно равен силе внутреннего трения, действующей на 1м 2 площади соприкосновения параллельно движущихся слоев жидкости при градиенте скорости в -1с -1 . Из формулы (1) следует, что коэффициент вязкости измеряется в СИ: Размерность:

Существуют различные методы определения коэффициента вязкости. Один из методов основан на падении тела в вязкой среде. Если тело падает в жидкости с небольшой скоростью v , то непосредственно прилегающий к телу слой жидкости движется со скоростью тела, а остальные слои движутся со всё уменьшающейся скоростью. В случае падения тела шаровидной формы в жидкости сила внутреннего трения в жидкости определится формулой Стокса : (2)

где r – радиус шарика, v – скорость движения шарика, η – коэффициент вязкости. Кроме силы F тр , на шарик действует сила тяжести P и выталкивающая сила F согласно закону Архимеда (рис. 3), где

Где – объём шарика, ρ ш – плотность вещества шарика, ρ ж – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения. Как показано на рисунке 3, силы F тр и F направлены противоположно силе тяжести P. Для случая, когда шарик будет двигаться равномерно, можно записать уравнение второго закона Ньютона:

F тр + F – P = 0, откуда F тр = P – F или откуда

(3)

Скорость равномерного движения определяется по формуле: где l – пройденное расстояние, t – время, в течение которого тело прошло расстояние l. Поэтому окончательное выражение для коэффициента вязкости имеет вид:

(4)

Таким образом, чтобы определить коэффициент вязкости жидкости, надо иметь шарик с известным радиусом r и измерить время его падения t в исследуемой жидкости на пути l. Величины g, ρ ш, ρ ж даются преподавателем.

Для определения данным методом коэффициента вязкости необходимо взять исследуемую жидкость в высоком цилиндрическом сосуде. На цилиндре сделаны две кольцевые метки, расположенные на расстоянии l друг от друга (рис. 4). В жидкость сбрасываются шарики известного диаметра так, чтобы они двигались в наибольшем удалении от стенок цилиндра. Диаметр цилиндра должен быть достаточно велик по сравнению с размерами шарика. В этом случае для определения коэффициента вязкости можно применить формулу (4).

Величина коэффициента вязкости зависит от природы жидкости, а также от её температуры. С повышением температуры коэффициент вязкости уменьшается, так, например, коэффициент вязкости воды при 0 0 С равен 1,8 . 10 -3 при 90 0 С – 3 . 10 -4 т.е. в 6 раз меньше.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерить расстояние l между кольцевыми метками на цилиндре при помощи миллиметровой линейки. Указать погрешность измерения (наименьшая цена деления линейки).

2. Провести измерения диаметра шарика при помощи микрометра несколько раз в разных направлениях, важно определить наибольшее и наименьшее значения диаметра. Результаты измерений занести в таблицу 1.

3. Сбросить шарик в цилиндр приблизительно по его осевой линии (это делается при помощи воронки) и при помощи секундомера измерить время падения шарика между кольцевыми метками. Оценить погрешность измерения времени (наименьшая цена деления секундомера). Повторить пункты 1-3 для других шариков (должно быть измерено не менее трёх шариков). Результаты измерений занести в таблицу 1.

4. По данным измерений вычислить коэффициент вязкости жидкости по формуле:

где ρ ш = (11,2 ± 0,1)×10 3 – плотность свинца,

ρ ж = (1,2 ± 0,1)×10 3 – плотность глицерина,

g = (9,81 ± 0,01) – ускорение свободного падения.

5. Вычислить абсолютную и относительную погрешности по формулам: Результаты вычислений занести в таблицу 2.

6. Округлив полученные результаты, записать ответ по форме:

Ответ: коэффициент вязкости жидкости равен:

η = (<η>± Dη) ед. измерения.

Пример. Ответ: момент инерции диска равен: I = (0,10 ± 0,01) кг×м 2 .

Таблица 1

№ ша- рика	l, м	t i , c	d max, мм	d min , мм		∆d=-d min , мм			∆r=rЕ r

Таблица 2 Вычисление коэффициента вязкости жидкости

№ опыта	η,	∆η,	Е η

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Лабораторнаяработа № 204

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

Цель работы: изучить метод Стокса, определить коэффициент динамической вязкости глицерина.

Приборы и принадлежности:

стеклянный цилиндрический сосуд с глицерином,

измерительный микроскоп,

измерительная линейка,

секундомер,

шарики.

1. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ. ЗАКОН СТОКСА

В жидкостях и газах при перемещении одних слоев относительно других возникают силы внутреннего трения, или вязкости, которые определяются законом Ньютона:

(1)

где h - коэффициент внутреннего трения, или коэффициент динамической вязкости, или просто вязкость; модуль градиента скорости, равный изменению скорости слоев жидкости на единицу длины в направлении нормали (в нашем случае вдоль оси y ) к поверхности S соприкасающихся слоев (рис. 1).

Рис. 1.

Согласно уравнению (1) коэффициент вязкости h в СИ измеряется в Па × с или в кг/ (м × с ).

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах неодинаков, т.к. в них различен характер теплового движения молекул. Подробное изложение вязкости жидкости рассмотрено в работе № 203, вязкости газов – в работе № 205.

Вязкость жидкости обусловлена молекулярным взаимодействием, ограничивающим движение молекул. Каждая молекула жидкости находится в потенциальной яме, создаваемой соседними молекулами. Поэтому молекулы жидкости совершают колебательные движения около положения равновесия, то есть внутри потенциальной ямы. Глубина потенциальной ямы незначительно превышает среднюю кинетическую энергию, поэтому, получив дополнительную энергию при столкновении с другими молекулами, она может перескочить в новое положение равновесия. Энергия, которую должна получить молекула, чтобы из одного положения перейти в другое, называется энергией активации W , а время нахождения молекулы в положении равновесия – временем «оседлой жизни» t . Перескок молекул между соседними положениями равновесия является случайным процессом. Вероятность того, что такой перескок произойдет за время одного периода t 0 , в соответствии с законом Больцмана, составляет

(2)

Величина, обратная вероятности перехода молекулы определяет среднее число колебаний, которое должна совершить молекула, чтобы покинуть положение равновесия. Среднее время «оседлой жизни» молекулы . Тогда

(3)

где k – постоянная Больцмана; средний период колебаний молекулы около положения равновесия.

Коэффициент динамической вязкости зависит от : чем реже молекулы меняют положение равновесия, тем больше вязкость. Используя модель скачков молекул, советский физик Я.И.Френкель показал, что вязкость изменяется по экспоненциальному закону:

(4)

где А – константа, определяемая свойствами жидкости.

Формула (4) является приближенной, но она достаточно хорошо описывает вязкость жидкости, например, воды в интервале температур от 5 до 100 ° С, глицерина – от 0 до 200 ° С.

Из формулы (4) видно, что с уменьшением температуры вязкость жидкости возрастает. В ряде случаев она становится настолько большой, что жидкость затвердевает без образования кристаллической решетки. В этом заключается механизм образования аморфных тел.

При малых скоростях движения тела в жидкости слой жидкости, непосредственно прилегающий к телу, прилипает к нему и движется со скоростью тела. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев жидкости будет уменьшаться, но они будут двигаться параллельно. Такое слоистое движение жидкости называется ламинарным. При больших скоростях движения жидкости ламинарное движение жидкости становится неустойчивым и сменяется турбулентным , при котором частицы жидкости движутся по сложным траекториям со скоростями, изменяющимися беспорядочным образом. В результате происходит перемешивание жидкости и образуются вихри.

Характер движения жидкости определяется безразмерной величиной Re , называемой числом Рейнольдса. Это число зависит от формы тела и свойств жидкости. При движении шарика радиусом R со скоростью U в жидкости плотностью r ж

(5)

При малых Re (<10), когда шарик радиусом 1 - 2 мм движется со скоростью 5 - 10 см/ c в вязкой жидкости, например в глицерине, движение жидкости будет ламинарным. В этом случае на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости

(6)

где r – коэффициент сопротивления. Для тела сферической формы

Сила сопротивления шарика радиусом R примет вид:

(7)

Формула (7) называется законом Стокса.

2. ОПИСАНИЕ РАБОЧЕЙ УСТАНОВКИ И МЕТОДА

ИЗМЕРЕНИЙ

Одним из существующих методов определения коэффициента динамической вязкости является метод Стокса. Суть метода заключается в следующем. Если в сосуд с жидкостью бросить шарик плотностью большей, чем плотность жидкости (r > r ж ), то он будет падать (рис. 2). На движущийся в жидкости шарик действует сила внутреннего трения (сила сопротивления) , тормозящая его движение и направленная вверх. Если считать, что стенки сосуда находятся на значительном расстоянии от движущегося шарика, то величину силы внутреннего трения можно определить по закону Стокса (6).

Рис. 2.

Кроме того, на падающий шарик действует сила тяжести, направленная вниз и выталкивающая сила , направленная вверх. Запишем уравнение движения шарика в проекциях на направление движения:

(8)

Решение уравнения (8) описывает характер движения шарика на всех участках падения. В начале движения скорость шарика U мала и силой F c можно пренебречь, т.е. на начальном этапе шарик движется с ускорением

По мере увеличения скорости возрастает сила сопротивления и ускорение уменьшается. При большом времени движения сила сопротивления уравновешивается равнодействующей сил и , и шарик будет двигаться равномерно с установившейся скоростью. Уравнение движения (8) в этом случае примет вид

(9)

Сила тяжести равна

(10)

где r - плотность вещества шарика.

Выталкивающая сила определяется по закону Архимеда:

(11)

Подставив (10), (11) и (7) в уравнение (9), получим

Отсюда находим

(12)

Установка представляет собой широкий стеклянный цилиндрический сосуд 1 , наполненный исследуемой жидкостью (рис. 3). На сосуд надеты два резиновых кольца 2 , расположенных друг от друга на расстоянии l . Если время движения шарика 3 между кольцами t , то скорость шарика при равномерном движении

и формула (12) для определения коэффициента динамической вязкости запишется:

(13)

При этом верхнее кольцо должно располагаться ниже уровня жидкости в сосуде, т.к. только на некоторой глубине силы, действующие на шарик, уравновешивают друг друга, шарик движется равномерно и формула (13) становится справедливой.

В сосуд через отверстие 4 опускают поочередно пять небольших шариков 3 , плотность которых r больше плотности исследуемой жидкости r ж .

В опыте измеряют диаметры шариков, расстояние между кольцами и время движения каждого шарика на этом участке.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Измерить диаметр шарика D с помощью микроскопа.

1. С помощью линейки измерить расстояние l между кольцами.

3. Через отверстие 4 в крышке сосуда опустить шарик.

4. В момент прохождения шариком верхнего кольца включить секундомер и измерить время t прохождения шариком расстояния l между кольцами.

5. Опыт повторить с пятью шариками. Шарики имеют одинаковый диаметр и двигаются в жидкости примерно с одинаковой скоростью. Поэтому время прохождения шариками одного и того же расстояния l можно усреднить и, выразив радиус шариков через их диаметр , формула (13) примет вид:

(14)

где среднее арифметическое значение времени.

6. По формуле (14) определить значение . Плотность исследуемой жидкости (глицерина) r ж = 1,26 × 10 3 кг/м 3 , плотность материала шарика (свинца) r = 11,34 × 10 3 кг/м 3 .

7. Методом расчета погрешностей косвенных измерений находят относительную Е и абсолютную D h погрешность результата:

, ,

где - абсолютные погрешности табличных величин r , r ж и g ; - абсолютные погрешности прямых однократных измеренийдиаметра шарика D и расстояния l ; абсолютная погрешность прямых многократных измерений времени.

8. Данные результатов измерений и вычислений занесите в таблицу.

Таблица результатов

п/п	D	l	t		r	r ж	g			Е
	м	м	c	c	кг/м 3	кг/м 3	м/ c 2	Па × с	Па × с	%

Сравните полученный результат с табличным значением коэффициента динамической вязкости глицерина при соответствующей температуре. Температуру воздуха (а соответственно и глицерина) посмотрите на термометре, находящемся в лаборатории.

Коэффициенты динамической вязкости глицерина

при различных температурах

t , ° C
h , Па × с	1,74	1,62	1,48	1,35	1,23	1,124	1,024	0,934	0,85	0,78

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ

1. Сформулируйте цель работы.

2. Запишите формулу Ньютона для силы внутреннего трения и поясните величины, входящие в эту формулу.

3. Опишите рабочую установку и порядок выполнения работы.

4. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости?

5. Запишите рабочую формулу и поясните ее.

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

1. Объясните молекулярно-кинетический механизм внутреннего трения (вязкости) жидкости.

2. Дайте понятие энергии активации.

3. Как зависит вязкость жидкости от температуры?

4. При каких условиях движение жидкости будет ламинарным?

5. Запишите уравнение движения шарика в глицерине и выведите рабочую формулу.

6. Можно ли верхнее кольцо располагать на уровне поверхности жидкости в сосуде?

7. Получите формулу для расчета относительной погрешности Е.

Страница 1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)
Кафедра физики

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор –

проректор по учебной работе

Е.А.Кудряшов

«_____» __________ 2012г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ

ПО МЕТОДУ СТОКСА

Методические указания к выполнению лабораторной

работы № 21 по разделу "Механика и молекулярная физика".

Курск 2012 г.

УДК 534.2

Составители: В.М. Полунин, Л.И. Рослякова

Рецензент

Кандидат техн. наук, профессор Г.Т. Сычев

: методические указания к лабораторной работе № 21 по разделу „Механика и молекулярная физика” / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: В.М. Полунин, Л.И. Рослякова Курск, 2012. 8 с.: ил. 2, табл. 1. Библиогр.: 3 назв.
Содержат краткие теоретические сведения о механизме вязкого трения и определения вязкости жидкости методом Стокса. Указывается порядок выполнения работы, приводятся контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Методические указания соответствуют требованиям Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (2010 год) и рабочих учебных планов технических специальностей ЮЗГУ.

Предназначены для студентов технических специальностей.

Подписано в печать. Формат 60 x 84 1/16.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет.

Лабораторная работа № 21

Определение вязкости жидкости по методу Стокса

Цель работы : определение коэффициента вязкости жидкости.

Приборы и принадлежности : стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, мелкие стальные шарики, микрометр, секундомер.

ВВЕДЕНИЕ

1. Природа сил вязкого трения

На всякое тело, движущееся в жидкости (газе) действует сила вязкого трения (внутреннего трения). Сила вязкого трения возникает между соседними слоями жидкости или газа, движущимися по какой-либо причине с разными скоростями. При этом слои, движущиеся относительно друг друга, обмениваются молекулами. Молекулы из быстрого слоя переносят в медленный слой некоторый импульс, и медленный слой стремится двигаться быстрее. В свою очередь, молекулы из медленного слоя, перескакивая в быстрый слой, тормозят его.

Однако рассмотренный механизм вязкого трения более свойственен газам, в которых молекулы перескакивают из слоя в слой за счет хаотического теплового движения. В жидкости внутреннее трение в значительной мере определяется действием межмолекулярных сил. Расстояние между молекулами в жидкости невелики, а сила взаимодействия значительны. Молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положений равновесия. По истечении времени "оседлой жизни" молекулы жидкости скачком переходят в новое положение.

При движении в жидкости какого-либо тела со скоростью , молекулы жидкости частично "прилипают" к нему  адсорбируются. Слой жидкости, ближайший к прилипшему слою, увлекается силами межмолекулярного взаимодействия. Жидкость при этом будет ускоряться на границе с твердым телом. На нее будет действовать суммарная средняя сила F в направлении движения тела. По третьему закону Ньютона на тело со стороны жидкости будет действовать такая же по величине, но противоположно направленная сила. Это и есть сила вязкого трения. Появление данной силы приводит к торможению движущего тела.

Опытным путем была определена формула силы внутреннего трения:

где
- градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении x, перпендикулярном движению слоев;

S - площадь, на которую действует сила.

Знак «» в формуле (1) показывает, что сила F направлена в сторону уменьшения скорости. Коэффициент пропорциональности η носит название коэффициента внутреннего трения или просто вязкости (динамической вязкости).

Если в формуле (1) положить
, ΔS = 1м 2 , то F будет численно равна η, т.е. коэффициент динамической вязкости численно равен силе внутреннего трения, возникающей на каждой единице поверхности соприкосновения двух слоев, движущихся относительно друг друга с градиентом скорости, равным единице.

Коэффициент динамической вязкости зависит от природы жидкости и для жидкости с повышением температуры уменьшается. Вязкость играет существенную роль при движении жидкостей.

2. Формула Стокса

Рассмотрим равномерное движение маленького шарика радиуса r в жидкости (газе). Обозначим скорость шарика относительно жидкости через 0 . Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, имеет вид, изображенный на рис. 1. В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна 0 , а по мере удаления уменьшается и практически становиться равной нулю, на некотором расстоянии L от поверхности шара.

Очевидно, что чем больше радиус шара, тем большая масса жидкости (газа) вовлекается им в движение, и L должно быть пропорционально r:

L = α · r .

Под  будем понимать среднее значение коэффициента пропорциональности. Тогда среднее значение скорости по поверхности шара равно

.

Поверхность шара S = 4πr 2 и сила трения, испытываемая движущимся шаром, равна

Стоксом было получено, что для шара α =. Следовательно, сила вязкого трения, испытываемая шаром, движущимся в жидкости (газе):

F тр =
, (2)

где d - диаметр шарика.

Формула Стокса применяется лишь в случае шарообразных тел малых размеров и малых скоростей их движения.

По формуле Стокса можно, например, определять скорости оседания частиц тумана и дыма. Ею можно пользоваться и для решения обратной задачи  измеряя скорость падения шарика в жидкости, можно определить ее вязкость.

3. Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действует три силы (рис. 2): сила тяжести mg , сила Архимеда F a и сила вязкого трения F тр.

По второму закону Ньютона:

ma = mg - F a -F тр

Сила тяжести и сила Архимеда постоянны по модулю, а сила вязкого трения, согласно формуле (2) увеличивается с увеличением скорости шарика, и наступает момент, когда сила тяжести уравновесится суммой сил трения и Архимеда. С этого момента ускорение шарика равно нулю, т. е. его движение становиться равномерным.

mg = F a + F тр, (3)

причем

F a = ρ ж · g · V =
, (4)

где V - объем шарика; ρ ж - плотность жидкости; ρ ш - плотность шарика.

Подставляя уравнения (2), (4) в уравнение (3), получаем

(ρ ш -ρ ж) = 3·π·η· 0 ·d.

Откуда получаем

.

Скорость движения шарика

= ,

где - расстояние между метками на сосуде с жидкостью, соответствующее месту уравновешивания сил; τ - время прохождения шариком расстояния .

Окончательно получаем

. (5)
Если учесть влияние стенок сосуда на движение шарика, то формула (5) примет вид

, (6)

где D - диаметр сосуда.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Измерить внутренний диаметр стеклянного цилиндра и расстояние между метками, используя штангенциркуль и масштабную линейку.

2. Измерить микрометром диаметр шарика.

3. Опустить шарик в сосуд, так чтобы он двигался по оси цилиндра, и измерить секундомером время его прохождения между метками.

4. Вычислить коэффициент вязкости исследуемой жидкости по формуле (6).

5. Такие же измерения и расчеты выполнить еще для четырех шариков.

7. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	D,	,	d,	,	,	, Пас
1
2
3
4
5

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 
   Объяснить механизм возникновения сил вязкого трения.
2. 
   Вывести формулу Стокса.
3. 
   В чем состоит метод определения вязкости жидкости по Стоксу и где он применяется на практике?

1. 
   Бордовский, Г.А. Курс физики в 3 кн. Кн. 1. Физические основы механики: Учебник / Г.А.Бордовский, С.В.Борисенок, Ю.А.Гороховский. – М.: Высш. шк., 2004. – 423 с.
2. 
   Савельев, И.В. Курс физики: Учебное пособие в 3-х тт. Т.1 Механика. Молекулярная физика / И.В.Савельев. – СПб: Из-во «Лань», 2007. – 352 с.
3. 
   Федосеев В.Б. Физика: Учебник / В.Б.Федосеев. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 669 с.

страница 1

Рассмотрим свободное падение шарика в вязкой жидкости. На шарик действуют три силы: сила тяжести, выталкивающая (Архимедова) и сила сопротивления, зависящая от скорости.

Найдем уравнение движения шарика в жидкости. По второму закону Ньютона

где V – объем шарика,r – его плотность, r ж – плотность жидкости, q– ускорение силы тяжести.

Интегрируя получим

или после потенцирования

(8)

Как видно из полученного выражения скорость шарика вначале увеличивается по экспоненциальному закону до предельного значения V пред = . Экспонента очень сильно зависит от своего показателя. Практически после того, как показатель достиг значения –1, она быстро обращается в нуль. Поэтому можно считать, что скорость достигает предельного значения в течение времени t, за которое показатель экспоненты в (8) становится равным –1,т.е. это значение может быть найдено из условия , откуда

В вязких жидкостях тела с небольшой плотностью могут достигать критических скоростей очень быстро.

Измеряя на опыте установившуюся скорость падения шариков можно определить коэффициент внутреннего трения жидкости по формуле

Эта формула справедлива для шарика, падающего в безгранично простирающейся жидкости. Поэтому в формулу для h вводится поправочный множитель

, (9)’

где R – радиус центра, h – высота жидкости в нем (учитывая влияние стенок и дна цилиндра на падение шарика.

Заметим, что коэффициент внутреннего трения жидкости зависит от температуры

где Т – температура жидкости, W – энергия активации, K – постоянная Больцмана. Следовательно, с ростом температуры, особенно в области низких температур, вязкость жидкостей быстро уменьшается в то время, как для газов растет.