Števec nepravilnega ulomka je imenovalec. Kaj je pravi ulomek? Pravi in ​​nepravi ulomki: pravila

Ob besedi »ulomki« se marsikomu naježi koža. Ker se spomnim šole in nalog, ki so se reševale pri matematiki. To je bila dolžnost, ki jo je bilo treba izpolniti. Kaj pa, če bi težave, ki vključujejo pravilne in nepravilne ulomke, obravnavali kot uganko? Navsezadnje veliko odraslih rešuje digitalne in japonske križanke. Ugotovili smo pravila in to je to. Tukaj je enako. Samo poglobiti se je treba v teorijo - in vse bo postalo na svoje mesto. In primeri se bodo spremenili v način za urjenje vaših možganov.

Katere vrste ulomkov obstajajo?

Začnimo s tem, kar je. Ulomek je število, ki ima del ena. Zapišemo ga lahko v dveh oblikah. Prvi se imenuje navaden. To je tisti, ki ima vodoravno ali poševno črto. Enakovredno je znaku deljenja.

V tem zapisu se število nad črto imenuje števec, število pod njim pa imenovalec.

Med navadnimi ulomki ločimo prave in neprave ulomke. Pri prvem je absolutna vrednost števca vedno manjša od imenovalca. Napačni se tako imenujejo, ker imajo vse obratno. Vrednost pravilnega ulomka je vedno manjša od ena. Medtem ko je nepravilna vedno večja od te številke.

Obstajajo tudi mešana števila, torej tista, ki imajo celo število in ulomek.

Druga vrsta zapisa je decimalni ulomek. O njej je ločen pogovor.

Kako se nepravi ulomki razlikujejo od mešanih števil?

V bistvu nič. To so le različni posnetki iste številke. Nepravilni ulomki zlahka postanejo mešana števila po preprostih korakih. In obratno.

Vse je odvisno od konkretne situacije. Včasih je v nalogah bolj priročno uporabiti nepravilni ulomek. In včasih ga je treba pretvoriti v mešano število in takrat bo primer zelo enostavno rešen. Torej, kaj uporabiti: nepravilne ulomke, mešana števila, je odvisno od sposobnosti opazovanja osebe, ki rešuje problem.

Mešano število primerjamo tudi z vsoto celega in delnega dela. Poleg tega je drugi vedno manjši od ena.

Kako predstaviti mešano število kot nepravilni ulomek?

Če morate izvesti katero koli dejanje z več številkami, ki so zapisane v različni tipi, potem jih morate narediti enake. Eden od načinov je predstavitev števil kot nepravilnih ulomkov.

V ta namen boste morali izvesti naslednji algoritem:

• pomnožite imenovalec s celim delom;
• rezultatu dodajte vrednost števca;
• odgovor napišite nad črto;
• pustite imenovalec enak.

Tukaj so primeri, kako zapisati nepravilne ulomke iz mešanih števil:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kako zapisati nepravilni ulomek kot mešano število?

Naslednja tehnika je nasprotna od zgoraj obravnavane. To je, ko so vsa mešana števila nadomeščena z nepravilnimi ulomki. Algoritem dejanj bo naslednji:

• števec delimo z imenovalcem, da dobimo ostanek;
• zapiši količnik namesto celega dela mešanega;
• ostanek naj bo nad črto;
• delitelj bo imenovalec.

Primeri takšne preobrazbe:

76/14; 76:14 = 5 z ostankom 6; odgovor bo 5 celo in 6/14; ulomek v tem primeru je treba zmanjšati za 2, kar ima za posledico 3/7; končni odgovor je 5 točk 3/7.

108/54; po deljenju dobimo količnik 2 brez ostanka; to pomeni, da vseh nepravilnih ulomkov ni mogoče predstaviti kot mešano število; odgovor bo celo število - 2.

Kako spremeniti celo število v nepravilen ulomek?

Obstajajo situacije, ko je takšno ukrepanje potrebno. Če želite dobiti nepravilne ulomke z znanim imenovalcem, boste morali izvesti naslednji algoritem:

• pomnožiti celo število z želenim imenovalcem;
• zapišite to vrednost nad črto;
• pod njim postavite imenovalec.

Najenostavnejša možnost je, ko je imenovalec enako ena. Potem vam ni treba ničesar množiti. Dovolj je, da preprosto napišete celo število, podano v primeru, in eno postavite pod črto.

Primer: Naj bo 5 nepravilen ulomek z imenovalcem 3. Če pomnožimo 5 s 3, dobimo 15. To število bo imenovalec. Odgovor naloge je ulomek: 15/3.

Dva pristopa k reševanju problemov z različnimi števili

Primer zahteva izračun vsote in razlike ter produkta in količnika dveh števil: 2 celih števil 3/5 in 14/11.

V prvem pristopu mešano število bo predstavljeno kot nepravilni ulomek.

Po izvedbi zgoraj opisanih korakov boste dobili naslednjo vrednost: 13/5.

Če želite izvedeti vsoto, morate ulomke zreducirati na isti imenovalec. 13/5 po množenju z 11 postane 143/55. In 14/11 po množenju s 5 bo videti kot: 70/55. Za izračun vsote morate le sešteti števca: 143 in 70, nato pa odgovor zapisati z enim imenovalcem. 213/55 - ta nepravi ulomek je odgovor na problem.

Pri ugotavljanju razlike se enaka števila odštejejo: 143 - 70 = 73. Odgovor bo ulomek: 73/55.

Pri množenju 13/5 in 14/11 vam ju ni treba reducirati na skupni imenovalec. Dovolj je, da števce in imenovalce pomnožimo v parih. Odgovor bo: 182/55.

Enako velja za delitev. Za prava odločitev deljenje morate zamenjati z množenjem in delitelj obrniti: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Pri drugem pristopu nepravilni ulomek postane mešano število.

Po izvedbi dejanj algoritma se bo 14/11 spremenilo v mešano število z cel del 1 in ulomek 3/11.

Pri izračunu vsote morate ločeno sešteti cele in ulomke. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Končni odgovor je 3 točke 48/55. Pri prvem pristopu je bil ulomek 213/55. Njegovo pravilnost lahko preverite tako, da ga pretvorite v mešano število. Ko 213 delimo s 55, je količnik 3, ostanek pa 48. Z lahkoto ugotovimo, da je odgovor pravilen.

Pri odštevanju se znak “+” zamenja z “-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Za preverjanje je treba odgovor iz prejšnjega pristopa pretvoriti v mešano število: 73 je deljeno s 55 in količnik je 1, ostanek pa 18.

Za iskanje produkta in količnika je neprijetno uporabljati mešana števila. Tukaj je vedno priporočljivo preiti na neprave ulomke.

Pravi ulomek

Četrtine

1. Urejenost. a in b obstaja pravilo, ki vam omogoča enolično identifikacijo enega in samo enega od treh odnosov med njimi: "< », « >« ali » = «. To pravilo se imenuje pravilo naročanja in se oblikuje na naslednji način: dve nenegativni števili in sta povezani z enakim razmerjem kot dve celi števili in ; dve nepozitivni števili a in b sta povezani z istim razmerjem kot dve nenegativni števili in ; če nenadoma a nenegativno, ampak b- torej negativno a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Seštevanje ulomkov

2. Operacija dodajanja. Za poljubna racionalna števila a in b obstaja tako imenovani pravilo seštevanja c. Še več, sama številka c klical znesekštevilke a in b in je označena z , postopek iskanja takšnega števila pa se imenuje seštevanje. Pravilo seštevanja ima naslednji pogled: .
3. Operacija množenja. Za poljubna racionalna števila a in b obstaja tako imenovani pravilo množenja, ki jim dodeli neko racionalno število c. Še več, sama številka c klical deloštevilke a in b in ga označimo z , postopek iskanja takšnega števila pa tudi imenujemo množenje. Pravilo množenja izgleda takole: .
4. Tranzitivnost relacije reda. Za katero koli trojko racionalnih števil a , b in cče a manj b in b manj c, To a manj c, in če a enako b in b enako c, To a enako c. 6435">Komutativnost seštevanja. Zamenjava mest racionalnih členov ne spremeni vsote.
5. Asociativnost dodajanja. Vrstni red seštevanja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.
6. Prisotnost ničle. Obstaja racionalno število 0, ki ob seštevanju ohrani vsako drugo racionalno število.
7. Prisotnost nasprotnih števil. Vsako racionalno število ima nasprotno racionalno število, ki, če ga seštejemo, da 0.
8. Komutativnost množenja. Od menjave krajev racionalni dejavniki delo se ne spremeni.
9. Asociativnost množenja. Vrstni red množenja treh racionalnih števil ne vpliva na rezultat.
10. Razpoložljivost enote. Obstaja racionalno število 1, ki pri množenju ohrani vsako drugo racionalno število.
11. Prisotnost vzajemnih števil. Vsako racionalno število ima inverzno racionalno število, ki, če ga pomnožimo z, da 1.
12. Distributivnost množenja glede na seštevanje. Operacija množenja je usklajena z operacijo seštevanja preko distribucijskega zakona:
13. Povezava relacije reda z operacijo seštevanja. Levi in ​​desni strani racionalne neenakosti lahko dodamo isto racionalno število. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Arhimedov aksiom. Ne glede na racionalno število a, lahko vzamete toliko enot, da njihova vsota presega a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatne lastnosti

Vse druge lastnosti, ki so lastne racionalnim številom, niso označene kot osnovne, ker na splošno ne temeljijo več neposredno na lastnostih celih števil, temveč jih je mogoče dokazati na podlagi danih osnovnih lastnosti ali neposredno z definicijo nekega matematičnega objekta. . Takih dodatnih lastnosti je veliko. Tukaj jih je smiselno našteti le nekaj.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Števnost množice

Številčenje racionalnih števil

Če želite oceniti število racionalnih števil, morate najti kardinalnost njihovega niza. Preprosto je dokazati, da je množica racionalnih števil števna. Za to je dovolj podati algoritem, ki našteje racionalna števila, tj. vzpostavi bijekcijo med množicami racionalnih in naravna števila.

Najenostavnejši od teh algoritmov izgleda takole. Na vsakem je sestavljena neskončna tabela navadnih ulomkov jaz-th vrstico v vsaki j th stolpec, v katerem se nahaja ulomek. Za natančnost se predpostavlja, da so vrstice in stolpci te tabele oštevilčeni od ena. Celice tabele so označene z , kjer jaz- številko vrstice tabele, v kateri se nahaja celica, in j- številka stolpca.

Nastala tabela se prečka z uporabo "kače" v skladu z naslednjim formalnim algoritmom.

Ta pravila se iščejo od zgoraj navzdol, naslednji položaj pa se izbere glede na prvo ujemanje.

V procesu takšnega prečkanja je vsako novo racionalno število povezano z drugim naravnim številom. To pomeni, da je ulomek 1/1 dodeljen številu 1, ulomek 2/1 številu 2 itd. Upoštevati je treba, da so oštevilčeni le nezmanjšljivi ulomki. Formalni znak nezmanjšljivosti je, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka enak ena.

Po tem algoritmu lahko naštejemo vsa pozitivna racionalna števila. To pomeni, da je množica pozitivnih racionalnih števil števna. Enostavno je vzpostaviti bijekcijo med množicami pozitivnih in negativnih racionalnih števil tako, da vsakemu racionalnemu številu preprosto pripišemo njegovo nasprotje. to. množica negativnih racionalnih števil je tudi števna. Njihova unija je števna tudi po lastnosti števnih množic. Množica racionalnih števil je števna tudi kot unija števne množice s končno.

Trditev o štetnosti množice racionalnih števil lahko povzroči nekaj zmede, saj se na prvi pogled zdi, da je mnogo obsežnejša od množice naravnih števil. Pravzaprav ni tako in naravnih števil je dovolj, da lahko naštejemo vsa racionalna.

Pomanjkanje racionalnih števil

Hipotenuze takega trikotnika ni mogoče izraziti z nobenim racionalnim številom

Racionalna števila oblike 1 / n na prostosti n lahko merimo poljubno majhne količine. To dejstvo ustvarja zavajajoč vtis, da je mogoče racionalna števila uporabiti za merjenje poljubnih geometrijskih razdalj. Lahko je dokazati, da to ni res.

Iz Pitagorovega izreka vemo, da je hipotenuza pravokotnega trikotnika izražena kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih katet. to. dolžina hipotenuze enakokrakega pravokotnega trikotnika z enotskim krakom je enaka , tj. številu, katerega kvadrat je 2.

Če predpostavimo, da je število mogoče predstaviti z nekim racionalnim številom, potem takšno celo število obstaja m in tako naravno število n, da , in ulomek je nezmanjšljiv, tj. števila m in n- medsebojno preprosta.

Če, potem , tj. m 2 = 2n 2. Zato je število m 2 je sodo, vendar produkt dveh liha števila liho, kar pomeni, da število samo m tudi celo. Torej obstaja naravno število k, tako da število m lahko predstavimo v obliki m = 2k. Številčni kvadrat m V tem smislu m 2 = 4k 2, a na drugi strani m 2 = 2n 2 pomeni 4 k 2 = 2n 2, oz n 2 = 2k 2. Kot je prikazano prej za številko m, to pomeni, da število n- celo kot m. Toda potem nista relativno praštevilna, saj sta oba razpolovljena. Nastalo protislovje dokazuje, da ni racionalno število.

Med študijem kraljice vseh ved – matematike, vsak na neki točki naleti na ulomke. Čeprav ta koncept (tako kot same vrste ulomkov ali matematične operacije z njimi) ni prav nič zapleten, je treba z njim ravnati previdno, saj v resnično življenje Izven šole bo zelo uporabno. Pa osvežimo znanje o ulomkih: kaj so, čemu so namenjeni, katere vrste so in kako z njimi izvajati različne aritmetične operacije.

Njeno veličanstvo frakcija: kaj je to

V matematiki so ulomki števila, od katerih je vsako sestavljeno iz enega ali več delov enote. Takšni ulomki se imenujejo tudi navadni ali preprosti. Praviloma so zapisane v obliki dveh številk, ki sta ločeni z vodoravno ali poševno črto, imenujemo jo "ulomka". Na primer: ½, ¾.

Zgornji ali prvi od teh števil je števec (pokaže, koliko delov je vzetih iz števila), spodnji ali drugi pa je imenovalec (pokaže, na koliko delov je enota razdeljena).

Vrstica za ulomke dejansko deluje kot znak za deljenje. Na primer 7:9=7/9

Tradicionalno so navadni ulomki manjši od ena. Medtem ko so decimalke lahko večje od njega.

Čemu so ulomki? Da, za vse, saj v resničnem svetu niso vsa števila cela števila. Na primer, dve šolarki sta v kavarni skupaj kupili eno okusno čokoladico. Ko sta si želela deliti sladico, sta srečala prijateljico in se odločila, da jo bosta tudi pogostila. Zdaj pa je treba čokoladico pravilno razdeliti, saj je sestavljena iz 12 kvadratov.

Sprva so dekleta želela vse enakomerno razdeliti, potem pa bi vsaka dobila štiri kose. Toda po premisleku sta se odločila, da svojega prijatelja pogostita ne z 1/3, ampak z 1/4 čokolade. In ker se učenke niso dobro naučile ulomkov, niso upoštevale, da bi v takšni situaciji na koncu dobile 9 kosov, ki jih je zelo težko razdeliti na dva. Ta dokaj preprost primer kaže, kako pomembno je pravilno najti del števila. Toda v življenju je takšnih primerov veliko več.

Vrste ulomkov: navadni in decimalni

Vsi matematični ulomki so razdeljeni v dve veliki kategoriji: navadne in decimalne. Značilnosti prvega od njih so bile opisane v prejšnjem odstavku, zato je zdaj vredno posvetiti pozornost drugemu.

Decimalka je položajni zapis ulomka števila, ki je zapisan pisno, ločen z vejico, brez pomišljaja ali poševnice. Na primer: 0,75, 0,5.

Pravzaprav je decimalni ulomek enak navadnemu ulomku, vendar je njegov imenovalec vedno ena, ki mu sledijo ničle - od tod tudi njegovo ime.

Število pred decimalno vejico je cel del, vse za njim pa je ulomek. Vsak preprost ulomek je mogoče pretvoriti v decimalko. Torej, navedeno v prejšnjem primeru decimalke lahko zapišemo kot običajno: ¾ in ½.

Treba je omeniti, da so tako decimalni kot navadni ulomki lahko pozitivni ali negativni. Če je pred njimi znak »-«, je ta ulomek negativen, če je »+« pozitiven ulomek.

Podvrste navadnih ulomkov

Obstajajo te vrste preprostih ulomkov.

Podvrste decimalnih ulomkov

Za razliko od preprostega ulomka je decimalni ulomek razdeljen na samo 2 vrsti.

• Končno - to ime je prejelo zaradi dejstva, da ima za decimalno vejico omejeno (končno) število števk: 19,25.
• Neskončni ulomek je število z neskončnim številom števk za decimalno vejico. Na primer, ko delite 10 s 3, bo rezultat neskončen ulomek 3,333 ...

Seštevanje ulomkov

Izvajanje različnih aritmetičnih manipulacij z ulomki je nekoliko težje kot z običajnimi številkami. Vendar, če razumete osnovna pravila, reševanje katerega koli primera z njimi ne bo težko.

Na primer: 2/3+3/4. Najmanjši skupni večkratnik zanje bo 12, zato je nujno, da je to število v vsakem imenovalcu. Da bi to naredili, pomnožimo števec in imenovalec prvega ulomka s 4, izkaže se 8/12, enako storimo z drugim členom, vendar pomnožimo le s 3 - 9/12. Zdaj lahko enostavno rešite primer: 8/12+9/12= 17/12. Dobljeni ulomek je napačna enota, ker je števec večji od imenovalca. Lahko in mora biti preoblikovan v pravilno mešano z deljenjem 17:12 = 1 in 5/12.

Pri seštevanju mešanih ulomkov se operacije izvajajo najprej s celimi števili, nato pa z ulomki.

Če primer vsebuje decimalni in navadni ulomek, je treba oba narediti enostavna, nato ju spraviti na isti imenovalec in ju sešteti. Na primer 3,1+1/2. Število 3.1 lahko zapišemo kot mešani ulomek 3 in 1/10 ali kot nepravi ulomek - 31/10. Skupni imenovalec za izraze bo 10, zato morate števec in imenovalec 1/2 izmenično pomnožiti s 5, dobili boste 5/10. Potem lahko enostavno izračunate vse: 31/10+5/10=35/10. Dobljeni rezultat je nepravilen zmanjšljiv ulomek, ga spravimo v normalno obliko in ga zmanjšamo za 5: 7/2 = 3 in 1/2 ali decimalno - 3,5.

Pri seštevanju 2 decimalnih ulomkov je pomembno, da je za decimalno vejico enako število števk. Če temu ni tako, morate samo dodati zahtevani znesek ničle, ker je v decimalnih ulomkih to mogoče narediti neboleče. Na primer 3,5+3,005. Če želite rešiti to težavo, morate prvi številki dodati 2 ničli in nato dodati eno za drugo: 3,500+3,005=3,505.

Odštevanje ulomkov

Pri odštevanju ulomkov ravnajte enako kot pri seštevanju: zmanjšajte na skupni imenovalec, odštejte en števec od drugega in po potrebi rezultat pretvorite v mešani ulomek.

Na primer: 16/20-5/10. Skupni imenovalec bo 20. Drugi ulomek morate prinesti na ta imenovalec tako, da oba njegova dela pomnožite z 2, dobite 10/20. Zdaj lahko rešite primer: 16/20-10/20= 6/20. Vendar ta rezultat velja za pomanjšane ulomke, zato je vredno obe strani deliti z 2 in rezultat je 3/10.

Množenje ulomkov

Deljenje in množenje ulomkov sta veliko preprostejši operaciji kot seštevanje in odštevanje. Dejstvo je, da pri opravljanju teh nalog ni treba iskati skupnega imenovalca.

Če želite pomnožiti ulomke, morate enega za drugim pomnožiti oba števca in nato še oba imenovalca. Zmanjšajte dobljeni rezultat, če je ulomek pomanjšana količina.

Na primer: 4/9x5/8. Po izmeničnem množenju je rezultat 4x5/9x8=20/72. Ta ulomek je mogoče zmanjšati za 4, tako da je končni odgovor v primeru 5/18.

Kako deliti ulomke

Tudi deljenje ulomkov preprosto dejanje, pravzaprav še vedno pride do njihovega množenja. Če želite en ulomek deliti z drugim, morate drugega obrniti in pomnožiti s prvim.

Na primer, deljenje ulomkov 5/19 in 5/7. Če želite rešiti primer, morate zamenjati imenovalec in števec drugega ulomka in pomnožiti: 5/19x7/5=35/95. Rezultat se lahko zmanjša za 5 - izkaže se 7/19.

Če morate ulomek deliti s praštevilom, je tehnika nekoliko drugačna. Sprva morate to številko zapisati kot nepravilen ulomek in nato razdeliti po isti shemi. Na primer, 2/13:5 je treba zapisati kot 2/13: 5/1. Zdaj morate obrniti 5/1 in pomnožiti nastale ulomke: 2/13x1/5= 2/65.

Včasih morate razdeliti mešane frakcije. Z njimi morate ravnati tako, kot bi s celimi števili: spremeniti jih v nepravilne ulomke, obrniti delitelj in vse pomnožiti. Na primer, 8 ½: 3. Vse pretvorite v nepravilne ulomke: 17/2: 3/1. Temu sledi obračanje 3/1 in množenje: 17/2x1/3= 17/6. Zdaj bi morali nepravilni ulomek pretvoriti v pravilnega - 2 cela in 5/6.

Torej, ko ste ugotovili, kaj so ulomki in kako lahko z njimi izvajate različne aritmetične operacije, se morate potruditi, da na to ne pozabite. Navsezadnje so ljudje vedno bolj nagnjeni k temu, da nekaj razdelimo na dele kot dodajamo, zato morate biti sposobni to narediti pravilno.

Z ulomki se v življenju srečamo veliko prej, kot se jih začnemo učiti v šoli. Če celo jabolko prerežemo na pol, dobimo ½ sadeža. Prerežemo še enkrat - bo ¼. To so ulomki. In vse se je zdelo preprosto. Za odraslo osebo. Za otroka (in to temo se začne preučevati ob koncu osnovne šole) so abstraktni matematični pojmi še vedno strašljivo nerazumljivi in ​​učitelj mora jasno razložiti, kaj je pravilen in nepravilen ulomek, navaden in decimalni del, katere operacije je mogoče izvesti. z njimi in, kar je najpomembneje, zakaj je vse to potrebno.

Kaj so ulomki?

Spoznavanje nova tema v šoli se začne z navadnimi ulomki. Preprosto jih prepoznamo po vodoravni črti, ki ločuje dve številki - zgoraj in spodaj. Zgornji se imenuje števec, spodnji pa imenovalec. Obstaja tudi možnost pisanja nepravilnih in pravilnih navadnih ulomkov z malimi črkami - skozi poševnico, na primer: ½, 4/9, 384/183. Ta možnost se uporablja, ko je višina vrstice omejena in ni mogoče uporabiti "dvoetažnega" vnosa. Zakaj? Da, ker je bolj priročno. To bomo videli malo kasneje.

Poleg navadnih ulomkov obstajajo tudi decimalni ulomki. Razlikovati jih je zelo preprosto: če je v enem primeru uporabljena vodoravna ali poševnica, se v drugem uporablja vejica za ločevanje zaporedij številk. Poglejmo primer: 2,9; 163,34; 1,953. Za ločilo med številkami smo namerno uporabili podpičje. Prvi od njih se bo glasil takole: "dve piki devet."

Novi koncepti

Vrnimo se k navadnim ulomkom. Na voljo so v dveh vrstah.

Definicija pravega ulomka je naslednja: to je ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca. Zakaj je pomembno? Zdaj bomo videli!

Imate več jabolk, prepolovljenih. Skupaj - 5 delov. Kako bi rekli: ali imate "dve in pol" ali "pet in pol" jabolk? Seveda se prva možnost sliši bolj naravno in jo bomo uporabili pri pogovoru s prijatelji. Če pa moramo izračunati, koliko sadja bo vsak dobil, če je v podjetju pet ljudi, bomo zapisali število 5/2 in ga delili s 5 - z matematičnega vidika bo to bolj jasno. .

Za poimenovanje pravih in nepravih ulomkov torej velja pravilo: če je v ulomku mogoče ločiti cel del (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), potem je nepravi. Če tega ni mogoče narediti, kot v primeru ½, 13/16, 9/10, bo to pravilno.

Glavna lastnost ulomka

Če števec in imenovalec ulomka hkrati pomnožimo ali delimo z istim številom, se njegova vrednost ne spremeni. Predstavljajte si: torto so razrezali na 4 enake dele in vam dali enega. Isto torto so razrezali na osem kosov in vam dali dva. Ali je res pomembno? Navsezadnje sta ¼ in 2/8 ista stvar!

Zmanjšanje

Avtorji problemov in primerov v matematičnih učbenikih pogosto poskušajo zmesti učence s tem, da ponujajo ulomke, ki jih je težko napisati, vendar jih je mogoče skrajšati. Tukaj je primer pravilnega ulomka: 167/334, ki se zdi zelo "strašljiv". Toda dejansko ga lahko zapišemo kot ½. Število 334 je deljivo s 167 brez ostanka - po izvedbi te operacije dobimo 2.

Mešane številke

Nepravilen ulomek lahko predstavimo kot mešano število. To je takrat, ko je ves del pomaknjen naprej in zapisan v ravni vodoravne črte. Pravzaprav je izraz v obliki vsote: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 in tako naprej.

Če želite izločiti cel del, morate števec deliti z imenovalcem. Preostanek deljenja napiši zgoraj, nad črto, cel del pa pred izrazom. Tako dobimo dva strukturna dela: cele enote + pravi ulomek.

Izvedete lahko tudi obratno operacijo - za to morate celo število pomnožiti z imenovalcem in dobljeno vrednost dodati števcu. Nič zapletenega.

Množenje in deljenje

Nenavadno je, da je množenje ulomkov lažje kot seštevanje. Vse, kar je potrebno, je podaljšati vodoravno črto: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Z delitvijo je vse preprosto: ulomke morate pomnožiti navzkrižno: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Seštevanje ulomkov

Kaj storiti, če morate izvesti seštevanje ali je njihov imenovalec različne številke? Ne bo delovalo enako kot pri množenju - tukaj bi morali razumeti definicijo pravilnega ulomka in njegovo bistvo. Izraze je treba spraviti na skupni imenovalec, to je, da morajo imeti spodnji deli obeh ulomkov enaka števila.

Če želite to narediti, uporabite osnovno lastnost ulomka: oba dela pomnožite z istim številom. Na primer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kako izbrati, na kateri imenovalec zmanjšati izraze? To mora biti najmanjše število, ki je večkratnik obeh števil v imenovalcih ulomkov: za 1/3 in 1/9 bo 9; za ½ in 1/7 - 14, ker ni manjše vrednosti, deljive z 2 in 7 brez ostanka.

Uporaba

Za kaj se uporabljajo nepravi ulomki? Navsezadnje je veliko bolj priročno takoj izbrati cel del, dobiti mešano število - in končati s tem! Izkazalo se je, da če morate pomnožiti ali razdeliti dva ulomka, je bolj donosno uporabiti nepravilne.

Vzemimo naslednji primer: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Zdi se, da sploh ni ničesar za rezati. Kaj pa, če rezultat seštevanja v prvem oklepaju zapišemo kot nepravi ulomek? Pogled: (37/17) / (37/68)

Zdaj se vse postavi na svoje mesto! Zapišimo primer tako, da bo vse jasno: (37*68) / (17*37).

Odštejmo 37 v števcu in imenovalcu in nazadnje zgornji in spodnji del delimo s 17. Se spomniš osnovnega pravila za prave in neprave ulomke? Lahko jih pomnožimo in delimo s poljubnim številom, če to storimo za števec in imenovalec hkrati.

Tako dobimo odgovor: 4. Primer je bil videti zapleten, a odgovor vsebuje samo eno številko. To se pri matematiki pogosto dogaja. Glavna stvar je, da se ne bojite in sledite preprostim pravilom.

Pogoste napake

Pri izvajanju lahko učenec zlahka naredi eno izmed pogostih napak. Običajno se pojavijo zaradi nepazljivosti, včasih pa zaradi dejstva, da preučevani material še ni bil pravilno shranjen v glavi.

Pogosto vas vsota števil v števcu spodbudi k zmanjšanju posameznih komponent. Recimo v primeru: (13 + 2) / 13, zapisano brez oklepaja (z vodoravno črto), veliko študentov zaradi neizkušenosti prečrta 13 zgoraj in spodaj. Vendar tega v nobenem primeru ne bi smeli storiti, ker je to velika napaka! Če bi namesto seštevanja stal znak za množenje, bi v odgovoru dobili številko 2. Pri seštevanju pa ni dovoljena nobena operacija z enim od členov, le s celotno vsoto.

Tudi fantje se pogosto zmotijo ​​pri deljenju ulomkov. Vzemimo dva pravilna nezmanjšana ulomka in jih delimo drug z drugim: (5/6) / (25/33). Učenec lahko to pomeša in dobljeni izraz zapiše kot (5*25) / (6*33). Toda to bi se zgodilo z množenjem, vendar bo v našem primeru vse nekoliko drugače: (5*33) / (6*25). Zmanjšamo, kar je mogoče, in odgovor bo 11/10. Dobljeni nepravi ulomek zapišemo z decimalko - 1,1.

Oklepaji

Ne pozabite, da je v katerem koli matematičnem izrazu vrstni red operacij določen s prednostjo operacijskih znakov in prisotnostjo oklepajev. Ob enakih drugih pogojih se vrstni red dejanj šteje od leve proti desni. To velja tudi za ulomke - izraz v števcu ali imenovalcu se izračuna strogo v skladu s tem pravilom.

Navsezadnje je to rezultat deljenja enega števila z drugim. Če niso enakomerno razdeljeni, postane ulomek – to je vse.

Kako napisati ulomek na računalniku

Ker standardna orodja ne omogočajo vedno ustvarjanja frakcije, sestavljene iz dveh "stopenj", se učenci včasih zatečejo k različnim trikom. Na primer, števce in imenovalce prepišejo v grafični urejevalnik Paint in jih zlepijo skupaj ter med njimi narišejo vodoravno črto. Seveda obstaja enostavnejša možnost, ki mimogrede ponuja veliko dodatne lastnosti, ki vam bodo koristili v prihodnosti.

Odprite Microsoft Word. Ena od plošč na vrhu zaslona se imenuje »Vstavi« - kliknite jo. Na desni strani, kjer sta ikoni za zapiranje in minimiziranje okna, je gumb »Formula«. Točno to potrebujemo!

Če uporabite to funkcijo, se na zaslonu pojavi pravokotno območje, v katerem lahko uporabite katero koli matematični znaki, ki manjkajo na tipkovnici, in pišejo tudi ulomke v klasični obliki. To pomeni, da števec in imenovalec delimo z vodoravno črto. Morda boste celo presenečeni, da je tako preprost ulomek zapisati.

Nauči se matematike

Če ste v 5.–6. razredu, bo kmalu potrebno znanje matematike (vključno z zmožnostjo dela z ulomki!) v mnogih šolski predmeti. Pri skoraj vseh problemih v fiziki, pri merjenju mase snovi v kemiji, v geometriji in trigonometriji ne morete brez ulomkov. Kmalu se boste naučili izračunati vse v mislih, ne da bi sploh zapisovali izraze na papir, ampak vedno več zapleteni primeri. Zato se naučite, kaj je pravi ulomek in kako z njim delati, sledite svojemu učnemu načrtu, naredite domačo nalogo pravočasno in uspelo vam bo.

Ta članek govori o navadni ulomki. Tu bomo predstavili koncept ulomka celote, kar nas bo pripeljalo do definicije navadnega ulomka. Nato se bomo posvetili sprejetemu zapisu za navadne ulomke in navedli primere ulomkov, recimo o števcu in imenovalcu ulomka. Za tem bomo podali definicije pravih in nepravih, pozitivnih in negativnih ulomkov ter razmislili tudi o položaju ulomkov na koordinatnem žarku. Na koncu naštejemo glavne operacije z ulomki.

Navigacija po strani.

Deleži celote

Najprej se predstavimo koncept deleža.

Predpostavimo, da imamo nek predmet, sestavljen iz več popolnoma enakih (torej enakih) delov. Za jasnost si lahko predstavljate na primer jabolko, razrezano na več kosov enake dele, ali pomaranča, sestavljena iz več enakih delov. Vsak od teh enakih delov, ki sestavljajo cel predmet, se imenuje deli celote ali preprosto delnice.

Upoštevajte, da so delnice različne. Razložimo to. Vzemimo dve jabolki. Prvo jabolko prerežemo na dva enaka dela, drugo pa na 6 enakih delov. Jasno je, da bo delež prvega jabolka drugačen od deleža drugega jabolka.

Odvisno od števila deležev, ki sestavljajo celoten objekt, imajo ti deleži svoja imena. Uredimo to imena utripov. Če je predmet sestavljen iz dveh delov, se kateri koli od njiju imenuje drugi del celotnega predmeta; če je predmet sestavljen iz treh delov, se kateri koli od njih imenuje tretji del itd.

En drugi delež ima posebno ime – pol. Ena tretjina je poklicana tretji in ena četrtina - četrtina.

Zaradi jedrnatosti je bilo uvedeno naslednje: premagati simbole. En drugi delež je označen kot ali 1/2, tretjinski delež je označen kot ali 1/3; en četrtinski delež - like ali 1/4 itd. Upoštevajte, da se pogosteje uporablja zapis z vodoravno črto. Za podkrepitev gradiva navedimo še en primer: zapis označuje sto sedeminšestdeseti del celote.

Koncept deleža se naravno razširi od predmetov do količin. Eno od meril za dolžino je na primer meter. Za merjenje dolžin, krajših od metra, lahko uporabite delčke metra. Tako lahko uporabite na primer pol metra ali desetinko ali tisočinko metra. Podobno se uporabljajo deleži drugih količin.

Navadni ulomki, definicija in primeri ulomkov

Za opis števila delnic, ki jih uporabljamo navadni ulomki. Navedimo primer, ki nam bo omogočil, da se približamo definiciji navadnih ulomkov.

Naj bo pomaranča sestavljena iz 12 delov. Vsaka delnica v tem primeru predstavlja eno dvanajstino cele pomaranče, to je . Dva utripa označimo kot , tri utripe kot , in tako naprej, 12 utripov označimo kot . Vsak od navedenih vnosov se imenuje navadni ulomek.

Zdaj pa dajmo generalko definicija navadnih ulomkov.

Glasovna definicija navadnih ulomkov nam omogoča podajanje primeri navadnih ulomkov: 5/10, , 21/1, 9/4, . In tukaj so zapisi ne ustrezajo navedeni definiciji navadnih ulomkov, to pomeni, da niso navadni ulomki.

Števec in imenovalec

Za udobje se razlikujejo navadne frakcije števec in imenovalec.

Opredelitev.

Števec navadni ulomek (m/n) je naravno število m.

Opredelitev.

Imenovalec navadni ulomek (m/n) je naravno število n.

Torej se števec nahaja nad ulomkovo črto (levo od poševnice), imenovalec pa pod ulomkovo črto (desno od poševnice). Na primer, vzemimo navadni ulomek 17/29, števec tega ulomka je število 17, imenovalec pa število 29.

Razpravljati je treba o pomenu števca in imenovalca navadnega ulomka. Imenovalec ulomka kaže, koliko delov je sestavljen iz enega predmeta, števec pa število takih delov. Na primer, imenovalec 5 ulomka 12/5 pomeni, da je en predmet sestavljen iz petih delnic, števec 12 pa, da je vzetih 12 takih delnic.

Naravno število kot ulomek z imenovalcem 1

Imenovalec navadnega ulomka je lahko enak ena. V tem primeru lahko štejemo, da je predmet nedeljiv, z drugimi besedami, predstavlja nekaj celote. Števec takega ulomka označuje, koliko celih predmetov je vzetih. torej navadni ulomek oblike m/1 ima pomen naravnega števila m. Tako smo utemeljili veljavnost enakosti m/1=m.

Zadnjo enakost prepišemo takole: m=m/1. Ta enakost nam omogoča, da vsako naravno število m predstavimo kot navadni ulomek. Na primer, število 4 je ulomek 4/1, število 103.498 pa je enako ulomku 103.498/1.

Torej, vsako naravno število m lahko predstavimo kot navaden ulomek z imenovalcem 1 kot m/1, vsak navadni ulomek oblike m/1 pa lahko nadomestimo z naravnim številom m.

Ulomek kot znak za deljenje

Predstavljanje izvirnega predmeta v obliki n deležev ni nič drugega kot razdelitev na n enakih delov. Ko je predmet razdeljen na n deležev, ga lahko enakomerno razdelimo med n ljudi - vsak bo prejel en delež.

Če imamo na začetku m enakih predmetov, od katerih je vsak razdeljen na n deležev, potem lahko teh m predmetov enakomerno razdelimo med n ljudi, tako da vsaki osebi damo en delež od vsakega od m predmetov. V tem primeru bo vsaka oseba imela m deležev 1/n, m deležev 1/n pa daje navadni ulomek m/n. Tako lahko navadni ulomek m/n uporabimo za označevanje delitve m predmetov med n ljudi.

Tako smo dobili eksplicitno povezavo med navadnimi ulomki in deljenjem (glej splošno idejo deljenja naravnih števil). Ta povezava je izražena na naslednji način: ulomkovo črto lahko razumemo kot znak deljenja, torej m/n=m:n.

Z navadnim ulomkom lahko zapišete rezultat deljenja dveh naravnih števil, pri katerih ni mogoče izvesti celega deljenja. Na primer, rezultat deljenja 5 jabolk z 8 ljudmi lahko zapišemo kot 5/8, kar pomeni, da bo vsak dobil pet osmin jabolka: 5:8 = 5/8.

Enaki in neenaki ulomki, primerjava ulomkov

Dokaj naravno dejanje je primerjanje ulomkov, ker je jasno, da se 1/12 pomaranče razlikuje od 5/12, 1/6 jabolka pa je enaka drugi 1/6 tega jabolka.

Kot rezultat primerjave dveh navadnih ulomkov dobimo enega od rezultatov: ulomka sta enaka ali neenaka. V prvem primeru imamo enaki navadni ulomki, v drugem pa – neenaki navadni ulomki. Dajmo definicijo enakih in neenakih navadnih ulomkov.

Opredelitev.

enaka, če velja enakost a·d=b·c.

Opredelitev.

Dva navadna ulomka a/b in c/d ni enako, če ni izpolnjena enakost a·d=b·c.

Tukaj je nekaj primerov enakih ulomkov. Navadni ulomek 1/2 je na primer enak ulomku 2/4, saj je 1·4=2·2 (če je treba, glej pravila in primere množenja naravnih števil). Za jasnost si lahko predstavljate dve enaki jabolki, prvo je prerezano na pol, drugo pa na 4 dele. Očitno je, da sta dve četrtini jabolka enaki 1/2 deleža. Drugi primeri enakih navadnih ulomkov so ulomki 4/7 in 36/63 ter par ulomkov 81/50 in 1.620/1.000.

Toda navadna ulomka 4/13 in 5/14 nista enaka, saj je 4·14=56 in 13·5=65, torej 4·14≠13·5. Drugi primeri neenakih navadnih ulomkov sta ulomka 17/7 in 6/4.

Če se pri primerjavi dveh navadnih ulomkov izkaže, da nista enaka, potem boste morda morali ugotoviti, kateri od teh navadnih ulomkov manj drugačen in kateri - več. Za ugotovitev se uporablja pravilo za primerjanje navadnih ulomkov, katerega bistvo je, da primerjane ulomke spravimo na skupni imenovalec in nato primerjamo števce. Podrobne informacije ta tema je zbrana v članku primerjava ulomkov: pravila, primeri, rešitve.

Ulomka števila

Vsak ulomek je zapis delno število. To pomeni, da je ulomek le "lupina" ulomka, njegovega videz, in vsa pomenska obremenitev je vsebovana v delnem številu. Vendar pa sta zaradi jedrnatosti in priročnosti koncepta ulomka in delnega števila združena in preprosto imenovana ulomek. Tukaj je primerno preoblikovati znan rek: rečemo ulomek - mislimo na ulomek, rečemo ulomek - mislimo na ulomek.

Ulomki na koordinatnem žarku

Vsa ulomka, ki ustrezajo navadnim ulomkom, imajo svoje edinstveno mesto na , to pomeni, da obstaja korespondenca ena proti ena med ulomki in točkami koordinatnega žarka.

Da bi prišli do točke na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku m/n, morate od izhodišča v pozitivni smeri odložiti m odsekov, katerih dolžina je 1/n ulomek enotskega odseka. Takšne odseke lahko dobimo tako, da enotski odsek razdelimo na n enakih delov, kar lahko vedno storimo s šestilom in ravnilom.

Na primer, pokažimo točko M na koordinatnem žarku, ki ustreza ulomku 14/10. Dolžina odseka s koncema v točki O in njej najbližje točke, označene z majhno črtico, je 1/10 enotskega odseka. Točka s koordinato 14/10 je odmaknjena od izhodišča na razdalji 14 takih segmentov.

Enaki ulomki ustrezajo istemu delnemu številu, kar pomeni, da so enaki ulomki koordinate iste točke na koordinatnem žarku. Na primer, koordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 ustrezajo eni točki na koordinatnem žarku, saj so vsi zapisani ulomki enaki (nahaja se na razdalji polovice razporejenega enotskega segmenta od izhodišča v pozitivno smer).

Na vodoravnem in desno usmerjenem koordinatnem žarku se točka, katere koordinata je večji del, nahaja desno od točke, katere koordinata je manjši del. Podobno leži točka z manjšo koordinato levo od točke z večjo koordinato.

Pravilni in nepravi ulomki, definicije, primeri

Med navadnimi ulomki so pravi in ​​nepravi ulomki. Ta delitev temelji na primerjavi števca in imenovalca.

Določimo pravilne in neprave navadne ulomke.

Opredelitev.

Pravi ulomek je navaden ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, to je, če je m

Opredelitev.

Nepravilen ulomek je navaden ulomek, v katerem je števec večji ali enak imenovalcu, to je, če je m≥n, potem je navadni ulomek nepravilen.

Tukaj je nekaj primerov pravilnih ulomkov: 1/4, , 32,765/909,003. V vsakem od zapisanih navadnih ulomkov je namreč števec manjši od imenovalca (če je treba, glej članek o primerjavi naravnih števil), zato so po definiciji pravilni.

Tu so primeri nepravilnih ulomkov: 9/9, 23/4, . Dejansko je števec prvega od zapisanih navadnih ulomkov enak imenovalcu, pri preostalih ulomkih pa je števec večji od imenovalca.

Obstajajo tudi definicije pravih in nepravih ulomkov, ki temeljijo na primerjavi ulomkov z enico.

Opredelitev.

pravilno, če je manj kot ena.

Opredelitev.

Navadni ulomek se imenuje narobe, če je enako ena ali večja od 1.

Torej je navadni ulomek 7/11 pravilen, saj je 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 in 27/27=1.

Pomislimo, kako si navadni ulomki s števcem, ki je večji ali enak imenovalcu, zaslužijo tako ime - "nepravilno".

Na primer, vzemimo nepravilni ulomek 9/9. Ta ulomek pomeni, da se vzame devet delov predmeta, ki je sestavljen iz devetih delov. To pomeni, da lahko iz razpoložljivih devetih delov sestavimo cel predmet. To pomeni, da nepravilni ulomek 9/9 v bistvu daje celoten predmet, to je 9/9 = 1. V splošnem nepravi ulomki s števcem, enakim imenovalcu, označujejo en cel predmet in tak ulomek lahko nadomestimo z naravnim številom 1.

Zdaj razmislite o nepravilnih ulomkih 7/3 in 12/4. Povsem očitno je, da lahko iz teh sedmih tretjih delov sestavimo dva cela predmeta (en cel predmet je sestavljen iz 3 delov, potem bomo za sestavo dveh celih predmetov potrebovali 3 + 3 = 6 delov) in še vedno bo ostal en tretji del. . To pomeni, da nepravi ulomek 7/3 v bistvu pomeni 2 predmeta in tudi 1/3 takega predmeta. In iz dvanajstih četrtin lahko naredimo tri cele predmete (tri predmete s štirimi deli). To pomeni, da ulomek 12/4 v bistvu pomeni 3 cele predmete.

Obravnavani primeri nas vodijo do naslednje ugotovitve: neprave ulomke lahko nadomestimo bodisi z naravnimi števili, ko števec enakomerno delimo z imenovalcem (npr. 9/9=1 in 12/4=3), bodisi z vsoto naravnega števila in pravega ulomka, kadar števec ni enakomerno deljiv z imenovalcem (npr. 7/3=2+1/3). Morda je prav zaradi tega nepravilni ulomek dobil ime »nepravilni«.

Posebej zanimiva je predstavitev nepravilnega ulomka kot vsote naravnega števila in pravega ulomka (7/3=2+1/3). Ta postopek se imenuje ločevanje celega dela od nepravilnega ulomka in si zasluži ločeno in natančnejšo obravnavo.

Omeniti velja tudi, da obstaja zelo tesna povezava med nepravilnimi ulomki in mešanimi števili.

Pozitivni in negativni ulomki

Vsak navadni ulomek ustreza pozitivnemu ulomku (glej članek o pozitivnih in negativnih številih). To so navadni ulomki pozitivni ulomki. Na primer, navadni ulomki 1/5, 56/18, 35/144 so pozitivni ulomki. Ko morate poudariti pozitivnost ulomka, se pred njim postavi znak plus, na primer +3/4, +72/34.

Če pred navadnim ulomkom postavite znak minus, bo ta vnos ustrezal negativnemu ulomku. V tem primeru lahko govorimo o negativni ulomki. Tukaj je nekaj primerov negativnih ulomkov: −6/10, −65/13, −1/18.

Pozitivni in negativni ulomki m/n in −m/n sta nasprotni števili. Na primer, ulomka 5/7 in −5/7 sta nasprotna ulomka.

Pozitivni ulomki, tako kot pozitivna števila na splošno, označujejo dodatek, dohodek, spremembo katere koli vrednosti navzgor itd. Negativni ulomki ustrezajo izdatku, dolgu ali zmanjšanju katere koli količine. Na primer, negativni ulomek −3/4 lahko razlagamo kot dolg, katerega vrednost je enaka 3/4.

V vodoravni in desni smeri se negativni ulomki nahajajo levo od izhodišča. Točki koordinatne premice, katerih koordinate so pozitivni ulomek m/n in negativni ulomek −m/n, se nahajajo na enaki razdalji od izhodišča, vendar na nasprotnih straneh točke O.

Tukaj velja omeniti ulomke oblike 0/n. Ti ulomki so enaki številu nič, to je 0/n=0.

Pozitivni ulomki, negativni ulomki in ulomki 0/n se združijo v racionalna števila.

Operacije z ulomki

Zgoraj smo že razpravljali o enem dejanju z navadnimi ulomki - primerjanju ulomkov. Definirane so še štiri aritmetične funkcije operacije z ulomki– seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje ulomkov. Oglejmo si vsakega od njih.

Splošno bistvo operacij z ulomki je podobno bistvu ustreznih operacij z naravnimi števili. Naredimo analogijo.

Množenje ulomkov si lahko predstavljamo kot dejanje iskanja ulomka iz ulomka. Za pojasnitev navedimo primer. Imejmo 1/6 jabolka in vzeti ga moramo 2/3. Del, ki ga potrebujemo, je rezultat množenja ulomkov 1/6 in 2/3. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navadni ulomek (ki je v posebnem primeru enak naravnemu številu). Nato priporočamo, da preučite informacije v članku Množenje ulomkov - pravila, primeri in rešitve.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: učbenik za 5. razred. izobraževalne ustanove.
• Vilenkin N.Y. in drugi. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).