Kaj so ekstremi funkcije: kritične točke maksimuma in minimuma. Povečanje, padanje in ekstremi funkcije

Povečanje in zmanjševanje intervalov zagotavljata zelo pomembne informacije o obnašanju funkcije. Njihovo iskanje je del procesa raziskovanja in risanja funkcij. Poleg tega je pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije na določenem intervalu posebna pozornost posvečena ekstremnim točkam, pri katerih pride do spremembe od povečanja do zmanjšanja ali od zmanjšanja do povečanja.

V tem članku bomo podali potrebne definicije, oblikovali zadosten test za povečanje in zmanjšanje funkcije na intervalu in zadostne pogoje za obstoj ekstrema ter celotno teorijo uporabili pri reševanju primerov in problemov.

Navigacija po straneh.

Naraščajoča in padajoča funkcija v intervalu.

Definicija naraščajoče funkcije.

Funkcija y=f(x) se poveča na intervalu X, če za katero koli in neenakost je izpolnjena. Z drugimi besedami, večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije.

Zmanjšanje definicije funkcije.

Funkcija y=f(x) se zmanjša na intervalu X, če za katero koli in neenakost . Z drugimi besedami, večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

OPOMBA: če je funkcija definirana in neprekinjena na koncih intervala povečanja ali zmanjšanja (a;b), to je pri x=a in x=b , potem so te točke vključene v interval povečanja ali zmanjšanja. To ni v nasprotju z definicijami naraščajoče in padajoče funkcije na intervalu X.

Na primer, iz lastnosti osnovnih elementarnih funkcij vemo, da je y=sinx definiran in neprekinjen za vse realne vrednosti argumenta. Zato lahko iz povečanja funkcije sinusa na intervalu trdimo povečanje na intervalu .

Ekstremne točke, funkcijski ekstremi.

Točka se imenuje največja točka funkcija y=f(x), če je neenakost resnična za vse x iz njegove soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na najvišji točki maksimalno delovanje in označi .

Točka se imenuje minimalna točka funkcija y=f(x), če je neenakost resnična za vse x iz njegove soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na minimalni točki minimalna funkcija in označi .

Soseska točke se razume kot interval , kjer je dovolj majhno pozitivno število.

Najmanjša in največja točka se imenujeta ekstremne točke, in se pokličejo vrednosti funkcij, ki ustrezajo točkam ekstrema funkcijski ekstremi.

Ne zamenjujte skrajnosti funkcije z največjo in najmanjšo vrednostjo funkcije.

Na prvi sliki je največja vrednost funkcije na segmentu dosežena na najvišji točki in je enaka maksimumu funkcije, na drugi sliki pa je največja vrednost funkcije dosežena v točki x=b , kar ni največja točka.

Zadostni pogoji za naraščajoče in padajoče funkcije.

Na podlagi zadostnih pogojev (znakov) za naraščanje in upadanje funkcije najdemo intervale naraščanja in padanja funkcije.

Tu so formulacije znakov naraščajočih in padajočih funkcij na intervalu:

• če je izvod funkcije y=f(x) pozitiven za kateri koli x iz intervala X, potem se funkcija poveča za X;
• če je izpeljanka funkcije y=f(x) negativna za kateri koli x iz intervala X, potem funkcija pada na X.

Tako je za določitev intervalov povečanja in zmanjšanja funkcije potrebno:

Razmislite o primeru iskanja intervalov naraščajočih in padajočih funkcij, da razjasnite algoritem.

Primer.

Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije.

Odločitev.

Prvi korak je najti obseg funkcije. V našem primeru izraz v imenovalcu ne bi smel izginiti, zato .

Nadaljujmo z iskanjem izpeljanke funkcije:

Za določitev intervalov naraščanja in padanja funkcije po zadostnem kriteriju rešujemo neenakosti in na domeni definicije. Uporabimo posplošitev intervalne metode. Edini pravi koren števca je x = 2, imenovalec pa izgine pri x=0. Te točke delijo področje definicije na intervale, v katerih izpeljanka funkcije ohrani svoj predznak. Označimo te točke na številski premici. S plusi in minusi pogojno označujemo intervale, na katerih je izpeljanka pozitivna ali negativna. Spodnje puščice shematično prikazujejo povečanje ali zmanjšanje funkcije na ustreznem intervalu.

tako, in .

Na točki x=2 funkcija je definirana in neprekinjena, zato jo je treba dodati tako naraščajočim kot padajočim intervalom. V točki x=0 funkcija ni definirana, zato ta točka ni vključena v zahtevane intervale.

Predstavljamo graf funkcije za primerjavo dobljenih rezultatov z njim.

odgovor:

Funkcija se poveča pri , pada na intervalu (0;2] .

Zadostni pogoji za ekstremu funkcije.

Če želite najti maksimume in minimume funkcije, lahko uporabite katerega koli od treh znakov ekstrema, seveda, če funkcija izpolnjuje njihove pogoje. Najbolj pogost in priročen je prvi od njih.

Prvi zadosten pogoj za ekstrem.

Naj bo funkcija y=f(x) diferencibilna v soseščini točke in je neprekinjena v sami točki.

Z drugimi besedami:

Algoritem za iskanje točk ekstrema po prvem znaku ekstrema funkcije.

• Iskanje obsega funkcije.
• Izvod funkcije najdemo na domeni definicije.
• Določimo ničle števca, ničle imenovalca izpeljanke in točke domene, kjer izpeljanka ne obstaja (vse naštete točke se imenujejo točke možnega ekstrema, ki gre skozi te točke, lahko izpeljanka samo spremeni svoj predznak).
• Te točke delijo področje funkcije na intervale, v katerih izpeljanka ohrani svoj predznak. Določimo predznake odvoda na vsakem od intervalov (na primer z izračunom vrednosti odvoda funkcije v kateri koli točki posameznega intervala).
• Izberemo točke, pri katerih je funkcija neprekinjena in ob prehodu skozi katere izpeljanka spremeni predznak - to so točke ekstrema.

Preveč besed, razmislimo o nekaj primerih iskanja ekstremnih točk in ekstremov funkcije z uporabo prvega zadostnega pogoja za ekstrem funkcije.

Primer.

Poiščite ekstreme funkcije.

Odločitev.

Obseg funkcije je celoten niz realnih števil, razen x=2.

Najdemo izpeljanko:

Ničeli števca sta točki x=-1 in x=5 , imenovalec gre na nič pri x=2 . Označite te točke na številski premici

Določimo predznake odvoda na vsakem intervalu, za to izračunamo vrednost izpeljanke na kateri koli točki vsakega intervala, na primer v točkah x=-2, x=0, x=3 in x= 6 .

Zato je izpeljanka na intervalu pozitivna (na sliki čez ta interval damo znak plus). podobno

Zato postavimo minus na drugi interval, minus na tretji in plus na četrti.

Ostaja še izbrati točke, na katerih je funkcija neprekinjena in njen izvod spremeni predznak. To so ekstremne točke.

Na točki x=-1 funkcija je neprekinjena in izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, zato je glede na prvi znak ekstrema x=-1 največja točka, ki ustreza maksimumu funkcije .

Na točki x=5 funkcija je neprekinjena in izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus, zato je x=-1 minimalna točka, ki ustreza minimumu funkcije .

Grafična ilustracija.

odgovor:

OPOMBA: prvi zadosten znak ekstrema ne zahteva, da je funkcija diferencibilna na sami točki.

Primer.

Poiščite skrajne točke in ekstreme funkcije .

Odločitev.

Domena funkcije je celoten niz realnih števil. Samo funkcijo lahko zapišemo kot:

Poiščimo izpeljanko funkcije:

Na točki x=0 izpeljanka ne obstaja, saj vrednosti enostranskih mej ne sovpadajo, ko se argument nagiba k nič:

Hkrati je prvotna funkcija neprekinjena v točki x=0 (glej razdelek o raziskovanju funkcije za kontinuiteto):

Poiščite vrednosti argumenta, pri katerem izpeljanka izgine:

Vse dobljene točke označimo na realni premici in na vsakem od intervalov določimo predznak odvoda. Da bi to naredili, izračunamo vrednosti izpeljanke na poljubnih točkah vsakega intervala, na primer kdaj x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

tj.

Tako so glede na prvi znak ekstremuma minimalne točke , največ točk je .

Izračunamo ustrezne minimume funkcije

Izračunamo ustrezne maksimume funkcije

Grafična ilustracija.

odgovor:

.

Drugi znak ekstrema funkcije.

Kot lahko vidite, ta znak ekstrema funkcije zahteva obstoj derivata vsaj do drugega reda na točki .

S to storitvijo lahko najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije ena spremenljivka f(x) z zasnovo rešitve v Wordu. Če je podana funkcija f(x,y), je torej treba najti ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Najdete lahko tudi intervale povečanja in zmanjšanja funkcije.

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y=

na segmentu [ ;]

Vključi teorijo

Pravila za vnos funkcij:

Potreben pogoj za ekstremum funkcije ene spremenljivke

Enačba f "0 (x *) \u003d 0 je nujen pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke, t.j. v točki x * mora prvi izvod funkcije izginiti. Izbere stacionarne točke x c, pri katerih je funkcija se ne poveča in ne zmanjša.

Zadosten pogoj za ekstremum funkcije ene spremenljivke

Naj je f 0 (x) dvakrat diferencibilen glede na x, ki pripada množici D . Če je v točki x * pogoj izpolnjen:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potem je točka x * točka lokalnega (globalnega) minimuma funkcije.

Če je v točki x * pogoj izpolnjen:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ta točka x * je lokalni (globalni) maksimum.

Primer #1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: na segmentu .
Odločitev.

Kritična točka je ena x 1 = 2 (f'(x)=0). Ta točka pripada segmentu. (Točka x=0 ni kritična, saj je 0∉).
Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na kritični točki.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1

Primer #2. S pomočjo izpeljank višjega reda poiščite skrajnost funkcije y=x-2sin(x) .
Odločitev.
Poiščite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Poiščimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdemo y''=2sin(x), izračunamo , zato so x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne točke funkcije; , zato so x=- π / 3 +2πk, k∈Z največje točke funkcije.

Primer #3. Raziščite funkcijo ekstrema v bližini točke x=0.
Odločitev. Tukaj je treba najti ekstreme funkcije. Če je ekstrem x=0, potem poiščite njegovo vrsto (najmanj ali največ). Če med najdenimi točkami ni x = 0, izračunajte vrednost funkcije f(x=0).
Opozoriti je treba, da kadar izvod na vsaki strani dane točke ne spremeni svojega predznaka, možne situacije niso izčrpane niti za diferencibilne funkcije: lahko se zgodi, da za poljubno majhno soseščino na eni strani točke x 0 oz. na obeh straneh izpeljanka spremeni predznak. Na teh točkah je treba uporabiti druge metode za preučevanje funkcij do ekstrema.

Kaj je ekstrem funkcije in kaj je nujen pogoj za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum in minimum funkcije.

Potreben pogoj za maksimum in minimum (ekstremum) funkcije je naslednji: če ima funkcija f(x) ekstrem na točki x = a, potem je na tej točki izpeljanka bodisi nič ali neskončna ali pa ima ne obstaja.

Ta pogoj je nujen, vendar ne zadosten. Izvod v točki x = a lahko izgine, gre v neskončnost ali ne obstaja, ne da bi imela funkcija na tej točki ekstrem.

Kakšen je zadosten pogoj za ekstrem funkcije (maksimum ali minimum)?

Prvi pogoj:

Če je v zadostni bližini točke x = a izpeljanka f?(x) pozitivna levo od a in negativna desno od a, potem ima funkcija f(x) v sami točki x = a največ

Če je v zadostni bližini točke x = a izpeljanka f?(x) negativna levo od a in pozitivna desno od a, potem ima funkcija f(x) v sami točki x = a minimalno pod pogojem, da je funkcija f(x) tukaj neprekinjena.

Namesto tega lahko uporabite drugi zadostni pogoj za ekstrem funkcije:

Naj v točki x = in prva izpeljanka f? (x) izgine; če je druga izpeljanka f??(а) negativna, ima funkcija f(x) maksimum v točki x = a, če je pozitivna, potem minimum.

Kaj je kritična točka funkcije in kako jo najti?

To je vrednost argumenta funkcije, pri kateri ima funkcija ekstrem (tj. maksimum ali minimum). Če ga želite najti, potrebujete poišči izpeljanko funkcijo f?(x) in jo enačimo z nič, reši enačbo f?(x) = 0. Korenine te enačbe, pa tudi tiste točke, na katerih izpeljanka te funkcije ne obstaja, so kritične točke, to je vrednosti argumenta, pri katerih je lahko ekstrem . Z lahkoto jih je mogoče prepoznati z ogledom izpeljan graf: zanimajo nas tiste vrednosti argumenta, pri katerih graf funkcije seka abscisno os (os Ox) in tiste, pri katerih graf utrpi zlome.

Na primer, poiščimo ekstremu parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Izpeljanka funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rešimo enačbo: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tem primeru je kritična točka x0=-1/3. Za to vrednost argumenta ima funkcija ekstrem. Da ga dobim najti, nadomestimo najdeno število v izrazu za funkcijo namesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kako določiti maksimum in minimum funkcije, tj. njegove največje in najmanjše vrednosti?

Če se predznak odvoda spremeni iz "plus" v "minus" pri prehodu skozi kritično točko x0, potem je x0 največja točka; če se predznak odvoda spremeni iz minusa v plus, potem je x0 minimalna točka; če se predznak ne spremeni, potem v točki x0 ni niti maksimuma niti minimuma.

Za obravnavani primer:

Vzamemo poljubno vrednost argumenta levo od kritične točke: x = -1

Ko je x = -1, bo vrednost izpeljanke y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Zdaj vzamemo poljubno vrednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1 bo vrednost izpeljanke y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kot lahko vidite, je pri prehodu skozi kritično točko izpeljanka spremenila predznak iz minusa v plus. To pomeni, da imamo pri kritični vrednosti x0 minimalno točko.

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu(na segmentu) najdemo po enakem postopku, le ob upoštevanju dejstva, da morda ne bodo vse kritične točke v določenem intervalu. Tiste kritične točke, ki so zunaj intervala, je treba izključiti iz obravnave. Če je znotraj intervala samo ena kritična točka, bo imela največ ali minimum. V tem primeru za določitev največje in najmanjše vrednosti funkcije upoštevamo tudi vrednosti funkcije na koncih intervala.

Na primer, poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

v intervalih:

Torej je izpeljanka funkcije

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rešimo enačbo 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Najdemo kritične točke na intervalu [-9; devet]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (ni vključen v interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (ni vključen v interval)

Najdemo vrednosti funkcije pri kritičnih vrednostih argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidimo, da na intervalu [-9; 9] funkcija ima največjo vrednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

in najmanjši - pri x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo eno kritično točko: x = -4,88. Vrednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Najdemo vrednost funkcije na koncih intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo največjo vrednost funkcije

y = 5,398 pri x = -4,88

najmanjša vrednost je

y = 1,077 pri x = -3

Kako najti pregibne točke funkcijskega grafa in določiti stranice konveksnosti in konkavnosti?

Če želite najti vse pregibne točke premice y = f (x), morate poiskati drugo izpeljanko, jo enačiti z nič (rešiti enačbo) in preizkusiti vse tiste vrednosti x, za katere je drugi izvod nič , neskončno ali ne obstaja. Če pri prehodu skozi eno od teh vrednosti druga izpeljanka spremeni predznak, ima graf funkcije na tej točki pregib. Če se ne spremeni, potem ni pregiba.

Korenine enačbe f? (x) = 0, kot tudi možne točke diskontinuitete funkcije in drugega izvoda, razdelijo domeno funkcije na več intervalov. Konveksnost v vsakem od njihovih intervalov je določena s predznakom druge izpeljanke. Če je druga izpeljanka v točki na preučevanem intervalu pozitivna, potem je črta y = f(x) tukaj konkavna navzgor, in če je negativna, potem navzdol.

Kako najti ekstreme funkcije dveh spremenljivk?

Če želite najti ekstreme funkcije f(x, y), ki jih je mogoče razlikovati na območju njene dodelitve, potrebujete:

1) poiščite kritične točke in za to rešite sistem enačb

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za vsako kritično točko P0(a;b) razišči, ali predznak razlike ostane nespremenjen

za vse točke (x; y), ki so dovolj blizu P0. Če razlika ohrani pozitiven predznak, imamo na točki P0 minimum, če je negativen, potem maksimum. Če razlika ne ohrani svojega predznaka, potem v točki Р0 ni ekstrema.

Podobno se določijo ekstremi funkcije za večje število argumentov.

Kakšna je uradna spletna stran pevke Mike Newton in njene skupine
Nov ukrajinski čudež - Mika Newton! To je skupina 5 ljudi, ki igrajo pop-rock, uživajo v življenju, dajejo pogon in pozitivno gledajo na to življenje. Fantje so se zbrali v Kijevu, kjer trenutno živijo. Fantje se ne strinjajo s standardnimi temelji v glasbi in življenju, odkrivajo svoj nov zvok in rušijo vse vrste standardov. Vodja ekipe -

Kako pretvoriti mililitre v kubične metre
Osnovna enota dolžine v sistemu SI je meter. Na podlagi tega je treba za osnovno enoto prostornine šteti kubični meter ali, kot se tudi imenuje, kubični meter ali kubični meter. To je prostornina kocke z robovi, enakimi en meter. Vendar v praksi ni vedno priročno izraziti prostornino v kubičnih metrih. Na primer, prostornino prostora je primerno izraziti v kubičnih metrih: pomnožite dolžino

Kakšna je kalorična vsebnost zdroba
Kalorična hrana, tabela kalorij. Človeška energijska potreba se meri v kilokalorijah (kcal). Beseda "kalorija" prihaja iz latinskega jezika in pomeni "toplota". V fiziki se energija meri v kalorijah. Ena kilokalorija je količina energije

Katere so stopnje razvoja realizma v književnosti
Realizem (lat. realen, resničen) je smer v literaturi in umetnosti, ki si prizadeva zvesto reproducirati realnost v njenih tipičnih značilnostih. Skupne značilnosti: Umetniško upodobitev življenja v podobah, ki ustreza bistvu pojavov samega življenja. Realnost je sredstvo človekovega spoznavanja sebe in sveta okoli sebe. Tipkanje

Kakšno je razmerje med berklijem in 117. elementom periodnega sistema
Berkelium, Berkelium, Bk - 97. element periodnega sistema, ki so ga decembra 1949 odkrili Thompson, Ghiorso in Seaborg na Kalifornijski univerzi v Berkeleyju. Z obsevanjem 241Am z alfa delci so dobili izotop Berkelium 243Bk. Ker je Bk strukturno podoben terbiju, ki je dobil ime po g. Ytterbyju v

Po čem je znan Yaroslav Modri?
Jaroslav Modri ​​(980-1054), veliki kijevski knez (1019). Sin Vladimirja I Svyatoslavoviča. Izgnal je Svyatopolka I. Prekletega, se boril s svojim bratom Mstislavom, z njim razdelil državo (1025) in jo leta 1035 ponovno združil. Številne zmage so zagotovile južne in zahodne meje Rusije. Vzpostavljene dinastične vezi z mnogimi državami Ev

Kako je nastala tradicija vzklikanja "Gorko!"
Že dolgo nazaj je obstajala tradicija, da se med poročno pojedino kriči: "Grenko!", s čimer so mladoporočenca prisilili, da vstaneta s sedežev in se poljubita. Danes mnogi niti ne ugibajo, kaj je pomen tega obreda, v starih časih so na porokah vzklikali »Gorko!«, s čimer je bilo jasno, da je vino v skledah menda nesladkano. AMPAK

Kakšni so simptomi laringitisa
Laringitis (iz druge grške λ?ρυγξ - grlo) je vnetje grla, običajno povezano s prehladom ali nalezljivimi boleznimi, kot so ošpice, škrlatinka, oslovski kašelj. Razvoj bolezni olajša hipotermija, dihanje skozi usta, prah

Ali sta spol in sklanjatev določena za samostalnike, ki imajo samo množinsko obliko
Število je slovnična kategorija, ki izraža kvantitativne značilnosti predmeta. 1. Večina samostalnikov se spreminja po številkah, t.j. Ima dve obliki - ednino in množino. V edninski obliki samostalnik označuje en predmet, v množini več predmetov:

Kaj je koristna ruska kaša
Ajdova kaša Ajda je posebno žito. Iz njega se izkaže morda ena najbolj uporabnih žit. Ni čudno, da ga imenujemo prvi. Ajda vsebuje vlaknine, celo vrsto vitaminov - E, PP, B1, B2, folne in organske kisline ter velik odstotek škroba, ki prispeva k zaužitju prave količine neo

Interaktivni zemljevid mesta Arkhangelsk si lahko ogledate na naslednjih straneh: Zemljevid1 - satelitski in standardni zemljevid; Zemljevid2 - standardni zemljevid (1:350.000); Zemljevid3 - so imena ulic, hišne številke, možno je iskanje po ulicah; Zemljevid4 - zemljevid z imeni ulic; Zemljevid5 - interaktivni zemljevid mesta; Zemljevid6 - interaktivni zemljevid mesta.

Kot lahko vidite, ta znak ekstrema funkcije zahteva obstoj derivata vsaj do drugega reda na točki .

Primer.

Poiščite ekstreme funkcije.

Odločitev.

Začnimo z obsegom:

Razlikujemo prvotno funkcijo:

x=1, torej je točka možnega ekstremuma. Poiščemo drugo izpeljanko funkcije in izračunamo njeno vrednost pri x=1:

Zato je po drugem zadostnem ekstremnem pogoju x=1- največja točka. Potem je maksimum funkcije.

Grafična ilustracija.

odgovor:

Tretji zadosten pogoj za ekstrem funkcije.

Pustite funkcijo y=f(x) ima izpeljanke do n-th vrstni red v -bližini točke in izpeljanke do n+1 vrstni red na sami točki. Naj in .

Primer.

Poiščite ekstremne točke funkcije .

Odločitev.

Izvirna funkcija je celotna racionalna, njena domena definicije je celoten niz realnih števil.

Razlikujemo funkcijo:

Izpeljanka izgine, ko , torej so to točke možnega ekstremuma. Uporabimo tretji zadostni pogoj za ekstrem.

Poiščemo drugo izpeljanko in izračunamo njeno vrednost na točkah možnega ekstremuma (vmesne izračune bomo izpustili):

Zato je največja točka (za tretji zadosten znak ekstremuma imamo n=1 in ).

Za pojasnitev narave točk poišči tretjo izpeljanko in izračunaj njeno vrednost na teh točkah:

Torej je pregibna točka funkcije ( n=2 in ).

Ostaja se ukvarjati s točko. Najdemo četrto izpeljanko in na tej točki izračunamo njeno vrednost:

Zato je minimalna točka funkcije.

Grafična ilustracija.

odgovor:

Največja točka je minimalna točka funkcije.

10. Ekstremumi funkcije Definicija ekstrema

Pokliče se funkcija y = f(x). naraščajoče (upada) v nekem intervalu, če je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Če se diferenciabilna funkcija y = f(x) na segmentu poveča (zmanjša), potem njen izvod na tem segmentu f "(x)  0

(f "(x)  0).

Dot x približno poklical lokalna najvišja točka (minimalno) funkcije f(x), če obstaja okolica točke x približno, za vse točke, pri katerih velja neenakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).

Najvišja in najmanjša točka se imenujeta ekstremne točke, vrednosti funkcije na teh točkah pa so njene ekstremi.

ekstremne točke

Potrebni pogoji za ekstrem. Če točka x približno je skrajna točka funkcije f (x), potem bodisi f "(x o) \u003d 0, bodisi f (x o) ne obstaja. Takšne točke se imenujejo kritično, kjer je funkcija sama definirana na kritični točki. Ekstreme funkcije je treba iskati med njenimi kritičnimi točkami.

Prvi zadosten pogoj. Naj bo x približno- kritična točka. Če f "(x) pri prehodu skozi točko x približno spremeni znak plus v minus, nato na točki x približno funkcija ima maksimum, sicer pa minimum. Če izpeljanka pri prehodu skozi kritično točko ne spremeni predznaka, potem v točki x približno ekstrema ni.

Drugi zadosten pogoj. Naj ima funkcija f(x) izpeljanko f "(x) v soseščini točke x približno in druga izpeljanka na samem mestu x približno. Če je f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x približno je lokalna minimalna (maksimalna) točka funkcije f(x). Če je =0, potem je treba uporabiti prvi zadostni pogoj ali vključiti višje izpeljanke.

Na segmentu lahko funkcija y = f(x) doseže svojo najmanjšo ali največjo vrednost bodisi na kritičnih točkah bodisi na koncih segmenta.

Primer 3.22. Poiščite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Odločitev. Ker je f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), potem so kritične točke funkcije x 1 = 2 in x 2 \u003d 3. biti samo v teh točkah. Tako kot pri prehodu skozi točko x 1 \u003d 2 izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, potem ima funkcija na tej točki maksimum. Pri prehodu skozi točko x 2 \u003d 3 se izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus, zato ima funkcija na točki x 2 \u003d 3 minimum. Ko izračunamo vrednosti funkcije v točkah x 1 = 2 in x 2 = 3, najdemo ekstremi funkcije: največja f (2) = 14 in najmanjša f (3) = 13.

Lekcija na temo: "Iskanje ekstremnih točk funkcij. Primeri"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vse materiale preveri protivirusni program.

Priročniki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rešujemo probleme iz geometrije. Interaktivne konstrukcijske naloge za 7-10 razrede
Programsko okolje "1C: Matematični konstruktor 6.1"

Kaj bomo študirali:
1. Uvod.
2. Točke minimuma in maksimuma.

4. Kako izračunati ekstreme?
5. Primeri.

Uvod v ekstreme funkcij

Fantje, poglejmo graf neke funkcije:

Upoštevajte, da obnašanje naše funkcije y=f (x) v veliki meri določata dve točki x1 in x2. Oglejmo si podrobneje graf funkcije na teh točkah in okoli njih. Do točke x2 se funkcija poveča, na točki x2 pride do pregiba, takoj za tem pa se funkcija zmanjša do točke x1. V točki x1 se funkcija spet upogne, nato pa se spet poveča. Točki x1 in x2 bomo zaenkrat imenovali pregibni točki. Narišimo tangente na teh točkah:

Tangente v naših točkah so vzporedne z osjo x, kar pomeni, da je naklon tangente enak nič. To pomeni, da je izvod naše funkcije v teh točkah enak nič.

Poglejmo si graf te funkcije:

Tangent v točkah x2 in x1 ni mogoče narisati. Zato izpeljanka na teh točkah ne obstaja. Zdaj pa poglejmo še enkrat naše točke na obeh grafikonih. Točka x2 je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost na nekem območju (v bližini točke x2). Točka x1 je točka, na kateri funkcija doseže najmanjšo vrednost na nekem območju (v bližini točke x1).

Visoke in nizke točke

Definicija: Točka x= x0 se imenuje minimalna točka funkcije y=f(x), če obstaja okolica točke x0, kjer velja naslednja neenakost: f(x) ≥ f(x0).

Definicija: Točka x=x0 se imenuje največja točka funkcije y=f(x), če obstaja okolica točke x0, kjer velja naslednja neenakost: f(x) ≤ f(x0).

Fantje, kakšna je soseska?

Opredelitev: Soseska točke je niz točk, ki vsebujejo našo točko in ji blizu.

Sosesko lahko definiramo sami. Na primer, za točko x=2 lahko okolico definiramo kot točki 1 in 3.

Vrnimo se k našim grafom, poglejmo točko x2, večja je od vseh drugih točk iz neke soseske, potem je po definiciji točka maksimuma. Zdaj pa poglejmo točko x1, manjša je od vseh drugih točk iz neke soseščine, potem je po definiciji minimalna točka.

Fantje, predstavimo zapis:

Ymin - minimalna točka,
ymax - največja točka.

Pomembno! Fantje, ne zamenjujte največje in minimalne točke z najmanjšo in največjo vrednostjo funkcije. Najmanjša in največja vrednosti se iščejo na celotnem področju definicije dane funkcije ter minimalne in največje točke v določeni soseščini.

Ekstremi delovanja

Obstaja skupni izraz za minimalne in maksimalne točke – ekstremne točke.

Ekstrem (lat. extremum - skrajnost) - največja ali najmanjša vrednost funkcije na danem nizu. Točka, na kateri je dosežen ekstrem, se imenuje točka ekstrema.

V skladu s tem, če je dosežen minimum, se točka ekstrema imenuje minimalna točka, če je dosežen maksimum, pa največja točka.

Kako najti ekstreme funkcije?

Vrnimo se k našim lestvicam. V naših točkah izpeljanka bodisi izgine (na prvem grafu) ali pa ne obstaja (na drugem grafu).

Potem lahko naredimo pomembno trditev: Če ima funkcija y= f(x) ekstrem na točki x=x0, potem je na tej točki izpeljanka funkcije enaka nič ali pa ne obstaja.

Točke, kjer je izpeljanka enaka nič, se imenujejo stacionarni.

Pokličejo se točke, kjer izpeljanka funkcije ne obstaja kritično.

Kako izračunati ekstreme?

Fantje, vrnimo se k prvemu grafu funkcije:

Pri analizi tega grafa smo rekli: do točke x2 se funkcija poveča, na točki x2 pride do pregiba, po tej točki pa se funkcija zmanjša do točke x1. Na točki x1 se funkcija spet upogne, nato pa se funkcija spet poveča.

Na podlagi takšnega sklepanja lahko sklepamo, da funkcija na ekstremnih točkah spremeni naravo monotonosti, zato izpeljanka funkcija spremeni predznak. Spomnimo se, da če se funkcija zmanjšuje, je izpeljanka manjša ali enaka nič, in če se funkcija povečuje, je izpeljanka večja ali enaka nič.

Pridobljeno znanje posplošimo s trditvijo:

izrek: Pogoj zadostnega ekstrema: naj je funkcija y=f(x) neprekinjena na nekem intervalu X in ima znotraj intervala stacionarno ali kritično točko x= x0. Nato:

• Če ima ta točka soseščino, v kateri je f’(x)>0 izpolnjen za x x0, potem je točka x0 minimalna točka funkcije y= f(x).
• Če ima ta točka takšno soseščino, v kateri za x 0 in za x> x0 f'(x) ni ekstrema.

Če želite rešiti težave, si zapomnite naslednja pravila: Če so predznaki izpeljank definirani, potem:

Algoritem za preučevanje neprekinjene funkcije y= f(x) za monotonost in ekstreme:

• Poiščite izpeljanko y'.
• Poiščite stacionarne (izvod je nič) in kritične točke (izvod ne obstaja).
• Označite stacionarne in kritične točke na številski premici in določite predznake odvoda na dobljenih intervalih.
• Na podlagi zgornjih trditev sklepajte o naravi ekstremnih točk.

Primeri iskanja ekstremnih točk

1) Poiščite ekstremne točke funkcije in določite njihovo naravo: y= 7+ 12*x - x 3

Rešitev: Naša funkcija je neprekinjena, potem bomo uporabili naš algoritem:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, pri x= ±2,

Točka x= -2 je minimalna točka funkcije, točka x= 2 je najvišja točka funkcije.
Odgovor: x= -2 - minimalna točka funkcije, x= 2 - maksimalna točka funkcije.

2) Poiščite ekstremne točke funkcije in določite njihovo naravo.

Rešitev: Naša funkcija je neprekinjena. Uporabimo naš algoritem:
a) b) v točki x= 2 izpeljanka ne obstaja, ker ni mogoče deliti z ničlo Domena funkcije: , na tej točki ni ekstrema, ker okolica točke ni definirana. Poiščimo vrednosti, pri katerih je izpeljanka enaka nič: c) Na realni premici označimo stacionarne točke in določimo predznake odvoda: d) poglejte našo sliko, ki prikazuje pravila za določanje ekstremov.
Točka x= 3 je minimalna točka funkcije.
Odgovor: x= 3 - minimalna točka funkcije.

3) Poiščite ekstremne točke funkcije y= x - 2cos(x) in določite njihov značaj, za -π ≤ x ≤ π.

Rešitev: Naša funkcija je neprekinjena, uporabimo naš algoritem:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) poiščite vrednosti, pri katerih je izpeljanka enaka nič: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
Ker -π ≤ x ≤ π, potem je: x= -π/6, -5π/6,
c) označite stacionarne točke na realni premici in določite predznake odvoda: d) poglejte našo sliko, ki prikazuje pravila za določanje ekstremov.
Točka x= -5π/6 je največja točka funkcije.
Točka x= -π/6 je minimalna točka funkcije.
Odgovor: x= -5π/6 - največja točka funkcije, x= -π/6 - minimalna točka funkcije.

4) Poiščite ekstremne točke funkcije in določite njihovo naravo:

Rešitev: Naša funkcija ima prekinitev samo v eni točki x= 0. Uporabimo algoritem:
a)
b) poiščite vrednosti, pri katerih je izpeljanka enaka nič: y "= 0 za x= ±2,
c) označite stacionarne točke na realni premici in določite predznake odvoda:
d) poglejte našo sliko, ki prikazuje pravila za določanje ekstremov.
Točka x= -2 je minimalna točka funkcije.
Točka x= 2 je minimalna točka funkcije.
V točki x= 0 funkcija ne obstaja.
Odgovor: x= ±2 - minimalne točke funkcije.

Naloge za samostojno reševanje

a) Poišči skrajne točke funkcije in določi njihov značaj: y= 5x 3 - 15x - 5.
b) Poiščite ekstremne točke funkcije in določite njihovo naravo:
c) Poišči skrajne točke funkcije in določi njihov značaj: y= 2sin(x) - x za π ≤ x ≤ 3π.
d) Poiščite ekstremne točke funkcije in določite njihovo naravo: