Kako rešiti enačbo po Cramerjevi metodi. Linearne enačbe. Reševanje sistemov linearnih enačb. Cramerjeva metoda. Še naprej skupaj rešujemo sisteme po Cramerjevi metodi

Če želite obvladati ta odstavek, morate biti sposobni odpreti kvalifikacije »dva po dva« in »tri po tri«. Če so kvalifikacije slabe, preučite lekcijo Kako izračunati determinanto?

Najprej podrobno obravnavamo Cramerjevo pravilo za sistem dveh linearnih enačb v dveh neznankah. Kaj za? »Navsezadnje je mogoče najpreprostejši sistem rešiti po šolski metodi, z seštevanjem terminov!

Dejstvo je, da čeprav včasih, vendar obstaja taka naloga - rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama z uporabo Cramerjevih formul. Drugič, preprostejši primer vam bo pomagal razumeti, kako uporabiti Cramerjevo pravilo za bolj zapleten primer - sistem treh enačb s tremi neznankami.

Poleg tega obstajajo sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama, ki jih je priporočljivo reševati natančno po Cramerjevem pravilu!

Razmislite o sistemu enačb

V prvem koraku izračunamo determinanto, se imenuje glavna determinanta sistema.

Gaussova metoda.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in za iskanje korenin moramo izračunati še dve determinanti:
in

V praksi lahko zgornje kvalifikatorje označimo tudi z latinično črko.

Korenine enačbe najdemo s formulami:
,

Primer 7

Rešite sistem linearnih enačb

Rešitev: Vidimo, da so koeficienti enačbe precej veliki, na desni strani so decimalni ulomki z vejico. Vejica je precej redek gost pri praktičnih nalogah iz matematike, ta sistem sem vzel iz ekonometričnega problema.

Kako rešiti tak sistem? Lahko poskusite izraziti eno spremenljivko v smislu druge, vendar boste v tem primeru zagotovo dobili strašne domišljijske ulomke, s katerimi je zelo neprijetno delati, zasnova rešitve pa bo videti prav grozna. Drugo enačbo lahko pomnožite s 6 in odštejete člen za členom, vendar se bodo tukaj prikazali isti ulomki.

Kaj storiti? V takih primerih priskočijo na pomoč Cramerjeve formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korena imata neskončno repov in se nahajata približno, kar je za ekonometrične probleme povsem sprejemljivo (in celo običajno).

Komentarji tukaj niso potrebni, saj je naloga rešena po že pripravljenih formulah, vendar obstaja eno opozorilo. Pri uporabi te metode, obvezno Odlomek naloge je naslednji fragment: "tako da ima sistem edinstveno rešitev". V nasprotnem primeru vas lahko recenzent kaznuje zaradi nespoštovanja Cramerjevega izreka.

Ne bo odveč preveriti, kar je priročno izvesti na kalkulatorju: na levi strani vsake enačbe sistema nadomestimo približne vrednosti. Posledično je treba z majhno napako dobiti številke, ki so na desni strani.

Primer 8

Odgovor izrazite v navadnih nepravilnih ulomkih. Preverite.

To je primer za samostojno rešitev (primer finega oblikovanja in odgovor na koncu lekcije).

Obravnavamo Cramerjevo pravilo za sistem treh enačb s tremi neznankami:

Najdemo glavno determinanto sistema:

Če , potem ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nedosleden (nima rešitev). V tem primeru Cramerjevo pravilo ne bo pomagalo, uporabite Gaussovo metodo.

Če , potem ima sistem edinstveno rešitev in da bi našli korenine, moramo izračunati še tri determinante:
, ,

In končno, odgovor se izračuna po formulah:

Kot lahko vidite, se primer "tri krat tri" v bistvu ne razlikuje od primera "dva za dva", stolpec prostih izrazov zaporedno "hodi" od leve proti desni vzdolž stolpcev glavne determinante.

Primer 9

Rešite sistem z uporabo Cramerjeve formule.

Rešitev: Rešimo sistem s Cramerjevimi formulami.

, zato ima sistem edinstveno rešitev.

Odgovori: .

Pravzaprav tukaj spet ni kaj posebnega komentirati, glede na to, da se odločitev sprejema po že pripravljenih formulah. Ampak obstaja nekaj opomb.

Zgodi se, da se kot rezultat izračunov dobijo "slabi" nezmanjšljivi ulomki, na primer: .
Priporočam naslednji algoritem "zdravljenja". Če računalnika ni pri roki, naredimo to:

1) Morda je napaka v izračunih. Takoj, ko naletite na "slab" strel, morate takoj preveriti, ali ali je pogoj pravilno napisan. Če je pogoj prepisan brez napak, morate determinante preračunati z uporabo razširitve v drugi vrstici (stolpcu).

2) Če pri preverjanju niso bile ugotovljene napake, je bila najverjetneje storjena tipkarska napaka v stanju naloge. V tem primeru mirno in PREVIDNO rešite nalogo do konca, nato pa preverite in ga po odločitvi sestavi v čisti kopiji. Seveda je preverjanje delnega odgovora neprijetna naloga, vendar bo to razorožujoč argument za učitelja, ki, no, res rad postavi minus za kakršno koli slabo stvar, kot je. Kako ravnati z ulomki, je podrobno opisano v odgovoru za primer 8.

Če imate pri roki računalnik, ga preverite z avtomatskim programom, ki ga lahko brezplačno prenesete na samem začetku lekcije. Mimogrede, najbolj ugodno je, da program uporabite takoj (še pred začetkom rešitve), takoj boste videli vmesni korak, pri katerem ste naredili napako! Isti kalkulator samodejno izračuna rešitev sistema z uporabo matrične metode.

Druga pripomba. Občasno se pojavijo sistemi, v enačbah katerih manjkajo nekatere spremenljivke, na primer:

Tukaj v prvi enačbi ni spremenljivke, v drugi ni spremenljivke. V takih primerih je zelo pomembno, da pravilno in Skrbno zapišete glavno determinanto:
– namesto manjkajočih spremenljivk se postavijo ničle.
Mimogrede, determinante je smiselno odpreti z ničlami ​​v vrstici (stolpcu), v kateri se nahaja nič, saj je izračunov opazno manj.

Primer 10

Rešite sistem z uporabo Cramerjeve formule.

To je primer samoreševanja (končni vzorec in odgovor na koncu lekcije).

Za sistem 4 enačb s 4 neznankami so Cramerjeve formule zapisane po podobnih principih. Primer v živo si lahko ogledate v lekciji Determinantne lastnosti. Zmanjšanje vrstnega reda determinante - pet determinant 4. reda je precej rešljivih. Čeprav naloga že zelo spominja na profesorski čevelj na prsih srečnega študenta.

Rešitev sistema z uporabo inverzne matrike

Metoda inverzne matrike je v bistvu poseben primer matrična enačba(Glej primer št. 3 navedene lekcije).

Če želite preučiti ta razdelek, morate biti sposobni razširiti determinante, poiskati inverzno matriko in izvesti množenje matrik. Ko bo razlaga napredovala, bodo podane ustrezne povezave.

Primer 11

Rešite sistem z matrično metodo

Rešitev: Sistem zapišemo v matrični obliki:
, kje

Poglejte si sistem enačb in matrik. Po kakšnem principu pišemo elemente v matrike, mislim, da vsi razumejo. Edina pripomba: če bi v enačbah manjkale nekatere spremenljivke, bi morali na ustrezna mesta v matriki postaviti ničle.

Inverzno matriko najdemo po formuli:
, kjer je transponirana matrika algebraičnih komplementov ustreznih elementov matrike.

Najprej se ukvarjajmo z determinanto:

Tu je determinanta razširjena s prvo vrstico.

Pozor! Če , potem inverzna matrika ne obstaja in je nemogoče rešiti sistem z matrično metodo. V tem primeru se sistem rešuje z izločanjem neznank (Gaussova metoda).

Zdaj morate izračunati 9 minorov in jih zapisati v matriko minorov

Referenca: Koristno je poznati pomen dvojnih indeksov v linearni algebri. Prva številka je številka vrstice, v kateri se nahaja element. Druga številka je številka stolpca, v katerem se nahaja element:

To pomeni, da dvojni indeks označuje, da je element v prvi vrstici, tretjem stolpcu, medtem ko je na primer element v 3. vrstici, 2. stolpcu

Med reševanjem je bolje podrobno opisati izračun mladoletnikov, čeprav jih je z določenimi izkušnjami mogoče prilagoditi tako, da se štejejo z napakami ustno.

Pri številu enačb enako številu neznank z glavno determinanto matrike, ki ni enaka nič, koeficienti sistema (za takšne enačbe obstaja rešitev in je le ena).

Cramerjev izrek.

Ko determinanta matrike kvadratnega sistema ni nič, je sistem združljiv in ima eno rešitev in jo je mogoče najti z Cramerjeve formule:

kjer Δ - determinanta sistemske matrike,

Δ jaz- determinanta matrike sistema, v kateri namesto jaz th stolpec je stolpec desnih delov.

Ko je determinanta sistema enaka nič, lahko sistem postane konsistenten ali nedosleden.

Ta metoda se običajno uporablja za majhne sisteme z izračuni prostornine in če je potrebno določiti eno od neznank. Kompleksnost metode je v tem, da je treba izračunati veliko determinant.

Opis Cramerjeve metode.

Obstaja sistem enačb:

Sistem 3 enačb je mogoče rešiti s Cramerjevo metodo, ki je bila obravnavana zgoraj za sistem dveh enačb.

Iz koeficientov neznank sestavimo determinanto:

Bo sistemski kvalifikator. Kdaj D≠0, tako da je sistem konsistenten. Zdaj bomo sestavili 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rešujemo z Cramerjeve formule:

Primeri reševanja sistemov enačb po Cramerjevi metodi.

Primer 1.

Dani sistem:

Rešimo ga po Cramerjevi metodi.

Najprej morate izračunati determinanto matrike sistema:

Ker Δ≠0, torej iz Cramerjevega izreka je sistem združljiv in ima eno rešitev. Izračunamo dodatne determinante. Določilnico Δ ​​1 dobimo iz determinante Δ tako, da njen prvi stolpec zamenjamo s stolpcem prostih koeficientov. Dobimo:

Na enak način dobimo determinanto Δ 2 iz determinante matrike sistema, pri čemer drugi stolpec nadomestimo s stolpcem prostih koeficientov:

Naj bo podan sistem treh linearnih enačb:

Za reševanje sistema linearnih enačb po Cramerjevi metodi se iz koeficientov neznank sestavi glavna determinanta sistema . Za sistem (1) ima glavna determinanta obliko
.

Nato se determinante sestavijo glede na spremenljivke
,,. Da bi to naredili, se v glavni determinant namesto stolpca koeficientov za ustrezno spremenljivko zapiše stolpec prostih članov, tj.

,
,
.

Nato rešitev sistema najdemo s Cramerjevimi formulami

,
,

Treba je opozoriti, da ima sistem edinstveno rešitev
če je glavna determinanta
. Če
in
= 0,= 0,= 0, potem ima sistem neskončno število rešitev, ki jih ni mogoče najti s Cramerjevimi formulami. Če
in
0 oz 0 oz 0, potem je sistem enačb nedosleden, torej nima rešitev.

Primer

rešitev:

1) Sestavi in ​​izračunaj glavno determinanto sistema, ki jo sestavljajo koeficienti za neznanke.

.

Zato ima sistem edinstveno rešitev.

2) Sestavi in ​​izračunaj pomožne determinante, pri čemer ustrezen stolpec v  nadomesti s stolpcem prostih členov.

S Cramerjevimi formulami najdemo neznanke:

,
,
.

Preverili bomo, ali je rešitev pravilna

tiste.
.

, tj.

, tj.

odgovor: .

Primer

Rešite sistem enačb po Cramerjevi metodi:

rešitev:

1) Sestavi in ​​izračunaj glavno determinanto sistema iz koeficientov neznank:

.

Zato sistem nima edinstvene rešitve.

2) Sestavite in izračunajte pomožne determinante, pri čemer ustrezen stolpec v  nadomestite s stolpcem prostih izrazov:

,
, zato je sistem nedosleden.

odgovor: sistem je nedosleden.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj. Prva faza je zaporedna eliminacija spremenljivk iz enačb sistema z uporabo dejanj, ki ne kršijo enakovrednosti sistema. Upoštevajte na primer prvi dve enačbi sistema (1).

(1)

S seštevanjem teh dveh enačb je potrebno dobiti enačbo, v kateri ni spremenljivke . Pomnožite prvo enačbo z , drugi pa na (
) in dodamo nastale enačbe

Koeficient zamenjamo prej y, z in brezplačen član ,in v skladu s tem dobimo nov par enačb

Upoštevajte, da v drugi enačbi ni spremenljivke x.

Po podobnih dejanjih na prvi in ​​tretji enačbi sistema (1), nato pa na drugi in tretji enačbi, dobljeni kot rezultat seštevanja, pretvorimo sistem (1) v obliko

(2)

Ta rezultat je možen, če ima sistem edinstveno rešitev. V tem primeru se rešitev poišče z obratno Gaussovo metodo (druga stopnja). Iz zadnje enačbe sistema (2) najdemo neznano spremenljivko z, potem iz druge enačbe najdemo y, a x oziroma od prvega, zamenjava v njih že najdene neznanke.

Včasih je lahko skupna enačba zaradi seštevanja dveh enačb eno od naslednjih oblik:

A)
, kje
. To pomeni, da je sistem, ki se rešuje, nedosleden.

B), to je
. Takšna enačba je iz sistema izključena, posledično število enačb v sistemu postane manjše od števila spremenljivk, sistem pa ima neskončno število rešitev, katerih ugotovitev bo prikazana na primeru.

Primer

rešitev:

Razmislite o naslednji metodi za izvedbo prve stopnje rešitve po Gaussovi metodi. Zapišimo tri vrstice koeficientov za neznane in proste člene, ki ustrezajo trem enačbam sistema. Proste člene od koeficientov ločimo z navpično črto, pod tretjo črto pa potegnemo vodoravno črto.

Obkrožimo prvo vrstico, ki ustreza prvi enačbi sistema - koeficienti v tej enačbi bodo ostali nespremenjeni. Namesto druge vrstice (enačbe) morate dobiti vrstico (enačbo), kjer je koeficient pri enaka nič. Da bi to naredili, pomnožimo vse številke v prvi vrstici z (-2) in jih dodamo ustreznim številkam v drugi vrstici. Dobljene zneske zapišemo pod vodoravno črto (četrta vrstica). Da bi namesto tretje vrstice (enačbe) dobili tudi vrstico (enačbo), v kateri je koeficient pri enaka nič, vse številke v prvi vrstici pomnožimo s (-5) in jih prištejemo ustreznim številkam v tretji vrstici. Dobljene zneske zapišemo v peto vrstico in pod njo narišemo novo vodoravno črto. Četrta vrstica (ali peta - po želji) bo obkrožena. Izbere se vrstica z manjšimi koeficienti. V tej vrstici bodo koeficienti ostali nespremenjeni. Namesto pete vrstice morate dobiti vrstico, kjer sta dva koeficienta že enaka nič. Četrto vrstico pomnožite s 3 in jo dodajte peti. Pod vodoravno črto (šesta vrstica) zapišemo znesek in ga obkrožimo.

Vsa opisana dejanja so prikazana v tabeli 1 z aritmetičnimi znaki in puščicami. Vrstice, ki so obkrožene v tabeli, ponovno zapišemo v obliki enačb (3) in z obratnim premikom Gaussove metode poiščemo vrednosti spremenljivk x, y in z.

Tabela 1

Obnovimo sistem enačb, ki smo ga dobili kot rezultat naših transformacij:

(3)

Reverzna Gaussova metoda

Iz tretje enačbe
najti
.

V drugo enačbo sistema
zamenjaj najdeno vrednost
, dobimo
oz
.

Iz prve enačbe
, s čimer nadomestimo že najdene vrednosti spremenljivk, dobimo
, to je
.

Da se prepričamo, ali je rešitev pravilna, je treba preveriti vse tri enačbe sistema.

izpit:

, dobimo

Pridobite

Pridobite

To pomeni, da je sistem pravilen.

odgovor:
,
,
.

Primer

Rešite sistem z Gaussovo metodo:

rešitev:

Vrstni red dejanj v tem primeru je podoben vrstnemu redu v prejšnjem primeru, posebna dejanja pa so navedena v tabeli 2.

Kot rezultat transformacij dobimo enačbo v obliki , zato je dani sistem nedosleden.

odgovor: sistem je nedosleden.

Primer

Rešite sistem z Gaussovo metodo:

rešitev:

Tabela 3

Kot rezultat transformacij dobimo enačbo oblike , ki je izključena iz obravnave. Tako imamo sistem enačb, v katerem je število neznank 3, število enačb pa 2.

Sistem ima neskončno število rešitev. Za iskanje teh rešitev uvedemo eno prosto spremenljivko. (Število prostih spremenljivk je vedno enako razliki med številom neznank in številom enačb, ki ostanejo po transformaciji sistema. V našem primeru je 3 - 2 = 1).

Pustiti
je prosta spremenljivka.

Nato iz druge enačbe najdemo
, kje
in potem najti x iz prve enačbe
oz
.

V to smer,
;
;
.

Preverimo enačbe, ki niso bile vključene v iskanje in , torej v drugi in tretji enačbi prvotnega sistema.

izpit:

ali , dobimo
.

ali , dobimo
.

Sistem je pravilen. Podajanje poljubne konstante različnih vrednosti, bomo dobili različne vrednosti x, y in z.

odgovor:
;
;
.

V našem kalkulatorju boste našli brezplačno rešitev sistema linearnih enačb po Cramerjevi metodi na spletu s podrobno rešitvijo in celo s kompleksnimi številkami. Vsako determinanto, uporabljeno v izračunih, si lahko ogledate ločeno, prav tako pa lahko preverite natančno obliko sistema enačb, če se je determinanta glavne matrike nenadoma izkazala za nič.

Več o uporabi našega spletnega kalkulatorja si lahko preberete v navodilih.

O metodi

Pri reševanju sistema linearnih enačb po Cramerjevi metodi se izvedejo naslednji koraki.

1. Napišemo povečano matriko.
2. Najdemo determinanto glavne (kvadratne) matrike.
3. Da najdemo i-ti koren, nadomestimo stolpec prostih členov v glavni matriki na i-to mesto in poiščemo njegovo determinanto. Nato poiščemo razmerje dobljene determinante z glavno, to je naslednja rešitev. To operacijo izvedemo za vsako spremenljivko.
4. Če je glavna determinanta matrike enaka nič, potem je sistem enačb nedosleden ali ima neskončno število rešitev. Na žalost Cramerjeva metoda ne daje natančnejšega odgovora na to vprašanje. Tukaj vam bo pomagalo

2. Reševanje sistemov enačb po matrični metodi (z uporabo inverzne matrike).
3. Gaussova metoda za reševanje sistemov enačb.

Cramerjeva metoda.

Cramerjeva metoda se uporablja za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb ( SLAU).

Formule na primeru sistema dveh enačb z dvema spremenljivkama.
dano: Rešite sistem po Cramerjevi metodi

Glede spremenljivk X in pri.
rešitev:
Poišči determinanto matrike, sestavljeno iz koeficientov sistema. Izračun determinant. :

Uporabimo Cramerjeve formule in poiščemo vrednosti spremenljivk:
in .
Primer 1:
Reši sistem enačb:

glede spremenljivk X in pri.
rešitev:


Prvi stolpec v tej determinanti zamenjajmo s stolpcem koeficientov z desne strani sistema in poiščemo njegovo vrednost:

Naredimo podobno dejanje in zamenjamo drugi stolpec v prvem determinantu:

Primerno Cramerjeve formule in poiščite vrednosti spremenljivk:
in .
odgovor:
Komentar: Ta metoda se lahko uporablja za reševanje sistemov višjih dimenzij.

Komentar:Če se izkaže, da , in je nemogoče deliti z nič, potem pravijo, da sistem nima edinstvene rešitve. V tem primeru ima sistem bodisi neskončno veliko rešitev ali pa jih sploh ni.

Primer 2(neskončno število rešitev):

Reši sistem enačb:

glede spremenljivk X in pri.
rešitev:
Poiščite determinanto matrike, sestavljeno iz koeficientov sistema:

Reševanje sistemov z substitucijsko metodo.

Prva enačba sistema je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk (ker je 4 vedno enako 4). Torej ostane samo ena enačba. To je enačba razmerja med spremenljivkami.
Dobili smo, da je rešitev sistema kateri koli par vrednosti spremenljivk, povezanih z enakostjo.
Splošna rešitev je zapisana takole:
Določene rešitve je mogoče določiti z izbiro poljubne vrednosti y in izračunom x iz te enačbe razmerja.

itd.
Takih rešitev je neskončno veliko.
odgovor: skupna odločitev
Zasebne rešitve:

Primer 3(ni rešitev, sistem je nedosleden):

Reši sistem enačb:

rešitev:
Poiščite determinanto matrike, sestavljeno iz koeficientov sistema:

Ne morete uporabiti Cramerjevih formul. Rešimo ta sistem z metodo substitucije

Druga enačba sistema je enakost, ki je napačna za vse vrednosti spremenljivk (seveda, saj -15 ni enako 2). Če ena od enačb sistema ne drži za nobeno vrednost spremenljivk, potem celoten sistem nima rešitev.
odgovor: nobenih rešitev