Splošna rešitev sistema linearnih enačb. Reševanje sistemov linearnih enačb po Jordan-Gaussovi metodi

S tem matematičnim programom lahko rešite sistem dveh linearne enačbe z dvema variabilna metoda metoda zamenjave in dodajanja.

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi daje podrobna rešitev z razlago korakov reševanja na dva načina: metoda zamenjave in metoda dodajanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate svoje usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne stopnja izobrazbe na področju reševanja problemov.

Pravila za vnos enačb

Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.

Pri vnosu enačb lahko uporabite oklepaje. V tem primeru so enačbe najprej poenostavljene. Enačbe po poenostavitvah morajo biti linearne, tj. oblike ax+by+c=0 z natančnostjo vrstnega reda elementov.
Na primer: 6x+1 = 5(x+y)+2

V enačbah lahko uporabite ne le cela števila, ampak tudi ulomke v obliki decimalnih in navadnih ulomkov.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Celo število in ulomki v decimalke lahko ločite s piko ali vejico.
Na primer: 2,1n + 3,5m = 55

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Cel del ločeno od ulomka z znakom &: &

Primeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Reši sistem enačb

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

JavaScript je onemogočen v vašem brskalniku.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Reševanje sistemov linearnih enačb. Metoda zamenjave

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo substitucije:
1) izrazite eno spremenljivko iz neke enačbe sistema z drugo;
2) zamenjajte dobljeni izraz v drugo enačbo sistema namesto te spremenljivke;

$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matrika) \desno. $$

Izrazimo y z x iz prve enačbe: y = 7-3x. Če zamenjamo izraz 7-3x v drugo enačbo namesto y, dobimo sistem:
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matrika) \desno. $$

Enostavno je pokazati, da imata prvi in ​​drugi sistem enake rešitve. V drugem sistemu druga enačba vsebuje samo eno spremenljivko. Rešimo to enačbo:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Desna puščica -5x+14-6x=3 \Desna puščica -11x=-11 \Desna puščica x=1 $$

Če nadomestimo 1 namesto x v enakost y=7-3x, najdemo ustrezno vrednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rešitev sistema

Imenujemo sisteme enačb v dveh spremenljivkah, ki imata enake rešitve enakovreden. Za enakovredne veljajo tudi sistemi, ki nimajo rešitev.

Reševanje sistemov linearnih enačb s seštevanjem

Razmislimo o drugem načinu reševanja sistemov linearnih enačb - metodi dodajanja. Pri reševanju sistemov po tej metodi, pa tudi pri reševanju po substitucijski metodi prehajamo iz danega sistema v drug, enakovredni sistem, v katerem ena od enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo dodajanja:
1) pomnožite enačbe sistemskega člena za členom, pri čemer izberite faktorje tako, da koeficienti ene od spremenljivk postanejo nasprotna števila;
2) seštejte levo in desno stran sistemskih enačb člen za členom;
3) reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko;
4) poiščite ustrezno vrednost druge spremenljivke.

Primer. Rešimo sistem enačb:
$$ \left\( \begin(matrika)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

V enačbah tega sistema so koeficienti y nasprotna števila. S seštevanjem leve in desne strani enačb člen za členom dobimo enačbo z eno spremenljivko 3x=33. Zamenjajmo eno od enačb sistema, na primer prvo, z enačbo 3x=33. Vzemimo sistem
$$ \levo\( \begin(matrika)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matrika) \desno. $$

Iz enačbe 3x=33 dobimo, da je x=11. Če nadomestimo to vrednost x v enačbo \(x-3y=38\), dobimo enačbo s spremenljivko y: \(11-3y=38\). Rešimo to enačbo:
\(-3y=27 \Desna puščica y=-9 \)

Tako smo našli rešitev sistema enačb s seštevanjem: \(x=11; y=-9\) ali \((11;-9)\)

Ob izkoriščanju dejstva, da so v enačbah sistema koeficienti y nasprotna števila, smo njegovo rešitev reducirali na rešitev ekvivalentnega sistema (s seštevanjem obeh strani vsake enačbe prvotnega sistema), v katerem enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam nalog

Sistem linearnih enačb je unija n linearnih enačb, od katerih vsaka vsebuje k spremenljivk. Napisano je takole:

Mnogi, ko se prvič srečajo z višjo algebro, zmotno verjamejo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom spremenljivk. V šolski algebri se to običajno zgodi, za višjo algebro pa to na splošno ne drži.

Rešitev sistema enačb je zaporedje števil (k 1, k 2, ..., k n), ki je rešitev vsake enačbe sistema, tj. pri zamenjavi v to enačbo namesto spremenljivk x 1, x 2, ... daje x n pravilno numerično enakost.

V skladu s tem reševanje sistema enačb pomeni iskanje množice vseh njegovih rešitev ali dokazovanje, da je ta množica prazna. Ker število enačb in število neznank morda ne sovpadata, so možni trije primeri:

1. Sistem je nekonzistenten, tj. nabor vseh rešitev je prazen. Precej redek primer, ki ga je zlahka zaznati ne glede na to, katera metoda je uporabljena za rešitev sistema.
2. Sistem je dosleden in določen, t.j. ima točno eno rešitev. Klasična različica, znana že iz šolskih dni.
3. Sistem je konsistenten in nedefiniran, tj. ima neskončno veliko rešitev. To je najtežja možnost. Ni dovolj navesti, da ima "sistem neskončen nabor rešitev" - treba je opisati, kako je ta nabor strukturiran.

Spremenljivka x i se imenuje dovoljena, če je vključena samo v eno enačbo sistema in s koeficientom 1. Z drugimi besedami, v drugih enačbah mora biti koeficient za spremenljivko x i enako nič.

Če v vsaki enačbi izberemo eno dovoljeno spremenljivko, dobimo množico dovoljenih spremenljivk za celoten sistem enačb. Sam sistem, zapisan v tej obliki, se bo imenoval tudi razrešen. Na splošno se lahko en in isti izvirni sistem zreducira na različne dovoljene, vendar nas to za zdaj ne skrbi. Tu so primeri dovoljenih sistemov:

Oba sistema sta razrešena glede na spremenljivke x 1 , x 3 in x 4 . Vendar pa je z enakim uspehom mogoče trditi, da je drugi sistem razrešen glede na x 1, x 3 in x 5. Dovolj je, da zadnjo enačbo prepišemo v obliki x 5 = x 4.

Zdaj pa razmislimo o bolj splošnem primeru. Skupaj imamo k spremenljivk, od katerih je dovoljenih r. Potem sta možna dva primera:

1. Število dovoljenih spremenljivk r je enako skupnemu številu spremenljivk k: r = k. Dobimo sistem k enačb, v katerem je r = k dovoljenih spremenljivk. Tak sistem je skupen in določen, saj x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Število dovoljenih spremenljivk r je manjše skupno število spremenljivke k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Torej so v zgornjih sistemih spremenljivke x 2, x 5, x 6 (za prvi sistem) in x 2, x 5 (za drugega) proste. Primer, ko obstajajo proste spremenljivke, je bolje formulirati kot izrek:

Prosimo, upoštevajte: to je zelo pomembna točka! Odvisno od tega, kako napišete nastali sistem, je ista spremenljivka lahko dovoljena ali prosta. Večina inštruktorjev matematike priporoča zapisovanje spremenljivk v leksikografskem vrstnem redu, tj. naraščajoči indeks. Vendar niste dolžni upoštevati tega nasveta.

Izrek. Če so v sistemu n enačb dovoljene spremenljivke x 1, x 2, ..., x r in proste x r + 1, x r + 2, ..., x k, potem:

1. Če nastavimo vrednosti prostih spremenljivk (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), nato pa poiščemo vrednosti x 1, x 2, ..., x r, dobimo eno od odločitev.
2. Če v dveh rešitvah vrednosti prostih spremenljivk sovpadajo, potem sovpadajo tudi vrednosti dovoljenih spremenljivk, tj. rešitve so enake.

Kakšen je pomen tega izreka? Za pridobitev vseh rešitev razrešenega sistema enačb je dovolj, da izoliramo proste spremenljivke. Nato dodeljevanje prostim spremenljivkam različne pomene, bomo prejeli že pripravljene rešitve. To je vse – na ta način lahko dobite vse rešitve sistema. Drugih rešitev ni.

Sklep: razrešen sistem enačb je vedno konsistenten. Če je število enačb v rešenem sistemu enako številu spremenljivk, bo sistem določen, če je manj, bo nedoločen.

In vse bi bilo v redu, vendar se postavlja vprašanje: kako dobiti razrešeno iz prvotnega sistema enačb? Za to obstaja

Kje x* - ena od rešitev nehomogenega sistema (2) (na primer (4)), (E−A+A) tvori jedro (ničelni prostor) matrike A.

Naredimo skeletno razgradnjo matrike (E−A+A):

E−A + A=Q·S

Kje Q n×n−r- rang matriko (Q)=n−r, S n − r × n- rang matriko (S)=n−r.

Potem lahko (13) zapišemo kot naslednji obrazec:

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Kje k=Sz.

Torej, postopek iskanja splošne rešitve sisteme linearnih enačb z uporabo psevdoinverzne matrike lahko predstavimo v naslednji obliki:

1. Izračunajte psevdo inverzna matrika A + .
2. Izračunamo posamezno rešitev nehomogenega sistema linearnih enačb (2): x*=A + b.
3. Preverimo združljivost sistema. Da bi to naredili, izračunamo A.A. + b. če A.A. + b≠b, potem je sistem nedosleden. V nasprotnem primeru nadaljujemo postopek.
4. Ugotovimo E−A+A.
5. Razgradnja skeleta E−A + A=Q·S.
6. Gradnja rešitve

x=x*+Q·k, ∀ k ∈ Rn-r.

Reševanje sistema linearnih enačb na spletu

Spletni kalkulator vam omogoča iskanje splošne rešitve sistema linearnih enačb s podrobnimi razlagami.

Sistem m linearnih enačb z n neznankami imenovan sistem oblike

Kje a ij in b i (jaz=1,…,m; b=1,…,n) je nekaj znanih števil in x 1 ,…,x n– neznano. Pri označevanju koeficientov a ij prvo kazalo jaz označuje številko enačbe, drugo pa j– število neznanke, na kateri stoji ta koeficient.

Koeficiente pri neznankah bomo zapisali v obliki matrike , ki ga bomo poklicali matriko sistema.

Številke na desni strani enačb so b 1 ,…,b m se imenujejo brezplačni člani.

Totalnost nštevilke c 1 ,…,c n klical odločitev danega sistema, če vsaka enačba sistema postane enačba po zamenjavi števil vanjo c 1 ,…,c n namesto ustreznih neznank x 1 ,…,x n.

Naša naloga bo iskanje rešitev za sistem. V tem primeru lahko pride do treh situacij:

Sistem linearnih enačb, ki ima vsaj eno rešitev, se imenuje sklep. V nasprotnem primeru, tj. če sistem nima rešitev, se pokliče neskupni.

Razmislimo o načinih iskanja rešitev za sistem.

MATRIČNA METODA ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB

Matrike omogočajo na kratko zapisati sistem linearnih enačb. Naj bo podan sistem treh enačb s tremi neznankami:

Razmislite o sistemski matriki in stolpci matrik neznanih in prostih izrazov

Poiščimo delo

tiste. kot rezultat produkta dobimo leve strani enačb tega sistema. Nato z uporabo definicije matrične enakosti ta sistem lahko zapišemo v obliki

ali krajše A∙X=B.

Tukaj so matrice A in B so znani, in matriko X neznano. Treba ga je najti, saj... njegovi elementi so rešitev tega sistema. Ta enačba se imenuje matrična enačba.

Naj bo determinanta matrike drugačna od nič | A| ≠ 0. Potem matrična enačba se reši na naslednji način. Pomnožite obe strani enačbe na levi z matriko A-1, inverzna matrika A: . Zaradi A -1 A = E in E∙X = X, potem dobimo rešitev matrične enačbe v obliki X = A -1 B .

Upoštevajte, da je inverzno matriko mogoče najti samo za kvadratne matrice, potem lahko matrična metoda reši samo tiste sisteme, v katerih število enačb sovpada s številom neznank. Vendar pa je matrični zapis sistema možen tudi v primeru, ko število enačb ni enako številu neznank, potem je matrika A ne bo kvadrat, zato je nemogoče najti rešitev sistema v obliki X = A -1 B.

Primeri. Reši sisteme enačb.

CRAMERJEVO PRAVILO

Razmislite o sistemu treh linearnih enačb s tremi neznankami:

Determinanta tretjega reda, ki ustreza sistemski matriki, tj. sestavljen iz koeficientov za neznanke,

klical determinanta sistema.

Sestavimo še tri determinante takole: zamenjamo zaporedoma 1, 2 in 3 stolpce v determinanti D s stolpcem prostih členov.

Potem lahko dokažemo naslednji rezultat.

Izrek (Cramerjevo pravilo).Če je determinanta sistema Δ ≠ 0, potem ima obravnavani sistem eno in samo eno rešitev in

Dokaz. Torej, razmislimo o sistemu treh enačb s tremi neznankami. Pomnožimo 1. enačbo sistema s algebrski komplement A 11 element a 11, 2. enačba – na A 21 in 3. – naprej A 31:

Dodajmo te enačbe:

Poglejmo vsak oklepaj in desno stran te enačbe. Po izreku o razširitvi determinante v elemente 1. stolpca

Podobno se lahko pokaže, da in .

Končno je to enostavno opaziti

Tako dobimo enakost: .

Zato,.

Enakosti in so izpeljane podobno, iz česar sledi trditev izreka.

Tako ugotavljamo, da če je determinanta sistema Δ ≠ 0, potem ima sistem edinstveno rešitev in obratno. Če je determinanta sistema enaka nič, potem ima sistem bodisi neskončno število rešitev bodisi nima nobene rešitve, tj. nezdružljivo.

Primeri. Reši sistem enačb

GAUSSOVA METODA

Prej obravnavane metode lahko uporabimo za reševanje samo tistih sistemov, v katerih število enačb sovpada s številom neznank, determinanta sistema pa mora biti različna od nič. Gaussova metoda je bolj univerzalna in primerna za sisteme s poljubnim številom enačb. Sestoji iz doslednega izločanja neznank iz enačb sistema.

Ponovno razmislite o sistemu iz tri enačbe s tremi neznankami:

.

Prvo enačbo bomo pustili nespremenjeno, iz 2. in 3. pa bomo izločili člene, ki vsebujejo x 1. Če želite to narediti, drugo enačbo delite z A 21 in pomnožite z – A 11 in ga nato dodajte 1. enačbi. Podobno tretjo enačbo delimo z A 31 in pomnožite z – A 11 in ga nato seštejte s prvim. Posledično bo prvotni sistem dobil obliko:

Zdaj iz zadnje enačbe odstranimo izraz, ki vsebuje x 2. Če želite to narediti, tretjo enačbo delite z, pomnožite z in seštejte z drugo. Potem bomo imeli sistem enačb:

Od tod, iz zadnje enačbe, je enostavno najti x 3, nato pa iz 2. enačbe x 2 in končno, od 1. x 1.

Pri uporabi Gaussove metode lahko enačbe po potrebi zamenjamo.

Pogosto namesto pisanja nov sistem enačbe, so omejene na zapisovanje razširjene matrike sistema:

in ga nato spravite v trikotno ali diagonalno obliko z uporabo elementarnih transformacij.

TO elementarne transformacije matrike vključujejo naslednje transformacije:

1. preurejanje vrstic ali stolpcev;
2. množenje niza s številom, ki ni nič;
3. dodajanje drugih vrstic eni vrstici.

Primeri: Reši sisteme enačb z Gaussovo metodo.

Tako ima sistem neskončno število rešitev.

Na splošno ima linearna enačba obliko:

Enačba ima rešitev: če je vsaj eden od koeficientov neznank različen od nič. V tem primeru se kateri koli -dimenzionalni vektor imenuje rešitev enačbe, če pri zamenjavi njegovih koordinat enačba postane identiteta.

Splošne značilnosti rešenega sistema enačb

Primer 20.1

Opišite sistem enačb.

rešitev:

1. Ali gre za protislovno enačbo?(Če so koeficienti, ima v tem primeru enačba obliko: in se imenuje sporen.)

• Če sistem vsebuje nekaj protislovnega, potem je tak sistem nekonzistenten in nima rešitve.

2. Poiščite vse dovoljene spremenljivke. (Neznano se imenujedovoljeno za sistem enačb, če je vključen v eno od enačb sistema s koeficientom +1, vendar ni vključen v preostale enačbe (tj. vključen je s koeficientom enakim nič).

3. Ali je sistem enačb rešen? (Sistem enačb se imenuje razrešen, če vsaka enačba sistema vsebuje razrešeno neznanko, med katerimi ni sovpadajočih)

Oblikujejo se razrešene neznanke, vzete po ena iz vsake enačbe sistema celoten nabor razrešenih neznank sistemi. (v našem primeru je to)

Imenujejo se tudi dovoljene neznanke, vključene v celoten niz osnovni(), in ni vključen v komplet - prost ().

V splošnem primeru ima razrešen sistem enačb obliko:

Na tej stopnji je glavna stvar razumeti, kaj je razrešeno neznano(vključeno v osnovo in brezplačno).

Splošno Posebne Osnovne rešitve

Splošna rešitev razrešen sistem enačb je niz izrazov razrešenih neznank prek prostih členov in prostih neznank:

Zasebna odločitev se imenuje rešitev, ki jo dobimo iz splošne rešitve za specifične vrednosti prostih spremenljivk in neznank.

Osnovna rešitev je posebna rešitev, dobljena iz splošne za ničelne vrednosti prostih spremenljivk.

• Osnovna rešitev (vektor) se imenuje degeneriran, če je število njegovih koordinat različno od nič, manjše število razrešene neznanke.
• Osnovna rešitev se imenuje nedegeneriran, če je število njegovih neničelnih koordinat enako številu dovoljenih neznank sistema, ki je vključen v celotni niz.

Izrek (1)

Razrešen sistem enačb je vedno konsistenten(ker ima vsaj eno rešitev); Še več, če sistem nima prostih neznank,(to pomeni, da so v sistemu enačb vse dovoljene vključene v osnovo) potem je definiran(ima edinstveno rešitev); če obstaja vsaj ena prosta spremenljivka, potem sistem ni definiran(ima neskončno število rešitev).

Primer 1. Poiščite splošno, osnovno in katero koli posebno rešitev sistema enačb:

rešitev:

1. Ali preverjamo, ali je sistem avtoriziran?

• Sistem je razrešen (ker vsaka od enačb vsebuje razrešeno neznanko)

2. V množico vključimo dovoljene neznanke – eno iz vsake enačbe.

3. Splošno rešitev zapišemo glede na to, katere dovoljene neznanke smo vključili v niz.

4. Iskanje določene rešitve. Za to izenačimo proste spremenljivke, ki jih nismo vključili v množico, s poljubnimi števili.

odgovor: zasebna rešitev(ena od možnosti)

5. Iskanje osnovne rešitve. Za to izenačimo proste spremenljivke, ki jih nismo vključili v niz, na nič.

Elementarne transformacije linearnih enačb

Sistemi linearnih enačb so reducirani na enakovredne razrešene sisteme z uporabo elementarnih transformacij.

Izrek (2)

Če kateri pomnožite enačbo sistema z nekim neničelnim številom in pustite ostale enačbe nespremenjene, nato pa . (to pomeni, če pomnožite levo in desno stran enačbe z istim številom, dobite enačbo, ki je enakovredna tej)

Izrek (3)

če kateri koli enačbi sistema dodajte še eno, vse druge enačbe pa pustite nespremenjene dobimo temu enakovredni sistem. (to pomeni, da če dodate dve enačbi (s seštevanjem njune leve in desne strani), boste dobili enačbo, ki je enakovredna podatku)

Posledica izrekov (2 in 3)

če dodajte eno enačbo enačbi, pomnoženi z določenim številom in pustite vse druge enačbe nespremenjene, potem dobimo sistem, ki je enak temu.

Formule za preračun sistemskih koeficientov

Če imamo sistem enačb in ga želimo pretvoriti v razrešen sistem enačb, nam bo pri tem pomagala Jordan-Gaussova metoda.

Jordanova preobrazba z razrešitvenim elementom vam omogoča, da dobite razrešeno neznanko za sistem enačb v enačbi s številom. (primer 2).

Jordanova transformacija je sestavljena iz osnovnih transformacij dveh vrst:

Recimo, da želimo narediti neznanko v spodnji enačbi razrešeno neznanko. Da bi to naredili, moramo deliti z , tako da je vsota .

2. primer Preračunajmo koeficiente sistema

Pri delitvi enačbe s številom s , se njeni koeficienti preračunajo po formulah:

Če želite izključiti iz enačbe s številom , morate enačbo s številom pomnožiti s in tej enačbi dodati.

Izrek (4) O zmanjšanju števila enačb sistema.

Če sistem enačb vsebuje trivialno enačbo, jo lahko izločimo iz sistema in dobimo sistem, ki je enakovreden prvotnemu.

Izrek (5) O nekompatibilnosti sistema enačb.

Če sistem enačb vsebuje nekonsistentno enačbo, potem je nekonsistenten.

Algoritem Jordan-Gaussove metode

Algoritem za reševanje sistemov enačb po Jordan-Gaussovi metodi je sestavljen iz več podobnih korakov, pri vsakem od katerih se dejanja izvajajo v naslednjem vrstnem redu:

1. Preveri, ali je sistem nedosleden. Če sistem vsebuje nekonzistentno enačbo, potem je nekonsistenten.
2. Preverjena je možnost zmanjšanja števila enačb. Če sistem vsebuje trivialno enačbo, je prečrtana.
3. Če je sistem enačb rešen, zapišite splošno rešitev sistema in po potrebi partikularne rešitve.
4. Če sistem ni razrešen, se v enačbi, ki ne vsebuje razrešene neznanke, izbere razrešitveni element in s tem elementom izvede Jordanova transformacija.
5. Nato se vrnite na točko 1

3. primer Rešite sistem enačb z Jordan-Gaussovo metodo.

Najti: dve splošni in dve pripadajoči osnovni rešitvi

rešitev:

Izračuni so prikazani v spodnji tabeli:

Desno od tabele so dejanja na enačbah. Puščice kažejo, kateri enačbi je dodana enačba z razločevalnim elementom, pomnožena z ustreznim faktorjem.

Prve tri vrstice tabele vsebujejo koeficiente neznank in desne strani prvotnega sistema. Rezultati prve Jordanove transformacije z razrešitvenim elementom enako ena so podani v vrsticah 4, 5, 6. Rezultati druge Jordanove transformacije z razrešitvenim elementom, enakim (-1), so podani v vrsticah 7, 8, 9. Ker je tretja enačba trivialna, jo lahko prezremo.