Iz katerih števk je sestavljen binarni sistem. Kaj je binarni številski sistem? Splošna oblika zapisovanja binarnih števil

Oznaka- način predstavljanja števil na podlagi določenega števila P znaki, imenovani številke. Število, ki je enako številu znakov P, se uporablja za označevanje števila enot vsake števke osnovaštevilski sistemi.

Izvor najpogostejšega decimalnega sistema je povezan s štetjem prstov. Šeksagezimalni sistem, ki je obstajal v starodavnem Babilonu, je ostal pri delitvi ure in stopinje kota na 60 minut in minut na 60 sekund. v Rusiji do 18. stoletja. obstajal je decimalni številski sistem, ki je temeljil na črkah abecede a, b, g ... s črto nad črko (iz grških črk: alfa, beta, gama).

Sodobni decimalni sistem temelji na desetih številkah, katerih napis 0, 1, 2, ..., 9 je nastal v Indiji do 5. stoletja. AD in prišel v Evropo z arabskimi rokopisi (»arabske številke«). Binarni sistem uporablja dve števki: 0 in 1. Šestnajstiški sistem uporablja 16 znakov: 0, 1, 2, ..., 29, A, B, C, D, E, F. Ti številski sistemi se imenujejo pozicijski, saj je vrednost vsake števke števila določena z njenim mestom (položajem, števkom) v nizu številk, ki sestavljajo to število. Položaj se šteje od desne proti levi; torej v decimalnem sistemu: ničelna številka je številka enote, prva številka je številka desetin, druga številka je številka stotine, nato tisočice itd.

AT nepozicijskištevilskih sistemov, števila ne spremenijo svoje kvantitativne vrednosti, ko se spremeni njihova lokacija v številu.

Na primer, 1 - I, 2 - II, 5 - IIIII.

Rimski številčni sistem (I, II, III, IV, V) je mešan, saj je vrednost vsake števke deloma odvisna od njenega mesta (položaja) v številu. Na primer, IV je 4 = 5-1 in VI je 6 = 5 + 1.

AT decimalka sistema, lahko vsaka številka prikazuje eno od 10 vrednosti (število 0, 1, 2, ..., 9). Če želite zapisati številko, ki sledi devetki v decimalnem sistemu, dodajte novo številko na levo in postavite številko 1 na njeno mesto, za njo pa nič in dobite 10, tj. deset. Dve števki v decimalnem sistemu vam omogočata, da napišete sto številk: od 0 do 99, nato morate za število 100 dodati novo številko.

Številke decimskega števila določajo število z osnovo številskega sistema in s številčenjem števk z uporabo, na primer, naslednje formule: 256 \u003d 2 102 + 5 101 + 6 100, kjer je vrednost števke se pomnoži z 10 na moč "števke". V številki 256 je številka 2 v drugi števki in pomeni dvesto, zato se pomnoži s 102; številka 5 je v prvi števki, pomeni 5 desetic in se pomnoži s 101; število 6 je v ničelni števki in se pomnoži z 1, t.j. za 100.

Binarni številski sistem

V binarnem sistemu sta v enem bitu zapisani samo dve vrednosti: 0 ali 1, in to je to - možnosti bita je konec. Dve števki v binarni številki vam omogočata, da napišete štiri različna števila, tri števke pa osem številk. Povečanje števila števk v številu do Nštevk, je mogoče opisati v binarnem sistemu 2 x različna števila, štetje 2 x predmetov.

Naj v številski sistem z bazo R napisano štirimestno število X, številke, ki jih označujemo z znaki z indeksom spodaj α 3α 2α 1α 0. Tukaj a 0 - znak (števka) za ničelno številko, a 1 - za prvo številko itd.

Število lahko predstavimo z izrazom

x = a 3R 3 + a 2R 2 + a 1R 1 + a 0R 0.

Primerjajmo zapis decimalne številke 1946 = 1 103 + 9 102 + 4 101 + 6 100 in binarnega 1010 = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 0 20. Eksponent, na katerega je treba dvigniti bazo R prvotni številski sistem sovpada s številko ustreznega položaja.

Ker računalnik uporablja binarni številski sistem, imajo številke, ki služijo kot potenca 2, pomembno vlogo in se pogosto omenjajo, na primer: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Največje 8-bitno število z osmimi binarnimi 11111111 = 1 27 + 1 26 + 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 1 20 je enako decimalnemu številu 128 + 64 + 32 + 16 + + 4 + 2 + 1 = 255. Skupaj z ničlo dobiš natanko 256 celih števil, kar je enako 28.

Šestnajstiško sistem - sistem številk v osnovi 16, ki uporablja številke od 0 do 9 in velike ali male črke latinske abecede od AMPAK(ekvivalentno decimalki 10) do F(ekvivalentno decimalki 15). To pomeni, da so v šestnajstiškem številskem sistemu znaki-števke 0, 1, 2, 9, A, B, C, D, E, F.Število v binarnem sistemu je razdeljeno na skupine štirih binarnih števk. Ena skupina da 24 = 16 kombinacij. Decimalno število 396 je 110001100 v binarnem in 18C v šestnajstiškem. Korespondenca decimalnih, binarnih in šestnajstiških števil je prikazana v tabeli. 1.1.

Šestnajstiški številski sistem se uporablja za označevanje naslovov celic računalniškega RAM-a, barvnih odtenkov in daje ne tako dolge vrstice številk,

Tabela 1.1

Ujemanje številk: decimalno, dvojiško, šestnajstiško

kot bi dal binarni sistem. Včasih je za šestnajstiško številko napisana črka h(heksamal). Na primer, 321 /g ustreza decimalnemu 801 = 3162 + 2161 + 1160, a FCH je decimalno število 252 = 15161 + 12160.

Glavne teme odstavka:

♦ decimalni in binarni številski sistemi;
♦ razširjena oblika števila;
♦ pretvorba binarnih števil v decimalni sistem;
♦ pretvorba decimalnih števil v binarni sistem;
♦ binarna aritmetika.

To poglavje se osredotoča na organizacijo računalništva na računalniku. Računalništvo se nanaša na shranjevanje in obdelavo številk.

Računalnik deluje s številkami v binarnem sistemu.

Ta ideja pripada Johnu von Neumannu, ki je leta 1946 oblikoval načela zasnove in delovanja računalnikov. Ugotovimo, kaj je številski sistem.

Decimalni in binarni številski sistemi

Številčni sistem se nanaša na določena pravila za pisanje števil in s tem povezane metode za izvajanje izračunov.

zanimali nas bodo binarni in decimalni številski sistemi.

Številski sistem, ki smo ga vsi vajeni, se imenuje decimalni. To ime je razloženo z dejstvom, da uporablja deset števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Število števk določa osnovo številskega sistema. Če je število števk deset, potem je osnova številskega sistema deset. V binarnem sistemu sta samo dve števki: 0 in 1. Osnova je dve. Postavlja se vprašanje, ali je mogoče katero koli vrednost predstaviti samo z dvema števkama. Izkazalo se je, da lahko!

Razširjena oblika pisanja števila

Spomnimo se načela zapisovanja števil v decimalni številski sistem. Vrednost števke v številskem vnosu ni odvisna le od same števke, temveč tudi od lokacije te števke v številu (pravijo: od položaja števke). Na primer, v številki 333 prva številka na desni pomeni: tri enote, naslednja - tri desetice, naslednja - tri stotine. To dejstvo je mogoče izraziti kot:

333 10 = 3 10 2 + 3 10 1 + 3 10 0 = 300 + 30 + 3.

V tej enakosti se izraz desno od znaka "enako" imenuje razširjena oblika večvrednostnega števila. Tu je še en primer razširjene oblike večmestne decimalne številke:

8257 10 = 8 10 3 + 2 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 = 8000 + 200 + 50 + 7.

Tako se z napredovanjem iz števke v številko od desne proti levi "teža" vsake števke poveča za 10-krat. To je posledica dejstva, da je osnova številskega sistema deset.

Pretvorba binarnih števil v decimalno

In tukaj je primer večmestne binarne številke:

Dve v spodnjem desnem kotu označujeta osnovo številskega sistema. To je potrebno, da ne bi zamenjali binarnega števila z decimalno številko. Konec koncev obstaja decimalno število 110101! Teža vsake naslednje števke v binarnem številu se pri premikanju od desne proti levi poveča za 2-krat. Razširjena oblika te binarne številke izgleda takole:

110101 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 53 10 .

Na ta način smo pretvorili binarno število v decimalni sistem.

Pretvorimo še nekaj binarnih števil v decimalni sistem.

10 2 = 2 1 = 2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 itd.

Tako se je izkazalo, da dvomestno decimalno število ustreza šestmestni dvojiški! In to je značilno za binarni sistem: hitro povečanje števila števk s povečanjem vrednosti števila.

Takole izgleda začetek naravnega niza števil v decimalnem (A 10) in binarnem (A 2) številskem sistemu:

Pretvorba decimalnih števil v binarna

Kako prevesti dvojiško število v decimalno število, ki mu je enako, bi vam moralo biti jasno iz zgornjih primerov. In kako izvesti obratno prevajanje: iz decimalnega sistema v binarni? Če želite to narediti, morate biti sposobni razstaviti decimalno število na izraze, ki so potenci dvojke. Na primer:

15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 1111 2 .

Zapleteno je. Obstaja še en način, ki ga bomo zdaj spoznali.

Obstaja postopek, ki vam omogoča preprosto pretvorbo decimalnega števila v binarni sistem. Sestavljen je v tem, da je dano decimalno število deljivo z 2. Nastali ostanek je najmanjša pomembna številka želenega števila. Dobljeni količnik se ponovno deli z 2, dobljeni ostanek je naslednja številka želenega števila. To se nadaljuje, dokler količnik ne postane manjši od dva (osnova sistema). Ta količnik je najvišja številka želenega števila.

Deljenje z 2 lahko zapišemo na dva načina. Pokažimo to na primeru pretvorbe števila 37 v dvojiško.

Tukaj so a 5, a 4, a 3, a 2, a 1 in 0 oznake števk v zapisu binarne številke v vrstnem redu od leve proti desni. Kot rezultat prevoda dobimo: 37 10 \u003d 100101 2.

Binarna aritmetika

Pravila za binarno aritmetiko so veliko enostavnejša od pravil za decimalno aritmetiko. Tukaj so vse možne možnosti seštevanja in množenja enomestnih binarnih števil.

0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
0 + 1 = 10 x 1 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1

Binarni številski sistem je s svojo preprostostjo in skladnostjo z bitno strukturo računalniškega pomnilnika pritegnil izumitelje računalnika. Veliko lažje ga je izvesti s tehničnimi sredstvi kot z decimalnim sistemom.

Tukaj je primer seštevanja stolpcev dveh večvrednostnih binarnih števil:

1011011101
+111010110
10010110011

Zdaj pozorno poglejte naslednji primer množenja večvrednostnih binarnih števil:

1101101
x 101
1101101
1101101
1000100001

Po kratkem treningu bo vsak izmed vas izvedel takšne izračune samodejno.

Na kratko o glavnem

Številčni sistem - določena pravila za pisanje števil in metode za izvajanje izračunov, povezanih s temi pravili.

Osnova številskega sistema je enaka številu uporabljenih števk.

Binarna števila so števila v binarnem številskem sistemu. Uporabljajo dve števki: 0 in 1.

Razširjena oblika zapisa binarnega števila je njegova predstavitev kot vsota potenk dveh, pomnožena z 0 ali 1.

Uporaba binarnih števil v računalniku je posledica bitne strukture računalniškega pomnilnika in preprostosti binarne aritmetike.

Vprašanja in naloge

1. Kakšne so prednosti in slabosti dvojiškega številskega sistema v primerjavi z decimalnim.
2. Katera dvojiška števila ustrezajo naslednjim decimalnim številom:
128; 256; 512; 1024?
3. Kakšna so naslednja dvojiška števila v decimalni obliki:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Pretvorite naslednja binarna števila v decimalno:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Pretvorite naslednja decimalna števila v binarne:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Izvedite binarno seštevanje:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Izvedite binarno množenje:
111 10; 111 11; 1101 101; 1101 1000.