Algoritem za popolno študijo funkcije. Kako preučiti funkcijo in jo prikazati v grafu

Že nekaj časa TheBat-ova vgrajena baza certifikatov za SSL ne deluje pravilno (ni jasno iz katerega razloga).

Pri pregledu objave se pojavi napaka:

Neznano potrdilo CA
Strežnik v seji ni predstavil korenskega potrdila in ustreznega korenskega potrdila ni bilo mogoče najti v imeniku.
Ta povezava ne more biti tajna. prosim
se obrnite na skrbnika strežnika.

In ponujajo vam izbiro odgovorov - DA / NE. In tako vsakič, ko odstranite pošto.

rešitev

V tem primeru morate standard implementacije S/MIME in TLS zamenjati z Microsoft CryptoAPI v nastavitvah TheBat!

Ker sem moral združiti vse datoteke v eno, sem najprej vse pretvoril doc datoteke v eno datoteko pdf (s programom Acrobat), nato pa jo preko spletnega pretvornika prenesli v fb2. Datoteke lahko pretvorite tudi posamično. Formati so lahko popolnoma kateri koli (vir) - doc, jpg in celo zip arhiv!

Ime strani ustreza bistvu :) Online Photoshop.

Posodobitev maj 2015

Našel sem še eno odlično stran! Še bolj priročno in funkcionalno za ustvarjanje popolnoma prilagojenega kolaža! To je spletno mesto http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravje. In sam ga bom uporabil.

V življenju sem naletel na problem popravila električnega štedilnika. Veliko sem že naredil, veliko se naučil, s ploščicami pa nekako malo ukvarjal. Zamenjati je bilo potrebno kontakte na regulatorjih in gorilnikih. Pojavilo se je vprašanje - kako določiti premer gorilnika na električnem štedilniku?

Izkazalo se je, da je odgovor preprost. Ničesar vam ni treba meriti, na oko lahko preprosto določite, kakšno velikost potrebujete.

Najmanjši gorilnik- to je 145 milimetrov (14,5 centimetrov)

Srednji gorilnik- to je 180 milimetrov (18 centimetrov).

In končno, najbolj velik gorilnik- to je 225 milimetrov (22,5 centimetra).

Dovolj je, da določite velikost na oko in razumete, kakšen premer potrebujete gorilnik. Ko tega nisem vedel, so me skrbele te dimenzije, nisem vedel, kako izmeriti, po katerem robu naj krmarim itd. Zdaj sem pametna :) Upam, da sem tudi tebi pomagala!

V življenju sem se soočil s takšno težavo. Mislim, da nisem edina.

V tem članku bomo obravnavali shemo za preučevanje funkcije in navedli tudi primere preučevanja ekstremov, monotonosti in asimptot dane funkcije.

Shema

1. Domena obstoja (DOA) funkcije.
2. Presečišče funkcije (če obstaja) s koordinatnimi osmi, znaki funkcije, pariteta, periodičnost.
3. Prelomne točke (njihove vrste). Kontinuiteta. Asimptote so navpične.
4. Monotonost in ekstremne točke.
5. Prevojne točke. Konveksno.
6. Študij funkcije v neskončnosti, za asimptote: horizontalne in poševne.
7. Gradnja grafa.

Test monotonosti

Izrek.Če funkcija g neprekinjeno vklopljeno , razlikuje po (a; b) in g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0), xê(a; b), To g povečanje (zmanjšanje) za .

primer:

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.

ODZ: xêR

y' = x 2 + 6x + 5.

Poiščimo intervale konstantnih predznakov y'. Zaradi y' je elementarna funkcija, potem lahko spremeni predznak samo v točkah, kjer postane nič ali ne obstaja. Njen ODZ: xêR.

Poiščimo točke, v katerih je odvod enak 0 (nič):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Torej, l raste naprej (-∞; -5] in naprej [-1; +∞), y spuščanje naprej .

Raziskovanje ekstremov

T. x 0 ki se imenuje največja točka (max) na nizu A funkcije g ko funkcija na tej točki zavzame največjo vrednost g(x 0) ≥ g(x), xêА.

T. x 0 imenujemo minimalna točka (min) funkcije g na setu A ko funkcija zavzame najmanjšo vrednost na tej točki g(x 0) ≤ g(x), xêА.

Na snemanju A največje (max) in najmanjše (min) točke se imenujejo točke ekstrema g. Takšne ekstreme imenujemo tudi absolutni ekstremi na nizu .

če x 0- ekstremna točka funkcije g v nekaterih svojih okrožjih, torej x 0 imenovana točka lokalnega ali lokalnega ekstrema (max ali min) funkcije g.

Izrek (nujen pogoj).če x 0- ekstremna točka (lokalna) funkcije g, potem izpeljanka v tem delu ne obstaja oziroma je enaka 0 (nič).

Opredelitev. Točke z neobstoječo ali enako 0 (nič) odvodnico imenujemo kritične. Prav te točke so sumljive za ekstreme.

Izrek (zadostni pogoj št. 1).Če funkcija g neprekinjeno v nekem okrožju, tj. x 0 in se predznak spremeni skozi to točko med prehodom odvoda, potem je ta točka točka ekstrema g.

Izrek (zadostni pogoj št. 2). Naj bo funkcija v nekem okrožju točke dvakrat diferenciabilna in g’ = 0 in g’’ > 0 (g’’< 0) , potem ta točka je točka maksimuma (max) ali minimuma (min) funkcije.

Bulge Test

Funkcija se imenuje navzdol konveksna (ali konkavna) na intervalu (a, b) ko se graf funkcije ne nahaja višje od sekanta na intervalu za kateri koli x s (a, b), ki poteka skozi te točke .

Funkcija bo konveksna strogo navzdol pri (a, b), če - graf leži pod sekantom na intervalu.

Za funkcijo pravimo, da je konveksna navzgor (konveksna) na intervalu (a, b), če za kakršno koli t točke z (a, b) graf funkcije na intervalu ne leži nižje od sekante, ki poteka skozi absciso v teh točkah .

Funkcija bo strogo konveksna navzgor za (a, b), če - graf na intervalu leži nad sekanto.

Če funkcija v nekem okrožju točke neprekinjeno in skozi t. x 0 Pri prehodu funkcija spremeni svojo konveksnost, potem se ta točka imenuje prevojna točka funkcije.

Študija o asimptotah

Opredelitev. Premica se imenuje asimptota g(x), če se mu na neskončni razdalji od izhodišča koordinat približa točka v grafu funkcije: d(M,l).

Asimptote so lahko navpične, vodoravne in poševne.

Navpična črta z enačbo x = x 0 bo asimptota navpičnega grafa funkcije g , če je v točki x 0 neskončna vrzel, potem je na tej točki vsaj ena leva ali desna meja - neskončnost.

Preučevanje funkcije na segmentu za najmanjšo in največjo vrednost

Če je funkcija zvezna za , potem v skladu z Weierstrassovim izrekom obstaja največja vrednost in najmanjša vrednost na tem segmentu, kar pomeni, da obstajajo t očala, ki spadajo tako da g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . Iz izrekov o monotonosti in ekstremih dobimo naslednjo shemo za preučevanje funkcije na intervalu za najmanjšo in največjo vrednost.

Načrtujte

1. Poiščite izpeljanko g'(x).
2. Vrednost iskalne funkcije g na teh točkah in na koncih segmenta.
3. Primerjajte najdene vrednosti in izberite najmanjšo in največjo.

Komentiraj.Če morate preučiti funkcijo na končnem intervalu (a, b), ali na neskončno (-∞; b); (-∞; +∞) na max in min vrednostih, nato pa v načrtu namesto funkcijskih vrednosti na koncih intervala iščemo ustrezne enostranske meje: namesto f(a) iskati f(a+) = limf(x), namesto f(b) iskati f(-b). Tako lahko najdete ODZ funkcije na intervalu, saj v tem primeru ni nujno, da obstajajo absolutni ekstremi.

Uporaba odvoda pri reševanju aplikativnih problemov na ekstremu določenih količin

1. Izrazite to količino z drugimi količinami iz izjave o problemu, tako da je funkcija samo ene spremenljivke (če je mogoče).
2. Določite interval spreminjanja te spremenljivke.
3. Izvedite študijo funkcije na intervalu pri max in min vrednostih.

Naloga. Zgraditi moramo platformo pravokotne oblike, z metrom mreže, ob steno tako, da na eni strani meji na steno, na ostalih treh pa je ograjena z mrežo. Pri kakšnem razmerju stranic bo površina takšne platforme največja?

S = xy- funkcija 2 spremenljivk.

S = x(a - 2x)- funkcija 1. spremenljivke ; x є .

S = sekira - 2x 2; S" = a - 4x = 0, xêR, x = a: 4.

S(a: 4) = a 2: 8- največja vrednost;

S(0) =0.

Poiščimo drugo stran pravokotnika: pri = a: 2.

Razmerje: y: x = 2.

Odgovori. Največja površina bo enaka a 2/8, če je stranica, ki je vzporedna s steno, 2-krat večja od druge stranice.

Funkcijska študija. Primeri

Primer 1

Na voljo y=x 3: (1-x) 2 . Raziskati.

1. ODZ: xê(-∞; 1) U (1; ∞).
2. Funkcija splošne oblike (niti soda niti liha) ni simetrična glede na točko 0 (ničlo).
3. Funkcijski znaki. Funkcija je elementarna, zato lahko spremeni predznak samo v točkah, kjer je enaka 0 (nič) ali ne obstaja.
4. Funkcija je elementarna, torej zvezna na ODZ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Vrzel: x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- diskontinuiteta 2. vrste (neskončna), zato je v točki 1 navpična asimptota;

x = 1- enačba navpične asimptote.

5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x ≠ 1;

x = 1- kritična točka.

y’ = 0;

0; 3 - kritične točke.

6. y'' = 6x: (1 - x) 4;

Kritični elementi: 1, 0;

x = 0 - točka upogiba, y(0) = 0.

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- horizontalne asimptote ni, lahko pa je nagnjena.

k = 1- število;

b = 2- številka.

Zato obstaja poševna asimptota y = x + 2 pri + ∞ in pri - ∞.

Primer 2

dano y = (x 2 + 1) : (x - 1). Proizvajajo in raziskovanje. Zgradite graf.

1. Domena obstoja je celotna številska premica, razen ti x = 1.

2. l križi OY (če je mogoče) vklj. (0;g(0)). Najdemo y(0) = -1 - t. križišče OY .

Točke presečišča grafa z OX najdemo z rešitvijo enačbe y = 0. Enačba nima pravih korenin, zato se ta funkcija ne seka OX.

3. Funkcija je neperiodična. Razmislite o izrazu

g(-x) ≠ g(x) in g(-x) ≠ -g(x). To pomeni, da ta splošni pogled funkcijo (niti sodo niti liho).

4. T. x = 1 diskontinuiteta je druge vrste. V vseh drugih točkah je funkcija zvezna.

5. Študija funkcije za ekstrem:

(x 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y"

in reši enačbo y" = 0.

Torej, 1 - √2, 1 + √2, 1 - kritične točke ali točke možnega ekstrema. Te točke delijo številsko premico na štiri intervale .

V vsakem intervalu ima odvod določen predznak, ki ga lahko ugotovimo z metodo intervalov ali z izračunom vrednosti odvoda v posameznih točkah. V intervalih (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) , pozitivni derivat, kar pomeni, da funkcija raste; če xê(1 - √2 ; 1) U(1; 1 + √2 ) , potem funkcija pada, ker je na teh intervalih odvod negativen. Preko t. x 1 med prehodom (gibanje sledi od leve proti desni) se izpeljanka spremeni iz "+" v "-", zato je na tej točki lokalni maksimum, bomo našli

l največ = 2 - 2 √2 .

Pri prehodu skozi x 2 izpeljanka spremeni znak iz "-" v "+", zato je na tej točki lokalni minimum in

y mešanica = 2 + 2√2.

T. x = 1 ne ekstremno.

6. 4: (x - 1) 3 = y"".

Vklopljeno (-∞; 1 ) 0 > y"" , posledično je na tem intervalu krivulja konveksna; če xê (1 ; ∞) - krivulja je konkavna. V t točka 1 funkcija ni definirana, zato ta točka ni prevojna točka.

7. Iz rezultatov 4. odstavka izhaja, da x = 1- navpična asimptota krivulje.

Horizontalnih asimptot ni.

x + 1 = l - poševna asimptota te krivulje. Drugih asimptot ni.

8. Ob upoštevanju opravljene raziskave sestavimo graf (glej sliko zgoraj).

Če problem zahteva popolno študijo funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijo njenega grafa, bomo to načelo podrobno preučili.

Za rešitev problema te vrste lastnosti in grafe glavnega elementarne funkcije. Raziskovalni algoritem vključuje naslednje korake:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iskanje domene definicije

Ker raziskave potekajo na področju definicije funkcije, je treba začeti s tem korakom.

Primer 1

zadaj ta primer vključuje iskanje ničel imenovalca, da jih izločimo iz ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kot rezultat lahko dobite korenine, logaritme itd. Nato lahko ODZ iščemo za koren sode stopnje tipa g (x) 4 z neenačbo g (x) ≥ 0, za logaritem log a g (x) z neenačbo g (x) > 0.

Preučevanje meja ODZ in iskanje navpičnih asimptot

Na mejah funkcije so navpične asimptote, ko so enostranske meje na takih točkah neskončne.

Primer 2

Na primer, upoštevajte mejne točke, ki so enake x = ± 1 2.

Potem je treba preučiti funkcijo, da najdemo enostransko mejo. Potem dobimo, da: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To kaže, da so enostranske meje neskončne, kar pomeni, da so ravne črte x = ± 1 2 navpične asimptote grafa.

Preučevanje funkcije in ali je soda ali liha

Ko je pogoj y (- x) = y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za sodo. To nakazuje, da se graf nahaja simetrično glede na Oy. Ko je pogoj y (- x) = - y (x) izpolnjen, se funkcija šteje za liho. To pomeni, da je simetrija relativna glede na izvor koordinat. Če vsaj ena neenakost ni izpolnjena, dobimo funkcijo splošne oblike.

Enakost y (- x) = y (x) pomeni, da je funkcija soda. Pri gradnji je treba upoštevati, da bo prišlo do simetrije glede na Oy.

Za rešitev neenačbe se uporabljajo intervali naraščanja in padanja s pogoji f " (x) ≥ 0 oziroma f " (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke- to so točke, ki spremenijo izpeljanko na nič.

Kritične točke- to so notranje točke iz domene definicije, kjer je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

Pri odločanju je treba upoštevati naslednje opombe:

• za obstoječe intervale naraščajočih in padajočih neenačb oblike f " (x) > 0 kritične točke niso vključene v rešitev;
• točke, v katerih je funkcija definirana brez končnega odvoda, morajo biti vključene v intervale naraščanja in padanja (npr. y = x 3, kjer točka x = 0 naredi funkcijo definirano, odvod ima pri tem neskončno vrednost točka, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je vključen v naraščajoči interval);
• Da bi se izognili nesoglasjem, je priporočljivo uporabljati matematično literaturo, ki jo priporoča ministrstvo za šolstvo.

Vključevanje kritične točke v intervalih naraščanja in padanja, če zadoščajo domeni definicije funkcije.

Definicija 2

Za določanje intervalov naraščanja in padanja funkcije, je treba najti:

• derivat;
• kritične točke;
• razdeli domeno definicije na intervale s pomočjo kritičnih točk;
• določite predznak odvoda na vsakem od intervalov, kjer je + povečanje in - zmanjšanje.

Primer 3

Poiščite odvod na področju definicije f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

rešitev

Za rešitev potrebujete:

• poiščite stacionarne točke, ta primer ima x = 0;
• poiščite ničle imenovalca, primer vzame vrednost nič pri x = ± 1 2.

Na številsko os postavimo točke, da določimo odvod na vsakem intervalu. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katero koli točko iz intervala in izvedete izračun. pri pozitiven rezultat Na grafu upodobimo +, kar pomeni, da funkcija narašča, in -, da pada.

Na primer, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, kar pomeni, da ima prvi interval na levi predznak +. Razmislite na številski premici.

odgovor:

• funkcija narašča na intervalu - ∞; - 1 2 in (- 1 2 ; 0 ] ;
• pride do zmanjšanja intervala [ 0 ; 1 2) in 1 2 ; + ∞ .

V diagramu sta s + in - prikazani pozitivnost in negativnost funkcije, puščice pa kažejo zmanjšanje in povečanje.

Ekstremne točke funkcije so točke, kjer je funkcija definirana in skozi katere odvod spreminja predznak.

Primer 4

Če upoštevamo primer, kjer je x = 0, potem je vrednost funkcije v njem enaka f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Ko se predznak odvoda spremeni iz + v - in gre skozi točko x = 0, se točka s koordinatami (0; 0) šteje za največjo točko. Ko se predznak spremeni iz - v +, dobimo minimalno točko.

Konveksnost in konkavnost določimo z reševanjem neenačb oblike f "" (x) ≥ 0 in f "" (x) ≤ 0. Manj pogosto se uporablja ime konveksnost navzdol namesto konkavnost in konveksnost navzgor namesto konveksnost.

Definicija 3

Za določanje intervalov konkavnosti in konveksnosti potrebno:

• poiščite drugo izpeljanko;
• poiščite ničle funkcije drugega odvoda;
• razdelite definicijsko območje na intervale s pojavnimi točkami;
• določi predznak intervala.

Primer 5

Poiščite drugi odvod iz domene definicije.

rešitev

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Poiščemo ničle števca in imenovalca, pri čemer imamo v našem primeru, da so ničle imenovalca x = ± 1 2

Zdaj morate narisati točke na številski premici in določiti predznak drugega odvoda iz vsakega intervala. To razumemo

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna iz intervalov - ∞ ; - 1 2 in 1 2; + ∞ .

Definicija 4

Prevojna točka– to je točka oblike x 0 ; f (x 0) . Ko ima tangento na graf funkcije, ko gre skozi x 0, funkcija spremeni predznak v nasprotni.

Z drugimi besedami, to je točka, skozi katero poteka drugi odvod in spreminja predznak, v samih točkah pa je enak nič ali pa ne obstaja. Vse točke veljajo za domeno funkcije.

V primeru je bilo razvidno, da prevojnih točk ni, saj drugi odvod spremeni predznak pri prehodu skozi točke x = ± 1 2. Ti pa niso vključeni v obseg opredelitve.

Iskanje vodoravnih in poševnih asimptot

Ko definirate funkcijo v neskončnosti, morate iskati vodoravne in poševne asimptote.

Definicija 5

Poševne asimptote so prikazani z ravnimi črtami, podana z enačbo y = k x + b, kjer je k = lim x → ∞ f (x) x in b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 in b, ki ni enak neskončnosti, ugotovimo, da postane poševna asimptota vodoravno.

Z drugimi besedami, asimptote se štejejo za črte, ki se jim graf funkcije približuje v neskončnosti. To olajša hitro gradnjo funkcijskega grafa.

Če asimptot ni, je pa funkcija definirana na obeh neskončnostih, je treba izračunati limit funkcije na teh neskončnostih, da bi razumeli, kako se bo obnašal graf funkcije.

Primer 6

Vzemimo za primer to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Ko preučite funkcijo, jo lahko začnete sestavljati.

Računanje vrednosti funkcije na vmesnih točkah

Da bi bil graf natančnejši, je priporočljivo najti več funkcijskih vrednosti na vmesnih točkah.

Primer 7

Iz primera, ki smo ga obravnavali, je treba najti vrednosti funkcije v točkah x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ker je funkcija soda, dobimo, da vrednosti sovpadajo z vrednostmi na teh točkah, to pomeni, da dobimo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapišimo in rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za določitev maksimumov in minimumov funkcije, prevojnih točk in vmesnih točk je potrebno zgraditi asimptote. Za priročno označevanje so zabeleženi intervali naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti. Poglejmo spodnjo sliko.

Skozi označene točke je treba narisati črte grafa, ki vam bodo omogočile približevanje asimptotam s sledenjem puščicam.

S tem se konča celotno raziskovanje funkcije. Obstajajo primeri konstruiranja nekaterih elementarnih funkcij, za katere se uporabljajo geometrijske transformacije.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Navodila

Poiščite domeno funkcije. Na primer, funkcija sin(x) je definirana v celotnem intervalu od -∞ do +∞, funkcija 1/x pa je definirana od -∞ do +∞, razen točke x = 0.

Določite področja kontinuitete in točke prekinitve. Običajno je funkcija zvezna v istem območju, kjer je definirana. Za odkrivanje diskontinuitet je treba izračunati, ko se argument približuje izoliranim točkam znotraj domene definicije. Na primer, funkcija 1/x teži v neskončnost, ko je x→0+, in v minus neskončnost, ko je x→0-. To pomeni, da ima v točki x = 0 diskontinuiteto druge vrste.
Če so meje na diskontinuitetni točki končne, vendar ne enake, potem je to diskontinuiteta prve vrste. Če sta enaka, se funkcija šteje za zvezno, čeprav ni definirana v izolirani točki.

Poiščite navpične asimptote, če obstajajo. Tu vam bodo pomagali izračuni iz prejšnjega koraka, saj se navpična asimptota skoraj vedno nahaja na diskontinuitetni točki druge vrste. Vendar pa včasih iz definicijske domene niso izključene posamezne točke, temveč celi intervali točk in takrat se navpične asimptote lahko nahajajo na robovih teh intervalov.

Preverite, ali ima funkcija posebne lastnosti: sodo, liho in periodično.
Funkcija bo soda, če je za kateri koli x v domeni f(x) = f(-x). Na primer, cos(x) in x^2 sta sodi funkciji.

Periodičnost je lastnost, ki pravi, da obstaja določeno število T, imenovano perioda, ki je za vsak x f(x) = f(x + T). Na primer, vse glavne trigonometrične funkcije(sinus, kosinus, tangens) - periodični.

Poiščite točke. Če želite to narediti, izračunajte izpeljanko dano funkcijo in poiščite tiste vrednosti x, kjer postane nič. Na primer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima odvod g(x) = 3x^2 + 18x, ki izgine pri x = 0 in x = -6.

Če želite ugotoviti, katere ekstremne točke so maksimumi in katere minimumi, sledite spremembi predznakov odvoda pri najdenih ničlah. g(x) spremeni predznak iz plusa v točki x = -6 in v točki x = 0 nazaj iz minusa v plus. Posledično ima funkcija f(x) minimum na prvi točki in minimum na drugi.

Tako ste našli tudi področja monotonosti: f(x) monotono narašča na intervalu -∞;-6, monotono pada na -6;0 in ponovno narašča na 0;+∞.

Poišči drugo izpeljanko. Njegove korenine bodo pokazale, kje bo graf dane funkcije konveksen in kje bo konkaven. Na primer, drugi odvod funkcije f(x) bo h(x) = 6x + 18. Gre na nič pri x = -3 in spremeni predznak iz minusa v plus. Posledično bo graf f(x) pred to točko konveksen, za njo konkaven, sama točka pa bo prevojna točka.

Funkcija ima lahko poleg navpičnih tudi druge asimptote, vendar le, če njena definicijska domena vključuje . Če jih želite najti, izračunajte mejo f(x), ko je x→∞ ali x→-∞. Če je končna, potem ste našli horizontalno asimptoto.

Poševna asimptota je ravna črta oblike kx + b. Če želite najti k, izračunajte mejo f(x)/x kot x→∞. Če želite najti b - mejo (f(x) – kx) za isti x→∞.