Kako razdeliti krog na 18 enakih delov. Razdelitev kroga na enake dele s pomočjo šestila in ravnila

Lahko se razdeli na dva načina. Za enega od njih boste potrebovali šestilo in ravnilo, za drugega pa ravnilo in kotomer. Katera možnost je boljša, se odločite sami.

Boste potrebovali

• - kompas
• - ravnilo
• - kotomer

Navodila

Naj bo dan krog s polmerom R. S šestilom ga moramo razdeliti na tri enake dele. Odprite kompas na velikost polmera kroga. Lahko si pomagate z ravnilom ali pa iglo šestila postavite na sredino kroga in premaknete krak na krog, ki opisuje krog. Vsekakor bo ravnilo kasneje prav prišlo iglo šestila na poljubno mesto na obodu kroga in s pisalom narišite majhen lok, ki seka zunanji obris kroga. Nato iglo šestila postavimo na najdeno presečišče in ponovno narišemo lok z enakim polmerom (ki je enak polmeru kroga). Ponavljajte te korake, dokler naslednja točka presečišča ne sovpada s prvo. Na krogu boste dobili šest točk, razporejenih v enakih intervalih. Vse kar ostane je, da izberete tri točke skozi eno in jih z ravnilom povežete s središčem kroga in dobili boste krog, razdeljen na tri.

Če želite krog razdeliti na tri dele s kotomerjem, je dovolj, da se spomnite, da je polni obrat okoli svoje osi 360 °. Potem je kot, ki ustreza tretjini kroga, 360°-/3 = 120°-. Zdaj trikrat odložite kot 120° - za zunaj krog in povežite nastale točke na krogu s središčem.

Opomba

Če točke povežete ne s središčem, ampak med seboj, boste dobili enakostranični trikotnik.

Metoda, opisana v prvem koraku, omogoča tudi razdelitev kroga na šest enake dele.

S šestilom in ravnilom lahko krog razdelite na poljubno število delov. Matematiki so dokazali, da je možno razdeliti na 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,..., 257,... delov, ne more pa se razdeliti na 7, 9, 11, 13, 14,... deli .

Na žalost ni enotnega načina delitve. Naj naštejemo najpomembnejše.

1) Razdelitev kroga na 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) enakih delov.

Začnimo z razdelitev kroga na 6 delov. Če želite to narediti, z uporabo iste rešitve kompasa, ki je bila uporabljena za risanje kroga, morate narisati krog iz katere koli točke na krogu, kot iz središča. Nato ponovite postopek, pri čemer za središče vzamete presečišče začetnega in novega kroga.

Če želite krog razdeliti na 3 dele, ga morate razdeliti na 6 delov in vzeti točke skozi enega (slika 5a). Če želite krog razdeliti na 12 delov, ga morate razdeliti na 6 delov in vsak lok razdeliti na polovico, nato pa lahko postopek delitve lokov na polovico nadaljujete za nedoločen čas.

Dolžina navpičnice, narisane iz središča kroga na stranico šesterokotnika, je dober približek za dolžino stranice sedmerkotnika, včrtanega v krog (prikazano s šrafurami na sliki 5a). Dolžina navpičnice je ≈0,866R, dolžina stranice sedmerokotnika je ≈0,868R - natančnost je ≈2%.

2) Razdelitev kroga na 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) enakih delov.

Krog lahko razdelite na 2 dela z ravnilom tako, da skozi sredino kroga narišete ravno črto. Lahko pa narišete polmer kroga 3-krat iz katere koli točke na krogu. Začetna in končna točka delita krog na pol (skozi njiju lahko narišemo premer - slika 5a). Če želite krog razdeliti na 4 dele, morate nastale loke razdeliti na polovico. Dosledno deljenje nastalih lokov na polovico zagotavlja razdelitev kroga na 8, 16 itd. deli.

3) Razdelitev kroga na 5 delov.

Metoda konstrukcije, sprejeta pri risanju, uporablja razmerje med stranico pravilnega desetkotnika ( a 10) in pravilni peterokotnik ( a 5)- a 5 2 =R 2 +a 10 2 . Gradnja se izvaja na naslednji način. Skozi središče krožnice O narišimo 2 pravokotni črti. A in B sta točki njunega presečišča s krožnico. Iz točke A, kot iz središča, narišemo krog enakega polmera (najdemo sredino segmenta AO - točka C). Iz sredine odseka AO točke C narišemo drugo krožnico s polmerom NE. Razdelek BE – enaka strani peterokotnik, OE – deseterokotnik (sl. 5b).

Krog lahko razdelite na 5 in 10 delov na način, prikazan na sliki 5c. Odsek BC je stranica peterokotnika, AC je stranica deseterokotnika. O izjemne lastnosti peterokotnik in deseterokotnik in zakaj je način gradnje, prikazan na sliki 5c, pravilen, bomo govorili v naslednjem poglavju.

Medresa Kukeldash (XVI. stoletje, Taškent)

Slika 5d prikazuje metodo približne geometrijske rešitve problema razdelitve kroga na poljubno število delov. Recimo, da želite dani krog razdeliti na 7 enakih delov. Na premer kroga AB sestavimo enakostranični trikotnik ABC in premer AB razdelimo s točko D v razmerju AD:AB=2:7 (v splošnem primeru 2:n). Če želite to narediti, morate narisati pomožno črto, nanjo postaviti n+2 enakih segmentov, skrajna točka povežite s točko B in skozi drugo točko narišite črto, vzporedno z ravno črto BF. Narišimo ravno črto DC, dokler ne preseka kroga. Lok AE bo sedmi del kroga (na splošno primer nth). Ta metoda za n<11 дает погрешность не более 1%.

Algoritme za razdelitev kroga na enake dele lahko uporabimo na primer za izdelavo referenčnih točk spiral – Arhimedove spirale, imenovane po velikem starogrškem znanstveniku Arhimedu (3. stoletje pr. n. št.), ki je prvi preučeval to črto, in logaritemske spirale. spirala.

Včasih je za izdelavo šablon, predlog, risb, vzorcev in obrti potrebno ločiti na 6 delov.
Na primer, morali smo narediti predlogo za rožo v obliki šesterokrake zvezde.

Za tiste, ki ste pozabili na geometrijo, vas spomnim, da lahko krog razdelite na 6 delov na dva načina:

1. Z uporabo kotomer.
2. Z uporabo kompas.

1. Kako razdeliti krog na 6 delov s pomočjo kotomera

Razdelitev kroga s kotomerjem je zelo enostavna.

Narišite črto, ki povezuje središče in poljubno točko (na primer točko 1) na krogu. Iz te premice s kotomerjem narišemo kot 60, 120, 180 stopinj. Na krog postavimo točke (na primer točke 2, 3, 4) in na enak način razdelimo drugi del kroga.

2. Kako s šestilom razdeliti krog na 6 delov

Zgodi se, da pri roki nimate kotomera. Nato lahko s šestilom krog razdelimo na 6 enakih delov.

Narišite krog, na primer s polmerom 5 cm (rdeč krog). Ne da bi spremenili polmer, premaknemo krak šestila na krog (točka 1) in narišemo še en krog. Dobimo dve presečni točki črnega in rdečega kroga 6 in 2.

Nogo šestila premaknemo v točko 2 in ponovno narišemo krog. Dobimo točko 3.

Krak šestila premaknemo na točko 3. Spet narišemo krog.

Tako nadaljujemo z delitvijo kroga, dokler ga ne razdelimo na 6 enakih delov.

Razdelitev kroga na enake dele, sestavljanje pravilnih mnogokotnikov

Razdelitev kroga na 4 in 8 enakih delov

Konci medsebojno pravokotnih premerovACinBD(slika 1) razdeli krog s središčem v točkiOna 4 enake dele. Če povežete konce teh premerov, lahko dobite kvadratAsonceD.

Če je kotSOAmed medsebojno pravokotnima premeromaAEinZG(slika 2) razdelimo na pol in narišemo medsebojno pravokotne premereD.H.inB.F., potem bodo njuni konci delili krog s središčem v točkiOna 8 enakih delov. Če povežete konce teh premerov, lahko dobite navaden osmerokotnikABCDEFGH.

riž. 1 sl. 2

Razdelitev kroga na 3, 6 in 12 delov

Če želite krog razdeliti na 6 enakih delov, uporabite enakost strani pravilnega šestkotnika s polmerom opisanega kroga. Podan je krog s središčem v točkiO(slika 3) in polmerR, nato od koncev enega od njegovih premerov (točkAinD), kot iz središč narišite loke krogov s polmeromR. Presečišča teh lokov z danim krogom ga bodo razdelila na 6 enakih delov. Z zaporedno povezavo najdenih točk dobimo pravilen šesterokotnikABCDEF.

Če ima krog točko v središčuO(Sl. 4) je treba razdeliti na 3 enake dele, nato pa s polmerom, ki je enak polmeru tega kroga, narisati lok samo z enega konca premera, na primer točkeD. TočkeINinZpresečišče tega loka z dano krožnico, pa tudi točkaAslednjo razdelite na 3 enake dele. Povezovanje pikA, INinZ, lahko dobite enakostranični trikotnikABC.

riž. 3 sl. 4

Za razdelitev kroga na 12 delov dvakrat ponovimo razdelitev kroga na 6 delov (slika 5), ​​pri čemer kot središča uporabimo konce medsebojno pravokotnih premerov: točkeAinG, DinJ. Presečišča narisanih lokov z danim krogom ga bodo razdelila na 12 delov. S povezovanjem konstruiranih točk lahko dobite navaden dvanajstkotnik.

riž. 5

Razdelitev kroga na 5 delov

O(slika 6) na 5 delov, nadaljujte kot sledi. Eden od polmerov kroga, na primerOM, razdeljen na pol, kot je opisano prej. Od sredine segmentaOMpikanpolmerR1 , enako segmentuAn, narišemo krožni lok in označimo točkoRpresečišče tega loka s premerom, ki mu pripada polmerOM. Odsek črteARenaka stranici pravilnega peterokotnika, včrtanega v krog. Zato od koncaApremer pravokoten naOM, polmerR2 , enako segmentuAR, narišite krožni lok. TočkeINinEpresečišča tega loka z dano krožnico nam omogočajo, da označimo dve oglišči peterokotnika.

Še dva vrhova (ZinD) so presečišča lokov krogov s polmeromR2 s središči v točkahINinEz danim krogom s središčem v točkahO. Oglišča pravilnega peterokotnikaABCDEdani krog razdeli na 5 enakih delov.

riž. 6

Razdelitev kroga na 7 delov

Za razdelitev kroga s središčem v točkiO(Sl. 6) na 7 delov, je potrebno narisati pomožni lok s polmerom iz točke 1R, ki je enak polmeru danega kroga, ki seka krog v točkiM. Iz točkenNavpičnico spustim na vodoravno sredinsko črto. Iz točkeAs polmerom, ki je enak polmeruMN, naredite 7 zarez okoli kroga in dobite sedem zahtevanih točk, s povezavo katerih dobite pravilen sedemkotnikABCDEFG.

riž. 7

Razdelitev kroga na poljubno število enakih delov

Če nobena od predhodno obravnavanih možnosti ne izpolnjuje pogojev problema, potem uporabite tehniko, ki vam omogoča, da krog razdelite na poljubno število enakih delov in sestavite pravilne mnogokotnike s poljubnim številom strani, ki so vpisane vanj.

Razmislimo o tej konstrukciji na primeru razdelitve kroga s središčem v točkiO(slika 8a) na 7 enakih delov. Najprej morate narisati dva medsebojno pravokotna premera, od katerih eden na primer poteka skozi točkoA, je treba razdeliti na 7 enakih delov, omejenih s točkami 1...7. Iz točkeA, kot iz središča, polmerRenak premeru danega kroga, je potrebno narisati lok, katerega presečišče z nadaljevanjem drugega premera bo določilo točkeR1 inR2 . Nato skozi točkeR1 inR2 (slika 8b) in sode točke, dobljene z deljenjem premeraA7(točki 2. 4 in 6), narišite ravne črte. TočkeIN, Z, DinE, F, Gpresečišče teh premic z dano krožnico in točkoArazdelite krog s središčemOna 7 enakih delov. Z zaporedno povezavo konstruiranih točk lahko upodabljate pravilen sedemkotnik, vpisan v krog.

riž. 8

Navodila

Razbiti krog na štiri enake dele je zelo preprosto, je trivialna naloga. Če želite to narediti, morate samo narisati dve srednji črti, pravokotni druga na drugo. Točke na presečišču teh črt z krog Yu in ona na štiri dele. Pogosteje pride do razcepa krog ne na štiri, ampak na osem enakih delov. Če želite to narediti, boste morali lok, ki sestavlja eno četrtino kroga, razdeliti na dva enaka dela. Nato vzemite kompas in ga premaknite na razdaljo, ki je označena z barvo na sliki. Zdaj je vse, kar ostane, preprosto narisati to razdaljo od vsake od štirih prej pridobljenih točk.

Da bi zlomil krog na tri enake dele, noge razširite na polmer kroga. Po tem namestite iglo kompasa na katero koli točko presečišča srednjih črt in kroga. Narišite tanko črto kot pomožno krog. Trije enaki deli s točkami presečišča in pomožnimi krogi ter točka, ki leži na premici oziroma na njenem nasprotnem koncu.

In če morate razdeliti krog na šest enakih delov, potem morate narediti skoraj isto stvar. Edina razlika je, da jih je treba ponoviti za drugo središčnico. V tem primeru boste na krogu dobili šest točk naenkrat, kot je prikazano na sliki.

Zelo pogosto obstaja potreba po delitvi krog na pet enakih delov. Tudi tega ni težko narediti. Najprej morate polmer na srednji črti razdeliti na dva enaka dela. Na tej točki je potrebna igla kompasa. Iglo je treba premakniti na točko presečišča kroga in središčne črte, ki je pravokotna na to. To je jasno razvidno iz slike. Ta razdalja je prikazana rdeče. To razdaljo označite na krogu. Začeti morate s središčne črte in nato premakniti iglo na novo nastalo presečišče. Zlomiti krog na deset delov, ponovite vse zgornje korake zrcalno.