В какой точке значение производной наибольшее? Наибольшее и наименьшее значение функции

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму :

1 . Находим ОДЗ функции.

2 . Находим производную функции

3 . Приравниваем производную к нулю

4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.

5 . Находим точки максимума и минимума функции .

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-" .

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+" .

6 . Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
• или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для

1 . Задание B15 (№ 26695)

На отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

Ответ: 5.

2 . Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">

Ответ: 5.

3 . Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: и

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Дорогие друзья! В группу заданий связанных с производной входят задачи — в условии дан график функции, несколько точек на этом графике и стоит вопрос:

В какой точке значение производной наибольшее (наименьшее)?

Кратко повторим:

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной проходящей через эту точку графика.

У гловой коэффициент касательной в свою очередь равен тангенсу угла наклона этой касательной.

*Имеется ввиду угол между касательной и осью абсцисс.

1. На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.

2. На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение.

Рассмотрим следующий эскиз:

В точках 1,2,4 производная функции имеет отрицательное значение, так как данные точки принадлежат интервалам убывания.

В точках 3,5,6 производная функции имеет положительное значение, так как данные точки принадлежат интервалам возрастания.

Как видим, со значением производной всё ясно, то есть определить какой она имеет знак (положительный или отрицательный) в определённой точке графика совсем несложно.

При чём, если мы мысленно построим касательные в этих точках, то увидим, что прямые проходящие через точки 3, 5 и 6 образуют с осью оХ углы лежащие в пределах от 0 до 90 о, а прямые проходящие через точки 1, 2 и 4 образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о.

*Взаимосвязь понятна: касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам возрастания функции образуют с осью оХ острые углы, касательные проходящие через точки принадлежащие интервалам убывания функции образуют с осью оХ тупые углы.

Теперь важный вопрос!

А как изменяется значение производной? Ведь касательная в разных точках графика непрерывной функции образует разные углы, в зависимости от того, через какую точку графика она проходит.

*Или, говоря простым языком, касательная расположена как бы «горизонтальнее» или «вертикальнее». Посмотрите:

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 0 до 90 о

Прямые образуют с осью оХ углы в пределах от 90 о до 180 о

Поэтому, если будут стоять вопросы:

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наименьше значение?

— в какой из данных точек графика значение производной имеет наибольшее значение?

то для ответа необходимо понимать, как изменяется значение тангенса угла касательной в пределах от 0 до 180 о.

*Как уже сказано, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к оси оХ.

Значение тангенса изменяется следующим образом:

При изменении угла наклона прямой от 0 о до 90 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;

При изменении угла наклона прямой от 90 о до 180 о значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно –∞ до 0.

Наглядно это видно по графику функции тангенса:

Говоря простым языком:

При угле наклона касательной от 0 о до 90 о

Чем он ближе к 0 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).

Чем угол ближе к 90 о, тем больше значение производной будет увеличиваться к +∞.

При угле наклона касательной от 90 о до 180 о

Чем он ближе к 90 о, тем больше значение производной будет уменьшаться к –∞.

Чем угол будет ближе к 180 о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).

317543. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам на которых функция убывает (это точки –1 и 1) и две интервалам на которых функция возрастает (это точки –2 и 2).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она имеет положительное значение. Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и определить в какой из них значении будет наибольшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке –2 будет наибольшим.

Ответим на следующий вопрос: в какой из точек –2, –1, 1 или 2 значение производной является наибольшим отрицательным? В ответе укажите эту точку.

Производная будет иметь отрицательное значение в точках, принадлежащим интервалам убывания, поэтому рассмотрим точки –2 и 1. Построим касательные проходящие через них:

Видим, что тупой угол между прямой b и осью оХ находится «ближе» к 180 о , поэтому его тангенс будет больше тангенса угла, образованного прямой а и осью оХ.

Таким образом, в точке х = 1, значение производной будет наибольшим отрицательным.

317544. На рисунке изображен график функции y = f (x ) и отмечены точки –2, –1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки –1 и 4) и две интервалам, на которых функция возрастает (это точки –2 и 1).

Можем сразу же сделать вывод о том, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 1 она имеет положительное значение. Следовательно, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке х = 4 будет наименьшим.

Ответ: 4

Надеюсь, что «не перегрузил» вас количеством написанного. На самом деле, всё очень просто, стоит только понять свойства производной, её геометрический смысл и как изменяется значение тангенса угла от 0 до 180 о.

1. Сначала определите знаки производной в данных точках (+ или -) и выберете необходимые точки (в зависимости от поставленного вопроса).

2. Постройте касательные в этих точках.

3. Пользуясь графиком тангесоиды, схематично отметьте углы и отобразите А лександр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Иногда в задачах B14 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ. В этом случае работают другие приемы, один из которых монотонность. Определение Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1

Определение. Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1 f (x 2). Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)">

Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0: 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:" title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:"> title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:">

0) или вниз (a 0) или вниз (a 9 Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a title="Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a

Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума; Но таких точек всего одна это вершина параболы x 0, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам: Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле: Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3">

Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1">

Найдите наибольшее значение функции: Решение: В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде: Очевидно, что график этой функции парабола, ветви вниз (a = 1

Следствия из области определения функции Иногда для решения задачи B14 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" class="link_thumb"> 26 1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю: 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:">

Решение Под корнем снова квадратичная функция. Ее график парабола, но ветви направлены вниз, поскольку a = 1
Теперь найдем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Точка x 0 = 1 принадлежит отрезку ОДЗ и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0, а также на концах ОДЗ: y(3) = y(1) = 0 Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее это число 2. Ответ: 2

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают. Ищем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ·) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Ответ: -2

На уроке по теме «Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке» будут рассмотрены относительно простые задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке с помощью производной.

Тема: Производная

Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке .

№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке . А значит, если найти значение функции в точках и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.

Когда аргумент возрастает от до 8, функция возрастает от до .

Ответ: ; .

№ 32.2 (а) Дано: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Построим график этой функции (см. рис.2).

Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.

Рис. 2. График функции .

Найдем производную .

, . Если , то и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю. Найдем

;

Ответ: ;.

Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной - это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.

Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной - мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.

1. Найдем производную . Найдем критические точки , отсюда , - критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем

Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).

Рис. 3. Пределы изменения значений функции

Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.

Ответ: ;.

Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае - на отрезке.

Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.

3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.

4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.

Рассмотрим еще один пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .

Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).

Рис. 4. График функции .

На промежутке область значения этой функции . Точка - точка максимума. При - функция возрастает, при - функция убывает. Из чертежа видно, что , - не существует.

Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

2. Портал Естественных Наук ().

Сделай дома

№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.)