2. Виды понятий по их объему Различия между предметами мысли находят свое отражение также в различиях между понятиями по их объему. Но если виды понятий по их содержанию характеризуют качественные различия этих предметов, то виды понятий по их объему - количественные

Глава II. Виды понятий 1. Виды понятий по их содержанию Конкретные и абстрактные понятия1. Определите, какие из следующих понятий являются конкретными, а какие - абстрактными: «гражданин», «ответственность», «равенство», «законность», «ответственный человек», «вина»,

1. Виды понятий по их содержанию Конкретные и абстрактные понятия1. Определите, какие из следующих понятий являются конкретными, а какие - абстрактными: «гражданин», «ответственность», «равенство», «законность», «ответственный человек», «вина», «неприкосновенность

2. Виды понятий по их объему Пустые и непустые понятия1. Укажите, какие понятия относятся к пустым, а какие к непустым: «Вселенная», «марсианин», «ангел», «гомункулюс», «ихтиандр», «дед Мороз», «любящая свекровь», «государство, свободное от преступлений», «права без

§ 4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ Понятия делятся на виды по: (1) количественным характеристикам объемов понятий; (2) типу обобщаемых предметов; (3) характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы. Большей частью эта классификация относится к простым понятиям

§ 4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ Понятия (классы) делятся на пустые и непустые. О них шла речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим виды непустых понятий. По объему они делятся на: 1) единичные и общие, (последние - на регистрирующие и нерегистрирующие); по типу обобщаемых предметов - на 2)

1.2. Виды понятий Все понятия по объему и содержанию делятся на несколько видов. По объему они бывают единичными (в объем понятия входит только один объект, например: Солнце, город Москва, первый президент России, писатель Лев Толстой), общими (в объем понятия входит много

одна из логических форм мышления, высший уровень обобщения, характерный для мышления словесно-логического. Понятие может быть конкретным и абстрактным. Выделяются понятия эмпирические и теоретические. Наиболее абстрактные понятия называют категориями.

Психология изучает развитие понятий у человека. Различается усвоение понятий, выработанных другими людьми, и самостоятельная выработка новых понятий. В эмпирических исследованиях мышления широко применяются методики определения понятий, сравнения понятий, классификации понятий, образования искусственных понятий (-> обобщение). Изучается степень систематизированности понятий, исследуется формирование понятий о предметном мире, о других людях, о самом себе. Дифференцируются житейские и научные понятия, стихийное и управляемое развитие понятий. Доказана возможность более раннего, по сравнению со стихийным, формирования понятийных структур у ребенка в условиях специального обучения.

ПОНЯТИЕ

Одна из форм мышления, характеризующаяся высоким уровнем обобщения. П. могут быть конкретными и абстрактными, наиболее абстрактные П. обозначаются как категории. П. выражается словами и только в этой форме существует.

ПОНЯТИЕ

англ. concept) - форма знания, которая отображает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим. П. выступает и как форма отражения материального объекта, и как средство его мысленного воспроизведения, построения, т. е. как особое мыслительное действие. Первый момент представляет собой пассивную, созерцательную, зависимую от объективного содержания предпосылку деятельности. Вместе с тем существует внутренняя связь подлинного содержания П. со способом его конструирования, идеализации (абстракции и обобщения). Через П. происходит реализация содержательного обобщения, совершается переход от сущности к явлению. Оно фиксирует в себе условия и средства такого перехода и выведения частного из всеобщего. За каждым П. скрыто особое предметное действие (или их система), воспроизводящее предмет познания. Исторически сложившиеся в обществе П. объективно существуют в формах деятельности человека и в ее результатах - целесообразно созданных предметах. Индивид усваивает их раньше, чем научается действовать с частными проявлениями. Усвоенное общее - прообраз, мера, масштаб для оценки эмпирически встречающихся вещей.

П. в зависимости от типа абстракции и обобщения, лежащих в основе его познания, выступает как эмпирическое или теоретическое. Эмпирическое П. фиксирует нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса на основе сравнения. Специфическим содержанием теоретического П. выступает объективная связь всеобщего и единичного (целостного и отличного); оно отображает переход, отождествление различного в едином, происходящее в самой действительности, воспроизводит развитие, становление системы целостности конкретного и лишь внутри этого раскрывает особенности и взаимосвязь единичных предметов (см. Теория).

Понятие

развитая форма обобщения. Эмпирическое П. - фиксирует нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса на основе сравнения. Теоретическое П. - строится на основе анализа происхождения (генезиса) явления или объекта.

Понятие

Специфика. В каждом понятии свернуто особое предметное действие, воспроизводящее предмет познания посредством использования определенных инструментальных средств.

Виды. Выделяют эмпирические и теоретические понятия.

ПОНЯТИЕ

1. Комплекс объектов, имеющих некоторые общие свойства или характеристики. 2. Внутреннее, психологическое представление общих свойств. Строго говоря, термин должен употребляться только в последнем значении, так как именно мысленное представление является понятием и мысленное представление, в конечном счете, ответственно за поведение в отношении к внешнему миру. Конечно, в мире существуют вещи, которые являются стульями, но понятие стула "находится в голове", а не во внешнем мире. Однако можно сказать о первом значении, что для того, чтобы понятие "оказалось в голове", должен иметься комплекс объектов, наделенных свойствами, которые, в конечном счете, представлены когнитивно. В психологии понятие часто рассматривается с точки зрения его места в континууме абстрактности - конкретности, где кресло рассматривается как конкретное, легко идентифицируемое, которое легко представить и (относительно) легко сформировать понятие и классифицировать, в то время как управление рассматривается как абстрактное, трудно идентифицируемое плохо представляемое и (относительно) плохо поддающееся простои классификации. Подробнее об этих проблемах (которые представляют известную трудность, как для философии, так и для когнитивной психологии) см. класс и связанные с ним термины.

ПОНЯТИЕ

одна из форм отражения мира в психике человека, раскрывающая с помощью языка существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений. Основная логическая функция П. – выделение общего, которое достигается посредством отвлечения от особенностей отдельных предметов данного класса. П. имеет тем большую научную значимость, чем более существенны признаки, по которым обобщаются предметы. Развитие знаний выражается в углублении П., в переходах от одних П. к др., фиксирующим более глубокую сущность предметов, и т. о. представляющим более адекватное их отражение. Каждая наука оперирует определенной системой П., в них концентрируются накапливаемые наукой знания. Ценность П. определяется тем, насколько точно и глубоко оно отражает объективную реальность (Е. К. Войшвилло, 2001). Наиболее общие и фундаментальные П. называются категориями. Категория выступает в виде системообразующего фактора для группы П. Система П. и категорий конфликтологии образует ее понятийно-категориальный аппарат. Конфликтология пока, главным образом, заимствует понятия у др. наук, исследующих конфликты. Она также вырабатывает собственные П.

Понятие

Обобщение, возникающее на основе синтеза наиболее существенных ощущений и представлений. Возникает в результате абстрагирования, логических умозаключений. Понятия могут быть бытовыми (мебель, транспорт и т.п.) и научными (вещество, энергия и т.п.). В процессе развития мышления создаются все более абстрактные понятия. Наиболее общие понятия, позволяющие выходить на самый высокий уровень абстрагирования, называются категориями.

Понятие

1. выражаемая словами мысль, в которой содержится знание об общих и отвлеченных свойствах объектов, явлений, событий. Существуют различные подходы к различению и систематизации понятий, Например: 1. конкретные понятия; 2. собирательные понятия; 3. общие понятия; 4. абстрактные понятия; 5. конъюнктивные понятия; 6. дизъюнктивные понятия и др.; 2. комплекс объектов, имеющих некоторые общие свойства или характеристики; 3. в философии - форма мысли, обобщенно отражающая предметы и явления посредством фиксации их существеных свойств. Каждое понятие характеризуется со стороны его содержания (некий признак) и объема (число объектов с таким признаком), оба эти аспекта связывает закон обратного соотношения объема и содержания понятия: чем меньше объем, тем большим является его содержании, и наоборот. Вступая в сознании человека в связи между собой, понятия образуют различные виды логических отношений (несовместимости, тождества, каузальности и др.). Знание отношений между понятиями позволяет избегать логических ошибок, но, увы, не заблуждений. Индивид формально может адекватно идентифицировать понятия и отношения между ними в нейтральной обстановке, но в реальной ситуации он нередко делает это совершенно иначе; 3. в психопатологии – а) мысль, в которой фиксируется некое конкретное знание о психическом расстройстве или определенное теоретическое представление («симптом Пирогова», «олигофрения», «симптом», синдром», «течение заболевания», «патокинез и т.д.); б) результат процесса нарушения формирования и усвоения понятий в силу психического расстройства (умственной отсталости, деменции, шизофрении, аффективной и другой психиатрической патологии), то есть, с феноменологической точки зрения, то, как представлено то или иное понятие в сознании психиатрического пациента; 4. в психоанализе – способ организации фактов в теоретические формулировки, «насилие» над фактами человеческой жизни, которая представляется результатом действия умозрительных безличных сил. Различаются: а) основные понятия – те понятия, которые предполагают, что обычно психическая жизнь приводится в действие конфликтом между противоположными силами (Эросом и Танатосом, сексом и агрессией, принципом реальности и принципом удовольствия); б) структурные понятия – такие понятия, которые предполагают, что психические процессы являются функциями организма или аппарата, состоящего из взаимосвязанных частей (например, психический аппарат образуют Ид, Эго и Супер-Эго); в) топографические понятия – понятия, которые исходят из того, что психические процессы могут быть локализованы по принципу диаграммы (указанные части психического аппарата могут быть представлены как слои психического содержания; их наличие позволяет предполагать, что воспоминания, импульсы, фантазии и т.д. находятся на различных расстояниях от поверхности; г) экономические понятия – понятия, которые предполагают наличие психической энергии, кванты которой могут быть присоеденены к структурам (связанная энергия), перемещаться от одной психологической структуры к другой (свободная энергия) или получать разрядку в действии; д) динамические понятия – понятия, которые описывают психическую деятельность с точки зрения процесса, влечения и развития (например, инстинкт, импульс, сублимация и др.); е) понятие способностей – такие «дофрейдовские» понятия, как память, инсайт, мышление и др., которые могут быть переформулированы в духе динамической психологии («воспоминание, забывание и, возможно, интроспекция).

Вопрос о видах понятий - это прежде всего вопрос о различных способах мысленного выделения и обобщения предметов в процессе познания. Знание видов понятий важно прежде всего с гносеологической точки зрения, для понимания процесса познания. Но оно имеет и немалую практическую значимость. А именно, оно важно для понимания смыслов тех или иных утверждений, а также для обеспечения точности выражения мыслей. Таким образом, это знание является существенным моментом логической культуры мышления.

Различение видов понятий осуществляется с разных точек зрения главным образом по трем основаниям:

• 1) по некоторым характеристикам объемов понятий;
• 2) по характеру признаков, составляющих видовое отличие мыслимых предметов в понятии, точнее говоря, по характеру предиката, выражающего это видовое отличие, то есть предиката А(х) в понятии хА(х);
• 3) по характеру предметов, обобщаемых в понятии.
• 1. Среди всех возможных понятий обычно особо выделяют пустые и непустые, а среди непустых - единичные и общие. Пустые понятия имеют в качестве объема пустой класс. Полезно различать понятия логически и фактически пустые. Понятие хА(х) является логически пустым, если А(х) есть логически противоречивая характеристика предметов (х). Понятие хА(х) фактически пусто, если фактически не существует предметов х с данной характеристикой А(х). Таково, например, понятие «ворон белого цвета».

Возможность появления пустых понятий объясняется тем, что в научном мышлении понятия возникают не только о тех предметах, которые имеются налицо. На основе познанных процессов, законов часто возникают предположения о существовании или возможности появления тех или иных явлений с заранее определенными признаками. Здесь новые понятия возникают на основе других понятий и знаний как проявления активного и творческого характера мышления. Естественно, что в таких случаях могут возникать понятия, которым, как оказывается затем, ничего не соответствует в действительности. Но в некоторых случаях наука сознательно использует пустые понятия, хотя бы для формулировок об утверждении о несуществовании соответствующих предметов и явлений и даже иногда для формулировки некоторых законов.

Единичным является понятие, объем которого есть единичный класс, а общие понятия имеют в качестве объема класс, состоящий более чем из одного предмета.

Единичное понятие по сути своей представляет собой, как и всякое другое, некое обобщение и этим отличается от имени отдельного предмета.

В некоторых случаях возникают трудности при попытке решишь вопрос, является ли некоторое понятие общим или единичным в силу характера мыслимых в понятии предметов. Едва ли могут возникнуть сомнения насчет того, являются ли общими такие, например, понятия, как «человек», «растение», «город», «страна». Но уже не так легко определить, к какому классу относятся понятия «вода», «водород» и т.п., вообще понятия, в которых обобщаются газообразные, жидкие или сыпучие вещества, то есть объекты, трудно поддающиеся индивидуализации. Аналогичные трудности возникают с понятиями «любовь», «бытие» и т.п. (так называемые абстрактные понятия).

Полезно использовать в таких случаях следующий критерий: понятие является общим, если в пределах его объема могут быть выделены некоторые виды предметов. Так в объеме понятия «любовь» можно выделить: «страстная» и «спокойная», «вечная» и «непостоянная», «бескорыстная» и «по расчету».

Еще более просто решить указанный вопрос, когда возможна индивидуализация мыслимых в понятии объектов. Так, пользуясь понятиями «талант» или «белизна», можно выделить индивидуальные случаи: «талант Пушкина», «талант Толстого», «белизна снега», «белизна мела». Однако в данном случае речь идет о повседневном употреблении соответствующих терминов.

Среди общих понятий особое место занимают так называемые универсальные понятия. Универсальными являются понятия вида хА(х) объем которых совпадает с областью значений х, то есть с родом этого понятия. Это совпадение обусловлено тем, что предикат А(х) не содержит никакой информации относительно предметов рода и, значит, ничего не выделяет в этом роде. Аналогично тому, как среди пустых понятий различают логически и фактически пустые понятия, также различают и логически и фактически универсальные понятия.

Понятие фактически универсально, если предикат, составляющий его видовое отличие, не выражает никакой информации относительно предметов рода данного понятия и при этом именно в силу значений составляющий его дескриптивных терминов. Обычно это подразумевает наличие закона науки, указывающего на то, что все предметы рода обладают этим признаком.

Различие внутри универсальных и пустых понятий связано с различием логических и фактических с одержаний и соответственно объемов понятий.

2. По характеру признаков выделяют обычно положительные и отрицательные, относительные и безотносительные понятия.

Понятие хА(х) положительно, если А(х) выражает наличие у предметов х какого - либо свойства или отношения и отрицательно, если признак А(х) указывает на отсутствие какого - либо свойства или отношения. Пользуясь данными выше определениями положительного и отрицательного признаков, можно сказать, что понятие является положительным или отрицательным в зависимости от того, положительным или отрицательным является признак А(х).

Понятие хА(х) положительно, если А(х) выражает наличие у предметов х каких - то свойств или отношений. Положительными являются, например, понятия «европейское государство», «столичный город», «родственники». Примеры отрицательных понятий - «человек, не знающий логики», «пересекающиеся прямые», «нечестный и безнравственный человек».

Безотносительным или относительным понятие является в зависимости от того, представляет ли его видовое отличие атрибутивное или реляционное свойство. Безотносительными являются, например, понятия: «кристаллическое вещество», «преступное действие», «общественный прогресс». Относительными будут: «отец Сократа», столица Франции». Можно выделить три основных вида относительных понятий по их знаковым формам:

• 1. хR(х, а).
• 2. х R(х, у).
• 3. х R(х, у).

Первые два из только что приведенных примеров относительных понятий относятся к виду 1. Третий - к виду 2. Понятиями, относящимися к виду 3, будут «студент, сдавший все экзамены сессии», «человек, не знающий ни одного иностранного языка».

По характеру обобщаемых в понятии объектов следует различать прежде всего понятия, в которых обобщаются отдельные предметы того или иного типа (вида ХА(Х)) и системы объектов.

Дальнейшее подразделение относится к понятиям вида ХА (Х), то есть к понятиям, в которых обобщаются отдельные предметы. При этом различаются понятия конкретные и абстрактные, с одной стороны, собирательные и несобирательные - с другой. Первое из указанных делений связано с различением конкретных и абстрактных объектов.

Как уже известно, конкретными объектами называют вещи, ситуации и процессы реальной действительности, а также результаты той или иной идеализации таких предметов.

Абстрактные объекты - суть создания мысли, идеальные предметы. Каковы те или иные характеристики конкретных предметов *свойства их, предметно - функциональные характеристики или отношения между ними), отвлеченные от соответствующих предметов и ставшие самостоятельными объектами мысли. Так возникают «числа», «фигуры», «движение». К множеству объектов этого типа можно, очевидно, также отнести параллели, меридианы, векторы и т.п.

Конкретным, является понятие, элементы объема которого - конкретные объекты. Таковы понятия, составляющие смысл выражений «человек», «социалистическая революция», «растение» и т.п. Абстрактные понятия в качестве элементов объема имеют абстрактные объекты. Таковы понятия: «число», «геометрическая фигура», «арифметическая функция» и т.п.

В логической литературе определения конкретных и абстрактных понятий не вполне совпадают с данными здесь их характеристиками. Обычно говорят, что элементами конкретных понятий являются предметы, представляющие собой - с логической точки зрения - некоторые системы признаков, то есть некоторые конкретные предметы, а элементами объема абстрактных понятий являются отдельные характеристики (стороны, свойства) конкретных предметов. Понятие «геометрическая фигура» относится в таком случае к числу конкретных понятий, а абстрактными будут: «площадь геометрической фигуры», «замкнутость геометрической фигуры» и т.п.

Однако это различение весьма неопределенно, поскольку и отдельные свойства, и отношения предметов в свою очередь представляют собой какую - то систему свойств (более высокого порядка) и поэтому подходят под определение конкретных объектов. Впрочем, и та граница, которая подразумевается в различении, проведенном нами первоначально, тоже не является вполне четкой. Как известно, не строгих граней даже между более простыми предметами и явлениями действительности, и почти любое различение видов тех или иных предметов в той или иной степени условно и неопределенно.

Понятие свойства (как и отношения) возникает в результате двойного абстрагирования. С одной стороны, происходит отвлечение некоторого свойства от предметов - изоляция его от предметов и превращение в самостоятельный предмет (изолирующее абстрагирование); с другой стороны, осуществляется обобщение этого свойства путем выделения общих основных свойств этих свойств и отвлечение от остальных (обобщающе - различающее абстрагирование).

Существуют неясности, связанные с абстрактными понятиями. Например, бывают они общими или только единичными, как считают многие авторы учебников по логике? Имеет ли смысл их деление на относительные и безотносительные?

Ясно, что среди абстрактных понятий имеются как общие, так и единичные. Независимость государства имеет виды: политическая независимость, экономическая независимость и т.д. Это означает, что понятие является общим. Далее, если иметь в виду абстрактные понятия, в которых мыслятся свойства, отношения и тому подобные характеристики конкретных предметов, то все они, очевидно, являются относительными, поскольку для содержания каждого такого понятия обязательными являются указания на принадлежность мыслимой характеристики тому или иному отдельному предмету или каким - то из предметов некоторого класса. Например, «независимость Украины», «независимость (некоторого, какого - либо) государства».

Значительная доля условности имеется и в делении понятий на собирательные и несобирательные. Несобирательными называются понятия, предметы которых представляют собой нечто целое, хотя и состоящее возможно из каких - то различных частей, но мыслимое как нерасчлененное целое. Например, «физическое тело», «человек», «растение». Конечно, каждое тело является, как известно, совокупностью молекул и других частиц, но в несобирательном понятии мы отвлекаемся от его структуры и вообще от того, что оно представляет собой какую - то структуру. Предметы, обобщаемые в собирательных понятиях, то есть элементы объема такого понятия, это некоторая совокупность (возможно, даже отдельно существующих предметов) или система предметов, мыслимая как целое. Например, «производственная бригада», «народ», «флот» и т.п. Объем понятия «производственная бригада» есть совокупность всех возможных производственных бригад (таким образом, понятие является общим), и содержание понятия «совокупность людей, соответствующим образом организованных для выполнения определенных производственных задач» относится к каждой из них, но, конечно, не к отдельным членам бригады. Очевидно, что собирательное понятие может быть и единичным, например, «студенческий коллектив МГУ», «созвездие Большой Медведицы» и др.

Отдельные предметы, составляющие совокупности, мыслимые в собирательном понятии, вообще говоря, существуют или могут существовать отдельно или самостоятельно. Но в некоторых отношениях их совокупность выступает одно целое (например, перед всеми людьми, составляющими производственный коллектив, стоят некоторые общие задачи, и все они в совокупности несут ответственность за их выполнение и т.д.) Это обуславливает возможность и необходимость в некоторых случаях мыслить совокупность как один предмет. Иногда говорят, что собирательные понятия могут употребляться в разделительном смысле. Так, как будто, употребляется собирательное понятие «данный коллектив» в суждении: «Все члены данного коллектива справились со своим заданием».

Однако точнее сказать, что в данном суждении сам предмет (данный коллектив), а не понятие берется разделительно, хотя бы потому, что члены коллектива являются частями коллектива, но не являются ни частями, ни элементами объема понятия «данный коллектив». Понятие «данный коллектив» - в своем обычном собирательном смысле - здесь используется для образования нового (общего) понятия «член данного коллектива». Это - общее, несобирательное, относительное понятие, в котором мыслится отношение людей к определенному предмету, именно к данному коллективу.

Другой вид так же общего и относительного понятия, представляющий собой обобщение только что рассмотренного, представляет понятие «член коллектива» (член какого - нибудь коллектива).

К числу приведенных - обычно рассматриваемых делений в учебной литературе - полезно добавить деление понятий на эмпирические и теоретические. В эмпирических понятиях основное содержание составляют признаки, доступные наблюдению, например, «жидкость, не имеющая цвета, запаха и вкуса» (вода - в обычном смысле). В теоретических понятиях наличие этих признаков у предметов устанавливается посредством некоторого теоретического анализа. Например, «химически сложное вещество, молекулы которого состоят из двух атомов водорода и одного атома кислорода» (вода - как особое химическое вещество).

В многообразии видов понятий выражается активный и сложный характер отражения мира в мышлении, соответствующей сложности и многосторонности познаваемой нами деятельности. Предметами понятий могут быть отдельные предметы и их характеристики. Предметы - и даже одни и те же - могут обобщаться по различным их сторонам, по наличию и отсутствию свойств, качеств, отношений, по собственным характеристикам предмета и по отношению его к другим предметам и т.д.

Совокупности взаимосвязанных предметов могут мыслиться разрозненно и, наоборот, возможно мысленное объединение в некоторый агрегат предметов, существующих раздельно, и т.п. знание этих способов позволяет овладеть, понятием как одной из форм мышления. Это важно также и для того, чтобы умело пользоваться имеющимися в нашем распоряжении понятиями в процессе рассуждения.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.

Определить понятие – это значит дать способ, позволяющий отделить объекты, охватываемые данным понятием, от всех других объектов изучения в зависимости от присущих им существенных свойств. Таким образом, определение (лат. «definitio» – «определение») понятий – логическая операция, в процессе которой раскрывается содержание понятия.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой указываются существенные (отличительные) свойства объекта изучения, достаточные для распознавания этого объекта, т.е. в процессе которой раскрывается содержание понятия либо устанавливается значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

По способу раскрытия свойств определяемого понятия различают неявные и явные определения. К неявным определениям относятся невербальные определения, к явным - вербальные определения (лат. слово «verbalis» означает «словесный »).

Невербальное определение – это определение значения понятия путём непосредственной демонстрации предметов или указания контекста, в котором применяется то или иное понятие.

Невербальные определения понятий используются в начальном курсе математики, так как младшие школьники обладают преимущественно наглядным мышлением, и именно наглядные представления о математических понятиях играют для них основную роль в обучении математике.

Невербальные определения разделяются на остенсивные (лат. слово «ostendere» – «показывать ») и контекстуальные определения.

Остенсивное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается путём демонстрации объектов (указания на объекты).

Например.

Понятия «треугольник», «круг» «квадрат», «прямоугольник» в дошкольном образовательном учреждении определяются с помощью демонстрации соответствующих моделей фигур.

Таким же способом показа можно определить в начальном курсе математики понятия «равенство» и «неравенство».

3 · 5 > 3 · 4 8 · 7 = 56

15 – 4 < 15 5 · 6 = 6 · 5

18+7 >18 17 – 5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

При ознакомлении дошкольников с новыми математическими понятиями в основном используются остенсивные определения.

Однако это не исключает в дальнейшем изучения их свойств, то есть формирования у детей представлений об объёме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение – определение, в котором содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл водимого понятия.

Например.

Понятия «больше», «меньше», «равно» в начальном курсе математики определяются с помощью указания контекста (больше на 3 – это значит столько же и ещё 3).

Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, которые даются во 2 классе. В учебнике математики после записи  + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим число неизвестное число буквой х (икс): х + 6 = 15 – это уравнение. Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, т.к. 9+6=15. Объясни, почему числа 0,5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Иногда встречаются определения, сочетающие контекст и показ.

Например.

Нарисовав прямые углы, имеющие разное расположение на плоскости, и сделав надпись: «Это – прямые углы», учитель знакомит младших школьников с понятием «прямой угол».

Примером такого определения может служить следующее определение прямоугольника. На рисунке дается изображение четырехугольников и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это – прямоугольники».

Таким образом, на начальном этапе обучения учащихся математике чаще всего используются невербальные определения понятий, а именно, остенсивные, контекстуальные и их сочетание.

Необходимо отметить, что невербальные определения понятий характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение понятий путем показа или через контекст не всегда указывает на свойства, существенные (отличительные) для данных понятий. Такие определения только связывают новые термины (понятия) с некоторыми объектами или предметами. Поэтому после невербальных определений необходимо дальнейшее уточнение свойств рассмотренных понятий и изучение строгих определений математических понятий.

В средних и старших классах, в связи с развитием языка и накоплением достаточного запаса математических понятий, на смену невербальным определениям приходят вербальные определения понятий. При этом все большую роль начинают играть не наглядные представления о математических понятиях, а их строгие определения. Они основываются на свойствах, которыми обладают определяемые понятия.

Вербальное определение – перечисление существенных (отличительных) свойств данного понятия, сведенных в связное предложение.

В начальном курсе математики изучаемые понятия располагают в таком порядке, чтобы каждое последующее понятие можно было определить, опираясь на ранее изученные их свойства или ранее изученные понятия. Поэтому некоторые математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятия: «множество», «точка», «прямая», «плоскость». Они являются основными , базисными или неопределяемыми понятиями математики. Определение понятий можно рассматривать в виде процесса сведения одного понятия к другому, ранее изученному, и, в конечном счете, к одному из основных понятий.

Например, квадрат есть особый ромб, ромб – особый параллелограмм, параллелограмм – особый четырехугольник, четырехугольник – особый многоугольник, многоугольник – особая геометрическая фигура, геометрическая фигура – точечное множество. Таким образом, мы дошли до основных неопределяемых понятий математики: «точка» и «множество».

В этой последовательности понятий каждое понятие, начиная со второго, является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объёмы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения:

Va Vв  Vc  Vd  Ve  Vf  Vq , где а: «квадрат», в: «ромб»,

с: «параллелограмм», d : «четырехугольник», e : «многоугольник»,

f : «геометрическая фигура», q : «точечное множество». Наглядно объемы этих понятий можно изображать и на диаграмме Эйлера-Венна (рис. 7).

V a V в V c V d V e V f V q

Рассмотрим основные способы вербальных определений понятий.

Определение через род и видовое отличие – самый распространенный вид явных определений.

Например, определение понятия «квадрат».

«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Проанализируем структуру этого определения. Сначала указано определяемое понятие - «квадрат», а затем приведено определяющее понятие, в котором можно выделить две части: 1) понятие «прямоугольник», которое является родовым по отношению к понятию «квадрат»; 2) свойство «иметь все равные стороны», которое позволяет выделить из всевозможных прямоугольников один вид – квадрат, поэтому это свойство называют видовым отличием .

Видовым отличием называются свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемое понятие из объема родового понятия.

Следует иметь в виду, что понятия рода и вида относительны. Так, «прямоугольник» – это родовое к понятию «квадрат», но видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Кроме того, для одного понятия может существовать несколько родовых. Например, для квадрата родовыми являются ромб, четырехугольник, многоугольник, геометрическая фигура. В определении через род и видовое отличие для определяемого понятия принято называть ближайшее родовое понятие.

Схематично структуру определений через род и видовое отличие можно представить следующим образом (рис. 8).



Определяющее понятие

Очевидно, что определяемое понятие и определяющее понятие должны быть тождественны, т.е. их объёмы должны совпадать.

По данной схеме можно строить определения понятий не только в математике, но и в других науках.

Следующие способы определения понятий являются частными случаями определения через род и видовое отличие.

Генетическое или конструктивное определение , т.е. определение, в котором видовое отличие определяемого понятия указывает на его происхождение или способ образования, построения (греч. слово «denesis» – «происхождение» , лат. слово «constructio» – «построение» ).

Например.

1. Определение понятия «угол».

«Углом называется фигура, образованная двумя углами, исходящими из одной точки». В этом примере понятие «фигура» является родовым, а способ образования этой фигуры – «образована двумя лучами, исходящими из одной точки» - является видовым отличием.

2. Определение понятия «треугольник».

«Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков».

В этом определении указано родовое понятие по отношению к треугольнику – «фигура», а затем видовое отличие, которое раскрывает способ построения фигуры, являющейся треугольником: взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком.

Индуктивное определение или определение понятия с использованием формулы, позволяющей сформулировать общее отличительное свойство данного понятия (лат. слово «inductio» – «наведение » на рассуждение от частного к общему).

Например, определение понятия «функция прямой пропорциональности».

«Функцией прямой пропорциональности называется функция вида «y=kx , где x R , k ≠0». В этом примере понятие «функция» - родовое понятие, а формула «y =kx , где x R , k ≠0» - видовое отличие понятия «функция прямой пропорциональности» от других видов функций.

Рассмотренные способы определения понятий позволяют наглядно изобразить виды определения понятий на следующей схеме (рис. 9).

Определение понятий

Неявное определение Явное определение

Невербальное определение Вербальное определение

Остенсивное Контекстуальное Определение понятия «через

определение определение род и видовое отличие»

Остенсивно-контекстуальное Генетическое или Индуктивное

определение конструктивное определение

Основные правила явного определения.

Определения понятий не доказывают и не опровергают. Как оценивают правильность тех или иных определений? Имеются определённые правила и требования, которые необходимо выполнять, формулируя определение данного понятия. Рассмотрим основные из них.

1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Если это правило нарушается, в определении возникают логические ошибки: определение оказывается слишком узким (недостаточным) или слишком широким (избыточным). В первом случае определяющее понятие будет меньшим по объёму, чем определяемое понятие, а во втором – большим.

Например, определения «Прямоугольником называется четырехуголь-ник, имеющий прямой угол», «Глаз – это орган зрения человека» - узкое, а определения «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и смежные стороны равны», «Костёр – это источник тепла», «Овощи и фрукты – это источники витаминов» - широкое. Также несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объём определяемого понятия – множество квадратов, а объём определяющего понятия – множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объёмы определяемого и определяющего понятия не совпадают.

2. Определения не должны содержать «порочного круга». Это означает, что нельзя определять одно понятие через другое, а это другое понятие – через первое.

Например, если определить окружность как границу круга, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь «порочный круг» в определениях данных понятий; если определить перпендикулярные прямые как прямые, которые при пересечении образуют прямые углы, а прямые углы как углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых, то мы видим, что одно понятие определяется через другое и наоборот.

3. Определение не должно быть тавтологией, т.е. нельзя понятие определять через само себя, изменяя только (и то зачастую незначительно) словесную форму понятия.

Например, определения: «Перпендикулярные прямые – это прямые, которые перпендикулярны», «Равные треугольники – это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности – это прямая, которая касается окружности», «Прямой угол – это угол в 90°», «Сложением называется действие, при котором числа складываются», «Скрипучая дверь – это дверь, которая скрипит», «Холодильник – это место, где всегда холодно» - содержат тавтологию. (Понятие определяется через само себя.)

4. Определение должно содержать указание на ближайшее родовое понятие . Нарушение этого правила приводит к различным ошибкам. Так, учащиеся, формулируя определение, иногда не указывают родовое понятие. Например, определение квадрата: «Это когда все стороны равны». Другой тип ошибок связан с тем, что в определении указывается не ближайшее родовое понятие, а более широкое родовое понятие. Например, определение того же квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны».

5. Определение по возможности не должно быть отрицательным . Это означает, что следует избегать таких определений, в которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного. Вместе с тем, в математике все же используют такие определения, в частности, если в них указываются свойства, не принадлежащие определяемому понятию. Например, определение «Иррациональное число – число, которое нельзя представить в виде , гдеp и q – целые числа и q ≠0 ».

Последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового: назвать определяемое понятия (термин); указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие; перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объёма родового, т.е. сформулировать видовое отличие; проверить, выполнены ли правила определения понятия.

Знание вышеперечисленных правил определения понятий даcт возможность учителю более строго относиться к определениям, которые даёт он сам учащимся на уроках, и к определениям, которые дают учащиеся в своих ответах.

Общие, единичные, пустые понятия. Объемы понятий могут быть разными. Прежде всего, нельзя путать понятия общие и единичные; их различие в логических свойствах не допускает одинакового обращения с ними при выполнении операций. В целом ряде случаев для них действуют разные правила. Общие понятия охватывают много предметов. Причем "много", как и множественное число в грамматике, начинается с двух. Иными словами, даже если в объеме только два явления или две вещи, то этого достаточно, чтобы охватывающее их понятие считать общим. Так, "полюс Земли" представляет собой общее понятие, хотя полюсов всего два - северный и южный. Тем более общими являются понятия "книга", "ракета", "морское млекопитающее" - в объеме каждого из них далеко не один предмет. Самая примечательная черта этих понятий состоит в следующем: то, что сказывается об общем, то одновременно может сказываться о каждом элементе из объема. Прежде всего, для науки важны общие понятия; все научные основоположения формулируются с их помощью. Единичные понятия, в отличие от общих, охватывают только один предмет. Таковы "Атлантический океан", "атомный ледокол "Ленин", "Эйфелева башня", "Царь-пушка". В логике рассматриваются также пустые понятия. Они имеют нулевой объем: "вечный двигатель", "Баба-Яга", "четыре, умноженное на сонату Бетховена", "повышение продуктивности сельского хозяйства в России в результате фермеризации".

Взаимоотношение понятий по объему удобно отображать графически. Для этого разработано несколько способов. Наиболее употребительный - круги Эйлера (рис. 1). Возьмем такую совокупность понятий: 1)"дорога", 2)"мост", 3) "железнодорожный путь", 4)"шпала", 5)"рельс", 6)"узкоколейка", 7)"виадук". Их изображение кругами представлено на рисунке. Железнодорожный путь (понятие 3) является разновидностью дороги (понятие 1) и поэтому весь объем понятия 3 полностью входит в объем понятия 1; в свою очередь узкоколейка (понятие 6) - разновидность железной дороги, значит, понятие 6 полностью входит в понятие 3. Остальные из упомянутых предметов представляют собой конструктивные элементы дорог, их составные части, но не могут рассматриваться как их разновидности. Все они находятся вне кругов 1, 3, 6. Но виадук, как известно, относится к мостовым сооружениям. Это значит то, что входит в понятие виадука, является одновременно и мостом, поэтому круг для "виадука" полностью помещается внутри круга для "моста". Можно сказать и так: совокупность понятий 1-3-6 и понятий 2-7 образуют две линии ограничения.

Собирательные и разделительные понятия. Собирательные понятия в отличие от разделительных характеризуют совокупности предметов и вещей со стороны преобладающих в них свойств. Такие свойства, являясь типичными для всего множества, не являются, однако обязательными для каждого предмета в отдельности. Так, называя рощу березовой, мы вовсе не предполагаем, что каждое дерево в ней - береза и никаких иных деревьев там нет. Собирательные понятия потому и надо отличать от обычных разделительных, что с собирательными понятиями невозможно совершать логические операции, так как общие высказывания о них не позволяют делать выводы о каждом из отдельных предметов, входящих в их объем. Если нам, к примеру, говорят: избиратели проголосовали за такого-то кандидата в депутаты, то само собой ясно, что отсюда нельзя делать вывод, будто за него голосовали все. Стало быть, здесь слово "избиратели" употреблено в собирательном смысле. В другом случае то же самое слово может иметь разделительный смысл, скажем, в высказывании: "Избиратели - граждане совершеннолетнего возраста". В обыденной речи и в художественной литературе могут не обращать внимание на отмеченную разницу в смысле понятий. Для логики же она существенно важна. Только у разделительных понятий то, что говорится об общем, относится к каждому в отдельности. Приложение же логических законов к разделительным понятиям и осуществление логических преобразований над ними имеют значительные ограничения.

Соотносительные и несоотносительные понятия. Существует целая группа примечательных в теоретическом отношении явлений и предметов, а также обозначающих их понятий, которые мыслятся только парами; на их логическое своеобразие в свое время указал немецкий философ Гегель. Причина - следствие, учитель - ученик, раб - господин, восход - закат. Одно не бывает без другого. Учитель, у которого нет и не было учеников, никак не может считаться учителем; равным образом и учеников без учителя не бывает. Так же нерасторжимо связаны и другие пары. Конечно, можно отвлечься от того, что у причины есть следствия, но тогда она не причина, а просто событие. И отец может, разумеется, существовать и вне соотношения с сыном, но тогда он не отец, а мужчина вообще. Большинство понятий являются несоотносительными; для раскрытия их содержания не требуется привлекать какие-то сопряженные с ними, в некотором смысле противоположные им понятия.

Философия может указать немало трудных проблем, связанных с соотносительностью. Например, добро и зло - можно ли их считать соотносительными или нет? Есть много оснований считать, что добро осуществляется как преодоление зла, и если бы не было второго, то и первое не имело бы смысла, во всяком случае, мы бы просто перестали его замечать. Однако, если мы с этим согласимся, то трудно будет отделаться от циничного оправдания всякого рода злодейства, каковое в таком случае становится необходимым условием проявления доброты. Ведь эдак можно договориться до того, что фашизм, начав войну на порабощение всего мира, доставил тем самым нашему народу повод прославиться на веки вечные в качестве спасителя цивилизации.

Как в действительности связаны названные понятия, является вопросом, решение которого не может быть получено в логике. Здесь просто указывается на наличие проблемы.

Абстрактные и конкретные понятия. Всякое понятие, строго говоря, обязательно является абстрактным в том смысле, что оно оставляет в себе только наиболее важные с какой-либо точки зрения признаки и отбрасывает все остальные (абстрагируется от них). Однако собственно абстрактными принято называть такие понятия, в содержание которых входит какое-нибудь свойство или действие, - белизна, возбудимость, демократичность, светимость. Выпадают из рассмотрения в этом случае сами вещи, являющиеся возможными носителями данных свойств (абстрагируются, следовательно, от самих предметов). Такие понятия противопоставляются конкретным, которые, наоборот, отображают предметы и явления сами по себе. "Стол", "небо", "экватор", очевидно, относятся к понятиям конкретным, в то время как "храбрость", "стоимость", "доступность", "новизна" - к абстрактным.

Иногда не так просто отнести то или иное понятие к первой или второй разновидности. Больше всего это характерно для философских понятий, скажем, таких как: "бесконечность", "случайность", "свобода". Представляет ли собой то, что образует их содержание, какое-то самостоятельное образование или же каждое из них есть всего лишь состояние либо характеристика состояния, например человека, материального мира и т.п.? Однозначный ответ на такой вопрос трудно дать. В целом ряде случаев поэтому, относя то или иное понятие к разряду абстрактных или конкретных, надо пояснять, по какой причине выбирается именно данный вариант.

Регистрирующие и нерегистрирующие понятия. Разделение понятий на эти два вида вызвано развитием математической логики и компьютеризацией. Здесь речь идет о возможности хотя бы в принципе пересчитать предметы, входящие в объем соответствующего понятия. В зависимости от этого меняются свойства программ и алгоритмов, с помощью которых эти объемы обрабатываются. Если охваченные понятием предметы можно пересчитать или хотя бы указать способ их пересчета, то понятие является регистрирующим. Если же пересчет невозможен, то тогда оно нерегистрирующее. В одних случаях разделение на эти разновидности очевидно: "звезда", "осенний желтый лист", "книга", "война" относятся к нерегистрирующим понятиям, "персонаж рассказа Чехова "Злоумышленник", "сыновья Владимира Мономаха", "герой Советского Союза", "здание на Крещатике в Киеве" - к регистрирующим. В других случаях определить данную характеристику понятия труднее. Что, например, входит в объем понятия "закат"? Учитывая, что Земля вращается непрерывно и поэтому в каждый момент где-нибудь можно видеть заход Солнца, мы не в состоянии даже указать, сколько закатов бывает за одни сутки. Но если отнести это понятие к какому-нибудь конкретному месту, то тогда за год их бывает 365, а общее число не превышает количество лет существования нашей планеты, умноженное на 365.

В общем и целом надо помнить, что отнесение понятий к тому или иному виду должно начинаться с определения его содержания. Пока оно не задано, говорить и тем более спорить о его характеристиках бессмысленно.