रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान। जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम का समाधान

इस गणितीय कार्यक्रम के साथ, आप प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि द्वारा दो चर के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि दो तरीकों से समाधान के चरणों की व्याख्या के साथ एक विस्तृत समाधान भी देता है: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जाँच करते समय, परीक्षा और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक विद्यालयों के वरिष्ठ छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार आप अपने छोटे भाई-बहनों के अध्यापन और/या शिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

समीकरण प्रवेश नियम

किसी भी लैटिन अक्षर को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

समीकरणों में प्रवेश करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद के समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात। तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ ax + by + c = 0 के रूप में।
उदाहरण के लिए: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण अंशों के रूप में भिन्नात्मक संख्याओं का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में पूर्ण और भिन्नात्मक भागों को पूर्ण विराम या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
अंश, हर और भिन्न के पूरे भाग के रूप में केवल एक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।
भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।
एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
एम्परसेंड द्वारा पूरे भाग को भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1 और 2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 और 1/8q)

समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
शायद आपके पास एडब्लॉक सक्षम है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउजर में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए, आपको जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने की आवश्यकता है।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश यहां दिए गए हैं।

चूंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

अगर तुम निर्णय में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) एक चर को सिस्टम के कुछ समीकरण से दूसरे के माध्यम से व्यक्त करें;
2) प्राप्त व्यंजक को इस चर के स्थान पर निकाय के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

आइए पहले समीकरण से y को x: y = 7-3x के रूप में व्यक्त करें। व्यंजक 7-Зx को y के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निकाय प्राप्त होता है:
$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणालियों के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ दायां तीर -5x + 14-6x = 3 \ दायां तीर -11x = -11 \ दायां तीर x = 1 $$

संख्या 1 को x के बजाय समानता y = 7-3x में प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान ज्ञात करते हैं:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ दायां तीर y = 4 $$

जोड़ी (1; 4) - सिस्टम समाधान

समान हल वाले दो चरों वाले समीकरण निकाय कहलाते हैं के समान... समाधान के बिना सिस्टम को भी समकक्ष माना जाता है।

योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करने वाले निकाय

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ का तरीका। इस पद्धति द्वारा प्रणालियों को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते समय, हम इस प्रणाली से इसके समकक्ष दूसरी प्रणाली में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम टर्म के समीकरणों को शब्द से गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्या बन जाएं;
2) प्रणाली के समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों द्वारा पदों को जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे चर का संगत मान ज्ञात कीजिए।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y पर गुणांक विपरीत संख्याएं हैं। पदों के पदों के बायें और दायें पक्षों को जोड़ने पर, हम एक चर 3x = 33 के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं। सिस्टम में समीकरणों में से एक को बदलें, उदाहरण के लिए पहला, समीकरण 3x = 33 के साथ। हमें सिस्टम मिलता है
$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

समीकरण 3x = 33 से हम पाते हैं कि x = 11. x के इस मान को समीकरण \ (x-3y = 38 \) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \ (11-3y = 38 \) के साथ समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\ (- 3y = 27 \ दायां तीर y = -9 \)

इस प्रकार, हमने जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का हल ढूंढ लिया है: \ (x = 11; y = -9 \) या \ ((11; -9) \)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y पर गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समान प्रणाली के समाधान में घटा दिया (मूल समरूपता के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

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रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली n रैखिक समीकरणों का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में k चर होते हैं। यह इस प्रकार लिखा गया है:

बहुत से लोग, जो पहले उच्च बीजगणित का सामना करते हैं, गलती से मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से चर की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए। स्कूल बीजगणित में, यह आमतौर पर होता है, लेकिन उच्च बीजगणित के लिए, यह, सामान्यतया, सच नहीं है।

समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक क्रम है (k 1, k 2, ..., k n), जो सिस्टम में प्रत्येक समीकरण का समाधान है, अर्थात। जब इस समीकरण में चर x 1, x 2, ... के बजाय प्रतिस्थापित किया जाता है, तो x n सही संख्यात्मक समानता देता है।

तदनुसार, समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधानों का सेट ढूंढना या यह साबित करना कि यह सेट खाली है। चूंकि समीकरणों की संख्या और अज्ञात की संख्या मेल नहीं खा सकती है, इसलिए तीन मामले संभव हैं:

1. प्रणाली असंगत है, अर्थात्। सभी समाधानों का सेट खाली है। एक दुर्लभ मामला जो सिस्टम को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि की परवाह किए बिना आसानी से पता लगाया जाता है।
2. प्रणाली सुसंगत और परिभाषित है, अर्थात। ठीक एक समाधान है। क्लासिक संस्करण, स्कूल के बाद से जाना जाता है।
3. प्रणाली सुसंगत और अपरिभाषित है, अर्थात। असीम रूप से कई समाधान हैं। यह सबसे कठिन विकल्प है। यह इंगित करना पर्याप्त नहीं है कि "सिस्टम में समाधानों का एक अनंत सेट है" - यह वर्णन करना आवश्यक है कि यह सेट कैसे व्यवस्थित किया जाता है।

एक चर x i को अनुमत कहा जाता है यदि इसे सिस्टम के केवल एक समीकरण में शामिल किया जाता है, और एक गुणांक 1 के साथ। दूसरे शब्दों में, शेष समीकरणों में, चर x i पर गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए।

यदि प्रत्येक समीकरण में हम एक अनुमत चर चुनते हैं, तो हमें समीकरणों की पूरी प्रणाली के लिए अनुमत चर का एक सेट मिलता है। इस रूप में लिखी गई प्रणाली को भी अनुमत कहा जाएगा। आम तौर पर, एक और एक ही प्रारंभिक प्रणाली को अलग-अलग अनुमत लोगों के लिए कम किया जा सकता है, लेकिन अब हमें परवाह नहीं है। अनुमत प्रणालियों के उदाहरण हैं:

चर x 1, x 3 और x 4 के संबंध में दोनों प्रणालियों की अनुमति है। हालांकि, उसी सफलता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि x 1, x 3, और x 5 के संबंध में दूसरी प्रणाली की अनुमति है। यह नवीनतम समीकरण को x 5 = x 4 के रूप में फिर से लिखने के लिए पर्याप्त है।

आइए अब एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें। आइए मान लें कि हमारे पास k चर हैं, जिनमें से r की अनुमति है। तब दो मामले संभव हैं:

1. अनुमत चरों की संख्या r, चरों की कुल संख्या k: r = k के बराबर है। हम k समीकरणों का एक निकाय प्राप्त करते हैं जिसमें r = k अनुमत चर हैं। ऐसी प्रणाली संयुक्त और निश्चित है, क्योंकि एक्स 1 = बी 1, एक्स 2 = बी 2, ..., एक्स के = बी के;
2. अनुमत चरों की संख्या r, चरों की कुल संख्या से कम है k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

तो, उपरोक्त प्रणालियों में, चर x 2, x 5, x 6 (पहली प्रणाली के लिए) और x 2, x 5 (दूसरे के लिए) मुक्त हैं। मामला जब मुक्त चर होते हैं तो प्रमेय के रूप में सबसे अच्छा तैयार किया जाता है:

कृपया ध्यान दें: यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है! आप परिणामी प्रणाली को कैसे लिखते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, एक ही चर की अनुमति और मुक्त दोनों हो सकते हैं। अधिकांश उच्च गणित ट्यूटर चरों को शब्दावली क्रम में लिखने की सलाह देते हैं, अर्थात। आरोही सूचकांक। हालाँकि, आपको इस सलाह का पालन करने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है।

प्रमेय। यदि n समीकरणों की एक प्रणाली में चर x 1, x 2, ..., x r की अनुमति है, और x r + 1, x r + 2, ..., x k मुक्त हैं, तो:

1. यदि हम मान को मुक्त चर (xr + 1 = tr + 1, xr + 2 = tr + 2, ..., xk = tk) पर सेट करते हैं और फिर मान x 1, x 2, .. पाते हैं। ., xr, हमें एक समाधान मिलता है।
2. यदि दो समाधानों में मुक्त चर के मान मेल खाते हैं, तो अनुमत चर के मान भी मेल खाते हैं, अर्थात। समाधान समान हैं।

इस प्रमेय का अर्थ क्या है? हल किए गए समीकरणों की प्रणाली के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, मुक्त चर का चयन करना पर्याप्त है। फिर, मुक्त चर के लिए अलग-अलग मान निर्दिष्ट करते हुए, हमें तैयार समाधान मिलेंगे। बस इतना ही - इस तरह आप सिस्टम के सभी समाधान प्राप्त कर सकते हैं। कोई अन्य उपाय नहीं हैं।

निष्कर्ष: समीकरणों की हल की गई प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है। यदि हल किए गए सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम निश्चित होगा, यदि कम है, तो यह अनिश्चित होगा।

और सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन सवाल उठता है: समीकरणों की मूल प्रणाली से हल कैसे किया जाए? इसके लिए है

कहां एक्स* - अमानवीय प्रणाली के समाधानों में से एक (2) (उदाहरण के लिए (4)), (ई - ए + ए)मैट्रिक्स का कर्नेल (शून्य स्थान) बनाता है ए.

आइए मैट्रिक्स का कंकाल अपघटन करें (ई - ए + ए):

ई - ए + ए = क्यू एस

कहां क्यू एन × एन - आर- मैट्रिक्स रैंक (क्यू) = एन - आर, एस एन - आर × एन-मैट्रिक्स रैंक (एस) = एन - आर.

तब (13) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स = एक्स * + क्यू के, ∀ क ∈ आर एन-आर।

कहां कश्मीर = एसजे.

इसलिए, सामान्य समाधान प्रक्रियाछद्म उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

1. स्यूडोइनवर्स की गणना ए + .
2. हम रैखिक समीकरणों (2) के अमानवीय प्रणाली के एक विशेष समाधान की गणना करते हैं: एक्स*=ए + बी.
3. हम सिस्टम की संगतता की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम गणना करते हैं आ + बी... अगर आ + बी≠बी, तो सिस्टम असंगत है। अन्यथा, हम प्रक्रिया जारी रखते हैं।
4. हम भुगतान करते हैं ई - ए + ए।
5. कंकाल का अपघटन करना ई - ए + ए = क्यू एस।
6. समाधान का निर्माण

एक्स = एक्स * + क्यू के, ∀ क ∈ आर एन-आर।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को ऑनलाइन हल करना

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान खोजने की अनुमति देता है।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणालीफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहां एक आईजेयूतथा बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) क्या कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1, ..., एक्स एन- अनजान। गुणांक के पदनाम में एक आईजेयूपहला सूचकांक मैंसमीकरण संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

हम अज्ञात के लिए गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखेंगे , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1, ..., बी एमकहा जाता है मुक्त सदस्य।

समुच्चय एननंबर सी 1, ..., सी एनबुलाया फैसलादिए गए सिस्टम का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण संख्याओं के प्रतिस्थापन के बाद समानता में बदल जाता है सी 1, ..., सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1, ..., एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है, कहलाता है संयुक्त... अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त शर्तों के मैट्रिक्स कॉलम

चलो एक काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाएं हाथ प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स की समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एतथा बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे भी खोजने की जरूरत है, टीके। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

बता दें कि मैट्रिक्स का सारणिक अशून्य है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। हम बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करते हैं ए -1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए:. जहां तक ​​कि ए -1 ए = ईतथा इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है... हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमेरा का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक, अर्थात। अज्ञात के साथ गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

आइए तीन और निर्धारकों की रचना इस प्रकार करें: निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम से बदलें

तब निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत... तो, आइए तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। आइए प्रणाली के पहले समीकरण को बीजीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्त्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए 21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

आइए प्रत्येक कोष्ठक और इस समीकरण के दाईं ओर देखें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, कोई यह दिखा सकता है और।

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

अत, ।

समानताएं और एक समान तरीके से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है, या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत।

उदाहरण।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य होना चाहिए। गॉस की विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1... इसके लिए हम दूसरे समीकरण को से भाग देते हैं ए 21 और गुणा करें - ए 11 और फिर इसे पहले समीकरण में जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11, और फिर पहले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:

अब हम अंतिम समीकरण से उस पद को हटा देते हैं जिसमें एक्स 2... ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करें, गुणा करें और दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए, अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, समीकरणों को आवश्यकतानुसार बदला जा सकता है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे खुद को सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक ही सीमित रखते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों की पुनर्व्यवस्था;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. अन्य पंक्तियों को एक पंक्ति में जोड़ना।

उदाहरण:गाऊसी पद्धति का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

सामान्य स्थिति में, रैखिक समीकरण का रूप होता है:

समीकरण का एक हल है: यदि अज्ञात के गुणांकों में से कम से कम एक गैर-शून्य है। इस मामले में, किसी भी -आयामी वेक्टर को समीकरण का समाधान कहा जाता है, यदि इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने के बाद, समीकरण एक पहचान में बदल जाता है।

समीकरणों की हल प्रणाली की सामान्य विशेषताएं

उदाहरण 20.1

समीकरणों की प्रणाली का वर्णन करें.

समाधान:

1. क्या रचना में परस्पर विरोधी समीकरण है?(यदि गुणांक, इस मामले में समीकरण का रूप है: और कहा जाता है असंगत.)

• यदि सिस्टम में एक विरोधाभासी है, तो ऐसी प्रणाली असंगत है और इसका कोई समाधान नहीं है

2. सभी अनुमत चर खोजें. (अज्ञात कहा जाता हैअनुमति हैसमीकरणों की एक प्रणाली के लिए यदि यह +1 के गुणांक के साथ सिस्टम के समीकरणों में से एक में प्रवेश करता है, और शेष समीकरणों में प्रवेश नहीं करता है (यानी, शून्य के बराबर गुणांक के साथ प्रवेश करता है)।

3. क्या समीकरणों की प्रणाली की अनुमति है? (समीकरणों की प्रणाली को अनुमत कहा जाता हैयदि सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में एक अज्ञात अज्ञात है, जिसमें कोई संयोग नहीं है)

अनुमत अज्ञात, सिस्टम के प्रत्येक समीकरण से एक समय में एक लिया जाता है, फॉर्म सुलझे हुए अज्ञात का पूरा सेटसिस्टम (हमारे उदाहरण में यह है)

पूर्ण समुच्चय में शामिल सुलझे हुए अज्ञात को भी कहा जाता है बुनियादी(), और सेट में शामिल नहीं - नि: शुल्क ().

सामान्य स्थिति में, समीकरणों की हल की गई प्रणाली का रूप है:

इस स्तर पर, मुख्य बात यह समझना है कि क्या है अज्ञात हल किया(आधार और मुफ्त में शामिल)।

सामान्य आंशिक मूल समाधान

सामान्य निर्णय सेसमीकरणों की एक अनुमत प्रणाली मुक्त शर्तों और मुक्त अज्ञात के संदर्भ में हल किए गए अज्ञात के लिए अभिव्यक्तियों का एक सेट है:

निजी निर्णय सेमुक्त चर और अज्ञात के विशिष्ट मूल्यों के लिए सामान्य से प्राप्त समाधान कहलाता है।

मूल समाधानमुक्त चर के शून्य मानों पर सामान्य से प्राप्त एक विशेष समाधान कहलाता है।

• मूल विलयन (सदिश) कहलाता है पतितयदि इसके शून्येतर निर्देशांकों की संख्या अनुमत अज्ञातों की संख्या से कम है।
• मूल समाधान कहा जाता है गैर पतितयदि इसके गैर-शून्य निर्देशांक की संख्या पूरे सेट में शामिल सिस्टम के अनुमत अज्ञात की संख्या के बराबर है।

प्रमेय (1)

समीकरणों की अनुमत प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है(क्योंकि इसका कम से कम एक समाधान है); और यदि सिस्टम में कोई मुक्त अज्ञात नहीं है,(अर्थात, समीकरणों की प्रणाली में, सभी अनुमत लोगों को आधार में शामिल किया जाता है) तब इसे परिभाषित किया जाता है(केवल एक ही समाधान है); यदि कम से कम एक मुक्त चर है, तो सिस्टम अपरिभाषित है(समाधानों की अनंत संख्या है)।

उदाहरण 1. समीकरणों के निकाय का सामान्य, मूल और कोई विशेष हल ज्ञात कीजिए:

समाधान:

1. जाँच कर रहा है कि क्या सिस्टम कानूनी है?

• सिस्टम हल हो गया है (चूंकि प्रत्येक समीकरण में एक अज्ञात हल होता है)

2. हम हल किए गए अज्ञात को सेट में शामिल करते हैं - प्रत्येक समीकरण से एक.

3. हम सामान्य समाधान लिखते हैं जिसके आधार पर हमने सेट में शामिल किए गए अज्ञात हल किए हैं.

4. हम एक विशेष समाधान ढूंढते हैं... ऐसा करने के लिए, हम फ्री वेरिएबल्स की बराबरी करते हैं जिन्हें हमने सेट में शामिल नहीं किया था ताकि मनमानी संख्याओं के बराबर हो सकें।

उत्तर: निजी समाधान(विकल्पों में से एक)

5. मूल समाधान ढूँढना... ऐसा करने के लिए, हम उन मुक्त चरों की बराबरी करते हैं जिन्हें हमने सेट में शून्य में शामिल नहीं किया था।

रैखिक समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तन

प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के सिस्टम को समकक्ष अनुमत सिस्टम में घटा दिया जाता है।

प्रमेय (2)

यदि कोई सिस्टम के समीकरण को कुछ गैर-शून्य संख्या से गुणा करें, और शेष समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, फिर। (अर्थात, यदि आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक ही संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको इसके बराबर एक समीकरण प्राप्त होता है)

प्रमेय (3)

अगर सिस्टम के कुछ समीकरण में एक और जोड़ें, और अन्य सभी समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, तब हमें दिए गए के बराबर एक प्रणाली मिलती है... (अर्थात, यदि आप दो समीकरण जोड़ते हैं (उनके बाएँ और दाएँ पक्ष जोड़ते हैं), तो आपको डेटा के बराबर एक समीकरण मिलता है)

प्रमेयों से उपफल (2 और 3)

अगर कुछ समीकरण में एक और जोड़ें, कुछ संख्या से गुणा करें, और अन्य सभी समीकरणों को अपरिवर्तित छोड़ दें, तब हमें दिए गए के बराबर एक प्रणाली मिलती है.

सिस्टम गुणांक के लिए रूपांतरण सूत्र

यदि हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है और हम इसे समीकरणों की एक हल प्रणाली में बदलना चाहते हैं, तो जॉर्डन-गॉस विधि हमारी मदद करेगी।

जॉर्डन ट्रांसफॉर्मएक हल करने वाले तत्व के साथ आप समीकरणों की प्रणाली के लिए एक संख्या के साथ समीकरण में हल किए गए अज्ञात को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। (उदाहरण 2)।

जॉर्डन परिवर्तन में दो प्रकार के प्राथमिक परिवर्तन होते हैं:

मान लीजिए कि हम अज्ञात को निचले समीकरण में हल अज्ञात बनाना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें राशि से विभाजित करना होगा।

उदाहरण 2 आइए प्रणाली के गुणांकों की पुनर्गणना करें

किसी समीकरण को किसी संख्या से विभाजित करते समय, उसके गुणांकों को सूत्रों के अनुसार पुनर्गणना किया जाता है:

किसी संख्या वाले समीकरण को समाप्त करने के लिए, आपको समीकरण को किसी संख्या से गुणा करना होगा और इस समीकरण में जोड़ना होगा।

प्रमेय (4) प्रणाली में समीकरणों की संख्या में कमी पर।

यदि समीकरणों की प्रणाली में एक तुच्छ समीकरण होता है, तो इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है, और परिणामी प्रणाली मूल के बराबर होती है।

प्रमेय (5) समीकरणों की एक प्रणाली की असंगति पर।

यदि समीकरणों की एक प्रणाली में एक विरोधाभासी समीकरण है, तो यह असंगत है।

जॉर्डन-गॉस विधि का एल्गोरिथ्म

जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म में एक ही प्रकार के कई चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर निम्नलिखित क्रम में क्रियाएं की जाती हैं:

1. यह देखने के लिए जाँच करता है कि क्या सिस्टम असंगत है। यदि सिस्टम में एक विरोधाभासी समीकरण है, तो यह असंगत है।
2. समीकरणों की संख्या को कम करने की संभावना की जाँच की जाती है। यदि सिस्टम में एक तुच्छ समीकरण है, तो इसे हटा दिया जाता है।
3. यदि समीकरणों की प्रणाली को हल किया जाता है, तो सिस्टम का सामान्य समाधान लिखा जाता है और यदि आवश्यक हो, तो विशेष समाधान।
4. यदि सिस्टम हल नहीं होता है, तो उस समीकरण में जिसमें हल अज्ञात नहीं होता है, एक हल करने वाले तत्व का चयन किया जाता है और इस तत्व के साथ जॉर्डन परिवर्तन किया जाता है।
5. फिर बिंदु 1 पर फिर से जाएं।

उदाहरण 3 जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करें।

पाना: दो सामान्य और दो संगत मूल समाधान

समाधान:

गणना निम्न तालिका में दिखाई गई है:

समीकरणों पर क्रियाएँ तालिका के दाईं ओर दिखाई जाती हैं। तीर दिखाते हैं कि किस समीकरण में हल करने वाले तत्व के साथ समीकरण जोड़ा जाता है, एक उपयुक्त कारक से गुणा किया जाता है।

तालिका की पहली तीन पंक्तियों में अज्ञात और मूल प्रणाली के दाहिने हाथ के गुणांक होते हैं। एक के बराबर हल करने वाले तत्व के साथ पहले जॉर्डन परिवर्तन के परिणाम 4, 5, 6 पंक्तियों में दिखाए गए हैं। दूसरे जॉर्डन परिवर्तन के परिणाम (-1) के बराबर हल करने वाले तत्व के साथ 7, 8, 9 की पंक्तियों में दिए गए हैं। चूंकि तीसरा समीकरण तुच्छ है, इस पर विचार किया जा सकता है।