एक समबाहु त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय। त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय

यदि समस्या किसी त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण बताती है, तो आप ज्या के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं।

साइन का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण। दी गई भुजाएँ a = 3, b = 4, और कोण γ = 30° हैं। 30° के कोण की ज्या 0.5 है

त्रिभुज का क्षेत्रफल 3 वर्ग मीटर होगा. सेमी।

अन्य शर्तें भी हो सकती हैं. यदि एक भुजा की लंबाई और कोण दिए गए हैं, तो सबसे पहले आपको लुप्त कोण की गणना करने की आवश्यकता है। क्योंकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° है, तो:

क्षेत्रफल भुजा के आधे वर्ग को भिन्न से गुणा करने के बराबर होगा। इसका अंश आसन्न कोणों की ज्या का गुणनफल है, और इसका हर विपरीत कोण की ज्या का गुणनफल है। अब हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज दिया गया है जिसकी भुजा a=3 है और कोण γ=60° है, β=60° है। तीसरे कोण की गणना करें:
डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करना
हम पाते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 3.87 वर्ग मीटर है। सेमी।

द्वितीय. कोज्या से होकर जाने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको सभी भुजाओं की लंबाई जानना आवश्यक है। कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, आप अज्ञात पक्षों को पा सकते हैं, और उसके बाद ही उनका उपयोग कर सकते हैं।
कोज्या प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा का वर्ग शेष भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है जिसमें इन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या को घटा दिया जाता है।

प्रमेय से हमें अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र प्राप्त होते हैं:

यह जानकर कि लुप्त भुजा को कैसे खोजा जाए, दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण होने पर, आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। कोज्या के माध्यम से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र विभिन्न समस्याओं का शीघ्र और आसानी से समाधान खोजने में मदद करता है।

कोज्या का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की गणना करने का एक उदाहरण
के साथ एक त्रिभुज दिया गया है ज्ञात पार्टियाँ a = 3, b = 4, और कोण γ = 45°. सबसे पहले, आइए लुप्त पक्ष को खोजें साथ. कोज्या 45°=0.7. ऐसा करने के लिए, हम डेटा को कोसाइन प्रमेय से प्राप्त समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अब सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं

सूत्रीकरण:त्रिभुज की वर्गाकार भुजा योग के बराबरइसकी दो अन्य भुजाओं का वर्ग इन भुजाओं और उनके बीच के कोण की कोज्या के गुणनफल का दोगुना घटा देता है।

एक मनमाना त्रिभुज ABC और उसके लिए पक्ष ए, बीऔर c (संबंधित शीर्षों के विपरीत) यह समानता अन्य दो पक्षों के लिए लिखी जा सकती है:

कोसाइन प्रमेय का उपयोग दो मुख्य स्थितियों में त्रिभुजों को हल करने के लिए किया जाता है:

1) जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो, और आपको अंतिम भुजा ज्ञात करने की आवश्यकता हो:

2) जब किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी गई हों, और आपको उसके कोण ज्ञात करने की आवश्यकता हो:

कभी-कभी एक गणित शिक्षक किसी समस्या में दो दी गई भुजाओं और एक कोण जो उनके बीच नहीं होता है, में कोसाइन प्रमेय का उपयोग करने की सिफारिश करता है। इस मामले में a) आपको निर्णय लेना होगा द्विघात समीकरणऔर परिणामी जड़ों से वास्तविक पक्ष की लंबाई का चयन करें। बी) यह स्थिति गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं के लिए विशिष्ट नहीं है, क्योंकि यह हमेशा एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं करती है। यदि कोण भुजाओं के बीच नहीं है, तो कम्पास और रूलर का उपयोग करके आप ऐसे तत्वों से दो अलग-अलग त्रिभुज बना सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय को कभी-कभी विस्तारित पाइथागोरस प्रमेय या पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण कहा जाता है, क्योंकि 90 डिग्री के कोण पर, उपरोक्त समानताएं उत्पन्न होती हैं। किसी भी सामान्यीकरण की तरह, यह किसी विशेष मामले की तुलना में कहीं अधिक सार्वभौमिक और प्रभावी है और उस पर लागू होता है अधिकवास्तविक स्थितियाँ (8वीं कक्षा के कार्यक्रम के लिए डिज़ाइन की गई गणित में राज्य परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा की कृत्रिम समस्याओं के विपरीत)।

मेरे ज्ञात सभी प्रमाणों में सदिश और निर्देशांक शामिल हैं। अतानासियन की पाठ्यपुस्तक में, इसे बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से किया जाता है, और पोगोरेलोव की पाठ्यपुस्तक में, "वेक्टर के स्केलर उत्पाद" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। आइए अतानास्यान के अनुसार प्रमाण को आगे बढ़ाएँ। मुझे ऐसा लगता है कि गणित शिक्षक के साथ काम करने के लिए यह सबसे उपयुक्त है, क्योंकि इसमें पड़ोसी विषयों पर निर्भरता कम होती है।

आइए पक्ष के लिए समानता साबित करें एऔर कोण ए. ऐसा करने के लिए, हम एक समन्वय प्रणाली प्रस्तुत करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है (ऑक्स अक्ष को AC की ओर निर्देशित किया गया है)। बिंदु B को तब निर्देशांक B (cCosA;cSinA) प्राप्त होगा। यह एकमात्र तथ्य है जो एक कमजोर या औसत छात्र के लिए कठिन है, जिस पर अतानास्यान की पाठ्यपुस्तक से काम करने वाले गणित शिक्षक को अलग से विचार करना चाहिए। यह अक्सर इस तथ्य के कारण जटिल होता है कि यह कार्यक्रम में पर्याप्त संख्या में कार्यों द्वारा समर्थित नहीं है और कोसाइन प्रमेय का अध्ययन करने के बाद इसका उपयोग नहीं किया जाता है। अंकों की दी गई व्यवस्था के मामले में (जब यह तीव्र हो), एक गणित शिक्षक को केवल कोसाइन और साइन की परिभाषा को संदर्भित करने की आवश्यकता होती है तीव्र कोणबिंदीदार भुजाओं वाले समकोण त्रिभुजों में।

आगे का प्रमाण बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय गणनाओं पर आधारित है। उनमें आपको सूत्र का ज्ञान जोड़ना होगा दो बिंदुओं के बीच की दूरी.

हम योग के वर्ग पर संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करते हैं:

हमने इसे कोष्ठक से बाहर रखा है: . हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं

और अंत में

एक गणित शिक्षक एक जिज्ञासु छात्र को कोसाइन प्रमेय का एक दुर्लभ प्रमाण दिखा सकता है। आइए त्रिभुज ABC में ऊँचाई BH खींचें और AB=AH+HB या c=bCosA+aCosB लिखें। यदि कोण B अधिक कोण है, तो AB = AN-NV और इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि कोज्याएँ आसन्न कोनेविपरीत हैं, हम फिर से समानता प्राप्त करते हैं c=bCosA+aCosB। इसलिए, यह त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है। आइए a और b के लिए समान सूत्र लिखें:
a=cCosB+bCosC और b=aCosC+cCosA। उन्हें क्रमशः a और b से गुणा करने और उनके योग से समानता c=bCosA+aCosB घटाने पर हमें समानता प्राप्त होती है

कोसाइन का टोरेमा हमें समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की एक संपत्ति की व्याख्या करने की अनुमति देता है जो व्यवहार में बहुत उपयोगी है: किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसे सत्यापित करने के लिए, प्रत्येक विकर्ण के लिए कोसाइन प्रमेय लिखना और परिणामी समानताएँ जोड़ना पर्याप्त है।

समस्याओं के उदाहरण जिनमें आप किसी न किसी तरह से कोसाइन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (या इसकी आवश्यकता है):

1) 2,3 और 4 भुजाओं वाले त्रिभुज में, लंबी भुजा पर खींची गई माध्यिका की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2) उसी त्रिभुज में, लंबी भुजा पर खींचे गए समद्विभाजक की लंबाई ज्ञात करें।
3) त्रिभुज ABC में, मध्यबिंदु AB और BC को जोड़ने वाला खंड 3 dm के बराबर है, भुजा AB 7 dm के बराबर है, कोण C बराबर है। सूरज को खोजो.
4) समकोण C वाले समकोण त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का केंद्र शीर्ष A और B से दूरी पर है। त्रिभुज के पैरों को रखें।

कोसाइन प्रमेय पर समस्याओं को हल किए बिना गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की पूरी तैयारी असंभव है। में एकीकृत राज्य परीक्षा का संस्करणयह या तो कमरा B4 या C4 में पाया जा सकता है। धीरे-धीरे, मैं दिलचस्प C4 कार्यों को अपने उपदेशात्मक आधार से और परीक्षण परीक्षाओं से पृष्ठ पर स्थानांतरित कर दूंगा। ट्यूटर्स, यह मत भूलिए कि जीआईए में, यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तरह, कोसाइन प्रमेय संस्करण के पहले और दूसरे दोनों भागों में दिखाई दे सकता है।

कोलपाकोव अलेक्जेंडर निकोलाइविच,
मास्को में गणित के शिक्षक. एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी

सभी स्कूली बच्चे और विशेषकर वयस्क नहीं जानते कि कोसाइन प्रमेय का सीधा संबंध पाइथागोरस प्रमेय से है। अधिक सटीक रूप से, उत्तरार्द्ध पूर्व का एक विशेष मामला है। यह बिंदु, साथ ही कोसाइन प्रमेय को सिद्ध करने के दो तरीके, आपको और अधिक बनने में मदद करेंगे जानकार व्यक्ति. इसके अलावा प्रारंभिक भावों से मात्राएँ व्यक्त करने का अभ्यास भी अच्छे से विकसित होता है तर्कसम्मत सोच. अध्ययन किए जा रहे प्रमेय का लंबा सूत्र निश्चित रूप से आपको कड़ी मेहनत करने और सुधार करने के लिए मजबूर करेगा।

बातचीत शुरू करना: संकेतन का परिचय देना

यह प्रमेय एक मनमाना त्रिभुज के लिए तैयार और सिद्ध किया गया है। इसलिए, इसका उपयोग हमेशा, किसी भी स्थिति में किया जा सकता है, यदि दो भुजाएं दी गई हों, और कुछ मामलों में तीन, और एक कोण, और जरूरी नहीं कि उनके बीच में हो। त्रिभुज चाहे किसी भी प्रकार का हो, प्रमेय हमेशा काम करेगा।

और अब सभी अभिव्यक्तियों में मात्राओं के पदनाम के बारे में। बेहतर है कि तुरंत सहमत हो जाएं, ताकि बाद में कई बार सफाई न देनी पड़े। इस उद्देश्य के लिए निम्नलिखित तालिका संकलित की गई है।

निरूपण और गणितीय संकेतन

तो, कोसाइन प्रमेय इस प्रकार तैयार किया गया है:

किसी भी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग उसकी दो अन्य भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें उन्हीं भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच स्थित कोण की कोज्या को घटाया जाता है।

बेशक, यह लंबा है, लेकिन अगर आप इसका सार समझ लें तो इसे याद रखना आसान हो जाएगा। आप एक त्रिभुज बनाने की कल्पना भी कर सकते हैं। दृश्य रूप से याद रखना हमेशा आसान होता है।

इस प्रमेय का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

थोड़ा लंबा, लेकिन सब कुछ तार्किक है। यदि आप थोड़ा और करीब से देखें, तो आप देख सकते हैं कि अक्षर दोहराए गए हैं, जिसका अर्थ है कि इसे याद रखना मुश्किल नहीं है।

प्रमेय का सामान्य प्रमाण

चूँकि यह सभी त्रिभुजों के लिए सत्य है, आप तर्क के लिए किसी भी प्रकार का चयन कर सकते हैं। इसे सभी तीव्र कोणों वाली एक आकृति होने दें। आइए एक मनमाने न्यूनकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण C, कोण B से बड़ा है। इस बड़े कोण वाले शीर्ष से, आपको विपरीत दिशा में एक लंब नीचे करने की आवश्यकता है। खींची गई ऊँचाई त्रिभुज को दो आयताकार भागों में विभाजित कर देगी। प्रमाण के लिए इसकी आवश्यकता होगी.

पक्ष को दो खंडों में विभाजित किया जाएगा: x, y. उन्हें ज्ञात मात्राओं के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है। वह भाग जो b के बराबर कर्ण वाले त्रिभुज में समाप्त होता है, नोटेशन के माध्यम से व्यक्त किया जाएगा:

एक्स = बी * क्योंकि ए.

अन्य इस अंतर के बराबर होगा:

y = c - in *cos A.

अब आपको ऊंचाई को अज्ञात मान के रूप में लेते हुए, दो परिणामी समकोण त्रिभुजों के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लिखने की आवश्यकता है। ये सूत्र इस प्रकार दिखेंगे:

एन 2 = 2 में - (* कॉस ए में) 2,

एन 2 = ए 2 - (सी - बी * कॉस ए) 2।

इन समानताओं में बाईं ओर समान भाव हैं। इसका मतलब यह है कि उनकी दाहिनी भुजाएँ भी बराबर होंगी। इसे लिखना आसान है. अब आपको कोष्ठक खोलने की आवश्यकता है:

इन 2 - इन 2 * (कॉस ए) 2 = ए 2 - सी 2 + 2 सी * इन * कॉस ए - इन 2 * (कॉस ए) 2।

यदि आप यहां समान पदों का स्थानांतरण और न्यूनीकरण करते हैं, तो आपको प्रारंभिक सूत्र मिलेगा, जो सूत्रीकरण के बाद लिखा जाता है, यानी कोसाइन प्रमेय। सबूत पूरा है.

सदिशों का उपयोग करके प्रमेय का प्रमाण

यह पिछले वाले से काफी छोटा है. और यदि आप सदिशों के गुणों को जानते हैं, तो त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय आसानी से सिद्ध हो जाएगा।

यदि भुजाएँ a, b, c क्रमशः सदिश BC, AC और AB द्वारा निर्दिष्ट हैं, तो समानता कायम है:

बीसी = एसी - एबी।

अब आपको कुछ स्टेप्स करने होंगे. इनमें से पहला है समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करना:

बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2 - 2 एसी * एबी।

फिर समानता को अदिश रूप में फिर से लिखने की जरूरत है, यह ध्यान में रखते हुए कि वैक्टर का उत्पाद उनके और उनके अदिश मानों के बीच के कोण की कोज्या के बराबर है:

बीसी 2 = एसी 2 + एबी 2 - 2 एसी * एबी * कॉस ए।

जो कुछ बचा है वह पुराने अंकन पर लौटना है, और फिर से हमें कोसाइन प्रमेय मिलता है:

ए 2 = बी 2 + सी 2 - 2 * बी * सी * कॉस ए।

अन्य भुजाओं और सभी कोणों के लिए सूत्र

पक्ष ज्ञात करने के लिए, आपको कोसाइन प्रमेय का वर्गमूल लेना होगा। अन्य भुजाओं में से किसी एक के वर्ग का सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

सी 2 = ए 2 + बी 2 - 2 * ए * बी * कॉस सी।

एक भुजा के वर्ग के लिए व्यंजक लिखना वी, आपको पिछली समानता में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है साथपर वी, और इसके विपरीत, और कोण B को कोज्या के नीचे रखें।

प्रमेय के मूल सूत्र से हम कोण A की कोज्या का मान व्यक्त कर सकते हैं:

क्योंकि ए = (2 में + सी 2 - ए 2) / (2 में * सी)।

अन्य कोणों के सूत्र इसी प्रकार निकाले जाते हैं। इन्हें स्वयं लिखने का प्रयास करना अच्छा अभ्यास है।

स्वाभाविक रूप से, इन सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह प्रमेय को समझने और इन अभिव्यक्तियों को इसके मुख्य संकेतन से प्राप्त करने की क्षमता के लिए पर्याप्त है।

प्रमेय का मूल सूत्र पक्ष ज्ञात करना संभव बनाता है यदि कोण दो ज्ञात कोणों के बीच नहीं है। उदाहरण के लिए, आपको खोजने की आवश्यकता है वी, जब मान दिए गए हों: ए, सी, ए. या अज्ञात साथ, लेकिन अर्थ हैं ए, बी, ए.

इस स्थिति में, आपको सूत्र के सभी पदों को बाईं ओर ले जाना होगा। आपको निम्नलिखित समानता मिलती है:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

आइए इसे थोड़े अलग रूप में फिर से लिखें:

सी 2 - (2 * इन * कॉस ए) * सी + (2 में - ए 2) = 0।

आप द्विघात समीकरण आसानी से देख सकते हैं। इसमें एक अज्ञात मात्रा है - साथ, और बाकी सभी दिए गए हैं। इसलिए, विवेचक का उपयोग करके इसे हल करना पर्याप्त है। इस तरह अज्ञात पक्ष का पता चल जायेगा.

दूसरे पक्ष का सूत्र इसी प्रकार प्राप्त होता है:

2 में - (2 * सी * कॉस ए) * में + (सी 2 - ए 2) = 0।

अन्य अभिव्यक्तियों से ऐसे सूत्र स्वतंत्र रूप से प्राप्त करना भी आसान है।

कोसाइन की गणना किए बिना आप कोण का प्रकार कैसे पता कर सकते हैं?

यदि आप पहले निकाले गए कोण कोज्या सूत्र को ध्यान से देखें, तो आप निम्नलिखित पर ध्यान देंगे:

• किसी भिन्न का हर हमेशा एक धनात्मक संख्या होता है, क्योंकि इसमें उन पक्षों का गुणनफल होता है जो ऋणात्मक नहीं हो सकते;
• कोण का मान अंश के चिह्न पर निर्भर करेगा।

कोण A होगा:

• ऐसी स्थिति में तीव्र जहां अंश शून्य से भी बड़ा;
• यदि यह अभिव्यक्ति नकारात्मक है तो मूर्खतापूर्ण;
• प्रत्यक्ष जब यह शून्य के बराबर हो।

वैसे, बाद वाली स्थिति कोसाइन प्रमेय को पाइथागोरस प्रमेय में बदल देती है। क्योंकि 90° के कोण के लिए इसकी कोज्या होती है शून्य के बराबर, और अंतिम पद गायब हो जाता है।

पहला कार्य

स्थिति

किसी मनमाने त्रिभुज का अधिककोण 120º है। जिन भुजाओं से यह सीमित है, उनके बारे में यह ज्ञात है कि उनमें से एक दूसरी से 8 सेमी बड़ी है, तीसरी भुजा की लंबाई ज्ञात है, यह त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए आवश्यक है।

समाधान

सबसे पहले आपको किसी एक पक्ष को "x" अक्षर से चिह्नित करना होगा। इस स्थिति में, दूसरा (x + 8) के बराबर होगा। चूँकि तीनों पक्षों के लिए व्यंजक हैं, हम कोसाइन प्रमेय द्वारा दिए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º।

कोसाइन की तालिकाओं में आपको 120 डिग्री के अनुरूप मान ज्ञात करना होगा। यह ऋण चिह्न के साथ 0.5 संख्या होगी। अब आपको सभी नियमों का पालन करते हुए कोष्ठक खोलने होंगे और समान शब्द लाने होंगे:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

इस द्विघात समीकरण को विभेदक ज्ञात करके हल किया जाता है, जो इसके बराबर होगा:

डी = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216।

चूँकि इसका मान शून्य से अधिक है, समीकरण के दो मूल उत्तर हैं।

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20।

अंतिम मूल समस्या का उत्तर नहीं हो सकता, क्योंकि पक्ष सकारात्मक होना चाहिए।

त्रिकोणमिति का उपयोग न केवल बीजगणित के अनुभाग - विश्लेषण की शुरुआत में, बल्कि ज्यामिति में भी व्यापक रूप से किया जाता है। इस संबंध में, त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित प्रमेयों और उनके प्रमाणों के अस्तित्व को मानना ​​उचित है। वास्तव में, कोसाइन और साइन के प्रमेय त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच बहुत दिलचस्प और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उपयोगी संबंध उत्पन्न करते हैं।

इस सूत्र का उपयोग करके, आप त्रिभुज की कोई भी भुजा प्राप्त कर सकते हैं:

कथन का प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर प्राप्त होता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

एक मनमाना त्रिभुज ABC पर विचार करें। शीर्ष C से हम ऊंचाई h को आकृति के आधार तक कम करते हैं इस मामले मेंइसकी लंबाई बिल्कुल भी महत्वपूर्ण नहीं है. अब, यदि हम एक मनमाना त्रिभुज ACB पर विचार करें, तो हम बिंदु C के निर्देशांक को त्रिकोणमितीय फलनों cos और syn के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं।

आइए कोज्या की परिभाषा याद रखें और त्रिभुज ACD की भुजाओं का अनुपात लिखें: cos α = AD/AC | समानता के दोनों पक्षों को AC से गुणा करें; एडी = एसी * कॉस α।

हम लंबाई AC को b के रूप में लेते हैं और बिंदु C के पहले निर्देशांक के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
x = b * cos⁡α. इसी प्रकार, हम कोटि C का मान ज्ञात करते हैं: y = b * पाप α। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हैं और त्रिभुज ACD और DCB के लिए h को बारी-बारी से व्यक्त करते हैं:

यह स्पष्ट है कि दोनों अभिव्यक्तियाँ (1) और (2) एक दूसरे के बराबर हैं। आइए दाहिनी ओर की भुजाओं को बराबर करें और समान भुजाओं को प्रस्तुत करें:

व्यवहार में, यह सूत्र आपको दिए गए कोणों से त्रिभुज की अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात करने की अनुमति देता है। कोसाइन प्रमेय के तीन परिणाम होते हैं: त्रिभुज के समकोण, न्यून और अधिक कोणों के लिए।

आइए हम cos α के मान को सामान्य चर x से प्रतिस्थापित करें, फिर त्रिभुज ABC के न्यून कोण के लिए हमें प्राप्त होता है:

यदि कोण सही हो जाता है, तो 2bx अभिव्यक्ति से गायब हो जाएगा, क्योंकि cos 90° = 0. ग्राफ़िक रूप से, दूसरा परिणाम निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

अधिक कोण के मामले में, सूत्र में दोहरे तर्क से पहले "-" चिह्न "+" में बदल जाएगा:

जैसा कि स्पष्टीकरण से देखा जा सकता है, रिश्तों में कुछ भी जटिल नहीं है। कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का त्रिकोणमितीय मात्राओं में अनुवाद से अधिक कुछ नहीं है।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

कार्य 1. एक त्रिभुज ABC दिया गया है, जिसकी भुजा BC = a = 4 सेमी, AC = b = 5 सेमी, और cos α = ½ है। आपको भुजा AB की लंबाई ज्ञात करनी होगी।

गणना सही ढंग से करने के लिए, आपको कोण α निर्धारित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको मानों की तालिका का संदर्भ लेना चाहिए त्रिकोणमितीय कार्य, जिसके अनुसार चाप कोसाइन 60° के कोण के लिए 1/2 के बराबर है। इसके आधार पर, हम प्रमेय के पहले परिणाम के सूत्र का उपयोग करते हैं:

कार्य 2. त्रिभुज ABC के लिए, सभी भुजाएँ ज्ञात हैं: AB =4√2,BC=5,AC=7. आपको आकृति के सभी कोण ज्ञात करने होंगे।

इस मामले में, आप समस्या की स्थितियों का चित्रण किए बिना नहीं कर सकते।

चूँकि कोण का मान अज्ञात रहता है, इसलिए समाधान खोजने के लिए न्यून कोण के पूर्ण सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।

सादृश्य से, सूत्र बनाना और अन्य कोणों के मानों की गणना करना कठिन नहीं है:

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होना चाहिए: 53 + 82 + 45 = 180, इसलिए समाधान मिल गया है।

ज्या का प्रमेय

प्रमेय कहता है कि एक मनमाना त्रिभुज की सभी भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं। संबंध त्रिगुण समानता के रूप में लिखे गए हैं:

कथन का शास्त्रीय प्रमाण एक वृत्त में अंकित आकृति के उदाहरण का उपयोग करके किया जाता है।

चित्र में त्रिभुज ABC के उदाहरण का उपयोग करके कथन की सत्यता को सत्यापित करने के लिए, इस तथ्य की पुष्टि करना आवश्यक है कि 2R = BC/sin A. फिर सिद्ध करें कि अन्य भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्याओं से संबंधित हैं, जैसे 2R या एक वृत्त का D.

ऐसा करने के लिए, शीर्ष B से वृत्त का व्यास खींचें। वृत्त में अंकित कोणों के गुण से, ∠GCB एक सीधी रेखा है, और ∠CGB या तो ∠CAB या (π - ∠CAB) के बराबर है। साइन के मामले में, बाद वाली परिस्थिति महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि पाप (π -α) = पाप α। उपरोक्त निष्कर्षों के आधार पर यह कहा जा सकता है कि:

पाप ∠CGB = BC/ BG या पाप A = BC/2R,

यदि हम आकृति के अन्य कोणों पर विचार करें, तो हमें ज्या प्रमेय के लिए एक विस्तारित सूत्र प्राप्त होता है:

ज्या प्रमेय के ज्ञान का अभ्यास करने के विशिष्ट कार्यों में त्रिभुज की अज्ञात भुजा या कोण का पता लगाना शामिल है।

जैसा कि उदाहरणों से देखा जा सकता है, ऐसी समस्याओं को हल करने में कठिनाई नहीं होती है और इसमें गणितीय गणना करना शामिल होता है।

गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा से ज्यामिति की समस्याओं को हल करते समय, अक्सर त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण को जानने के बाद, तीसरी भुजा खोजने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। अथवा किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानकर उसके कोण ज्ञात कीजिए। इन समस्याओं को हल करने के लिए आपको एक त्रिभुज के लिए कोज्या प्रमेय के मान की आवश्यकता होगी। इस लेख में, एक गणित और भौतिकी शिक्षक इस बारे में बात करता है कि समस्याओं को हल करते समय इस प्रमेय को कैसे तैयार किया जाता है, सिद्ध किया जाता है और व्यवहार में कैसे लागू किया जाता है।

एक त्रिभुज के लिए कोज्या प्रमेय का निरूपण

किसी त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण को उस कोण के विपरीत भुजा से जोड़ता है। उदाहरण के लिए, आइए हम त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और अक्षरों से निरूपित करें एबीसी, क्रमशः कोणों के विपरीत स्थित है ए, बीऔर सी.

फिर इस त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चित्र में, आगे की चर्चा की सुविधा के लिए, कोण साथकोण द्वारा दर्शाया गया है। शब्दों में, इसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: "त्रिभुज की किसी भी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें इन भुजाओं के बीच के कोण की कोज्या से दोगुने गुणनफल को घटाया जाता है।"

यह स्पष्ट है कि यदि आप त्रिभुज की दूसरी भुजा, उदाहरण के लिए, भुजा, को व्यक्त कर रहे थे, तो सूत्र में आपको कोण की कोज्या लेने की आवश्यकता होगी ए, अर्थात्, त्रिभुज में वांछित भुजा के विपरीत स्थित है, और समीकरण में दाईं ओर भुजाएँ और अपने स्थान पर होंगी। भुजा के वर्ग के लिए व्यंजक इसी प्रकार प्राप्त होता है:

एक त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय का प्रमाण

किसी त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय का प्रमाण आमतौर पर निम्नानुसार किया जाता है। वे मूल त्रिभुज को ऊँचाई वाले दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, और फिर परिणामी त्रिभुजों की भुजाओं और पाइथागोरस प्रमेय के साथ खेलते हैं। परिणामस्वरूप, लंबे समय तक कठिन परिवर्तनों के बाद मुझे यह मिलता है वांछित परिणाम. मुझे व्यक्तिगत रूप से यह दृष्टिकोण पसंद नहीं है। और न केवल बोझिल गणनाओं के कारण, बल्कि इसलिए भी कि इस मामले में हमें उस मामले पर अलग से विचार करना होगा जब त्रिभुज अधिक कोण वाला हो। बहुत सारी कठिनाइयां हैं.

मैं इस अवधारणा का उपयोग करके इस प्रमेय को सिद्ध करने का प्रस्ताव करता हूं " डॉट उत्पादवैक्टर।" मैं जानबूझकर अपने लिए यह जोखिम उठाता हूं, यह जानते हुए कि कई स्कूली बच्चे इस विषय से बचना पसंद करते हैं, यह मानते हुए कि यह किसी तरह से अस्पष्ट है और इससे न निपटना ही बेहतर है। लेकिन एक अधिक त्रिभुज के साथ अलग से छेड़छाड़ करने की अनिच्छा अभी भी मुझ पर हावी है। इसके अलावा, परिणामी प्रमाण आश्चर्यजनक रूप से सरल और यादगार साबित होता है। अब आप ये देखेंगे.

आइए हमारे त्रिभुज की भुजाओं को निम्नलिखित सदिशों से बदलें:

एक त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना एबीसी. एक भुजा का वर्ग उन भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है जिसमें इन भुजाओं के बीच के कोण की कोज्या से दोगुने गुणनफल को घटाया जाता है:

चूँकि, परिणाम यह है:

मतलब, । यह स्पष्ट है कि हम नकारात्मक समाधान नहीं लेते हैं, क्योंकि खंड की लंबाई एक सकारात्मक संख्या है।

आवश्यक कोण चित्र में दर्शाया गया है। आइए हम एक त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय को फिर से लिखें एबीसी. चूँकि हमने सभी अंकन को बरकरार रखा है, इस त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय को व्यक्त करने वाला सूत्र वही रहेगा:

आइए अब हम इस सूत्र में दी गई सभी मात्राओं को प्रतिस्थापित करें। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है:

सभी गणनाओं और परिवर्तनों के बाद हमें निम्नलिखित सरल अभिव्यक्ति मिलती है:

न्यून कोण का आकार क्या होना चाहिए ताकि उसकी कोज्या बराबर हो? हम तालिका को देखते हैं, जिसमें पाया जा सकता है, और हमें उत्तर मिलता है:।

त्रिभुज के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके ज्यामिति समस्याओं को इस प्रकार हल किया जाता है। यदि आप गणित में OGE या एकीकृत राज्य परीक्षा देने जा रहे हैं, तो आपको निश्चित रूप से इस सामग्री में महारत हासिल करने की आवश्यकता है। प्रासंगिक समस्याएं लगभग निश्चित रूप से परीक्षा में होंगी। उन्हें स्वयं हल करने का अभ्यास करें। निम्नलिखित कार्य पूर्ण करें:

1. एक त्रिकोण में एबीसीओर अब 4 सेमी के बराबर, भुजा ईसा पूर्व 6 सेमी के बराबर, कोण बी 30° के बराबर. पक्ष खोजें ए.सी..
2. एक त्रिकोण में एबीसीओर अब 10 के बराबर, पक्ष ईसा पूर्व 8 के बराबर, भुजा ए.सी. 9 के बराबर है। कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए ए.

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