जब व्युत्पन्न शून्य है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता।

डार्बौक्स का प्रमेय . मोनोटोनिक अंतराल।

महत्वपूर्ण बिंदु . चरम (न्यूनतम, ज्यादा से ज्यादा)।

कार्य अनुसंधान योजना।

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता के बीच संबंध। यदि फलन f(एक्स)किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर सतत है। इसका उलट सत्य नहीं है: एक निरंतर कार्य में व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।

परिणाम। यदि फ़ंक्शन किसी बिंदु पर असंतत है, तो इस बिंदु पर इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है।

किसी फ़ंक्शन की एकरसता के लिए पर्याप्त मानदंड।

अगर f’(एक्स) > 0 अंतराल के हर बिंदु पर (ए, बी), तब फलन f (एक्स)इस अंतराल में बढ़ जाती है।

अगर f’(एक्स) < 0 अंतराल के हर बिंदु पर (ए, बी) , फिर फ़ंक्शन f(एक्स)कम हो जाती है इस अंतराल पर।

डार्बौक्स का प्रमेय। वे बिंदु जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 . हैया मौजूद नहीं है, फ़ंक्शन के डोमेन को उन अंतरालों में विभाजित करें जिनके भीतर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है।

इन अंतरालों का उपयोग करके, कोई भी पा सकता है एकरसता के अंतरालकार्य करता है, जो उनके अध्ययन में बहुत महत्वपूर्ण है।

नतीजतन, फ़ंक्शन अंतराल पर बढ़ता है (-, 0) और (1, +) और अंतराल पर घटता है ( 0, 1)। दूरसंचार विभाग एक्स= 0 फ़ंक्शन की परिभाषा की सीमा में शामिल नहीं है, लेकिनएक्स k0 टर्म एक्स - 2 अनिश्चित काल तक बढ़ता है, इसलिए फ़ंक्शन भी अनिश्चित काल तक बढ़ता है। बिंदु परएक्स= 1, फ़ंक्शन मान 3 है। इस विश्लेषण के अनुसार, हम पोस्ट कर सकते हैंफ़ंक्शन का ग्राफ खोदें (अंजीर। 4 बी ) .

महत्वपूर्ण बिंदु। फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु,जिसमें व्युत्पन्न हैशून्य या मौजूद नहीं है, कहा जाता है गंभीर डॉट्सयह समारोह। किसी फ़ंक्शन का विश्लेषण करते समय और उसे प्लॉट करते समय ये बिंदु बहुत महत्वपूर्ण होते हैं, क्योंकि केवल इन बिंदुओं पर ही फ़ंक्शन हो सकता है चरम (न्यूनतम या ज्यादा से ज्यादा , अंजीर। 5 ए,बी).

बिंदुओं पर एक्स 1 , एक्स 2 (अंजीर। 5 ए) तथा एक्स 3 (अंजीर। 5 बी) व्युत्पन्न 0 है; अंक में एक्स 1 , एक्स 2 (अंजीर। 5 बी) व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। लेकिन वे सभी चरम बिंदु हैं।

एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त। अगर एक्स 0 समारोह का चरम बिंदु हैएफ(एक्स) और व्युत्पन्न f 'इस बिंदु पर मौजूद है, फिर f'(एक्स 0)= 0.

यह प्रमेय - ज़रूरीचरम स्थिति। यदि किसी बिंदु पर फलन का अवकलज 0 है,इसका मतलब यह नहीं है इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्नएफ (एक्स) = एक्स 3 बराबर 0 के लिए एक्स= 0, लेकिन इस फ़ंक्शन का इस बिंदु पर कोई चरम नहीं है (चित्र 6)।

दूसरी ओर, समारोहआप = | एक्स| , अंजीर में दिखाया गया है। 3, बिंदु पर न्यूनतम हैएक्स= 0, लेकिन व्युत्पन्न इस बिंदु पर मौजूद नहीं है।

एक चरम के लिए पर्याप्त शर्तें।

यदि व्युत्पन्न बिंदु x . से होकर गुजरता है 0 अपना चिन्ह धन से ऋण में बदलता है, तबएक्स 0 अधिकतम बिंदु है।

यदि व्युत्पन्न बिंदु x . से होकर गुजरता है 0 अपना चिह्न ऋण से धन में बदलता है, फिर x 0 न्यूनतम बिंदु है।

कार्य अनुसंधान योजना। फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के लिए, आपको चाहिए:

1) फ़ंक्शन के डोमेन और मानों की श्रेणी का पता लगाएं,

2) स्थापित करें कि फलन सम है या विषम,

3) निर्धारित करें कि फ़ंक्शन आवधिक है या नहीं,

4) फ़ंक्शन के शून्य और उसके मानों का पता लगाएंएक्स = 0,

5) निरंतरता के अंतराल खोजें,

6) एकरसता के अंतराल का पता लगाएं,

7) इन बिंदुओं पर चरम बिंदु और फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें,

8) "एकवचन" बिंदुओं के पास फ़ंक्शन के व्यवहार का विश्लेषण करें

और मॉड्यूल के बड़े मूल्यों के लिएएक्स .

उदाहरण समारोह का अन्वेषण करेंएफ(एक्स) = एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स- 2 और एक ग्राफ बनाएं।

हल आइए हम उपरोक्त योजना के अनुसार फलन की जाँच करें।

1) कार्यक्षेत्रएक्सआर (एक्स- कोई मान्यसंख्या);

मूल्यों की श्रृंखलाआपआर , चूंकि एफ (एक्स) एक विषम का बहुपद है

डिग्री;

2) समारोह एफ (एक्स) न तो सम है और न ही विषम

(कृपया समझाएँ);

3) एफ (एक्स) - गैर-आवधिक कार्य (इसे स्वयं सिद्ध करें);

4) फलन का ग्राफ अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता हैयूबिंदु पर (0, - 2),

चूंकि एफ (0) = - 2; आपको आवश्यक फ़ंक्शन के शून्य खोजने के लिए

प्रश्न हल करें:एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स - 2 = 0, जड़ों में से एक

कौन ( एक्स= 1) स्पष्ट है। अन्य जड़ें हैं

(अगर वे हैं! ) द्विघात समीकरण के हल से:

एक्स 2 + 3 एक्स+ 2 = 0, जो बहुपद को विभाजित करने पर प्राप्त होता है

एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स- 2 प्रति द्विपद ( एक्स- एक)। जांचना आसान है

अन्य दो जड़ें क्या हैं:एक्स 2 = - 2 और एक्स 3 = - 1. इस प्रकार,

फ़ंक्शन शून्य हैं: - 2, - 1 और 1.

5) इसका मतलब है कि संख्या अक्ष को इन जड़ों से विभाजित किया जाता है

स्थिरता के चार अंतराल, जिसके भीतर

फ़ंक्शन अपना संकेत बरकरार रखता है:

यह परिणाम विघटित करके प्राप्त किया जा सकता है

कारकों द्वारा बहुपद:

एक्स 3 + 2 एक्स 2 - एक्स - 2 = (एक्स + 2) (एक्स + 1 (एक्स – 1)

और काम के संकेत का आकलन .

6) व्युत्पन्न एफ ' (एक्स) = 3 एक्स 2 + 4 एक्स- 1 का कोई बिंदु नहीं है जिस पर

यह अस्तित्व में नहीं है, इसलिए इसका दायरा हैआर (सब

वास्तविक संख्याये); शून्यएफ ' (एक्स) क्या समीकरण के मूल हैं:

3 एक्स 2 + 4 एक्स- 1 = 0 .

परिणाम तालिका में संक्षेपित हैं:

ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और ज्ञान की अन्य शाखाओं की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, इस फ़ंक्शन से उसी विश्लेषणात्मक प्रक्रिया का उपयोग करना आवश्यक हो गया। वाई = एफ (एक्स)नामक एक नया फ़ंक्शन प्राप्त करें व्युत्पन्न कार्य(या केवल इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न) f (x)और प्रतीक द्वारा निरूपित किए जाते हैं

वह प्रक्रिया जिसके द्वारा दिए गए फ़ंक्शन से च (एक्स)एक नया कार्य प्राप्त करें एफ "(एक्स)कहा जाता है भेदभावऔर इसमें निम्नलिखित तीन चरण होते हैं: 1) हम तर्क देते हैं एक्सवेतन वृद्धि  एक्सऔर फ़ंक्शन की संबंधित वृद्धि का निर्धारण करें  वाई = एफ (एक्स + एक्स) -एफ (एक्स); 2) संबंध बनाना

3) विचार करना एक्सस्थिर, और  एक्स 0, हम पाते हैं
, जिसे हम द्वारा निरूपित करते हैं एफ "(एक्स), मानो इस बात पर बल देते हुए कि परिणामी फलन केवल मान पर निर्भर करता है एक्सजिस पर हम सीमा तक जाते हैं। परिभाषा: व्युत्पन्न y "= f" (x) यह फलन y = f (x) किसी दिए गए x . के लिएतर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि, निश्चित रूप से, यह सीमा मौजूद है, अर्थात। परिमित है। इस तरह,
, या

ध्यान दें कि अगर कुछ मूल्य के लिए एक्स, उदाहरण के लिए एक्स = ए, रवैया
पर  एक्स 0 एक परिमित सीमा की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो इस स्थिति में फलन को कहा जाता है च (एक्स)पर एक्स = ए(या बिंदु पर एक्स = ए) का कोई व्युत्पन्न नहीं है या बिंदु पर भिन्न नहीं है एक्स = ए.

2. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ।

बिंदु x 0 . के आस-पास अवकलनीय फलन y = f (x) के ग्राफ पर विचार करें

च (एक्स)

फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा पर विचार करें - बिंदु A (x 0, f (x 0)) और किसी बिंदु B (x; f (x)) पर ग्राफ को काटती है। ऐसी सीधी रेखा (AB) को छेदक कहा जाता है। से: = x; = у; tgβ = y / x।

चूंकि एसी || ऑक्स, तो ALO = BAC = β (समानांतर के लिए संगत)। लेकिन ALO, छेदक AB के ऑक्‍स-अक्ष की धनात्मक दिशा के झुकाव का कोण है। अत: tgβ = k सरल रेखा AB का ढाल है।

अब हम ∆х घटाएंगे, अर्थात। → 0. इस स्थिति में, बिंदु B, ग्राफ़ के अनुसार बिंदु A के पास पहुंचेगा, और छेदक AB घूमेगा। x → 0 पर छेदक AB की सीमित स्थिति सीधी रेखा (a) होगी, जिसे बिंदु A पर फलन y = f (x) के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा कहा जाता है।

यदि हम tanβ = y / ∆x की समानता में ∆х → 0 के रूप में सीमा तक जाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं
या tg = f "(x 0), क्योंकि
-ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के लिए स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण
, व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। लेकिन tg = k स्पर्शरेखा का ढाल है, जिसका अर्थ है कि k = tg = f "(x 0)।

तो, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है:

बिंदु x . पर फलन का अवकलज 0 भुज x . के साथ बिंदु पर खींचे गए फलन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है 0 .

3. व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।

एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति पर विचार करें। मान लीजिए किसी बिंदु का निर्देशांक किसी भी समय x (t) पर दिया गया है। यह ज्ञात है (भौतिकी पाठ्यक्रम से) कि समय की अवधि में औसत गति समय-समय पर तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।

वाव = x / t। आइए हम अंतिम समानता की सीमा को ∆t → 0 के रूप में पास करें।

लिम वाव (टी) = (टी 0) - समय टी 0, ∆t → 0 पर तात्कालिक गति।

और लिम = ∆x / ∆t = x "(t 0) (व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार)।

तो, (टी) = एक्स "(टी)।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्नआप = एफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर हैएफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0

व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी में समय से समन्वय के ज्ञात कार्य द्वारा गति को खोजने के लिए किया जाता है, समय से गति के ज्ञात फ़ंक्शन द्वारा त्वरण।

(टी) = एक्स "(टी) - गति,

ए (एफ) =  "(टी) - त्वरण, या

यदि किसी वृत्त में किसी भौतिक बिंदु की गति का नियम ज्ञात हो, तो आप घूर्णी गति के दौरान कोणीय वेग और कोणीय त्वरण ज्ञात कर सकते हैं:

φ = (टी) - समय के साथ कोण परिवर्तन,

ω = φ "(टी) - कोणीय वेग,

ε = φ "(टी) - कोणीय त्वरण, या ε = φ" (टी)।

यदि एक अमानवीय छड़ के द्रव्यमान के वितरण का नियम ज्ञात हो, तो अमानवीय छड़ का रैखिक घनत्व ज्ञात किया जा सकता है:

एम = एम (एक्स) - द्रव्यमान,

एक्स , एल - बार की लंबाई,

पी = एम "(एक्स) - रैखिक घनत्व।

व्युत्पन्न का उपयोग लोच और हार्मोनिक कंपन के सिद्धांत से समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। तो, हुक के नियम के अनुसार

F = -kx, x एक चर निर्देशांक है, k वसंत की लोच का गुणांक है। 2 = k / m रखने पर, हमें स्प्रिंग लोलक x "(t) + 2 x (t) = 0, का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।

जहाँ = k / m कंपन आवृत्ति (l / c) है, k वसंत की कठोरता (H / m) है।

फॉर्म का एक समीकरण у "+ 2 y = 0 हार्मोनिक कंपन (यांत्रिक, विद्युत, विद्युत चुम्बकीय) का समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों का समाधान कार्य है

आप = असिन (ωt + φ 0) या आप = एकोस (ωt + 0), जहां

- कंपन आयाम, - चक्रीय आवृत्ति,

0 - प्रारंभिक चरण।

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिया। व्युत्पन्न खोजने के क्षेत्र में सबसे पहले आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन आपको केवल इसका उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को अलग करेंऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य जुड़े हुए हैं। इसके अलावा, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न डेरिवेटिव की तालिका में पाए जाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के सूत्र भेदभाव के नियमों में पाए जाते हैं। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न तालिका और विभेदन के नियम दिए गए हैं।

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। विभेदन के नियमों से, हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं कि "x" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है। हम इन मानों को व्युत्पन्न के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण 2।किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। हम योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा शब्द, इसे व्युत्पन्न के संकेत के बाहर ले जाया जा सकता है:

यदि अभी भी प्रश्न हैं कि क्या आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों से परिचित होने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।

सरल कार्यों की व्युत्पन्न तालिका

1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200 ...) जो फंक्शन एक्सप्रेशन में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है।
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। इसे लंबे समय तक याद रखना भी जरूरी है।
3. व्युत्पन्न डिग्री। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूल को एक डिग्री में बदलने की आवश्यकता होती है।
4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. वर्गमूल का व्युत्पन्न
6. साइन का व्युत्पन्न
7. कोज्या का व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न
11. आर्ककोसाइन का व्युत्पन्न
12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
13. चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
16. घातांक का व्युत्पन्न
17. घातीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदीकरण नियम

1. योग या अंतर का व्युत्पन्न
2. कार्य का व्युत्पन्न
2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

नियम 1।यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय, फिर उसी बिंदु पर कार्य

इसके अलावा

वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर पद से भिन्न हों, तो उनके अवकलज बराबर होते हैं, अर्थात।

नियम 2.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उसी बिंदु पर उनका उत्पाद भी अवकलनीय है

इसके अलावा

वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग के बराबर है।

कोरोलरी 1. स्थिर कारक को व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है:

कोरोलरी 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न अन्य सभी कारकों के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण के लिए, तीन कारकों के लिए:

नियम 3.यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग तथा , तो इस बिंदु पर यह अवकलनीय है और उनका भागफलयू / वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न अंश के बराबर होता है, जिसका अंश भाजक के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर का वर्ग होता है पिछले अंकगणित।

अन्य पृष्ठों पर क्या देखना है

वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक ही बार में कई भेदभाव नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए लेख में इन डेरिवेटिव के और भी उदाहरण हैं।"एक कार्य और एक विशेष कार्य का व्युत्पन्न".

टिप्पणी।एक स्थिरांक (अर्थात, एक संख्या) को एक सारांश और एक स्थिर कारक के रूप में भ्रमित न करें! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाल दिया जाता है। यह एक विशिष्ट गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन कई एक या दो-घटक उदाहरणों को हल करने के बाद, औसत छात्र अब यह गलती नहीं करता है।

और अगर, किसी काम या किसी विशेष में अंतर करते समय, आपके पास एक शब्द है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (इस मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है)।

एक अन्य सामान्य गलती एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान है। इसलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख समर्पित है। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।

साथ ही, आप अभिव्यक्ति परिवर्तनों के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको ट्यूटोरियल को नई विंडो में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियातथा भिन्न के साथ क्रिया .

यदि आप घातों और जड़ों के साथ भिन्नों के व्युत्पन्नों के समाधान की तलाश कर रहे हैं, अर्थात, जब कोई फ़ंक्शन ऐसा दिखता है , फिर शक्तियों और जड़ों के साथ भिन्नों के योग का व्युत्पन्न पाठ का पालन करें।

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , फिर आपका पाठ "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न"।

चरण दर चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3.किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव के नियम को लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग के बराबर है:

इसके बाद, हम योग को अलग करने के लिए नियम लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के डेरिवेटिव के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, हमारे लिए "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हमें डेरिवेटिव के निम्नलिखित मूल्य मिलते हैं:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4.किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है, जिसका अंश भाजक के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है। हर, और हर पिछले अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह न भूलें कि उत्पाद जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा कारक है, को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप उन समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और शक्तियों का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .

यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है, अर्थात, जब फ़ंक्शन ऐसा दिखता है , फिर आपका पाठ "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .

उदाहरण 5.किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसका व्युत्पन्न हमने डेरिवेटिव की तालिका में खुद को परिचित किया है। उत्पाद के विभेदन के नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 6.किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

समाधान। इस फलन में, हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का तालिका मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को गुणा करें।

एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में कठिन विषयों में से एक है। प्रत्येक स्नातक इस प्रश्न का उत्तर नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।

यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसके लिए क्या है।... अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।

आइए परिभाषा याद रखें:

व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।

आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन तेजी से बढ़ रहा है?

उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिल गई। आइए देखें कि साल भर में उनकी आय में कैसे बदलाव आया है:

आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन थोड़ी ही। और मैटवे की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात् यौगिक, - विभिन्न। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।

सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?

हम वास्तव में देख रहे हैं कि फंक्शन ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x बदलने के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के अलग-अलग मान हो सकते हैं - यानी यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न निरूपित किया जाता है।

आइए आपको दिखाते हैं कि ग्राफ़ का उपयोग करके इसे कैसे खोजा जाए।

किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। आइए इस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लेते हैं। आइए हम इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचते हैं। हम अनुमान लगाना चाहते हैं कि फंक्शन ग्राफ कितना तेज है। इसके लिए एक सुविधाजनक मूल्य है स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शक.

एक बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि स्पर्शरेखा कार्य क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस क्षेत्र में ग्राफ के साथ एक सामान्य बिंदु है, और जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।

हम इसे ढूंढ लेंगे। हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:

हमने फ़ंक्शन फॉर्मूला को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। गणित में परीक्षा में अक्सर इस तरह की समस्याएं अंक के नीचे पाई जाती हैं।

एक और महत्वपूर्ण रिश्ता है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है

इस समीकरण में मात्रा कहलाती है सीधी रेखा का ढलान... यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

.

हमें वह मिलता है

आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।

आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।

एक बिंदु पर, समारोह बढ़ जाता है। एक बिंदु पर खींचे गए ग्राफ़ की स्पर्श रेखा एक न्यून कोण बनाती है; धुरी की सकारात्मक दिशा के साथ। इसका मतलब है कि व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।

इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो जाता है। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा एक अधिक कोण बनाती है; धुरी की सकारात्मक दिशा के साथ। चूँकि अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इसलिए बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।

यहाँ क्या होता है:

यदि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि बिंदुओं (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन में वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसका संकेत "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।

निष्कर्ष: एक व्युत्पन्न का उपयोग करके, आप किसी फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में जो कुछ भी रुचि रखते हैं, उसका पता लगा सकते हैं।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।

अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और "प्लस" से "माइनस" में साइन बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य होता है और संकेत को "माइनस" से "प्लस" में बदल देता है।

आइए इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखें:

	यह बढ़ रहा है	अधिकतम बिंदु	कम हो जाती है	न्यूनतम बिंदु	यह बढ़ रहा है
+	0	-	0	+

आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। समस्या को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

मामला तब संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई अधिकतम या न्यूनतम नहीं होता है। यह तथाकथित है :

एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालांकि, बिंदु तक फ़ंक्शन बढ़ता गया - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - जैसा कि यह सकारात्मक था, यह बना हुआ है।

ऐसा भी होता है कि व्युत्पन्न अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तेज मोड़ से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है।

और व्युत्पन्न कैसे खोजें यदि फ़ंक्शन ग्राफ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया है? इस मामले में,

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। व्यापक गाइड (2019)

पहाड़ी इलाके के माध्यम से एक सीधी सड़क की कल्पना करें। यानी यह ऊपर और नीचे जाता है, लेकिन दाएं या बाएं मुड़ता नहीं है। यदि अक्ष को क्षैतिज रूप से सड़क के साथ निर्देशित किया जाता है, और - लंबवत, तो सड़क रेखा कुछ निरंतर कार्य के ग्राफ के समान होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, जीवन में हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

ऐसी सड़क पर आगे बढ़ते हुए हम भी ऊपर या नीचे जाते हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदलता है (भुजा के साथ गति), फ़ंक्शन का मान बदल जाता है (ऑर्डिनेट के साथ आंदोलन)। अब आइए विचार करें कि हमारी सड़क की "खड़ीपन" का निर्धारण कैसे करें? यह किस प्रकार का मूल्य हो सकता है? यह बहुत आसान है: एक निश्चित दूरी पर आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी बदल जाएगी। दरअसल, सड़क के विभिन्न हिस्सों पर, एक किलोमीटर आगे (एब्सिस्सा के साथ) आगे बढ़ते हुए, हम समुद्र तल (ऑर्डिनेट के साथ) के सापेक्ष अलग-अलग मीटर की संख्या में उठेंगे या गिरेंगे।

हम आगे की गति को नामित करेंगे (यह "डेल्टा एक्स" पढ़ता है)।

ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर गणित में उपसर्ग के रूप में प्रयोग किया जाता है जिसका अर्थ है "परिवर्तन।" अर्थात् - यह मूल्य में परिवर्तन है, - एक परिवर्तन; फिर क्या है? यह सही है, परिमाण में परिवर्तन।

महत्वपूर्ण: एक व्यंजक एक एकल पूर्ण, एक चर होता है। आपको "x" या किसी अन्य अक्षर से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ना चाहिए! यानी, उदाहरण के लिए।

तो, हम आगे बढ़े हैं, क्षैतिज रूप से, आगे। यदि हम सड़क रेखा की तुलना किसी फलन के ग्राफ से करते हैं, तो हम वृद्धि को किस प्रकार निर्दिष्ट करते हैं? निश्चित रूप से, । यानी जब हम आगे बढ़ते हैं, तो हम ऊपर से ऊपर उठते हैं।

मूल्य की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद हम ऊंचाई पर थे, तो। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक बिंदु से कम है, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम ऊपर नहीं जा रहे हैं, लेकिन नीचे जा रहे हैं।

"खड़ी" पर वापस जाएं: यह एक ऐसा मान है जो इंगित करता है कि दूरी की एक इकाई आगे बढ़ने पर ऊंचाई कितनी (खड़ी) बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि पथ के किसी भाग पर, किमी से आगे बढ़ने पर, सड़क किमी से ऊपर की ओर उठती है। फिर इस बिंदु पर खड़ी है। और अगर सड़क, मी से चलते समय, किमी से डूब जाती है? फिर ढलान है।

अब एक पहाड़ी की चोटी पर विचार करें। यदि आप शीर्ष से आधा किलोमीटर पहले खंड की शुरुआत लेते हैं, और उसके बाद आधा किलोमीटर बाद, आप देख सकते हैं कि ऊंचाई व्यावहारिक रूप से समान है।

यानी हमारे लॉजिक के मुताबिक पता चलता है कि यहां की स्टीपनेस करीब-करीब जीरो है, जो साफ तौर पर सच नहीं है. बस इतना है कि किमी में दूरी पर बहुत कुछ बदल सकता है। ढलान के अधिक पर्याप्त और सटीक मूल्यांकन के लिए छोटे वर्गों पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर चलते समय ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता भी हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - आखिरकार, अगर सड़क के बीच में कोई पोस्ट है, तो हम आसानी से उसके माध्यम से फिसल सकते हैं। फिर हम कौन सी दूरी चुनेंगे? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, मिलीमीटर सटीकता के साथ दूरी को मापना पर्याप्त से अधिक है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा का आविष्कार किया गया था असीम रूप से छोटा, यानी परिमाण किसी भी संख्या से कम है जिसे हम नाम दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक ट्रिलियन! कितना कम? और आप इस संख्या को - से भाग देते हैं और यह और भी कम हो जाएगी। आदि। यदि हम यह लिखना चाहते हैं कि मान असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (हम पढ़ते हैं "x शून्य की ओर जाता है")। समझना बहुत जरूरी है कि यह संख्या शून्य नहीं है!लेकिन उनके बेहद करीब। इसका मतलब है कि आप इसके द्वारा विभाजित कर सकते हैं।

असीम रूप से छोटे के विपरीत अवधारणा असीम रूप से बड़ी है ()। असमानताओं से निपटने के दौरान आप शायद पहले ही इसमें भाग चुके हैं: यह संख्या किसी भी संख्या से अधिक मॉड्यूलो है जिसे आप सोच सकते हैं। यदि आप सबसे बड़ी संभव संख्या के साथ आते हैं, तो बस इसे दो से गुणा करें और आपको और भी अधिक मिलता है। और अनंत उससे भी बड़ा है जो तुम्हें मिलता है। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे के विपरीत होते हैं, अर्थात्, पर, और इसके विपरीत: पर।

चलिए अब वापस अपने रास्ते पर चलते हैं। आदर्श रूप से गणना की गई ढलान पथ के एक असीम रूप से छोटे खंड के लिए गणना की गई वक्रता है, जो है:

ध्यान दें कि अपरिमित रूप से छोटे विस्थापन के साथ, ऊँचाई में परिवर्तन भी अपरिमित रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिला दूं कि असीम रूप से छोटे का मतलब शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप अतिसूक्ष्म संख्याओं को एक दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आप पूरी तरह से सामान्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,। अर्थात्, एक छोटा मान दूसरे से ठीक दोगुना बड़ा हो सकता है।

यह सब किस लिए है? सड़क, ढलान ... हम मोटर रैली पर नहीं जा रहे हैं, लेकिन हम गणित पढ़ा रहे हैं। और गणित में सब कुछ बिल्कुल एक जैसा होता है, बस इसे अलग तरह से कहा जाता है।

व्युत्पन्न अवधारणा

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क के एक अनंतिम वेतन वृद्धि पर तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात है।

वेतन वृद्धि सेगणित में परिवर्तन को कहते हैं। अक्ष पर चलते हुए तर्क () कितना बदल गया है, कहलाता है तर्क वृद्धिऔर निरूपित किया जाता है कि दूरी से अक्ष के साथ आगे बढ़ने पर फ़ंक्शन (ऊंचाई) किस हद तक बदल गया है, कहा जाता है समारोह वृद्धिऔर द्वारा इंगित किया गया है।

तो, एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न संबंध है at पर। हम व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के समान अक्षर से निरूपित करते हैं, केवल शीर्ष दाईं ओर एक अभाज्य के साथ: या बस। तो, आइए इन संकेतन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखें:

जैसा कि सड़क के साथ सादृश्य में, यहाँ, जैसे-जैसे फ़ंक्शन बढ़ता है, व्युत्पन्न धनात्मक होता है, और जैसे-जैसे फ़ंक्शन घटता है, यह ऋणात्मक होता है।

क्या शून्य के बराबर कोई व्युत्पन्न है? निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, यदि हम समतल, क्षैतिज सड़क पर गाड़ी चला रहे हैं, तो ढलान शून्य है। दरअसल, ऊंचाई बिल्कुल नहीं बदलती है। तो यह व्युत्पन्न के साथ है: एक स्थिर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है:

चूंकि इस तरह के एक समारोह की वृद्धि किसी के लिए शून्य है।

आइए याद करते हैं पहाड़ी की चोटी का उदाहरण। वहां यह पता चला कि खंड के सिरों को शीर्ष के विपरीत किनारों पर व्यवस्थित करना संभव था ताकि सिरों पर ऊंचाई समान हो, अर्थात खंड अक्ष के समानांतर हो:

लेकिन बड़े हिस्से गलत माप का संकेत हैं। हम अपने सेगमेंट को अपने समानांतर ऊपर उठाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंततः, जब हम अनंत रूप से शीर्ष के करीब होंगे, तो खंड की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह अक्ष के समानांतर बना रहा, यानी इसके सिरों पर ऊंचाई में अंतर शून्य के बराबर है (यह प्रवृत्ति नहीं है, लेकिन यह बराबर है)। इसलिए, व्युत्पन्न

आप इसे इस तरह समझ सकते हैं: जब हम सबसे ऊपर खड़े होते हैं, तो बाईं या दाईं ओर एक छोटा सा बदलाव हमारी ऊंचाई को नगण्य रूप से बदल देता है।

एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय व्याख्या भी है: शीर्ष के बाईं ओर, फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर, यह घटता है। जैसा कि हम पहले ही जान चुके हैं कि जैसे-जैसे फलन बढ़ता है, व्युत्पन्न धनात्मक होता है और जैसे-जैसे फलन घटता है, यह ऋणात्मक होता है। लेकिन यह बिना छलांग के आसानी से बदल जाता है (क्योंकि सड़क अपनी ढलान को कहीं भी अचानक नहीं बदलती है)। इसलिए, आवश्यक रूप से नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। यह वह जगह होगी जहां फ़ंक्शन न तो बढ़ता है और न ही घटता है - शीर्ष बिंदु पर।

तल के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां फ़ंक्शन बाईं ओर घटता है और दाईं ओर बढ़ता है):

वेतन वृद्धि पर थोड़ा और विवरण।

इसलिए हम तर्क को मूल्य में बदलते हैं। किस मूल्य से बदलें? वह (तर्क) अब क्या है? हम कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, और अब हम उससे नृत्य करेंगे।

एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फंक्शन का मान है। फिर हम वही वेतन वृद्धि करते हैं: हम निर्देशांक बढ़ाते हैं। अब किसके बराबर का तर्क है? बहुत आसान: । अब फ़ंक्शन का मूल्य क्या है? जहां तर्क जाता है, वहीं कार्य करता है:। फ़ंक्शन वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी वह राशि है जिसके द्वारा फ़ंक्शन बदला गया है:

वेतन वृद्धि खोजने का अभ्यास करें:

1. बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं, जिसमें तर्क वृद्धि के बराबर है।
2. वही बिंदु पर समारोह के लिए जाता है।

समाधान:

तर्क के समान वेतन वृद्धि के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर, फ़ंक्शन की वृद्धि अलग-अलग होगी। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न अलग है (हमने शुरुआत में ही इस पर चर्चा की थी - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की ढलान अलग है)। इसलिए, जब हम व्युत्पन्न लिखते हैं, तो हमें किस बिंदु पर इंगित करना चाहिए:

ऊर्जा समीकरण।

एक पावर फ़ंक्शन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक होता है (तार्किक, हुह?)

और - किसी भी हद तक:।

सबसे सरल मामला तब होता है जब घातांक:

आइए बिंदु पर इसका व्युत्पन्न खोजें। आइए व्युत्पन्न की परिभाषा याद रखें:

तो, तर्क से बदल जाता है। फ़ंक्शन की वृद्धि क्या है?

वृद्धि यह है। लेकिन किसी भी बिंदु पर फलन उसके तर्क के बराबर होता है। इसलिए:

व्युत्पन्न इसके बराबर है:

का व्युत्पन्न इसके बराबर है:

b) अब द्विघात फलन () पर विचार करें।

आइए अब इसे याद करते हैं। इसका मतलब यह है कि वेतन वृद्धि के मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन है:

तो, हमारे पास अगला नियम है:

ग) हम तार्किक श्रृंखला जारी रखते हैं:।

इस व्यंजक को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: योग के घन के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके पहले कोष्ठक का विस्तार करें, या घनों के बीच अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके संपूर्ण व्यंजक को गुणन करें। सुझाए गए किसी भी तरीके से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो मैं निम्नलिखित के साथ समाप्त हुआ:

और फिर, याद रखें। इसका मतलब है कि आप उन सभी शर्तों की उपेक्षा कर सकते हैं जिनमें शामिल हैं:

हम पाते हैं:।

डी) उच्च डिग्री के लिए समान नियम प्राप्त किए जा सकते हैं:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाना घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, एक पूर्णांक भी नहीं:

(2)

नियम को शब्दों के साथ तैयार किया जा सकता है: "डिग्री को एक गुणांक के रूप में आगे रखा जाता है, और फिर यह घट जाता है"।

हम इस नियम को बाद में (लगभग अंत में) सिद्ध करेंगे। आइए अब कुछ उदाहरण देखें। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. (दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके - फ़ंक्शन की वृद्धि की गणना करके);

1. ... मानो या न मानो, यह एक शक्ति कार्य है। यदि आपके कोई प्रश्न हैं जैसे "यह कैसा है? और डिग्री कहाँ है? ”, विषय याद रखें“ ”!
   हाँ, जड़ भी एक अंश है, केवल भिन्नात्मक:।
   तो हमारा वर्गमूल एक घातांक के साथ सिर्फ एक शक्ति है:
   .
   हम हाल ही में सीखे गए सूत्र के अनुसार व्युत्पन्न की तलाश कर रहे हैं:

   यदि इस स्थान पर यह फिर से अस्पष्ट हो जाता है, तो "" विषय दोहराएं !!! (ऋणात्मक घातांक के साथ डिग्री के बारे में)

2. ... अब प्रतिपादक:

   और अब परिभाषा के माध्यम से (क्या आप अभी तक भूल गए हैं?):
   ;
   .
   अब, हमेशा की तरह, हम इस शब्द की उपेक्षा करते हैं:
   .

3. ... पिछले मामलों का एक संयोजन:।

त्रिकोणमितीय फलन।

यहां हम उच्च गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

जब अभिव्यक्ति।

आप संस्थान के पहले वर्ष में सबूत सीखेंगे (और वहां पहुंचने के लिए, आपको परीक्षा अच्छी तरह से पास करनी होगी)। अब मैं इसे केवल ग्राफिक रूप से दिखाऊंगा:

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन के लिए मौजूद नहीं है - ग्राफ़ पर बिंदु पंचर है। लेकिन मूल्य के जितना करीब होता है, कार्य उतना ही करीब होता है।यह बहुत "आकांक्षा" है।

इसके अतिरिक्त, आप कैलकुलेटर का उपयोग करके इस नियम की जांच कर सकते हैं। हाँ, हाँ, शरमाओ मत, कैलकुलेटर लो, हम अभी परीक्षा में नहीं हैं।

तो चलो कोशिश करें:;

कैलकुलेटर को "रेडियंस" मोड में रखना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि जितना छोटा होगा, अनुपात का मान उतना ही अधिक होगा।

ए) समारोह पर विचार करें। हमेशा की तरह, आइए इसके वेतन वृद्धि का पता लगाएं:

आइए ज्या के अंतर को उत्पाद में बदलें। इसके लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं (विषय "" याद रखें):।

अब व्युत्पन्न:

आइए एक प्रतिस्थापन करें:। फिर, असीम रूप से छोटे के लिए, यह भी असीम रूप से छोटा है:। के लिए अभिव्यक्ति रूप लेती है:

अब याद रखें कि जब अभिव्यक्ति। और यह भी, क्या होगा यदि योग (अर्थात, पर) में एक असीम रूप से छोटी मात्रा की उपेक्षा की जा सकती है।

तो, हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: साइन व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है:

ये आधार ("सारणीबद्ध") डेरिवेटिव हैं। यहाँ वे एक सूची में हैं:

बाद में हम उनमें कुछ और जोड़ेंगे, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि इनका उपयोग अक्सर किया जाता है।

अभ्यास:

1. बिंदु पर फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
2. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

1. सबसे पहले, हम व्युत्पन्न को सामान्य रूप में पाते हैं, और उसके बाद इसके मूल्य को प्रतिस्थापित करते हैं:
   ;
   .
2. यहां हमारे पास पावर फंक्शन के समान कुछ है। आइए उसे लाने की कोशिश करें
   सामान्य दृश्य:
   .
   बढ़िया, अब आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
   .
   .
3. ... ईईईईई ... .. यह क्या है ????

ठीक है, आप सही कह रहे हैं, हम अभी तक नहीं जानते कि इस तरह के डेरिवेटिव कैसे खोजें। यहां हमारे पास कई प्रकार के कार्यों का संयोजन है। उनके साथ काम करने के लिए, आपको कुछ और नियम सीखने होंगे:

घातांक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में एक ऐसा फलन होता है, जिसका व्युत्पन्न किसी के लिए स्वयं फलन के मान के बराबर होता है। इसे "घातांक" कहा जाता है, और यह एक घातांकीय फलन है

इस फ़ंक्शन का आधार - एक स्थिर - एक अनंत दशमलव अंश है, जो एक अपरिमेय संख्या (जैसे) है। इसे "यूलर की संख्या" कहा जाता है, और इसलिए इसे एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

तो नियम है:

याद रखना बहुत आसान है।

ठीक है, चलो दूर मत जाओ, हम तुरंत उलटा कार्य पर विचार करेंगे। कौन-सा फलन घातांकीय फलन का विलोम है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार एक संख्या है:

इस तरह के एक लघुगणक (अर्थात, आधार के साथ एक लघुगणक) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और हम इसके लिए एक विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं: इसके बजाय लिखें।

किसके बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत सरल है:

उदाहरण:

1. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

उत्तर: व्युत्पन्न के दृष्टिकोण से घातांक और प्राकृतिक लघुगणक विशिष्ट रूप से सरल कार्य हैं। किसी अन्य आधार के साथ घातीय और लघुगणकीय कार्यों का एक अलग व्युत्पन्न होगा, जिसका हम बाद में विश्लेषण करेंगे, जब हम भेदभाव के नियमों से गुजरेंगे।

विभेदीकरण नियम

किस बात का नियम? फिर से एक नया शब्द, फिर से?! ...

भेदभावएक व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

बस इतना ही। इस प्रक्रिया को एक शब्द में और कैसे कहें? व्युत्पत्ति नहीं ... गणित के अंतर को फ़ंक्शन के समान वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन डिफरेंशियल - डिफरेंशियल से आया है। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्राप्त करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनकी वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता है:

कुल 5 नियम हैं।

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिह्न से बाहर ले जाया जाता है।

अगर कुछ अचर संख्या (स्थिर) है, तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए भी काम करता है:।

आइए इसे साबित करें। चलो, या आसान।

उदाहरण।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1. बिंदु पर;
2. बिंदु पर;
3. बिंदु पर;
4. बिंदु पर।

समाधान:

1. (व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर समान है, क्योंकि यह एक रैखिक कार्य है, याद रखें?);

किसी कार्य का व्युत्पन्न

यहां सब कुछ समान है: हम एक नया फ़ंक्शन पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

1. कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
2. बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।

समाधान:

घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

अब आपका ज्ञान यह जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी घातांक फलन का व्युत्पन्न कैसे खोजा जाए, न कि केवल घातांक (क्या आप भूल गए हैं कि यह क्या है?)

तो, कुछ संख्या कहाँ है।

हम पहले से ही फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को जानते हैं, तो आइए अपने फ़ंक्शन को एक नए मूलांक में डालने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक साधारण नियम का उपयोग करेंगे:। फिर:

अच्छा, यह काम किया। अब व्युत्पन्न खोजने का प्रयास करें, और यह न भूलें कि यह फ़ंक्शन मुश्किल है।

हो गई?

यहां, अपने आप को जांचें:

सूत्र घातांक के व्युत्पन्न के समान निकला: जैसा था, वैसा ही रहता है, केवल एक गुणक दिखाई देता है, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

उत्तर:

यह केवल एक संख्या है जिसकी गणना बिना कैलकुलेटर के नहीं की जा सकती है, अर्थात इसे सरल रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इसलिए, उत्तर में हम इसे इस रूप में छोड़ देते हैं।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

यहाँ यह समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को जानते हैं:

इसलिए, एक अलग आधार के साथ लघुगणक में से एक मनमाना खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

आपको इस लघुगणक को आधार पर लाने की आवश्यकता है। आप लघुगणक का आधार कैसे बदलते हैं? मुझे आशा है कि आपको यह सूत्र याद होगा:

केवल अब, इसके बजाय हम लिखेंगे:

हर सिर्फ एक स्थिरांक (स्थिर संख्या, कोई चर नहीं) है। व्युत्पन्न बहुत सरल है:

परीक्षा में घातीय और लघुगणकीय कार्यों के व्युत्पन्न लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न।

एक "जटिल कार्य" क्या है? नहीं, यह लघुगणक नहीं है, और चाप स्पर्शरेखा नहीं है। इन कार्यों को समझना मुश्किल हो सकता है (हालाँकि यदि लघुगणक आपको कठिन लगता है, तो "लघुगणक" विषय पढ़ें और सब कुछ बीत जाएगा), लेकिन गणित के दृष्टिकोण से, "मुश्किल" शब्द का अर्थ "मुश्किल" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर बेल्ट की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ किसी तरह की कार्रवाई कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहला चॉकलेट बार को रैपर में लपेटता है, और दूसरा इसे रिबन से बांधता है। यह एक ऐसी मिश्रित वस्तु निकलती है: एक चॉकलेट बार लिपटे और एक रिबन से बंधा हुआ। चॉकलेट बार खाने के लिए, आपको उल्टे क्रम में उल्टे चरणों को करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय पाइपलाइन बनाएं: पहले हम किसी संख्या की कोज्या ज्ञात करेंगे, और फिर हम परिणामी संख्या का वर्ग करेंगे। तो, हमें एक नंबर (चॉकलेट बार) दिया जाता है, मुझे इसकी कोसाइन (आवरण) मिलती है, और फिर आप मेरे पास जो कुछ भी है उसे स्क्वायर करते हैं (आप इसे रिबन से बांधते हैं)। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण है: जब, इसका मान ज्ञात करने के लिए, हम पहली क्रिया सीधे वेरिएबल के साथ करते हैं, और फिर दूसरी क्रिया पहले के परिणाम के साथ करते हैं।

हम समान क्रियाओं को उल्टे क्रम में अच्छी तरह से कर सकते हैं: पहले आप वर्ग करें, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोज्या की तलाश करता हूं:। यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब आप क्रियाओं का क्रम बदलते हैं, तो फ़ंक्शन बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक ऐसा कार्य है जिसका तर्क एक अन्य कार्य है: .

पहले उदाहरण के लिए,.

दूसरा उदाहरण: (वही)। ...

जो क्रिया हम अंतिम करते हैं, वह कहलाती है "बाहरी" समारोह, और पहले की गई कार्रवाई - क्रमशः "आंतरिक" समारोह(ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं इनका उपयोग केवल सामग्री को सरल भाषा में समझाने के लिए करता हूं)।

अपने लिए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करना चर बदलने के समान है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन में

1. करने के लिए पहली कार्रवाई क्या है? सबसे पहले, हम ज्या की गणना करेंगे, और उसके बाद ही हम इसे एक घन तक बढ़ाएंगे। इसका मतलब है कि यह एक आंतरिक कार्य है, लेकिन एक बाहरी कार्य है।
   और मूल कार्य उनकी रचना है:।
2. अंदर का:; बाहरी:।
   इंतिहान: ।
3. अंदर का:; बाहरी:।
   इंतिहान: ।
4. अंदर का:; बाहरी:।
   इंतिहान: ।
5. अंदर का:; बाहरी:।
   इंतिहान: ।

हम चर बदलते हैं और एक फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपने चॉकलेट बार को निकालेंगे - एक व्युत्पन्न की तलाश करें। प्रक्रिया हमेशा उलट जाती है: पहले हम बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, फिर हम परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं। मूल उदाहरण के संबंध में, यह इस तरह दिखता है:

एक और उदाहरण:

तो, आइए अंत में एक आधिकारिक नियम तैयार करें:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

सब कुछ सरल लगता है, है ना?

आइए उदाहरणों के साथ जांचें:

समाधान:

1) आंतरिक:;

बाहरी:;

2) आंतरिक:;

(बस अब तक कम करने की कोशिश मत करो! कोसाइन के नीचे से कुछ भी नहीं निकाला जा सकता है, याद है?)

3) आंतरिक:;

बाहरी:;

यह तुरंत स्पष्ट है कि यहां तीन-स्तरीय जटिल कार्य है: आखिरकार, यह पहले से ही अपने आप में एक जटिल कार्य है, और इससे हम जड़ भी निकालते हैं, अर्थात हम तीसरी क्रिया करते हैं (हम चॉकलेट को अंदर डालते हैं) एक आवरण और एक रिबन के साथ एक ब्रीफकेस में डाल दिया)। लेकिन डरने का कोई कारण नहीं है: वैसे भी, हम इस फ़ंक्शन को हमेशा की तरह उसी क्रम में "अनपैक" करेंगे: अंत से।

अर्थात्, पहले हम मूल में अंतर करते हैं, फिर कोसाइन, और उसके बाद ही कोष्ठक में व्यंजक। और फिर हम यह सब गुणा करते हैं।

ऐसे मामलों में, चरणों को गिनना सुविधाजनक होता है। अर्थात्, आइए कल्पना करें कि हम क्या जानते हैं। इस व्यंजक के मान की गणना करने के लिए हम किस क्रम में क्रिया करेंगे? आइए एक उदाहरण लेते हैं:

बाद में कार्रवाई की जाती है, संबंधित कार्य जितना अधिक "बाहरी" होगा। क्रियाओं का क्रम - पहले की तरह:

यहां नेस्टिंग आमतौर पर 4-लेवल की होती है। आइए कार्रवाई के एक पाठ्यक्रम को परिभाषित करें।

1. एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति। ...

2. जड़। ...

3. साइनस। ...

4. स्क्वायर। ...

5. सब कुछ एक साथ रखना:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य के बारे में

एक समारोह का व्युत्पन्न- तर्क के एक असीम रूप से छोटे वेतन वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात:

मूल व्युत्पन्न:

भेदभाव नियम:

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिह्न के बाहर ले जाया जाता है:

राशि का व्युत्पन्न:

कार्य का व्युत्पन्न:

भागफल का व्युत्पन्न:

एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न:

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
2. हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम पहले और दूसरे अंक के परिणामों को गुणा करते हैं।