तीन भुजाओं का उपयोग करके एक त्रिभुज की गणना। त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। त्रिभुज सूत्र

जीवन में कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ आती हैं जब आपको लंबे समय से भूले हुए स्कूली ज्ञान की तलाश में अपनी स्मृति में जाना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आपको त्रिकोणीय आकार की भूमि का क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है, या किसी अपार्टमेंट या निजी घर में एक और नवीनीकरण का समय आ गया है, और आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि सतह के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी एक त्रिकोणीय आकार. एक समय था जब आप ऐसी समस्या को कुछ मिनटों में हल कर सकते थे, लेकिन अब आप यह याद करने की बेताबी से कोशिश कर रहे हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित करें?

इसके बारे में चिंता मत करो! आख़िरकार, यह बिल्कुल सामान्य है जब किसी व्यक्ति का मस्तिष्क लंबे समय से अप्रयुक्त ज्ञान को किसी सुदूर कोने में स्थानांतरित करने का निर्णय लेता है, जहाँ से कभी-कभी इसे निकालना इतना आसान नहीं होता है। ताकि आपको ऐसी समस्या को हल करने के लिए भूले हुए स्कूली ज्ञान को खोजने में संघर्ष न करना पड़े, इस लेख में बताया गया है विभिन्न तरीके, जिससे त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान हो जाता है।

यह सर्वविदित है कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है जो भुजाओं की न्यूनतम संभव संख्या तक सीमित होता है। सिद्धांत रूप में, किसी भी बहुभुज को उसके शीर्षों को ऐसे खंडों से जोड़कर कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जो उसकी भुजाओं को नहीं काटते हैं। इसलिए, त्रिभुज को जानकर, आप लगभग किसी भी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

जीवन में घटित होने वाले सभी संभावित त्रिभुजों में से, निम्नलिखित विशेष प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: और आयताकार।

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका तब होता है जब उसका एक कोण समकोण हो, अर्थात समकोण त्रिभुज के मामले में। यह देखना आसान है कि यह आधा आयत है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल एक दूसरे से समकोण बनाने वाली भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर है।

यदि हम किसी त्रिभुज की ऊंचाई जानते हैं, जो उसके एक शीर्ष से विपरीत दिशा तक कम है, और इस भुजा की लंबाई, जिसे आधार कहा जाता है, तो क्षेत्रफल की गणना ऊंचाई और आधार के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा गया है:

एस = 1/2*बी*एच, जिसमें

S त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल है;

बी, एच - क्रमशः, त्रिकोण की ऊंचाई और आधार।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना बहुत आसान है क्योंकि ऊँचाई विपरीत भुजा को समद्विभाजित करेगी और इसे आसानी से मापा जा सकता है। यदि क्षेत्रफल निर्धारित है, तो समकोण बनाने वाली किसी एक भुजा की लंबाई को ऊंचाई के रूप में लेना सुविधाजनक है।

यह सब बेशक अच्छा है, लेकिन यह कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज का कोई एक कोण समकोण है या नहीं? यदि हमारी आकृति का आकार छोटा है, तो आप एक निर्माण कोण, एक ड्राइंग त्रिकोण, एक पोस्टकार्ड या अन्य वस्तु का उपयोग कर सकते हैं आयताकार आकार.

लेकिन क्या होगा अगर हमारे पास एक त्रिकोणीय है भूमि का भाग? इस मामले में, निम्नानुसार आगे बढ़ें: अपेक्षित के शीर्ष से गिनती करें समकोणएक तरफ की दूरी 3 (30 सेमी, 90 सेमी, 3 मीटर) की गुणज है, और दूसरी तरफ की दूरी 4 (40 सेमी, 160 सेमी, 4 मीटर) के गुणज में समान अनुपात में मापी गई है। अब आपको इन दो खंडों के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी मापने की आवश्यकता है। यदि परिणाम 5 (50 सेमी, 250 सेमी, 5 मीटर) का गुणज है, तो हम कह सकते हैं कि कोण समकोण है।

यदि हमारी आकृति की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इसे सरल रूप देने के लिए एक नये मान का प्रयोग किया जाता है, जिसे अर्ध-परिधि कहते हैं। यह आधे में विभाजित हमारे त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है। अर्ध-परिधि की गणना करने के बाद, आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करना शुरू कर सकते हैं:

एस = sqrt(पी(पी-ए)(पी-बी)(पी-सी)), कहां

वर्ग - वर्गमूल;

पी - अर्ध-परिधि मान (पी = (ए+बी+सी)/2);

ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे (भुजाएँ)।

लेकिन अगर त्रिकोण हो तो क्या होगा अनियमित आकार? यहां दो संभावित तरीके हैं. उनमें से पहला है ऐसी आकृति को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करने का प्रयास करना, जिनके क्षेत्रफलों का योग अलग से गणना किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। या, यदि दो भुजाओं के बीच का कोण और इन भुजाओं का आकार ज्ञात हो, तो सूत्र लागू करें:

एस = 0.5 * एबी * सिनसी, कहां

ए,बी - त्रिभुज की भुजाएँ;

c इन भुजाओं के बीच के कोण का आकार है।

बाद वाला मामला व्यवहार में दुर्लभ है, लेकिन फिर भी, जीवन में सब कुछ संभव है, इसलिए उपरोक्त सूत्र अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। आपकी गणना में शुभकामनाएँ!

त्रिभुज सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम पहले ही परिचित हो चुके हैं प्राथमिक स्कूल. ज्यामिति पाठों में प्रत्येक छात्र के सामने यह प्रश्न आता है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। तो, किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की किन विशेषताओं से पहचाना जा सकता है? इस लेख में हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों को देखेंगे, और त्रिकोणों के प्रकारों का भी विश्लेषण करेंगे।

त्रिभुजों के प्रकार

आप त्रिभुज का क्षेत्रफल बिल्कुल ज्ञात कर सकते हैं अलग - अलग तरीकों से, क्योंकि ज्यामिति में तीन कोणों वाली एक से अधिक प्रकार की आकृतियाँ होती हैं। इन प्रकारों में शामिल हैं:

• कुंठित.
• समबाहु (सही)
• सही त्रिकोण।
• समद्विबाहु।

आइए उनमें से प्रत्येक पर करीब से नज़र डालें मौजूदा प्रकारत्रिकोण.

ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय यह ज्यामितीय आकृति सबसे आम मानी जाती है। जब एक मनमाना त्रिभुज बनाने की आवश्यकता उत्पन्न होती है, तो यह विकल्प बचाव में आता है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, जैसा कि नाम से पता चलता है, सभी कोण न्यूनकोण होते हैं और इनका योग 180° होता है।

इस प्रकार का त्रिभुज भी बहुत सामान्य है, लेकिन न्यूनकोण त्रिभुज की तुलना में कुछ हद तक कम सामान्य है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, इसकी कई भुजाएँ और कोण ज्ञात हैं और आपको शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता है), कभी-कभी आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक है या नहीं। कोसाइन एक ऋणात्मक संख्या है.

बी, कोणों में से एक का मान 90° से अधिक है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15° या 3° भी)।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इस प्रकार का, आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा, जिनके बारे में हम आगे बात करेंगे।

नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज

नियमित बहुभुजएक आकृति है जिसमें n कोण शामिल हैं और जिनकी भुजाएँ और कोण सभी बराबर हैं। यह एक नियमित त्रिभुज है। चूँकि एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, तो तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° का होता है।

एक नियमित त्रिभुज को उसके गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहा जाता है।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक नियमित त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और इसके चारों ओर केवल एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और उनके केंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।

समबाहु प्रकार के अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज को भी अलग किया जा सकता है, जो इससे थोड़ा अलग है। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण सटे होते हैं) आधार होती है।

चित्र एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF को दर्शाता है जिसके कोण D और F बराबर हैं और DF आधार है।

सही त्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोण समकोण है, अर्थात 90° के बराबर। अन्य दो कोणों का योग 90° होता है।

ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, 90° के कोण के विपरीत स्थित, कर्ण है, जबकि शेष दो भुजाएँ पैर हैं। इस प्रकार के त्रिभुज के लिए, पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:

पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।

यह चित्र कर्ण AC और पैरों AB और BC के साथ एक समकोण त्रिभुज BAC दिखाता है।

समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने की आवश्यकता है।

आइए किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर आगे बढ़ें।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के मूल सूत्र

ज्यामिति में, दो सूत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, अर्थात् न्यून, अधिक, नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज. आइए उनमें से प्रत्येक पर नजर डालें।

अगल-बगल और ऊंचाई से

जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र सार्वभौमिक है। ऐसा करने के लिए, किनारे की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। स्वयं सूत्र (आधार और ऊंचाई का आधा गुणनफल) इस प्रकार है:

जहां A किसी दिए गए त्रिभुज की भुजा है, और H त्रिभुज की ऊंचाई है।

उदाहरण के लिए, एक न्यूनकोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करना होगा और परिणामी मान को दो से विभाजित करना होगा।

हालाँकि, इस तरह से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको इसकी एक भुजा का विस्तार करना होगा और उसके बाद ही उस पर एक ऊंचाई खींचनी होगी।

व्यवहार में, इस सूत्र का उपयोग दूसरों की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

दोनों तरफ और कोने पर

यह सूत्र, पिछले सूत्र की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। अर्थात्, विचाराधीन सूत्र पिछले सूत्र से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसका सूत्रीकरण इस प्रकार दिखता है:

एस = ½*sinO*ए*बी,

जहाँ A और B त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और O भुजा A और B के बीच का कोण है।

आइए हम याद करें कि किसी कोण की ज्या को उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी. एम. ब्रैडिस के नाम पर बनाई गई एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है।

अब आइए अन्य सूत्रों पर चलते हैं जो केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त हैं।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

सार्वभौमिक सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊंचाई खोजने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों से पाया जा सकता है।

इस प्रकार, समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है, या:

जहाँ a और b एक समकोण त्रिभुज के पैर हैं।

नियमित त्रिकोण

इस प्रकारज्यामितीय आकृतियाँ इस मायने में भिन्न हैं कि इसका क्षेत्रफल इसकी केवल एक भुजा के संकेतित मान से पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। इसलिए, जब "भुजाओं के बराबर होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ए 2 *√3/4,

जहाँ A समबाहु त्रिभुज की भुजा है।

बगुला का सूत्र

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति की तीनों भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है। बगुला का सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एस = √पी·(पी - ए)·(पी - बी)·(पी - सी),

जहाँ a, b और c किसी दिए गए त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

कभी-कभी समस्या दी जाती है: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करना है।" में इस मामले मेंहमें एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने और उससे भुजा (या उसके वर्ग) का मान निकालने के लिए उस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है जो हम पहले से जानते हैं:

ए 2 = 4एस / √3.

परीक्षा कार्य

गणित में जीआईए समस्याओं में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, अक्सर चेकर्ड पेपर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक होता है।

इस मामले में, आकृति के किसी एक पक्ष की ऊंचाई खींचना, कोशिकाओं से इसकी लंबाई निर्धारित करना और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है:

अतः लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद आपको किसी भी प्रकार की त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में कोई परेशानी नहीं होगी।

क्षेत्रफल की अवधारणा

किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग जैसी आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे जिसकी भुजा एक के बराबर हो। पूर्णता के लिए, आइए हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करें।

संपत्ति 1:अगर ज्यामितीय आकारबराबर हैं, तो उनका क्षेत्रफल भी बराबर है।

संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उसके सभी घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

जाहिर है, त्रिभुज की एक भुजा एक आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ है (क्योंकि इसमें $5$ कोशिकाएँ हैं) और दूसरी $6$ है (क्योंकि इसमें $6$ कोशिकाएँ हैं)। अत: इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है

तब त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होता है

उत्तर: $15$.

इसके बाद, हम त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, हेरोन के सूत्र और एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।

किसी त्रिभुज की ऊंचाई और आधार का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई और उस भुजा की ऊँचाई के गुणनफल के आधे के रूप में पाया जा सकता है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है

$S=\frac(1)(2)αh$

जहां $a$ भुजा की लंबाई है, $h$ उस पर खींची गई ऊंचाई है।

सबूत।

एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जिसमें $AC=α$ है। इस तरफ ऊँचाई $BH$ खींची गई है, जो $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएं।

आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

इसलिए, संपत्ति 2 द्वारा त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल बराबर है

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 2

यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है तो नीचे दिए गए चित्र में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

इस त्रिभुज का आधार $9$ के बराबर है (क्योंकि $9$ $9$ वर्ग है)। ऊंचाई भी $9$ है. फिर, प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

उत्तर: $40.5$.

बगुला का सूत्र

प्रमेय 2

यदि हमें किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

इन दोनों संबंधों से हमें समानता प्राप्त होती है

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

चूँकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, तो $α+β+γ=2ρ$, जिसका अर्थ है

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

निर्देश

पार्टियाँऔर कोणों को मूल तत्व माना जाता है ए. एक त्रिभुज पूरी तरह से इसके निम्नलिखित मूल तत्वों में से किसी एक द्वारा परिभाषित होता है: या तो तीन भुजाएँ, या एक भुजा और दो कोण, या दो भुजाएँ और उनके बीच का एक कोण। अस्तित्व के लिए त्रिकोणतीन पक्षों ए, बी, सी द्वारा दिया गया, यह असमानताओं नामक असमानताओं को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है त्रिकोण:
ए+बी > सी,
ए+सी > बी,
बी+सी > ए.

निर्माण करने के लिए त्रिकोणतीन तरफ ए, बी, सी पर, कंपास का उपयोग करके खंड सीबी = ए के बिंदु सी से त्रिज्या बी का एक वृत्त खींचना आवश्यक है। फिर इसी प्रकार बिंदु B से त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए पक्ष के बराबरसी। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु A वांछित का तीसरा शीर्ष है त्रिकोणएबीसी, जहां एबी=सी, सीबी=ए, सीए=बी - भुजाएं त्रिकोण. समस्या यह है कि यदि भुजाएँ a, b, c, असमानताओं को संतुष्ट करती हैं त्रिकोणचरण 1 में निर्दिष्ट.

क्षेत्र एस का निर्माण इस प्रकार किया गया त्रिकोणएबीसी के साथ ज्ञात पार्टियाँए, बी, सी, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना की गई:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
जहाँ a, b, c भुजाएँ हैं त्रिकोण, पी - अर्ध-परिधि।
पी = (ए+बी+सी)/2

यदि कोई त्रिभुज समबाहु है, अर्थात उसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं (a=b=c).क्षेत्रफल त्रिकोणसूत्र द्वारा गणना:
S=(a^2 v3)/4

यदि त्रिभुज समकोण है, अर्थात इसका एक कोण 90° के बराबर है, और इसे बनाने वाली भुजाएँ पैर हैं, तो तीसरी भुजा कर्ण है। इस मामले में वर्गदो से विभाजित पैरों के गुणनफल के बराबर होता है।
एस=अब/2

ढूँढ़ने के लिए वर्ग त्रिकोण, आप कई सूत्रों में से एक का उपयोग कर सकते हैं। जो डेटा पहले से ज्ञात है उसके आधार पर एक सूत्र चुनें।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों का ज्ञान

निर्देश

यदि आप किसी एक भुजा का आकार और इसके विपरीत कोण से इस भुजा पर कम की गई ऊँचाई का मान जानते हैं, तो आप निम्नलिखित का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: S = a*h/2, जहाँ S क्षेत्रफल है त्रिभुज की, a त्रिभुज की भुजाओं में से एक है, और h - ऊंचाई, भुजा a की।

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की एक ज्ञात विधि है यदि उसकी तीन भुजाएँ ज्ञात हों। यह हेरॉन का फार्मूला है. इसकी रिकॉर्डिंग को सरल बनाने के लिए, एक मध्यवर्ती मान पेश किया गया है - अर्ध-परिधि: पी = (ए+बी+सी)/2, जहां ए, बी, सी -। तब हेरॉन का सूत्र इस प्रकार है: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ घातांक।

आइए मान लें कि आप त्रिभुज की एक भुजा और तीन कोणों को जानते हैं। फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान है: S = a²sinα synγ / (2sinβ), जहां β भुजा a के विपरीत कोण है, और α और γ भुजा के आसन्न कोण हैं।

विषय पर वीडियो

कृपया ध्यान

सबसे सामान्य सूत्र, जो सभी मामलों के लिए उपयुक्त है, हेरॉन का सूत्र है।

स्रोत:

टिप 3: तीन भुजाओं के आधार पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना स्कूल प्लैनिमेट्री में सबसे आम समस्याओं में से एक है। किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं को जानना किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। विशेष मामलों में और समबाहु त्रिभुजक्रमशः दो और एक भुजाओं की लंबाई जानना पर्याप्त है।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई, हेरॉन का सूत्र, कोसाइन प्रमेय

निर्देश

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरोन का सूत्र इस प्रकार है: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). यदि हम अर्ध-परिधि p लिखते हैं, तो हमें मिलता है: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

आप किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए विचारों से एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, कोसाइन प्रमेय को लागू करके।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC)। प्रस्तुत नोटेशन का उपयोग करके, इन्हें इस रूप में भी लिखा जा सकता है: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC)। इसलिए, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके सूत्र S = a*c*sin(ABC)/2 द्वारा भी पाया जाता है। कोण ABC की ज्या को मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके इसके माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है: syn(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2)। क्षेत्र के सूत्र में ज्या को प्रतिस्थापित करके और इसे लिखकर , आप त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के सूत्र पर पहुंच सकते हैं।

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बाहर ले जाने के लिए मरम्मत कार्यमापना आवश्यक हो सकता है वर्गदीवारों इसकी गणना करना आसान है आवश्यक मात्रापेंट या वॉलपेपर. माप के लिए, टेप माप या मापने वाले टेप का उपयोग करना सबसे अच्छा है। माप बाद में लिया जाना चाहिए दीवारोंसमतल कर दिए गए.

आपको चाहिये होगा

• -रूलेट;
• -सीढ़ी।

निर्देश

गिनती करने के लिए वर्गदीवारों, आपको छत की सटीक ऊंचाई जानने की जरूरत है, और फर्श के साथ लंबाई भी मापनी होगी। यह निम्नानुसार किया जाता है: एक सेंटीमीटर लें और इसे बेसबोर्ड पर रखें। आमतौर पर एक सेंटीमीटर पूरी लंबाई के लिए पर्याप्त नहीं होता है, इसलिए इसे कोने में सुरक्षित करें, फिर इसे खोल दें ज्यादा से ज्यादा लंबाई. इस बिंदु पर, एक पेंसिल से एक निशान लगाएं, प्राप्त परिणाम को लिखें और अंतिम माप बिंदु से शुरू करते हुए, उसी तरह आगे का माप करें।

मानक छतसामान्य तौर पर - घर के आधार पर 2 मीटर 80 सेंटीमीटर, 3 मीटर और 3 मीटर 20 सेंटीमीटर। यदि घर 50 के दशक से पहले बनाया गया था, तो सबसे अधिक संभावना है कि वास्तविक ऊंचाई संकेत से थोड़ी कम है। यदि आप गणना कर रहे हैं वर्गमरम्मत कार्य के लिए, तो एक छोटी आपूर्ति से नुकसान नहीं होगा - मानक के आधार पर विचार करें। यदि आपको अभी भी वास्तविक ऊंचाई जानने की आवश्यकता है, तो माप लें। सिद्धांत लंबाई मापने के समान है, लेकिन आपको एक सीढ़ी की आवश्यकता होगी।

परिणामी संकेतकों को गुणा करें - यह है वर्गतुम्हारा दीवारों. सच है, जब पेंटिंग का कामया इसके लिए घटाना जरूरी है वर्गदरवाजा और खिड़की खोलना. ऐसा करने के लिए, उद्घाटन के साथ एक सेंटीमीटर बिछाएं। यदि हम एक ऐसे दरवाजे के बारे में बात कर रहे हैं जिसे आप बाद में बदलने जा रहे हैं, तो उसे हटाकर ही आगे बढ़ें दरवाज़े का ढांचा, केवल विचार करते हुए वर्गसीधे उद्घाटन पर ही। खिड़की के क्षेत्रफल की गणना उसके फ्रेम की परिधि के साथ की जाती है। बाद वर्गखिड़की और दरवाज़े की गणना करके, कमरे के कुल परिणामी क्षेत्र से परिणाम घटाएँ।

कृपया ध्यान दें कि कमरे की लंबाई और चौड़ाई को मापने का काम दो लोगों द्वारा किया जाता है, इससे एक सेंटीमीटर या टेप माप को ठीक करना आसान हो जाता है और तदनुसार, अधिक सटीक परिणाम प्राप्त होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपको प्राप्त संख्याएँ सटीक हैं, एक ही माप कई बार लें।

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किसी त्रिभुज का आयतन ज्ञात करना वास्तव में एक गैर-मामूली कार्य है। तथ्य यह है कि एक त्रिभुज एक द्वि-आयामी आकृति है, अर्थात। यह पूरी तरह से एक ही तल में स्थित है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई आयतन नहीं है। निःसंदेह, आप ऐसी कोई चीज़ नहीं खोज सकते जो अस्तित्व में न हो। लेकिन आइए हार न मानें! हम निम्नलिखित धारणा को स्वीकार कर सकते हैं: एक द्वि-आयामी आकृति का आयतन उसका क्षेत्रफल है। हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।

आपको चाहिये होगा

• कागज की शीट, पेंसिल, शासक, कैलकुलेटर

निर्देश

रूलर और पेंसिल का उपयोग करके कागज के एक टुकड़े पर चित्र बनाएं। त्रिभुज की सावधानीपूर्वक जांच करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि इसमें वास्तव में कोई त्रिभुज नहीं है, क्योंकि यह एक समतल पर बनाया गया है। त्रिभुज की भुजाओं को लेबल करें: मान लीजिए कि एक भुजा "a", दूसरी भुजा "b", और तीसरी भुजा "c" है। त्रिभुज के शीर्षों को "ए", "बी" और "सी" अक्षरों से लेबल करें।

त्रिभुज की किसी भी भुजा को रूलर से मापें और परिणाम लिख लें। इसके बाद इसके विपरीत शीर्ष से मापी गई भुजा पर एक लंब स्थापित करें, ऐसा लंब त्रिभुज की ऊंचाई होगी। चित्र में दिखाए गए मामले में, लंबवत "एच" को शीर्ष "ए" से साइड "सी" पर बहाल किया गया है। परिणामी ऊंचाई को रूलर से मापें और माप परिणाम लिख लें।

आपके लिए सटीक लंब को पुनर्स्थापित करना कठिन हो सकता है। इस मामले में, आपको एक अलग फॉर्मूला का उपयोग करना चाहिए। एक रूलर से त्रिभुज की सभी भुजाओं को मापें। इसके बाद, भुजाओं की परिणामी लंबाई को जोड़कर और उनके योग को आधे में विभाजित करके त्रिभुज "पी" की अर्ध-परिधि की गणना करें। अर्ध-परिधि का मान आपके पास होने पर, आप हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित का वर्गमूल लेना होगा: p(p-a)(p-b)(p-c)।

आपने त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल प्राप्त कर लिया है। त्रिभुज का आयतन ज्ञात करने की समस्या हल नहीं हुई है, लेकिन जैसा कि ऊपर बताया गया है, आयतन नहीं है। आप त्रि-आयामी दुनिया में एक ऐसा आयतन पा सकते हैं जो मूलतः एक त्रिकोण है। यदि हम कल्पना करें कि हमारा मूल त्रिभुज एक त्रि-आयामी पिरामिड बन गया है, तो ऐसे पिरामिड का आयतन हमारे द्वारा प्राप्त त्रिभुज के क्षेत्रफल द्वारा उसके आधार की लंबाई का गुणनफल होगा।

कृपया ध्यान

आप जितनी सावधानी से मापेंगे, आपकी गणना उतनी ही सटीक होगी।

स्रोत:

• कैलकुलेटर "एवरीथिंग टू एवरीथिंग" - संदर्भ मूल्यों के लिए एक पोर्टल
• 2019 में त्रिकोण आयतन

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष हैं। प्रत्येक समन्वय अक्ष के सापेक्ष उनकी स्थिति को जानकर, आप इस सपाट आकृति के किसी भी पैरामीटर की गणना कर सकते हैं, जिसमें इसकी परिधि द्वारा सीमित पैरामीटर भी शामिल हैं वर्ग. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें त्रिकोण. इसमें आकृति के तीन पक्षों के आयाम शामिल हैं, इसलिए अपनी गणना इससे शुरू करें। प्रत्येक भुजा की लंबाई निर्देशांक अक्षों पर उसके प्रक्षेपणों की लंबाई के वर्गों के योग के मूल के बराबर होनी चाहिए। यदि हम निर्देशांक A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) और C(X₃,Y₃,Z₃) को निरूपित करते हैं, तो उनकी भुजाओं की लंबाई इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, एक सहायक चर - सेमीपरिमीटर (पी) का परिचय दें। इस तथ्य से कि यह सभी भुजाओं की लंबाई का आधा योग है: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).