Podrobna rešitev logaritemskih neenačb. Logaritemske neenakosti. Obsežen vodnik (2019)

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Pogosto pri odločanju logaritemske neenakosti, obstajajo težave s spremenljivo logaritemsko osnovo. Torej neenakost oblike

je standardna šolska neenakost. Praviloma se za njegovo rešitev uporabi prehod na enakovreden niz sistemov:

Pomanjkljivost te metode je, da je treba rešiti sedem neenakosti, ne da bi šteli dva sistema in eno populacijo. Že pri teh kvadratnih funkcijah lahko reševanje populacije vzame veliko časa.

Za rešitev te standardne neenakosti je mogoče predlagati alternativni, manj zamuden način. Da bi to naredili, upoštevamo naslednji izrek.

Izrek 1. Naj obstaja zvezna naraščajoča funkcija na množici X. Potem bo na tej množici predznak prirastka funkcije sovpadal s predznakom prirastka argumenta, tj. , Kje .

Opomba: če je zvezna padajoča funkcija na množici X, potem .

Vrnimo se k neenakosti. Preidimo na decimalni logaritem (lahko preidete na kateri koli s konstantno osnovo, večjo od ena).

Zdaj lahko uporabite izrek in opazite prirast funkcij v števcu in v imenovalcu. Torej je res

Posledično se število izračunov, ki vodijo do odgovora, približno prepolovi, kar ne prihrani le časa, temveč vam omogoča tudi morebitno manj aritmetičnih in nepazljivih napak.

Primer 1.

Če primerjamo z (1), ugotovimo , , .

Če preidemo na (2), bomo imeli:

Primer 2.

Če primerjamo z (1), dobimo , , .

Če preidemo na (2), bomo imeli:

Primer 3.

Ker je leva stran neenakosti naraščajoča funkcija kot in , potem bo odgovor veliko.

Številne primere, v katerih je mogoče uporabiti temo 1, je mogoče zlahka razširiti z upoštevanjem teme 2.

Naj na snemanju X definirane so funkcije , , , in na tej množici predznaki in sovpadajo, tj. , potem bo pošteno.

Primer 4.

Primer 5.

V standardnem pristopu je primer rešen po naslednji shemi: izdelek manj kot nič, ko so faktorji različnih predznakov. Tisti. obravnavan je niz dveh sistemov neenačb, v katerem se, kot je navedeno na začetku, vsaka neenačba razbije na sedem dodatnih.

Če upoštevamo izrek 2, potem lahko vsakega od faktorjev, upoštevajoč (2), nadomestimo z drugo funkcijo, ki ima enak predznak v tem primeru O.D.Z.

Metoda zamenjave prirastka funkcije s prirastkom argumenta ob upoštevanju izreka 2 se izkaže za zelo priročno pri reševanju tipične naloge Enotni državni izpit C3.

Primer 6.

Primer 7.

. Označimo . Dobimo

. Upoštevajte, da zamenjava pomeni: . Če se vrnemo k enačbi, dobimo .

Primer 8.

V izrekih, ki jih uporabljamo, ni nobenih omejitev glede razredov funkcij. V tem članku so bili izreki kot primer uporabljeni za reševanje logaritemskih neenakosti. Naslednjih nekaj primerov bo pokazalo obljubo metode za reševanje drugih vrst neenakosti.

Logaritemske neenakosti

V prejšnjih urah smo se seznanili z logaritemskimi enačbami in zdaj vemo, kaj so in kako jih rešimo. Današnja lekcija bo namenjena preučevanju logaritemskih neenakosti. Kakšne so te neenačbe in kakšna je razlika med reševanjem logaritemske enačbe in neenačbe?

Logaritemske neenakosti so neenačbe, ki imajo spremenljivko pod znakom logaritma ali na njegovi osnovi.

Ali pa lahko tudi rečemo, da je logaritemska neenakost tista neenakost, v kateri bo njena neznana vrednost, kot v logaritemski enačbi, prikazana pod znakom logaritma.

Najenostavnejše logaritemske neenakosti imajo naslednjo obliko:

kjer sta f(x) in g(x) nekaj izrazov, ki so odvisni od x.

Poglejmo si to s tem primerom: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Reševanje logaritemskih neenačb

Preden rešimo logaritemske neenakosti, velja omeniti, da so pri reševanju podobne eksponentne neenakosti, in sicer:

Prvič, ko prehajamo od logaritmov k izrazom pod znakom logaritma, moramo primerjati tudi osnovo logaritma z ena;

Drugič, pri reševanju logaritemske neenačbe s spremembo spremenljivk moramo neenakosti reševati glede na spremembo, dokler ne dobimo najpreprostejše neenakosti.

Toda ti in jaz sva obravnavala podobne vidike reševanja logaritemskih neenakosti. Zdaj bodimo pozorni na precej pomembna razlika. Vi in jaz vemo, da ima logaritemska funkcija omejeno domeno definicije, zato moramo pri prehodu od logaritmov do izrazov pod znakom logaritma upoštevati obseg dovoljenih vrednosti (ADV).

To pomeni, da je treba upoštevati, da lahko pri reševanju logaritemske enačbe najprej najdemo korenine enačbe in nato preverimo to rešitev. Toda reševanje logaritemske neenačbe na ta način ne bo šlo, saj bo treba pri prehodu od logaritmov k izrazom pod znakom logaritma zapisati ODZ neenačbe.

Poleg tega si velja zapomniti, da je teorija neenakosti sestavljena iz realnih števil, ki so pozitivna in negativna števila, ter števila 0.

Na primer, ko je število "a" pozitivno, potem morate uporabiti naslednji zapis: a >0. V tem primeru bosta tako vsota kot zmnožek teh števil tudi pozitivna.

Glavno načelo reševanja neenačbe je, da jo nadomestimo z enostavnejšo neenačbo, glavno pa je, da je enakovredna dani. Nadalje smo dobili tudi neenačbo in jo spet nadomestili z enostavnejšo obliko itd.

Ko rešujete neenačbe s spremenljivko, morate najti vse njene rešitve. Če imata dve neenačbi enako spremenljivko x, sta takšni neenačbi enakovredni, če njuni rešitvi sovpadata.

Pri izvajanju nalog za reševanje logaritemskih neenakosti se morate spomniti, da ko je a > 1, se logaritemska funkcija poveča, ko pa 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode reševanja logaritemskih neenačb

Zdaj pa si poglejmo nekaj metod, ki se uporabljajo pri reševanju logaritemskih neenakosti. Za boljše razumevanje in asimilacijo jih bomo poskušali razumeti s posebnimi primeri.

Vsi vemo, da ima najpreprostejša logaritemska neenakost naslednjo obliko:

V tej neenakosti je V – eden od naslednjih znakov neenakosti:<,>, ≤ ali ≥.

Ko je osnova danega logaritma večja od ena (a>1), kar pomeni prehod iz logaritmov v izraze pod znakom logaritma, se v tej različici znak neenakosti ohrani in neenakost bo imela naslednjo obliko:

kar je enakovredno temu sistemu:

V primeru, ko je osnova logaritma Nad ničlo in manj kot ena (0

To je enakovredno temu sistemu:

Oglejmo si več primerov reševanja najpreprostejših logaritemskih neenakosti, prikazanih na spodnji sliki:

Reševanje primerov

telovadba. Poskusimo rešiti to neenakost:

Reševanje območja sprejemljivih vrednosti.

Zdaj pa poskusimo pomnožiti njegovo desno stran z:

Poglejmo, kaj lahko izmislimo:

Zdaj pa preidimo na pretvorbo sublogaritemskih izrazov. Ker je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

In iz tega sledi, da interval, ki smo ga dobili, v celoti pripada ODZ in je rešitev takšne neenačbe.

Tukaj je odgovor, ki smo ga dobili:

Kaj je potrebno za reševanje logaritemskih neenakosti?

Zdaj pa poskusimo analizirati, kaj potrebujemo za uspešno reševanje logaritemskih neenakosti?

Najprej osredotočite vso svojo pozornost in poskušajte ne delati napak pri izvajanju transformacij, ki so podane v tej neenakosti. Prav tako je treba zapomniti, da se je treba pri reševanju takšnih neenačb izogibati širjenju in krčenju neenačb, kar lahko privede do izgube ali pridobitve tujih rešitev.

Drugič, pri reševanju logaritemskih neenačb se morate naučiti logično razmišljati in razumeti razliko med pojmi, kot sta sistem neenačb in množica neenačb, da boste lahko enostavno izbrali rešitve neenačbe, pri tem pa se ravnali po njenem DL.

Tretjič, za uspešno reševanje takšnih neenakosti mora vsak od vas odlično poznati vse lastnosti elementarne funkcije in jasno razumeti njihov pomen. Takšne funkcije vključujejo ne le logaritemske, ampak tudi racionalne, močne, trigonometrične itd., Z eno besedo, vse tiste, ki ste jih študirali med šolsko algebro.

Kot lahko vidite, ko ste preučili temo logaritemskih neenakosti, pri reševanju teh neenakosti ni nič težkega, če ste previdni in vztrajni pri doseganju svojih ciljev. Da bi se izognili kakršnim koli težavam pri reševanju neenačb, morate čim več vaditi, reševati različne naloge in se hkrati spomniti osnovnih metod reševanja takšnih neenačb in njihovih sistemov. Če vam ne uspe rešiti logaritemskih neenakosti, morate skrbno analizirati svoje napake, da se v prihodnosti ne bi več vračali k njim.

Domača naloga

Za boljše razumevanje teme in utrjevanje obravnavane snovi rešite naslednje neenačbe:

Cilji lekcije:

Didaktika:

• 1. stopnja – nauči se reševati najenostavnejše logaritemske neenakosti z uporabo definicije logaritma in lastnosti logaritmov;
• 2. stopnja – reševanje logaritemskih neenakosti z izbiro lastne metode reševanja;
• 3. stopnja – znati uporabiti znanje in veščine v nestandardnih situacijah.

Izobraževalni: razvijajo spomin, pozornost, logično razmišljanje, primerjalne sposobnosti, sposobnost posploševanja in sklepanja

Izobraževalni: gojiti natančnost, odgovornost za opravljeno nalogo in medsebojno pomoč.

Učne metode: verbalno , vizualni , praktično , delno iskanje , samoupravljanje , nadzor.

Oblike organiziranosti kognitivna dejavnostštudenti: čelni , posameznika , delo v parih.

Oprema: komplet testne naloge, podporne opombe, prazni listi za rešitve.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Med poukom

1. Organizacijski trenutek. Napovedana je tema in cilji lekcije ter načrt lekcije: vsak učenec je podan ocenjevalni papir, ki ga študent izpolni med poukom; za vsak par študentov - tiskovine z nalogami morajo biti opravljene v paru; prazne liste za rešitve; podporni listi: definicija logaritma; graf logaritemske funkcije, njene lastnosti; lastnosti logaritmov; algoritem za reševanje logaritemskih neenačb.

Vse odločitve po samoevalvaciji posredujemo učitelju.

Študentov točkovni list

2. Posodabljanje znanja.

Navodila učitelja. Spomnimo se definicije logaritma, grafa logaritemske funkcije in njegovih lastnosti. Če želite to narediti, preberite besedilo na straneh 88–90, 98–101 učbenika »Algebra in začetki analize 10–11«, ki so ga uredili Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin in drugi.

Učenci dobijo liste, na katerih so zapisani: definicija logaritma; prikazuje graf logaritemske funkcije in njene lastnosti; lastnosti logaritmov; algoritem za reševanje logaritemskih neenačb, primer reševanja logaritemske neenačbe, ki se reducira na kvadratno.

3. Študij novega gradiva.

Reševanje logaritemskih neenačb temelji na monotonosti logaritemske funkcije.

Algoritem za reševanje logaritemskih neenakosti:

A) Poišči področje definicije neenačbe (podlogaritemski izraz je večji od nič).
B) Predstavite (če je mogoče) levo in desno stran neenakosti kot logaritma na isto osnovo.
C) Ugotovi, ali je logaritemska funkcija naraščajoča ali padajoča: če t>1, potem naraščajoča; če 0 1, nato padajoče.
D) Pojdi na več preprosta neenakost(podlogaritmični izrazi), pri čemer je treba upoštevati, da bo predznak neenakosti ostal, če bo funkcija naraščala, in se bo spremenil, če bo padala.

Učni element #1.

Namen: utrditi rešitev najenostavnejših logaritemskih neenačb

Oblika organizacije kognitivne dejavnosti študentov: individualno delo.

Naloge za samostojno delo 10 minut. Za vsako neenakost je možnih več odgovorov, izbrati morate pravilnega in ga preveriti s ključem.

KLJUČ: 13321, največje število točk – 6 točk.

Učni element #2.

Namen: utrditi reševanje logaritemskih neenačb z uporabo lastnosti logaritmov.

Navodila učitelja. Zapomnite si osnovne lastnosti logaritmov. To storite tako, da preberete besedilo učbenika na str. 92, 103–104.

Naloge za samostojno delo 10 minut.

KLJUČ: 2113, maksimalno število točk – 8 točk.

Učni element #3.

Namen: preučiti rešitev logaritemskih neenakosti z metodo redukcije na kvadratno.

Navodilo za učitelja: metoda zreduciranja neenačbe na kvadratno je, da neenačbo pretvorimo v takšno obliko, da določeno logaritemsko funkcijo označimo z novo spremenljivko in s tem dobimo kvadratno neenačbo glede na to spremenljivko.

Primerno intervalna metoda.

Opravili ste prvo stopnjo obvladovanja snovi. Zdaj boste morali samostojno izbrati metodo za reševanje logaritemskih enačb z uporabo vsega svojega znanja in zmožnosti.

Učni element #4.

Namen: utrditi reševanje logaritemskih neenačb s samostojno izbiro metode racionalnega reševanja.

Naloge za samostojno delo 10 minut

Učni element #5.

Navodila učitelja. Dobro opravljeno! Obvladali ste reševanje enačb druge stopnje zahtevnosti. Cilj vašega nadaljnjega dela je, da svoje znanje in veščine uporabite v zahtevnejših in nestandardnih situacijah.

Naloge za samostojno reševanje:

Navodila učitelja. Super je, če ste opravili celotno nalogo. Dobro opravljeno!

Ocena celotne lekcije je odvisna od doseženega števila točk pri vseh učnih elementih:

• če je N ≥ 20, potem dobite oceno "5",
• za 16 ≤ N ≤ 19 – ocena "4",
• za 8 ≤ N ≤ 15 – ocena "3",
• pri N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Ocenjevalne liste oddajte učitelju.

5. Domača naloga: če niste dosegli več kot 15 točk, delajte na svojih napakah (rešitve lahko vzamete od učitelja), če ste dosegli več kot 15 točk, opravite ustvarjalno nalogo na temo "Logaritemske neenakosti."

LOGARITEMSKE NEENAČBE PRI UPORABI

Sečin Mihail Aleksandrovič

Mala akademija znanosti za študente Republike Kazahstan "Iskatel"

MBOU "Sovetska srednja šola št. 1", 11. razred, mesto. Sovetsky Sovetsky okrožje

Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteljica občinske proračunske izobraževalne ustanove "Sovetska srednja šola št. 1"

Sovetsky okrožje

Cilj dela: preučevanje mehanizma za reševanje logaritemskih neenačb C3 z uporabo nestandardnih metod, prepoznavanje zanimiva dejstva logaritem

Predmet študija:

3) Naučite se reševati specifične logaritemske neenačbe C3 z uporabo nestandardnih metod.

Rezultati:

Vsebina

Uvod…………………………………………………………………………………….4

Poglavje 1. Zgodovina vprašanja……………………………………………………...5

Poglavje 2. Zbirka logaritemskih neenačb …………………………… 7

2.1. Ekvivalentni prehodi in posplošena metoda intervalov…………… 7

2.2. Metoda racionalizacije………………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna zamenjava……………….................................. ............ 22

2.4. Naloge s pastmi………………………………………………………27

Zaključek……………………………………………………………………………… 30

Literatura………………………………………………………………………. 31

Uvod

Sem v 11. razredu in se nameravam vpisati na univerzo, kjer je glavni predmet matematika. Zato se veliko ukvarjam s problemi v delu C. V nalogi C3 moram rešiti nestandardno neenačbo ali sistem neenačb, ki je običajno povezan z logaritmi. Pri pripravah na izpit sem se srečal s problemom pomanjkanja metod in tehnik za reševanje izpitnih logaritemskih neenačb, ki jih ponuja C3. Metode, ki se preučujejo v šolski kurikulum na to temo, ne predstavljajo podlage za reševanje nalog C3. Učiteljica matematike mi je predlagala, da samostojno delam C3 naloge pod njenim vodstvom. Poleg tega me je zanimalo vprašanje, ali se v življenju srečujemo z logaritmi?

Glede na to je bila izbrana tema:

"Logaritemske neenakosti na enotnem državnem izpitu"

Cilj dela: preučevanje mehanizma za reševanje problemov C3 z uporabo nestandardnih metod, prepoznavanje zanimivih dejstev o logaritmu.

Predmet študija:

1) Poiščite potrebne informacije o nestandardnih metodah za reševanje logaritemskih neenakosti.

2) Poiščite dodatne informacije o logaritmih.

3) Naučite se reševati specifične probleme C3 z uporabo nestandardnih metod.

Rezultati:

Praktični pomen je v razširitvi aparature za reševanje problemov C3. Ta material lahko uporabljamo pri nekaterih učnih urah, krožkih in izbirnem pouku matematike.

Izdelek projekta bo zbirka “C3 Logaritemske neenakosti z rešitvami.”

Poglavje 1. Ozadje

Skozi 16. stoletje je število približnih izračunov hitro naraščalo, predvsem v astronomiji. Izboljšanje instrumentov, preučevanje gibanja planetov in drugo delo je zahtevalo ogromne, včasih večletne izračune. Astronomija je bila v resni nevarnosti, da se utopi v neizpolnjenih izračunih. Težave so se pojavile na drugih področjih, na primer v zavarovalništvu, potrebne so bile tabele obrestno obrestovanje Za različne pomene odstotkov. Glavna težava je bila množenje in deljenje večmestnih števil, predvsem trigonometričnih veličin.

Odkritje logaritmov je temeljilo na lastnostih progresij, ki so bile dobro znane do konca 16. stoletja. O povezanosti med člani geometrijsko napredovanje q, q2, q3, ... in aritmetična progresija njihovi indikatorji so 1, 2, 3,... Arhimed je govoril v svojem “Psalmitisu”. Drugi predpogoj je bila razširitev koncepta stopnje na negativne in delne eksponente. Številni avtorji so poudarili, da množenje, deljenje, potenciranje in pridobivanje korena v geometrijski progresiji ustrezajo v aritmetiki - v istem vrstnem redu - seštevanju, odštevanju, množenju in deljenju.

Tukaj je bila ideja o logaritmu kot eksponentu.

V zgodovini razvoja doktrine logaritmov je minilo več stopenj.

1. stopnja

Logaritme sta najpozneje leta 1594 neodvisno izumila škotski baron Napier (1550-1617) in deset let pozneje švicarski mehanik Bürgi (1552-1632). Oba sta želela zagotoviti nov, priročen način aritmetičnih izračunov, čeprav sta se tega problema lotila na različne načine. Napier je kinematično izrazil logaritemsko funkcijo in s tem vstopil na novo področje teorije funkcij. Bürgi je ostal na podlagi upoštevanja diskretnih progresij. Vendar pa definicija logaritma za oba ni podobna sodobni. Izraz "logaritem" (logaritm) pripada Napierju. Nastala je iz kombinacije grških besed: logos - "odnos" in ariqmo - "število", kar je pomenilo "število odnosov". Sprva je Napier uporabljal drugačen izraz: numeri artificiales - "umetna števila", v nasprotju z numeri naturalts - "naravna števila".

Leta 1615 je Napier v pogovoru s Henryjem Briggsom (1561-1631), profesorjem matematike na kolidžu Gresh v Londonu, predlagal, da bi nič vzeli kot logaritem ena in 100 kot logaritem deset ali, kar je enako stvar, samo 1. Tako so bili natisnjeni decimalni logaritmi in Prve logaritemske tabele. Kasneje je Briggsove tabele dopolnil nizozemski knjigarnar in matematični navdušenec Adrian Flaccus (1600-1667). Napier in Briggs, čeprav sta do logaritmov prišla prej kot vsi ostali, sta svoje tabele objavila pozneje kot drugi - leta 1620. Znaka log in log je leta 1624 uvedel I. Kepler. Izraz »naravni logaritem« je leta 1659 uvedel Mengoli, leta 1668 mu je sledil N. Mercator, londonski učitelj John Speidel pa je objavil tabele naravnih logaritmov števil od 1 do 1000 pod imenom »Novi logaritmi«.

Prve logaritemske tabele so bile objavljene v ruščini leta 1703. Toda v vseh logaritemskih tabelah so bile računske napake. Prve tabele brez napak so bile objavljene leta 1857 v Berlinu, obdelal pa jih je nemški matematik K. Bremiker (1804-1877).

2. stopnja

Nadaljnji razvoj teorije logaritmov je povezan s širšo uporabo analitične geometrije in infinitezimalnega računa. Do takrat je bila vzpostavljena povezava med kvadraturo enakostranične hiperbole in naravnim logaritmom. Teorija logaritmov tega obdobja je povezana z imeni številnih matematikov.

Nemški matematik, astronom in inženir Nikolaus Mercator v eseju

"Logarithmotechnics" (1668) podaja niz, ki daje razširitev ln(x+1) v

potence x:

Ta izraz natančno ustreza njegovemu toku misli, čeprav seveda ni uporabil znakov d, ..., temveč bolj okorno simboliko. Z odkritjem logaritemskih vrst se je tehnika računanja logaritmov spremenila: začeli so jih določati z neskončnimi vrstami. V svojih predavanjih »Elementarna matematika z najvišja točka vizijo", prebrano v letih 1907-1908, je F. Klein predlagal uporabo formule kot izhodišče za konstrukcijo teorije logaritmov.

3. stopnja

Opredelitev logaritemske funkcije kot inverzne funkcije

eksponent, logaritem kot eksponent dane baze

ni bil oblikovan takoj. Esej Leonharda Eulerja (1707-1783)

"Uvod v analizo neskončno malih" (1748) je služil za nadaljnje

razvoj teorije logaritemskih funkcij. torej

134 let je minilo od prve uvedbe logaritmov

(šteto od leta 1614), preden so matematiki prišli do definicije

koncept logaritma, ki je zdaj osnova šolskega tečaja.

Poglavje 2. Zbirka logaritemskih neenačb

2.1. Ekvivalentni prehodi in posplošena metoda intervalov.

Enakovredni prehodi

, če je a > 1

, če je 0 < а < 1

Metoda generaliziranih intervalov

Ta metoda najbolj univerzalen pri reševanju neenačb skoraj vseh vrst. Diagram rešitve izgleda takole:

1. Neenačbo pripelji v obliko, kjer je funkcija na levi strani
, na desni pa 0.

2. Poiščite domeno funkcije
.

3. Poiščite ničle funkcije
, torej reši enačbo
(in reševanje enačbe je običajno lažje kot reševanje neenačbe).

4. Na številsko premico nariši definicijsko področje in ničle funkcije.

5. Določite predznake funkcije
na dobljene intervale.

6. Izberite intervale, kjer funkcija zavzame zahtevane vrednosti in zapišite odgovor.

Primer 1.

rešitev:

Uporabimo intervalno metodo

kje

Za te vrednosti so vsi izrazi pod logaritemskimi predznaki pozitivni.

odgovor:

Primer 2.

rešitev:

1 način . ADL je določen z neenakostjo x> 3. Jemanje logaritmov za take x v osnovi 10 dobimo

Zadnjo neenakost bi lahko rešili z uporabo razširjevalnih pravil, tj. primerjava faktorjev z ničlo. Vendar pa v v tem primeru enostavno določanje intervalov konstantnega predznaka funkcije

zato se lahko uporabi intervalna metoda.

funkcija f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ je zvezna pri x> 3 in izgine v točkah x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Tako določimo intervale konstantnega predznaka funkcije f(x):

odgovor:

2. metoda . Neposredno uporabimo ideje intervalne metode na izvirno neenakost.

Če želite to narediti, se spomnite izrazov a b- a c in ( a - 1)(b- 1) imajo en znak. Potem je naša neenakost pri x> 3 je enakovredno neenakosti

oz

Zadnjo neenačbo rešujemo z intervalno metodo

odgovor:

Primer 3.

rešitev:

Uporabimo intervalno metodo

odgovor:

Primer 4.

rešitev:

Od 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za vse realne x, To

Za rešitev druge neenačbe uporabimo intervalno metodo

V prvi neenačbi naredimo zamenjavo

potem pridemo do neenakosti 2y 2 - l - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те l, ki zadoščajo neenakosti -0,5< l < 1.

Od kod, odkar

dobimo neenakost

ki se izvaja, ko x, za katerega 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Zdaj, ob upoštevanju rešitve druge neenačbe sistema, končno dobimo

odgovor:

Primer 5.

rešitev:

Neenakost je enakovredna zbirki sistemov

oz

Uporabimo intervalno metodo oz

Odgovori:

Primer 6.

rešitev:

Neenakost je enaka sistemu

Pustiti

Potem l > 0,

in prva neenakost

sistem dobi obliko

ali, odvijanje

kvadratni trinom faktoriziran,

Z uporabo intervalne metode za zadnjo neenakost,

vidimo, da njegove rešitve izpolnjujejo pogoj l> 0 bo vse l > 4.

Tako je prvotna neenakost enakovredna sistemu:

Torej, rešitve neenakosti so vse

2.2. Metoda racionalizacije.

Prej neenakosti niso reševali z metodo racionalizacije; To je "nova moderna" učinkovita metoda rešitve eksponentnih in logaritemskih neenakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikove)
In tudi če bi ga učitelj poznal, je obstajal strah - ali ga strokovnjak za enotni državni izpit pozna in zakaj ga ne dajo v šoli? Bile so situacije, ko je učitelj rekel učencu: "Kje si dobil - 2."
Zdaj se metoda promovira povsod. In za strokovnjake obstajajo smernice, povezane s to metodo, in v »Najpopolnejših publikacijah tipične možnosti..." Rešitev C3 uporablja to metodo.
ČUDOVITA METODA!

"Čarobna miza"

V drugih virih

če a >1 in b >1, nato log a b >0 in (a -1)(b -1)>0;

če a >1 in 0

če 0<a<1 и b >1, nato zabeležite a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

če 0<a<1 и 00 in (a -1)(b -1)>0.

Izvedena utemeljitev je preprosta, vendar bistveno poenostavi rešitev logaritemskih neenakosti.

Primer 4.

log x (x 2 -3)<0

rešitev:

Primer 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

rešitev:

Odgovori. (0; 0,5)U.

Primer 6.

Za rešitev te neenačbe namesto imenovalca zapišemo (x-1-1)(x-1), namesto števca pa zmnožek (x-1)(x-3-9 + x).

Odgovori : (3;6)

Primer 7.

Primer 8.

2.3. Nestandardna zamenjava.

Primer 1.

Primer 2.

Primer 3.

Primer 4.

Primer 5.

Primer 6.

Primer 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Naredimo zamenjavo y=3 x -1; potem bo ta neenakost dobila obliko

Log 4 log 0,25
.

Ker log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potem zadnjo neenakost prepišemo kot 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Naredimo zamenjavo t =log 4 y in dobimo neenačbo t 2 -2t +≥0, katere rešitev so intervali - .

Tako imamo za iskanje vrednosti y niz dveh preprostih neenakosti
Rešitev tega niza so intervali 0<у≤2 и 8≤у<+.

Zato je prvotna neenakost enakovredna nizu dveh eksponentnih neenakosti,
torej agregati

Rešitev prve neenačbe tega niza je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Tako je prvotna neenakost izpolnjena za vse vrednosti x iz intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.

Primer 8.

rešitev:

Neenakost je enaka sistemu

Rešitev druge neenačbe, ki definira ODZ, bo množica teh x,

za katere x > 0.

Za rešitev prve neenačbe naredimo zamenjavo

Potem dobimo neenakost

oz

Množico rešitev zadnje neenačbe najdemo z metodo

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, dobimo

oz

Veliko teh x, ki zadoščajo zadnji neenakosti

pripada ODZ ( x> 0), je torej rešitev sistema,

in s tem izvirna neenakost.

odgovor:

2.4. Naloge s pastmi.

Primer 1.

.

rešitev. ODZ neenakosti je vseh x, ki izpolnjujejo pogoj 0 . Zato so vsi x iz intervala 0

Primer 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Dejstvo je, da je druga številka očitno večja od

Zaključek

Iz velikega števila različnih izobraževalnih virov ni bilo lahko najti posebnih metod za reševanje problemov C3. Med opravljenim delom sem lahko študiral nestandardne metode za reševanje kompleksnih logaritemskih neenakosti. To so: ekvivalentni prehodi in posplošena metoda intervalov, metoda racionalizacije , nestandardna zamenjava , naloge s pastmi na ODZ. Te metode niso vključene v šolski kurikulum.

Z različnimi metodami sem rešil 27 neenačb, predlaganih na Enotnem državnem izpitu v delu C, in sicer C3. Te neenačbe z rešitvami po metodah so bile podlaga za zbirko »C3 Logaritemske neenakosti z rešitvami«, ki je postala projektni produkt moje dejavnosti. Hipoteza, ki sem jo postavil na začetku projekta, je bila potrjena: probleme C3 je mogoče učinkovito rešiti, če poznate te metode.

Poleg tega sem odkril zanimiva dejstva o logaritmih. Bilo mi je zanimivo to početi. Moji projektni izdelki bodo koristni tako za učence kot za učitelje.

Sklepi:

Tako je cilj projekta dosežen in problem rešen. In prejel sem najbolj popolne in raznolike izkušnje projektnih dejavnosti v vseh fazah dela. Pri delu na projektu je bil moj glavni razvojni vpliv na miselne kompetence, aktivnosti, povezane z logičnimi miselnimi operacijami, razvoj ustvarjalnih kompetenc, osebne iniciativnosti, odgovornosti, vztrajnosti in aktivnosti.

Garancija uspeha pri izdelavi raziskovalnega projekta za Pridobil sem: pomembne šolske izkušnje, sposobnost pridobivanja informacij iz različnih virov, preverjanja njihove zanesljivosti in razvrščanja po pomembnosti.

Poleg neposrednih predmetnih znanj iz matematike sem razširil svoje praktične sposobnosti na področju računalništva, pridobil nova znanja in izkušnje s področja psihologije, navezal stike s sošolci in se naučil sodelovanja z odraslimi. Med projektnimi aktivnostmi so se razvijale organizacijske, intelektualne in komunikativne splošne izobraževalne sposobnosti.

Literatura

1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Sistemi neenačb z eno spremenljivko (standardne naloge C3).

2. Malkova A. G. Priprava na enotni državni izpit iz matematike.

3. Samarova S. S. Reševanje logaritemskih neenakosti.

4. Matematika. Zbirka izobraževalnih del, ki jo je uredil A.L. Semenov in I.V. Jaščenko. -M .: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Vrsta