Kako najti vsoto kotov formule mnogokotnika. Poligoni. Podrobna teorija s primeri. Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Notranji vogal poligona je kot, ki ga tvorita dve sosednji strani mnogokotnika. Na primer, ∠ ABC je notranji kot.

Zunanji kotiček poligona je kot, ki ga tvorita ena stran mnogokotnika in podaljšek druge strani. Na primer, ∠ LBC je zunanji kot.

Število vogalov mnogokotnika je vedno enako številu njegovih stranic. To velja tako za notranje kot za zunanje vogale. Čeprav lahko za vsako oglišče mnogokotnika narišete dva enaka zunanja vogala, se vedno upošteva le eden od njiju. Zato, da bi našli število vogalov katerega koli mnogokotnika, morate prešteti število stranic.

Vsota notranjih kotov

Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika je enaka zmnožku 180 ° in številu strani minus dve.

s = 2d(n - 2)

kje s je vsota kotov, 2 d- dva prava kota (tj. 2 90 = 180 °), in n- število strank.

Če rišemo z vrha A poligon ABCDEF vse možne diagonale, nato ga razdelimo na trikotnike, katerih število bo dve manjše od stranic mnogokotnika:

Zato bo vsota kotov mnogokotnika enaka vsoti kotov vseh nastalih trikotnikov. Ker je vsota kotov vsakega trikotnika 180 ° (2 d), potem bo vsota kotov vseh trikotnikov enaka produktu 2 d po njihovi številki:

s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720 °

Iz te formule sledi, da je vsota notranjih kotov konstantna in odvisna od števila stranic mnogokotnika.

Vsota zunanjih kotov

Vsota zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika je 360 ​​° (ali 4 d).

s = 4d

kje s je vsota zunanjih kotov, 4 d- štirje pravi koti (tj. 4 · 90 = 360 °).

Vsota zunanjih in notranjih kotov na vsakem točku mnogokotnika je 180 ° (2 d), saj so sosednji vogali. Na primer, ∠ 1 in ∠ 2 :

Torej, če ima poligon n stranke (in n oglišča), nato vsota zunanjih in notranjih kotov za vse n oglišča bodo enaka 2 dn... Torej iz te vsote 2 dn dobite samo vsoto zunanjih kotov, od nje morate odšteti vsoto notranjih kotov, to je 2 d(n - 2):

s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Video vadnica 2: Poligoni. Reševanje težav

predavanje: Poligon. Vsota kotov konveksnega mnogokotnika

Poligoni- to so figure, ki nas obdajajo povsod - to je oblika satja, v katerem čebele shranjujejo svoj med, arhitekturne strukture in še marsikaj.

Kot smo že omenili, so poligoni oblike, ki imajo več kot dva vogala. Sestavljeni so iz zaprte polilinije.

Poleg tega so vogali poligonov lahko zunanji in notranji. Na primer, zvezda je oblika, ki ima 10 vogalov, pri čemer so nekateri konveksni, drugi pa konkavni:

Primeri konveksnih mnogokotnikov:

Upoštevajte, da slika prikazuje pravilne mnogokotnike - to so točno tisti, ki se podrobno preučujejo v šolskem tečaju matematike.

Vsak mnogokotnik ima enako število oglišč kot število stranic. Upoštevajte tudi, da so sosednja oglišča tista, ki imajo eno skupno stran. Na primer, trikotnik ima vsa svoja oglišča sosednja.

Več kotov ima pravilen mnogokotnik, večja je njegova stopnja. Vendar pa stopinjska mera kota konveksnega mnogokotnika ne more biti večja ali enaka 180 stopinjam.

Za določitev splošne stopnje stopnje poligona morate uporabiti formulo.

Opomba... To gradivo vsebuje izrek in njegov dokaz, pa tudi številne probleme, ki ponazarjajo uporabo izreka o vsoti kotov konveksnega mnogokotnika v praktičnih primerih.

Izrek o vsoti kotov konveksnega mnogokotnika

Dokaz.

Za dokaz izreka o vsoti kotov konveksnega mnogokotnika uporabimo že dokazan izrek, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj.

Naj bo A 1 A 2 ... A n dani konveksni mnogokotnik in n> 3. Nariši vse diagonale mnogokotnika iz oglišča A 1. Razdelita ga na n - 2 trikotnika: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4, ..., Δ A 1 A n - 1 A n. Vsota kotov mnogokotnika je enaka vsoti kotov vseh teh trikotnikov. Seštevek kotov vsakega trikotnika je 180 ° in število trikotnikov je (n - 2). Zato je vsota kotov konveksnega n -kotnika A 1 A 2 ... A n 180 ° (n - 2).

Naloga.

Konveksni mnogokotnik ima tri vogale po 80 stopinj, ostali pa 150 stopinj. Koliko kotov je v konveksnem mnogokotniku?

Rešitev.

Izrek pravi: Za konveksni n-kotnik je vsota kotov 180 ° (n-2) .

Torej, za naš primer:

180 (n-2) = 3 * 80 + x * 150, kjer

Glede na nalogo so nam dani 3 koti po 80 stopinj, število drugih kotov pa nam še ni znano, zato bomo njihovo število označili kot x.

Vendar pa smo iz vnosa na levi strani določili število vogalov poligona kot n, saj poznamo vrednosti treh kotov iz pogoja problema, je očitno, da je x = n-3.

Tako bo enačba videti takole:

180 (n-2) = 240 + 150 (n-3)

Rešimo dobljeno enačbo

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

odgovor: 5 vrhov

Naloga.

Koliko vrhov ima lahko mnogokotnik, če je vsak kot manjši od 120 stopinj?

Rešitev.

Za rešitev tega problema uporabimo izrek o vsoti kotov konveksnega mnogokotnika.

Izrek pravi: Za konveksni n-kotnik je vsota vseh kotov 180 ° (n-2) .

Zato je v našem primeru najprej treba oceniti mejne pogoje problema. To pomeni, da je vsak od kotov 120 stopinj. Dobimo:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (ta izraz bomo obravnavali ločeno spodaj)

Na podlagi dobljene enačbe sklepamo: če so koti manjši od 120 stopinj, je število vogalov poligona manjše od šest.

Pojasnilo:

Na podlagi izraza 180n - 120n = 360, pod pogojem, da je odšteta desna stran manjša od 120n, mora biti razlika večja od 60n. Tako bo količnik deljenja vedno manjši od šest.

odgovor:število oglišč v mnogokotniku bo manjše od šest.

Naloga

V mnogokotniku so trije koti po 113 stopinj, ostali pa so med seboj enaki in njihova stopinska mera je celo število. Poiščite število vozlišč v mnogokotniku.

Rešitev.

Za rešitev tega problema uporabimo izrek o vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika.

Izrek pravi: Za konveksni n-kotnik je vsota vseh zunanjih kotov 360 ° .

V to smer,

3 * (180-113) + (n-3) x = 360

desna stran izraza je vsota zunanjih kotov, na levi strani je vsota treh kotov znana po pogoju in stopenjska mera preostalih (njihovo število oz. n-3, saj so trije koti so znani) je označen z x.

159 je mogoče razstaviti samo na dva faktorja 53 in 3, pri čemer je 53 praštevilo. To pomeni, da ni drugih parov dejavnikov.

Tako je n-3 = 3, n = 6, kar pomeni, da je število vogalov mnogokotnika šest.

Odgovori: šest vogalov

Naloga

Dokaži, da ima lahko konveksni mnogokotnik največ tri ostre vogale.

Rešitev

Kot veste, je vsota zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika 360 0. Dokažimo s protislovjem. Če ima konveksni mnogokotnik vsaj štiri ostre notranje kote, so torej med njegovimi zunanjimi vogali vsaj štirje topi, od koder sledi, da je vsota vseh zunanjih kotov mnogokotnika večja od 4 * 90 0 = 360 0. Imamo protislovje. Trditev je dokazana.

Za primer konveksnega n-kotnika

Pustiti A 1 A 2. ... ... A n (\ displaystyle A_ (1) A_ (2) ... A_ (n)) je dani konveksni mnogokotnik in n> 3. Nato rišemo iz enega oglišča do nasprotnih vozlišč ( n- 3) diagonale: A 1 A 3, A 1 A 4, A 1 A 5. ... ... A 1 A n - 1 (\ displaystyle A_ (1) A_ (3), A_ (1) A_ (4), A_ (1) A_ (5) ... A_ (1) A_ (n-1))... Ker je poligon konveksen, ga te diagonale razdelijo na ( n- 2) trikotniki: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4,. ... ... , Δ A 1 A n - 1 A n (\ displaystyle \ Delta A_ (1) A_ (2) A_ (3), \ Delta A_ (1) A_ (3) A_ (4), ..., \ Delta A_ (1) A_ (n-1) A_ (n))... Vsota kotov mnogokotnika je enaka vsoti kotov vseh teh trikotnikov. Vsota kotov v vsakem trikotniku je 180 °, število teh trikotnikov pa je n- 2. Zato je vsota kotov n-kotnik je enak 180 ° ( n − 2) . Izrek je dokazan.

Komentar

Za nekonveksni n-kotnik je tudi vsota kotov 180 ° ( n- 2). Dokaz je lahko podoben, če poleg tega uporabimo lemo, da je mogoče kateri koli mnogokotnik razrezati z diagonalami v trikotnike, in se ne zanašamo na dejstvo, da so diagonale narisane nujno iz enega oglišča (omejeno s tem pogojem, rezanje nekonveksnega mnogokotnika ni vedno možno v smislu, da nekonveksni mnogokotnik nima nujno vsaj enega oglišča, vse diagonale, iz katerih ležijo znotraj mnogokotnika, pa tudi trikotnike, ki jih tvorijo).