Povprečne vrednosti naključnih spremenljivk. Matematično pričakovanje je verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke

Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključna spremenljivka.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti in njihovih verjetnosti:

Primer.

X -4 6 10
r 0,2 0,3 0,5

Rešitev: Matematično pričakovanje je enako vsoti produktov vseh možnih vrednosti X in njihovih verjetnosti:

M (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

Za izračun matematičnega pričakovanja je priročno izvesti izračune v Excelu (še posebej, če je podatkov veliko), predlagamo uporabo že pripravljena predloga ().

Primer za samostojno reševanje (lahko uporabite kalkulator).
Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X, podano z distribucijskim zakonom:

X 0,21 0,54 0,61
r 0,1 0,5 0,4

Matematično pričakovanje ima naslednje lastnosti.

Lastnost 1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako konstanti sami: M(C)=C.

Lastnost 2. Konstantni faktor lahko izločimo kot predznak matematičnega pričakovanja: M(CX)=CM(X).

Lastnost 3. Matematično pričakovanje zmnožka medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku matematičnih pričakovanj faktorjev: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Lastnost 4. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Naloga 189. Poiščite matematično pričakovanje slučajne spremenljivke Z, če sta znana matematična pričakovanja X in Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Rešitev: Z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja (matematično pričakovanje vsote je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov; konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja) dobimo M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja dokažite, da: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) matematično pričakovanje odklona X-M(X) je enako nič.

191. Diskretna naključna spremenljivka X ima tri možne vrednosti: x1= 4 Z verjetnostjo p1 = 0,5; xЗ = 6 Z verjetnostjo P2 = 0,3 in x3 z verjetnostjo p3. Poiščite: x3 in p3, pri čemer veste, da je M(X)=8.

192. Podan je seznam možnih vrednosti diskretne naključne spremenljivke X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; znana sta tudi matematična pričakovanja te vrednosti in njen kvadrat: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Poiščite verjetnosti p1, p2, p3, ki ustrezajo možnim vrednostim xi

194. Serija 10 delov vsebuje tri nestandardne dele. Dva dela sta bila izbrana naključno. Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X - število nestandardni deli med dvema izbranima.

196. Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X-število takih metov petih kocke, od katerih se bo na dveh kockah pojavila ena točka, če skupno število meti so enaki dvajsetim.

Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako številu poskusov, pomnoženemu z verjetnostjo, da se dogodek zgodi v enem poskusu:

Povprečne vrednosti naključnih spremenljivk

Pretvarjajmo se, da X– diskretna naključna spremenljivka, ki je zaradi eksperimenta prevzela vrednosti x 1 , x 2 ,…, x n z verjetnostmi str 1 , str 2 ,…, p n, . Nato povprečna vrednost ali matematično pričakovanje vrednosti X imenovani znesek , tj. utežena povprečna vrednost X, kjer so uteži verjetnosti p i.

Primer. Določite povprečno vrednost napake regulacije e, če na podlagi velikega števila poskusov ugotovite, da je verjetnost napake p i je enako:

e, %	0,1	0,15	0,2	0,25	0,3
p i	0,2	0,2	0,3	0,15	0,15

1. M[e] = 0,1×0,2 + 0,15×0,2 + 0,2×0,3 + 0,25×0,15 + 0,3×0,15 =

V primeru, da g( X) je funkcija X(in verjetnost, da X = x i enako p i), potem je povprečna vrednost funkcije definirana kot

Pretvarjajmo se, da X je naključna spremenljivka z zvezno porazdelitvijo in je označena z gostoto verjetnosti j( x). Potem je verjetnost, da je X med x in x+D X:

Vrednost X v tem primeru približno zavzame vrednost x. V meji pri D x® 0, lahko predpostavimo, da je prirastek D xštevilčno enaka diferencialu d x.

Z zamenjavo D x= d X, dobimo natančno formulo za izračun povprečne vrednosti X :

Podobno za g( X):

Praviloma ni dovolj poznati samo povprečno vrednost (matematično pričakovanje) naključne spremenljivke. Za oceno mere naključnosti količine (za oceno širjenja določenih vrednosti X glede na matematično pričakovanje M[X]) uveden je koncept disperzije naključne spremenljivke. Disperzija je povprečna vrednost kvadrata odstopanja vsake specifične vrednosti X od matematičnega pričakovanja. Večja kot je disperzija, večja je naključnost širjenja vrednosti iz matematičnega pričakovanja. Če je naključna spremenljivka diskretna, potem

Za zvezno naključno spremenljivko lahko varianco zapišemo podobno:

Razpršenost dobro opiše širjenje vrednosti, vendar obstaja ena pomanjkljivost: dimenzija ne ustreza dimenziji X. Da bi se znebili te pomanjkljivosti, v posebnih aplikacijah pogosto upoštevajo ne, ampak pozitivna vrednost ki se imenuje standardni odklon.

1.3.2.1. Lastnosti matematičnega pričakovanja

1. Matematično pričakovanje nenaključne vrednosti je enako tej vrednosti sami M[C] = C.

2. Nenaključni množitelj Z lahko vzamemo kot znak matematičnega pričakovanja M[CX] = C.M.[X].

3. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj teh naključnih spremenljivk.

4. Matematično pričakovanje zmnožka neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku matematičnih pričakovanj teh spremenljivk (pogoj neodvisnosti naključnih spremenljivk).

1.3.2.2. Disperzijske lastnosti

1. Disperzija nenaključne količine Z enako nič: D[C]=0.

2. Varianca zmnožka nenaključnega množitelja Z po naključni spremenljivki je enak zmnožku Z 2 za varianco naključne spremenljivke.

3. Varianca vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk X 1 in X 2 je enak vsoti varianc členov

1.3.3. Trenutki naključne spremenljivke

Pustiti X– zvezna naključna spremenljivka. Če je n pozitivno celo število in funkcija x n je integrabilen na intervalu (–¥; +¥), nato povprečna vrednost

n = 0, 1,…, n

klical začetni trenutek red n naključna spremenljivka X.

Očitno je, da je trenutek ničelnega reda

,

Izkazalo se je, da je mogoče številne praktične probleme rešiti z uporabo nekaj porazdelitvenih karakteristik, poznavanje natančne porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke pa je neobvezno. Takšne opredelitvene značilnosti naključne spremenljivke vključujejo na primer njeno povprečje in standardne kvadratne vrednosti ter standardno odstopanje.

Povprečne vrednosti naključnih spremenljivk lahko najdete iz izkušenj, pa tudi iz poznavanja porazdelitvenih funkcij naključnih spremenljivk. Poglejmo, kako najti ta povprečja v različnih primerih.

Naj naključna spremenljivka sprejme: vrednosti z verjetnostjo ali ta vrednost enkrat izpade

vrednost z verjetnostjo ali ta vrednost enkrat izpade iz končno,

vrednost z verjetnostjo ali ta vrednost enkrat izpade

Potem bo vsota vrednosti naključne spremenljivke med testiranjem:

Če želite najti povprečno vrednost naključne spremenljivke, tj. vrednost na test, morate vsoto deliti s skupnim številom testov:

Če imamo neko povprečno vrednost, najdeno s formulo (2.11), potem, na splošno, kdaj različne pomene od celotnega števila testov bodo tudi vrednosti povprečne vrednosti drugačne, saj so obravnavane vrednosti naključne narave. Ko pa število narašča, se povprečna vrednost dane količine nagiba k določeni meji a. In večje kot je število preskusov, bližje določeno s formulo (2.11) se bo približalo tej mejni vrednosti:

Zadnja enakost je tako imenovani zakon velikih števil ali Čebiševljev izrek: povprečna vrednost naključne spremenljivke se nagiba k konstantnemu številu pri zelo veliko število meritve.

Torej je povprečna vrednost naključne spremenljivke enaka vsoti produktov naključne spremenljivke in verjetnosti njenega pojava.

Če se naključna spremenljivka nenehno spreminja, je njeno povprečno vrednost mogoče najti z integracijo:

Povprečne vrednosti imajo številne pomembne lastnosti:

1) povprečna vrednost konstantne vrednosti je enaka sami konstantni vrednosti, tj.

2) povprečna vrednost neke slučajne spremenljivke je konstantna vrednost, tj.

3) povprečna vrednost vsote več naključnih spremenljivk je enaka vsoti povprečnih vrednosti teh spremenljivk, tj.

4) povprečna vrednost produkta dveh medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka produktu povprečnih vrednosti vsake od njih, tj.

Razširitev tega pravila na večje število neodvisne količine imamo:

Včasih je iz takšnih ali drugačnih razlogov poznavanje povprečne vrednosti naključne spremenljivke nezadostno. V takih primerih se ne išče samo povprečna vrednost naključne spremenljivke, temveč povprečna vrednost kvadrata te vrednosti (kvadrat). V tem primeru veljajo podobne formule:

za diskretne vrednosti in

v primeru zvezne spremembe naključne spremenljivke.

Srednja kvadratna vrednost naključne spremenljivke je vedno pozitivna in ne izniči.

Pogosto se moramo zanimati ne le za povprečne vrednosti same naključne spremenljivke, temveč tudi za povprečne vrednosti nekaterih funkcij naključne spremenljivke.

Na primer, glede na porazdelitev molekul po hitrosti lahko ugotovimo povprečno hitrost. Morda pa nas zanima tudi povprečna kinetična energija toplotnega gibanja, ki je kvadratna funkcija hitrost. V takih primerih lahko uporabite naslednje splošne formule, ki določa povprečno vrednost poljubne funkcije naključne spremenljivke za primer diskretne porazdelitve

za to priložnost kontinuirana distribucija

Če želite najti povprečne vrednosti naključne spremenljivke ali funkcije naključne spremenljivke z uporabo nenormalizirane porazdelitvene funkcije, uporabite formule:

Tukaj se integracija izvaja povsod v celotnem razponu možnih vrednosti naključne spremenljivke

Odstopanje od povprečja. V številnih primerih se izkaže, da poznavanje srednje vrednosti in srednje kvadratne vrednosti naključne spremenljivke ne zadošča za karakterizacijo naključne spremenljivke. Zanimiva je tudi porazdelitev naključne spremenljivke okoli njene srednje vrednosti. Da bi to naredili, se preuči odstopanje naključne spremenljivke od povprečne vrednosti.

Če pa vzamemo povprečno odstopanje naključne spremenljivke od njene srednje vrednosti, tj. povprečje števil:

potem dobimo, tako v primeru diskretne kot v primeru zvezne porazdelitve, nič. res,

Včasih je mogoče najti povprečno vrednost modula odstopanj naključne spremenljivke od povprečne vrednosti, to je vrednost:

Vendar so izračuni z absolutnimi vrednostmi pogosto težki in včasih nemogoči.

Zato se veliko pogosteje za karakterizacijo porazdelitve naključne spremenljivke okoli njene srednje vrednosti uporablja tako imenovani standardni odklon ali srednji kvadratni odklon. Srednji kvadratni odklon sicer imenujemo varianca naključne spremenljivke. Varianca je določena s formulami:

ki se pretvorijo v eno vrsto (glej nalogi 5, 9).

kjer vrednost predstavlja kvadrat odstopanja naključne spremenljivke od njene srednje vrednosti.

Kvadratni koren variance naključne spremenljivke se imenuje standardni odklon naključne spremenljivke in za fizikalne količine- nihanje:

Včasih se uvede relativno nihanje, določeno s formulo

Tako lahko ob poznavanju porazdelitvenega zakona naključne spremenljivke določimo vse značilnosti naključne spremenljivke, ki nas zanimajo: srednjo vrednost, srednji kvadrat, srednjo vrednost poljubne funkcije slučajne spremenljivke, srednji kvadratni odklon ali disperzijo in nihanje naključna spremenljivka.

Zato je ena glavnih nalog statistične fizike iskanje zakonitosti in porazdelitvenih funkcij določenih fizikalnih naključnih spremenljivk in parametrov v različnih fizikalnih sistemih.

Poleg distribucijskih zakonov je mogoče opisati tudi naključne spremenljivke numerične značilnosti .

Matematično pričakovanje M (x) naključne spremenljivke imenujemo njena srednja vrednost.

Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke se izračuna z uporabo formule

Kje – vrednosti naključnih spremenljivk, str jaz - njihove verjetnosti.

Oglejmo si lastnosti matematičnega pričakovanja:

1. Matematično pričakovanje konstante je enako konstanti sami

2. Če naključno spremenljivko pomnožimo z določenim številom k, bo matematično pričakovanje pomnoženo z istim številom

M (kx) = kM (x)

3. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) + … + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Za neodvisne naključne spremenljivke x 1, x 2, … x n je matematično pričakovanje zmnožka enako zmnožku njihovih matematičnih pričakovanj.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Izračunajmo matematično pričakovanje za naključno spremenljivko iz primera 11.

M(x) = = .

Primer 12. Naj sta naključni spremenljivki x 1, x 2 ustrezno določeni z zakoni distribucije:

x 1 Tabela 2

x 2 Tabela 3

Izračunajmo M (x 1) in M ​​(x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Matematična pričakovanja obeh naključnih spremenljivk so enaka – enaka nič. Vendar je narava njihove porazdelitve drugačna. Če se vrednosti x 1 malo razlikujejo od njihovega matematičnega pričakovanja, potem se vrednosti x 2 v veliki meri razlikujejo od svojega matematičnega pričakovanja in verjetnosti takšnih odstopanj niso majhne. Ti primeri kažejo, da je iz povprečne vrednosti nemogoče ugotoviti, katera odstopanja od nje se pojavljajo, tako manjša kot večja. Torej ob enaki povprečni letni količini padavin na dveh območjih ni mogoče reči, da sta ti območji enako ugodni za kmetijska dela. Podobno povprečju plače ni mogoče soditi specifična težnost visoko in slabo plačani delavci. Zato je uvedena numerična značilnost - disperzija D(x) , ki označuje stopnjo odstopanja naključne spremenljivke od njene povprečne vrednosti:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Disperzija je matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od matematičnega pričakovanja. Za diskretno naključno spremenljivko se varianca izračuna po formuli:

D(x)= = (3)

Iz definicije disperzije sledi, da je D (x) 0.

Disperzijske lastnosti:

1. Varianca konstante je nič

2. Če naključno spremenljivko pomnožimo z določenim številom k, potem bo varianca pomnožena s kvadratom tega števila

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Za parno neodvisne slučajne spremenljivke x 1 , x 2 , … x n je varianca vsote enaka vsoti varianc.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) + … + D (x n)

Izračunajmo varianco za naključno spremenljivko iz primera 11.

Matematično pričakovanje M (x) = 1. Zato imamo po formuli (3):

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Upoštevajte, da je varianco lažje izračunati, če uporabite lastnost 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Izračunajmo variance za naključne spremenljivke x 1 , x 2 iz primera 12 s to formulo. Matematična pričakovanja obeh naključnih spremenljivk so enaka nič.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Bližje kot je vrednost variance nič, manjši je razpon naključne spremenljivke glede na srednjo vrednost.

Količina se imenuje standardni odklon. Način naključne spremenljivke x diskretni tip Md Imenuje se vrednost naključne spremenljivke, ki ima največjo verjetnost.

Način naključne spremenljivke x neprekinjen tip Md, je realno število, definirano kot točka maksimuma gostote porazdelitve verjetnosti f(x).

Mediana naključne spremenljivke x zvezni tip Mn je realno število, ki zadošča enačbi

Koncept matematičnega pričakovanja lahko obravnavamo na primeru metanja kocke. Z vsakim metom se zabeležijo padle točke. Da jih izrazimo, uporabljamo naravne vrednote v območju 1-6.

Po določenem številu metov lahko s preprostimi izračuni poiščete aritmetično povprečje vrženih točk.

Tako kot pojav katere koli vrednosti v obsegu bo tudi ta vrednost naključna.

Kaj pa, če večkrat povečate število metov? pri velike količine metov, se bo aritmetično povprečje točk približalo določenemu številu, ki se v teoriji verjetnosti imenuje matematično pričakovanje.

Z matematičnim pričakovanjem torej razumemo povprečno vrednost naključne spremenljivke. Ta indikator je lahko predstavljen tudi kot utežena vsota verjetnih vrednosti vrednosti.

Ta koncept ima več sinonimov:

• Povprečna vrednost;
• Povprečna vrednost;
• indikator centralne težnje;
• prvi trenutek.

Z drugimi besedami, ni nič drugega kot število, okoli katerega so porazdeljene vrednosti naključne spremenljivke.

IN različna področjačlovekove dejavnosti bodo pristopi k razumevanju matematičnega pričakovanja nekoliko drugačni.

Lahko se šteje kot:

• povprečna korist, pridobljena z odločitvijo, če se taka odločitev obravnava z vidika teorije velikih števil;
• možni znesek dobitka ali poraza (teorija igre na srečo), izračunano povprečno za vsako stavo. V slengu zvenijo kot "prednost igralca" (pozitivno za igralca) ali "prednost igralnice" (negativno za igralca);
• odstotek dobička, prejetega z dobitki.

Pričakovanje ni obvezno za absolutno vse naključne spremenljivke. Ni ga pri tistih, ki imajo odstopanje v ustrezni vsoti ali integralu.

Lastnosti matematičnega pričakovanja

Kot vsak statistični parameter ima tudi matematično pričakovanje naslednje lastnosti:

Osnovne formule za matematično pričakovanje

Izračun matematičnega pričakovanja se lahko izvede tako za naključne spremenljivke, za katere sta značilni tako kontinuiteta (formula A) kot diskretnost (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kjer so xi vrednosti naključne spremenljivke, pi verjetnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kjer je f(x) podana gostota verjetnosti.

Primeri izračuna matematičnega pričakovanja

Primer A.

Ali je mogoče ugotoviti povprečno višino škratov v pravljici o Sneguljčici. Znano je, da je imel vsak od 7 škratov določeno višino: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 in 0,81 m.

Algoritem izračuna je precej preprost:

• najdemo vsoto vseh vrednosti kazalnika rasti (naključna spremenljivka):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Dobljeno količino razdelite na število gnomov:
  6,31:7=0,90.

Tako je povprečna višina palčkov v pravljici 90 cm. Z drugimi besedami, to je matematično pričakovanje rasti palčkov.

Delovna formula - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktična izvedba matematičnega pričakovanja

Izračun statističnega kazalnika matematičnega pričakovanja se uporablja na različnih področjih praktične dejavnosti. Najprej govorimo o komercialni sferi. Navsezadnje je Huygensova uvedba tega kazalnika povezana z določanjem možnosti, ki so lahko ugodne ali, nasprotno, neugodne za določen dogodek.

Ta parameter se pogosto uporablja za ocenjevanje tveganj, zlasti ko gre za finančne naložbe.
Tako v poslovanju izračun matematičnega pričakovanja deluje kot metoda za ocenjevanje tveganja pri izračunu cen.

Ta kazalnik se lahko uporablja tudi za izračun učinkovitosti določenih ukrepov, na primer varstva pri delu. Zahvaljujoč temu lahko izračunate verjetnost, da se dogodek zgodi.

Drugo področje uporabe tega parametra je upravljanje. Lahko se izračuna tudi med kontrolo kakovosti izdelka. Na primer z uporabo mat. pričakovanj, lahko izračunate možno število proizvedenih okvarjenih delov.

Matematično pričakovanje se izkaže za nenadomestljivo tudi pri statistični obdelavi rezultatov, dobljenih med znanstvena raziskava rezultate. Omogoča vam izračun verjetnosti želenega ali nezaželenega rezultata poskusa ali študije glede na stopnjo doseganja cilja. Navsezadnje je njegov dosežek lahko povezan z dobičkom in koristjo, njegov neuspeh pa z izgubo ali izgubo.

Uporaba matematičnega pričakovanja v Forexu

Praktična uporaba tega statističnega parametra je možna pri izvajanju transakcij na deviznem trgu. Z njegovo pomočjo lahko analizirate uspešnost trgovinskih transakcij. Poleg tega povečanje pričakovane vrednosti kaže na povečanje njihove uspešnosti.

Pomembno si je tudi zapomniti, da se matematično pričakovanje ne sme obravnavati kot edini statistični parameter, ki se uporablja za analizo uspešnosti trgovca. Uporaba več statističnih parametrov skupaj s povprečno vrednostjo bistveno poveča natančnost analize.

Ta parameter se je dobro izkazal pri spremljanju opazovanj trgovalnih računov. Zahvaljujoč temu se izvede hitra ocena opravljenega dela na depozitnem računu. V primerih, ko je dejavnost trgovca uspešna in se izogiba izgubam, ni priporočljivo uporabljati izključno izračuna matematičnega pričakovanja. V teh primerih tveganja niso upoštevana, kar zmanjšuje učinkovitost analize.

Izvedene študije taktik trgovcev kažejo, da:

• Najučinkovitejše taktike so tiste, ki temeljijo na naključnem vnosu;
• Najmanj učinkovite so taktike, ki temeljijo na strukturiranih vložkih.

Za doseganje pozitivnih rezultatov niso nič manj pomembni:

• taktika upravljanja denarja;
• izhodne strategije.

Z uporabo takšnega kazalnika, kot je matematično pričakovanje, lahko napoveste, kakšen bo dobiček ali izguba pri vlaganju 1 dolarja. Znano je, da je ta kazalnik, izračunan za vse igre, ki se izvajajo v igralnici, v korist ustanove. To je tisto, kar vam omogoča, da zaslužite denar. V primeru dolgega niza iger se verjetnost, da stranka izgubi denar, znatno poveča.

Igre, ki jih igrajo profesionalni igralci, so omejene na kratka časovna obdobja, kar poveča verjetnost zmage in zmanjša tveganje izgube. Enak vzorec je opazen pri izvajanju naložbenih operacij.

Vlagatelj lahko zasluži znaten znesek s pozitivnim predvidevanjem in izvedbo. velika količina transakcije v kratkem času.

Pričakovanje si lahko predstavljamo kot razliko med odstotkom dobička (PW), pomnoženim s povprečnim dobičkom (AW), in verjetnostjo izgube (PL), pomnoženo s povprečno izgubo (AL).

Kot primer lahko upoštevamo naslednje: pozicija - 12,5 tisoč dolarjev, portfelj - 100 tisoč dolarjev, tveganje depozita - 1%. Dobičkonosnost transakcij je 40% primerov s povprečnim dobičkom 20%. V primeru izgube je povprečna izguba 5 %. Izračun matematičnega pričakovanja za transakcijo daje vrednost 625 USD.