Spletni kalkulator za reševanje ulomkov racionalnih enačb. Reševanje matričnih enačb

Brezplačni kalkulator, ki vam ga predstavljamo, ima bogat arzenal možnosti za matematične izračune. Omogoča vam uporabo spletni kalkulator V različna področja aktivnosti: izobraževalni, strokovno in komercialni. Seveda je uporaba spletnega kalkulatorja še posebej priljubljena med študenti in šolski otroci, jim veliko olajša izvajanje različnih izračunov.

Hkrati lahko kalkulator postane uporabno orodje na nekaterih področjih poslovanja in za ljudi različne poklice. Seveda je potreba po uporabi kalkulatorja v poslu ali delu odvisna predvsem od same vrste dejavnosti. Če sta vaše podjetje in poklic povezana z nenehnimi izračuni in izračuni, potem je vredno preizkusiti elektronski kalkulator in oceniti stopnjo njegove uporabnosti za določeno nalogo.

Ta spletni kalkulator lahko

• Pravilno izvajajte standardne matematične funkcije, zapisane v eni vrstici, kot je - 12*3-(7/2) in lahko obdela številke, večje od tistih, ki jih lahko preštejemo v spletnem kalkulatorju. Sploh ne vemo, kako pravilno poimenovati tako število (. znakov je 34 in to sploh ni omejitev).
• Razen tangenta, kosinus, sinus in druge standardne funkcije - kalkulator podpira računske operacije arktangens, arkkotangens in drugi.
• Na voljo v Arsenalu logaritmi, faktoriali in druge zanimive lastnosti
• Ta spletni kalkulator zna graditi grafe!!!

Za risanje grafov storitev uporablja poseben gumb (graf je narisan sivo) ali črkovni prikaz te funkcije (Plot). Če želite zgraditi graf v spletnem kalkulatorju, samo napišite funkcijo: plot(tan(x)),x=-360..360.

Za tangento smo vzeli najenostavnejši graf, za decimalno vejico pa smo navedli razpon spremenljivke X od -360 do 360.

Sestavite lahko popolnoma katero koli funkcijo s poljubnim številom spremenljivk, na primer to: graf(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) ali celo bolj zapleteno, ki si ga lahko izmislite. Bodite pozorni na obnašanje spremenljivke X - interval od in do je označen z dvema pikama.

Edina pomanjkljivost (čeprav je težko imenovati pomanjkljivost) tega spletnega kalkulatorja je, da ne more zgraditi krogel in drugih tridimenzionalnih figur - samo ravnine.

Kako uporabljati matematični kalkulator

1. Zaslon (zaslon kalkulatorja) izpiše vneseni izraz in rezultat njegovega izračuna v navadnih simbolih, kot jih pišemo na papir. To polje je preprosto za ogled trenutne transakcije. Vnos se prikaže na zaslonu, ko vnesete matematični izraz v vnosno vrstico.

2. Polje za vnos izraza je namenjeno zapisu izraza, ki ga želimo izračunati. Tukaj je treba opozoriti, da so matematični simboli, uporabljeni v računalniški programi, ne sovpadajo vedno s tistimi, ki jih običajno uporabljamo na papirju. V pregledu posamezne funkcije kalkulatorja boste našli pravilno oznako za določeno operacijo in primere izračunov v kalkulatorju. Na tej spodnji strani je seznam vseh možnih operacij v kalkulatorju, pri čemer je navedeno tudi njihovo pravilno črkovanje.

3. Orodna vrstica - to so gumbi kalkulatorja, ki nadomeščajo ročni vnos matematičnih simbolov, ki označuje ustrezno operacijo. Nekateri gumbi kalkulatorja (dodatne funkcije, pretvornik enot, reševanje matrik in enačb, grafi) dopolnjujejo opravilno vrstico z novimi polji, kjer se vnašajo podatki za določen izračun. Polje »Zgodovina« vsebuje primere pisanja matematičnih izrazov in vaših šest zadnjih vnosov.

Upoštevajte, da ko pritisnete klicne gumbe dodatne funkcije, pretvornik količin, reševanje matrik in enačb, risanje grafov, celotna plošča kalkulatorja se premakne navzgor in pokriva del zaslona. Izpolnite zahtevana polja in pritisnite tipko "I" (na sliki označeno z rdečo), da se prikaže zaslon v polni velikosti.

4. Numerična tipkovnica vsebuje številke in aritmetične simbole. Gumb "C" izbriše celoten vnos v polju za vnos izraza. Če želite izbrisati znake enega za drugim, morate uporabiti puščico na desni strani vnosne vrstice.

Poskusite vedno zapreti oklepaje na koncu izraza. Za večino operacij to ni kritično; spletni kalkulator bo vse pravilno izračunal. Vendar pa lahko v nekaterih primerih pride do napak. Na primer, pri povišanju na ulomek bodo nezaprti oklepaji povzročili, da bo imenovalec ulomka v eksponentu prešel v imenovalec osnove. Zaključni oklepaj je na zaslonu prikazan bledo sivo in ga je treba zapreti, ko je snemanje končano.

Ključ	Simbol	Delovanje
pi	pi	Konstanta pi
e	e	Eulerjevo število
%	%	Odstotek
()	()	Odpri/zapri oklepaje
,	,	Vejica
greh	greh(?)	Sinus kota
cos	ker(?)	Kosinus
porjavelost	tan(y)	Tangenta
sinh	sinh()	Hiperbolični sinus
cosh	cosh()	Hiperbolični kosinus
tanh	tanh()	Hiperbolični tangens
greh -1	kot v()	Povratni sinus
cos -1	acos()	Inverzni kosinus
tan -1	atan()	Reverzna tangenta
sinh -1	asinh()	Inverzni hiperbolični sinus
koš -1	acosh()	Inverzni hiperbolični kosinus
tanh -1	atanh()	Inverzni hiperbolični tangens
x 2	^2	Kvadratura
x 3	^3	Kocka
x y	^	Potenciranje
10 x	10^()	Potenciranje na osnovo 10
e x	exp()	Potenciranje Eulerjevega števila
vx	sqrt(x)	Kvadratni koren
3 vx	sqrt3(x)	3. koren
yvx	sqrt(x,y)	Pridobivanje korenin
hlod 2 x	log2(x)	Binarni logaritem
dnevnik	log(x)	Decimalni logaritem
ln	ln(x)	Naravni logaritem
log y x	log(x,y)	Logaritem
I/II		Pomanjšaj/prikliči dodatne funkcije
Enota		Pretvornik enot
Matrix		Matrike
Rešiti		Enačbe in sistemi enačb
		Grafiranje
Dodatne funkcije (klic s tipko II)
mod	mod	Deljenje z ostankom
!	!	Faktorial
i/j	i/j	Imaginarna enota
Re	Re()	Izolacija celotnega realnega dela
Sem	Sem()	Brez pravega dela
|x|	abs()	Absolutna vrednost števila
Arg	arg()	Argument funkcije
nCr	ncr()	Binomski koeficient
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
vsota	vsota()	Skupna vrednost vseh odločitev
fak	faktoriziraj()	Prafaktorizacija
razl	diff()	Diferenciacija
Deg		Stopnje
Rad		Radiani

V tem videoposnetku bomo analizirali cel niz linearnih enačb, ki jih rešujemo z istim algoritmom - zato jih imenujemo najpreprostejše.

Najprej opredelimo: kaj je linearna enačba in katera se imenuje najenostavnejša?

Linearna enačba je enačba, v kateri je samo ena spremenljivka in le do prve stopnje.

Najenostavnejša enačba pomeni konstrukcijo:

Vse ostale linearne enačbe so reducirane na najpreprostejše z uporabo algoritma:

1. Razširite oklepaje, če obstajajo;
2. Premakni izraze, ki vsebujejo spremenljivko, na eno stran znaka enačaja, izraze brez spremenljivke pa na drugo;
3. Levo in desno od znaka enačaja navedite podobne izraze;
4. Dobljeno enačbo delite s koeficientom spremenljivke $x$.

Seveda ta algoritem ne pomaga vedno. Dejstvo je, da se včasih po vseh teh mahinacijah izkaže, da je koeficient spremenljivke $x$ enak nič. V tem primeru sta možni dve možnosti:

1. Enačba sploh nima rešitev. Na primer, ko se izkaže nekaj takega kot $0\cdot x=8$, tj. na levi je nič, na desni pa število, ki ni nič. V spodnjem videu si bomo ogledali več razlogov, zakaj je to mogoče.
2. Rešitev so vse številke. Edini primer, ko je to mogoče, je, ko je enačba reducirana na konstrukcijo $0\cdot x=0$. Povsem logično je, da ne glede na to, kateri $x$ zamenjamo, se bo še vedno izkazalo, da je "nič enako nič", tj. pravilna številčna enakost.

Zdaj pa poglejmo, kako vse to deluje na primerih iz resničnega življenja.

Primeri reševanja enačb

Danes imamo opravka z linearnimi enačbami, in to le z najpreprostejšimi. Na splošno velja, da linearna enačba pomeni vsako enakost, ki vsebuje natanko eno spremenljivko in gre samo na prvo stopnjo.

Takšne konstrukcije so rešene na približno enak način:

1. Najprej morate razširiti oklepaje, če obstajajo (kot v našem zadnjem primeru);
2. Nato združite podobno
3. Na koncu izolirajte spremenljivko, tj. premaknite vse, kar je povezano s spremenljivko – izraze, v katerih je vsebovana – na eno stran in premaknite vse, kar ostane brez nje, na drugo stran.

Potem morate praviloma dati podobne na vsaki strani dobljene enakosti, nato pa ostane le še delitev s koeficientom "x" in dobili bomo končni odgovor.

V teoriji je to videti lepo in preprosto, v praksi pa lahko celo izkušeni srednješolci naredijo žaljive napake v precej preprostih linearnih enačbah. Običajno pride do napak pri odpiranju oklepajev ali pri izračunu "plusov" in "minusov".

Poleg tega se zgodi, da linearna enačba sploh nima rešitev ali pa je rešitev celotna številska premica, tj. poljubno število. Te podrobnosti si bomo ogledali v današnji lekciji. Začeli pa bomo, kot ste že razumeli, z zelo preproste naloge.

Shema za reševanje preprostih linearnih enačb

Najprej naj še enkrat napišem celotno shemo za reševanje najpreprostejših linearnih enačb:

1. Razširite oklepaje, če obstajajo.
2. Izoliramo spremenljivke, tj. Vse, kar vsebuje "X" premaknemo na eno stran, vse brez "X" pa na drugo.
3. Predstavljamo podobne pogoje.
4. Vse delimo s koeficientom "x".

Seveda ta shema ne deluje vedno, v njej so določene tankosti in triki, zdaj pa jih bomo spoznali.

Reševanje realnih primerov enostavnih linearnih enačb

Naloga št. 1

Prvi korak zahteva, da odpremo oklepaje. Vendar jih v tem primeru ni, zato ta korak preskočimo. V drugem koraku moramo izolirati spremenljivke. Opomba: govorimo le o posameznih izrazih. Zapišimo:

Na levi in ​​desni strani predstavljamo podobne izraze, vendar je to tukaj že narejeno. Zato preidemo na četrti korak: delimo s koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako smo dobili odgovor.

Naloga št. 2

V tem problemu vidimo oklepaje, zato jih razširimo:

Tako na levi kot na desni vidimo približno enako zasnovo, vendar ravnajmo po algoritmu, tj. ločevanje spremenljivk:

Tukaj je nekaj podobnih:

Pri katerih koreninah to deluje? Odgovor: za katero koli. Zato lahko zapišemo, da je $x$ poljubno število.

Naloga št. 3

Tretja linearna enačba je bolj zanimiva:

\[\levo(6-x \desno)+\levo(12+x \desno)-\levo(3-2x \desno)=15\]

Obstaja več oklepajev, vendar se ne pomnožijo z ničemer, le pred njimi je razna znamenja. Razčlenimo jih:

Izvedemo drugi korak, ki nam je že znan:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Izračunajmo:

Izvedemo zadnji korak - vse delimo s koeficientom "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari, ki si jih morate zapomniti pri reševanju linearnih enačb

Če zanemarimo preveč preproste naloge, bi rad povedal naslednje:

• Kot sem rekel zgoraj, vsaka linearna enačba nima rešitve - včasih preprosto ni korenin;
• Tudi če so korenine, je lahko med njimi nič - s tem ni nič narobe.

Ničla je enaka kot druge; ne smete je kakor koli diskriminirati ali domnevati, da ste naredili nekaj narobe.

Druga značilnost je povezana z odpiranjem oklepajev. Upoštevajte: ko je pred njimi "minus", ga odstranimo, v oklepajih pa spremenimo znake v nasprotje. In potem ga lahko odpremo s standardnimi algoritmi: dobili bomo tisto, kar smo videli v zgornjih izračunih.

Razumevanje tega preprosto dejstvo vam bo omogočilo, da se izognete neumnim in žaljivim napakam v srednji šoli, ko so takšna dejanja samoumevna.

Reševanje kompleksnih linearnih enačb

Pojdimo na več kompleksne enačbe. Zdaj bodo konstrukcije postale bolj zapletene in pri izvajanju različnih transformacij se bo pojavila kvadratna funkcija. Vendar se tega ne smemo bati, kajti če po avtorjevem načrtu rešujemo linearno enačbo, potem se bodo med postopkom transformacije vsi monomi, ki vsebujejo kvadratno funkcijo, zagotovo preklicali.

Primer št. 1

Očitno je prvi korak odpiranje oklepajev. Naredimo to zelo previdno:

Zdaj pa si poglejmo zasebnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno je, da ta enačba nima rešitev, zato bomo to zapisali v odgovor:

\[\varnič\]

ali pa ni korenin.

Primer št. 2

Izvajamo enaka dejanja. Prvi korak:

Premaknimo vse s spremenljivko v levo in brez nje - v desno:

Tukaj je nekaj podobnih:

Očitno je, da ta linearna enačba nima rešitve, zato jo bomo zapisali takole:

\[\varnič\],

ali pa ni korenin.

Nianse rešitve

Obe enačbi sta popolnoma rešeni. Na primeru teh dveh izrazov smo se še enkrat prepričali, da tudi v najpreprostejših linearnih enačbah morda ni vse tako preprosto: lahko je ena ali nobena ali neskončno veliko korenin. V našem primeru smo upoštevali dve enačbi, obe preprosto nimata korenin.

Vendar bi vas rad opozoril na drugo dejstvo: kako delati z oklepaji in kako jih odpreti, če je pred njimi znak minus. Razmislite o tem izrazu:

Preden odprete, morate vse pomnožiti z "X". Prosimo, upoštevajte: pomnoži vsak posamezen termin. V notranjosti sta dva izraza - oziroma dva izraza in pomnožena.

In šele ko so te na videz elementarne, a zelo pomembne in nevarne preobrazbe končane, lahko odprete oklepaj z vidika dejstva, da je za njim znak minus. Da, da: šele zdaj, ko so transformacije končane, se spomnimo, da je pred oklepajem znak minus, kar pomeni, da vse spodaj preprosto spremeni predznak. Hkrati izginejo sami oklepaji in, kar je najpomembneje, izgine tudi sprednji "minus".

Enako naredimo z drugo enačbo:

Ni naključje, da sem pozoren na ta majhna, na videz nepomembna dejstva. Ker je reševanje enačb vedno zaporedje elementarnih transformacij, kjer nezmožnost jasnega in kompetentnega izvajanja preprostih dejanj vodi do tega, da srednješolci pridejo k meni in se znova naučijo reševati tako preproste enačbe.

Seveda bo prišel dan, ko boste te veščine izpilili do avtomatizma. Ne bo vam treba več vsakič izvajati toliko transformacij; vse boste zapisali v eno vrstico. Medtem ko se šele učite, morate vsako dejanje napisati posebej.

Reševanje tudi bolj zapletenih linearnih enačb

To, kar bomo zdaj rešili, težko imenujemo najpreprostejša naloga, vendar pomen ostaja enak.

Naloga št. 1

\[\levo(7x+1 \desno)\levo(3x-1 \desno)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo vse elemente v prvem delu:

Poskrbimo za zasebnost:

Tukaj je nekaj podobnih:

Dokončajmo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tukaj je naš končni odgovor. In kljub temu, da smo imeli v procesu reševanja koeficiente s kvadratno funkcijo, so se med seboj izničili, zaradi česar je enačba linearna in ne kvadratna.

Naloga št. 2

\[\levo(1-4x \desno)\levo(1-3x \desno)=6x\levo(2x-1 \desno)\]

Pazljivo izvedimo prvi korak: vsak element iz prvega oklepaja pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Po preobrazbah naj bi bili skupno štirje novi izrazi:

Zdaj pazljivo izvedimo množenje v vsakem členu:

Pojme z "X" premaknimo na levo, tiste brez - na desno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tukaj so podobni izrazi:

Ponovno smo prejeli končni odgovor.

Nianse rešitve

Najpomembnejša opomba o teh dveh enačbah je naslednja: takoj ko začnemo množiti oklepaje, ki vsebujejo več kot en člen, to storimo po naslednjem pravilu: vzamemo prvi člen iz prvega in pomnožimo z vsakim elementom iz drugi; potem vzamemo drugi element iz prvega in podobno pomnožimo z vsakim elementom iz drugega. Posledično bomo imeli štiri mandate.

O algebraični vsoti

S tem zadnjim primerom bi rad študente spomnil, kaj je algebraična vsota. V klasični matematiki mislimo z $1-7$ preprost dizajn: od ena odštej sedem. V algebri s tem mislimo naslednje: številu »ena« dodamo drugo število, in sicer »minus sedem«. Tako se algebraična vsota razlikuje od navadne aritmetične vsote.

Takoj, ko pri izvajanju vseh transformacij, vsakega seštevanja in množenja začnete videti konstrukcije, podobne zgoraj opisanim, preprosto ne boste imeli nobenih težav v algebri pri delu s polinomi in enačbami.

Za konec si oglejmo še nekaj primerov, ki bodo še bolj zapleteni od tistih, ki smo si jih pravkar ogledali, in za njihovo rešitev bomo morali nekoliko razširiti naš standardni algoritem.

Reševanje enačb z ulomki

Za rešitev takšnih nalog bomo morali našemu algoritmu dodati še en korak. Najprej pa naj vas spomnim na naš algoritem:

1. Odprite oklepaje.
2. Ločene spremenljivke.
3. Prinesite podobne.
4. Deli z razmerjem.

Žal, ta čudoviti algoritem se ob vsej svoji učinkovitosti izkaže za ne povsem primernega, ko imamo pred seboj ulomke. In v tem, kar bomo videli spodaj, imamo ulomek tako na levi kot na desni v obeh enačbah.

Kako delati v tem primeru? Da, zelo preprosto je! Če želite to narediti, morate v algoritem dodati še en korak, ki ga je mogoče storiti pred in po prvem dejanju, in sicer znebiti se ulomkov. Torej bo algoritem naslednji:

1. Znebite se ulomkov.
2. Odprite oklepaje.
3. Ločene spremenljivke.
4. Prinesite podobne.
5. Deli z razmerjem.

Kaj pomeni "znebiti se ulomkov"? In zakaj je to mogoče storiti po in pred prvim standardnim korakom? Pravzaprav so v našem primeru vsi ulomki številčni v svojem imenovalcu, tj. Povsod je imenovalec le številka. Če torej obe strani enačbe pomnožimo s tem številom, se bomo znebili ulomkov.

Primer št. 1

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno))(4)=((x)^(2))-1\]

Znebimo se ulomkov v tej enačbi:

\[\frac(\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)\cdot 4)(4)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Prosimo, upoštevajte: vse se enkrat pomnoži s "štiri", tj. samo zato, ker imate dva oklepaja, še ne pomeni, da morate vsakega pomnožiti s "štiri". Zapišimo:

\[\levo(2x+1 \desno)\levo(2x-3 \desno)=\levo(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Zdaj pa razširimo:

Izločimo spremenljivko:

Izvajamo redukcijo podobnih izrazov:

\[-4x=-1\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo končno rešitev, pojdimo k drugi enačbi.

Primer št. 2

\[\frac(\levo(1-x \desno)\levo(1+5x \desno))(5)+((x)^(2))=1\]

Tukaj izvajamo vsa ista dejanja:

\[\frac(\left(1-x \desno)\left(1+5x \desno)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je rešen.

To je pravzaprav vse, kar sem vam danes želel povedati.

Ključne točke

Ključne ugotovitve so:

• Poznati algoritem za reševanje linearnih enačb.
• Možnost odpiranja oklepajev.
• Ne skrbi, če vidiš kvadratne funkcije, najverjetneje se bodo v procesu nadaljnjih transformacij zmanjšale.
• V linearnih enačbah obstajajo tri vrste korenin, tudi najpreprostejših: en sam koren, celotna številska premica je koren in nobenih korenin.

Upam, da vam bo ta lekcija pomagala obvladati preprosto, a zelo pomembno temo za nadaljnje razumevanje celotne matematike. Če nekaj ni jasno, pojdite na spletno mesto in rešite tam predstavljene primere. Spremljajte nas, čaka vas še veliko zanimivega!

Aplikacija

Reševanje kakršnih koli enačb na spletu na spletnem mestu za študente in šolarje za utrjevanje preučene snovi.. Reševanje enačb na spletu. Enačbe na spletu. Obstajajo algebraične, parametrične, transcendentalne, funkcionalne, diferencialne in druge vrste enačb. Nekateri razredi enačb imajo analitične rešitve, ki so priročne, ker ne podajajo le točne vrednosti korena, temveč vam omogočajo tudi, da rešitev zapišete v obliki. obliki formule, ki lahko vključuje parametre. Analitični izrazi omogočajo ne le izračun korenin, ampak tudi analizo njihovega obstoja in količine glede na vrednosti parametrov, kar je pogosto še bolj pomembno za praktična uporaba, kot specifične vrednosti korenin. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Reševanje enačbe je naloga najti takšne vrednosti argumentov, pri katerih je ta enakost dosežena. Na možne vrednosti argumentov se lahko naložijo dodatni pogoji (celo število, realno itd.). Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbo lahko rešite na spletu takoj in z visoko natančnostjo rezultata. Argumenti določenih funkcij (včasih imenovani "spremenljivke") se v primeru enačbe imenujejo "neznane". Vrednosti neznank, pri katerih je ta enakost dosežena, se imenujejo rešitve ali korenine te enačbe. Rečeno je, da korenine izpolnjujejo to enačbo. Reševanje enačbe na spletu pomeni iskanje množice vseh njenih rešitev (korenov) ali dokazovanje, da korenin ni. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Enačbe, katerih množice korenin sovpadajo, imenujemo enakovredne ali enake. Enakovredne veljajo tudi za enačbe, ki nimajo korenin. Enakovrednost enačb ima lastnost simetrije: če je ena enačba enakovredna drugi, potem je druga enačba enakovredna prvi. Enakovrednost enačb ima lastnost tranzitivnosti: če je ena enačba enakovredna drugi, druga pa tretji, potem je prva enačba enakovredna tretji. Ekvivalenčnost enačb nam omogoča, da z njimi izvajamo transformacije, na katerih temeljijo metode za njihovo reševanje. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu. Spletno mesto vam bo omogočilo reševanje enačbe na spletu. Enačbe, za katere so znane analitične rešitve, vključujejo algebraične enačbe največ četrte stopnje: linearna enačba, kvadratna enačba, kubična enačba in enačba četrte stopnje. Algebraične enačbe V splošnem primeru enačbe višjih stopenj nimajo analitičnih rešitev, čeprav jih je mogoče nekatere zreducirati na enačbe nižjih stopenj. Enačbe, ki vključujejo transcendentne funkcije, imenujemo transcendentne. Med njimi so znane analitične rešitve za nekatere trigonometrične enačbe, od ničel trigonometrične funkcije dobro znan. V splošnem primeru, ko analitične rešitve ni mogoče najti, uporabimo numerične metode. Numerične metode ne dajejo natančne rešitve, ampak omogočajo le zožanje intervala, v katerem leži koren, na določeno vnaprej določeno vrednost. Reševanje enačb na spletu.. Enačbe na spletu.. Namesto enačbe na spletu si bomo predstavljali, kako isti izraz tvori linearno zvezo, ne samo vzdolž premice, ampak tudi na sami prevojni točki grafa. Ta metoda je nepogrešljiva v vsakem trenutku študija predmeta. Pogosto se zgodi, da se reševanje enačb približa končni vrednosti z uporabo neskončnih števil in zapisa vektorjev. Začetne podatke je treba preveriti in to je bistvo naloge. V nasprotnem primeru se lokalni pogoj pretvori v formulo. Inverzija vzdolž ravne črte od dano funkcijo, ki ga bo enačbeni kalkulator izračunal brez velike zamude pri izvedbi, bo zamik služil s privilegijem prostora. Govorili bomo o uspešnosti študentov v znanstvenem okolju. Vendar nam bo, tako kot vse zgoraj našteto, pomagalo pri iskanju in ko boste enačbo v celoti rešili, dobljeni odgovor shranilo na konce ravne črte. Premice v prostoru se sekajo v točki in ta točka se imenuje preseka premic. Interval v vrstici je označen, kot je bilo predhodno določeno. Najvišje delovno mesto za študij matematike bo objavljeno. Dodeljevanje vrednosti argumenta s parametrično določene površine in reševanje enačbe na spletu bosta lahko orisala načela produktivnega dostopa do funkcije. Möbiusov trak ali neskončnost, kot se imenuje, je videti kot osmica. To je enostranska površina, ne dvostranska. Po načelu, ki je vsem splošno znano, bomo linearne enačbe objektivno sprejeli kot osnovno oznako, kot je na področju raziskovanja. Samo dve vrednosti zaporedno podanih argumentov lahko razkrijeta smer vektorja. Ob predpostavki, da je druga rešitev spletnih enačb veliko več kot samo reševanje, pomeni pridobitev popolne različice invariante kot rezultat. brez celostni pristop dijaki se težko učijo ta material. Kot doslej bo naš priročen in pameten spletni kalkulator enačb za vsak poseben primer pomagal vsem v težkih časih, saj morate samo določiti vhodne parametre in sistem bo sam izračunal odgovor. Preden začnemo vnašati podatke, potrebujemo orodje za vnos, ki ga lahko naredimo brez večjih težav. Število vsake ocene odgovora bo vodilo do kvadratne enačbe do naših sklepov, vendar to ni tako enostavno narediti, ker je enostavno dokazati nasprotno. Teorija zaradi svojih značilnosti ni podprta s praktičnim znanjem. Ogled kalkulatorja ulomkov na stopnji objave odgovora v matematiki ni lahka naloga, saj alternativa zapisovanja števila na množico pomaga povečati rast funkcije. Nekorektno pa bi bilo, če ne bi govorili o izobraževanju študentov, zato bomo vsak povedali, kolikor je treba narediti. Prej najdena kubična enačba bo upravičeno spadala v domeno definicije in vsebovala prostor numeričnih vrednosti ter simbolnih spremenljivk. Ko se bodo izrek naučili ali zapomnili, se bodo naši učenci izkazali le z najboljša stran, in veseli jih bomo. Za razliko od presečišč več polj so naše spletne enačbe opisane z ravnino gibanja z množenjem dveh in treh numeričnih kombiniranih črt. Množica v matematiki ni enolično definirana. Najboljša rešitev je po mnenju študentov popoln posnetek izraza. Kot rečeno v znanstvenem jeziku, abstrakcija simbolnih izrazov ne vstopa v stanje stvari, vendar rešitev enačb daje nedvoumen rezultat v vseh znanih primerih. Trajanje učiteljeve lekcije je odvisno od potreb po tem predlogu. Analiza je pokazala, kako potrebni vsi računalniške tehnike na mnogih področjih in popolnoma jasno je, da je enačbeni kalkulator nepogrešljivo orodje v nadarjenih rokah študenta. Lojalen pristop k študiju matematike določa pomen pogledov iz različnih smeri. Identificirati želite enega od ključnih izrekov in rešiti enačbo na tak način, glede na odgovor katerega bo potrebna nadaljnja uporaba. Analitika na tem področju dobiva zagon. Začnimo od začetka in izpeljimo formulo. Ko prebijemo stopnjo povečanja funkcije, bo črta vzdolž tangente na prevojni točki zagotovo vodila do dejstva, da bo reševanje enačbe na spletu eden glavnih vidikov pri izdelavi istega grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristop ima pravico do uporabe, če ta pogoj ni v nasprotju s sklepi študentov. Podnaloga, ki vključuje analizo matematičnih pogojev kot linearne enačbe obstoječe območje definicije predmetov. Netiranje v smeri ortogonalnosti izniči prednost ene same absolutne vrednosti. Spletno reševanje enačb po modulu daje enako število rešitev, če odprete oklepaje najprej z znakom plus in nato z znakom minus. V tem primeru bo dvakrat več rešitev, rezultat pa bo natančnejši. Stabilen in pravilen spletni kalkulator enačb je uspeh pri doseganju zastavljenega cilja v nalogi, ki jo je zastavil učitelj. Zahtevana metoda je mogoče izbrati zahvaljujoč pomembne razlike pogledi velikih znanstvenikov. Nastala kvadratna enačba opisuje krivuljo črt, tako imenovano parabolo, predznak pa bo določal njeno konveksnost v kvadratni sistem koordinate Iz enačbe dobimo diskriminanto in same korene po Vietovem izreku. Prvi korak je predstaviti izraz kot pravi ali nepravilni ulomek in uporabiti kalkulator ulomkov. Glede na to se bo oblikoval načrt naših nadaljnjih izračunov. Matematika s teoretičnim pristopom bo uporabna na vsaki stopnji. Vsekakor bomo rezultat predstavili kot kubično enačbo, saj bomo njene korenine skrili v tem izrazu, da bi poenostavili nalogo študentu na univerzi. Vsaka metoda je dobra, če je primerna za površinsko analizo. Dodatne aritmetične operacije ne bodo povzročile napak pri izračunu. Določi odgovor z dano natančnostjo. Priznajmo si, da z uporabo rešitve enačb iskanje neodvisne spremenljivke dane funkcije ni tako preprosto, še posebej v obdobju preučevanja vzporednih premic v neskončnosti. Glede na izjemo je potreba zelo očitna. Razlika v polariteti je jasna. Iz izkušenj poučevanja na inštitutih se je naš učitelj naučil glavne lekcije, v kateri so se spletne enačbe preučevale v polnem matematičnem smislu. Tu smo govorili o večjih naporih in posebnih veščinah pri uporabi teorije. V prid našim sklepom ne gre gledati skozi prizmo. Do nedavnega je veljalo, da se zaprta množica hitro povečuje nad regijo, kot je, in rešitev enačb je preprosto treba raziskati. Na prvi stopnji nismo upoštevali vsega možne možnosti, vendar je ta pristop bolj upravičen kot kdaj koli prej. Dodatna dejanja z oklepaji opravičujejo nekaj napredkov vzdolž ordinatne in abscisne osi, ki jih s prostim očesom ni mogoče spregledati. V smislu obsežnega sorazmernega povečanja funkcije obstaja prevojna točka. Še enkrat bomo dokazali, kako potreben pogoj se bo uporabljal v celotnem intervalu padanja enega ali drugega padajočega položaja vektorja. V omejenem prostoru bomo izbrali spremenljivko iz začetnega bloka našega skripta. Sistem, zgrajen kot osnova vzdolž treh vektorjev, je odgovoren za odsotnost glavnega momenta sile. Vendar pa je kalkulator enačb ustvaril in pomagal pri iskanju vseh členov sestavljene enačbe, tako nad površino kot vzdolž vzporednih črt. Okoli začetne točke narišimo krog. Tako se bomo začeli premikati navzgor vzdolž presečnih črt, tangenta pa bo opisala krog po vsej njegovi dolžini, kar bo povzročilo krivuljo, imenovano evolventa. Mimogrede, povejmo malo zgodovine o tej krivulji. Dejstvo je, da zgodovinsko v matematiki ni bilo koncepta matematike same v njenem čistem razumevanju, kot je danes. Prej so se vsi znanstveniki ukvarjali z eno skupno nalogo, to je z znanostjo. Kasneje, nekaj stoletij kasneje, ko je bil znanstveni svet napolnjen z ogromno količino informacij, je človeštvo vendarle identificiralo številne discipline. Še vedno ostajajo nespremenjeni. Pa vendar znanstveniki po vsem svetu vsako leto poskušajo dokazati, da je znanost neomejena in da enačbe ne boste rešili, če nimate znanja iz naravoslovja. Morda temu dokončno ne bo mogoče narediti konca. Razmišljanje o tem je tako nesmiselno kot ogrevanje zraka zunaj. Poiščimo interval, pri katerem bo argument, če je njegova vrednost pozitivna, določil modul vrednosti v strmo naraščajoči smeri. Reakcija vam bo pomagala najti vsaj tri rešitve, vendar jih boste morali preveriti. Začnimo z dejstvom, da moramo enačbo rešiti na spletu z uporabo edinstvene storitve našega spletnega mesta. Predstavimo oba dela podana enačba, kliknite na gumb “REŠI” in v samo nekaj sekundah dobite natančen odgovor. V posebnih primerih vzemimo matematično knjigo in še enkrat preverimo svoj odgovor, namreč poglejmo samo odgovor in vse nam bo jasno. Odletel bo identičen projekt vzdolž umetnega redundantnega paralelepipeda. Obstaja paralelogram s svojimi vzporednimi stranicami in pojasnjuje številne principe in pristope k preučevanju prostorskega razmerja naraščajočega procesa kopičenja votlega prostora v formulah naravne oblike. Dvoumne linearne enačbe kažejo odvisnost želene spremenljivke od naše splošne rešitve v danem času, zato moramo nekako izpeljati in prinesti nepravilni ulomek na netrivialni primer. Na premici označite deset točk in skozi vsako točko narišite krivuljo v dani smeri, s konveksno konico navzgor. Brez posebnih težav bo naš kalkulator enačb predstavil izraz v taki obliki, da bo njegovo preverjanje veljavnosti pravil očitno že na začetku zapisa. Sistem posebnih predstavitev stabilnosti za matematike je na prvem mestu, razen če formula ne določa drugače. Na to bomo odgovorili s podrobno predstavitvijo poročila na temo Izomorfno stanje plastičnega sistema teles in reševanje enačb na spletu bo opisalo gibanje posamezne materialne točke v tem sistemu. Na ravni poglobljene raziskave bo treba podrobneje razjasniti problematiko inverzij vsaj spodnje plasti prostora. Uporabili bomo v naraščajočem vrstnem redu na odseku diskontinuitete funkcije splošna metoda odličen raziskovalec, mimogrede, naš rojak, o obnašanju letala pa bomo govorili v nadaljevanju. Zaradi močnih značilnosti analitično opredeljene funkcije uporabljamo spletni kalkulator enačb samo za predvideni namen v okviru izpeljanih meja avtoritete. V nadaljnjem razmišljanju se bomo osredotočili na homogenost same enačbe, to je, da je njena desna stran enaka nič. Še enkrat se prepričajmo, ali je naša odločitev pri matematiki pravilna. Da bi se izognili trivialni rešitvi, bomo nekoliko prilagodili začetne pogoje za problem pogojne stabilnosti sistema. Sestavimo kvadratno enačbo, za katero izpišemo dva vnosa z dobro znano formulo in poiščemo negativne korene. Če je en koren pet enot večji od drugega in tretjega korena, potem s spremembami glavnega argumenta s tem popačimo začetne pogoje podnaloge. Nekaj ​​nenavadnega v matematiki je po svoji naravi vedno mogoče opisati do najbližje stotinke pozitivnega števila. Kalkulator ulomkov je večkrat boljši od svojih analogov na podobnih virih v najboljšem trenutku obremenitve strežnika. Na površini vektorja hitrosti, ki raste vzdolž ordinatne osi, narišemo sedem črt, upognjenih v nasprotnih smereh. Sorazmernost argumenta dodeljene funkcije je pred odčitki števca obnovitvenega stanja. V matematiki lahko ta pojav predstavimo s kubično enačbo z namišljenimi koeficienti, pa tudi z bipolarno progresijo padajočih črt. Kritične točke Temperaturne razlike na več načinov opisujejo proces razgradnje kompleksne frakcijske funkcije na faktorje. Če vam rečejo, da morate rešiti enačbo, ne hitite, da to storite takoj, vsekakor najprej ocenite celoten akcijski načrt in šele nato izberite pravi pristop. Vsekakor bodo koristi. Enostavnost dela je očitna, tako je tudi pri matematiki. Rešite enačbo na spletu. Vse spletne enačbe predstavljajo določen tip zapisa števil ali parametrov in spremenljivke, ki jo je treba določiti. Izračunajte prav to spremenljivko, torej poiščite določene vrednosti ali intervale niza vrednosti, pri katerih bo identiteta držala. Začetni in končni pogoji so neposredno odvisni. IN skupna odločitev Enačbe navadno vključujejo nekaj spremenljivk in konstant, z nastavitvijo katerih bomo dobili cele družine rešitev za dano postavko problema. Na splošno to upravičuje trud, vložen v povečanje funkcionalnosti prostorske kocke s stranico 100 centimetrov. Teorem ali lemo lahko uporabite na kateri koli stopnji konstruiranja odgovora. Spletno mesto postopoma ustvari kalkulator enačb, če je potrebno, v katerem koli intervalu prikazanih produktov seštevanja najmanjša vrednost. V polovici primerov taka kroglica, ker je votla, ne izpolnjuje več zahtev za nastavitev vmesnega odgovora. Avtor: vsaj na ordinatni osi v smeri padanja vektorske zastopanosti bo ta delež nedvomno bolj optimalen kot prejšnji izraz. Ob uri, ko bo izvedena popolna točkovna analiza linearnih funkcij, bomo pravzaprav združili vsa naša kompleksna števila in bipolarne ravninske prostore. Če v nastali izraz zamenjate spremenljivko, boste enačbo rešili korak za korakom in dali najbolj podroben odgovor z visoko natančnostjo. Dobro bi bilo, če bi učenec še enkrat preveril svoja dejanja pri matematiki. Delež v razmerju ulomkov je zabeležil celovitost rezultata za vse pomembna področja aktivnost ničelnega vektorja. Trivialnost se potrdi na koncu izvedenih dejanj. Pri preprosti nalogi učenci morda ne bodo imeli težav, če enačbo rešijo na spletu v najkrajšem možnem času, vendar ne pozabite na vsa različna pravila. Niz podmnožic se seka v območju konvergentnega zapisa. IN različne primere produkt ni pomotoma faktoriziran. Pri spletnem reševanju enačbe vam bomo pomagali v našem prvem razdelku, ki je namenjen osnovam matematičnih tehnik za pomembne oddelke za študente na univerzah in tehničnih fakultetah. Na odgovore nam ne bo treba čakati nekaj dni, saj je bil postopek najboljše interakcije vektorske analize s sekvenčnim iskanjem rešitev patentiran v začetku prejšnjega stoletja. Izkazalo se je, da prizadevanja za vzpostavitev odnosov z okolico niso bila zaman; očitno je bilo treba najprej nekaj drugega. Več generacij kasneje so znanstveniki po vsem svetu prepričali ljudi, da je matematika kraljica znanosti. Ne glede na to, ali gre za levi ali desni odgovor, je vseeno treba izčrpne izraze zapisati v treh vrsticah, saj bomo v našem primeru zagotovo govorili le o vektorski analizi lastnosti matrike. Nelinearne in linearne enačbe imajo poleg bikvadratnih enačb posebno mesto v naši knjigi o Najboljše prakse izračun trajektorije gibanja v prostoru vseh materialnih točk zaprtega sistema. Linearna analiza nam bo pomagala uresničiti idejo pikasti izdelek trije zaporedni vektorji. Na koncu vsakega stavka je naloga lažja z implementacijo optimiziranih numeričnih izjem v prekrivnih prostorih števil, ki se izvajajo. Drugačna presoja ne bo nasprotovala najdenemu odgovoru v poljubni obliki trikotnika v krogu. Kot med dvema vektorjema vsebuje zahtevani odstotek rezerve in spletno reševanje enačb pogosto razkrije določen skupni koren enačbe v nasprotju z začetnimi pogoji. Izjema ima vlogo katalizatorja v celotnem neizogibnem procesu iskanja pozitivne rešitve na področju definiranja funkcije. Če ni rečeno, da ne znate uporabljati računalnika, potem je spletni kalkulator enačb ravno pravi za vaše zahtevne težave. Samo vnesti morate svoje pogojne podatke v pravilni obliki in naš strežnik bo v najkrajšem možnem času izdal popoln končni odgovor. Eksponentna funkcija narašča veliko hitreje kot linearno. O tem pričajo Talmudi pametne knjižnične literature. Izvedel bo izračun v splošnem smislu, kot bi to storila podana kvadratna enačba s tremi kompleksnimi koeficienti. Parabola v zgornjem delu polravnine označuje pravokotno vzporedno gibanje vzdolž osi točke. Tukaj velja omeniti potencialno razliko v delovnem prostoru telesa. V zameno za neoptimalen rezultat naš kalkulator ulomkov upravičeno zaseda prvo mesto v matematični oceni pregleda funkcionalnih programov na strani strežnika. Enostavnost uporabe te storitve bodo cenili milijoni uporabnikov interneta. Če ne veste, kako ga uporabljati, vam bomo z veseljem pomagali. Prav tako želimo posebej izpostaviti in izpostaviti kubično enačbo iz številnih osnovnošolskih nalog, ko je treba hitro najti njene korenine in sestaviti graf funkcije na ravnini. Višje stopnje razmnoževanje spada med težke matematične težave na inštitutu in je za njegov študij namenjeno zadostno število ur. Tako kot vse linearne enačbe tudi naša ni izjema glede na številna objektivna pravila; pogled z različnih zornih kotov bo preprost in zadosten, če določimo začetne pogoje. Interval naraščanja sovpada z intervalom konveksnosti funkcije. Reševanje enačb na spletu. Študij teorije temelji na spletnih enačbah iz številnih razdelkov študija glavne discipline. V primeru takšnega pristopa pri negotovih problemih je zelo enostavno predstaviti rešitev enačb v vnaprej določeni obliki in ne samo sklepati, ampak tudi napovedati izid takšne pozitivne rešitve. Storitev nam bo najbolj pomagala pri učenju predmetnega področja najboljše tradicije matematiko, natanko tako, kot je v navadi na vzhodu. V najboljših trenutkih časovnega intervala so bile podobne naloge pomnožene s skupnim faktorjem deset. Obilje množenja več spremenljivk v kalkulatorju enačb se je začelo množiti s kakovostjo in ne s kvantitativnimi spremenljivkami, kot sta masa ali telesna teža. Da bi se izognili primerom neuravnoteženosti materialnega sistema, nam je izpeljava tridimenzionalnega transformatorja na trivialni konvergenci nedegeneriranih matric povsem očitna. Reši nalogo in reši enačbo v podanih koordinatah, saj sklep vnaprej ni znan, prav tako vse spremenljivke, vključene v postprostorski čas. Vklopljeno kratkoročno premaknite skupni faktor čez oklepaj in obe strani vnaprej delite z največjim skupnim faktorjem. Izvleček izpod nastale pokrite podmnožice števil na podroben način triintrideset točk zapored v kratkem času. Do te mere, da na najboljši možni način Reševanje enačbe na spletu je možno za vsakega študenta. Če pogledamo naprej, povejmo eno pomembno, a ključno stvar, brez katere bo v prihodnosti težko živeti. V prejšnjem stoletju je veliki znanstvenik opazil številne vzorce v teoriji matematike. V praksi rezultat ni bil povsem pričakovan vtis dogodkov. Načeloma pa ravno to reševanje enačb na spletu pripomore k boljšemu razumevanju in dojemanju celostnega pristopa k učenju in praktičnemu utrjevanju obravnavane teoretične snovi študentov. To je veliko lažje narediti med študijem.

=

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je nujno potrebna.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučite posebne metode reševanja, upoštevajte, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imeti natanko en koren;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo morate znati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
3. Če je D > 0, bosta korena dva.

Upoštevajte: diskriminant označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi verjamejo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficiente prve enačbe in poiščimo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminant pozitiven, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na podoben način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba, ki ostane, je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili koeficienti zapisani za vsako enačbo. Da, dolgo je, da, dolgočasno je, vendar ne boste mešali možnosti in delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če se tega naučite, vam čez nekaj časa ne bo več treba zapisovati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne to delati nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na samo rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobili boste isto številko, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ enačba ima spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak pri zamenjavi negativnih koeficientov v formulo. Tudi tukaj vam bo pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, zapišite vsak korak - in zelo kmalu se boste znebili napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Zlahka opazimo, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: ne zahtevajo niti izračuna diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b = c = 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 = 0. Očitno ima takšna enačba en koren: x = 0.

Razmislimo o preostalih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c = 0. Malo jo preoblikujemo:

Od aritmetike Kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnega števila, zadnja enakost je smiselna samo za (−c /a) ≥ 0. Sklep:

1. Če je v nepopolni kvadratni enačbi oblike ax 2 + c = 0 izpolnjena neenakost (−c /a) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c /a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminant ni bil potreben - nepopoln kvadratne enačbe Sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si sploh ni treba zapomniti neenakosti (−c /a) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa poglejmo enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Za zaključek si poglejmo nekaj teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.