Koren n-te stopnje: definicije, poimenovanje, primeri. Kvadratni koren. Obsežen vodnik (2019)

rešimo preprosto nalogo iskanja stranice kvadrata, katerega površina je 9 cm 2. Če predpostavimo, da je stran kvadrata A cm, potem glede na pogoje problema sestavimo enačbo:

A NS A = 9

A 2 = 9

A 2 -9 = 0

(A-3) (A + 3) = 0

A = 3 ali A = -3

Dolžina stranice kvadrata ne more biti negativno število, zato je zahtevana stranica kvadrata 3 cm.

Pri reševanju enačbe smo našli številki 3 in -3, katerih kvadrata sta 9. Vsako od teh števil se imenuje kvadratni koren iz števila 9. Nenegativna od teh korenin, to je število 3, se imenuje aritmetični koren števila.

Povsem logično je sprejeti dejstvo, da je koren mogoče najti iz števil v tretji stopnji (kockasti koren), četrti stopnji itd. In načeloma je koren obratna operacija od stopnjevanja.

korenn -. stopnja od številke α je taka številka b, kje b n = α .

Tukaj n- običajno se imenuje naravno število koreninski eksponent(ali stopnja korena); praviloma je večja ali enaka 2, ker je primer n = 1 banalno.

Pisno označujejo tako, da se imenuje simbol (korenski znak) na desni strani radikalno... Številka α - korenski izraz... Za naš primer s stranjo bi lahko rešitev izgledala takole: Ker (± 3) 2 = 9 .

Dobili smo pozitivne in negativne korenske vrednosti. Ta lastnost otežuje izračune. Da bi dosegli nedvoumnost, je bil koncept uveden aritmetični koren, katerega vrednost je vedno s predznakom plus, torej samo pozitivna.

koren poklical aritmetikače je izvlečeno iz pozitivnega števila in je samo pozitivno število.

na primer

Obstaja samo en aritmetični koren določene stopnje danega števila.

Operacija poravnave se običajno imenuje " ekstrakcija korenin n-. stopnje "od med α ... Pravzaprav izvajamo nasprotno operacijo od dviga na potenco, namreč poiščemo bazo potenca b po znanem indikatorju n in rezultat eksponentacije

α = b n.

Korenine druge in tretje stopnje se v praksi uporabljajo pogosteje kot druge, zato so dobile posebna imena.

Kvadratni koren: V tem primeru je običajno, da se eksponenta 2 ne piše, izraz "koren" brez navedbe eksponenta pa najpogosteje pomeni kvadratni koren. Geometrijsko je interpretacija dolžina stranice kvadrata, katerega površina je enaka α .

Kubični koren: Geometrijsko interpretirano, pomeni dolžino roba kocke, katere prostornina je α .

Lastnosti aritmetičnih korenin.

1) Pri izračunu aritmetični koren produkta, ga je treba izločiti iz vsakega faktorja posebej

na primer

2) Za izračun koren frakcije, ga je treba izluščiti iz števca in imenovalca tega ulomka

na primer

3) Pri izračunu koren moči, je treba eksponent deliti s korenskim eksponentom

na primer

Prvi izračuni, povezani z ekstrakcijo kvadratnega korena, so bili najdeni v delih matematikov starodavnega Babilona in Kitajske, Indije, Grčije (ni podatkov o dosežkih starega Egipta v tem pogledu).

Matematiki starodavnega Babilona (II tisočletje pr.n.št.) so uporabili posebno numerično metodo za ekstrakcijo kvadratnega korena. Začetni približek za kvadratni koren je bil ugotovljen na podlagi naravnega števila, ki je najbližje korenu (navzdol) n... Predstavitev radikalnega izraza v obliki: α = n 2 + r, dobimo: x 0 = n + r / 2n, potem je bil uporabljen iterativni postopek izpopolnjevanja:

Ponovitve v tej metodi se zelo hitro zbližajo. za ,

na primer α = 5; n = 2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 in dobimo zaporedje približkov:

V končni vrednosti so vse številke pravilne razen zadnje.

Grki so formulirali problem podvojitve kocke, ki se je zvedel v konstrukcijo kubnega korena s pomočjo kompasa in ravnila. Pravila za izračun katere koli stopnje iz celega števila preučujejo matematiki Indije in arabskih držav. Poleg tega so bili široko razviti v srednjeveški Evropi.

Danes se kalkulatorji pogosto uporabljajo za udobje izračunavanja kvadratnih in kubnih korenov.

Prva stopnja

Koren in njegove lastnosti. Podrobna teorija s primeri (2019)

Poskusimo ugotoviti, kaj je ta koncept "koren" in "s čim se jedo". Če želite to narediti, upoštevajte primere, ki ste jih že srečali v lekciji (no, ali pa se morate samo soočiti).

Na primer, imamo enačbo. Kakšna je rešitev te enačbe? Katere številke lahko kvadriraš in dobiš hkrati? Če se spomnite tabele množenja, lahko preprosto odgovorite: in (navsezadnje, ko pomnožite dve negativni števili, dobite pozitivno število)! Zaradi preprostosti so matematiki uvedli poseben koncept kvadratnega korena in mu dodelili poseben simbol.

Definirajmo aritmetični kvadratni koren.

Zakaj bi morala biti številka nujno nenegativna? Na primer, kaj je enako. No, no, poskusimo ga pobrati. Mogoče tri? Preverimo:, ne. Mogoče, ? Še enkrat preverite:. No, ali ne prihaja? To je pričakovano – saj ni številk, ki bi pri kvadratu dale negativno število!
To je treba zapomniti: število ali izraz pod korenskim znakom mora biti nenegativno!

Vendar so tisti najbolj pozorni verjetno že opazili, da definicija pravi, da se rešitev kvadratnega korena števila imenuje taka nenegativnaštevilo, katerega kvadrat je ". Nekateri boste rekli, da smo na samem začetku analizirali primer, izbrana števila, ki jih je mogoče kvadrirati in dobiti hkrati, odgovor je bil in, tukaj pa se govori o nekakšnem "nenegativnem številu"! Takšna pripomba je povsem ustrezna. Tukaj morate samo razlikovati med konceptoma kvadratnih enačb in aritmetičnega kvadratnega korena števila. Na primer, ni isto kot izraz.

Iz tega sledi, da je oz. (Preberite temo "")

In temu sledi.

Seveda je to zelo zmedeno, vendar se je treba spomniti, da so znaki rezultat reševanja enačbe, saj moramo pri reševanju enačbe zapisati ves x, ki bo, ko ga nadomestimo v prvotno enačbo, dal pravilen rezultat. Oba in sta primerna za našo kvadratno enačbo.

Vendar, če samo izvleci kvadratni koren od nečesa, potem vedno dobimo en nenegativen rezultat.

Zdaj poskusite rešiti takšno enačbo. Ni že tako preprosto in gladko, kajne? Poskusite prebrati številke, morda bo kaj pregorelo? Začnimo od vsega začetka - iz nič: - ne paše, gremo naprej - manj kot tri, tudi to pometemo, a kaj ko. Preverimo: - tudi ne ustreza, ker to je več kot tri. Negativne številke naredijo isto zgodbo. Kaj torej storiti zdaj? Res nam groba sila ni dala ničesar? Sploh ne, zdaj zagotovo vemo, da bo odgovor neka številka med in, pa tudi med in. Prav tako je jasno, da rešitve ne bodo cela števila. Poleg tega niso racionalni. Torej, kaj je naslednje? Narišemo funkcijo in na njej označimo rešitve.

Poskusimo pretentati sistem in dobiti odgovor s kalkulatorjem! Izluščimo koren iz, posel! Oh-oh-oh, izkazalo se je, da. Ta številka se nikoli ne konča. Kako se lahko spomnite tega, ker na izpitu ne bo kalkulatorja!? Vse je zelo preprosto, ni si ga treba zapomniti, zapomniti si morate (ali biti sposobni hitro oceniti) približno vrednost. in že sami odgovori. Takšna števila se imenujejo iracionalne, zato je bil uveden koncept kvadratnega korena, da bi poenostavili pisanje takšnih števil.

Poglejmo si še en primer pripenjanja. Analizirajmo to težavo: prečkati morate kvadratno polje s stranico km diagonalno, koliko km morate prehoditi?

Najbolj očitna stvar je, da trikotnik obravnavamo ločeno in uporabimo Pitagorov izrek:. Tako,. Kakšna je torej želena razdalja tukaj? Očitno razdalja ne more biti negativna, to razumemo. Koren dveh je približno enak, vendar je, kot smo že omenili, že popoln odgovor.

Da reševanje primerov s koreninami ne povzroča težav, jih morate videti in prepoznati. Če želite to narediti, morate poznati vsaj kvadrate številk od do in jih znati tudi prepoznati. Na primer, vedeti morate, kaj je enako v kvadratu, in tudi, nasprotno, kaj je v kvadratu.

Ste razumeli, kaj je kvadratni koren? Nato reši nekaj primerov.

Primeri.

No, kako je delovalo? Zdaj pa poglejmo nekaj primerov:

odgovori:

Kubični koren

No, nekako smo ugotovili koncept kvadratnega korena, zdaj pa poskusimo ugotoviti, kaj je kubni koren in kakšna je njihova razlika.

Kubni koren števila je število, katerega kocka je. Ste opazili, da je tukaj vse veliko bolj preprosto? Ni omejitev glede možnih vrednosti tako vrednosti pod znakom kubičnega korena kot števila, ki ga je treba ekstrahirati. Se pravi, kockasti koren lahko izvlečemo iz poljubnega števila:.

Ste razumeli, kaj je kockasti koren in kako ga ekstrahirati? Nato nadaljujte z reševanjem primerov.

Primeri.

odgovori:

Koren - th stopnje

No, ugotovili smo koncept kvadratnega in kubnega korena. Zdaj pa povzamemo znanje, pridobljeno s konceptom th koren.

Th korenštevila je število, katerega th potenca je enaka, t.j.

je enakovredna.

Če - celo, potem:

• z negativnim, izraz nima smisla (sodo -te korenine negativnih števil ni mogoče ekstrahirati!);
• z nenegativnimi() izraz ima en nenegativni koren.

Če je - liho, potem ima izraz en koren za poljubno.

Ne bodite prestrašeni, tukaj veljajo enaka načela kot za kvadratne in kubne korene. To pomeni, da uporabljamo načela, ki smo jih uporabili pri obravnavanju kvadratnih korenov za vse korene sode -te stopnje.

In lastnosti, ki so bile uporabljene za kockasti koren, veljajo za korenine lihe -te stopnje.

No, je postalo bolj jasno? Naj razumemo s primeri:

Tukaj je vse bolj ali manj jasno: najprej pogledamo - aha, stopnja je soda, število pod korenom je pozitivno, zato je naša naloga najti takšno število, katerega četrta stopnja nam bo dala. No, obstajajo kakšni predlogi? Mogoče, ? Točno tako,!

Torej, stopnja je - liha, pod korenom je število negativno. Naša naloga je poiskati takšno število, ko se dvignemo na potenco, se izkaže. Precej težko je takoj opaziti koren. Vendar pa lahko takoj zožite iskanje, kajne? Prvič, želeno število je zagotovo negativno, drugič pa lahko opazite, da je - liho, zato je želeno število liho. Poskusite najti koren. Seveda ga lahko varno pometete. Mogoče, ?

Ja, to smo iskali! Upoštevajte, da smo za poenostavitev izračuna uporabili lastnosti moči:.

Osnovne lastnosti korenin

Jasno? Če ne, potem bi se moralo po ogledu primerov vse postaviti na svoje mesto.

Množenje korenin

Kako pomnožiti korenine? Najpreprostejša in najbolj osnovna lastnost pomaga odgovoriti na to vprašanje:

Začnimo s preprostim:

Korenine dobljenih številk niso natančno izvlečene? Ni pomembno - tukaj je nekaj primerov:

Kaj pa, če dejavnika nista dva, ampak več? Enako! Formula za množenje korenin deluje s poljubnim številom faktorjev:

Kaj lahko naredimo z njim? No, seveda skrij tri pod koren, ne pozabite, da je tri kvadratni koren!

Zakaj potrebujemo to? Da, samo zato, da razširimo naše zmožnosti pri reševanju primerov:

Kako vam je všeč ta lastnost korenin? Ali to bistveno olajša življenje? Zame je tako! Samo zapomni si to lahko uvedemo le pozitivna števila pod znakom korena sode stopnje.

Poglejmo, kje še lahko pride prav. Na primer, težava zahteva, da primerjate dve številki:

Še tole:

Ne moreš povedati takoj. No, pa uporabimo analizirano lastnost vnosa števila pod korenskim znakom? Potem pa naprej:

No, saj vemo, da večja kot je številka pod znakom korena, večji je sam koren! tiste. če, potem,. Iz tega trdno sklepamo, da. In nihče nas ne bo prepričal v nasprotno!

Pred tem smo uvedli faktor pod znakom korena, a kako ga spraviti ven? To morate samo faktorizirati in izluščiti tisto, kar je ekstrahirano!

Možno je bilo ubrati drugačno pot in razgraditi na druge dejavnike:

Ni slabo, kaj? Vsak od teh pristopov je pravilen, odločite se, kaj vam najbolj ustreza.

Na primer, tukaj je izraz:

V tem primeru je stopnja soda, kaj pa, če je liha? Ponovno uporabite lastnosti moči in upoštevajte vse:

S tem se zdi, da je vse jasno, toda kako izvleči koren števila na potenco? Na primer, to je:

Precej preprosto, kajne? In če je diploma več kot dve? Sledimo isti logiki z uporabo lastnosti moči:

No, je vse jasno? Potem je tukaj primer:

To so pasti, o njih vedno vreden spomina... To je pravzaprav odraz primerov lastnosti:

za liho: za enakomerno in:

Jasno? Okrepite s primeri:

Ja, vidimo, koren je v sodi moči, negativno število pod korenom je tudi v sodi moči. No, ali je isto? Evo kaj:

To je vse! Tukaj je nekaj primerov:

Razumem? Nato nadaljujte z reševanjem primerov.

Primeri.

Odgovori.

Če ste prejeli odgovore, lahko mirno nadaljujete. Če ne, potem poglejmo te primere:

Poglejmo si še dve lastnosti korenin:

Te lastnosti je treba analizirati v primerih. No, ali bomo to storili?

Razumeli? Popravimo.

Primeri.

Odgovori.

KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. POVPREČNA RAVEN

Aritmetični kvadratni koren

Enačba ima dve rešitvi: in. To so številke, katerih kvadrat je.

Razmislite o enačbi. Rešimo ga grafično. Narišimo graf funkcije in črto na nivoju. Sečišča teh črt bodo rešitve. Vidimo, da ima ta enačba tudi dve rešitvi - eno pozitivno, drugo negativno:

Toda v tem primeru rešitve niso cela števila. Poleg tega niso racionalni. Da bi zapisali te iracionalne odločitve, uvedemo poseben simbol kvadratnega korena.

Aritmetični kvadratni koren Je nenegativno število, katerega kvadrat je. Ko izraz ni definiran, saj ni števila, katerega kvadrat je enak negativnemu številu.

Kvadratni koren: .

Na primer, . In iz tega sledi, da oz.

Še enkrat vas opozarjam, to je zelo pomembno: Kvadratni koren je vedno nenegativno število: !

Kubični koren od števila je število, katerega kocka je. Kockasti koren je definiran za vsakogar. Izvleče se lahko iz poljubnega števila:. Kot lahko vidite, ima lahko tudi negativne vrednosti.

Koren th potenca števila je število, katerega th potenca je enaka, t.j.

Če - celo, potem:

• če, potem je th koren a nedefiniran.
• če, potem se nenegativni koren enačbe imenuje aritmetični koren th stopnje in je označen z.

Če je - liho, potem ima enačba en sam koren za katero koli.

Ste opazili, da njeno stopnjo zapišemo levo od vrha korenskega znaka? Ampak ne za kvadratni koren! Če vidite koren brez stopnje, potem je kvadrat (stopinje).

Primeri.

Osnovne lastnosti korenin

KORENINE IN NJIHOVE LASTNOSTI. NAKRATKO O GLAVNEM

Kvadratni koren (aritmetični kvadratni koren) nenegativnega števila se imenuje tako nenegativno število, katerega kvadrat je

Lastnosti korena:

V tem članku vam bomo predstavili koreninski koncept... Delovali bomo zaporedno: začeli bomo s kvadratnim korenom, od njega bomo prešli na opis kubičnega korena, nato pa bomo pojem korena posplošili z opredelitvijo n-tega korena. Hkrati bomo predstavili definicije, poimenovanja, navedli primere korenin ter dali potrebna pojasnila in pripombe.

Kvadratni koren, aritmetični kvadratni koren

Če želite razumeti definicijo korena števila in zlasti kvadratnega korena, morate imeti. Na tem mestu bomo pogosto naleteli na drugo potenco števila – kvadrat števila.

Začnimo z definicija kvadratnega korena.

Opredelitev

Kvadratni koren a je število, katerega kvadrat je a.

Da bi prinesel primeri kvadratnih korenov, vzamemo več številk, na primer 5, −0,3, 0,3, 0, in jih kvadriramo, dobimo števila 25, 0,09, 0,09 oziroma 0 (5 2 = 5 5 = 25, (−0,3) 2 = (- 0,3) (−0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 · 0,3 = 0,09 in 0 2 = 0 · 0 = 0). Potem je v skladu z zgornjo definicijo 5 kvadratni koren iz 25, −0,3 in 0,3 sta kvadratni koren iz 0,09, 0 pa je kvadratni koren iz nič.

Treba je opozoriti, da ne obstaja za vsako število a, katerega kvadrat je enak a. Namreč, za nobeno negativno število a ne obstaja niti eno realno število b, katerega kvadrat bi bil enak a. Dejansko je enakost a = b 2 nemogoča za nobeno negativno a, saj je b 2 nenegativno število za katero koli b. tako, na množici realnih številk ni kvadratnega korena negativnega števila... Z drugimi besedami, na množici realnih števil kvadratni koren negativnega števila ni definiran in nima smisla.

To vodi do logičnega vprašanja: "Ali obstaja kvadratni koren a za katero koli nenegativno a"? Odgovor je pritrdilen. Utemeljitev tega dejstva se lahko šteje za konstruktivno metodo, ki se uporablja za iskanje vrednosti kvadratnega korena.

Potem se pojavi naslednje logično vprašanje: "Koliko je število vseh kvadratnih korenov iz danega nenegativnega števila a - ena, dva, tri ali celo več?" Tukaj je odgovor: če je a nič, je edini kvadratni koren iz nič nič; če je a neko pozitivno število, potem je število kvadratnih korenov iz števila a enako dvema, koreni pa so. Upravičimo to.

Začnimo s primerom a = 0. Najprej pokažimo, da je nič dejansko kvadratni koren iz nič. To izhaja iz očitne enakosti 0 2 = 0 · 0 = 0 in definicije kvadratnega korena.

Zdaj pa dokažimo, da je 0 edini kvadratni koren iz nič. Uporabimo metodo protislovno. Recimo, da obstaja nekaj neničelnega števila b, ki je kvadratni koren iz nič. Potem mora biti izpolnjen pogoj b 2 = 0, kar je nemogoče, saj je za vsako nenič b vrednost izraza b 2 pozitivna. Prišli smo do protislovja. To dokazuje, da je 0 edini kvadratni koren iz nič.

Preidemo na primere, ko je a pozitivno število. Zgoraj smo rekli, da vedno obstaja kvadratni koren katerega koli nenegativnega števila, naj bo kvadratni koren a število b. Recimo, da obstaja število c, ki je tudi kvadratni koren a. Potem po definiciji kvadratnega korena veljata enakosti b 2 = a in c 2 = a, iz česar sledi, da je b 2 - c 2 = a - a = 0, ker pa b 2 - c 2 = (b - c) b + c), nato (b - c) (b + c) = 0. Posledica enakosti zaradi lastnosti dejanj z realnimi števili je možno le, če je b - c = 0 ali b + c = 0. Tako sta številki b in c enaki ali nasprotni.

Če predpostavimo, da obstaja število d, ki je še en kvadratni koren iz števila a, potem s podobnimi sklepi, kot so že podani, dokažemo, da je d enako številu b ali številu c. Torej je število kvadratnih korenov pozitivnega števila dva, pri čemer so kvadratni koreni nasprotna števila.

Za udobje dela s kvadratnimi koreni je negativni koren "ločen" od pozitivnega. Za ta namen, definicija aritmetičnega kvadratnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kvadratni koren nenegativnega števila a Je nenegativno število, katerega kvadrat je a.

Zapis je sprejet za aritmetični kvadratni koren števila a. Znak se imenuje aritmetični kvadratni korenski znak. Imenuje se tudi radikalno znamenje. Zato lahko delno slišite tako "koren" kot "radikal", kar pomeni isti predmet.

Število pod znakom aritmetičnega kvadratnega korena se imenuje korenska številka, izraz pod korenskim znakom pa je radikalen izraz, medtem ko se izraz "radikalno število" pogosto nadomesti z "radikalnim izrazom". Na primer, v zapisu je število 151 radikalno število, v zapisu pa je izraz a radikalni izraz.

Pri branju beseda "aritmetika" je pogosto izpuščena, na primer zapis se bere kot "kvadratni koren iz sedmih točk devetindvajset stotink". Besedo »aritmetika« izgovarjajo le takrat, ko želijo poudariti, da govorimo o pozitivnem kvadratnem korenu števila.

V luči uvedenega zapisa iz definicije aritmetičnega kvadratnega korena izhaja, da za vsako nenegativno število a.

Kvadratni koreni pozitivnega števila a so zapisani kot in z uporabo znaka aritmetičnega kvadratnega korena. Na primer, kvadratni koreni iz 13 so in. Aritmetični kvadratni koren iz nič je nič, tj. Za negativna števila a ne bomo razumeli zapisa, dokler ne preučimo kompleksna števila... Na primer, izrazi in so brez pomena.

Na podlagi definicije kvadratnega korena se dokazujejo lastnosti kvadratnih korenov, ki se pogosto uporabljajo v praksi.

Za zaključek te točke upoštevajte, da so kvadratni koreni števila a rešitve v obliki x 2 = a glede na spremenljivko x.

Kubični koren števila

Določanje kubičnega korenaštevila a je podana podobno kot definicija kvadratnega korena. Samo temelji na konceptu kocke števila, ne kvadrata.

Opredelitev

Kubični koren iz števila a je število, katerega kocka je enaka a.

Dajmo primeri kockastih korenin... Če želite to narediti, vzemite več številk, na primer 7, 0, −2/3, in jih kockirajte: 7 3 = 7 7 7 = 343, 0 3 = 0 0 0 = 0, ... Potem lahko na podlagi definicije kubnega korena trdimo, da je število 7 kubični koren iz 343, 0 je kubični koren iz nič in −2/3 je kubični koren iz −8/27.

Lahko se pokaže, da kubični koren števila a v nasprotju s kvadratnim korenom vedno obstaja, in to ne samo za nenegativno a, ampak tudi za vsako realno število a. Če želite to narediti, lahko uporabite isto metodo, ki smo jo omenili pri preučevanju kvadratnega korena.

Poleg tega obstaja samo en kubni koren danega števila a. Dokažimo zadnjo trditev. Za to bomo ločeno obravnavali tri primere: a je pozitivno število, a = 0 in a je negativno število.

Preprosto je pokazati, da za pozitivno a kubični koren a ne more biti negativen ali nič. Dejansko naj je b kubični koren a, potem lahko po definiciji zapišemo enakost b 3 = a. Jasno je, da ta enakost ne more veljati za minus b in b = 0, saj bo v teh primerih b 3 = b · b · b negativno število oziroma nič. Torej, kubni koren pozitivnega števila a je pozitivno število.

Zdaj pa recimo, da je poleg števila b še en kubični koren števila a, označimo ga s c. Potem je c 3 = a. Zato je b 3 - c 3 = a - a = 0, vendar b 3 −c 3 = (b − c) (b 2 + b c + c 2)(to je skrajšana formula za množenje razlika kock), od koder je (b − c) (b 2 + b c + c 2) = 0. Dobljena enakost je možna le, če je b − c = 0 ali b 2 + b · c + c 2 = 0. Iz prve enakosti imamo b = c, druga enakost pa nima rešitev, saj je njena leva stran pozitivno število za poljubna pozitivna števila b in c kot vsota treh pozitivnih členov b 2, b c in c 2. To dokazuje edinstvenost kubičnega korena pozitivnega števila a.

Za a = 0 je samo število nič kubni koren števila a. Dejansko, če predpostavimo, da obstaja število b, ki je neničelni kubni koren iz nič, potem mora veljati enakost b 3 = 0, kar je možno le, če je b = 0.

Za negativno a je mogoče trditi podobno kot v primeru pozitivnega a. Najprej pokažemo, da kubični koren negativnega števila ne more biti enak niti pozitivnemu številu niti nič. Drugič, predpostavimo, da obstaja drugi kubni koren negativnega števila in pokažemo, da bo nujno sovpadal s prvim.

Torej, vedno obstaja kubični koren katerega koli realnega števila a in edini.

dajmo definicija aritmetičnega kubnega korena.

Opredelitev

Aritmetični kubni koren nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega kocka je enaka a.

Aritmetični kubusni koren nenegativnega števila a je označen kot, znak se imenuje znak aritmetičnega kubnega korena, število 3 v tem zapisu se imenuje koreninski eksponent... Številka pod korenskim znakom je korenska številka, izraz pod korenskim znakom je korenski izraz.

Čeprav je aritmetični kockasti koren definiran samo za nenegativna števila a, je priročno uporabljati tudi zapise, v katerih so negativna števila pod znakom aritmetičnega kubnega korena. Razumeli jih bomo takole: kjer je a pozitivno število. na primer .

O lastnostih kockastih korenin bomo govorili v splošnem članku o lastnostih korenin.

Izračun vrednosti kubičnega korena se imenuje ekstrakcija kubičnega korena, to dejanje je obravnavano v članku Ekstrakcija korena: metode, primeri, rešitve.

V zaključku tega odstavka pravimo, da je kubni koren števila a rešitev oblike x 3 = a.

N-ti koren, n-ti aritmetični koren

Da bi posplošili pojem korena števila, uvedemo določanje korena n-te stopnje za n.

Opredelitev

N-ti koren a Je število, katerega n-ta potenca je a.

Iz te definicije je razvidno, da je koren prve stopnje števila a samo število a, saj smo pri preučevanju stopnje z naravnim eksponentom vzeli a 1 = a.

Zgoraj smo obravnavali posebne primere n-toga korena za n = 2 in n = 3 - kvadratni in kubni koren. To pomeni, da je kvadratni koren koren druge stopnje, kubni koren pa koren tretje stopnje. Za preučevanje korenin n-te stopnje za n = 4, 5, 6, ... jih je priročno razdeliti v dve skupini: prva skupina - korenine sodih stopinj (to je za n = 4, 6, 8 , ...), druga skupina - korenine lihe stopnje (to je za n = 5, 7, 9, ...). To je posledica dejstva, da so korenine sodih stopinj analogne kvadratnemu korenu, korenine lihih stopinj pa kubičnemu korenu. Opravimo se z njimi po vrsti.

Začnimo s koreninami, katerih potenci so soda števila 4, 6, 8, ... Kot smo rekli, so analogni kvadratnemu korenu števila a. To pomeni, da koren katere koli sode stopnje iz števila a obstaja samo za nenegativno a. Poleg tega, če je a = 0, je koren a edinstven in enak nič, in če je a> 0, obstajata dva korena sode stopnje iz števila a in sta nasprotni števili.

Utemeljimo zadnjo trditev. Naj bo b koren sode stopnje (označujemo ga kot 2 m, kjer je m neko naravno število) iz števila a. Recimo, da obstaja število c - še en koren stopnje 2 m števila a. Potem je b 2 m - c 2 m = a - a = 0. Toda poznamo obliko b 2 m −c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2), nato (b - c) (b + c) (b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2) = 0... Ta enakost pomeni, da je b - c = 0, ali b + c = 0, oz b 2 m − 2 + b 2 m − 4 c 2 + b 2 m − 6 c 4 +… + c 2 m − 2 = 0... Prvi dve enakosti pomenita, da sta številki b in c enaki ali pa sta si b in c nasprotni. In zadnja enakost velja samo za b = c = 0, saj je na njeni levi strani izraz, ki ni negativen za kateri koli b in c kot vsota nenegativnih števil.

Kar zadeva korene n-te stopnje za liho n, so podobni kubnemu korenu. To pomeni, da koren katere koli lihe stopnje iz števila a obstaja za vsako realno število a, za dano število a pa je edinstven.

Edinstvenost korena lihe stopnje 2 m + 1 od a je dokazana po analogiji z dokazom edinstvenosti kubičnega korena a. Samo tukaj namesto enakosti a 3 −b 3 = (a − b) (a 2 + a b + c 2) enakost v obliki b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m)... Izraz v zadnjem oklepaju lahko prepišemo kot b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m − 2 + c 2 m − 2 + b c (b 2 m − 4 + c 2 m − 4 + b c (… + (b 2 + c 2 + b c))))... Na primer, za m = 2 imamo b 5 −c 5 = (b − c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4) = (b − c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c))... Če sta a in b oba pozitivna ali oba negativna, je njun produkt pozitivno število, potem je izraz b 2 + c 2 + b · c v najvišjih gnezdečih oklepajih pozitiven kot vsota pozitivnih števil. Zdaj, ko se zaporedoma premikamo do izrazov v oklepajih prejšnjih stopenj gnezdenja, poskrbimo, da so tudi ti pozitivni kot vsota pozitivnih števil. Kot rezultat dobimo, da je enakost b 2 m + 1 - c 2 m + 1 = (b − c) (b 2 m + b 2 m − 1 c + b 2 m − 2 c 2 +… + c 2 m) = 0 je možno le, če je b - c = 0, torej ko je število b enako številu c.

Čas je, da se ukvarjamo z zapisom korenin n-te stopnje. Za to je dano definicija n-ega aritmetičnega korena.

Opredelitev

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila a je nenegativno število, katerega n -ta potenca je enaka a.

Aritmetični koren n-te stopnje nenegativnega števila je nenegativno število, katerega n-ta potenca je enaka:

Moč korena je naravno število, večje od 1.

3.

4.

Posebni primeri:

1. Če je eksponent korena liho celo število(), potem je radikalni izraz lahko negativen.

V primeru lihega eksponenta enačba za katero koli realno vrednost in celo število VEDNO ima en sam koren:

Za koren lihe stopnje velja naslednja identiteta:

,

2. Če je eksponent korena celo sodo število (), potem radikalni izraz ne more biti negativen.

V primeru sodega eksponenta enačba Ima

pri en sam koren

in če u

Za koren sode stopnje velja naslednja identiteta:

Za koren iz sode stopnje, enakosti:

Funkcija moči, njene lastnosti in graf.

Funkcija moči in njene lastnosti.

Funkcija potenzivnega zakona z naravnim eksponentom. Funkcijo y = x n, kjer je n naravno število, imenujemo potenčna funkcija z naravnim eksponentom. Za n = 1 dobimo funkcijo y = x, njene lastnosti:

Neposredna sorazmernost. Neposredna sorazmernost je funkcija, podana s formulo y = kx n, kjer se število k imenuje koeficient sorazmernosti.

Naštejmo lastnosti funkcije y = kx.

Domena funkcije je množica vseh realnih števil.

y = kx je liha funkcija (f (- x) = k (- x) = - kx = -k (x)).

3) Pri k> 0 se funkcija poveča, pri k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graf (ravna črta) je prikazan na sliki II.1.

riž. II.1.

Za n = 2 dobimo funkcijo y = x 2, njene lastnosti:

Funkcija y-x 2. Naštejmo lastnosti funkcije y = x 2.

y = x 2 je soda funkcija (f (- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

V intervalu se funkcija zmanjša.

V samem ulomku, če, potem - x 1> - x 2> 0, in zato

(-x 1) 2> (- x 2) 2, torej to pomeni zmanjšanje funkcije.

Graf funkcije y = x 2 je parabola. Ta graf je prikazan na sliki II.2.

riž. II.2.

Za n = 3 dobimo funkcijo y = x 3, njene lastnosti:

Domena funkcije je cela številska premica.

y = x 3 je liha funkcija (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funkcija y = x 3 narašča na celi številski premici. Graf funkcije y = x 3 je prikazan na sliki. Imenuje se kubična parabola.

Graf (kubična parabola) je prikazan na sliki II.3.

riž. II.3.

Naj bo n poljubno celo naravno število, večje od dveh:

n = 4, 6, 8, .... V tem primeru ima funkcija y = x n enake lastnosti kot funkcija y = x 2. Graf takšne funkcije je podoben paraboli y = x 2, le veje grafa za | n | > 1, bolj ko gredo navzgor, večji je n, hkrati pa se »pritiskajo bližje« osi x, večji je n.

Naj bo n poljubno liho število, večje od treh: n = = 5, 7, 9, .... V tem primeru ima funkcija y = x n enake lastnosti kot funkcija y = x 3. Graf takšne funkcije je podoben kubični paraboli (le veje grafa gredo navzgor in navzdol, bolj je strma n. Upoštevajte tudi, da je na intervalu (0; 1) graf moči funkcije y = xn počasnejši. se odmika od osi x z naraščanjem x, večjim od n.

Funkcija moči z negativnim celim eksponentom. Razmislite o funkciji y = x - n, kjer je n naravno število. Za n = 1 dobimo y = x - n ali y = Lastnosti te funkcije:

Graf (hiperbola) je prikazan na sliki II.4.