रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात करना। प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण: परिभाषा, खोजने के उदाहरण। दो रेखाओं के बीच का कोण

विमानों के बीच का कोण

आइए समीकरणों द्वारा दिए गए दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

नीचे कोणदो तलों के बीच हमारा तात्पर्य इन तलों द्वारा निर्मित एक द्विफलकीय कोण से है। यह स्पष्ट है कि सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसलिए . क्योंकि और , तब

.

उदाहरण।विमानों के बीच का कोण निर्धारित करें एक्स+2आप-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3आप+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता की स्थिति।

दो विमान α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वैक्टर और समानांतर हैं, और इसलिए .

तो, दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों के लंबवत होने की स्थिति।

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष।

सदिश समीकरण प्रत्यक्ष।

पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित होती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर।

एक सीधी रेखा के समानांतर एक वेक्टर को कहा जाता है गाइडिंगइस लाइन का वेक्टर।

तो चलो सीधे मैंएक बिंदु से गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) वेक्टर के समानांतर एक सीधी रेखा पर लेटना।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम (एक्स, वाई, जेड)एक सीधी रेखा पर। चित्र से यह देखा जा सकता है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर। कारक टीएक पैरामीटर कहा जाता है। बिन्दुओं की त्रिज्या सदिशों को निरूपित करना एम 1 और एमक्रमशः, के माध्यम से और , हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसीधी रेखा समीकरण। यह दर्शाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाती है एमएक सीधी रेखा पर लेटना।

हम इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखते हैं। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकसीधी रेखा समीकरण।

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक परिवर्तन एक्स, आपऔर जेडऔर डॉट एमएक सीधी रेखा में चलता है।

विहित समीकरण प्रत्यक्ष

रहने दो एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) - एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु मैं, और इसकी दिशा वेक्टर है। फिर से, एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें।

यह स्पष्ट है कि सदिश और संरेख हैं, इसलिए उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती होने चाहिए, इसलिए

– कैनन कासीधी रेखा समीकरण।

टिप्पणी 1.ध्यान दें कि लाइन के विहित समीकरणों को पैरामीटर को समाप्त करके पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है टी. वास्तव में, पैरामीट्रिक समीकरणों से हम प्राप्त करते हैं या .

उदाहरण।एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक तरीके से।

निरूपित , इस तरह एक्स = 2 + 3टी, आप = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

टिप्पणी 2.रेखा को निर्देशांक अक्षों में से एक के लंबवत होने दें, उदाहरण के लिए, अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत है बैल, इस तरह, एम= 0। नतीजतन, सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप लेते हैं

समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम रूप में सीधी रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से सीधी रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका अर्थ है कि रेखा संगत निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

इसी प्रकार, विहित समीकरण अक्षों के लंबवत सीधी रेखा से मेल खाती है बैलऔर ओएया समानांतर अक्ष आउंस.

उदाहरण।

सामान्य समीकरण दो योजनाओं के अंतःक्षेपण की एक रेखा के रूप में एक सीधी रेखा

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनंत विमानों की संख्या गुजरती है। उनमें से कोई दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। अतः ऐसे किन्हीं दो तलों के समीकरण, जिन्हें एक साथ माना जाए, इस रेखा के समीकरण हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके चौराहे की रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक सीधी रेखा की रचना कीजिए

एक रेखा बनाने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। निर्देशांक विमानों के साथ रेखा के चौराहे के बिंदुओं को चुनना सबसे आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम एक सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं, यह मानते हुए जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम बिंदु पाते हैं एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर आप= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से, कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों पर आगे बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ बिंदु खोजने की जरूरत है एम 1 रेखा पर और रेखा की दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, निर्देशांक में से एक को मनमाना मान देते हैं। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, ध्यान दें कि यह वेक्टर दोनों सामान्य वैक्टरों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के लिए मैंआप सामान्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।सरल रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से निर्देशांक में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, आप= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर में निर्देशांक होते हैं इसलिए, दिशा वेक्टर सीधा होगा

. इसलिये, मैं: .

अधिकारों के बीच का कोण

कोनाअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

स्पष्ट है कि रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि , तब सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

गणित में परीक्षा की तैयारी कर रहे प्रत्येक छात्र के लिए "लाइनों के बीच कोण ढूँढना" विषय को दोहराना उपयोगी होगा। जैसा कि आंकड़े दिखाते हैं, एक सत्यापन परीक्षा पास करते समय, स्टीरियोमेट्री के इस खंड में कार्य बड़ी संख्या में छात्रों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। उसी समय, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता वाले कार्य USE में बुनियादी और प्रोफ़ाइल दोनों स्तरों पर पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि हर कोई उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए।

बुनियादी क्षण

अन्तरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था 4 प्रकार की होती है। वे संयोग कर सकते हैं, प्रतिच्छेद कर सकते हैं, समानांतर या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। उनके बीच का कोण तीव्र या सीधा हो सकता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में लाइनों के बीच के कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, समाधान में, मॉस्को और अन्य शहरों में स्कूली बच्चे स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप शास्त्रीय निर्माण द्वारा कार्य को पूरा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांतों और प्रमेयों को सीखना उचित है। कार्य को एक समतलीय समस्या में लाने के लिए छात्र को तार्किक रूप से तर्क बनाने और चित्र बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

आप सरल सूत्रों, नियमों और एल्गोरिदम का उपयोग करके वेक्टर-समन्वय विधि का भी उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में मुख्य बात सभी गणनाओं को सही ढंग से करना है। शकोल्कोवो शैक्षिक परियोजना आपको स्टीरियोमेट्री और स्कूल पाठ्यक्रम के अन्य वर्गों में समस्याओं को हल करने में अपने कौशल को सुधारने में मदद करेगी।

यह सामग्री ऐसी अवधारणा के लिए समर्पित है जैसे दो प्रतिच्छेद सीधी रेखाओं के बीच का कोण। पहले पैराग्राफ में, हम समझाएंगे कि यह क्या है और इसे दृष्टांतों में दिखाएंगे। फिर हम विश्लेषण करेंगे कि आप इस कोण के साइन, कोसाइन और स्वयं कोण को कैसे ढूंढ सकते हैं (हम अलग-अलग मामलों पर एक विमान और त्रि-आयामी स्थान के साथ विचार करेंगे), हम आवश्यक सूत्र देंगे और उदाहरणों के साथ दिखाएंगे कि वे वास्तव में कैसे लागू होते हैं व्यवहार में।

यह समझने के लिए कि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण क्या होता है, हमें कोण, लंबवतता और प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुत परिभाषा को याद करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1

हम दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए कहते हैं यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। इस बिंदु को दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है।

प्रत्येक रेखा को प्रतिच्छेदन बिंदु से किरणों में विभाजित किया जाता है। इस स्थिति में, दोनों रेखाएँ 4 कोण बनाती हैं, जिनमें से दो लंबवत हैं और दो आसन्न हैं। यदि हम उनमें से एक का माप जानते हैं, तो हम शेष शेष का निर्धारण कर सकते हैं।

मान लीजिए कि हम जानते हैं कि इनमें से एक कोण α के बराबर है। ऐसी स्थिति में, जो कोण इसके लिए लंबवत है, वह भी α के बराबर होगा। शेष कोणों को खोजने के लिए, हमें 180 ° - α के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। यदि α 90 डिग्री के बराबर है, तो सभी कोण समकोण होंगे। समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं को लंबवत कहा जाता है (एक अलग लेख लंबवतता की अवधारणा के लिए समर्पित है)।

तस्वीर को जरा देखिए:

आइए हम मुख्य परिभाषा के निर्माण के लिए आगे बढ़ें।

परिभाषा 2

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाला कोण इन दो रेखाओं को बनाने वाले 4 कोणों में से छोटे कोणों का माप होता है।

परिभाषा से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जाना चाहिए: इस मामले में कोण का आकार अंतराल में किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाएगा (0, 90]। यदि रेखाएं लंबवत हैं, तो उनके बीच का कोण किसी भी स्थिति में होगा 90 डिग्री के बराबर।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की माप ज्ञात करने की क्षमता अनेक व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी होती है। समाधान विधि को कई विकल्पों में से चुना जा सकता है।

शुरुआत के लिए, हम ज्यामितीय तरीके ले सकते हैं। यदि हम अतिरिक्त कोणों के बारे में कुछ जानते हैं, तो हम समान या समान आकृतियों के गुणों का उपयोग करके उन्हें उस कोण से जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक त्रिभुज की भुजाओं को जानते हैं और हमें उन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की आवश्यकता है जिन पर ये भुजाएँ स्थित हैं, तो कोसाइन प्रमेय हल करने के लिए उपयुक्त है। यदि हमारे पास स्थिति में एक समकोण त्रिभुज है, तो गणना के लिए हमें कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को भी जानना होगा।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि भी बहुत सुविधाजनक है। आइए बताते हैं कि इसे सही तरीके से कैसे इस्तेमाल किया जाए।

हमारे पास दो सीधी रेखाओं के साथ एक आयताकार (कार्तीय) समन्वय प्रणाली O x y है। आइए उन्हें अक्षर a और b से निरूपित करें। इस मामले में, किसी भी समीकरण का उपयोग करके सीधी रेखाओं का वर्णन किया जा सकता है। मूल रेखाओं में एक प्रतिच्छेदन बिंदु M होता है। इन पंक्तियों के बीच वांछित कोण (आइए इसे α निरूपित करें) का निर्धारण कैसे करें?

आइए दी गई शर्तों के तहत कोण खोजने के मूल सिद्धांत के निर्माण के साथ शुरू करें।

हम जानते हैं कि निर्देशन और सामान्य वेक्टर जैसी अवधारणाएं एक सीधी रेखा की अवधारणा से निकटता से संबंधित हैं। यदि हमारे पास किसी सीधी रेखा का समीकरण है, तो हम इससे इन सदिशों के निर्देशांक ले सकते हैं। हम इसे एक साथ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए कर सकते हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा निर्मित कोण का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

• दिशा वैक्टर के बीच कोण;
• सामान्य वैक्टर के बीच कोण;
• एक रेखा के सामान्य वेक्टर और दूसरी के दिशा वेक्टर के बीच का कोण।

अब आइए प्रत्येक विधि को अलग से देखें।

1. मान लीजिए कि हमारे पास दिशा सदिश a → = (a x , a y) के साथ एक रेखा a और दिशा सदिश b → (b x , b y) वाली एक रेखा b है। अब दो सदिशों a → और b → को प्रतिच्छेदन बिंदु से अलग रखते हैं। उसके बाद, हम देखेंगे कि वे प्रत्येक अपनी लाइन पर स्थित होंगे। तब हमारे पास उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए चार विकल्प होते हैं। उदाहरण देखें:

यदि दो सदिशों के बीच का कोण अधिक नहीं है, तो यह वह कोण होगा जो हमें प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच चाहिए। यदि यह अधिक है, तो वांछित कोण कोण a → , b → ^ के आसन्न कोण के बराबर होगा। इस प्रकार, α = a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 ° , और α = 180 ° - a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 °।

इस तथ्य के आधार पर कि समान कोणों की कोज्या बराबर हैं, हम परिणामी समानता को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं: cos α = cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ यदि a → , b → ^ > 90 ° ।

दूसरे मामले में, कमी सूत्रों का इस्तेमाल किया गया था। इस प्रकार,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

आइए अंतिम सूत्र को शब्दों में लिखें:

परिभाषा 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बनने वाले कोण की कोज्या उसके दिशा सदिशों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होगी।

दो सदिशों a → = (a x, a y) और b → = (b x, b y) के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्र का सामान्य रूप इस तरह दिखता है:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

इससे हम दो दी गई रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या का सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

तब कोण स्वयं निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

यहाँ a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) दी गई रेखाओं के दिशा सदिश हैं।

आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 1

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, समतल पर दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ a और b दी गई हैं। उन्हें पैरामीट्रिक समीकरण x = 1 + 4 · λ y = 2 + ∈ R और x 5 = y - 6 - 3 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इन रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें।

फेसला

हमारे पास स्थिति में एक पैरामीट्रिक समीकरण है, जिसका अर्थ है कि इस सीधी रेखा के लिए हम तुरंत इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें गुणांक के मान को पैरामीटर पर लेने की आवश्यकता है, अर्थात। रेखा x = 1 + 4 λ y = 2 + R का एक दिशा सदिश a → = (4 , 1) होगा।

दूसरी सीधी रेखा को विहित समीकरण x 5 = y - 6 - 3 का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यहां हम हर से निर्देशांक ले सकते हैं। इस प्रकार, इस रेखा का एक दिशा सदिश b → = (5 , - 3) है।

अगला, हम सीधे कोण खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। ऐसा करने के लिए, उपरोक्त सूत्र α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 में दो वैक्टर के उपलब्ध निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित मिलता है:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

जवाब: ये रेखाएँ 45 डिग्री का कोण बनाती हैं।

हम सामान्य सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करके इसी तरह की समस्या को हल कर सकते हैं। यदि हमारे पास एक सामान्य वेक्टर n a → = (n a x, n a y) और एक रेखा b है जिसमें एक सामान्य वेक्टर n b → = (n b x, n b y) है, तो उनके बीच का कोण n a → और के बीच के कोण के बराबर होगा। n b → या वह कोण जो n a → , n b → ^ के निकट होगा। यह विधि चित्र में दिखाई गई है:

प्रतिच्छेदन रेखाओं और इस कोण के बीच के कोण की कोज्या की गणना के लिए सूत्र सामान्य वैक्टर के निर्देशांक का उपयोग करते हुए इस तरह दिखते हैं:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ n a → तथा n b → दो दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों को निरूपित करते हैं।

उदाहरण 2

एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में समीकरण 3 x + 5 y - 30 = 0 और x + 4 y - 17 = 0 का उपयोग करके दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। उनके बीच के कोण की ज्या, कोज्या और स्वयं उस कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए।

फेसला

मूल सीधी रेखाएं A x + B y + C = 0 के रूप के सामान्य सरल रेखा समीकरणों का उपयोग करके दी गई हैं। अभिलंब सदिश n → = (A , B) को निरूपित करें। आइए एक सीधी रेखा के लिए पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक खोजें और उन्हें नीचे लिखें: n a → = (3 , 5)। दूसरी पंक्ति x + 4 y - 17 = 0 के लिए प्रसामान्य सदिश के निर्देशांक n b → = (1 , 4) होंगे। अब प्राप्त मूल्यों को सूत्र में जोड़ें और कुल की गणना करें:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

यदि हम किसी कोण की कोज्या जानते हैं, तो हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके उसकी ज्या की गणना कर सकते हैं। चूँकि सीधी रेखाओं से बना कोण α अधिक नहीं है, तो sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

इस स्थिति में, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 ।

उत्तर: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

आइए अंतिम मामले का विश्लेषण करें - रेखाओं के बीच के कोण को खोजना, यदि हम एक रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक और दूसरे के सामान्य वेक्टर को जानते हैं।

मान लें कि रेखा a का एक दिशा सदिश a → = (a x , a y) है, और रेखा b का एक प्रसामान्य सदिश n b → = (n b x , n b y) है। हमें इन वैक्टरों को चौराहे के बिंदु से स्थगित करने और उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए सभी विकल्पों पर विचार करने की आवश्यकता है। तस्वीर देखने:

यदि दिए गए वैक्टर के बीच का कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं है, तो यह पता चलता है कि यह ए और बी के बीच के कोण को समकोण पर पूरक करेगा।

a → , n b → ^ = 90 ° - α यदि a → , n b → ^ ≤ 90 °।

यदि यह 90 डिग्री से कम है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

a → , n b → ^ > 90 ° , फिर a → , n b → ^ = 90 ° + α

समान कोणों की कोज्याओं की समानता के नियम का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° के लिए।

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α at a → , n b → ^ > 90 °।

इस प्रकार,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

आइए एक निष्कर्ष तैयार करें।

परिभाषा 4

एक समतल में प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं के बीच के कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको पहली पंक्ति के दिशा सदिश और दूसरी के सामान्य सदिश के बीच के कोण के कोज्या के मापांक की गणना करने की आवश्यकता है।

आइए आवश्यक सूत्र लिखें। कोण की ज्या ज्ञात करना:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

खुद कोना ढूँढना:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

यहाँ a → पहली पंक्ति का दिशा सदिश है, और n b → दूसरी का सामान्य सदिश है।

उदाहरण 3

दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समीकरण x - 5 = y - 6 3 और x + 4 y - 17 = 0 द्वारा दी गई हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम दिए गए समीकरणों से निर्देशन और सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लेते हैं। यह एक → = (- 5 , 3) ​​और n → b = (1 , 4) निकलता है। हम सूत्र α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 लेते हैं और विचार करते हैं:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

ध्यान दें कि हमने पिछली समस्या से समीकरण लिए और बिल्कुल वही परिणाम प्राप्त किया, लेकिन एक अलग तरीके से।

जवाब:α = ए आर सी पाप 7 2 34

यहां दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक का उपयोग करके वांछित कोण खोजने का एक और तरीका है।

हमारे पास एक रेखा a है, जिसे समीकरण y = k 1 · x + b 1 का उपयोग करके एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित किया गया है, और एक रेखा b, जिसे y = k 2 · x + b 2 के रूप में परिभाषित किया गया है। ये ढलान वाली रेखाओं के समीकरण हैं। प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात करने के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , जहां k 1 और k 2 दी गई रेखाओं के ढलान हैं। इस रिकॉर्ड को प्राप्त करने के लिए, सामान्य वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से कोण निर्धारित करने के लिए सूत्रों का उपयोग किया गया था।

उदाहरण 4

समतल में दो सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जो समीकरण y = - 3 5 x + 6 और y = - 1 4 x + 17 4 द्वारा दी गई हैं। चौराहे के कोण की गणना करें।

फेसला

हमारी रेखाओं के ढलान k 1 = - 3 5 और k 2 = - 1 4 के बराबर हैं। आइए उन्हें सूत्र α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 में जोड़ें और गणना करें:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

जवाब:α = a r c cos 23 2 34

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां दिए गए कोणों को खोजने के सूत्रों को दिल से सीखने की जरूरत नहीं है। ऐसा करने के लिए, दी गई लाइनों के गाइड और/या सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को जानना और विभिन्न प्रकार के समीकरणों का उपयोग करके उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना पर्याप्त है। लेकिन किसी कोण की कोज्या की गणना के सूत्र याद रखने या लिखने के लिए बेहतर हैं।

अंतरिक्ष में प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें

इस तरह के कोण की गणना को दिशा वैक्टर के निर्देशांक की गणना और इन वैक्टरों द्वारा गठित कोण के परिमाण के निर्धारण के लिए कम किया जा सकता है। ऐसे उदाहरणों के लिए, हम उसी तर्क का प्रयोग करते हैं जो हमने पहले दिया है।

मान लें कि हमारे पास 3D स्पेस में स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली है। इसमें प्रतिच्छेद बिंदु M के साथ दो रेखाएँ a और b हैं। दिशा सदिशों के निर्देशांकों की गणना करने के लिए, हमें इन रेखाओं के समीकरणों को जानना होगा। दिशा सदिश a → = (a x , a y , a z) और b → = (b x , b y , b z) को निरूपित करें। उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

कोण को स्वयं खोजने के लिए, हमें इस सूत्र की आवश्यकता है:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

उदाहरण 5

हमारे पास समीकरण x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 का उपयोग करके 3D स्पेस में परिभाषित एक सीधी रेखा है। यह ज्ञात है कि यह O z अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है। प्रतिच्छेद कोण और उस कोण की कोज्या की गणना करें।

फेसला

आइए अक्षर α द्वारा गणना किए जाने वाले कोण को निरूपित करें। आइए पहली सीधी रेखा - a → = (1 , - 3 , - 2) के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक लिखें। अनुप्रयुक्त अक्ष के लिए, हम निर्देशांक सदिश k → = (0 , 0 , 1) को मार्गदर्शक के रूप में ले सकते हैं। हमें आवश्यक डेटा प्राप्त हुआ है और इसे वांछित सूत्र में जोड़ सकते हैं:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

नतीजतन, हमने पाया कि हमें जिस कोण की आवश्यकता होगी वह बराबर होगा a r c cos 1 2 = 45 °।

जवाब: cos α = 1 2, α = 45 °।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

इंजेक्शन φ सामान्य समीकरणए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 और ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

इंजेक्शन φ दो सीधी रेखाओं के बीच विहित समीकरण(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 और (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

बिंदु से रेखा की दूरी

अंतरिक्ष में प्रत्येक विमान को एक रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे कहा जाता है सामान्य समीकरणविमान

विशेष स्थितियां.

o यदि समीकरण (8) में, तो तल मूल बिन्दु से होकर गुजरता है।

o (,) के साथ तल क्रमशः अक्ष (अक्ष, अक्ष) के समानांतर है।

o जब (,) तल समतल (प्लेन, प्लेन) के समानांतर हो।

समाधान: उपयोग (7)

उत्तर: समतल का सामान्य समीकरण।

उदाहरण।

आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान ऑक्सीज विमान के सामान्य समीकरण द्वारा दिया जाता है . इस तल के सभी सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखिए।

हम जानते हैं कि समतल के सामान्य समीकरण में चर x, y और z के गुणांक उस तल के प्रसामान्य सदिश के संगत निर्देशांक होते हैं। इसलिए, दिए गए तल का अभिलंब सदिश निर्देशांक हैं। सभी सामान्य सदिशों का समुच्चय इस प्रकार दिया जा सकता है।

एक समतल का समीकरण लिखिए यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ऑक्सीज अंतरिक्ष में एक बिंदु से गुजरता है , ए इस विमान का सामान्य वेक्टर है।

हम इस समस्या के दो समाधान प्रस्तुत करते हैं।

हमारे पास स्थिति से . हम इन आंकड़ों को बिंदु से गुजरने वाले तल के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

निर्देशांक तल Oyz के समांतर और बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए सामान्य समीकरण लिखिए .

एक समतल जो निर्देशांक तल Oyz के समानांतर है, प्रपत्र के तल के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। बिंदु के बाद से स्थिति के अनुसार विमान के अंतर्गत आता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, अर्थात समानता सत्य होनी चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं। इस प्रकार, वांछित समीकरण का रूप है।

फेसला। सदिश गुणनफल, परिभाषा 10.26 के अनुसार, सदिश p और q के लिए लंबकोणीय है। इसलिए, यह वांछित विमान के लिए ओर्थोगोनल है और वेक्टर को इसके सामान्य वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है। वेक्टर n के निर्देशांक खोजें:

अर्थात . सूत्र (11.1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस समीकरण में कोष्ठकों को खोलकर, हम अंतिम उत्तर पर पहुँचते हैं।

जवाब: .

आइए सामान्य वेक्टर को फॉर्म में फिर से लिखें और इसकी लंबाई पाएं:

उपरोक्त के अनुसार:

जवाब:

समानांतर विमानों में एक ही सामान्य वेक्टर होता है। 1) समीकरण से हम समतल का अभिलंब सदिश पाते हैं:।

2) हम बिंदु और सामान्य वेक्टर के अनुसार विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

जवाब:

अंतरिक्ष में एक समतल का सदिश समीकरण

अंतरिक्ष में एक विमान का पैरामीट्रिक समीकरण

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण

मान लीजिए कि त्रिविमीय स्थान में एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दी गई है। आइए निम्नलिखित समस्या तैयार करें:

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए एम(एक्स 0, आप 0, जेड 0) दिए गए वेक्टर के लंबवत एन = ( ए, बी, सी} .

फेसला। रहने दो पी(एक्स, आप, जेड) अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है। दूरसंचार विभाग पीविमान के अंतर्गत आता है अगर और केवल अगर वेक्टर एमपी = {एक्स − एक्स 0, आप − आप 0, जेड − जेड 0) ओर्थोगोनल से वेक्टर एन = {ए, बी, सी) (चित्र .1)।

इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी कंडीशन लिखने के बाद (n, एमपी) = 0 निर्देशांक रूप में, हम प्राप्त करते हैं:

ए(एक्स − एक्स 0) + बी(आप − आप 0) + सी(जेड − जेड 0) = 0

एक समतल का तीन बिन्दुओं का समीकरण

वेक्टर रूप में

निर्देशांक में

अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था

दो विमानों के सामान्य समीकरण हैं। फिर:

1) अगर , तब विमान मेल खाते हैं;

2) अगर , तो विमान समानांतर हैं;

3) यदि या , तो विमान प्रतिच्छेद करते हैं और समीकरणों की प्रणाली

(6)

दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समीकरण हैं।

फेसला: हम सूत्र द्वारा सरल रेखा के विहित समीकरणों की रचना करते हैं: जवाब:

हम परिणामी समीकरण लेते हैं और मानसिक रूप से "पिन ऑफ" करते हैं, उदाहरण के लिए, बायां टुकड़ा: । अब हम इस टुकड़े की बराबरी करते हैं किसी भी संख्या के लिए(याद रखें कि पहले से ही एक शून्य था), उदाहरण के लिए, एक के लिए: . चूंकि, तब अन्य दो "टुकड़े" भी एक के बराबर होने चाहिए। अनिवार्य रूप से, आपको सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

निम्नलिखित पंक्तियों के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए:

फेसला: रेखाएँ विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं और पहले चरण में किसी को रेखा से संबंधित कोई बिंदु और उसकी दिशा सदिश का पता लगाना चाहिए।

a) समीकरणों से बिंदु और दिशा वेक्टर को हटा दें:। आप एक और बिंदु चुन सकते हैं (यह कैसे करना है ऊपर वर्णित है), लेकिन सबसे स्पष्ट एक लेना बेहतर है। वैसे, गलतियों से बचने के लिए हमेशा इसके निर्देशांकों को समीकरणों में बदलें।

आइए हम इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें:

पैरामीट्रिक समीकरणों की सुविधा यह है कि उनकी सहायता से रेखा के अन्य बिंदुओं को खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक बिंदु खोजें, जिसके निर्देशांक, मान लें, पैरामीटर के मान के अनुरूप हैं:

इस प्रकार: बी) विहित समीकरणों पर विचार करें . यहां एक बिंदु का चुनाव सरल है, लेकिन कपटी है: (सावधान रहें कि निर्देशांक मिश्रण न करें !!!)। गाइड वेक्टर कैसे निकालें? आप अनुमान लगा सकते हैं कि यह रेखा किसके समानांतर है, या आप एक साधारण औपचारिक चाल का उपयोग कर सकते हैं: अनुपात "y" और "Z" है, इसलिए हम दिशा वेक्टर लिखते हैं, और शेष स्थान में शून्य डालते हैं:।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं:

ग) आइए समीकरणों को इस रूप में फिर से लिखें, अर्थात "Z" कुछ भी हो सकता है। और यदि कोई हो, तो चलो, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, बिंदु इस रेखा के अंतर्गत आता है। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, हम निम्नलिखित औपचारिक तकनीक का उपयोग करते हैं: प्रारंभिक समीकरणों में "x" और "y" होते हैं, और इन स्थानों पर दिशा वेक्टर में हम लिखते हैं शून्य: . शेष स्थान पर हम डालते हैं इकाई: . एक के बजाय, शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या काम करेगी।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह छोटा है, जैसे कि आप खुद को वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, फिर विश्राम मदद करेगा, खासकर आज से मैंने उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मूड रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

डमी के लिए सहायता : कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की आपेक्षिक स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक समानुपाती हों, यानी ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है कि समानताएं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांकों को 2 से कम करें, आपको समान समीकरण मिलता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, यानी "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएं पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है कि , और दूसरे समीकरण से: , इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

फेसलासीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलाइनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

जवाब:

बहुत जल्द आप कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करना सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ देने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि रेखा "सी" का निर्देशन वेक्टर भी रेखा "ते" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

जवाब:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

आत्म समाधान के उदाहरण आज रचनात्मक रहेंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

हल करने का एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। मेल खाने वाली रेखाओं का मामला कम दिलचस्पी का है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता हो:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यह आप के लिए है दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थएक समतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाओं को खींचना है और ड्राइंग से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने का एक ग्राफिकल तरीका माना रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पदवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

जवाब:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य को आसानी से कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

एक्शन एल्गोरिथम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं इस पर बार-बार ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री की हो जाएगी:

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला: यह अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

जवाब:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम कम से कम रास्ते में उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

फेसला: आपको केवल संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना है और गणना करना है:

जवाब:

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी चित्र के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

गणना में कठिनाइयाँ यहाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जाम:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

फेसलाऔर विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, तब उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (अंजीर देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

जवाब:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .