खंड से संबंधित जड़ें खोजें। त्रिकोणमितीय समीकरण. द अल्टीमेट गाइड (2019)

सफलतापूर्वक हल करना त्रिकोणमितीय समीकरणउपयोग करने में सुविधाजनक कटौती विधिपहले से हल की गई समस्याओं के लिए. आइए जानें कि इस पद्धति का सार क्या है?

किसी भी प्रस्तावित समस्या में, आपको पहले से हल की गई समस्या को देखना होगा, और फिर, क्रमिक समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके, आपको दी गई समस्या को सरल बनाने का प्रयास करना होगा।

इस प्रकार, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, वे आमतौर पर समकक्ष समीकरणों का एक निश्चित सीमित अनुक्रम बनाते हैं, जिनमें से अंतिम लिंक एक स्पष्ट समाधान वाला समीकरण होता है। केवल यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का कौशल नहीं बनता है, तो समाधान अधिक होता है जटिल समीकरणकठिन एवं अप्रभावी होगा.

इसके अलावा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, आपको यह कभी नहीं भूलना चाहिए कि समाधान के कई संभावित तरीके हैं।

उदाहरण 1. अंतराल पर समीकरण cos x = -1/2 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

विधि Iआइए फलन y = cos x और y = -1/2 को आलेखित करें और अंतराल पर उनके उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें (चित्र 1)।

चूँकि फ़ंक्शंस के ग्राफ़ में अंतराल पर दो सामान्य बिंदु होते हैं, इसलिए समीकरण में इस अंतराल पर दो जड़ें होती हैं।

द्वितीय विधि.त्रिकोणमितीय वृत्त (चित्र 2) का उपयोग करके हम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करते हैं अंतराल से संबंधित, जिसमें cos x = -1/2. चित्र से पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं।

तृतीय विधि.त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण cos x = -1/2 को हल करते हैं।

x = ± आर्ककोस (-1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - आर्ककोस 1/2) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± (π - π/3) + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल में मूल 2π/3 और -2π/3 + 2π हैं, k एक पूर्णांक है। इस प्रकार, किसी दिए गए अंतराल पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं।

उत्तर: 2.

भविष्य में, त्रिकोणमितीय समीकरणों को प्रस्तावित तरीकों में से एक का उपयोग करके हल किया जाएगा, जो कई मामलों में अन्य तरीकों के उपयोग को बाहर नहीं करता है।

उदाहरण 2. अंतराल [-2π; पर समीकरण tg (x + π/4) = 1 के समाधानों की संख्या ज्ञात कीजिए; 2π]।

समाधान:

त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

x + π/4 = आर्कटिक 1 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z);

x = πk, k – पूर्णांक (k € Z);

अंतराल [-2π; 2π] संख्या -2π से संबंधित हैं; -π; 0; π; 2π. अतः, दिए गए अंतराल पर समीकरण के पाँच मूल हैं।

उत्तर: 5.

उदाहरण 3. अंतराल [-π; पर समीकरण cos 2 x + syn x · cos x = 1 के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए। π].

समाधान:

चूँकि 1 = पाप 2 x + cos 2 x (मूल त्रिकोणमितीय पहचान), मूल समीकरण इस प्रकार है:

कॉस 2 एक्स + सिन एक्स · कॉस एक्स = सिन 2 एक्स + कॉस 2 एक्स;

पाप 2 एक्स – पाप एक्स क्योंकि एक्स = 0;

पाप x(sin x – cos x) = 0. उत्पाद शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक कारक अवश्य होना चाहिए शून्य के बराबर, इसीलिए:

पाप x = 0 या पाप x - क्योंकि x = 0.

चूँकि चर के मान जिस पर cos x = 0 दूसरे समीकरण की जड़ें नहीं हैं (समान संख्या की ज्या और कोज्या एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकती हैं), हम दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं कॉस एक्स द्वारा:

पाप x = 0 या पाप x/cos x - 1 = 0.

दूसरे समीकरण में हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि tg x = syn x / cos x, तो:

पाप x = 0 या tan x = 1। सूत्रों का उपयोग करने पर हमारे पास है:

x = πk या x = π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

जड़ों की पहली श्रृंखला से अंतराल तक [-π; π] संख्याओं से संबंधित हैं -π; 0; π. दूसरी श्रृंखला से: (π/4 – π) और π/4.

इस प्रकार, मूल समीकरण की पाँच जड़ें अंतराल [-π; π].

उत्तर: 5.

उदाहरण 4. अंतराल [-π; पर समीकरण tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 की जड़ों का योग ज्ञात कीजिए; 1.1π]।

समाधान:

आइए समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 और प्रतिस्थापन करें।

मान लीजिए tg x + сtgx = a. आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें:

(टीजी एक्स + एसटीजी एक्स) 2 = ए 2। आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

टीजी 2 एक्स + 2टीजी एक्स · एसटीजीएक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2।

चूँकि tg x · сtgx = 1, तो tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, जिसका अर्थ है

टीजी 2 एक्स + एसटीजी 2 एक्स = ए 2 – 2.

अब मूल समीकरण इस प्रकार दिखता है:

ए 2 - 2 + 3ए + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि a = -1 या a = -2।

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें, हमारे पास है:

tg x + сtgx = -1 या tg x + сtgx = -2. आइए परिणामी समीकरणों को हल करें।

tg x + 1/tgx = -1 या tg x + 1/tgx = -2.

दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं के गुण से हम यह निर्धारित करते हैं कि पहले समीकरण का कोई मूल नहीं है, और दूसरे समीकरण से हमें यह मिलता है:

टीजी एक्स = -1, यानी x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-π; 1,1π] जड़ों से संबंधित हैं: -π/4; -π/4 + π. उनका योग:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

उत्तर: π/2.

उदाहरण 5. अंतराल [-π; पर समीकरण पाप 3x + पाप x = पाप 2x की जड़ों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए; 0.5π]।

समाधान:

आइए सूत्र पाप α + पाप β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2) का उपयोग करें, फिर

पाप 3x + पाप x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x और समीकरण बन जाता है

2sin 2x क्योंकि x = पाप 2x;

2sin 2x · cos x – पाप 2x = 0. आइए सामान्य गुणनखंड पाप 2x को कोष्ठक से बाहर निकालें

पाप 2x(2cos x – 1) = 0. परिणामी समीकरण को हल करें:

पाप 2x = 0 या 2cos x – 1 = 0;

पाप 2x = 0 या क्योंकि x = 1/2;

2x = πk या x = ±π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

इस प्रकार हमारी जड़ें हैं

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-π; 0.5π] जड़ों से संबंधित हैं -π; -π/2; 0; π/2 (मूलों की पहली श्रृंखला से); π/3 (दूसरी श्रृंखला से); -π/3 (तीसरी श्रृंखला से)। उनका अंकगणित माध्य है:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

उत्तर:-π/6.

उदाहरण 6. अंतराल [-1.25π; पर समीकरण पाप x + cos x = 0 की जड़ों की संख्या ज्ञात करें; 2π]।

समाधान:

यह समीकरण है सजातीय समीकरणपहला डिग्री। आइए इसके दोनों भागों को cosx से विभाजित करें (वेरिएबल का मान जिस पर cos x = 0 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं, क्योंकि एक ही संख्या की साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हो सकती हैं)। मूल समीकरण है:

x = -π/4 + πk, k - पूर्णांक (k € Z)।

अंतराल [-1.25π; 2π] जड़ों से संबंधित हैं -π/4; (-π/4 + π); और (-π/4 + 2π).

इस प्रकार, दिया गया अंतरालसमीकरण की तीन जड़ों से संबंधित हैं।

उत्तर: 3.

सबसे महत्वपूर्ण काम करना सीखें - किसी समस्या को हल करने के लिए एक योजना की स्पष्ट रूप से कल्पना करें, और फिर कोई भी त्रिकोणमितीय समीकरण आपकी समझ में आ जाएगा।

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पाठ का उद्देश्य:

1. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सूत्रों को दोहराएं।
2. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय मूलों के चयन की तीन मुख्य विधियों पर विचार करें:
   असमानता द्वारा चयन, हर द्वारा चयन और अंतराल द्वारा चयन।

उपकरण:मल्टीमीडिया उपकरण.

विधिपूर्वक टिप्पणी.

1. पाठ विषय के महत्व पर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित करें।
2. त्रिकोणमितीय समीकरण जिनमें जड़ों का चयन करना आवश्यक होता है, अक्सर एकीकृत राज्य परीक्षा के विषयगत परीक्षणों में पाए जाते हैं;
   ऐसी समस्याओं को हल करने से छात्रों को अपने पहले अर्जित ज्ञान को समेकित और गहरा करने में मदद मिलती है।

पाठ प्रगति

दोहराव. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों (स्क्रीन) को हल करने के लिए सूत्रों को याद करना उपयोगी है।

मान	समीकरण	समीकरणों को हल करने के सूत्र
	सिनक्स=ए
	सिनक्स=ए	पर समीकरण का कोई हल नहीं है
ए=0	पापx=0
ए=1	पापx= 1
ए=-1	पापx= -1
	cosx=a
	cosx=a	समीकरण का कोई हल नहीं है
ए=0	cosx=0
ए=1	cosx= 1
ए=-1	cosx= -1
	टीजीएक्स=ए
	सीटीजीएक्स=ए

जड़ों का चयन करते समय त्रिकोणमितीय समीकरणसमीकरणों का समाधान लिखना synx=a, сosx=aकुल मिलाकर यह अधिक न्यायसंगत है। समस्याओं का समाधान करते समय हम यह सुनिश्चित करेंगे।

समीकरण हल करना.

काम. प्रश्न हल करें

समाधान।यह समीकरण निम्नलिखित प्रणाली के समतुल्य है

एक वृत्त पर विचार करें. आइए हम उस पर प्रत्येक प्रणाली की जड़ों को चिह्नित करें और एक चाप के साथ वृत्त के उस हिस्से को चिह्नित करें जहां असमानता ( चावल। 1)

चावल। 1

हमें वह मिल गया मूल समीकरण का हल नहीं हो सकता.

उत्तर:

इस समस्या में हमने असमानता के आधार पर जड़ों का चयन किया।

अगली समस्या में हम हर द्वारा चयन करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम अंश के मूलों को चुनेंगे, लेकिन ऐसे कि वे हर के मूल न हों।

कार्य 2.प्रश्न हल करें।

समाधान. आइए क्रमिक समतुल्य संक्रमणों का उपयोग करके समीकरण का समाधान लिखें।

किसी प्रणाली के समीकरण और असमानता को हल करते समय, हम समाधान में अलग-अलग अक्षर डालते हैं जो पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। चित्र में चित्रण करते हुए, हम वृत्त पर समीकरण के मूलों को वृत्तों से और हर के मूलों को क्रॉस से अंकित करते हैं (चित्र 2.)

चावल। 2

तस्वीर से साफ पता चल रहा है कि – मूल समीकरण का समाधान.

आइए हम छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करें कि वृत्त पर संबंधित बिंदुओं को आलेखित करने वाली प्रणाली का उपयोग करके जड़ों का चयन करना आसान था।

उत्तर:

कार्य 3.प्रश्न हल करें

3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

खंड से संबंधित समीकरण की सभी जड़ें खोजें।

समाधान।इस समस्या में, जड़ों को अंतराल में चुना जाता है, जो समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट होता है। एक अंतराल में जड़ों का चयन दो तरीकों से किया जा सकता है: पूर्णांकों के लिए एक चर के मानों की खोज करके या एक असमानता को हल करके।

इस समीकरण में, हम पहली विधि का उपयोग करके जड़ों का चयन करेंगे, और अगली समस्या में, असमानता को हल करके।

आइए मूल त्रिकोणमितीय पहचान और ज्या के लिए दोहरे कोण सूत्र का उपयोग करें। हमें समीकरण मिलता है

6sinxcosx = 10cos 2 x - पाप 2 x - cos 2 x,वे। पाप 2 एक्स – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

क्योंकि अन्यथा सिनएक्स = 0, जो नहीं हो सकता, क्योंकि ऐसा कोई कोण नहीं है जिसके लिए ज्या और कोज्या दोनों शून्य के बराबर हों पाप 2 एक्स+ क्योंकि 2 एक्स = 0.

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें क्योंकि 2 एक्स.हम पाते हैं टीजी 2 एक्स+ 6टीजीएक्स – 9 = 0/

होने देना टीजीएक्स = टी, तब टी 2 + 6टी - 9 = 0, टी 1 = 2, टी 2 = -8।

टीजीएक्स = 2 या टीजी = -8;

आइए प्रत्येक श्रृंखला पर अलग से विचार करें, अंतराल के अंदर बिंदु खोजें, और उसके बाएँ और दाएँ एक बिंदु खोजें।

अगर क=0, वह x=arctg2. यह मूल विचाराधीन अंतराल से संबंधित है।

अगर क=1, वह x=arctg2+.यह मूल भी विचाराधीन अंतराल से संबंधित है।

अगर क=2, वह . यह स्पष्ट है कि जड़ दियाहमारे अंतर से संबंधित नहीं है.

हमने इस अंतराल के दाईं ओर एक बिंदु पर विचार किया, इसलिए क=3,4,…विचार नहीं किया जाता.

अगर के = -1,हम पाते हैं - अंतराल से संबंधित नहीं है।

मान के = -2, -3,…विचार नहीं किया जाता.

इस प्रकार, इस श्रृंखला से दो जड़ें अंतराल से संबंधित हैं

पिछले मामले की तरह, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि कब एन = 0और एन = 2,और, इसलिए, जब पी = -1, -2,…पी = 3.4,…हमें ऐसी जड़ें मिलेंगी जो अंतराल से संबंधित नहीं हैं। केवल जब एन=1हम इस अंतराल से संबंधित प्राप्त करते हैं।

उत्तर:

कार्य 4.प्रश्न हल करें 6sin 2 x+2sin 2 2x=5और अंतराल से संबंधित जड़ों को इंगित करें।

समाधान।चलिए समीकरण देते हैं 6sin 2 x+2sin 2 2x=5को द्विघात समीकरणअपेक्षाकृत cos2x.

कहाँ cos2x

यहां हम दोहरी असमानता का उपयोग करके अंतराल में चयन की विधि लागू करते हैं

क्योंकि कोकेवल पूर्णांक मान लेता है, यह केवल संभव है क=2,क=3.

पर क=2हमें मिलता है, साथ क=3हम प्राप्त करेंगे ।

उत्तर:

पद्धतिपरक टिप्पणी.यह अनुशंसा की जाती है कि शिक्षक छात्रों की भागीदारी के साथ ब्लैकबोर्ड पर इन चार समस्याओं को हल करें। अगली समस्या को हल करने के लिए, अपनी बेटी के पास एक मजबूत छात्र को बुलाना बेहतर है, जिससे उसे तर्क करने में अधिकतम स्वतंत्रता मिल सके।

कार्य 5.प्रश्न हल करें

समाधान।अंश को रूपांतरित करके, हम समीकरण को सरल रूप में बदल देते हैं

परिणामी समीकरण दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

अंतराल में जड़ों का चयन (0; 5) आइए इसे दो तरीकों से करें। पहली विधि समुच्चय की पहली प्रणाली के लिए है, दूसरी विधि समुच्चय की दूसरी प्रणाली के लिए है।

, 0.