बीजगणितीय जोड़ की विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम। समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए सरल और जटिल तरीके। विषय: समीकरणों की प्रणाली

दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण है जिसके लिए उनके सभी सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। हम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे। सामान्य फ़ॉर्मदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है:

(ए 1 * एक्स + बी 1 * वाई = सी 1,
(ए2 * एक्स + बी2 * वाई = सी2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) है जैसे कि यदि इन संख्याओं को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् जोड़ विधि।

जोड़ के माध्यम से हल करने के लिए एल्गोरिदम

जोड़ के दो अज्ञात तरीकों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

1. यदि आवश्यक हो, तो समतुल्य परिवर्तनों के माध्यम से दोनों समीकरणों में अज्ञात चरों में से एक के गुणांक को बराबर करें।

2. एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के लिए परिणामी समीकरणों को जोड़ना या घटाना

3. एक अज्ञात के साथ परिणामी समीकरण को हल करें और एक चर ज्ञात करें।

4. प्राप्त व्यंजक को निकाय के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें।

जोड़ के माध्यम से समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, हम दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करेंगे:

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

चूँकि किसी भी चर के गुणांक समान नहीं हैं, हम चर y के गुणांकों की बराबरी करेंगे। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3 * x + 2 * y = 10 | * 3
(5 * x + 3 * y = 12 | * 2

हम पाते हैं समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9 * x + 6 * y = 30;
(10 * x + 6 * y = 24;

अब पहले को दूसरे समीकरण से घटाएं। हम समान पद देते हैं और परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

10 * x + 6 * y - (9 * x + 6 * y) = 24-30; एक्स = -6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली से पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3 * (- 6) + 2 * y = 10;
(2 * y = 28; y = 14;

परिणाम संख्या x = 6 और y = 14 का एक युग्म है। हम जाँच कर रहे हैं। हम एक प्रतिस्थापन करते हैं।

(3 * x + 2 * y = 10;
(5 * x + 3 * y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सही समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमें सही हल मिला।

बहुत बार, छात्रों को समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एक विधि चुनना मुश्किल लगता है।

इस लेख में, हम सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - प्रतिस्थापन विधि।

अगर वे पाते हैं सामान्य निर्णयदो समीकरण, तो इन समीकरणों को एक प्रणाली बनाने के लिए कहा जाता है। समीकरणों की एक प्रणाली में, प्रत्येक अज्ञात सभी समीकरणों में समान संख्या को दर्शाता है। यह दिखाने के लिए कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें आमतौर पर एक के नीचे एक लिखा जाता है और घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए

ध्यान दें कि x = 15 और y = 5 के लिए निकाय के दोनों समीकरण सत्य हैं। संख्याओं का यह युग्म समीकरणों के निकाय का हल है। अज्ञात के मानों का प्रत्येक युग्म जो एक साथ निकाय के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, निकाय का हल कहलाता है।

एक प्रणाली में एक समाधान हो सकता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), असीमित कई समाधान हो सकते हैं, और कोई समाधान नहीं हो सकता है।

आप प्रतिस्थापन द्वारा सिस्टम को कैसे हल करते हैं? यदि दोनों समीकरणों में किसी अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में समान हैं (यदि वे समान नहीं हैं, तो हम बराबर करते हैं), तो दोनों समीकरणों को जोड़कर (या एक को दूसरे से घटाकर), हम एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम इस समीकरण को हल करते हैं। हम एक अज्ञात को परिभाषित करते हैं। हम अज्ञात के प्राप्त मूल्य को सिस्टम के समीकरणों में से एक (पहले या दूसरे में) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम एक और अज्ञात पाते हैं। आइए इस पद्धति के आवेदन के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यहाँ y के गुणांक एक दूसरे के निरपेक्ष मान के बराबर हैं, लेकिन चिह्न में विपरीत हैं। आइए सिस्टम टर्म के समीकरणों को टर्म से जोड़ने का प्रयास करें।

परिणामी मान x = 4 है, हम इसे सिस्टम के कुछ समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं (उदाहरण के लिए, पहले वाले में) और y का मान ज्ञात करें:

2 * 4 + y = 11, y = 11 - 8, y = 3.

हमारे सिस्टम का एक हल x = 4, y = 3 है। वैकल्पिक रूप से, उत्तर कोष्ठक में, एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में, पहले स्थान पर x, दूसरे y में लिखा जा सकता है।

उत्तर: (4; 3)

उदाहरण 2... समीकरणों की प्रणाली को हल करें

आइए चर x के गुणांकों को बराबर करें, इसके लिए हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे को (-2) से गुणा करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण जोड़ते समय सावधान रहें

तब y = - 2. पहले समीकरण में y के स्थान पर संख्या (-2) को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

4x + 3 (-2) = - 4. इस समीकरण को हल करें 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½।

उत्तर: (1/2; - 2)

उदाहरण 3.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

पहले समीकरण को (-2) से गुणा करें

हम सिस्टम को हल करते हैं

हमें 0 = - 13 मिलता है।

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि 0 (-13) के बराबर नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 4.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं,

आइए दूसरे समीकरण को तीन से विभाजित करें और हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें दो समान समीकरण होते हैं।

इस प्रणाली के अपरिमित रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि पहले और दूसरे समीकरण समान हैं (हमें दो चरों में केवल एक समीकरण मिला है)। इस प्रणाली का समाधान कैसे प्रस्तुत करें? आइए चर y को समीकरण x + y = 5 से व्यक्त करें। हमें y = 5 - x प्राप्त होता है।

फिर उत्तरइस तरह लिखा जाएगा: (एक्स; 5-एक्स), एक्स - कोई भी संख्या।

हमने जोड़ विधि द्वारा समीकरण प्रणालियों के समाधान पर विचार किया। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो एक पाठ के लिए साइन अप करें और हम आपके साथ सभी समस्याओं का समाधान करेंगे।

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विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रबंधन और उत्पादन की योजना बनाने की समस्याओं को हल करते समय, रसद मार्ग ( परिवहन कार्य) या उपकरण प्लेसमेंट।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में किया जाता है, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को दो या दो से अधिक समीकरण कहा जाता है जिसमें कई चर होते हैं, जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक होता है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax + by = c के रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। अंकन x, y अज्ञात है, जिसका मान ज्ञात किया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण का हल एक सीधी रेखा के रूप में होगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल होते हैं।

रैखिक समीकरणों के सिस्टम के प्रकार

सबसे सरल उदाहरणों को दो चर X और Y के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली माना जाता है।

F1 (x, y) = 0 और F2 (x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) की खोज करना जिस पर सिस्टम एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, या यह स्थापित करना कि x और y के लिए कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों की एक जोड़ी (x, y) को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद के दाहिने हिस्से का कोई मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली विषम है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना करना पड़ता है, तो स्कूली बच्चे यह मानते हैं कि समीकरणों की संख्या अनिवार्य रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, आप जितने चाहें उतने हो सकते हैं।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियां संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का ठीक से विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य स्कूली पाठ्यक्रम की 7वीं कक्षा के लिए रैखिक समीकरण प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के एक उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . समाधान यह उदाहरणकिसी भी कठिनाई का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन द्वारा समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजीय जोड़ समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और समीकरणों का गुणा अलग संख्या... गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों वाली योग विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना आसान नहीं है। समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ मौजूद होने पर बीजीय योग का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए प्राप्त मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया गया है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

सुप्रसिद्ध सूत्र के अनुसार विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4 * a * c, जहाँ D आवश्यक विभेदक है, b, a, c बहुपद के कारक हैं। दिए गए उदाहरण में, a = 1, b = 16, c = 39, इसलिए D = 100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b ± D / 2 * a, यदि विवेचक शून्य से कम, तो केवल एक ही समाधान है: x = -b / 2 * a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ के समन्वय अक्ष पर प्लॉटिंग शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य समाधान होंगे।

चित्रमय विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, प्रत्येक सीधी रेखा के लिए दो बिंदु बनाए गए थे, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए थे : 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। लाइनों का प्रतिच्छेदन बिंदु प्रणाली का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण खोजना चाहता है ग्राफिक समाधानरैखिक समीकरणों की प्रणाली: 0.5x-y + 2 = 0 और 0.5x-y-1 = 0।

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन इसे बनाते समय यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह बताना हमेशा संभव नहीं है कि किसी सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिसेस का उपयोग रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए किया जाता है। एक मैट्रिक्स एक टेबल है विशेष प्रकारसंख्याओं से भरा हुआ। n * m में n - पंक्तियाँ और m - स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या एक दूसरे के बराबर होती है। एक वेक्टर मैट्रिक्स एक-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें अनंत संख्या में पंक्तियाँ होती हैं। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स होता है, जिसे गुणा करने पर मूल एक पहचान मैट्रिक्स में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

जैसा कि समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होता है, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति होती है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व नहीं है शून्य है... इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के बजाय शून्य लिखना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम को वेरिएबल से सख्ती से मेल खाना चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के प्रकार

उलटा मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: के -1 = 1 / | के |, जहां के -1 - उलटा मैट्रिक्सऔर | के | मैट्रिक्स का निर्धारक है। | के | शून्य नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है; आपको केवल विकर्ण पर तत्वों को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, सूत्र है | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1. आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में स्तंभों और तत्वों की पंक्तियों की संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि किसी को सिस्टम को हल करते समय बोझिल रिकॉर्ड को कम करने की अनुमति देती है बड़ी मात्राचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

सिस्टम का गाऊसी समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों के साथ चर प्रणालियों को खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस की विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का लक्ष्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड की तरह दिखाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, लेकिन 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, चरण (3) में दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 = 11 और 3x 3 + 2x 4 = 7. किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

पाठ में उल्लिखित प्रमेय 5 में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष से बदल दिया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

हाई स्कूल के छात्रों के लिए गॉस की विधि को समझना मुश्किल है, लेकिन यह सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेउन्नत गणित और भौतिकी कक्षाओं में बच्चों की बुद्धि विकसित करने के लिए।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाता है, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से संबंधित होती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को एक पंक्ति के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स को तीर चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय क्रियाएं जारी रहती हैं।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें एक विकर्ण 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स की ओर जाता है एकल प्रजाति... समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना न भूलें।

रिकॉर्डिंग की यह विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात की गणना से विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियां लागू प्रकृति की नहीं होती हैं। मानव गतिविधि के इस अन्य क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।

बहुत बार, छात्रों को समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एक विधि चुनना मुश्किल लगता है।

इस लेख में, हम सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - प्रतिस्थापन विधि।

यदि दो समीकरणों का एक सामान्य हल मिल जाता है, तो इन समीकरणों को एक प्रणाली बनाने के लिए कहा जाता है। समीकरणों की एक प्रणाली में, प्रत्येक अज्ञात सभी समीकरणों में समान संख्या को दर्शाता है। यह दिखाने के लिए कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें आमतौर पर एक के नीचे एक लिखा जाता है और घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए

ध्यान दें कि x = 15 और y = 5 के लिए निकाय के दोनों समीकरण सत्य हैं। संख्याओं का यह युग्म समीकरणों के निकाय का हल है। अज्ञात के मानों का प्रत्येक युग्म जो एक साथ निकाय के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, निकाय का हल कहलाता है।

एक प्रणाली में एक समाधान हो सकता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), असीमित कई समाधान हो सकते हैं, और कोई समाधान नहीं हो सकता है।

आप प्रतिस्थापन द्वारा सिस्टम को कैसे हल करते हैं? यदि दोनों समीकरणों में किसी अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में समान हैं (यदि वे समान नहीं हैं, तो हम बराबर करते हैं), तो दोनों समीकरणों को जोड़कर (या एक को दूसरे से घटाकर), हम एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम इस समीकरण को हल करते हैं। हम एक अज्ञात को परिभाषित करते हैं। हम अज्ञात के प्राप्त मूल्य को सिस्टम के समीकरणों में से एक (पहले या दूसरे में) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम एक और अज्ञात पाते हैं। आइए इस पद्धति के आवेदन के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यहाँ y के गुणांक एक दूसरे के निरपेक्ष मान के बराबर हैं, लेकिन चिह्न में विपरीत हैं। आइए सिस्टम टर्म के समीकरणों को टर्म से जोड़ने का प्रयास करें।

परिणामी मान x = 4 है, हम इसे सिस्टम के कुछ समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं (उदाहरण के लिए, पहले वाले में) और y का मान ज्ञात करें:

2 * 4 + y = 11, y = 11 - 8, y = 3.

हमारे सिस्टम का एक हल x = 4, y = 3 है। वैकल्पिक रूप से, उत्तर कोष्ठक में, एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में, पहले स्थान पर x, दूसरे y में लिखा जा सकता है।

उत्तर: (4; 3)

उदाहरण 2... समीकरणों की प्रणाली को हल करें

आइए चर x के गुणांकों को बराबर करें, इसके लिए हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे को (-2) से गुणा करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण जोड़ते समय सावधान रहें

तब y = - 2. पहले समीकरण में y के स्थान पर संख्या (-2) को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

4x + 3 (-2) = - 4. इस समीकरण को हल करें 4x = - 4 + 6, 4x = 2, x = ½।

उत्तर: (1/2; - 2)

उदाहरण 3.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

पहले समीकरण को (-2) से गुणा करें

हम सिस्टम को हल करते हैं

हमें 0 = - 13 मिलता है।

सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि 0 (-13) के बराबर नहीं है।

उत्तर: कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 4.समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं,

आइए दूसरे समीकरण को तीन से विभाजित करें और हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें दो समान समीकरण होते हैं।

इस प्रणाली के अपरिमित रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि पहले और दूसरे समीकरण समान हैं (हमें दो चरों में केवल एक समीकरण मिला है)। इस प्रणाली का समाधान कैसे प्रस्तुत करें? आइए चर y को समीकरण x + y = 5 से व्यक्त करें। हमें y = 5 - x प्राप्त होता है।

फिर उत्तरइस तरह लिखा जाएगा: (एक्स; 5-एक्स), एक्स - कोई भी संख्या।

हमने जोड़ विधि द्वारा समीकरण प्रणालियों के समाधान पर विचार किया। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो एक पाठ के लिए साइन अप करें और हम आपके साथ सभी समस्याओं का समाधान करेंगे।

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अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून के अनुसार, अदालत के आदेश के अनुसार, अदालती कार्यवाही में, और / या जनता के अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर सरकारी संस्थाएंरूसी संघ के क्षेत्र में - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सामाजिक रूप से महत्वपूर्ण कारणों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को उपयुक्त तृतीय पक्ष - कानूनी उत्तराधिकारी को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों के लिए गोपनीयता और सुरक्षा के नियम लाते हैं, और गोपनीयता उपायों के कार्यान्वयन की कड़ाई से निगरानी करते हैं।