मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय विधि। मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए चित्रमय विधि

पैरामीटर के प्रत्येक मान के लिए a असमानता को हल करें | 2 एक्स + ए | एक्स + 2 | 2x + ए | \ लीक x + 2.

सबसे पहले, आइए एक सहायक समस्या को हल करें। इस असमानता को दो चर x x और a a के साथ एक असमानता के रूप में मानें और इसे इस पर निरूपित करें विमान का समन्वय x O a xOa सभी बिंदु जिनके निर्देशांक असमानता को संतुष्ट करते हैं।

यदि 2 x + a 0 2x + a \ geq 0 (अर्थात, रेखा a = - 2 xa = -2x और उच्चतर) पर, तो हमें 2 x + a x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x मिलता है + a \ leq x + 2 \ बाएँ दाएँ तीर a \ leq 2-x।

सेट अंजीर में दिखाया गया है। ग्यारह।

अब हम इस चित्र की सहायता से मूल समस्या का समाधान करेंगे। यदि हम a को ठीक करते हैं, तो हमें एक क्षैतिज रेखा a = const a = \ textrm (const) प्राप्त होती है। x x के मानों को निर्धारित करने के लिए, असमानता के समाधान के समुच्चय के साथ इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुजों को खोजना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि a = 8 a = 8, तो असमानता का कोई हल नहीं है (रेखा समुच्चय को नहीं काटती है); यदि a = 1 a = 1, तो खंड [- 1] से सभी x x; 1] [-1; 1], आदि। तो, तीन संभावित विकल्प हैं।

1) यदि $$ a> 4 $$, तो कोई समाधान नहीं है।

2) यदि a = 4 a = 4, तो x = - 2 x = -2।

उत्तर

$$ ए . पर

a = 4 a = 4 - x = - 2 x = -2 के साथ;

$$ a> 4 $$ के लिए, कोई समाधान नहीं है।

पैरामीटर के सभी मान खोजें a a जिसके लिए असमानता $$ 3- | x-a | > x ^ 2 $$ a) कम से कम एक समाधान है; बी) कम से कम एक सकारात्मक समाधान है।

आइए हम असमानता को $$ 3-x ^ 2> | x-a) $$ के रूप में फिर से लिखें। आइए तल x O y xOy पर बाएँ और दाएँ पक्षों के ग्राफ़ बनाएँ। बाईं ओर का ग्राफ बिंदु (0; 3) (0; 3) पर शीर्ष के साथ नीचे की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है। ग्राफ एब्सिस्सा को बिंदुओं (± 3; 0) (\ pm \ sqrt (3); 0) पर पार करता है। दाहिनी ओर का ग्राफ एब्सिस्सा अक्ष पर शीर्ष के साथ कोण है, जिसके किनारे समन्वय अक्षों पर 45 ° 45 ^ (\ circ) के कोण पर ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं। शीर्ष का भुज बिंदु x = a x = a है।

क) असमानता के लिए कम से कम एक समाधान होना आवश्यक और पर्याप्त है कि कम से कम एक बिंदु पर परवलय ग्राफ y = | के ऊपर हो। एक्स - ए | वाई = | एक्स-ए | ... यह तब किया जाता है जब कोने का शीर्ष भुजिका अक्ष के बिंदु A A और B B के बीच स्थित होता है (चित्र 12 देखें - बिंदु A A और B B शामिल नहीं हैं)। इस प्रकार, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि कोने की शाखाओं में से एक शीर्ष पर किस स्थिति में परवलय को छूती है।

उस स्थिति पर विचार करें जब कोने का शीर्ष बिंदु A A पर हो। फिर कोने की दाहिनी शाखा परवलय को छूती है। इसकी ढलान एक के बराबर है... अत: फलन का अवकलज y = 3 - x 2 y = 3-x ^ 2 स्पर्शरेखा के बिंदु पर 1 1 के बराबर है, अर्थात - 2 x = 1 -2x = 1, जहां से x = - 1 2 x = - \ फ़्रेक (1) (2)। तब स्पर्श बिंदु की कोटि y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\ frac (1) (2)) ^ 2 = \ frac (11) (4) है। एक ढलान k = 1 k = 1 और निर्देशांक के साथ एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण (- 1 2; 11 4) (- \ frac (1) (2); \ frac (11) (4)) , निम्नलिखित * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

यह कोने की दाहिनी शाखा के लिए समीकरण है। xx अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज - 13 4 - \ frac (13) (4) है, अर्थात बिंदु AA में निर्देशांक A (- 13 4; 0) A (- \ frac (13) (4) है; 0) ... सममिति कारणों से, बिंदु B B के निर्देशांक हैं: B (13 4; 0) B (\ frac (13) (4); 0)।

इसलिए हम प्राप्त करते हैं कि a (- 13 4; 13 4) a \ in (- \ frac (13) (4); \ frac (13) (4))।

बी) असमानता के सकारात्मक समाधान हैं यदि कोने का शीर्ष बिंदु F F और B B के बीच है (चित्र 13 देखें)। बिंदु FF की स्थिति का पता लगाना मुश्किल नहीं है: यदि कोने का शीर्ष बिंदु FF पर है, तो इसकी दाहिनी शाखा (समीकरण y = x - ay = xa द्वारा दी गई सीधी रेखा बिंदु (0 से होकर गुजरती है) ; 3) (0; 3)। इसलिए हम पाते हैं कि a = - 3 a = -3 और बिंदु FF के निर्देशांक (- 3; 0) (-3; 0) हैं। इसलिए, a (- 3; 13 4 ) ए \ इन (-3; \ फ्रैक (13) (4))।

उत्तर

ए) ए ∈ (- 13 4; 13 4), ए \ इन (- \ फ्रैक (13) (4); \ फ्रैक (13) (4)), \: \: \: बी) ए ∈ (- 3 ; 13 4) a \ in (-3; \ frac (13) (4))।

* {\^* Полезные формулы: !}

- \ - बिंदु से गुजरने वाली रेखा (x 0; y 0) (x_0; y_0) और ढलान kk होने पर, समीकरण y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0 = k (x) द्वारा दिया जाता है -x_0);

- \ बिंदुओं (x 0; y 0) (x_0; y_0) और (x 1; y 1) (x_1; y_1) से गुजरने वाली सीधी रेखा का ढलान है, जहां x 0 x 1 x_0 \ neq x_1, सूत्र k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \ dfrac (y_1-y_0) (x_1-x_0) द्वारा परिकलित किया जाता है।

टिप्पणी।यदि आपको उस पैरामीटर का मान ज्ञात करना है जिस पर रेखा y = kx + ly = kx + l और परवलय y = ax 2 + bx + cy = ax ^ 2 + bx + c स्पर्श करते हैं, तो आप शर्त लिख सकते हैं कि समीकरण kx + l = ax 2 + bx + c kx + l = ax ^ 2 + bx + c का ठीक एक हल है। फिर पैरामीटर a के मानों को खोजने का दूसरा तरीका, जिस पर कोने का शीर्ष बिंदु AA पर है, इस प्रकार है: समीकरण x - a = 3 - x 2 xa = 3-x ^ 2 का एक ही हल है D = 1 + 4 (a + 3) = 0 a = - 13 4 \ बायाँ दायाँ तीर D = 1 + 4 (a + 3) = 0 \ बाएँ दाएँ तीर a = - \ dfrac (13) (4)।

कृपया ध्यान दें कि इस तरह आप एक मनमानी ग्राफ के साथ एक सीधी रेखा की स्पर्शरेखा की स्थिति नहीं लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, रेखा y = 3 x - 2 y = 3x - 2 घन परवलय y = x 3 y = x ^ 3 को बिंदु (1; 1) (1; 1) पर स्पर्श करती है और इसे बिंदु पर काटती है (- 2; - 8) (-2; -8), यानी समीकरण x 3 = 3 x + 2 x ^ 3 = 3x + 2 के दो हल हैं।

पैरामीटर एए के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण (ए + 1 - | एक्स + 2 |) (एक्स 2 + 4 एक्स + 1 - ए) = 0 (ए + 1- | एक्स + 2 | ) (x ^ 2 + 4x + 1-a) = 0 में a) बिल्कुल दो अलग-अलग मूल हैं; बी) बिल्कुल तीन अलग-अलग जड़ें।

हम उसी तरह आगे बढ़ेंगे जैसे उदाहरण 25 में। आइए हम इस समीकरण के हलों के सेट को समतल x O a xOa पर प्रदर्शित करें। यह दो समीकरणों के संयोजन के समान है:

1) ए = | एक्स + 2 | - 1 ए = | एक्स + 2 | -1 शाखाओं के साथ कोण है और बिंदु पर शीर्ष (- 2; - 1) (-2; -1)।

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x ^ 2 + 4x + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएं ऊपर और बिंदु पर शीर्ष पर होती हैं (- 2; - 3) (-2; -3)। अंजीर देखें। चौदह।

दो चार्ट के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। कोण की दाहिनी शाखा समीकरण y = x + 1 y = x + 1 द्वारा दी गई है। समीकरण को हल करना

एक्स + 1 = एक्स 2 + 4 एक्स + 1 एक्स + 1 = एक्स ^ 2 + 4x + 1

हम पाते हैं कि x = 0 x = 0 या x = - 3 x = -3। केवल मान x = 0 x = 0 उपयुक्त है (क्योंकि दाहिनी शाखा x + 2 ≥ 0 x + 2 \ geq 0) के लिए उपयुक्त है। फिर ए = 1 ए = 1। इसी तरह, हम दूसरे चौराहे के बिंदु - (- 4; 1) (-4; 1) के निर्देशांक पाते हैं।

हम मूल समस्या पर लौटते हैं। समीकरण में उनके लिए ठीक दो समाधान हैं a a जिसके लिए क्षैतिज रेखा a = const a = \ textrm (const) दो बिंदुओं पर समीकरण के समाधान के सेट को काटती है। ग्राफ से हम देखते हैं कि यह (- 3; - 1) ∪ (1) a \ in (-3; -1) \ bigcup \ (1 \) के लिए सही है। तीन प्रतिच्छेदन बिंदुओं के मामले में ठीक तीन समाधान होंगे, जो केवल a = - 1 a = -1 के लिए ही संभव है।

उत्तर

ए) ए (- 3; - 1) (1); a \ in (-3; -1) \ bigcup \ (1 \); \: \: \: b) a = - 1 a = -1।

$$ \ प्रारंभ (मामलों) x ^ 2-x-a \ leq 0, \\ x ^ 2 + 2x-6a \ leq 0 \ अंत (मामलों) $$

ठीक एक समाधान है।

आइए हम समतल x O a xOa में असमानताओं की प्रणाली के समाधानों का प्रतिनिधित्व करें। हम सिस्टम को $$ \ start (केस) a \ leq -x ^ 2 + x, \\ a \ geq \ dfrac (x ^ 2 + 6x) (6) के रूप में फिर से लिखते हैं। \ End (केस) $$

पहली असमानता परवलय a = - x 2 + xa = -x ^ 2 + x और उसके नीचे स्थित बिंदुओं से संतुष्ट होती है, और दूसरी - परवलय a = x 2 + 6 x 6 a पर स्थित बिंदुओं से संतुष्ट होती है। = \ dfrac (x ^ 2 + 6x) (6) या उच्चतर। हम परवलय के शीर्षों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं और फिर एक ग्राफ बनाते हैं। पहले परवलय का शीर्ष है (1 2; 1 4) (\ dfrac (1) (2); \ dfrac (1) (4)), दूसरा परवलय है (- 1; - 1 6) (-1; - \ dfrac ( 1) (6)), प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (0; 0) (0; 0) और (4 7; 12 49) (\ dfrac (4) (7); \ dfrac (12) (49) ) सिस्टम को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का सेट अंजीर में दिखाया गया है। 15. यह देखा जा सकता है कि क्षैतिज रेखा a = const a = \ textrm (const) में इस सेट के साथ बिल्कुल एक उभयनिष्ठ बिंदु है (जिसका अर्थ है कि सिस्टम का ठीक एक समाधान है) मामलों में a = 0 a = 0 और a = 1 4 ए = \ डीफ़्रैक (1) (4)।

उत्तर

ए = 0, ए = 1 4 ए = 0, \: ए = \ डीफ़्रैक (1) (4)

पाना सबसे छोटा मानपैरामीटर ए ए, जिनमें से प्रत्येक के लिए सिस्टम

$$ \ start (केस) x ^ 2 + y ^ 2 + 3a ^ 2 = 2y + 2 \ sqrt (3) ax, \\ \ sqrt (3) | x | -y = 4 \ अंत (केस) $$

केवल एक ही उपाय है।

हम पहले समीकरण को बदलते हैं, पूर्ण वर्गों को हाइलाइट करना:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1. 18 (x ^ 2- 2 \ sqrt (3) ax + 3a ^ 2) + (y ^ 2-2y + 1) = 1 \ बायां तीर (xa \ sqrt (3)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = 1. \: \: \: \ बाएँ (18 \ दाएँ)

पिछले कार्यों के विपरीत, यहां x O y xOy विमान पर एक चित्र को चित्रित करना बेहतर है ("चर - पैरामीटर" विमान में एक चित्र आमतौर पर एक चर और एक पैरामीटर के साथ समस्याओं के लिए उपयोग किया जाता है - परिणामस्वरूप, एक सेट पर विमान प्राप्त होता है। इस समस्या में, हम दो चर और एक पैरामीटर के साथ काम कर रहे हैं। बिंदुओं के एक सेट को चित्रित करना (x; y; a) (x; y; a) त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक कठिन काम है; इसके अलावा, ऐसा चित्र दृश्य होने की संभावना नहीं है)। समीकरण (18) त्रिज्या 1 के केंद्र (a 3; 1) (a \ sqrt (3); 1) के साथ एक वृत्त को परिभाषित करता है। इस वृत्त का केंद्र, a के मान के आधार पर, किसी भी बिंदु पर स्थित हो सकता है। सीधी रेखा y = 1 y = 1।

सिस्टम का दूसरा समीकरण y = 3 | एक्स | - 4 y = \ sqrt (3) | x | -4 भुजाओं के साथ कोण को 60 ° 60 ^ (\ circ) के कोण पर भुज अक्ष पर सेट करता है (रेखा का ढलान ढलान tg 60 की स्पर्शरेखा है) ° = 3 \ textrm (tg ) (60 ^ (\ circ)) = \ sqrt (3)), शीर्ष पर बिंदु (0; - 4) (0; -4) के साथ।

यह प्रणालीयदि वृत्त किसी एक कोने की शाखा को स्पर्श करता है तो समीकरणों का एक ही हल होता है। यह चार स्थितियों में संभव है (चित्र 16): वृत्त का केंद्र बिंदु A A, B B, C C, D D में से किसी एक पर हो सकता है। चूँकि हमें पैरामीटर a a का सबसे छोटा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, हम बिंदु D D के भुज में रुचि रखते हैं। एक समकोण त्रिभुज D H M DHM पर विचार करें। बिंदु डी डी से सीधी रेखा एच एम एचएम की दूरी सर्कल के त्रिज्या के बराबर है, इसलिए डी एच = 1 डीएच = 1। इसलिए, डी एम = डी एच पाप 60 डिग्री = 2 3 डीएम = \ dfrac (डीएच) (\ textrm (sin) (60 ^ (\ circ))) = \ dfrac (2) (\ sqrt (3))। बिंदु MM के निर्देशांक दो सीधी रेखाओं y = 1 y = 1 और y = - 3 x - 4 y = - \ sqrt (3) x-4 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक के रूप में पाए जाते हैं। कोने)।

हमें M (- 5 3) M (- \ dfrac (5) (\ sqrt (3))) प्राप्त होता है। तब बिंदु डीडी का भुज है - 5 3 - 2 3 = - 7 3 - \ dfrac (5) (\ sqrt (3)) - \ dfrac (2) (\ sqrt (3)) = - \ dfrac (7) (\ sqrt (3))।

चूँकि वृत्त के केंद्र का भुज एक 3 a \ sqrt (3) के बराबर है, यह इस प्रकार है कि a = - 7 3 a = - \ dfrac (7) (3)।

उत्तर

ए = - 7 3 ए = - \ डीफ़्रैक (7) (3)

पैरामीटर के सभी मान खोजें a a, जिनमें से प्रत्येक के लिए सिस्टम

$$ \ प्रारंभ (मामलों) | 4x + 3y | \ leq 12a, \\ x ^ 2 + y ^ 2 \ leq 14ax + 6ay -57a ^ 2 + 16a + 64 \ अंत (केस) $$

ठीक एक समाधान है।

आइए हम तल x O y xOy पर प्रत्येक असमानता के समाधान के समुच्चय को निरूपित करें।

दूसरी असमानता में, पूर्ण वर्गों का चयन करें:

x 2 - 14 ax + 49 + y 2 - 6 ay + 9 a 2 a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2 (19 ) x ^ 2-14ax + 49 + y ^ 2-6ay + 9a ^ 2 \ leq a ^ 2 + 16a + 64 \ बायां तीर (x-7a) ^ 2 + (y-3a) ^ 2 \ leq (a + 8 ) ^ 2 \: \: \: \: (19)

ए + 8 = 0 ए + 8 = 0 (ए = - 8 ए = -8) असमानता (19) निर्देशांक के साथ एक बिंदु को परिभाषित करता है (7 ए; 3 ए) (7 ए; 3 ए), यानी (- 56; - 24) ) (-56; -24)। a के अन्य सभी मानों के लिए (19) त्रिज्या के बिंदु (7 a; 3 a) (7a; 3a) पर केंद्रित एक वृत्त को परिभाषित करता है | ए + 8 | |ए + 8 | ...

पहली असमानता पर विचार करें।
1) ऋणात्मक a a के लिए, इसका कोई हल नहीं है। इसका मतलब है कि सिस्टम के पास कोई समाधान भी नहीं है।

2) यदि a = 0 a = 0, तो हमें सीधी रेखा 4 x + 3 y = 0 4x + 3y = 0 प्राप्त होती है। इस स्थिति में, दूसरी असमानता 8 त्रिज्या के केंद्र (0; 0) (0; 0) के साथ एक वृत्त उत्पन्न करती है। जाहिर है, एक से अधिक समाधान निकलते हैं।

3) अगर $$ a> 0 $$, तो यह असमानता दोहरी असमानता के बराबर है - 12 a 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \ leq 4x + 3y \ leq 12a। यह दो सीधी रेखाओं y = ± 4 a - 4 x 3 y = \ pm 4a - \ dfrac (4x) (3) के बीच एक पट्टी को परिभाषित करता है, जिनमें से प्रत्येक सीधी रेखा 4 x + 3 y = 0 4x + के समानांतर है। 3y = 0 (चित्र 17)।

चूंकि हम $$ a> 0 $$ पर विचार कर रहे हैं, सर्कल का केंद्र पहली तिमाही में y = 3 x 7 y = \ dfrac (3x) (7) पर स्थित है। वास्तव में, केंद्र के निर्देशांक x = 7 a x = 7a, y = 3 a y = 3a हैं; a और समीकरण को व्यक्त करते हुए, हम प्राप्त करते हैं x 7 = y 3 \ dfrac (x) (7) = \ dfrac (y) (3), जहां से y = 3 x 7 y = \ dfrac (3x) (7)। प्रणाली के लिए बिल्कुल एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वृत्त सीधी रेखा a 2 a_2 को स्पर्श करे। ऐसा तब होता है जब वृत्त की त्रिज्या वृत्त के केंद्र से सीधी रेखा a 2 a_2 की दूरी के बराबर होती है। एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक की दूरी के सूत्र के अनुसार * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

उत्तर

ए = 2 ए = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , !} समीकरण द्वारा दिया गया a x + b y + c = 0 ax + by + c = 0. तब बिंदु M M से सीधी रेखा l l की दूरी सूत्र = | . द्वारा निर्धारित की जाती है ए एक्स 0 + बी एक्स 0 + सी | a 2 + b 2 \ rho = \ dfrac (| ax_0 + bx_0 + c |) (\ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))।

पैरामीटर के किन मानों के लिए a a सिस्टम

$$ \ start (केस) | x | + | y ​​| = 1, \\ | x + a | + | y ​​+ a | = 1 \ end (केस) $$ का कोई समाधान नहीं है?

सिस्टम का पहला समीकरण वर्ग ABCD ABCD को समतल x O y xOy पर परिभाषित करता है (इसे बनाने के लिए, x 0 x \ geq 0 और y 0 y \ geq 0 पर विचार करें। तब समीकरण x + y = का रूप लेता है। 1 x + y = 1। हमें एक खंड मिलता है - पहली तिमाही में सीधी रेखा x + y = 1 x + y = 1 का हिस्सा, फिर इस खंड को O x ऑक्स अक्ष के बारे में प्रतिबिंबित करें, और फिर प्रतिबिंबित करें परिणामी सेट O y Oy अक्ष के बारे में) (चित्र 18 देखें)। दूसरा समीकरण वर्ग P Q R S PQRS देता है, वर्ग के बराबरए बी सी डी एबीसीडी, लेकिन (- ए; - ए) (-ए; -ए) पर केंद्रित है। अंजीर में। 18, उदाहरण के लिए, यह वर्ग a = - 2 a = -2 के लिए दिखाया गया है। यदि ये दो वर्ग प्रतिच्छेद नहीं करते हैं तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

यह देखना आसान है कि यदि खंड PQ PQ और B C BC मेल खाते हैं, तो दूसरे वर्ग का केंद्र बिंदु (1; 1) (1; 1) पर होता है। a के मान हमारे लिए उपयुक्त हैं, जिस पर केंद्र "ऊपर" और "दाईं ओर" स्थित है, अर्थात $$ a1 $$।

उत्तर

A ∈ (- ∞; - 1) ∪ (1; + ∞) a \ in (- \ infty; -1) \ bigcup (1; + \ infty)।

पैरामीटर के सभी मान खोजें b b जिसके लिए सिस्टम

$$ \ start (केस) y = | b-x ^ 2 |, \\ y = a (x-b) \ end (केस) $$

a के किसी भी मान के लिए कम से कम एक समाधान है।

आइए कई मामलों पर विचार करें।

1) यदि $$ b 2) यदि b = 0 b = 0 है, तो सिस्टम $$ \ start (केस) y = x ^ 2, \\ y = ax. \ End (केस) $$ का रूप लेता है।

किसी a a के लिए, संख्याओं का एक युग्म (0; 0) (0; 0) इस प्रणाली का एक हल है, इसलिए, b = 0 b = 0 फिट बैठता है।

3) हम कुछ $$ b> 0 $$ ठीक करते हैं। पहला समीकरण परवलय y = x 2 - b y = x ^ 2-b से प्राप्त बिंदुओं के सेट से O x ऑक्स अक्ष के सापेक्ष इस परवलय के एक भाग को प्रदर्शित करके संतुष्ट होता है (चित्र 19a, b देखें)। दूसरा समीकरण लाइनों के एक परिवार को परिभाषित करता है (आ के विभिन्न मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, आप बिंदु (बी; 0) (बी; 0) से गुजरने वाली सभी संभावित रेखाएं प्राप्त कर सकते हैं, लंबवत को छोड़कर) बिंदु (बी) से गुजरते हैं ; 0) (बी; 0)। यदि बिंदु (बी; 0) (बी; 0) खंड पर स्थित है [- बी; बी] [- \ sqrt (बी); \ sqrt (बी)]। भुज अक्ष, फिर सीधी रेखा पहले फलन के ग्राफ को किसी ढलान पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 19a)। अन्यथा (चित्र 19बी), किसी भी स्थिति में, एक सीधी रेखा होगी जो इस ग्राफ को नहीं काटती है। असमानता को हल करना - b ≤ b ≤ b - \ sqrt (b) \ leq b \ leq \ sqrt (b) और इस बात को ध्यान में रखते हुए कि $$ b> 0 $$, हम प्राप्त करते हैं b ∈ (0; 1] b \ में (0; 1]।

हम परिणामों को जोड़ते हैं: $$ b \ $$ में।

उत्तर

$$ बी \ में $$

सभी मान खोजें a a, जिनमें से प्रत्येक के लिए फलन f (x) = x 2 - | एक्स - ए 2 | - 3 x f (x) = x ^ 2- | x-a ^ 2 | -3x में कम से कम एक अधिकतम बिंदु है।

मॉड्यूल का विस्तार करते हुए, हम पाते हैं कि

$$ f (x) = \ start (केस) x ^ 2-4x + a ^ 2, \: \: \: x \ geq a ^ 2, \\ x ^ 2-2x-a ^ 2, \: \ : \: x \ लीक ए ^ 2। \ अंत (मामलों) $$

दो अंतरालों में से प्रत्येक पर, फ़ंक्शन y = f (x) y = f (x) का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है।

चूँकि ऊपर की ओर शाखाओं वाले परवलयों में अधिकतम अंक नहीं हो सकते हैं, केवल एक ही संभावना है कि अधिकतम बिंदु इन अंतरालों का सीमा बिंदु हो - बिंदु x = a 2 x = a ^ 2। इस बिंदु पर, एक अधिकतम होगा यदि परवलय का शीर्ष y = x 2 - 4 x + a 2 y = x ^ 2-4x + a ^ 2 अंतराल $$ x> a ^ 2 $$ पर पड़ता है, और परवलय का शीर्ष y = x 2 - 2 x - a 2 y = x ^ 2-2x-a ^ 2 - अंतराल $$ x \ lt a ^ 2 $$ के लिए (चित्र 20 देखें)। यह स्थिति असमानताओं और $$ 2 \ gt a ^ 2 $$ और $$ 1 \ lt a ^ 2 $$ द्वारा दी गई है, जिसे हल करने पर, हम पाते हैं कि a ∈ (- 2; 1) ∪ (1; 2) a \ in (- \ sqrt (2); 1) \ bigcup (1; \ sqrt (2))।

उत्तर

A ∈ (- 2; 1) ∪ (1; 2) a \ in (- \ sqrt (2); 1) \ bigcup (1; \ sqrt (2))

ए के सभी मूल्यों का पता लगाएं, जिनमें से प्रत्येक के लिए असमानताओं के सामान्य समाधान

y + 2 x a y + 2x \ geq a और y - x 2 a (20) y-x \ geq 2a \: \: \: \: \: \: \: \: (20)

असमानता के समाधान हैं

$$ 2y-x> a + 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: (21) $$

किसी स्थिति को नेविगेट करने में आपकी सहायता करने के लिए कभी-कभी एकल पैरामीटर मान को देखना उपयोगी होता है। आइए एक चित्र बनाते हैं, उदाहरण के लिए, a = 0 a = 0 के लिए। असमानताएँ (20) (वास्तव में, हम असमानताओं की एक प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं (20)) बीएसी बीएसी कोण के बिंदुओं से संतुष्ट हैं (चित्र 21 देखें) - बिंदु, जिनमें से प्रत्येक दोनों रेखाओं y = - 2 के ऊपर स्थित है। xy = -2x और y = xy = x (या इन पंक्तियों पर)। असमानता (21) सीधी रेखा y = 1 2 x + 3 2 y = \ dfrac (1) (2) x + \ dfrac (3) (2) के ऊपर स्थित बिंदुओं से संतुष्ट होती है। यह देखा गया है कि a = 0 a = 0 के लिए समस्या की स्थिति संतुष्ट नहीं है।

यदि हम पैरामीटर a a का भिन्न मान लें तो क्या बदलेगा? प्रत्येक सीधी रेखा गति करेगी और स्वयं के समानांतर एक सीधी रेखा में जाएगी, क्योंकि सीधी रेखाओं के ढलान a पर निर्भर नहीं होते हैं। समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए, संपूर्ण कोण B A C BAC को सीधी रेखा l l के ऊपर होना चाहिए। चूँकि सीधी रेखा A B AB और A C AC के ढलान, सीधी रेखा l l के ढलान से अधिक मॉड्यूलो हैं, इसलिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि कोण का शीर्ष सीधी रेखा l l के ऊपर स्थित हो।

समीकरणों की प्रणाली को हल करना

$$ \ प्रारंभ (मामलों) y + 2x = a, \\ y-x = 2a, \ अंत (मामलों) $$

बिंदु A (- a 3; 5 a 3) A (- \ dfrac (a) (3); \ dfrac (5a) (3)) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। उन्हें असमानता (21) को संतुष्ट करना होगा, इसलिए $$ \ dfrac (10a) (3) + \ dfrac (a) (3)> a + 3 $$, जहां से $$ a> \ dfrac (9) (8) $$ ...

उत्तर

$$ a> \ dfrac (9) (8) $$

ओल्गा ओडेलकिना ग्रेड 9 . की छात्रा

यह विषय स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के अध्ययन का एक अभिन्न अंग है। इस कार्य का उद्देश्य इस विषय का अधिक गहराई से अध्ययन करना, सबसे अधिक की पहचान करना है तर्कसंगत समाधानशीघ्र उत्तर की ओर ले जाता है। यह निबंध अन्य छात्रों को मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय पद्धति के उपयोग को समझने में मदद करेगा, इस पद्धति की उत्पत्ति, विकास के बारे में जानेंगे।

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परिचय2

अध्याय 1. एक पैरामीटर के साथ समीकरण

पैरामीटर3 के साथ समीकरणों का इतिहास

विएटा का प्रमेय4

बुनियादी अवधारणाएं5

अध्याय 2. मापदंडों के साथ समीकरणों के प्रकार।

रैखिक समीकरण6

द्विघात समीकरण …………………………………………………… 7

अध्याय 3. एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके

विश्लेषणात्मक विधि ………………………………………………… 8

चित्रमय विधि... घटना का इतिहास ………………………… 9

एक ग्राफिकल विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम .. …………… ..... …………… .10

मॉड्यूल के साथ समीकरण को हल करना …………… …………………………… .11

व्यावहारिक भाग ……………………………………………………………… 12

निष्कर्ष ……………………………………………………………………… .19

सन्दर्भ ………………………………………………………… 20

परिचय।

मैंने इस विषय को चुना क्योंकि यह स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के अध्ययन का एक अभिन्न अंग है। खाना बनाना इस काम, मैंने इस विषय के गहन अध्ययन का लक्ष्य निर्धारित किया है, सबसे तर्कसंगत समाधान की पहचान करना जो जल्दी से एक उत्तर की ओर ले जाता है। मेरा निबंध अन्य छात्रों को मापदंडों के साथ समीकरणों को हल करने के लिए चित्रमय पद्धति के उपयोग को समझने में मदद करेगा, इस पद्धति की उत्पत्ति, विकास के बारे में जानेंगे।

वी आधुनिक जीवनबहुतों का अध्ययन शारीरिक प्रक्रियाएंऔर ज्यामितीय पैटर्न अक्सर मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने की ओर ले जाते हैं।

ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए, ग्राफिकल विधि बहुत प्रभावी होती है जब यह स्थापित करना आवश्यक होता है कि पैरामीटर α के आधार पर समीकरण की कितनी जड़ें हैं।

मापदंडों के साथ कार्य विशुद्ध रूप से गणितीय हित के हैं, छात्रों के बौद्धिक विकास में योगदान करते हैं, सेवा करते हैं अच्छी चीजकौशल का अभ्यास करने के लिए। उनके पास नैदानिक ​​​​मूल्य है, क्योंकि उनका उपयोग गणित के बुनियादी वर्गों, गणितीय के स्तर और के ज्ञान का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है तार्किक साेच, प्रारंभिक कौशल अनुसंधान गतिविधियाँऔर उच्च शिक्षण संस्थानों में गणित के पाठ्यक्रम में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए आशाजनक अवसर।

मेरे निबंध में, सामान्य प्रकार के समीकरणों पर विचार किया जाता है, और, मुझे आशा है कि काम की प्रक्रिया में मुझे जो ज्ञान प्राप्त हुआ है, वह स्कूल की परीक्षा पास करने में मेरी मदद करेगा, क्योंकिमापदंडों के साथ समीकरणसही मायने में सबसे में से एक माना जाता है कठिन कार्यस्कूली गणित के दौरान। ये ऐसे कार्य हैं जो एक ही राज्य में कार्यों की सूची में आते हैं परीक्षा परीक्षा.

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों की घटना का इतिहास

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में एक पैरामीटर के साथ समीकरणों की समस्याएं पहले ही सामने आ चुकी थीं। एक अन्य भारतीय विद्वान, ब्रह्मगुप्त (सातवीं शताब्दी), उल्लिखित सामान्य नियमद्विघात समीकरणों के समाधान एकल विहित रूप में कम हो गए:

αх 2 + बीएक्स = सी, α> 0

समीकरण में, गुणांक, पैरामीटर को छोड़कर, नकारात्मक हो सकता है।

अल-ख्वारिज्मी के द्विघात समीकरण।

बीजगणितीय ग्रंथ अल-ख्वारिज्मी में, पैरामीटर के साथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों की गणना करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", यानी αx 2 = बीएक्स।

2) "वर्ग एक संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात αx 2 = सी।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", यानी αx = c।

4) "वर्ग और संख्याएं जड़ों के बराबर होती हैं", यानी αx 2 + सी = बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल एक संख्या के बराबर होते हैं", अर्थात αx 2 + बीएक्स = सी।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर होती हैं", अर्थात bx + c = αx 2 .

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के अनुसार द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार "अबेकस की पुस्तक" में प्रस्तुत किए गए थे, जिसे 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखा गया था।

में एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र की व्युत्पत्ति सामान्य दृष्टि से Vieta के स्वामित्व में है, लेकिन Vieta केवल मान्यता प्राप्त है सकारात्मक जड़ें... इटालियन गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 12वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। खाते में, सकारात्मक के अलावा, और नकारात्मक जड़ें... केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि ने एक आधुनिक रूप ले लिया।

विएटा का प्रमेय

पैरामीटर, एक द्विघात समीकरण के गुणांक और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला एक प्रमेय, जिसे विएटा नाम दिया गया था, पहली बार उनके द्वारा 1591 में निम्नानुसार तैयार किया गया था: "यदि b + d को α घटा α से गुणा किया जाता है। 2 , बीसी के बराबर है, तो α बराबर बी और बराबर डी के बराबर है।

विएटा को समझने के लिए, किसी को यह याद रखना चाहिए कि α, किसी भी स्वर अक्षर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारा x) था, जबकि स्वर b, d अज्ञात के गुणांक हैं। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है:

अगर वहाँ है

(α + बी) एक्स - एक्स 2 = αb,

अर्थात्, x 2 - (α -b) x + αb = 0,

तो एक्स 1 = α, एक्स 2 = बी।

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को व्यक्त करना सामान्य सूत्रप्रतीकों के साथ लिखे गए, Vieta ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी दूर है आधुनिक रूप... उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जब सभी मूल सकारात्मक हों।

बुनियादी अवधारणाओं

पैरामीटर - एक स्वतंत्र चर, जिसका मान एक निश्चित या मनमाना संख्या माना जाता है, या एक संख्या से संबंधित है दी गई शर्तबीच में कार्य।

पैरामीटर के साथ समीकरण- गणितीयसमीकरण, दिखावटऔर जिसका समाधान एक या एक से अधिक मापदंडों के मूल्यों पर निर्भर करता है।

निर्णय करना पैरामीटर के साथ समीकरण प्रत्येक मान के लिए मतलब हैx के मान ज्ञात कीजिए जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और यह भी:

1. 1. जाँच करें कि समीकरण के किन मापदंडों के मूल हैं और उनमें से कितने हैं विभिन्न अर्थपैरामीटर।
2. 2. जड़ों के लिए सभी भाव खोजें और उनमें से प्रत्येक के लिए उन मापदंडों के मूल्यों को इंगित करें जिनके लिए यह अभिव्यक्ति वास्तव में समीकरण की जड़ को निर्धारित करती है।

समीकरण α (x + k) = α + c पर विचार करें, जहां α, c, k, x चर हैं।

चर α, c, k, x . के स्वीकार्य मूल्यों की प्रणालीचर के मानों की कोई भी प्रणाली कहलाती है, जिसके लिए इस समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों पक्ष वास्तविक मान लेते हैं।

ए को α के सभी स्वीकार्य मूल्यों का सेट होने दें, के के सभी स्वीकार्य मूल्यों का सेट हो, एक्स एक्स के सभी स्वीकार्य मूल्यों का सेट हो, सी के सभी स्वीकार्य मूल्यों का सेट हो सी। यदि प्रत्येक समुच्चय A, K, C, X के लिए हम क्रमशः α, k, c के एक मान को चुनते हैं और नियत करते हैं, और उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें x के लिए एक समीकरण प्राप्त होता है, अर्थात्। एक अज्ञात के साथ समीकरण।

चर α, k, c, जो समीकरण को हल करते समय स्थिर माने जाते हैं, पैरामीटर कहलाते हैं, और समीकरण को ही वह समीकरण कहा जाता है जिसमें पैरामीटर होते हैं।

पैरामीटर्स को लैटिन वर्णमाला के पहले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: α, b, c, d,…, k, l, m, n, और अज्ञात - अक्षर x, y, z द्वारा।

समान पैरामीटर वाले दो समीकरण कहलाते हैंसमकक्ष अगर:

ए) वे समान पैरामीटर मानों के लिए समझ में आते हैं;

बी) पहले समीकरण का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत।

मापदंडों के साथ समीकरणों के प्रकार

मापदंडों के साथ समीकरण हैं: रैखिकऔर चौकोर।

1) रैखिक समीकरण। सामान्य फ़ॉर्म:

α x = b, जहाँ x अज्ञात है;α, बी - पैरामीटर।

इस समीकरण के लिए, पैरामीटर का विशेष या नियंत्रण मान वह है जिस पर अज्ञात का गुणांक गायब हो जाता है।

निर्णय लेते समय रेखीय समीकरणएक पैरामीटर के साथ, ऐसे मामलों पर विचार किया जाता है जब पैरामीटर उसके विशेष मान के बराबर और उससे भिन्न होता है।

पैरामीटर α का एक विशेष मान मान हैα = 0.

1.अगर, लेकिन 0, फिर मापदंडों के किसी भी जोड़े के लिएα और बी इसका एक अनूठा समाधान हैएक्स =।

2.अगर, लेकिन = 0, तब समीकरण का रूप लेता है: 0एक्स = बी ... इस मामले में, मूल्यबी = 0 एक विशेष पैरामीटर मान हैबी।

2.1. बी के लिए ≠ 0 समीकरण का कोई हल नहीं है।

2.2. बी के लिए = 0 समीकरण बन जाता है: 0एक्स = 0.

इस समीकरण का हल कोई भी वास्तविक संख्या है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण।

सामान्य फ़ॉर्म:

α एक्स 2 + बीएक्स + सी = 0

जहां पैरामीटर α 0, b और с - मनमानी संख्या

अगर α = 1, तो समीकरण को घटा हुआ द्विघात समीकरण कहा जाता है।

द्विघात समीकरण की जड़ें सूत्रों द्वारा पाई जाती हैं

व्यंजक D = b 2 - 4 α c विभेदक कहा जाता है।

1. यदि D> 0 - समीकरण के दो भिन्न मूल हैं।

2. यदि डी< 0 — уравнение не имеет корней.

3. यदि D = 0 - समीकरण के दो बराबर मूल हैं।

एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके:

1. विश्लेषणात्मक - प्रत्यक्ष समाधान की एक विधि जो बिना मापदंडों के समीकरण में उत्तर खोजने के लिए मानक प्रक्रियाओं को दोहराती है।
2. ग्राफिकल - समस्या की स्थिति के आधार पर, संबंधित के ग्राफ की स्थिति द्विघात फंक्शनसमन्वय प्रणाली में।

विश्लेषणात्मक विधि

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. विश्लेषणात्मक विधि द्वारा पैरामीटर के साथ समस्या के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, आपको पैरामीटर के विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए स्थिति को समझने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, पैरामीटर α = 1 का मान लें और प्रश्न का उत्तर दें: क्या पैरामीटर α = 1 का मान इस समस्या के लिए वांछित मान है।

उदाहरण 1. निर्णय लेंएन एस पैरामीटर m . के साथ रैखिक समीकरण:

समस्या के अर्थ में (m-1) (x + 3) = 0, अर्थात m= 1, एक्स = -3।

समीकरण के दोनों पक्षों को (m-1) (x + 3) से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

हम पाते हैं

अत: m = 2.25 पर।

अब यह जांचना आवश्यक है कि क्या m का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए

पाया गया x मान -3 है।

इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं कि x -3 है, जब m = -0.4 है।

उत्तर: एम = 1 के लिए, एम = 2.25।

ग्राफिक विधि। उत्पत्ति का इतिहास

अध्ययन सामान्य निर्भरता 14 वीं शताब्दी में शुरू हुआ। मध्यकालीन विज्ञानशैक्षिक था। इस तरह के चरित्र के साथ, मात्रात्मक निर्भरता के अध्ययन के लिए कोई जगह नहीं बची थी, यह केवल वस्तुओं के गुणों और एक दूसरे के साथ उनके संबंधों के बारे में था। लेकिन विद्वानों के बीच, एक स्कूल का उदय हुआ जिसने तर्क दिया कि गुण कम या ज्यादा तीव्र हो सकते हैं (नदी में गिरने वाले व्यक्ति की पोशाक बारिश में पकड़े गए व्यक्ति की तुलना में गीली होती है)

फ्रांसीसी वैज्ञानिक निकोलस ओरेस्मे ने तीव्रता को लंबाई में चित्रित करना शुरू किया। जब उन्होंने इन खंडों को किसी सीधी रेखा के लंबवत रखा, तो उनके सिरों ने एक रेखा बनाई, जिसे उन्होंने "तीव्रता की रेखा" या "ऊपरी किनारे की रेखा" कहा।

Oresme की एक महत्वपूर्ण उपलब्धि परिणामी रेखांकन को वर्गीकृत करने का उनका प्रयास था। उन्होंने तीन प्रकार के गुणों की पहचान की: समान (निरंतर तीव्रता के साथ), समान रूप से असमान (तीव्रता में परिवर्तन की निरंतर दर के साथ) और असमान असमान (अन्य सभी), साथ ही ऐसे गुणों के ग्राफ़ के विशिष्ट गुण।

फलन के रेखांकन के अध्ययन के लिए एक गणितीय उपकरण बनाने के लिए, एक चर की अवधारणा की आवश्यकता थी। इस अवधारणा को विज्ञान के लिए पेश किया गया था फ्रांसीसी दार्शनिकऔर गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1650)। यह डेसकार्टेस था जो बीजगणित और ज्यामिति की एकता के बारे में विचारों के बारे में आया था और चर मात्राओं की भूमिका के बारे में, डेसकार्टेस ने एक निश्चित इकाई खंड की शुरुआत की और अन्य खंडों के संबंध पर विचार करना शुरू किया।

इस प्रकार, उनके अस्तित्व की पूरी अवधि में कार्यों के रेखांकन कई मूलभूत परिवर्तनों से गुजरे हैं जो उन्हें उस रूप में ले गए हैं जिसके हम आदी हैं। कार्यों के रेखांकन के विकास में प्रत्येक चरण या चरण आधुनिक बीजगणित और ज्यामिति के इतिहास का एक अभिन्न अंग है।

किसी समीकरण में शामिल पैरामीटर के आधार पर उसके मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए आलेखीय विधि विश्लेषणात्मक विधि की तुलना में अधिक सुविधाजनक होती है।

ग्राफिकल समाधान एल्गोरिदम

फंक्शन ग्राफ - बिंदुओं का एक सेट जिसके लिएएब्सिसासमान्य तर्क मान हैं, ए तालमेल- संगत मानकार्यों.

कलन विधि ग्राफिक समाधानपैरामीटर के साथ समीकरण:

1. समीकरण का प्रांत ज्ञात कीजिए।
2. हम α . व्यक्त करते हैं एक्स के एक समारोह के रूप में।
3. समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैंα (x) x के उन मानों के लिए जो इस समीकरण के प्रांत में शामिल हैं।
4. एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगानाα = s, फंक्शन ग्राफ के साथ

α (एक्स)। यदि रेखा α = s ग्राफ को पार करता हैα (x), फिर हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, यह समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त हैसी = α (एक्स) एक्स के संबंध में।

1. हम उत्तर लिखते हैं

मापांक के साथ समीकरण हल करना

ग्राफ़िकल तरीके से पैरामीटर वाले मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करते समय, फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाना आवश्यक है और पर विभिन्न अर्थसभी संभावित मामलों पर विचार करने के लिए पैरामीटर।

उदाहरण के लिए, = ए,

उत्तर: यदि a < 0, то нет корней, ए> 0, फिर एक्स = ए, एक्स = - ए, अगर ए = 0, तो एक्स = 0।

समस्याओं को सुलझा रहा।

समस्या 1. समीकरण के कितने मूल हैं| | एक्स | - 2 | = ए पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। निर्देशांक प्रणाली (x; y) में, हम फलन y = | . के आलेखों का निर्माण करते हैं | एक्स | - 2 | और वाई =ए ... फलन ग्राफ y = | | एक्स | - 2 | चित्र में दिखाया गया है।

फलन y = . का आलेखα ए = 0)।

ग्राफ से पता चलता है कि:

यदि a = 0, तो रेखा y = a ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाता है और फ़ंक्शन y = | . के ग्राफ के साथ है | एक्स | - 2 | दो सामान्य बिंदु; इसलिए, मूल समीकरण के दो मूल हैं (में .) इस मामले मेंजड़ें पाई जा सकती हैं: x 1,2 = + 2).
अगर 0< a < 2, то прямая y = α फलन y = | . के ग्राफ के साथ है | एक्स | - 2 | चार उभयनिष्ठ बिंदु हैं और इसलिए मूल समीकरण के चार मूल हैं।
अगरए = 2, तो सरल रेखा y = 2 में फलन के ग्राफ के साथ तीन उभयनिष्ठ बिंदु हैं। तब मूल समीकरण के तीन मूल होते हैं।
अगर a> 2, फिर रेखा y = a मूल फलन के ग्राफ के साथ दो बिंदु होंगे, अर्थात इस समीकरण के दो मूल होंगे।

उत्तर: यदि a < 0, то корней нет;
यदि a = 0, a> 2, तो दो मूल;
यदि a = 2, तो तीन मूल;
अगर 0< a < 2, то четыре корня.

समस्या 2. समीकरण के कितने मूल हैं| एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 | = ए पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। निर्देशांक प्रणाली (x; y) में, हम फलन y = | . के आलेखों का निर्माण करते हैं एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 | और वाई = ए।

फलन ग्राफ y = | एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 | चित्र में दिखाया गया है। फलन y = . का आलेखα ऑक्स के समानांतर या इसके साथ मेल खाने वाली एक सीधी रेखा है (जबए = 0)।

ग्राफ दिखाता है:

यदि a = 0, तो रेखा y = a ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाता है और फ़ंक्शन y = | . के ग्राफ के साथ है x2 - 2 | एक्स | - 3 | दो सामान्य बिंदु, साथ ही रेखा y =ए फलन के ग्राफ के साथ होगा y = | एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 | दो आम बिंदु a> 4. इसलिए, a = 0 और a . के लिए > 4 मूल समीकरण के दो मूल हैं।
अगर 0< ए< 3, то прямая y = a फलन y = | . के ग्राफ के साथ है एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 | चार सामान्य बिंदु, साथ ही रेखा y =ए पर निर्मित फलन के ग्राफ के साथ चार उभयनिष्ठ बिंदु होंगे a = 4. इसलिए, 0 . पर< a < 3, a = 4 मूल समीकरण के चार मूल हैं।
अगर a = 3, तो रेखा y = a फ़ंक्शन के ग्राफ़ को पाँच बिंदुओं पर पार करता है; इसलिए, समीकरण के पांच मूल हैं।
अगर 3< ए< 4, прямая y = α छह बिंदुओं पर निर्मित फ़ंक्शन की साजिश को पार करता है; इसलिए, पैरामीटर के इन मानों के लिए, मूल समीकरण के छह मूल हैं।
अगरए < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α फलन y = | . के आलेख को प्रतिच्छेद नहीं करता है एक्स 2 - 2 | एक्स | - 3 |.

उत्तर: यदि a < 0, то корней нет;
यदि a = 0, a> 4, तो दो मूल;
अगर 0< a < 3, a = 4, फिर चार मूल;

यदि एक = 3, फिर पाँच मूल;
अगर 3< a < 4, то шесть корней.

समस्या 3. समीकरण के कितने मूल हैं

पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। आइए हम निर्देशांक प्रणाली (x; y) में फलन का ग्राफ बनाते हैं

लेकिन पहले हम इसे इस रूप में प्रस्तुत करते हैं:

सरल रेखाएँ x = 1, y = 1 फलन के आलेख की अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं। फलन ग्राफ y = | एक्स | +ए फलन y = | . के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है एक्स | ओए अक्ष के साथ एक इकाइयों द्वारा विस्थापन।

फंक्शन ग्राफ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंए > - 1; इसलिए, पैरामीटर के इन मानों के लिए समीकरण (1) का एक हल है।

a = - 1, a . के लिए = - 2 आलेख दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं; इसलिए, पैरामीटर के इन मानों के लिए, समीकरण (1) के दो मूल हैं।
दो पर< ए< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

उत्तर: यदि a > - 1, फिर एक समाधान;
अगर ए = - 1, ए = - 2, फिर दो हल;
अगर - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

टिप्पणी। समस्या के समीकरण को हल करते समय उस स्थिति पर विशेष ध्यान देना चाहिए जबए = - 2, क्योंकि बिंदु (- 1; - 1) फलन के ग्राफ से संबंधित नहीं हैलेकिन फलन y = | . के ग्राफ के अंतर्गत आता है एक्स | +ए।

समस्या 4. समीकरण के कितने मूल हैं

एक्स + 2 = ए | एक्स - 1 |

पैरामीटर के आधार परए?

समाधान। ध्यान दें कि x = 1 इस समीकरण का मूल नहीं है, क्योंकि समानता 3 =ए 0 किसी भी पैरामीटर मान के लिए सत्य नहीं हो सकताए ... हम समीकरण के दोनों पक्षों को | . से विभाजित करते हैं एक्स -1 | (| एक्स - 1 |0), तब समीकरण रूप लेता हैxOy निर्देशांक प्रणाली में, हम फ़ंक्शन को प्लॉट करते हैं

इस फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। फलन y = . का आलेखए ऑक्स अक्ष के समानांतर या इसके साथ मेल खाने वाली एक सीधी रेखा है (के लिएए = 0)।

मानकों के साथ समीकरणों को स्कूल गणित पाठ्यक्रम में सबसे कठिन समस्याओं में से एक माना जाता है। यह ऐसे कार्य हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा की एकीकृत राज्य परीक्षा में टाइप बी और सी के कार्यों की सूची में साल-दर-साल आते हैं। हालांकि, के बीच एक लंबी संख्यापैरामीटर वाले समीकरण वे होते हैं जिन्हें आसानी से ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है। आइए इस पद्धति को कई समस्याओं को हल करने के उदाहरण से देखें।

संख्या a के पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण | x 2 - 2x - 3 | = a की चार जड़ें हैं।

समाधान।

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए हम एक निर्देशांक तल पर फलन के आलेखों को आलेखित करें

वाई = | एक्स 2 - 2x - 3 | और वाई = ए।

पहले फलन y = | x 2 - 2x - 3 | . का आलेख परवलय के ग्राफ से प्राप्त किया जाएगा y = x 2 - 2x - 3 ग्राफ़ के उस हिस्से के भुज अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन द्वारा जो ऑक्स अक्ष के नीचे है। भुज अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ का भाग अपरिवर्तित रहेगा।

आइए इसे चरणों में करें। फलन y = x 2 - 2x - 3 का आलेख एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। इसका ग्राफ बनाने के लिए, आइए शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें। यह सूत्र x 0 = -b / 2a का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रकार, x 0 = 2/2 = 1. कोटि के अनुदिश परवलय के शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम विचाराधीन फलन के समीकरण में x 0 के प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं कि y 0 = 1 - 2 - 3 = -4। इसलिए, परवलय के शीर्ष में निर्देशांक (1; -4) होते हैं।

अगला, आपको समन्वय अक्षों के साथ परवलय की शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं के चौराहे के बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर होता है। इसलिए, हम तय करते हैं द्विघात समीकरण x 2 - 2x - 3 = 0. इसके मूल अभीष्ट बिन्दु होंगे। विएटा के प्रमेय से, हमारे पास x 1 = -1, x 2 = 3 है।

निर्देशांक अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, तर्क का मान शून्य के बराबर होता है। इस प्रकार, बिंदु y = -3 परवलय की शाखाओं का y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। परिणामी ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है।

फलन y = | x 2 - 2x - 3 | का ग्राफ प्राप्त करने के लिए, हम ग्राफ के उस भाग को प्रदर्शित करेंगे जो x-अक्ष के सममित रूप से भुज अक्ष के नीचे है। परिणामी ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है।

फलन y = a का आलेख भुज अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा है। यह चित्र 3 में दिखाया गया है। आकृति का उपयोग करते हुए और हम पाते हैं कि ग्राफ़ में चार सामान्य बिंदु होते हैं (और समीकरण के चार मूल होते हैं) यदि a अंतराल (0; 4) से संबंधित है।

प्राप्त अंतराल से संख्या का पूर्णांक मान: 1; 2; 3. समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम इन संख्याओं का योग ज्ञात करते हैं: 1 + 2 + 3 = 6।

उत्तर : 6.

a के पूर्णांक मानों का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण | x 2 - 4 | x | - 1 | = a की छह जड़ें हैं।

आइए फलन y = | x 2 - 4 | x | . को आलेखित करके प्रारंभ करें - 1 |. इसके लिए हम समता a 2 = | a | . का प्रयोग करते हैं 2 और फ़ंक्शन के दाईं ओर लिखे गए सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन में पूर्ण वर्ग का चयन करें:

एक्स 2 - 4 | एक्स | - 1 = | एक्स | 2 - 4 | एक्स | - 1 = (| x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = (| x | - 2) 2 - 5।

तब मूल फलन का रूप y = | (| x | - 2) 2 - 5 | होगा।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम फ़ंक्शंस के क्रमिक रूप से ग्राफ़ बनाते हैं:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय (2; -5); (चित्र एक)।

2) y = (| x | - 2) 2 - 5 - बिंदु 1 में निर्मित परवलय का वह भाग जो कोटि अक्ष के दायीं ओर स्थित है, समरूप रूप से ओए अक्ष के बाईं ओर प्रदर्शित होता है; (रेखा चित्र नम्बर 2)।

3) वाई = | (| एक्स | - 2) 2 - 5 | - चरण 2 में निर्मित ग्राफ़ का वह भाग, जो x-अक्ष के नीचे है, भुज अक्ष के ऊपर सममित रूप से प्रदर्शित होता है। (चित्र 3)।

परिणामी चित्र पर विचार करें:

फलन y = a का आलेख भुज अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा है।

आकृति का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कार्यों के ग्राफ़ में छह सामान्य बिंदु होते हैं (समीकरण के छह मूल होते हैं) यदि a अंतराल (1; 5) से संबंधित है।

इसे निम्न आकृति में देखा जा सकता है:

आइए पैरामीटर के पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

उत्तर: 3.

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

इस पाठ में, हम एक पैरामीटर के साथ अधिक जटिल समस्याओं को देखेंगे और उन्हें आलेखीय रूप से हल करेंगे।

विषय: दोहराव

पाठ: पैरामीटर के साथ समस्याओं में आलेखीय विधि। समस्या समाधान की निरंतरता

1. एक ग्राफिकल विधि द्वारा एक पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण को हल करना

उदाहरण 1 - पैरामीटर a के आधार पर समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:

समस्या कथन के अनुसार, हमें जड़ों के मूल्यों को खोजने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन केवल उनकी संख्या, हम ग्राफिकल विधि का उपयोग करके समस्या को हल करते हैं।

पहला कदम बाईं ओर फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना है:। हम इस फ़ंक्शन के ग्राफ को जानते हैं - यह एक परवलय है, शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, इसकी जड़ें आसानी से मिल जाती हैं: यहां से आप शीर्ष के निर्देशांक पा सकते हैं:

चावल। 2. रेखाओं के एक परिवार द्वारा ग्राफ काटना

ग्राफ को देखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं: कोई समाधान नहीं; जब समीकरण का एक अद्वितीय हल हो; के लिए, समीकरण के दो हल हैं।

2. एक ग्राफिकल विधि द्वारा मॉड्यूल और एक पैरामीटर के साथ समीकरणों को हल करना

उदाहरण 2 - पैरामीटर a के आधार पर समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:

पहला कदम बाईं ओर फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना है। चूंकि एक मॉड्यूल है, हम पहले सबमॉड्यूल फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं: ... यह एक परवलय है, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, जड़ों का आसानी से अनुमान लगाया जाता है: , यहाँ से आप शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं:। दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनने के बाद, मॉड्यूल के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करना आसान है: , इसके लिए फ़ंक्शन के सभी नकारात्मक मान x-अक्ष के बारे में प्रतिबिंबित होते हैं।

चावल। 3. कार्यों की अनुसूची तथा

चावल। 4. रेखाओं के एक परिवार द्वारा ग्राफ काटना

ग्राफ को देखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं: कोई समाधान नहीं; दो समाधान के साथ; चार समाधान के साथ; तीन समाधान के साथ।

उदाहरण 3 - पैरामीटर a के आधार पर समीकरण के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:

पहला कदम बाईं ओर फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना है। कृपया ध्यान दें कि। सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें ... यह एक परवलय है, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, जड़ों का आसानी से अनुमान लगाया जाता है: यहां से आप शीर्ष के निर्देशांक पा सकते हैं:। दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनने के बाद, मॉड्यूल के साथ फ़ंक्शन को ग्राफ़ करना आसान होता है ... ऐसा करने के लिए, याद रखें कि मॉड्यूल का विस्तार कैसे किया जाता है। यदि x धनात्मक है, तो आप इसे आसानी से त्याग सकते हैं - ग्राफ़ का यह भाग पहले ही बनाया जा चुका है। ऋणात्मक x के साथ :, हमारे पास एक आलेख है: ... यह एक परवलय है, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, जड़ों का आसानी से अनुमान लगाया जाता है और शीर्ष स्थित होता है। यह निर्माण अधिक सरलता से किया जा सकता है, नियम को जानकर: सकारात्मक x के लिए मापांक के बिना किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और इसे y-अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित करें। चलो बनाते है:

चावल। 5. फंक्शन ग्राफ

चावल। 6. रेखाओं के एक परिवार द्वारा ग्राफ काटना

ग्राफ को देखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं: कोई समाधान नहीं; पर दो जड़ें; चार जड़ों के साथ; तीन जड़ों के साथ।

3. एक पैरामीटर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करना

उदाहरण 4 - एक पैरामीटर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करें:

प्रणाली बल्कि जटिल दिखती है, आइए इसे सरल करें। ऐसा करने के लिए, आइए लघुगणक और जड़ों से छुटकारा पाएं। पहली असमानता में, समान आधार वाले लघुगणक की तुलना की जाती है, हमें लघुगणक के चिह्न को त्यागने का अधिकार है, जबकि असमानता के संकेत को बदलते हुए, क्योंकि लघुगणक का आधार एक से कम है, लेकिन रक्षा करना न भूलें उप लघुगणक व्यंजक (ODZ के लिए लेखांकन)।

दूसरी असमानता में जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, हम इसे चौकोर करते हैं, जबकि, फिर से, ODV को ध्यान में रखना न भूलें। हमारे पास है:

इस प्रकार, हमारे पास चार असमानताओं की एक प्रणाली है:

यहाँ समान शब्द हैं:

हम परिणामी समकक्ष प्रणाली का एक ग्राफ बनाते हैं। पहली असमानता का समाधान ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर स्थित अर्ध-तल है, रेखा स्वयं प्रवेश नहीं करती है, क्योंकि असमानता सख्त है। दूसरी असमानता का समाधान रेखा के ऊपर स्थित अर्ध-तल है, रेखा स्वयं प्रवेश नहीं करती है, क्योंकि असमानता सख्त है। तीसरी असमानता का समाधान क्षैतिज रेखा के नीचे स्थित अर्ध-तल है, रेखा स्वयं प्रवेश नहीं करती है, क्योंकि असमानता सख्त है। अंतिम असमानता का समाधान रेखा के ऊपर स्थित अर्ध-तल है, रेखा स्वयं प्रवेश करती है, क्योंकि असमानता सख्त नहीं है। आइए बताते हैं:

चावल। 7. असमानताओं की प्रणाली के समाधान का चित्रण

यह स्पष्ट करने के लिए कि सिस्टम का समाधान एक त्रिकोण है, जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है, चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक को स्पष्ट करना आवश्यक है।

बिंदु A को रेखाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु होने दें, इसके निर्देशांक ज्ञात करें, इसके लिए हम सिस्टम को हल करते हैं:

इस प्रणाली को बीजीय जोड़ की विधि द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है:

मान लीजिए बिंदु B रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है , हम इसके निर्देशांक पाएंगे, इसके लिए हम सिस्टम को हल करेंगे।

मानकों के साथ समीकरणों को स्कूल गणित पाठ्यक्रम में सबसे कठिन समस्याओं में से एक माना जाता है। यह ऐसे कार्य हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा की एकीकृत राज्य परीक्षा में टाइप बी और सी के कार्यों की सूची में साल-दर-साल आते हैं। हालांकि, मापदंडों के साथ बड़ी संख्या में समीकरणों में से कुछ ऐसे भी हैं जिन्हें आसानी से ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है। आइए इस पद्धति को कई समस्याओं को हल करने के उदाहरण से देखें।

संख्या a के पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण | x 2 - 2x - 3 | = a की चार जड़ें हैं।

समाधान।

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए हम एक निर्देशांक तल पर फलन के आलेखों को आलेखित करें

वाई = | एक्स 2 - 2x - 3 | और वाई = ए।

पहले फलन y = | x 2 - 2x - 3 | . का आलेख परवलय के ग्राफ से प्राप्त किया जाएगा y = x 2 - 2x - 3 ग्राफ़ के उस हिस्से के भुज अक्ष के सापेक्ष सममित प्रदर्शन द्वारा जो ऑक्स अक्ष के नीचे है। भुज अक्ष के ऊपर स्थित ग्राफ का भाग अपरिवर्तित रहेगा।

आइए इसे चरणों में करें। फलन y = x 2 - 2x - 3 का आलेख एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। इसका ग्राफ बनाने के लिए, आइए शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें। यह सूत्र x 0 = -b / 2a का उपयोग करके किया जा सकता है। इस प्रकार, x 0 = 2/2 = 1. कोटि के अनुदिश परवलय के शीर्ष का निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम विचाराधीन फलन के समीकरण में x 0 के प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं कि y 0 = 1 - 2 - 3 = -4। इसलिए, परवलय के शीर्ष में निर्देशांक (1; -4) होते हैं।

अगला, आपको समन्वय अक्षों के साथ परवलय की शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं के चौराहे के बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर होता है। इसलिए, हम द्विघात समीकरण x 2 - 2x - 3 = 0 को हल करेंगे। इसके मूल आवश्यक बिंदु होंगे। विएटा के प्रमेय से, हमारे पास x 1 = -1, x 2 = 3 है।

निर्देशांक अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, तर्क का मान शून्य के बराबर होता है। इस प्रकार, बिंदु y = -3 परवलय की शाखाओं का y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। परिणामी ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है।

फलन y = | x 2 - 2x - 3 | का ग्राफ प्राप्त करने के लिए, हम ग्राफ के उस भाग को प्रदर्शित करेंगे जो x-अक्ष के सममित रूप से भुज अक्ष के नीचे है। परिणामी ग्राफ चित्र 2 में दिखाया गया है।

फलन y = a का आलेख भुज अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा है। यह चित्र 3 में दिखाया गया है। आकृति का उपयोग करते हुए और हम पाते हैं कि ग्राफ़ में चार सामान्य बिंदु होते हैं (और समीकरण के चार मूल होते हैं) यदि a अंतराल (0; 4) से संबंधित है।

प्राप्त अंतराल से संख्या का पूर्णांक मान: 1; 2; 3. समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम इन संख्याओं का योग ज्ञात करते हैं: 1 + 2 + 3 = 6।

उत्तर : 6.

a के पूर्णांक मानों का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण | x 2 - 4 | x | - 1 | = a की छह जड़ें हैं।

आइए फलन y = | x 2 - 4 | x | . को आलेखित करके प्रारंभ करें - 1 |. इसके लिए हम समता a 2 = | a | . का प्रयोग करते हैं 2 और फ़ंक्शन के दाईं ओर लिखे गए सबमॉड्यूल एक्सप्रेशन में पूर्ण वर्ग का चयन करें:

एक्स 2 - 4 | एक्स | - 1 = | एक्स | 2 - 4 | एक्स | - 1 = (| x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = (| x | - 2) 2 - 5।

तब मूल फलन का रूप y = | (| x | - 2) 2 - 5 | होगा।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, हम फ़ंक्शंस के क्रमिक रूप से ग्राफ़ बनाते हैं:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय (2; -5); (चित्र एक)।

2) y = (| x | - 2) 2 - 5 - बिंदु 1 में निर्मित परवलय का वह भाग जो कोटि अक्ष के दायीं ओर स्थित है, समरूप रूप से ओए अक्ष के बाईं ओर प्रदर्शित होता है; (रेखा चित्र नम्बर 2)।

3) वाई = | (| एक्स | - 2) 2 - 5 | - चरण 2 में निर्मित ग्राफ़ का वह भाग, जो x-अक्ष के नीचे है, भुज अक्ष के ऊपर सममित रूप से प्रदर्शित होता है। (चित्र 3)।

परिणामी चित्र पर विचार करें:

फलन y = a का आलेख भुज अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा है।

आकृति का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कार्यों के ग्राफ़ में छह सामान्य बिंदु होते हैं (समीकरण के छह मूल होते हैं) यदि a अंतराल (1; 5) से संबंधित है।

इसे निम्न आकृति में देखा जा सकता है:

आइए पैरामीटर के पूर्णांक मानों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करें a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

उत्तर: 3.

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