मैट्रिक्स समीकरण उलटा मैट्रिक्स। व्युत्क्रम मैट्रिक्स ऑनलाइन ढूँढना
मान लीजिए कि nवें क्रम का एक वर्ग आव्यूह है
मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई एन-वें क्रम की पहचान मैट्रिक्स है।
यूनिट मैट्रिक्स- ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोने तक जाने वाले मुख्य विकर्ण के साथ सभी तत्व एक होते हैं, और शेष शून्य होते हैं, उदाहरण के लिए:
उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिएवे। पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या वाले मैट्रिक्स के लिए।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए शर्त पर प्रमेय
एक मैट्रिक्स के लिए एक उलटा मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह गैर-पतित हो।
मैट्रिक्स A = (A1, A2, ... A n) कहलाता है गैर पतितयदि स्तंभ वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स की रैंक उसके आयाम के बराबर हो, अर्थात। आर = एन।
उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
- गॉसियन पद्धति से समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए तालिका में मैट्रिक्स ए लिखें और दाईं ओर (समीकरणों के दाहिने हाथ के स्थान पर) मैट्रिक्स ई असाइन करें।
- जॉर्डन ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके, मैट्रिक्स ए को यूनिट कॉलम से युक्त मैट्रिक्स में कम करें; इस मामले में, मैट्रिक्स ई को एक साथ बदलना आवश्यक है।
- यदि आवश्यक हो, तो अंतिम तालिका की पंक्तियों (समीकरणों) को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि मूल तालिका के मैट्रिक्स ए के तहत इकाई मैट्रिक्स ई प्राप्त हो।
- व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 लिखें, जो मूल तालिका के मैट्रिक्स ई के तहत अंतिम तालिका में है।
मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 . खोजें
समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में लाते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई गई है।
आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच करें।
मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, इकाई मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणनाएं सही हैं।
उत्तर: 
मैट्रिक्स समीकरण हल करना
मैट्रिक्स समीकरण फॉर्म के हो सकते हैं:
AX = B, XA = B, AXB = C,
जहां ए, बी, सी निर्दिष्ट मैट्रिक्स हैं, एक्स आवश्यक मैट्रिक्स है।
मैट्रिक्स समीकरणों को इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, किसी समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आप उस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करते हैं।
इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको उलटा मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।
अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।
समीकरण को हल करें AX = B यदि 
समाधान: चूंकि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है (उदाहरण 1 देखें)
आर्थिक विश्लेषण में मैट्रिक्स विधि
दूसरों के साथ, वे भी आवेदन पाते हैं मैट्रिक्स तरीके... ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। ऐसी विधियों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। सबसे अधिक बार, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों और उनकी संरचनात्मक इकाइयों के कामकाज का तुलनात्मक मूल्यांकन करना आवश्यक होता है।
मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली बनाई जाती है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबर इसकी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाए जाते हैं। (मैं = 1,2, ...., एन), और ऊर्ध्वाधर स्तंभों के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2, ...., एम).
दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा पता चलता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।
उसके बाद, इस कॉलम में परिलक्षित सभी राशियों को सबसे बड़े मूल्य से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनता है।
तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक भाग चुकता हैं। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार कारक सौंपा जाता है क... उत्तरार्द्ध का मूल्य विशेषज्ञ निर्णय द्वारा निर्धारित किया जाता है।
आखिरी में, चौथा चरणरेटिंग के मूल्य पाए गए आर जेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहीकृत किया जाता है।
उल्लिखित मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, विभिन्न निवेश परियोजनाओं के तुलनात्मक विश्लेषण के साथ-साथ संगठनों की गतिविधियों के अन्य आर्थिक संकेतकों का आकलन करने में।
किसी भी गैर-डीजेनरेट मैट्रिक्स ए के लिए, मौजूद है और, इसके अलावा, एक अद्वितीय मैट्रिक्स ए -1 ऐसा है कि
ए * ए -1 = ए -1 * ए = ई,
जहाँ E, A के समान क्रम का पहचान मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स A -1 को मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम कहा जाता है।
यदि कोई भूल जाता है, तो पहचान मैट्रिक्स में, विकर्णों से भरे हुए को छोड़कर, अन्य सभी पदों को शून्य से भर दिया जाता है, पहचान मैट्रिक्स का एक उदाहरण:
आसन्न मैट्रिक्स विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
उलटा मैट्रिक्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:
जहाँ A ij तत्व a ij हैं।
वे। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, आपको इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। फिर इसके सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक खोजें और उनसे एक नया मैट्रिक्स बनाएं। अगला, आपको इस मैट्रिक्स को परिवहन करने की आवश्यकता है। और नए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करें।
आइए कुछ उदाहरण देखें।
मैट्रिक्स के लिए ए -1 खोजें
हल आइए हम आसन्न मैट्रिक्स विधि द्वारा A -1 ज्ञात करें। हमारे पास ए = 2 है। आइए हम मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें। इस मामले में, मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक मैट्रिक्स के संबंधित तत्व होंगे, जिन्हें एक संकेत के अनुसार लिया जाएगा सूत्र के साथ
हमारे पास ए 11 = 3, ए 12 = -4, ए 21 = -1, ए 22 = 2 है। हम आसन्न मैट्रिक्स बनाते हैं
हम मैट्रिक्स ए * परिवहन करते हैं:
हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
हम पाते हैं:
आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके ए -1 खोजें यदि
हल सबसे पहले, हम यह सुनिश्चित करने के लिए दिए गए मैट्रिक्स की परिभाषा की गणना करते हैं कि उलटा मैट्रिक्स मौजूद है। हमारे पास है
यहां हमने दूसरी पंक्ति के तत्वों में तीसरी पंक्ति के तत्वों को पहले (-1) से गुणा किया है, और फिर दूसरी पंक्ति पर सारणिक का विस्तार किया है। चूंकि दिए गए मैट्रिक्स को गैर-शून्य के रूप में निर्धारित किया गया है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है। आसन्न मैट्रिक्स के निर्माण के लिए, हम इस मैट्रिक्स के तत्वों के बीजीय पूरक पाते हैं। हमारे पास है
सूत्र के अनुसार
मैट्रिक्स ए * परिवहन करें:
फिर सूत्र द्वारा
प्राथमिक परिवर्तनों की विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की विधि के अलावा, जो सूत्र (आसन्न मैट्रिक्स की विधि) से अनुसरण करता है, उलटा मैट्रिक्स खोजने की एक विधि है, जिसे प्राथमिक परिवर्तन की विधि कहा जाता है।
प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन
निम्नलिखित परिवर्तनों को प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन कहा जाता है:
1) पंक्तियों का क्रमपरिवर्तन (स्तंभ);
2) एक पंक्ति (स्तंभ) को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3) एक पंक्ति (कॉलम) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (कॉलम) के संबंधित तत्वों में जोड़ना, पहले किसी संख्या से गुणा करना।
मैट्रिक्स ए -1 को खोजने के लिए, हम एक आयताकार मैट्रिक्स बी = (ए | ई) ऑर्डर (एन; 2 एन) का निर्माण करते हैं, मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई को विभाजित रेखा के माध्यम से दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं:
आइए एक उदाहरण देखें।
प्राथमिक रूपांतरणों की विधि का उपयोग करते हुए, ए -1 अगर . खोजें
हल। आइए हम मैट्रिक्स B बनाते हैं:
आइए हम मैट्रिक्स B की पंक्तियों को α 1, α 2, α 3 से निरूपित करें। आइए हम मैट्रिक्स बी की पंक्तियों पर निम्नलिखित परिवर्तन करें।
उलटा मैट्रिक्स ढूँढना- एक कार्य जिसे अक्सर दो तरीकों से हल किया जाता है:
- बीजगणितीय पूरक की विधि, जिसमें निर्धारकों को खोजने और मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है;
- अज्ञात गॉस के उन्मूलन की विधि द्वारा, जिसमें प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन (पंक्तियों को जोड़ना, समान संख्या से पंक्तियों को गुणा करना, आदि) करने की आवश्यकता होती है।
जो लोग विशेष रूप से उत्सुक हैं, उनके लिए अन्य विधियां हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक परिवर्तनों की विधि। इस पाठ में, हम इन विधियों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए तीन उल्लिखित विधियों और एल्गोरिदम का विश्लेषण करेंगे।
उलटा मैट्रिक्स ए, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
ए
. (1)
उलटा मैट्रिक्स , जो किसी दिए गए वर्ग मैट्रिक्स को खोजने के लिए आवश्यक है ए, ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है
उत्पाद जिसके द्वारा मैट्रिसेस एदाईं ओर पहचान मैट्रिक्स है, अर्थात,
. (1)
पहचान मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसमें सभी विकर्ण तत्व एक के बराबर होते हैं।
प्रमेय।प्रत्येक गैर-एकवचन (गैर-पतित, गैर-एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, आप उलटा मैट्रिक्स पा सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक। एक विशेष (पतित, एकवचन) वर्ग मैट्रिक्स के लिए, व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
वर्ग मैट्रिक्स को कहा जाता है गैर विशेष(या गैर पतित, गैर विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य नहीं है, और विशेष(या पतित, विलक्षण) यदि इसका सारणिक शून्य है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है। स्वाभाविक रूप से, व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी वर्गाकार होगा और दिए गए मैट्रिक्स के समान क्रम का होगा। एक मैट्रिक्स जिसके लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया जा सकता है उसे एक उलटा मैट्रिक्स कहा जाता है।
के लिये उलटा मैट्रिक्स पारस्परिक के साथ एक उपयुक्त सादृश्य है। हर नंबर के लिए ए, शून्य के बराबर नहीं, एक ऐसी संख्या होती है बीकि काम एतथा बीएक के बराबर: अब= १. संख्या बीसंख्या का विलोम कहलाता है बी... उदाहरण के लिए, संख्या 7 के लिए प्रतिलोम 1/7 है, क्योंकि 7 * 1/7 = 1 है।
बीजगणितीय पूरक (यूनियन मैट्रिक्स) की विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
एक गैर-एकवचन वर्ग मैट्रिक्स के लिए एउलटा मैट्रिक्स है
मैट्रिक्स का निर्धारक कहां है ए, a मैट्रिक्स से सटे मैट्रिक्स है ए.
वर्ग मैट्रिक्स के साथ संघ एउसी क्रम का एक मैट्रिक्स है, जिसके तत्व मैट्रिक्स ए के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के निर्धारक के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरक हैं। इस प्रकार, यदि
फिर 
तथा 
बीजगणितीय पूरक की विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एल्गोरिदम
1. दिए गए मैट्रिक्स का सारणिक ज्ञात कीजिए ए... यदि निर्धारक शून्य है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स की खोज बंद हो जाती है, क्योंकि मैट्रिक्स पतित है और इसका व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
2. के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स खोजें ए.
3. चरण 2 में पाए गए मैरिटा के बीजगणितीय पूरक के रूप में आसन्न मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करें।
4. सूत्र लागू करें (2): मैट्रिक्स निर्धारक के व्युत्क्रम को गुणा करें ए, चरण 4 में पाए गए आसन्न मैट्रिक्स के लिए।
5. इस मैट्रिक्स को गुणा करके चरण 4 में प्राप्त परिणाम की जाँच करें एउलटा मैट्रिक्स के लिए। यदि इन मैट्रिक्स का उत्पाद पहचान मैट्रिक्स के बराबर है, तो उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया गया था। अन्यथा, समाधान प्रक्रिया पुन: प्रारंभ करें।
उदाहरण 1।मैट्रिक्स के लिए
मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
समाधान। व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना आवश्यक है ए... हम त्रिभुज के नियम से पाते हैं:
इसलिए मैट्रिक्स ए- गैर-एकवचन (गैर-पतित, गैर-एकवचन) और इसके लिए एक व्युत्क्रम है।
दिए गए मैट्रिक्स से सटे मैट्रिक्स का पता लगाएं ए.
मैट्रिक्स के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स खोजें ए:
मैट्रिक्स के संबंध में स्थानांतरित मैट्रिक्स के बीजीय पूरक के रूप में आसन्न मैट्रिक्स के तत्वों की गणना करें ए:
इसलिए, मैट्रिक्स से सटे मैट्रिक्स ए, रूप है
टिप्पणी।तत्वों की गणना और मैट्रिक्स के स्थानान्तरण का क्रम भिन्न हो सकता है। कोई पहले मैट्रिक्स के बीजीय पूरक की गणना कर सकता है एऔर फिर पूरक मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें। परिणाम संघ मैट्रिक्स के समान तत्व होना चाहिए।
सूत्र (2) को लागू करने पर, हम मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत पाते हैं ए:
गाऊसी उन्मूलन द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
गाऊसी उन्मूलन विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए पहला कदम मैट्रिक्स को असाइन करना है एएक ही क्रम की पहचान मैट्रिक्स, उन्हें एक लंबवत पट्टी से अलग करना। हमें एक दोगुना मैट्रिक्स मिलता है। हम इस मैट्रिक्स के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं, फिर हमें मिलता है
,
गाऊसी उन्मूलन द्वारा उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
1. मैट्रिक्स के लिए एउसी क्रम के पहचान मैट्रिक्स को असाइन करें।
2. परिणामी डबल मैट्रिक्स को ट्रांसफॉर्म करें ताकि पहचान मैट्रिक्स इसके बाईं ओर प्राप्त हो जाए, तो उलटा मैट्रिक्स स्वचालित रूप से दाईं ओर पहचान मैट्रिक्स के स्थान पर निकल जाएगा। आव्यूह एबाईं ओर प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों द्वारा पहचान मैट्रिक्स में बदल दिया जाता है।
2. यदि मैट्रिक्स के परिवर्तन के दौरान एपहचान मैट्रिक्स में किसी भी पंक्ति में या किसी भी कॉलम में केवल शून्य होगा, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, और इसलिए, मैट्रिक्स एपतित होगा और इसका कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है। इस मामले में, उलटा मैट्रिक्स की आगे की खोज समाप्त हो जाती है।
उदाहरण २।मैट्रिक्स के लिए
मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
और हम इसे बदल देंगे ताकि बाईं ओर हमें पहचान मैट्रिक्स मिल जाए। हम परिवर्तन शुरू करते हैं।
बाएँ और दाएँ मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ें, और फिर पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर हमें मिलता है
.
ताकि, यदि संभव हो तो, बाद के परिवर्तनों के दौरान कोई भिन्नात्मक संख्या न हो, हम पहले दोगुनी मैट्रिक्स के बाईं ओर दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और उसमें से तीसरी पंक्ति घटाएँ, तो हमें प्राप्त होता है
.
पहली पंक्ति को दूसरी में जोड़ें, और फिर दूसरी पंक्ति को (-9) से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें। तब हमें मिलता है
.
तीसरी पंक्ति को 8 से विभाजित करें, फिर
.
तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें। यह पता चला है:
.
आइए दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें, फिर हम अंत में प्राप्त करते हैं:
.
हम देखते हैं कि पहचान मैट्रिक्स बाईं ओर प्राप्त होता है, इसलिए, उलटा मैट्रिक्स दाईं ओर प्राप्त होता है। इस प्रकार:
.
आप पाए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करके गणना की शुद्धता की जांच कर सकते हैं:
परिणाम एक उलटा मैट्रिक्स होना चाहिए।
उदाहरण 3.मैट्रिक्स के लिए
मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
समाधान। एक डबल मैट्रिक्स की रचना
और हम इसे बदल देंगे।
हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरी को 2 से, और दूसरी से घटाते हैं, और फिर हम पहली पंक्ति को 5 से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और तीसरी पंक्ति से घटाते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं
.
हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं और दूसरी में जोड़ते हैं, और फिर तीसरी पंक्ति से दूसरी घटाते हैं, तो हमें मिलता है
.
हम देखते हैं कि बाईं ओर तीसरी पंक्ति में, सभी तत्व शून्य के बराबर निकले। नतीजतन, मैट्रिक्स पतित है और इसका कोई उलटा मैट्रिक्स नहीं है। हम आगे रिवर्स मैरिट्ज़ा खोजना बंद कर देते हैं।
मैट्रिक्स गुणन के विपरीत ऑपरेशन को परिभाषित करने की समस्या पर विचार करें।
मान लीजिए कि n कोटि का एक वर्ग आव्यूह है। मैट्रिक्स ए ^ (- 1), जो दिए गए मैट्रिक्स ए के साथ, समानता को संतुष्ट करता है:
ए ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E,
बुलाया उलटना... मैट्रिक्स ए कहा जाता है प्रतिवर्तीयदि इसका व्युत्क्रम है, अन्यथा - अचल.
यह परिभाषा से इस प्रकार है कि यदि प्रतिलोम मैट्रिक्स A ^ (- 1) मौजूद है, तो यह A के समान क्रम का वर्ग है। हालांकि, हर वर्ग मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मौजूद नहीं है। यदि मैट्रिक्स A का सारणिक शून्य (\ det (A) = 0) के बराबर है, तो इसका कोई प्रतिलोम नहीं है। वास्तव में, सर्वसमिका मैट्रिक्स E = A ^ (- 1) A के लिए आव्यूहों के गुणनफल के सारणिक पर प्रमेय को लागू करने पर हमें एक अंतर्विरोध प्राप्त होता है।
\ det (E) = \ det (A ^ (- 1) \ cdot A) = \ det (A ^ (- 1)) \ det (A) = \ det (A ^ (- 1)) \ cdot0 = 0
चूंकि पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है। यह पता चला है कि एक वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य से अंतर एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एकमात्र शर्त है। याद रखें कि एक वर्ग मैट्रिक्स, जिसका निर्धारक शून्य के बराबर होता है, को पतित (एकवचन) कहा जाता है, अन्यथा - गैर-पतित (नॉनसिंगुलर)।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेय 4.1। स्क्वायर मैट्रिक्स A = \ start (pmatrix) a_ (11) & \ cdots & a_ (1n) \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ (n1) & \ cdots & a_ (nn) \ end (pmatrix), जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और इसके अलावा, केवल एक:
ए ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (ए)) \ cdot \! \ start (pmatrix) A_ (11) & A_ (21) & \ cdots & A_ (1n) \\ A_ (12) & A_ (22) & \ cdots & A_ (n2) \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots और \ vdots \\ A_ (1n ) और A_ (2n) और \ cdots और A_ (nn) \ end (pmatrix) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+),
जहां ए ^ (+) मैट्रिक्स ए के तत्वों के बीजगणितीय पूरक से बना मैट्रिक्स के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है।
मैट्रिक्स ए ^ (+) कहा जाता है संलग्न मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में
दरअसल, मैट्रिक्स \ frac (1) (\ det (ए)) \, ए ^ (+)शर्त के तहत मौजूद है \ det (ए) \ ne0। यह दिखाया जाना चाहिए कि यह ए के विपरीत है, अर्थात। दो शर्तों को पूरा करता है:
\ start (गठबंधन) \ mathsf (1)) और ~ A \ cdot \! \ बाएँ (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ दाएँ) = E; \\ \ mathsf (2)) और ~ \! \ लेफ्ट (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) \! \ Cdot A = E. \ End (गठबंधन)
आइए हम पहली समानता साबित करें। टिप्पणी २.३ के खंड ४ के अनुसार, यह निर्धारक के गुणों का अनुसरण करता है कि एए ^ (+) = \ det (ए) \ cdot E... इसीलिए
ए \ cdot \! \ लेफ्ट (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot AA ^ (+) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \ det (A) \ cdot E = E,
दिखाने के लिए आवश्यक के रूप में। दूसरी समानता इसी तरह सिद्ध होती है। इसलिए, शर्त \ det (A) \ ne0 के तहत, मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम है
ए ^ (- 1) = \ फ्रैक (1) (\ det (ए)) \ cdot ए ^ (+)।
आइए हम प्रतिलोम मैट्रिक्स की विशिष्टता को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करें। मान लीजिए, आव्यूह A ^ (- 1) के अलावा, एक और प्रतिलोम आव्यूह B \, (B \ ne A ^ (- 1)) इस प्रकार मौजूद है कि AB = E। इस समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स A ^ (- 1) द्वारा बाईं ओर गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं \ अंडरब्रेस (ए ^ (- 1) एबी) _ (ई) = ए ^ (- 1) ई... इसलिए बी = ए ^ (- 1), जो धारणा बी \ ne ए ^ (- 1) के विपरीत है। इसलिए, उलटा मैट्रिक्स अद्वितीय है।
टिप्पणी 4.1
1. यह परिभाषा से इस प्रकार है कि मैट्रिक्स ए और ए ^ (- 1) कम्यूट।
2. एक अपक्षयी विकर्ण का व्युत्क्रम मैट्रिक्स भी विकर्ण होता है:
\ Bigl [\ operatorname (diag) (a_ (11), a_ (22), \ ldots, a_ (nn)) \ Bigr] ^ (- 1) = \ operatorname (diag) \! \ लेफ्ट (\ frac (1 ) (a_ (11)), \, \ frac (1) (a_ (22)), \, \ ldots, \, \ frac (1) (a_ (nn)) \ right) \!।
3. नॉनडिजेनरेट लोअर (ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निचला (ऊपरी) त्रिकोणीय होता है।
4. प्राथमिक आव्यूहों में प्रतिलोम होता है, जो प्राथमिक भी होता है (टिप्पणी 1.11 का मद 1 देखें)।
उलटा मैट्रिक्स गुण
मैट्रिक्स उलटा ऑपरेशन में निम्नलिखित गुण हैं:
\ शुरू (गठबंधन) \ बोल्ड (1.) और ~~ (ए ^ (- 1)) ^ (- 1) = ए \, \\ \ बोल्ड (2.) और ~~ (एबी) ^ (- 1 ) = बी ^ (- 1) ए ^ (- 1) \,; \\ \ बोल्ड (3.) और ~~ (ए ^ टी) ^ (- 1) = (ए ^ (- 1)) ^ टी \ ,; \\ \ बोल्ड (4.) और ~~ \ det (A ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ det (A)) \,; \\ \ बोल्ड (5.) और ~~ ई ^ (- 1) = ई \ ,। \ अंत (गठबंधन)
अगर समानता 1-4 में संकेतित संचालन समझ में आता है।
आइए हम संपत्ति 2 साबित करें: यदि समान कोटि के गैर-डीजेनरेट वर्ग आव्यूहों के गुणनफल AB में प्रतिलोम आव्यूह है, तो (एबी) ^ (- 1) = बी ^ (- 1) ए ^ (- 1).
वास्तव में, आव्यूह AB के गुणनफल का सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि
\ det (A \ cdot B) = \ det (A) \ cdot \ det (B), कहां \ det (ए) \ ne0, ~ \ det (बी) \ ne0
इसलिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स (AB) ^ (- 1) मौजूद है और अद्वितीय है। आइए हम परिभाषा के अनुसार दिखाएं कि मैट्रिक्स बी ^ (- 1) ए ^ (- 1) मैट्रिक्स एबी के संबंध में उलटा है। सचमुच।
मैट्रिक्स ए -1 को मैट्रिक्स ए के संबंध में उलटा मैट्रिक्स कहा जाता है यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई एन-वें ऑर्डर यूनिट मैट्रिक्स है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद हो सकता है।
सेवा उद्देश्य... ऑनलाइन इस सेवा की मदद से, आप बीजीय पूरक, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी, एडजॉइंट मैट्रिक्स और व्युत्क्रम मैट्रिक्स पा सकते हैं। समाधान सीधे वेबसाइट (ऑनलाइन) पर किया जाता है और यह मुफ़्त है। गणना परिणाम एक वर्ड प्रारूप रिपोर्ट और एक्सेल प्रारूप में प्रस्तुत किए जाते हैं (अर्थात समाधान की जांच करना संभव है)। डिजाइन उदाहरण देखें।
निर्देश। समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स का आयाम निर्धारित करना आवश्यक है। इसके बाद, एक नए डायलॉग बॉक्स में, मैट्रिक्स ए भरें।
जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग करके उलटा मैट्रिक्स भी देखें
उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम
- ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ढूँढना A T.
- बीजीय पूरक की परिभाषा। मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को उसके बीजीय पूरक से बदलें।
- बीजीय योगों से व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना: परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
- निर्धारित करें कि क्या मैट्रिक्स वर्गाकार है। यदि नहीं, तो इसके लिए कोई व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं है।
- मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना। यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समाधान जारी रखते हैं; अन्यथा, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है।
- बीजीय पूरक की परिभाषा।
- संघ भरना (पारस्परिक, आसन्न) मैट्रिक्स सी।
- बीजगणितीय पूरक से व्युत्क्रम मैट्रिक्स की रचना: आसन्न मैट्रिक्स सी के प्रत्येक तत्व को मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम है।
- एक चेक किया जाता है: मूल और परिणामी मैट्रिक्स गुणा किया जाता है। परिणाम पहचान मैट्रिक्स होना चाहिए।
उदाहरण 1। आइए मैट्रिक्स को इस प्रकार लिखें:
बीजगणितीय पूरक।
| ए 1,1 = (-1) 1 + 1 |
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∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| ए 1,2 = (-1) 1 + 2 |
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∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| ए 1,3 = (-1) 1 + 3 |
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∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| ए 2,1 = (-1) 2 + 1 |
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∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| ए 2,2 = (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| ए 2,3 = (-1) 2 + 3 |
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∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| ए 3,1 = (-1) 3 + 1 |
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∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| ए 3.2 = (-1) 3 + 2 |
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∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| ए 3,3 = (-1) 3 + 3 |
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∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
फिर उलटा मैट्रिक्सके रूप में लिखा जा सकता है:
| ए -1 = 1/10 |
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| ए -1 = |
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उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए एक और एल्गोरिदम
आइए हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक और योजना दें।- दिए गए वर्ग मैट्रिक्स A का सारणिक ज्ञात कीजिए।
- मैट्रिक्स ए के सभी तत्वों के लिए बीजीय पूरक खोजें।
- हम पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय पूरक को कॉलम (ट्रांसपोज़िशन) में लिखते हैं।
- हम परिणामी मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मैट्रिक्स ए के निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं।
एक विशेष मामला: पहचान मैट्रिक्स E का व्युत्क्रम पहचान मैट्रिक्स E है।
