गिनती इकाइयों की संख्या। दशमलव संख्या प्रणाली, वर्ग और प्राकृतिक संख्याओं के स्थान

यह याद रखने के लिए कि कितने लोगों को काटा गया या आकाश में कितने तारे थे, लोग प्रतीकों के साथ आए। अलग-अलग क्षेत्रों में, ये प्रतीक अलग-अलग थे।

लेकिन व्यापार के विकास के साथ, अन्य लोगों के पदनामों को समझने के लिए, लोगों ने सबसे सुविधाजनक प्रतीकों का उपयोग करना शुरू कर दिया। उदाहरण के लिए, हम उपयोग करते हैं अरबप्रतीक और उन्हें अरब इसलिए कहा जाता है क्योंकि यूरोपीय लोगों ने उन्हें अरबों से सीखा था। लेकिन अरबों ने इन प्रतीकों को भारतीयों से सीखा।

संख्या लिखने के लिए जिन चिन्हों का प्रयोग किया जाता है, वे कहलाते हैं आंकड़ों .

अंक शब्द अरबी नाम से नंबर 0 (सिफर) के लिए आया है। यह बहुत ही दिलचस्प आंकड़ा... यह कहा जाता है तुच्छऔर किसी चीज की अनुपस्थिति को दर्शाता है।

तस्वीर में हम 3 सेबों वाली एक प्लेट और बिना सेब वाली एक खाली प्लेट देखते हैं। एक खाली प्लेट के मामले में, हम कह सकते हैं कि उस पर 0 सेब हैं।

शेष संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 कहलाती हैं सार्थक .

बिट इकाइयां

नोटेशन जिसका हम प्रयोग करते हैं उसे कहते हैं दशमलव... क्योंकि एक अंक की ठीक दस इकाइयाँ अगले अंक की एक इकाई बनाती हैं।

हम इकाइयों, दहाई, सैकड़ों, हजारों आदि में गिनते हैं। ये हमारी संख्या प्रणाली की बिट इकाइयाँ हैं।

10 इकाइयां - 1 दर्जन (10)

10 दहाई - 1 सौ (100)

10 सौ - 1 हजार (1000)

10 गुना 1 हजार - 1 दस हजार (10,000)

10 दसियों हज़ार - 100 हज़ार (100,000) और इसी तरह ...

एक अंक एक संख्या रिकॉर्ड में एक अंक का स्थान है।

उदाहरण के लिए, संख्या में 12 दो अंक: इकाई का अंक होता है 2 यूनिट, दहाई का स्थान होता है एक दर्जन.

हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि 0 एक महत्वहीन अंक है जिसका अर्थ है किसी चीज का अभाव। संख्याओं में, अंक 0 अंक में इकाई की अनुपस्थिति को दर्शाता है।

संख्या 190 में, संख्या 0 इकाई के स्थान की अनुपस्थिति को दर्शाती है। संख्या 208 में, संख्या 0 इंगित करती है कि कोई दहाई का अंक नहीं है। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है अधूरा .

और वे संख्याएँ, जिनके अंकों में कोई शून्य नहीं होता है, कहलाती हैं पूर्ण .

अंक दाएं से बाएं गिने जाते हैं:

यदि आप बिट ग्रिड को निम्नानुसार चित्रित करते हैं तो यह स्पष्ट होगा:

1. सूची में 2375 :

पहली श्रेणी की 5 इकाइयाँ, या 5 इकाइयाँ

दूसरी श्रेणी की 7 इकाइयाँ, या 7 दहाई

तीसरी श्रेणी की 3 इकाइयाँ, या 3 सैकड़ों

चौथी श्रेणी की 2 इकाइयाँ, या 2 हजार

इस संख्या का उच्चारण इस प्रकार किया जाता है: दो हजार तीन सौ पचहत्तर

1. सूची में 1000462086432

2 टुकड़े

3 दर्जन

8 दसियों हज़ार

0 सौ हजार

2 मिलियन यूनिट

6 दसियों लाख

4 सौ मिलियन

0 अरब यूनिट

0 दहाई अरब

0 सौ अरब

1 यूनिट ट्रिलियन

इस संख्या का उच्चारण इस प्रकार किया जाता है: एक खरब चार सौ बासठ लाख छियासी हजार चार सौ बत्तीस .

1. सूची में 83 :

3 इकाइयां

8 दर्जन

इस तरह उच्चारण: तिरासी .

अंश,केवल एक श्रेणी की इकाइयों से मिलकर बनी संख्याएँ कहलाती हैं:

उदाहरण के लिए, संख्या 1, 3, 40, 600, 8000 - बिट, ऐसी संख्याओं में शून्य (महत्वहीन अंक) की कोई भी संख्या हो सकती है या बिल्कुल नहीं, और केवल एक महत्वपूर्ण अंक होता है।

शेष संख्याएँ, उदाहरण के लिए: 34, 108, 756 आदि, गैर-रैंकिंग , वे कहते हैं एल्गोरिथम.

गैर-बिट संख्याओं को बिट शर्तों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 6734 इस तरह प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

6000 + 700 + 30 + 4 = 6734

हमारे पहले पाठ को नंबर कहा जाता था। हमने इस विषय का केवल एक छोटा सा हिस्सा कवर किया है। वास्तव में, संख्याओं का विषय काफी व्यापक है। इसमें बहुत सारी सूक्ष्मताएँ और बारीकियाँ हैं, बहुत सारी तरकीबें और दिलचस्प विशेषताएं हैं।

आज हम संख्याओं के विषय को जारी रखेंगे, लेकिन फिर से हम उन सभी पर विचार नहीं करेंगे, ताकि अनावश्यक जानकारी के साथ सीखने को जटिल न बनाया जाए, जिसकी पहली बार में विशेष आवश्यकता नहीं है। हम डिस्चार्ज के बारे में बात करेंगे।

पाठ सामग्री

डिस्चार्ज क्या है?

अगर हम बात करें सरल भाषा, तो अंक संख्या या उस स्थान पर अंक की स्थिति है जहां अंक स्थित है। आइए एक उदाहरण के रूप में संख्या 635 लें। इस संख्या में तीन अंक होते हैं: 6, 3 और 5।

वह स्थान जहाँ अंक 5 स्थित होता है, कहलाता है इकाइयों

वह स्थान जहाँ अंक 3 स्थित होता है, कहलाता है दसियों

वह स्थान जहाँ अंक 6 स्थित होता है, कहलाता है सैकड़ों का निर्वहन

हम में से प्रत्येक ने स्कूल से "इकाइयों", "दसियों", "सैकड़ों" जैसी बातें सुनीं। अंक, संख्या में अंक की स्थिति की भूमिका निभाने के अलावा, हमें संख्या के बारे में ही कुछ जानकारी बताते हैं। विशेष रूप से अंक हमें किसी संख्या का भार बताते हैं। वे रिपोर्ट करते हैं कि कितनी इकाइयाँ, कितने दहाई और कितने सैकड़ों।

आइए अपने नंबर 635 पर वापस आते हैं। एक की श्रेणी में, एक पाँच है। इसका क्या मतलब है? और यह कहता है कि इकाई की श्रेणी में पाँच हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

दहाई की कोटि में एक तीन होता है। इससे पता चलता है कि दहाई के स्थान में तीन दहाई हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

सैकड़ों की श्रेणी में एक छक्का होता है। इससे पता चलता है कि सैकड़ों की रैंक में छह सौ हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

यदि हम प्राप्त इकाइयों की संख्या, दहाई की संख्या और सैकड़ों की संख्या को जोड़ दें, तो हमें अपनी प्रारंभिक संख्या 635 प्राप्त होती है।

और भी वरिष्ठ श्रेणियां हैं जैसे हज़ारों की श्रेणी, हज़ारों की श्रेणी, सैकड़ों हज़ारों की श्रेणी, लाखों की श्रेणी, इत्यादि। हम इतनी बड़ी संख्या पर शायद ही कभी विचार करेंगे, लेकिन फिर भी, उनके बारे में जानना भी वांछनीय है।

उदाहरण के लिए, संख्या 1645832 में, इकाइयों के अंक में 2 इकाइयाँ होती हैं, दहाई का अंक - 3 दहाई, सैकड़ों का अंक - 8 सौ, हजारों का अंक - 5 हजार, दसियों का अंक - 4 दहाई हजारों, सैकड़ों हजारों का अंक - 6 सौ हजार, लाखों का अंक - 1 मिलियन ...

अंकों का अध्ययन करने के पहले चरणों में, यह समझने की सलाह दी जाती है कि एक विशेष संख्या में कितनी इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों शामिल हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 9 में 9 वाले हैं। संख्या 12 में दो और एक दस है। संख्या 123 में तीन इकाई, दो दहाई और एक सौ हैं।

समूहीकरण आइटम

कुछ मदों को गिनने के बाद, इन मदों को समूहबद्ध करने के लिए रैंकों का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हमने यार्ड में 35 ईंटों की गिनती की है, तो हम इन ईंटों को समूहित करने के लिए डिस्चार्ज का उपयोग कर सकते हैं। मदों के समूहीकरण के मामले में, रैंकों को बाएँ से दाएँ पढ़ा जा सकता है। तो, संख्या 35 में संख्या 3 इंगित करेगी कि संख्या 35 में तीन दर्जन हैं। इसका मतलब है कि 35 ईंटों को तीन बार दस टुकड़ों में बांटा जा सकता है।

तो, आइए ईंटों को तीन बार समूहित करें, प्रत्येक में दस टुकड़े करें:

यह तीस ईंटें निकलीं। लेकिन अभी भी पांच यूनिट ईंटें बाकी हैं। हम उन्हें के रूप में बुलाएंगे "पांच इकाइयां"

इससे तीन दर्जन और पांच यूनिट ईंटें निकलीं।

और अगर हमने ईंटों को दहाई और इकाइयों में समूहित करना शुरू नहीं किया, तो हम कह सकते हैं कि संख्या 35 में पैंतीस इकाइयाँ हैं। ऐसा समूहन भी मान्य होगा:

इसी प्रकार, आप अन्य संख्याओं के बारे में तर्क कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 123 के बारे में। पहले हमने कहा था कि इस संख्या में तीन इकाई, दो दहाई और एक सौ होते हैं। लेकिन हम यह भी कह सकते हैं कि इस संख्या में 123 इकाइयाँ हैं। इसके अलावा, आप इस संख्या को यह कहते हुए दूसरे तरीके से समूहित कर सकते हैं कि इसमें 12 दहाई और 3 इकाइयाँ हैं।

शब्द इकाइयों, दर्जनों, सैकड़ों, गुणक 1, 10 और 100 को बदलें। उदाहरण के लिए, 123 की इकाई के स्थान पर संख्या 3 है। गुणक 1 का उपयोग करके, आप लिख सकते हैं कि यह इकाई इकाई के स्थान पर तीन बार समाहित है:

100 × 1 = 100

यदि हम 3, 20 और 100 प्राप्त परिणामों को जोड़ दें, तो हमें 123 . की संख्या प्राप्त होती है

3 + 20 + 100 = 123

ऐसा ही होगा यदि हम कहें कि संख्या 123 में 12 दहाई और 3 हैं। दूसरे शब्दों में, दहाई को 12 बार समूहित किया जाएगा:

10 × 12 = 120

और इकाइयाँ तीन बार:

1 × 3 = 3

इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझा जा सकता है। यदि 123 सेब हैं, तो आप पहले 120 सेबों को 12 बार 10 से समूहित कर सकते हैं:

यह एक सौ बीस सेब निकला। लेकिन अभी भी तीन सेब बचे हैं। हम उन्हें के रूप में बुलाएंगे "तीन इकाइयां"

यदि हम परिणाम 120 और 3 जोड़ते हैं, तो हमें फिर से 123 संख्या प्राप्त होती है।

120 + 3 = 123

आप 123 सेबों को एक सौ, दो दर्जन और तीन इकाइयों में भी समूहित कर सकते हैं।

आइए सौ का समूह बनाएं:

आइए समूह दो दर्जन:

आइए तीन इकाइयों का समूह बनाएं:

यदि हम परिणाम 100, 20 और 3 जोड़ते हैं, तो हमें 123 संख्या फिर से प्राप्त होती है।

100 + 20 + 3 = 123

और अंत में, आइए अंतिम संभावित समूहीकरण पर विचार करें, जहां सेबों को दसियों और सैकड़ों में विभाजित नहीं किया जाएगा, बल्कि एक साथ एकत्र किया जाएगा। इस स्थिति में, संख्या 123 को इस प्रकार पढ़ा जाएगा "एक सौ तेईस इकाइयां" ... यह ग्रुपिंग भी मान्य होगी:

1 × 123 = 123

संख्या 523 को 3 इकाई, 2 दहाई और 5 सौ के रूप में पढ़ा जा सकता है:

1 × 3 = 3 (तीन इकाइयाँ)

10 × 2 = 20 (दो दहाई)

100 × 5 = 500 (पाँच सौ)

3 + 20 + 500 = 523

एक अन्य संख्या 523 को 3 इकाई 52 दहाई के रूप में पढ़ा जा सकता है:

1 × 3 = 3 (तीन इकाइयाँ)

10 × 52 = 520 (बावन दहाई)

3 + 520 = 523

आप इसे 523 इकाइयों के रूप में भी पढ़ सकते हैं:

1 × 523 = 523 (पांच सौ तेईस इकाई)

डिस्चार्ज कहां लागू करें?

बिट्स कुछ गणनाओं को बहुत आसान बनाते हैं। कल्पना कीजिए कि आप ब्लैकबोर्ड पर हैं और आप एक समस्या का समाधान कर रहे हैं। आपने कार्य लगभग पूरा कर लिया है, आपको बस गणना करनी है अंतिम अभिव्यक्तिऔर उत्तर प्राप्त करें। मूल्यांकन की जाने वाली अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

हाथ में कोई कैलकुलेटर नहीं है, लेकिन मैं जल्दी से उत्तर लिखना चाहता हूं और अपनी गणना की गति से सभी को आश्चर्यचकित करना चाहता हूं। यदि आप इकाइयों को अलग से, दहाई को अलग से और सैकड़ों को अलग से जोड़ते हैं तो यह आसान है। आपको इकाइयों की श्रेणी से शुरुआत करनी होगी। सबसे पहले, बराबर चिह्न (=) के बाद, आपको मानसिक रूप से तीन बिंदु लगाने की आवश्यकता है। इन बिंदुओं के बजाय, एक नया नंबर होगा (हमारा जवाब):

अब हम जोड़ना शुरू करते हैं। 632 के इकाई के स्थान पर संख्या 2 होती है, और 264 के इकाई के स्थान पर संख्या 4 होती है। इसका अर्थ है कि 632 के इकाई के स्थान पर दो और 264 के इकाई के स्थान में चार होते हैं। 2 और 4 इकाइयाँ जोड़ें - हमें 6 इकाइयाँ मिलती हैं। हम नई संख्या (हमारा उत्तर) की इकाइयों के स्थान पर संख्या 6 लिखते हैं:

अगला, दसियों जोड़ें। 632 के दहाई के अंक में संख्या 3 है, और 264 के दहाई के अंक में 6 अंक है। इसका मतलब है कि 632 के दहाई के अंक में तीन दहाई हैं, और 264 के दहाई के अंक में छह दहाई हैं। 3 और 6 दहाई जोड़ें - हमें 9 दहाई मिलते हैं। हम संख्या 9 को नई संख्या के दहाई के स्थान पर लिखते हैं (हमारा उत्तर):

खैर, अंत में, सैकड़ों को अलग से जोड़ें। 632 के सैकड़े के स्थान में संख्या 6 होती है, और 264 के सैकड़े के स्थान पर संख्या 2 होती है। इसका अर्थ यह है कि 632 के सैकड़े के स्थान में छह सौ होते हैं, और 264 के सौ के स्थान पर दो सौ होते हैं। 6 और 2 शतक जोड़ें, हमें 8 शतक मिलते हैं। हम सैकड़ों नई संख्या (हमारा उत्तर) के स्थान पर संख्या 8 लिखते हैं:

इस प्रकार, यदि आप संख्या 632 में 264 जोड़ते हैं, तो आपको 896 प्राप्त होते हैं। बेशक, आप ऐसी अभिव्यक्ति की गणना तेजी से करेंगे और अन्य लोग आपकी क्षमताओं पर आश्चर्य करना शुरू कर देंगे। वे सोचेंगे कि आप बड़ी संख्या की गणना जल्दी कर रहे हैं, लेकिन आप वास्तव में छोटी संख्याओं की गणना कर रहे हैं। सहमत हूं कि बड़ी संख्याओं की तुलना में छोटी संख्याओं की गणना करना आसान होता है।

निर्वहन अतिप्रवाह

एक बिट को 0 से 9 तक एक अंक की विशेषता होती है। लेकिन कभी-कभी, समाधान के बीच में एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति की गणना करते समय, थोड़ा अतिप्रवाह हो सकता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 32 और 14 को जोड़ने से अतिप्रवाह नहीं होता है। इन संख्याओं में से एक को जोड़ने पर नई संख्या में 6 इकाईयाँ प्राप्त होंगी। और इन संख्याओं के दहाई का योग नई संख्याओं में 4 दहाई देगा। उत्तर है 46 या छह वाले और चार दहाई।

लेकिन जब संख्या 29 और 13 जोड़ दी जाती है, तो एक अतिप्रवाह होगा। इन संख्याओं के योगफल से 12 इकाई प्राप्त होती है और दहाई का योग 3 दहाई होता है। यदि आप प्राप्त 12 इकाइयों को इकाइयों की श्रेणी में नई संख्या में लिखते हैं, और प्राप्त 3 दहाई को दहाई की श्रेणी में लिखते हैं, तो आपको एक त्रुटि मिलती है:

व्यंजक 29 + 13 42 है, 312 नहीं। यदि आप अतिप्रवाह करते हैं तो आपको क्या करना चाहिए? हमारे मामले में, अतिप्रवाह नए नंबर वाले लोगों की श्रेणी में हुआ। नौ और तीन इकाइयों को जोड़ने के साथ, हमारे पास 12 इकाइयाँ हैं। और इकाई के स्थान पर केवल 0 से 9 तक की संख्याएँ ही लिखी जा सकती हैं।

तथ्य यह है कि 12 इकाइयां आसान नहीं हैं। "बारह इकाइयां" ... दूसरे तरीके से, इस संख्या को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो वाले और एक दर्जन" ... इट्स प्लेस केवल अपनों के लिए है। दसियों के लिए कोई जगह नहीं है। यहीं हमारी भूल है। 9 इकाइयाँ और 3 इकाइयाँ जोड़ने पर, हमें 12 इकाइयाँ मिलीं, जिन्हें दूसरे तरीके से दो इकाइयाँ और एक दस कहा जा सकता है। एक जगह दो और एक दहाई लिख कर हमने एक गलती की, जिसके कारण अंतत: गलत उत्तर मिला।

स्थिति को सुधारने के लिए, दो इकाइयों को नई संख्या की इकाइयों की श्रेणी में लिखा जाना चाहिए, और शेष दस को दसियों के अगले अंक में स्थानांतरित किया जाना चाहिए। दो दहाई और एक दहाई को जोड़ने के बाद, हम प्राप्त परिणाम में जोड़ देंगे जो दसियों को जोड़ने के बाद बचा था।

इसलिए, 12 इकाइयों में से, हम दो इकाइयों को एक नई संख्या की इकाइयों की श्रेणी में लिखते हैं, और एक दस को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं।

जैसा कि आप चित्र में देख सकते हैं, हमने 12 इकाइयों को 1 दर्जन और 2 इकाइयों के रूप में प्रस्तुत किया। हमने दो इकाइयों को नए नंबर की इकाइयों की श्रेणी में दर्ज किया। और एक दर्जन को दसियों के रैंक में स्थानांतरित कर दिया गया। हम दहाई संख्या 29 और 13 को जोड़ने के परिणाम में इस दस को जोड़ देंगे। इसे न भूलने के लिए, हमने इसे संख्या 29 के दहाई के ऊपर अंकित किया।

तो, दसियों को जोड़ें। दो दहाई जमा एक दस तीन दहाई, जमा एक दस होगा, जो पिछले जोड़ से बचा हुआ है। परिणामस्वरूप, दहाई के स्थान पर हमें चार दहाई प्राप्त होते हैं:

उदाहरण 2... अंकों के ऊपर संख्या 862 और 372 जोड़ें।

हम इकाई श्रेणी से शुरू करते हैं। संख्या 862 के इकाई के स्थान पर संख्या 2 है, संख्या 372 के इकाई के स्थान पर - संख्या 2 भी है। इसका अर्थ है कि संख्या 862 के इकाई के स्थान पर दो और संख्या 372 के इकाई के स्थान पर होती है। दो वाले भी शामिल हैं। 2 इकाइयाँ और 2 इकाइयाँ जोड़ें - हमें 4 इकाइयाँ मिलती हैं। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 4 लिखते हैं:

अगला, दसियों जोड़ें। 862 के दहाई के अंक में संख्या 6 है, और 372 के दहाई के अंक में 7 है। इसका मतलब है कि 862 के दहाई के अंक में छह दहाई और 372 के दहाई के अंक में सात दहाई हैं। हम 6 दहाई और 7 दहाई जोड़ते हैं - हमें 13 दहाई मिलते हैं। डिस्चार्ज ओवरफ्लो हुआ है। 13 दर्जन एक दर्जन 13 बार दोहराया गया है। और अगर आप टॉप टेन को 13 बार दोहराते हैं, तो आपको 130 . का नंबर मिलता है

10 × 13 = 130

130 की संख्या को तीन दहाई और एक सौ में विभाजित किया गया है। हम नई संख्या के दहाई के स्थान पर तीन दहाई लिखेंगे, और एक सौ अगले को भेजेंगे:

जैसा कि आप चित्र में देख सकते हैं, 13 दहाई (संख्या 130) हमने 1 सौ 3 दहाई के रूप में प्रस्तुत किया। हमने नई संख्या के दहाई के स्थान पर तीन दर्जन लिख दिए। और एक सौ को सैकड़ों की श्रेणी में स्थानान्तरित कर दिया गया। हम इस सौ को सैकड़ों संख्याओं 862 और 372 को जोड़ने के परिणाम में जोड़ देंगे। इसके बारे में न भूलने के लिए, हमने इसे संख्या 862 के सैकड़ों के ऊपर अंकित किया।

तो सैकड़ों जोड़ें। आठ सौ जमा तीन सौ, पिछले जोड़ से बचा हुआ ग्यारह सौ जमा एक सौ होगा। परिणामस्वरूप, सैकड़ों की श्रेणी में, हमें बारह सौ मिलते हैं:

यहां भी सैकड़ों ओवरफ्लो होते हैं, लेकिन समाधान पूरा होने के बाद से कोई त्रुटि नहीं होती है। यदि आप चाहें, तो 12 शतकों के साथ, आप वही क्रियाएँ कर सकते हैं जो हमने 13 दहाई के साथ की थीं।

12 सौ सौ है, 12 बार दोहराया गया। और अगर आप एक सौ 12 बार दोहराते हैं, तो आपको 1200 . मिलते हैं

100 × 12 = 1200

1200 की संख्या में दो सौ एक हजार। दो सौ नई संख्या के सैकड़ों की श्रेणी में दर्ज किए जाते हैं, और एक हजार को हजारों की श्रेणी में स्थानांतरित किया जाता है।

अब आइए घटाव के उदाहरण देखें। सबसे पहले, आइए याद करें कि घटाव क्या है। यह एक ऑपरेशन है जो आपको एक संख्या से दूसरे को घटाने की अनुमति देता है। घटाव के होते हैं तीन पैरामीटर: घटा, घटा और अंतर। आपको अंकों से घटाना भी है।

उदाहरण 3... 65 में से 12 घटाएं।

हम इकाई श्रेणी से शुरू करते हैं। इकाई में 65 के स्थान पर 5 अंक है, इकाई के स्थान पर 12 है - संख्या 2। इसका अर्थ है कि 65 के इकाई के स्थान पर पांच और इकाई के स्थान पर 12 हैं। पांच इकाइयों में से दो इकाइयों को घटाने पर हमें तीन इकाइयाँ प्राप्त होती हैं। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 3 लिखते हैं:

अब दसियों को घटाते हैं। 65 के दहाई के स्थान पर संख्या 6 है, दहाई के स्थान पर 12 की संख्या 1 है। इसका अर्थ है कि 65 के दहाई के स्थान में छह दहाई हैं, और 12 के दहाई के स्थान में एक दहाई है। छह दर्जन में से एक दर्जन को घटाने पर हमें पांच दर्जन मिलते हैं। हम संख्या 5 को नई संख्या के दहाई के स्थान पर लिखते हैं:

उदाहरण 4... 32 . में से 15 घटाएं

32 के इकाई के स्थान में दो हैं, और इकाई के स्थान पर 15 में पाँच हैं। आप दो इकाइयों में से पांच इकाइयों को घटा नहीं सकते, क्योंकि दो इकाइयां पांच इकाइयों से कम हैं।

आइए 32 सेबों को समूहित करें ताकि पहले समूह में तीन दर्जन सेब हों, और दूसरे में शेष दो सेब इकाइयाँ हों:

तो, हमें इन 32 सेबों में से 15 सेबों को घटाना है, यानी पांच इकाइयों और एक दर्जन सेबों को घटाना है। और श्रेणी के अनुसार घटाएं।

सेब की दो इकाइयों में से पांच सेब नहीं घटाए जा सकते। घटाव करने के लिए, दो इकाइयों को एक पड़ोसी समूह (दहाई के स्थान) से कई सेब लेने होंगे। लेकिन आप जितना चाहें उतना नहीं ले सकते, क्योंकि दर्जनों को सख्ती से दस का आदेश दिया जाता है। दहाई का स्थान दो इकाई केवल एक पूर्ण दस दे सकता है।

इसलिए, हम दहाई में से एक दस लेते हैं और इसे दो इकाइयों को देते हैं:

सेब की दो इकाइयों में अब एक दर्जन सेब शामिल हो गए हैं। यह सेब की 12 इकाइयाँ निकलती है। और बारह में से आप पांच घटा सकते हैं, आपको सात मिलते हैं। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 7 लिखते हैं:

अब दसियों को घटाते हैं। चूंकि दहाई के रैंक ने इकाइयाँ एक दर्जन दीं, अब इसमें तीन नहीं, बल्कि दो दहाई हैं। इसलिए, हम एक दर्जन को दो दहाई में से घटाते हैं। एक दर्जन बचे रहेंगे। हम संख्या 1 को नई संख्या के दहाई के स्थान पर लिखते हैं:

यह न भूलने के लिए कि किसी श्रेणी में एक दर्जन (या सौ या एक हजार) लिया गया था, इस श्रेणी के ऊपर पूर्ण विराम लगाने की प्रथा है।

उदाहरण 5... 286 को 653 . से घटाएं

653 के इकाई के स्थान में तीन हैं, और 286 के इकाई के स्थान में छह हैं। तीन इकाइयों में से छह इकाई नहीं घटाई जा सकती, इसलिए हम दहाई के स्थान से एक दस लेते हैं। हम दहाई के स्थान के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं यह याद रखने के लिए कि हमने वहाँ से एक दस लिया था:

एक दर्जन और तीन इकाइयों को मिलाकर तेरह इकाइयाँ बनती हैं। तेरह इकाइयों में से, सात इकाइयों को बनाने के लिए छह इकाइयों को घटाया जा सकता है। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 7 लिखते हैं:

अब दसियों को घटाते हैं। पहले, 653 के दहाई के स्थान में पाँच दहाई होते थे, लेकिन हमने इससे दस लिया, और अब दहाई के स्थान में चार दहाई हैं। आठ दहाई को चार दर्जन में से नहीं घटाया जा सकता, इसलिए हम सौ के स्थान से एक सौ लेते हैं। हम यह याद रखने के लिए सैकड़ों के स्थान पर एक बिंदु लगाते हैं कि हमने वहां से एक सौ लिया था:

एक सौ चार दहाई को मिलाकर चौदह दहाई बनते हैं। चौदह दहाई में से आप आठ दहाई घटा सकते हैं, आपको 6 दहाई मिलते हैं। हम संख्या 6 को नई संख्या के दहाई के स्थान पर लिखते हैं:

अब सैकड़ों घटाएं। पहले, संख्या 653 के सैकड़ों स्थान में छह सौ होते थे, लेकिन हमने उसमें से एक सौ लिया, और अब सौ के स्थान में पाँच सौ होते हैं। पांच सौ में से आप दो सौ घटा सकते हैं, यह तीन सौ निकलता है। हम नई संख्या के सैकड़ों के स्थान पर संख्या 3 लिखते हैं:

100, 200, 300, 1000, 10000 जैसी संख्याओं में से घटाना कहीं अधिक कठिन है। यानी अंत में शून्य वाली संख्याएँ। घटाव करने के लिए प्रत्येक अंक को अगले अंक का दहाई/सैकड़ा/हजारों लेना होता है। आइए देखें कि ऐसा कैसे होता है।

उदाहरण 6

200 के इकाई के स्थान में शून्य वाले होते हैं, और 84 के इकाई के स्थान में चार होते हैं। चार इकाइयों को शून्य से घटाया नहीं जा सकता है, इसलिए हम दहाई के स्थान से एक दस लेते हैं। हम दहाई के स्थान के ऊपर एक बिंदु लगाते हैं यह याद रखने के लिए कि हमने वहाँ से एक दस लिया था:

लेकिन दहाई की श्रेणी में कोई दहाई नहीं है जिसे हम ले सकते हैं, क्योंकि वहां भी शून्य है। दसियों की रैंक हमें एक दर्जन देने के लिए, हमें इसके लिए सैकड़ों में से एक सौ लेना होगा। हम यह याद रखने के लिए सैकड़ों के स्थान पर एक बिंदु लगाते हैं कि हमने वहां से दहाई के स्थान के लिए एक सौ लिया था:

लिया एक सौ दस दर्जन है। इन दस दहाई में से हम एक दस लेते हैं और कुछ को देते हैं। यह एक दस लेता है और पिछले शून्य वाले मिलकर दस बनाते हैं। दस इकाइयों से, आप चार इकाइयों को घटा सकते हैं, आपको छह इकाइयाँ मिलती हैं। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 6 लिखते हैं:

अब दसियों को घटाते हैं। इकाइयों को घटाने के लिए हम एक दहाई के बाद दहाई के स्थान की ओर मुड़े, लेकिन उस समय यह स्थान खाली था। ताकि दहाई की रैंक हमें एक दर्जन दे सके, हमने सौ की रैंक से एक सौ लिया। हमने इसका नाम सौ . रखा है "दस दर्जन" ... हमने कुछ को एक दर्जन दिया। इसका मतलब है कि फिलहाल दहाई की श्रेणी में दस नहीं, बल्कि नौ दहाई हैं। नौ दहाई में से आप आठ दहाई घटा सकते हैं, आपको एक दस मिलता है। हम संख्या 1 को नई संख्या के दहाई के स्थान पर लिखते हैं:

अब सैकड़ों घटाएं। दहाई की श्रेणी के लिए, हमने सैकड़ों की श्रेणी से एक सौ लिया। इसका मतलब है कि अब सैकड़ों की श्रेणी में दो सौ नहीं, बल्कि एक होता है। चूँकि घटाव में कोई सैकड़ा स्थान नहीं होता है, इसलिए हम इस एक सौ को नई संख्या के सौ के स्थान पर स्थानांतरित करते हैं:

स्वाभाविक रूप से, घटाव को इस तरह से करें पारंपरिक तरीकाकाफी मुश्किल, खासकर पहली बार में। घटाव के सिद्धांत को समझने के बाद, आप गैर-मानक विधियों का उपयोग कर सकते हैं।

पहला तरीका शून्य से समाप्त होने वाली संख्या को एक से कम करना है। अगला, प्राप्त परिणाम से घटाया घटाएं और परिणामी अंतर में इकाई जोड़ें, जिसे मूल रूप से घटाया गया था। आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें:

यहां घटाई जाने वाली संख्या 200 है। आइए इस संख्या को एक से घटाएं। यदि आप 200 में से 1 घटाते हैं, तो आपको 199 मिलता है। अब, उदाहरण 200 - 84 में, संख्या 200 के बजाय, हम संख्या 199 लिखते हैं और उदाहरण 199 - 84 को हल करते हैं। और इस उदाहरण का समाधान मुश्किल नहीं है। इकाइयों से इकाइयाँ घटाएँ, दहाई से दहाई, और बस एक सौ को एक नई संख्या में स्थानांतरित करें, क्योंकि संख्या 84 में कोई सैकड़ों नहीं हैं।

हमें उत्तर 115 प्राप्त हुआ। अब हम इस उत्तर में उस इकाई को जोड़ते हैं जिसे हमने मूल रूप से संख्या 200 . से घटाया था

अंतिम उत्तर 116 था।

उदाहरण 7... 91899 को 100000 . से घटाएं

100000 में से एक घटाएं, हमें 99999 मिलता है

अब 91899 को 99999 से घटाएं

प्राप्त परिणाम 8100 में हम इकाई जोड़ते हैं, जिसे हमने 100000 . से घटाया है

अंतिम उत्तर 8101 था।

घटाव की दूसरी विधि अंक में अंक को एक स्वतंत्र संख्या के रूप में मानना ​​है। आइए कुछ उदाहरणों को इस तरह से हल करते हैं।

उदाहरण 8... 75 . में से 36 घटाएं

तो, संख्या 75 की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 5 है, और संख्या 36 की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 6 है। आप पांच से छह घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हम दसियों की श्रेणी में अगली संख्या से एक इकाई लेते हैं। .

दहाई के स्थान पर संख्या 7 है। इस संख्या में से एक इकाई लें और मानसिक रूप से इसे संख्या 5 के बाईं ओर जोड़ दें

और चूंकि संख्या 7 से एक इकाई ली जाती है, तो यह संख्या एक इकाई घट जाएगी और संख्या 6 . हो जाएगी

अब संख्या 75 की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 15 है, और संख्या 36 संख्या 6 की इकाइयों की श्रेणी में है। 15 से आप 6 घटा सकते हैं, आपको 9 मिलता है। नई संख्या की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 9 लिखें। :

हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या की ओर बढ़ते हैं। पहले संख्या 7 थी, लेकिन हमने इस संख्या से एक इकाई ली, तो अब संख्या 6 है। और संख्या 36 के दहाई के स्थान पर संख्या 3 है। 6 से आप 3 घटा सकते हैं, आपको 3 मिलता है। नई संख्या के दहाई के स्थान पर संख्या 3 लिखिए :

उदाहरण 9... 200 . में से 84 घटाएं

तो, 200 के इकाई के स्थान पर शून्य होता है, और 84 के इकाई के स्थान पर चार होते हैं। शून्य में से चार नहीं घटाया जा सकता, इसलिए हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या में से एक इकाई लेते हैं। लेकिन दहाई के स्थान पर भी शून्य होता है। शून्य हमें एक नहीं दे सकता। इस मामले में, हम अगले के लिए संख्या 20 लेते हैं।

हम संख्या 20 से एक इकाई लेते हैं और मानसिक रूप से इसे शून्य के बाईं ओर जोड़ते हैं, जो कि इकाइयों की श्रेणी में है। और चूंकि संख्या 20 में से एक इकाई ली जाती है, यह संख्या 19 . में बदल जाएगी

अब इकाई के स्थान पर संख्या 10 है। दस घटा चार बराबर छह है। हम नई संख्या की इकाइयों के स्थान पर संख्या 6 लिखते हैं:

हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या की ओर बढ़ते हैं। पहले, एक शून्य था, लेकिन इस शून्य ने अगले अंक 2 के साथ मिलकर 20 की संख्या बनाई, जिससे हमने एक इकाई ली। नतीजतन, संख्या 20 संख्या 19 बन गई। यह पता चला है कि अब 200 के दहाई के स्थान पर संख्या 9 है, और 84 के दहाई के स्थान पर संख्या 8 है। नौ घटा आठ एक के बराबर है। हम अपने उत्तर के दहाई के स्थान पर संख्या 1 लिखते हैं:

सैकड़ों में अगले नंबर पर जा रहे हैं। पहले, संख्या 2 वहाँ स्थित थी, लेकिन हमने इस संख्या को संख्या 20 के लिए संख्या 0 के साथ लिया, जिससे हमने एक इकाई ली। नतीजतन, संख्या 20 संख्या 19 में बदल गई। यह पता चला है कि अब संख्या 1 संख्या 200 के सैकड़ों के स्थान पर स्थित है, और संख्या 84 में सैकड़ों की जगह खाली है, इसलिए हम इस इकाई को स्थानांतरित करते हैं एक नया नंबर:

यह विधि पहली बार में जटिल और अर्थहीन लग सकती है, लेकिन वास्तव में यह सबसे आसान है। हम मुख्य रूप से इसका उपयोग लंबी संख्याओं को जोड़ने और घटाने में करेंगे।

कॉलम फोल्ड

कॉलम जोड़ना एक स्कूल ऑपरेशन है जिसे बहुत से लोग याद करते हैं, लेकिन इसे फिर से याद करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। कॉलम जोड़ अंकों के संदर्भ में होता है - इकाइयों को इकाई के साथ जोड़ा जाता है, दसियों के साथ दहाई, सैकड़ों के साथ सैकड़ों, हजारों के साथ हजारों।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1... 61 और 23 जोड़ें।

पहले हम पहली संख्या और उसके नीचे दूसरी संख्या लिखते हैं ताकि दूसरी संख्या की इकाई और दहाई पहली संख्या की इकाई और दहाई के नीचे हो। हम यह सब जोड़ चिह्न (+) के साथ लंबवत रूप से जोड़ते हैं:

अब हम पहली संख्या की इकाइयों को दूसरी संख्या की इकाइयों के साथ जोड़ते हैं, और पहली संख्या के दसियों को दूसरी संख्या के दसियों के साथ जोड़ते हैं:

61 + 23 = 84 मिला।

उदाहरण 2। 108 और 60 . जोड़ें

अब हम पहली संख्या की इकाइयों को दूसरी संख्या की इकाइयों के साथ जोड़ते हैं, पहली संख्या के दसियों को दूसरी संख्या के दसियों के साथ, पहली संख्या के सैकड़ों को दूसरी संख्या के सैकड़ों के साथ जोड़ते हैं। लेकिन केवल पहली संख्या 108 में सौ होता है। इस स्थिति में, सौ के स्थान से अंक 1 को नई संख्या (हमारा उत्तर) में जोड़ा जाता है। जैसा कि उन्होंने स्कूल में कहा, यह "ध्वस्त" है:

यह देखा जा सकता है कि हमने अपने उत्तर में नंबर 1 को नीचे ले लिया है।

जब जोड़ की बात आती है, तो संख्याएं किस क्रम में लिखी जाती हैं, इसमें कोई अंतर नहीं है। हमारा उदाहरण इस तरह लिखा जा सकता था:

पहली प्रविष्टि, जहां संख्या 108 सबसे ऊपर थी, गणना करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। एक व्यक्ति को किसी भी रिकॉर्ड को चुनने का अधिकार है, लेकिन यह याद रखना अनिवार्य है कि इकाइयों को इकाइयों के तहत, दसियों के नीचे दहाई, सैकड़ों के तहत सैकड़ों लिखा जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित प्रविष्टियाँ गलत होंगी:

यदि अचानक, संबंधित अंकों को जोड़ते समय, आपको एक संख्या मिलती है जो नई संख्या के अंक में फिट नहीं होती है, तो आपको कम से कम महत्वपूर्ण अंक से एक अंक लिखना होगा, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित करना होगा।

भाषण में इस मामले मेंयह डिस्चार्ज ओवरफ्लो के बारे में है, जिसके बारे में हमने पहले बात की थी। उदाहरण के लिए, 26 और 98 को जोड़ने पर 124 बनता है। आइए देखें कि यह कैसे निकला।

हम एक कॉलम में नंबर लिखते हैं। इकाइयों के तहत इकाइयाँ, दहाई के तहत दहाई:

पहली संख्या की इकाइयों को दूसरी संख्या की इकाइयों के साथ जोड़ें: 6 + 8 = 14. हमें 14 नंबर मिला है, जो हमारे उत्तर की इकाइयों में फिट नहीं होगा। ऐसे मामलों में, हम पहले इकाई के स्थान पर 14 में से संख्या निकालते हैं और इसे अपने उत्तर के इकाई के स्थान पर लिख देते हैं। संख्या 14 की इकाइयों के अंक में संख्या 4 है। हम इस अंक को अपने उत्तर की इकाइयों के अंक में लिखते हैं:

और 14 में से 1 नंबर का क्या करें? मज़ा यहां शुरू होता है। हम इस इकाई को अगली श्रेणी में स्थानांतरित करते हैं। इसे हमारे उत्तर के दसियों भाग में जोड़ दिया जाएगा।

दहाई और दहाई जोड़ें। 2 जमा 9 11 के बराबर है, साथ ही हम उस इकाई को जोड़ते हैं जो हमें संख्या 14 से मिली थी। अपनी इकाई को 11 में जोड़ने पर हमें संख्या 12 मिलती है, जिसे हम अपने उत्तर के दहाई के स्थान पर लिखेंगे। चूंकि यह समाधान का अंत है, अब यह सवाल नहीं है कि प्राप्त उत्तर दहाई में फिट होगा या नहीं। 12 हम उसका पूरा उत्तर लिखते हैं, और अन्तिम उत्तर देते हैं।

उत्तर 124 था।

जोड़ने की पारंपरिक पद्धति का उपयोग करते हुए, 14 इकाइयों में 6 और 8 परिणाम जोड़ने पर। 14 इकाइयाँ 4 इकाइयाँ और 1 दर्जन हैं। हमने इकाई की श्रेणी में चार लिख दिए, और एक दस को अगली श्रेणी (दहाई के अंकों तक) में भेज दिया। फिर, 2 दहाई और 9 दहाई को जोड़ने पर, हमें 11 दहाई मिले, साथ ही हमने 1 दहाई को जोड़ा, जो दसियों को जोड़ने पर रह गया। नतीजतन, हमें 12 दर्जन मिले। हमने इन बारह दर्जन को उनकी संपूर्णता में लिखा, जिससे अंतिम उत्तर 124 बन गया।

यह सरल उदाहरण एक स्कूल की स्थिति को दर्शाता है जिसमें वे कहते हैं "हम चार लिखते हैं, एक दिमाग में" ... यदि आप उदाहरणों को हल करते हैं और अंकों को जोड़ने के बाद भी आपके पास एक संख्या है जिसे आपको ध्यान में रखने की आवश्यकता है, तो इसे उस अंक के ऊपर लिखें जहां इसे बाद में जोड़ा जाएगा। यह आपको इसके बारे में नहीं भूलने की अनुमति देगा:

उदाहरण 2... 784 और 548 जोड़ें

हम एक कॉलम में नंबर लिखते हैं। इकाई के नीचे इकाई, दहाई के नीचे दहाई, सैकड़ा के नीचे सैकड़ा:

पहली संख्या की इकाइयों को दूसरी की इकाइयों के साथ जोड़ें: 4 + 8 = 12। संख्या 12 हमारे उत्तर की इकाइयों में फिट नहीं होती है, इसलिए 12 से हम संख्या 2 को इकाइयों से निकालते हैं और इसे अपने उत्तर की इकाइयों में लिखते हैं। और हम नंबर 1 को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं:

अब दहाई जोड़ें। 8 और 4 प्लस जोड़ें जो पिछले ऑपरेशन से बना रहा (एक 12 से बना हुआ है, इस आंकड़े में इसे नीले रंग में हाइलाइट किया गया है)। 8 + 4 + 1 = 13 जोड़ें। संख्या 13 हमारे उत्तर के दहाई के स्थान में फिट नहीं होगी, इसलिए हम संख्या 3 को दहाई के स्थान पर लिखेंगे, और एक को अगले स्थान पर ले जाएंगे:

अब सैकड़ों जोड़ें। पिछले ऑपरेशन से बचा हुआ 7 और 5 प्लस वन जोड़ें: 7 + 5 + 1 = 13. हम सैंकड़ों के स्थान पर संख्या 13 लिखते हैं:

कॉलम घटाव

उदाहरण 1... 69 की संख्या से 53 घटाएं।

आइए एक कॉलम में नंबर लिख लें। इकाई के नीचे इकाई, दहाई के नीचे दहाई। फिर हम अंकों से घटाते हैं। पहली संख्या की इकाइयों से दूसरी संख्या की इकाइयों को घटाएं। पहली संख्या के दहाई में से दूसरी संख्या का दहाई घटाएं:

उत्तर 16 था।

उदाहरण 2।व्यंजक 95 - 26 . का मान ज्ञात कीजिए

इकाई के स्थान पर 95 में 5 हैं, और इकाई के स्थान पर 26 में 6 हैं। आप पांच इकाइयों में से छह इकाइयों को घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हम दहाई के स्थान से एक दस लेते हैं। यह दस और उपलब्ध पाँच इकाइयाँ मिलकर 15 इकाइयाँ बनाती हैं। 15 इकाइयों से, आप 6 इकाइयों को घटा सकते हैं, आपको 9 इकाइयां मिलती हैं। हम अपने उत्तर की इकाइयों के अंक में संख्या 9 लिखते हैं:

अब दसियों को घटाते हैं। संख्या 95 के दहाई के अंक में 9 दहाई होते थे, लेकिन हमने इस अंक से एक दहाई लिया और अब इसमें 8 दहाई हैं। और दहाई के स्थान पर 26 में 2 दहाई हैं। आठ दर्जन में से आप दो दर्जन घटा सकते हैं, आपको छह दर्जन मिलते हैं। हम अपने उत्तर के दहाई के स्थान पर संख्या 6 लिखते हैं:

आइए उपयोग करते हैं जिसमें संख्या में शामिल प्रत्येक अंक को एक अलग संख्या माना जाता है। घटाते समय बड़ी संख्याएक कॉलम में, यह विधि बहुत सुविधाजनक है।

घटाई जाने वाली इकाइयों की श्रेणी में, संख्या 5 है। और घटाई गई संख्या 6 की इकाइयों की श्रेणी में, आप पांच में से छह को नहीं घटा सकते। इसलिए, हम संख्या 9 से एक इकाई लेते हैं। ली गई इकाई को मानसिक रूप से पांच के बाईं ओर जोड़ा जाता है। और जब से हमने संख्या 9 से एक इकाई ली है, यह संख्या एक इकाई घट जाएगी:

नतीजतन, पांच संख्या 15 में बदल जाती है। अब आप 15 में से 6 घटा सकते हैं। यह 9 निकलता है। हम अपने उत्तर की इकाइयों के अंक में संख्या 9 लिखते हैं:

दहाई की ओर बढ़ते हुए। पहले, संख्या 9 थी, लेकिन चूंकि हमने इसमें से एक इकाई ली, यह संख्या 8 में बदल गई। दूसरी संख्या के दहाई के स्थान पर संख्या 2 है। आठ घटा दो छह है। हम अपने उत्तर के दहाई के स्थान पर संख्या 6 लिखते हैं:

उदाहरण 3.व्यंजक 2412 - 2317 . का मान ज्ञात कीजिए

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

संख्या 2412 की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 2 है, और संख्या 2317 की इकाइयों की श्रेणी में संख्या 7 है। आप दो से सात घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हम इकाई को अगले नंबर 1 से लेते हैं। हम ली गई इकाई को जोड़ते हैं दोनों के बाईं ओर:

नतीजतन, दोनों संख्या 12 में बदल जाते हैं। अब आप 7 घटा सकते हैं। 12 से यह 5 निकलता है। हम अपने उत्तर के अंकों के अंक में संख्या 5 लिखते हैं:

दहाई की ओर बढ़ते हुए। 2412 के दहाई के स्थान पर संख्या 1 हुआ करती थी, लेकिन चूँकि हमने उसमें से एक इकाई ली थी, वह 0 में बदल गई। और दहाई के स्थान पर 2317 की संख्या 1 है। आप एक को शून्य से घटा नहीं सकते। इसलिए, हम अगली संख्या 4 से एक इकाई लेते हैं। मानसिक रूप से ली गई इकाई को हम शून्य के बाईं ओर जोड़ते हैं। और चूंकि हमने संख्या 4 से एक इकाई ली है, यह संख्या एक इकाई घट जाएगी:

नतीजतन, शून्य संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10 में से 1 घटा सकते हैं। यह 9 निकलता है। हम अपने उत्तर के दहाई के स्थान पर संख्या 9 लिखते हैं:

2412 के सैकड़े के स्थान पर संख्या 4 होती थी, लेकिन अब संख्या 3 है। 2317 के सैकड़े के स्थान में भी संख्या 3 है। तीन घटा तीन, शून्य के बराबर है। वही दोनों संख्याओं में हजार स्थानों के साथ है। दो घटा दो शून्य है. और यदि सबसे महत्वपूर्ण अंकों का अंतर शून्य है, तो यह शून्य दर्ज नहीं किया जाता है। इसलिए, अंतिम उत्तर संख्या 95 होगी।

उदाहरण 4... व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 600 - 8

संख्या 600 के इकाई के स्थान पर शून्य होता है, और अंक 8 के इकाई के स्थान पर यह संख्या ही होती है। आठ को शून्य से घटाना संभव नहीं है, इसलिए हम अगली संख्या में से एक लेते हैं। लेकिन अगली संख्या भी शून्य है। फिर हम अगली संख्या के लिए संख्या 60 लेते हैं।हम इस संख्या से एक इकाई लेते हैं और मानसिक रूप से इसे शून्य के बाईं ओर जोड़ते हैं। और जब से हमने संख्या 60 से एक इकाई ली है, यह संख्या एक इकाई से घट जाएगी:

अब संख्या 10 इकाई के स्थान पर है। 10 में से आप 8 घटा सकते हैं, आपको 2 प्राप्त होता है। हम नई संख्या के इकाई के स्थान पर संख्या 2 लिखते हैं:

हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या की ओर बढ़ते हैं। दहाई के स्थान पर शून्य हुआ करता था, लेकिन अब संख्या 9 है, और दूसरी संख्या में दहाई नहीं है। इसलिए, संख्या 9 को स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि यह नए नंबर पर है:

सैकड़ों के स्थान पर अगले नंबर पर जा रहे हैं। सैकड़ों का स्थान 6 अंक हुआ करता था, लेकिन अब संख्या 5 है, और दूसरे अंक में सैकड़ों का स्थान नहीं है। इसलिए, संख्या 5 को स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि यह नई संख्या में है:

उदाहरण 5.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 10000 - 999

आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें:

इकाई में 10000 का स्थान 0 है, और इकाई के स्थान पर 999 का अंक 9 है। आप शून्य से नौ नहीं घटा सकते, इसलिए हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या से एक इकाई लेते हैं। लेकिन अगला अंक भी शून्य है। फिर हम अगली संख्या के लिए 1000 लेते हैं और इस संख्या में से एक लेते हैं:

इस मामले में अगली संख्या 1000 थी। इसमें से एक को लेकर, हमने इसे 999 की संख्या में बदल दिया। और ली गई इकाई को शून्य के बाईं ओर जोड़ दिया गया।

आगे की गणना मुश्किल नहीं थी। दस माइनस नौ बराबर एक। दोनों संख्याओं के दहाई के स्थान पर संख्याओं को घटाने पर शून्य प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं के सैकड़ों के स्थान पर संख्याओं को घटाने पर भी शून्य प्राप्त होता है। और हजारों की श्रेणी से नौ को एक नए नंबर पर स्थानांतरित कर दिया गया:

उदाहरण 6... व्यंजक 12301 - 9046 . का मान ज्ञात कीजिए

आइए इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखें:

संख्या 1 इकाई वर्ग 12301 में स्थित है, और संख्या 6 इकाई श्रेणी 9046 में स्थित है। आप एक से छह घटा नहीं सकते, इसलिए हम दहाई के स्थान पर अगली संख्या से एक इकाई लेते हैं। लेकिन अगला बिट शून्य है। शून्य हमें कुछ नहीं दे सकता। फिर हम अगली संख्या के लिए 1230 लेते हैं और इस संख्या में से एक लेते हैं:

इस पाठ की सहायता से हम गणनीय पदों की श्रेणियों का पता लगाएंगे। सबसे पहले, गिनती इकाइयों के अनुपात को दोहराएं। आइए याद करें कि डिस्चार्ज क्या हैं, किस श्रेणी में सैकड़ों, दहाई और एक हैं। हम कई अलग हल करेंगे और दिलचस्प कार्यसामग्री को ठीक करने के लिए। इस पाठ के बाद, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि तीन अंकों की संख्या में किस श्रेणी में इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों शामिल हैं। आप लंबाई इकाइयों को आसानी से छोटे या बड़े मानों में भी बदल सकते हैं। एक मिनट बर्बाद मत करो। आगे बढ़ें - नए क्षितिज सीखें और समझें!

संख्या लिखते समय, प्रत्येक गणना इकाई को उसके स्थान पर दर्ज किया जाता है (तालिका 1)।

तालिका 1. तीन अंकों की संख्या लिखना

अंक पहले अंक से शुरू होकर दाएं से बाएं ओर गिने जाते हैं - वाले। दूसरी श्रेणी दसियों की है। और तीसरी श्रेणी सैकड़ों की है।

अबेकस में जमा संख्याएँ लिखिए (चित्र 2, 3, 4) और उन्हें पढ़िए।

चावल। 2. अंक

चावल। 4. अंक

चावल। 3. संख्याएं

समाधान: 1. सात यूनिट, दो दहाई और तीन सौ खातों में जमा किए जाते हैं। यह संख्या तीन सौ सत्ताईस निकलती है।

2. अगली संख्या (चित्र 3) में, कोई इकाई नहीं है। अगर जगह नहीं है तो जीरो लगा सकते हैं। पूरी संख्या तीन सौ बीस है।

3. चित्र 4 में, सात इकाइयाँ हैं, कोई दहाई और तीन सौ नहीं हैं। संख्या तीन सौ सात निकली।

2. दूसरा आकार पांच सौ चालीस सेंटीमीटर है। इस संख्या में, 5 सौ - 5 मीटर और 4 दर्जन - 4 डीएम, और कोई इकाइयाँ नहीं हैं, इसलिए सेंटीमीटर नहीं होंगे।

540 सेमी = 5 मीटर 4 डीएम

3. छियासी मिलीमीटर। एक सेंटीमीटर में दस मिलीमीटर होते हैं, यानी यह मान आठ सेंटीमीटर और छह मिलीमीटर होगा।

86 मिमी = 8 सेमी 6 मिमी

4. अंतिम संख्या (42 डीएम) में चार दहाई दिखाई देती है और ज्ञात होता है कि 1 मीटर - 10 डीएम में।

42 डीएम = 4 मीटर 2 डीएम

इन मात्राओं को छोटी इकाइयों में व्यक्त करें:

2.2 डीएम 8 मिमी

समाधान: 1. समस्या को हल करने के लिए, आइए चित्र 5 का उपयोग करें, जो लंबाई की इकाइयों के बीच संबंध को दर्शाता है।

1 मीटर 75 सेमी = 175 सेमी

2. चलिए दूसरे नंबर का अनुवाद करते हैं।

2 डीएम 8 मिमी = 208 मिमी

ग्रन्थसूची

1. गणित। ग्रेड 3। पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्था के साथ adj. इलेक्ट्रॉन को। वाहक। 2 बजे, भाग 1 / [एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा, जी.वी. Beltyukova और अन्य] - दूसरा संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2012।-- 112 पी।: बीमार। - (रूस का स्कूल)।
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होम वर्क

1. गणित। ग्रेड 3। पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए। संस्था के साथ adj. इलेक्ट्रॉन को। वाहक। 2 बजे, भाग 2 / [एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा, जी.वी. Beltyukova और अन्य] - दूसरा संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2012।, पीपी। 44, 45 नंबर 1-7।
2. मिलीमीटर में व्यक्त करें

1. दूसरे दस (बीस) की संख्या।

2. पहले सौ की संख्या।

3. पहले हजार की संख्या।

4. बहु-अंकीय संख्याएँ।

5. संख्या प्रणाली।

1. दूसरे दस (बीस के दशक) की संख्या

दूसरे दस (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) की संख्याएँ दो अंकों की संख्याएँ हैं।

दो अंकों की संख्या को रिकॉर्ड करने के लिए दो अंकों का उपयोग किया जाता है। दो अंकों की किसी संख्या के अभिलेख में दायीं ओर का पहला अंक इकाई के पहले अंक या अंक का अंक कहलाता है, दायीं ओर का दूसरा अंक दूसरे अंक या दहाई के अंक का अंक होता है।

गणित की सभी पाठ्यपुस्तकों में दूसरे दस नंबर प्राथमिक ग्रेडअन्य दो अंकों की संख्याओं से अलग माना जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दूसरी दस संख्याओं के नाम उनके लिखे जाने के तरीके के विपरीत हैं। इसलिए, कई बच्चे कुछ समय के लिए दूसरे दस की संख्या में संख्या लिखने के क्रम को भ्रमित करते हैं, हालांकि उन्हें सही ढंग से कहा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, कान से संख्या 12 (दो-बार-बारह) रिकॉर्ड करते समय, बच्चा पहले शब्द के रूप में "दो (ए)" सुनता है, इसलिए वह इस क्रम में संख्या 21 लिख सकता है, लेकिन इस रिकॉर्ड को "बारह" के रूप में पढ़ सकता है। "

दो अंकों की संख्या के विचार का गठन "श्रेणी" की अवधारणा पर आधारित है।

दशमलव संख्या प्रणाली में स्थान की अवधारणा बुनियादी है। एक अंक एक स्थितित्मक संख्या प्रणाली में एक संख्या रिकॉर्डिंग में एक विशिष्ट स्थान के रूप में समझा जाता है (एक अंक एक संख्या रिकॉर्डिंग में एक अंक की स्थिति है)।

इस प्रणाली में प्रत्येक स्थिति का अपना नाम और अपना पारंपरिक अर्थ होता है: दाईं ओर पहली स्थिति में संख्या का अर्थ है संख्या में इकाइयों की संख्या; दायीं ओर से दूसरे स्थान पर संख्या का अर्थ है संख्या में दहाई की संख्या आदि।

1 से 9 तक की संख्याओं को सार्थक तथा शून्य को महत्वहीन कहा जाता है। इसके अलावा, दो अंकों और अन्य बहु-अंकीय संख्याओं को रिकॉर्ड करने में इसकी भूमिका बहुत महत्वपूर्ण है: दो अंकों (आदि) संख्या में शून्य का अर्थ है कि संख्या में शून्य द्वारा निर्दिष्ट अंक होता है, लेकिन महत्वपूर्ण अंकयह नहीं है, अर्थात्, संख्या 20 में दाईं ओर एक शून्य की उपस्थिति का अर्थ है कि संख्या 2 को दहाई के प्रतीक के रूप में माना जाना चाहिए, और संख्या में केवल दो पूर्ण दहाई हैं; रिकॉर्ड 23 का अर्थ होगा कि 2 पूर्ण दहाई के अतिरिक्त, संख्या में पूर्ण दहाई के अतिरिक्त 3 और इकाइयाँ हैं।

"रैंक" की अवधारणा नंबरिंग का अध्ययन करने की प्रणाली में एक बड़ी भूमिका निभाती है, और यह जोड़ और घटाव के तथाकथित "नंबरिंग" मामलों में महारत हासिल करने का आधार भी है, जिसमें क्रियाएं पूरे अंकों में की जाती हैं:

27 - 20 365 - 300

संख्याओं में अंकों को पहचानने और हाइलाइट करने की क्षमता अंकों को अंकों के पदों में विघटित करने की क्षमता का आधार है: 34 = 30 + 4।

दूसरे दस की संख्या के लिए, "बिट रचना" की अवधारणा "दशमलव रचना" की अवधारणा के साथ मेल खाती है। एक दर्जन से अधिक वाली दो अंकों की संख्याओं के लिए - ये अवधारणाएँ मेल नहीं खाती हैं। संख्या 34 के लिए, दशमलव रचना 3 दहाई और 4 इकाई है। संख्या 340 के लिए, बिट रचना 300 और 40 है, और दशमलव 34 दहाई है।

दूसरे दस (11-20) की संख्या के साथ उनके गठन की विधि और संख्याओं के नाम के साथ परिचित होना शुरू करना सुविधाजनक है, इसके साथ पहले लाठी पर एक मॉडल के साथ, और फिर मॉडल के अनुसार संख्या को पढ़ना:

इस मामले में दो अंकों की संख्याओं के नाम याद रखना उन बच्चों के लिए मुश्किल नहीं होगा, जिनका रिकॉर्ड नाम के विपरीत है: 11, 13,17। (वास्तव में, यूरोपीय लिपियों में इन संख्याओं के नाम पर बाएं से दाएं पढ़ने की परंपरा के अनुसार, पहले दसियों की संख्या, और फिर की संख्या!) नियुक्ति द्वारा सुनना और पढ़ना। इस मामले में प्रतीकवाद का प्रारंभिक परिचय दूसरे दस में संख्याओं के नामों को याद रखने और उनकी संरचना को समझने के लिए नकारात्मक भूमिका निभाता है। दो अंकों की संख्या की संरचना की सही समझ बनाने के लिए, आपको हमेशा दहाई को बाईं ओर और एक को दाईं ओर रखना चाहिए। इस प्रकार, बच्चा विशेष वर्बोज़ के बिना और हमेशा स्पष्ट स्पष्टीकरण के बिना, आंतरिक विमान में अवधारणा की सही छवि को ठीक करेगा।

अगले चरण में, हम बच्चे को भौतिक मॉडल और प्रतीकात्मक रिकॉर्ड के बीच एक संबंध प्रदान करते हैं:

एक-बीस-तीन-बीस-सात-बीस

फिर हम ग्राफिक मॉडल और ग्राफिक मॉडल के अनुसार संख्याओं को पढ़ने के लिए आगे बढ़ते हैं:

और फिर दूसरे दस में संख्याओं की बिट संरचना का एक प्रतीकात्मक रिकॉर्ड:

भविष्य में, स्कूल डिस्चार्ज की अवधारणा का परिचय देता है और बच्चों को "डिस्चार्ज टर्म्स" की अवधारणा से परिचित कराता है:

37 = 30 + 7; 624 = 600 + 20 + 4.

सभी दो-अंकीय संख्याओं से परिचित होने के लिए एक अंक के बजाय एक दशमलव मॉडल का उपयोग, "अंक" की अवधारणा को पेश किए बिना, बच्चे को इन संख्याओं को बनाने की विधि से परिचित कराने और उसे संख्या पढ़ने के लिए सिखाने की अनुमति देता है। मॉडल के अनुसार (और इसके विपरीत, संख्या के नाम से एक मॉडल बनाएं), और फिर इसे लिखें:

जब बच्चे दूसरे क्रम की संख्याओं का अध्ययन करते हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि शिक्षक निम्नलिखित प्रकार के कार्यों का उपयोग करें:

1) दूसरे दस की संख्या बनाने की विधि पर:

तेरह लाठी दिखाओ। कितने दहाई और कितनी व्यक्तिगत छड़ें?

2) संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला के गठन के सिद्धांत पर:

समस्या के लिए एक चित्र बनाएं और इसे मौखिक रूप से हल करें। “शहर में 10 सिनेमाघर थे। एक और 1. बनाया है। शहर में कितने सिनेमाघर हैं?"

1:16, 11, 13, 20 . से घटाएं

1:19, 18, 14, 17 . की वृद्धि

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 10+ 1; 14+ 1; 18-1; 20-1।

(सभी मामलों में, आप इस तथ्य का उल्लेख कर सकते हैं कि 1 जोड़ने से अगली संख्या हो जाती है, और 1 से घट जाती है - पिछली संख्या में।)

3) संख्या रिकॉर्ड में अंक के स्थानीय मूल्य पर:

संख्या रिकॉर्ड में प्रत्येक अंक का क्या अर्थ है: 15, 13, 18, 11, 10,20?

(संख्या 15 की रिकॉर्डिंग में, अंक 1 दहाई की संख्या को इंगित करता है, और अंक 5 - लोगों की संख्या। संख्या 20 की रिकॉर्डिंग में, अंक 2 इंगित करता है कि 2 दहाई हैं, और अंक 0 है। इंगित करता है कि पहले अंक में कोई नहीं है।)

4) संख्याओं की एक पंक्ति में एक संख्या के स्थान पर:

लुप्त अंक डालें: 12 ......... 16 17 ... 19 20

लुप्त संख्याएँ सम्मिलित करें: 20 ... 18 17 ......... 13 ... 11

(असाइनमेंट पूरा करते समय, गिनती करते समय संख्याओं के क्रम का संदर्भ दिया जाता है।)

5) बिट (दशमलव) रचना के लिए:

10 + 3 = ... 13-3 = ... 13-10 = ...

12=10 + ... 15 = ... + 5

कार्य करते समय, दस (छड़ का एक बंडल) और एक (व्यक्तिगत छड़ें) की संख्या के अंक (दशमलव) मॉडल का संदर्भ दिया जाता है,

6) दूसरे दस की संख्याओं की तुलना करने के लिए:

कौन सी संख्या बड़ी है: 13 या 15? 14 या 17? 18 या 14? 20 या 12?

कार्य पूरा करते समय, आप स्टिक्स (मात्रात्मक मॉडल) से संख्याओं के दो मॉडलों की तुलना कर सकते हैं, या गिनती करते समय संख्याओं के क्रम का उल्लेख कर सकते हैं (गिनती के समय छोटी संख्या को पहले कहा जाता है), या गिनती और गिनती (गिनती) की प्रक्रिया पर भरोसा करते हैं दो इकाई से 13 तक, हमें 15 मिलता है, जिसका अर्थ है 13 से 15 अधिक)।

दूसरे दस की संख्याओं की एकल-अंकीय संख्याओं के साथ तुलना करते हुए, इस तथ्य का उल्लेख करना चाहिए कि सभी एकल-अंकीय संख्याएँ दो-अंकीय संख्याओं से कम हैं:

इनमें से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या क्या है: 12 6 18 10 7 20.

दूसरे दस में संख्याओं की तुलना करते समय, शासक का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

संबंधित खंडों की लंबाई की तुलना करते हुए, बच्चा नेत्रहीन रूप से तुलना चिह्न की सेटिंग निर्धारित करता है: 17< 19.

अरबी संख्याओं के नाम में, प्रत्येक अंक अपनी श्रेणी का होता है, और प्रत्येक तीन अंक एक वर्ग बनाते हैं। इस प्रकार, किसी संख्या का अंतिम अंक उसमें इकाइयों की संख्या को दर्शाता है और इसे क्रमशः इकाई स्थान कहा जाता है। अगला, अंत से दूसरा, संख्या दहाई (दहाई स्थान) को दर्शाती है, और अंतिम संख्या से तीसरा संख्या में सैकड़ों की संख्या को इंगित करता है - सैकड़ों स्थान। इसके अलावा, इसी तरह से निर्वहन प्रत्येक वर्ग में बारी-बारी से दोहराया जाता है, जो पहले से ही इकाइयों, दहाई और सैकड़ों को हजारों, लाखों, और इसी तरह की कक्षाओं में दर्शाता है। यदि संख्या छोटी है और इसमें दहाई या सैकड़ों नहीं हैं, तो उन्हें शून्य के रूप में लेने की प्रथा है। तीन की संख्या में वर्ग समूह संख्या, अक्सर कक्षाओं के बीच उपकरणों या अभिलेखों की गणना में, एक अवधि या एक स्थान को नेत्रहीन रूप से अलग करने के लिए रखा जाता है। यह बड़ी संख्या में पढ़ने को आसान बनाने के लिए है। प्रत्येक वर्ग का अपना नाम होता है: पहले तीन अंक इकाइयों का वर्ग होते हैं, उसके बाद हजारों का वर्ग, फिर लाखों, अरबों (या अरबों), और इसी तरह।

चूंकि हम दशमलव प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं, मात्रा के लिए माप की मूल इकाई दस, या 10 1 है। तदनुसार, एक संख्या में अंकों की संख्या में वृद्धि के साथ, दहाई की संख्या भी 10 2, 10 3, 10 4, आदि बढ़ जाती है। दहाई की संख्या जानने के बाद, आप आसानी से संख्या का वर्ग और स्थान निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 10 16 दसियों क्वाड्रिलियन है, और 3 × 10 16 तीन दहाई क्वाड्रिलियन है। दशमलव घटकों में संख्याओं का अपघटन इस प्रकार है - प्रत्येक अंक को एक अलग सारांश में प्रदर्शित किया जाता है, जिसे आवश्यक गुणांक 10 n से गुणा किया जाता है, जहां n बाएं से दाएं अंक की स्थिति है।
उदाहरण के लिए: 253 981 = 2 × 10 6 + 5 × 10 5 + 3 × 10 4 + 9 × 10 3 + 8 × 10 2 + 1 × 10 1

साथ ही, दशमलव भिन्नों को लिखने में 10 की घात का उपयोग किया जाता है: 10 (-1) 0.1 या एक दहाई होता है। इसी तरह पिछले पैराग्राफ के साथ, आप दशमलव संख्या का विस्तार कर सकते हैं, n इस मामले में अंक की स्थिति को अल्पविराम से दाएं से बाएं ओर इंगित करेगा, उदाहरण के लिए: 0.347629 = 3 × 10 (-1) + 4 × 10 (-2) + 7 × 10 (-3) + 6 × 10 (-4) + 2 × 10 (-5) + 9 × 10 (-6)

दशमलव नाम। दशमलव अंक के बाद अंतिम अंक के अनुसार दशमलव संख्याएं पढ़ी जाती हैं, उदाहरण के लिए 0.325 - तीन सौ पच्चीस हजारवां, जहां हजारवां एक अंक है पिछले अंक 5 .

बड़ी संख्याओं, अंकों और वर्गों के नामों की तालिका

प्रथम श्रेणी इकाई	इकाई का पहला अंक दूसरी रैंक दसियों तीसरी रैंक सैकड़ों	1 = 10 0 10 = 10 1 100 = 10 2
द्वितीय श्रेणी हजार	हजार . की पहली अंक इकाइयाँ दूसरी रैंक दसियों हज़ार तीसरी रैंक सैकड़ों हजारों	1 000 = 10 3 10 000 = 10 4 100 000 = 10 5
तीसरी कक्षा लाखों	पहली अंक इकाई मिलियन दूसरी रैंक दसियों लाख तीसरी रैंक सैकड़ों लाखों	1 000 000 = 10 6 10 000 000 = 10 7 100 000 000 = 10 8
चौथी कक्षा अरबों	पहली अंक इकाई अरब दूसरी रैंक दसियों अरबों तीसरी रैंक सैकड़ों अरबों	1 000 000 000 = 10 9 10 000 000 000 = 10 10 100 000 000 000 = 10 11
5वीं कक्षा खरबों	पहली रैंक इकाई ट्रिलियन दूसरी रैंक दस ट्रिलियन तीसरी रैंक सैकड़ों ट्रिलियन	1 000 000 000 000 = 10 12 10 000 000 000 000 = 10 13 100 000 000 000 000 = 10 14
छठी कक्षा क्वाड्रिलियन	क्वाड्रिलियन की पहली अंक इकाई द्वितीय श्रेणी दसियों क्वाड्रिलियन तीसरी कक्षा दसियों क्वाड्रिलियन	1 000 000 000 000 000 = 10 15 10 000 000 000 000 000 = 10 16 100 000 000 000 000 000 = 10 17
सातवीं कक्षा क्विंटल	क्विंटिलियन की पहली अंक इकाई दूसरी रैंक दसियों क्विंटल तीसरी रैंक सैकड़ों क्विंटल	1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 10 000 000 000 000 000 000 = 10 19 100 000 000 000 000 000 000 = 10 20
8वीं कक्षा सेक्टिलियन	सेक्सटिलियन की पहली रैंक इकाई दूसरी रैंक दसियों सेक्सटिलियन तीसरी रैंक सैकड़ों सेक्सटिलियन	1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 10 000 000 000 000 000 000 000 = 10 22 1 00 000 000 000 000 000 000 000 = 10 23
9वीं कक्षा सेप्टिलियंस	सेप्टिलियन की पहली रैंक इकाई दूसरी रैंक दसियों सेप्टिलियन तीसरी रैंक सैकड़ों सेप्टिलियन	1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 10 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 25 100 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 26
10वीं कक्षा ऑक्टिलियन	ऑक्टिलियन की पहली अंक इकाई दूसरा अंक दसियों ऑक्टिलियन तीसरी रैंक सैकड़ों ऑक्टिलियन	1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 27 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 28 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 29