तीन मापदंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण। समानांतर रेखा समीकरण

यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: समीकरण के ऐसे रूप को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में मानें। आइए हम एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ समेकित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक तंत्र O x y दिया गया है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C = 0 है, जहाँ A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसका मान A, B, C के एक निश्चित सेट के लिए A x + B y + C = 0 होता है।

सबूत

संकेतित प्रमेय में दो बिंदु होते हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कोई बिंदु 0 (x 0, y 0) है, जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के संगत हैं। इस प्रकार: ए एक्स 0 + बी वाई 0 + सी = 0। समीकरण A x + B y + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ समीकरण A x 0 + B y 0 + C = 0 के बाएँ और दाएँ पक्ष, हम प्रपत्र A (x) का एक नया समीकरण प्राप्त करते हैं - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह ए एक्स + बी वाई + सी = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 वैक्टर n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y) के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। - वाई 0)। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट M (x, y) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को वेक्टर n → = (A, B) की दिशा के लंबवत परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ सीधी रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C = 0 परिभाषित करता है एक ही सीधी रेखा। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध किया।

1. आइए हम एक प्रमाण दें कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में किसी भी सीधी रेखा को पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

आइए हम समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में सीधी रेखा a सेट करें; बिंदु M 0 (x 0, y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A, B)।

मान लीजिए कोई बिंदु M (x, y) भी है - एक सीधी रेखा का एक तैरता हुआ बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणन शून्य है:

एन →, एम 0 एम → = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0

समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंतिम परिणाम में हमें समीकरण A x + B y + C = 0 मिलता है। .

तो, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने पूरे प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

फॉर्म का एक समीकरणए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक सीधी रेखा और एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दिया गया उसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, प्रारंभिक सीधी रेखा इसके सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण किसी दी गई सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह प्रमेय के प्रमाण से यह भी निकलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। सी = 0।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा के संगत है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है एन → = (2, 3)। चित्र में दी गई सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित पर जोर देना भी संभव है: ड्राइंग में जो सीधी रेखा हम देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम रेखा के सामान्य समीकरण के दोनों पक्षों को एक अशून्य संख्या से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल पर समान सीधी रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- सरल रेखा A x + B y + C = 0 का ऐसा सामान्य समीकरण जिसमें संख्याएँ A, B, C अशून्य हों। अन्यथा समीकरण है अधूरा.

आइए हम रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के सभी रूपांतरों की जाँच करें।

1. जब ए = 0, बी 0, सी ≠ 0, सामान्य समीकरण बी वाई + सी = 0 बन जाता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर होती है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान लेगा - सी बी. दूसरे शब्दों में, सीधी रेखा A x + B y + C = 0 का सामान्य समीकरण, जब A = 0, B ≠ 0, बिंदुओं के स्थान (x, y) को परिभाषित करता है, जिसके निर्देशांक समान होते हैं संख्या - सी बी.
2. यदि ए = 0, बी 0, सी = 0, सामान्य समीकरण y = 0 का रूप लेता है। यह अधूरा समीकरण भुज अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A 0, B = 0, C ≠ 0, हम एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 प्राप्त करते हैं, जो कोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. मान लीजिए A 0, B = 0, C = 0, तो अपूर्ण सामान्य समीकरण x = 0 का रूप लेगा और यह निर्देशांक रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, A 0, B ≠ 0, C = 0 के लिए, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y = 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0, 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0।

आइए हम एक सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के उपरोक्त सभी प्रकारों को आलेखीय रूप से चित्रित करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि एक दी गई सीधी रेखा कोटि अक्ष के समानांतर होती है और बिंदु 2 7, - 11 से गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

कोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C = 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी जाती है, जिसमें A 0 होता है। इसके अलावा, शर्त उस बिंदु के निर्देशांक निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों को पूरा करते हैं, अर्थात। समानता सच है:

ए · 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं: 7 · 2 7 + सी = 0 सी = - 2। हम गुणांक ए और सी दोनों को जानते हैं, हम उन्हें समीकरण ए एक्स + सी = 0 में प्रतिस्थापित करते हैं और हम सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: 7 x - 2 = 0

उत्तर: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाती है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम चित्र में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज की आंखों के समानांतर है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + C = 0 निर्धारित करती है। आइए B और C के मान ज्ञात करें। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है, सीधी रेखा B y + C = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: B · 3 + C = 0। चलो बी के लिए शून्य के अलावा कुछ मूल्य निर्धारित करते हैं। मान लीजिए कि बी = 1, इस मामले में बी 3 + सी = 0 की समानता से हम सी: सी = - 3 पा सकते हैं। हम बी और सी के ज्ञात मूल्यों का उपयोग करते हैं, हम सीधी रेखा के आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

उत्तर:वाई - 3 = 0।

समतल के किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु М 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सत्य है: ए एक्स 0 + बी वाई 0 + सी = 0। हम इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाते हैं। हम प्राप्त करते हैं: ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + सी = 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु М 0 (x 0, y 0) से गुजरता है और इसमें एक सामान्य वेक्टर होता है एन → = (ए, बी)।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, उससे सीधी रेखा के सामान्य सदिश के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के साथ सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव हो जाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु М 0 (- 3, 4) दिया गया है, जिसके माध्यम से एक सीधी रेखा गुजरती है, और इस सीधी रेखा का एक सामान्य वेक्टर एन → = (1, - 2)। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियां हमें समीकरण तैयार करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए = 1, बी = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4। फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 1 (एक्स - (- 3)) - 2 वाई (वाई - 4) = 0 एक्स - 2 वाई + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। रेखा के सामान्य समीकरण का रूप A x + B y + C = 0 है। एक दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब हम समस्या की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करते हैं, जिससे होकर सीधी रेखा गुजरती है। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी = 0। इसलिए सी = 11. सीधी रेखा का आवश्यक समीकरण रूप लेता है: x - 2 y + 11 = 0।

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक सीधी रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और इस सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु 0 दिया गया है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात होता है, और यह - 3 के बराबर होता है। दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए बिंदु 0 के निर्देशांक के पदनाम को x 0 और y 0 के रूप में सेट करें। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 = - 3। चूंकि एक बिंदु किसी दी गई सीधी रेखा का होता है, तो इसके निर्देशांक इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

निर्धारित करें y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

उत्तर: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, समतल पर एक ही सीधी रेखा के लिए कई प्रकार के समीकरण होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसे हल करने के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल काम आता है।

शुरू करने के लिए, फॉर्म के सामान्य समीकरण से संक्रमण पर विचार करें ए एक्स + बी वाई + सी = 0 विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y।

यदि 0 है, तो हम पद B y को सामान्य समीकरण के दायीं ओर स्थानांतरित करते हैं। बाईं ओर, A को कोष्ठक के बाहर रखें। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं: ए एक्स + सी ए = - बी वाई।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A।

यदि 0, हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल पद A x छोड़ते हैं, शेष को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: A x = - B y - C। हम कोष्ठक के बाहर - B निकालते हैं, फिर: A x = - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित एक में संक्रमण में क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 3 y - 4 = 0। इसे एक विहित समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में फिर से लिखिए। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम बाहर निकालते हैं - 3 कोष्ठक के बाहर; हमें प्राप्त होता है: 0 x = - 3 y - 4 3.

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0। तो, हमें विहित रूप का एक समीकरण मिला।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक समीकरणों में बदलने के लिए, व्यक्ति पहले विहित रूप में संक्रमण करता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण करता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस सरल रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब हम परिणामी विहित समीकरण के दोनों पक्षों को के बराबर लेते हैं, फिर:

x 5 = y + 1 5 2 = x = 5 y = - 1 5 + 2 , आर

उत्तर:एक्स = 5 λ वाई = - 1 5 + 2 , आर

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में बदला जा सकता है, लेकिन केवल यदि B 0 हो। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम शब्द B y छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम पाते हैं: बी वाई = - ए एक्स - सी। परिणामी समानता के दोनों पक्षों को शून्य से भिन्न B से विभाजित करें: y = - A B x - C B.

उदाहरण 7

सरल रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को ढलान समीकरण में बदलना होगा।

समाधान

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x y = - 2 7 x

उत्तर:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b = 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा संक्रमण करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों पक्षों को - से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ए एक्स + बी वाई = - सी ⇔ ए - सी एक्स + बी - सी वाई = 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी = 1

उदाहरण 8

सरल रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

समाधान

1 2 को दाईं ओर ले जाएँ: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2.

समानता के दोनों पक्षों को -1/2: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 से विभाजित करें।

उत्तर:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण और एक ढलान गुणांक वाला समीकरण आसानी से समानता के बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करके सामान्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में बदल दिया जाता है:

x - x 1 ax = y - y 1 ay ay (x - x 1) = ax (y - y 1) ayx - axy - ayx 1 + axy 1 = 0 A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से स्विच करने के लिए, पहले, विहित में संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सरल रेखा x = - 1 + 2 · y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित में संक्रमण करें:

x = - 1 + 2 y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 y = 4 + 0 = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

उत्तर:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में संक्रमण करना आवश्यक है।

समाधान:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

उत्तर: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से सीधी रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 से निर्धारित होती है। हमने वहां संबंधित उदाहरण का भी विश्लेषण किया।

अब हम अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करेंगे, जिसमें पहले सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

सीधी रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा दी गई है। यह बिंदु M 0 (4, 1) भी ज्ञात है, जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

समाधान

प्रारंभिक स्थितियां हमें बताती हैं कि सीधी रेखाएं समानांतर हैं, फिर, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में, जिसका समीकरण लिखा जाना है, हम सीधी रेखा के दिशात्मक वेक्टर लेते हैं n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. अब हम सरल रेखा के सामान्य समीकरण की रचना के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई -1) = 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0

उत्तर: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

निर्दिष्ट रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 पर लंबवत जाती है। किसी दी गई सीधी रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

दी गई रेखा का अभिलंब सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा सदिश होगा।

तब n → = (3, 5)। सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है, अर्थात्। बिंदु 0 (0, 0) के माध्यम से। आइए किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 3 (एक्स - 0) + 5 (वाई - 0) = 0 ⇔ 3 एक्स + 5 वाई = 0

उत्तर: 3 x + 5 y = 0.

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"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम की खोज शुरू करने जा रहे हैं। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की बहुत सारी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उपसमस्याओं को देखेंगे जिन पर अधिकांश कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम तैयार करेंगे सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु... ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति अंतर्दृष्टि

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

ऐसे कार्यों के लिए प्रारंभिक डेटा एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (निर्दिष्ट, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, चाहे दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि) ...

हम केवल एक समतल पर और केवल एक कार्तीय समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे।

सदिश और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानेंगे कि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमान पर निर्दिष्ट है, जिसमें रोटेशन की दिशा वामावर्त को सकारात्मक कहा जाता है।

ज्यामितीय वस्तुओं को अब विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक इंगित करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

अनुभाग अब, कब एशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है वी- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर को दर्शाता है, उदाहरण के लिए ए .

एक सदिश की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मापांक चिह्न (उदाहरण के लिए,) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ अंक एतथा बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी वह कोण जो वैक्टर की सापेक्ष स्थिति को ध्यान में रखता है।

सदिशों के बीच उन्मुख कोण ए तथा बी सकारात्मक अगर वेक्टर से दूर रोटेशन ए वेक्टर करने के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और अन्यथा नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। वे यह भी कहते हैं कि सदिशों का एक जोड़ा ए तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें वैक्टर सूचीबद्ध होते हैं और सीमा में मान ले सकते हैं।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

सदिश a और b का सदिश गुणनफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा इन सदिशों की लंबाई का गुणनफल होता है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद चिह्न एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि कोई मान है, तो सदिशों की एक जोड़ी ए तथा बी नकारात्मक उन्मुख।

शून्येतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक सीधी रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए हम दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, उनके निर्देशांकों द्वारा दिया गया।

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1; y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, एक सदिश जिसका एक बिंदु से आरंभ और एक बिंदु पर अंत होता है, उसके निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P (x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करते हुए, वैक्टर के लिए संपार्श्विकता की स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

वे। (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

तो, एक सीधी रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। ax + by + c = 0 के रूप में इसका निरूपण ज्ञात कीजिए।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक कार्यक्रम की रचना करेंगे।

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशेष मामले:

और अगर सी= 0, समीकरण (2) का रूप होगा

कुल्हाड़ी + द्वारा = 0,

और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि मूल के निर्देशांक हैं एक्स = 0, आप= 0 इस समीकरण को संतुष्ट करें।

बी) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) बी= 0, तब समीकरण रूप लेता है

कुल्हाड़ी + साथ= 0, या।

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है आप, और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है ओए.

ग) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) ए= 0, तो यह समीकरण रूप लेता है

द्वारा + साथ= 0, या;

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है एक्स, और जिस सीधी रेखा को यह परिभाषित करता है वह अक्ष के समानांतर है ऑक्स.

यह याद रखना चाहिए: यदि कोई सीधी रेखा किसी समन्वय अक्ष के समानांतर है, तो उसके समीकरण में इस अक्ष के साथ समान नाम के निर्देशांक वाला कोई पद नहीं है।

घ) जब सी= 0 और ए= 0, समीकरण (2) का रूप लेता है द्वारा= 0, या आप = 0.

यह अक्ष का समीकरण है ऑक्स.

ई) कब सी= 0 और बी= 0 समीकरण (2) को के रूप में लिखा जा सकता है कुल्हाड़ी= 0 या एक्स = 0.

यह अक्ष का समीकरण है ओए.

समतल पर सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था। समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण। रेखाओं की समांतरता के लिए शर्त। सीधी रेखाओं के लिए लंबवत स्थिति।

एल 1 एल 2 एल 1: ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0
एल 2: ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0

एस 2 एस 1 वेक्टर एस 1 और एस 2 को उनकी रेखाओं के लिए गाइड कहा जाता है।

सीधी रेखाओं l 1 और l 2 के बीच का कोण दिशा वैक्टर के बीच के कोण से निर्धारित होता है।
प्रमेय 1: l 1 और l 2 के बीच का cos कोण = cos (l 1; l 2) =

प्रमेय 2: 2 सीधी रेखाओं के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है:

प्रमेय 3:ताकि 2 सीधी रेखाएं लंबवत हों यह आवश्यक और पर्याप्त है:

एल 1 एल 2 ó ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0

विमान का सामान्य समीकरण और उसके विशेष मामले। खंडों में विमान का समीकरण।

विमान का सामान्य समीकरण:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0

विशेष स्थितियां:

1.D = 0 Ax + By + Cz = 0 - तल मूल बिन्दु से होकर गुजरता है

2.सी = 0 कुल्हाड़ी + बाय + डी = 0 - समतल || आउंस

3. = 0 कुल्हाड़ी + Cz + d = 0 - समतल || ओए

4. A = 0 By + Cz + D = 0 - समतल || बैल

5.A = 0 और D = 0 By + Cz = 0 - तल OX . से होकर गुजरता है

6.बी = 0 और डी = 0 कुल्हाड़ी + सीजेड = 0 - विमान ओए से गुजरता है

7.C = 0 और D = 0 Ax + By = 0 - समतल OZ . से होकर गुजरता है

अंतरिक्ष में समतल और सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था:

1. अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है।

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) = =

2. समतलों के बीच के कोण को उनके अभिलंब सदिशों के बीच के कोण से परिभाषित किया जाता है।

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) = =

3. रेखा और तल के बीच के कोण की कोज्या रेखा के दिशा सदिश और तल के अभिलंब सदिश के बीच के कोण के पाप के माध्यम से ज्ञात की जा सकती है।

4. 2 सीधी रेखाएं || अंतरिक्ष में जब उनका || वेक्टर गाइड

5. 2 विमान || कब || सामान्य वैक्टर

6. सीधी रेखाओं और तलों के लंबवतता की धारणाओं को इसी तरह पेश किया जाता है।

प्रश्न संख्या 14

एक समतल पर एक सीधी रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरण (खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, ढलान के साथ, आदि)

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण:
मान लीजिए कि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में:

1.C = 0 Ax + Vy = 0 - सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है।

2.ए = 0 वी + सी = 0 वाई =

3.बी = 0 कुल्हाड़ी + सी = 0 एक्स =

4.बी = सी = 0 कुल्हाड़ी = 0 एक्स = 0

5.ए = सी = 0 वी = 0 वाई = 0

एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण:

कोई भी सीधी रेखा जो OU अक्ष के बराबर नहीं है (B not = 0) अगले में लिखी जा सकती है। प्रपत्र:

k = tgα α एक सीधी रेखा और एक धनात्मक दिशा वाली रेखा OX . के बीच का कोण है

बी - ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु

डॉक्टर:

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0

वू = -आह-सी |: बी

दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा का समीकरण:

प्रश्न संख्या 16

बिंदु पर फलन की परिमित सीमा और x → . के रूप में

बिंदु x 0 पर अंतिम सीमा:

संख्या A को फलन y = f (x) की सीमा x → x 0 के रूप में कहा जाता है यदि किसी E> 0 के लिए b> 0 इस प्रकार मौजूद है कि x x 0 असमानता को संतुष्ट करता है | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

सीमा निरूपित है: = A

बिंदु + पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x . पर फलन y = f (x) की सीमा कहा जाता है → + ∞ अगर किसी ई> 0 के लिए सी> 0 मौजूद है जैसे कि एक्स> सी के लिए असमानता | एफ (एक्स) - ए |< Е

सीमा निरूपित है: = A

-∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को . के लिए फलन y = f (x) की सीमा कहा जाता है एक्स → -∞,यदि किसी ई के लिए< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

यह लेख एक समतल पर स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को प्राप्त करने का खुलासा करता है। आइए हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण व्युत्पन्न करें। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाएंगे और हल करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक अभिगृहीत है जो कहता है कि समतल पर दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक। दूसरे शब्दों में, समतल के दो दिए गए बिंदुओं को इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा परिभाषित किया जाता है।

यदि समतल को एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, तो इसमें दर्शाई गई कोई भी सीधी रेखा समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के दिशा सदिश के साथ एक संबंध भी है।यह डेटा दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त है।

आइए इसी तरह की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें। दो गैर-संयोग बिंदुओं M1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाना आवश्यक है, जो कार्तीय समन्वय प्रणाली में हैं।

एक समतल पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण में, जिसका रूप x - x 1 ax = y - y 1 ay है, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O xy एक सीधी रेखा के साथ निर्दिष्ट है, जो निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर इसके साथ प्रतिच्छेद करती है M 1 (x 1, y 1) गाइड वेक्टर a → = (कुल्हाड़ी, ay) के साथ।

सीधी रेखा a के विहित समीकरण की रचना करना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरता है।

रेखा a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक दिशा वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदु M 1 और M 2 को काटती है। दिशा वेक्टर एम 1 एम 2 → = (एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1) के निर्देशांक और एम 1 (एक्स 1,) के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए हमने आवश्यक डेटा प्राप्त किया। y 1) उन पर पड़ा है और M 2 (x 2, y 2)। हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

गणना के बाद, हम एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण को एक समतल पर लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरता है। हमें x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। 2 + (वाई 2 - वाई 1) ।

आइए कई उदाहरणों के समाधान पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

निर्देशांक x 1, y 1 और x 2, y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की स्थिति से, हमारे पास x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 है। समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मान रखें। यहाँ से हम पाते हैं कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेता है।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

यदि आपको किसी भिन्न प्रकार के समीकरण के साथ किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, तो पहले आप विहित पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य में आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) के साथ बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाएं।

समाधान

सबसे पहले, आपको दी गई सीधी रेखा के विहित समीकरण को लिखने की आवश्यकता है जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

आइए हम विहित समीकरण को आवश्यक रूप में लाते हैं, फिर हम प्राप्त करते हैं:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

उत्तर:एक्स - 3 वाई + 2 = 0।

बीजगणित पाठों में स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर विचार किया गया था। स्कूल की समस्याएं इस बात में भिन्न थीं कि ढलान के साथ एक सीधी रेखा का प्रसिद्ध समीकरण, जिसका रूप y = k x + b है। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करना है जिसके लिए समीकरण y = kx + b, O xy प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 से होकर गुजरती है ( x 2, y 2) , जहां x 1 x 2। जब x 1 = x 2 , तो ढलान अनंत के मान पर ले जाता है, और सीधी रेखा М 1 М 2 फॉर्म x - x 1 = 0 के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है .

क्योंकि अंक एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। k और b के लिए समीकरण y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b की प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y खोजें। 2 - वाई 2 - वाई 1 एक्स 2 - एक्स 1 एक्स 2।

k और b के ऐसे मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

इतनी बड़ी संख्या में सूत्र एक साथ याद करने से काम नहीं चलेगा। ऐसा करने के लिए, आपको समस्या समाधान में दोहराव की संख्या बढ़ाने की आवश्यकता है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, हम ढलान के साथ एक सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसका रूप y = k x + b होता है। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण M 1 (- 7, - 5) और M 2 (2, 1) के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा से मेल खाती है।

अंक एम 1तथा एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y = k x + b वास्तविक समानता को उलट देना चाहिए। इससे हम प्राप्त करते हैं कि - 5 = k (- 7) + b और 1 = k 2 + b। सिस्टम में समीकरण को मिलाएं - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर, हम पाते हैं कि

5 = के - 7 + बी 1 = के 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 बी = - 5 + 7 kk = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3

अब मान k = 2 3 और b = - 1 3 को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला आवश्यक समीकरण y = 2 3 x - 1 3 के रूप का समीकरण है।

समाधान की यह विधि बहुत समय की बर्बादी को पूर्व निर्धारित करती है। एक तरीका है जिसमें कार्य को दो चरणों में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है।

आइए हम एम 2 (2, 1) और एम 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली सीधी रेखा का विहित समीकरण लिखें, जिसका रूप x - (- 7) 2 - (- 7) = y - ( - 5) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6।

अब हम ढलान में समीकरण की ओर मुड़ते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 6 (x + 7) = 9 (y + 5) y = 2 3 x - 1 3.

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3.

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली है O xyz दो निर्दिष्ट गैर-संयोग बिंदुओं के साथ निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ, सीधी रेखा एम 1 एम 2, इस सीधी रेखा के समीकरण को प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az के रूप के विहित समीकरण हैं और x = x 1 + ax y = y 1 + ay z = z 1 + के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। az दिशा वेक्टर a → = (कुल्हाड़ी, ay, az) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजरने वाले O x y z समन्वय प्रणाली में एक रेखा सेट करने में सक्षम हैं।

सीधे एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा वेक्टर है, जहां रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1, z) से होकर गुजरती है। 1) और एम 2 (x 2, y 2, z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z के रूप में हो सकता है 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, बदले में पैरामीट्रिक x = x 1 + (x 2 - x 1) y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) या x = x 2 + (x 2 - x 1) y = y 2 + (y 2 - वाई 1) जेड = जेड 2 + (जेड 2 - जेड 1) ।

एक आकृति पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाती है।

उदाहरण 4

निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, - 5) के साथ दिए गए दो बिंदुओं से गुजरते हुए, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली O xyz में परिभाषित एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए। )

समाधान

विहित समीकरण को खोजना आवश्यक है। चूँकि हम त्रिविमीय समष्टि के बारे में बात कर रहे हैं, इसका अर्थ है कि जब एक सीधी रेखा दिए गए बिंदुओं से गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = का रूप ले लेगा। जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1 ...

परिकल्पना से, हमारे पास x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5।

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यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

आप किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

एक समतल पर दो बेमेल सीधी रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजीय वक्र: कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा... समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0,

स्थिरांक के साथ ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है सामान्य

एक सीधी रेखा का समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीतथा साथनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी ≠ 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए (1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान... A = 3 और B = -1 पर, हम सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करें

सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),फिर एक सीधी रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर एक्स 1 एक्स 2तथा एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढाल सीधा.

उदाहरण... बिंदु A (1, 2) और B (3, 4) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान... उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु और ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कुल्हाड़ी + वू + सी = 0प्रपत्र के लिए नेतृत्व करें:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले पैराग्राफ के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा... प्रत्येक शून्येतर सदिश (α 1, α 2)जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

α 1 + α 2 = 0बुलाया एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर।

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें एक दिशा सदिश (1, -1) है और बिंदु A (1, 2) से गुजरती है।

समाधान... आवश्यक सीधी रेखा का समीकरण फॉर्म में मांगा जाएगा: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी / ए = -3, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 के सामान्य समीकरण में, -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

अक्ष के साथ सीधा ओह,ए बी- अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण... सरल रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।खण्डों में इस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी = 1, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष कुल्हाड़ी + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें इससे कहते है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का ± चिन्ह चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से सीधी रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

ए φ - अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ इस लंबवत द्वारा बनाया गया कोण ओह।

उदाहरण... सीधी रेखा का एक सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0... विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

इस रेखा का ढलान के साथ समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा... यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई = के 1 एक्स + बी 1, वाई = के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच एक न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2... दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं,

अगर के 1 = -1 / के 2 .

प्रमेय.

सीधे कुल्हाड़ी + वू + सी = 0तथा ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0समानांतर हैं जब गुणांक आनुपातिक हैं

1 = , 1 =... अगर भी 1 =, तो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन सीधी रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... बिंदु के माध्यम से रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी।

प्रमेय... यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),सीधी रेखा की दूरी कुल्हाड़ी + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

सबूत... बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

सीधी रेखा। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमतथा एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1तथा 1 परसमीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

प्रणाली का दूसरा समीकरण दिए गए बिंदु M 0 से लम्बवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

एक दी गई सीधी रेखा। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।