बार के खंड में तनाव। लकड़ी के क्रॉस-सेक्शन में बल और तनाव। बीम के क्रॉस सेक्शन में कतरनी जोर देती है। ज़ुराव्स्की का सूत्र

खिंचाव (निचोड़ना)- यह एक प्रकार का बीम लोडिंग है, जिसमें इसके क्रॉस-सेक्शन में केवल एक आंतरिक बल कारक दिखाई देता है - अनुदैर्ध्य बल एन।

तनाव और संपीड़न में, बाहरी बल अनुदैर्ध्य z-अक्ष पर लागू होते हैं (चित्र 109)।

चित्र 109

अनुभाग विधि का उपयोग करके, वीएसपी के मूल्य को निर्धारित करना संभव है - अनुदैर्ध्य बल एन सरल लोडिंग के तहत।

तनाव (संपीड़न) के तहत एक मनमाना क्रॉस-सेक्शन में उत्पन्न होने वाले आंतरिक बल (तनाव) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है बर्नौली फ्लैट सेक्शन परिकल्पना:

लोड करने से पहले बार का क्रॉस-सेक्शन, फ्लैट और अक्ष के लंबवत, लोडिंग के तहत समान रहता है।

यह इस प्रकार है कि लकड़ी के तंतु (चित्र 110) समान मात्रा में लंबे होते हैं। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक फाइबर पर अभिनय करने वाले आंतरिक बल (यानी तनाव) समान होंगे और समान रूप से खंड पर वितरित होंगे।

चित्र 110

चूंकि एन आंतरिक बलों का परिणाम है, तो एन = σ ए, सामान्य तनावों को बढ़ा देगा σ तनाव में और संपीड़न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

[एन / मिमी 2 = एमपीए], (72)

जहां ए क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है।

उदाहरण 24.दो छड़ें: d = 4 मिमी के व्यास वाला एक गोलाकार खंड और 5 मिमी के किनारे वाले एक वर्ग खंड को एक ही बल F = 1000 N के साथ खींचा जाता है। कौन सा बार अधिक लोड होता है?

दिया गया: डी = 4 मिमी; ए = 5 मिमी; एफ = 1000 एन।

परिभाषित करें: 1 और 2 - छड़ 1 और 2 में।

समाधान:

तनाव में, छड़ में अनुदैर्ध्य बल N = F = 1000 N होता है।

सलाखों के क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र:

; .

सलाखों के क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनाव:

, .

चूंकि 1> 2, पहले दौर की पट्टी अधिक भरी हुई है।

उदाहरण 25. 2 मिमी के व्यास के साथ 80 तारों से मुड़ी हुई रस्सी को 5 kN के बल से खींचा जाता है। क्रॉस सेक्शन में तनाव का निर्धारण करें।

दिया गया:कश्मीर = 80; डी = 2 मिमी; एफ = 5 केएन।

परिभाषित करें: σ.

समाधान:

एन = एफ = 5 केएन ,,

फिर .

यहाँ A 1 एक तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।

ध्यान दें: केबल का खंड एक वृत्त नहीं है!

2.2.2 अनुदैर्ध्य बलों के आरेख N और सामान्य तनाव σ बीम की लंबाई के साथ

तनाव और संपीड़न के तहत एक जटिल रूप से भरी हुई बीम की ताकत और कठोरता की गणना करने के लिए, विभिन्न क्रॉस सेक्शन में एन और के मूल्यों को जानना आवश्यक है।

इसके लिए आरेख बनाए गए हैं: प्लॉट एन और प्लॉट ।

आरेख- यह बार की लंबाई के साथ अनुदैर्ध्य बल एन और सामान्य तनाव σ में परिवर्तन का एक ग्राफ है।

अनुदैर्ध्य बल Nबार के एक मनमानी क्रॉस-सेक्शन में शेष भाग पर लागू सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है, यानी। खंड के एक तरफ

बाहरी बल F बीम को खींचते हैं और खंड से दूर निर्देशित होते हैं, सकारात्मक माने जाते हैं।

आरेखों N और . को आलेखित करने का क्रम

1 क्रॉस-सेक्शन के साथ हम लकड़ी को खंडों में विभाजित करते हैं, जिनकी सीमाएँ हैं:

ए) लकड़ी के सिरों पर अनुभाग;

बी) जहां बल एफ लागू होते हैं;

ग) जहां अनुभागीय क्षेत्र ए।

2 हम से शुरू होने वाले भूखंडों को संख्या देते हैं

मुक्त अंत।

3 विधि का उपयोग करने वाली प्रत्येक साइट के लिए

वर्गों, हम अनुदैर्ध्य बल N . निर्धारित करते हैं

और पैमाने पर N. का एक प्लॉट बनाएं।

4 सामान्य तनाव का निर्धारण करें

प्रत्येक साइट पर और निर्माण करें

स्केल प्लॉट .

उदाहरण 26.स्टेप्ड बार की लंबाई के साथ आरेख N और σ का निर्माण करें (चित्र 111)।

दिया गया:एफ 1 = 10 केएन; एफ 2 = 35 केएन; ए 1 = 1 सेमी 2; और 2 = 2 सेमी 2।

समाधान:

1) हम बार को खंडों में विभाजित करते हैं, जिसकी सीमाएँ हैं: बार के सिरों पर स्थित खंड, जहाँ बाहरी बल F लागू होते हैं, जहाँ खंड क्षेत्र A बदलता है - कुल मिलाकर, 4 खंड निकले।

2) हम मुक्त छोर से शुरू होने वाले वर्गों को संख्या देते हैं:

I से IV तक। चित्र 111

3) प्रत्येक खंड के लिए, खंड विधि का उपयोग करके, हम अनुदैर्ध्य बल एन निर्धारित करते हैं।

अनुदैर्ध्य बल N शेष छड़ पर लागू सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है। इसके अलावा, बाहरी बल एफ, बीम को खींचकर सकारात्मक माना जाता है।

तालिका 13

4) स्केल एन पर एक प्लॉट बनाएं। स्केल केवल एन के सकारात्मक मूल्यों द्वारा इंगित किया जाता है, प्लॉट पर "प्लस" या "माइनस" साइन (स्ट्रेचिंग या कम्प्रेशन) को आयत में एक सर्कल में दर्शाया गया है भूखंड। सकारात्मक N मान प्लॉट के शून्य अक्ष के ऊपर, नकारात्मक मान अक्ष के नीचे प्लॉट किए जाते हैं।

5) सत्यापन (मौखिक):उन वर्गों में जहां बाहरी बल एफ लागू होते हैं, एन आरेख पर इन बलों के परिमाण के बराबर ऊर्ध्वाधर छलांग होगी।

6) प्रत्येक खंड के अनुभागों में सामान्य तनावों का निर्धारण करें:

; ;

; .

हम पैमाने पर का एक प्लॉट बनाते हैं।

7) इंतिहान: N और के चिन्ह समान हैं।

सोचें और सवालों के जवाब दें

1) यह असंभव है; 2) आप कर सकते हैं।

53 क्या छड़ों के तन्यता (संपीड़न) प्रतिबल उनके क्रॉस-सेक्शन (वर्ग, आयत, वृत्त, आदि) के आकार पर निर्भर करते हैं?

1) निर्भर; 2) निर्भर नहीं है।

54 क्या क्रॉस सेक्शन में तनाव का परिमाण उस सामग्री पर निर्भर करता है जिससे बार बनाया जाता है?

1) निर्भर करता है; 2) निर्भर नहीं है।

55 एक गोल बार के क्रॉस-सेक्शन के बिंदु क्या हैं जो तनाव में अधिक लोड होते हैं?

1) लकड़ी की धुरी पर; 2) सर्कल की सतह पर;

3) अनुप्रस्थ काट के सभी बिंदुओं पर प्रतिबल समान होते हैं।

56 समान क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की स्टील और लकड़ी की छड़ें समान बलों द्वारा खींची जाती हैं। क्या छड़ों में होने वाले प्रतिबल समान होंगे?

1) स्टील में, तनाव अधिक होता है;

2) लकड़ी के एक में अधिक तनाव होता है;

3) छड़ों में समान प्रतिबल दिखाई देगा।

57 एक बार के लिए (चित्र 112) आरेख N और बनाएं, यदि F 1 = 2 kN; एफ 2 = 5 केएन; ए 1 = 1.2 सेमी 2; और 2 = 1.4 सेमी 2।

तनाव के निर्धारण के सूत्र और मरोड़ के दौरान कतरनी तनाव के वितरण के आरेख से, यह देखा जा सकता है कि सतह पर अधिकतम तनाव उत्पन्न होता है।

आइए हम अधिकतम वोल्टेज निर्धारित करें, इस बात को ध्यान में रखते हुए ताएक्स = घ / 2, जहां डी- गोल पट्टी का व्यास।

एक गोलाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए, जड़ता के ध्रुवीय क्षण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है (व्याख्यान 25 देखें)।

सतह पर अधिकतम तनाव होता है, इसलिए हमारे पास है

आमतौर पर जे पी / पी मैक्सनिरूपित डब्ल्यू पीऔर बुलाया प्रतिरोध का क्षणघुमाते समय, या प्रतिरोध का ध्रुवीय क्षणव्यापक प्रतिनिधित्व

इस प्रकार, एक गोल बार की सतह पर अधिकतम तनाव की गणना करने के लिए, हम सूत्र प्राप्त करते हैं

राउंड सेक्शन के लिए

कुंडलाकार खंड के लिए

मरोड़ ताकत की स्थिति

मरोड़ के दौरान एक बार का फ्रैक्चर सतह से होता है, ताकत की गणना करते समय, ताकत की स्थिति का उपयोग किया जाता है

कहाँ पे [ τ k] - अनुमेय मरोड़ तनाव।

शक्ति गणना के प्रकार

शक्ति गणना दो प्रकार की होती है।

1. डिजाइन गणना - खतरनाक खंड में लकड़ी (शाफ्ट) का व्यास निर्धारित किया जाता है:

2. गणना की जाँच करें - शक्ति की स्थिति की पूर्ति की जाँच की जाती है

3. भार क्षमता का निर्धारण (अधिकतम टौर्क)

कठोरता गणना

कठोरता की गणना करते समय, विकृति निर्धारित की जाती है और स्वीकार्य के साथ तुलना की जाती है। पल के साथ बाहरी जोड़ी बलों की कार्रवाई पर एक गोल बार के विरूपण पर विचार करें टी(अंजीर। 27.4)।

मरोड़ के दौरान, विरूपण का अनुमान मरोड़ कोण द्वारा लगाया जाता है (व्याख्यान 26 देखें):

यहाँ φ - मोड़ कोण; γ - कतरनी कोण; मैं- बार की लंबाई; आर- त्रिज्या; आर = डी/2.कहां

हुक के नियम का रूप है τ कश्मीर = जी... के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित कीजिए γ , हम पाते हैं

कार्य जीजे पीखंड कठोरता कहा जाता है।

लोचदार मापांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जी = 0,4इ।स्टील के लिए जी= 0.8 10 5 एमपीए।

आमतौर पर घुमा के कोण की गणना लकड़ी (शाफ्ट) की लंबाई के एक मीटर प्रति मीटर की जाती है। φ ओ

मरोड़ की कठोरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

कहाँ पे φ ओ - सापेक्ष मोड़ कोण, φ ओ = / एल; [φ के बारे में]≈ 1 डिग्री / मी = 0.02 रेड / मी - अनुमेय सापेक्ष मोड़ कोण।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1।ताकत और कठोरता के लिए गणना से, 30 रेड / सेकंड की गति से 63 kW की शक्ति संचारित करने के लिए आवश्यक शाफ्ट व्यास निर्धारित करें। दस्ता सामग्री - स्टील, अनुमेय मरोड़ तनाव 30 एमपीए; अनुमेय सापेक्ष मोड़ कोण [φ के बारे में]= 0.02 रेड / मी; कतरनी मापांक जी= 0.8 * 10 5 एमपीए।

समाधान

1. शक्ति गणना के आधार पर क्रॉस-सेक्शन आयामों का निर्धारण।

मरोड़ ताकत की स्थिति:

घूर्णी शक्ति सूत्र से टोक़ निर्धारित करें:

ताकत की स्थिति से, हम मरोड़ के दौरान शाफ्ट के प्रतिरोध का क्षण निर्धारित करते हैं

न्यूटन और मिमी में मानों को प्रतिस्थापित करें।

शाफ्ट व्यास निर्धारित करें:

2. कठोरता के आधार पर क्रॉस-सेक्शन आयामों का निर्धारण।

मरोड़ कठोरता की स्थिति:

कठोरता की स्थिति से, हम मरोड़ के दौरान खंड की जड़ता का क्षण निर्धारित करते हैं:

शाफ्ट व्यास निर्धारित करें:

3. ताकत और कठोरता गणना के आधार पर आवश्यक शाफ्ट व्यास का चयन।

एक ही समय में ताकत और कठोरता सुनिश्चित करने के लिए, दो पाए गए मानों में से बड़ा चुनें।

परिणामी मान को पसंदीदा संख्या श्रेणी का उपयोग करके गोल किया जाना चाहिए। हम व्यावहारिक रूप से परिणामी मान को गोल करते हैं ताकि संख्या 5 या 0 के साथ समाप्त हो। हम d शाफ्ट = 75 मिमी का मान लेते हैं।

शाफ्ट व्यास को निर्धारित करने के लिए परिशिष्ट 2 में दिए गए व्यास की मानक श्रेणी का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 2।लकड़ी के क्रॉस सेक्शन में डी= 80 मिमी उच्चतम अपरूपण प्रतिबल मैक्स= 40 एन / मिमी 2। खंड के केंद्र से 20 मिमी के बिंदु पर कतरनी तनाव का निर्धारण करें।

समाधान

बी... स्पष्टतः,

उदाहरण 3.पाइप के क्रॉस-सेक्शन के आंतरिक समोच्च के बिंदुओं पर (डी 0 = 60 मिमी; डी = 80 मिमी), कतरनी तनाव 40 एन / मिमी 2 के बराबर होता है। पाइप में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल ज्ञात कीजिए।

समाधान

क्रॉस सेक्शन में कतरनी तनाव का चित्र अंजीर में दिखाया गया है। 2.37, वी... स्पष्टतः,

उदाहरण 4.लकड़ी के गोलाकार क्रॉस-सेक्शन में ( घ 0= 30 मिमी; डी = 70 मिमी) टोक़ होता है एम ज़ू= 3 केएन-एम। खंड के केंद्र से 27 मिमी के बिंदु पर अपरूपण प्रतिबल की गणना करें।

समाधान

क्रॉस-सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर स्पर्शरेखा तनाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

माना उदाहरण में एम ज़ू= 3 केएन-एम = 3-10 6 एन मिमी,

उदाहरण 5.स्टील पाइप (डी 0 = एल 00 मिमी; डी = 120 मिमी) लंबाई मैं= 1.8 मी पलों से मुड़ जाता है टीइसके अंतिम भाग में संलग्न है। मूल्य निर्धारित करें टीजिस पर मोड़ कोण φ = 0.25 डिग्री। जब मान मिल जाता है टीअधिकतम अपरूपण प्रतिबल की गणना कीजिए।

समाधान

एक खंड के लिए मोड़ कोण (डिग्री / मी में) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस मामले में

संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

हम अधिकतम कतरनी तनाव की गणना करते हैं:

उदाहरण 6.दी गई लकड़ी के लिए (चित्र 2.38, ए) टॉर्क के आरेख, अधिकतम कतरनी तनाव, क्रॉस-सेक्शन के रोटेशन के कोण का निर्माण करें।

समाधान

दिए गए बार में सेक्शन हैं मैं, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ, वी(अंजीर। 2.38, ए)।याद रखें कि वर्गों की सीमाएं ऐसे खंड हैं जिनमें बाहरी (घुमावदार) क्षण और क्रॉस सेक्शन के आयामों में परिवर्तन के स्थान लागू होते हैं।

संबंध का उपयोग करना

प्लॉटिंग टॉर्क।

अंकन एम ज़ूहम बार के मुक्त छोर से शुरू करते हैं:

भूखंडों के लिए तृतीयतथा चतुर्थ

साइट के लिए वी

टॉर्क का आरेख चित्र 2.38 में दिखाया गया है, बी... हम बार की लंबाई के साथ अधिकतम कतरनी तनाव की साजिश रचते हैं। सशर्त रूप से लिखें τ संबंधित टॉर्क के समान संकेतों की जाँच करें। स्थान पर मैं

स्थान पर द्वितीय

स्थान पर तृतीय

स्थान पर चतुर्थ

स्थान पर वी

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल का आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 2.38, वी.

निरंतर (प्रत्येक खंड के भीतर) खंड व्यास और टोक़ पर बार के क्रॉस-सेक्शन के रोटेशन का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

हम क्रॉस सेक्शन के रोटेशन के कोणों को प्लॉट करते हैं। अनुभाग रोटेशन कोण एकएल = 0, क्योंकि इस खंड में बार तय किया गया है।

क्रॉस-सेक्शन के रोटेशन के कोणों का आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 2.38, जी.

उदाहरण 7.चरखी पर वीस्टेप्ड शाफ्ट (चित्र। 2.39, ए)इंजन से शक्ति का संचार होता है एनबी = 36 किलोवाट पुली एतथा साथक्रमशः मशीन टूल्स को शक्ति संचारित करें एन ए= 15 किलोवाट और एन सी= 21 किलोवाट। दस्ता गति पी= 300 आरपीएम। शाफ्ट की मजबूती और कठोरता की जाँच करें, यदि [ τ के जे = 30 एन / मिमी 2, [Θ] = 0.3 डिग्री / मी, जी = 8.0-10 4 एन / मिमी 2, घ 1= 45 मिमी, घ 2= 50 मिमी।

समाधान

आइए शाफ्ट पर लागू बाहरी (घुमावदार) क्षणों की गणना करें:

हम टॉर्क का आरेख बनाते हैं। इस मामले में, शाफ्ट के बाएं छोर से आगे बढ़ते हुए, हम परंपरागत रूप से इसी क्षण पर विचार करते हैं एनओह, सकारात्मक, एन सी- नकारात्मक। चित्र M z चित्र में दिखाया गया है। 2.39, बी... खंड एबी के क्रॉस-सेक्शन में अधिकतम तनाव

जो [t k] by . से कम है

खंड AB . के घुमाव का आपेक्षिक कोण

जो बहुत अधिक [Θ] == 0.3 डिग्री/मीटर है।

अनुभाग के क्रॉस-सेक्शन में अधिकतम तनाव रवि

जो [t k] by . से कम है

खंड के घुमा के सापेक्ष कोण रवि

जो बहुत अधिक [Θ] = 0.3 डिग्री/मीटर है।

इसलिए, शाफ्ट की ताकत सुनिश्चित की जाती है, लेकिन कठोरता नहीं होती है।

उदाहरण 8.बेल्ट के साथ इलेक्ट्रिक मोटर से शाफ्ट तक 1 शक्ति का संचार होता है एन= 20 किलोवाट, सी शाफ्ट 1 शाफ्ट में प्रवेश करता है 2 शक्ति एन 1= 15 kW और काम करने वाली मशीनों के लिए - शक्ति एन 2= 2 किलोवाट और एन 3= 3 किलोवाट। शाफ्ट से बाहर 2 काम करने वाली मशीनों को बिजली की आपूर्ति की जाती है एन 4= 7 किलोवाट, एन 5= 4 किलोवाट, एन 6= 4 किलोवाट (चित्र 2.40, ए)।ताकत और कठोरता की स्थिति से शाफ्ट d 1 और d 2 के व्यास निर्धारित करें, यदि [ τ के जे = 25 एन / मिमी 2, [Θ] = 0.25 डिग्री / मी, जी = 8.0-10 4 एन / मिमी 2। दस्ता खंड 1 तथा 2 पूरी लंबाई के साथ स्थिर माना जाना। मोटर शाफ्ट की घूर्णी गति एन = 970 आरपीएम, चरखी व्यास डी 1 = 200 मिमी, डी 2 = 400 मिमी, डी 3 = 200 मिमी, डी 4 = 600 मिमी। बेल्ट ड्राइव में फिसलने पर ध्यान न दें।

समाधान

अंजीर। 2.40, बीशाफ्ट दिखाया गया है मैं... यह शक्ति प्राप्त करता है एनऔर इससे शक्ति हटा दी जाती है एन ली, एन 2, एन 3.

शाफ्ट के घूर्णन की कोणीय गति निर्धारित करें 1 और बाहरी मरोड़ वाले क्षण एम, एम 1, टी 2, टी 3:

हम शाफ्ट 1 (छवि 2.40) के लिए टॉर्क का आरेख बनाते हैं। वी) इस मामले में, शाफ्ट के बाएं छोर से आगे बढ़ते हुए, हम परंपरागत रूप से इसी के अनुरूप क्षणों पर विचार करते हैं एन 3तथा एन 1, सकारात्मक, और एन- नकारात्मक। अनुमानित (अधिकतम) टोक़ एन एक्स 1अधिकतम = 354.5 एच * एम।

ताकत की स्थिति से शाफ्ट व्यास 1

कठोरता की स्थिति से शाफ्ट व्यास 1 ([Θ], रेड / मिमी)

अंत में, हम इसे मानक मान d 1 = 58 मिमी तक ले जाते हैं।

दस्ता गति 2

अंजीर में। 2.40, जीशाफ्ट दिखाया गया है 2; शाफ्ट को बिजली की आपूर्ति की जाती है एन 1, और शक्तियों को इससे हटा दिया जाता है एन 4, एन 5, एन 6.

हम बाहरी मरोड़ के क्षणों की गणना करते हैं:

दस्ता टोक़ प्लॉट 2 अंजीर में दिखाया गया है। 2.40, आदि।अनुमानित (अधिकतम) टॉर्क एम आई मैक्स "= 470 एनएम।

शाफ्ट परिधि 2 ताकत की स्थिति से

शाफ्ट परिधि 2 कठोरता की स्थिति से

हम अंत में स्वीकार करते हैं घ 2 = 62 मिमी।

उदाहरण 9.शक्ति और कठोरता की स्थितियों से शक्ति का निर्धारण करें एन(अंजीर। 2.41, ए), जिसे एक व्यास के साथ स्टील शाफ्ट द्वारा प्रेषित किया जा सकता है डी = 50मिमी, अगर [टी से] = 35 एन / मिमी 2, [Θजे = 0.9 डिग्री / मी; जी = 8.0 * आई0 4 एन / मिमी 2, एन= 600 आरपीएम।

समाधान

आइए शाफ्ट पर लागू होने वाले बाहरी क्षणों की गणना करें:

शाफ्ट का डिज़ाइन आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 2.41, बी.

अंजीर में। 2.41, वीटॉर्क का आरेख प्रस्तुत किया गया है। अनुमानित (अधिकतम) टोक़ एम ज़ू = 9,54एन... ताकत की स्थिति

कठोरता की स्थिति

कठोरता की स्थिति सीमित है। इसलिए, संचरित शक्ति का अनुमेय मूल्य [N] = 82.3 kW.

अनुदैर्ध्य बल एन, बार के क्रॉस-सेक्शन में उत्पन्न होता है, क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र में वितरित आंतरिक सामान्य बलों का परिणाम है, और निर्भरता (4.1) द्वारा इस खंड में उत्पन्न होने वाले सामान्य तनावों से जुड़ा है:

यहाँ - प्राथमिक क्षेत्र से संबंधित क्रॉस-सेक्शन के एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव - बार का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र।

उत्पाद प्रति क्षेत्र dF एक प्राथमिक आंतरिक बल का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रत्येक विशेष मामले में अनुदैर्ध्य बल एन का परिमाण अनुभाग विधि का उपयोग करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में दिखाया गया है। बार के क्रॉस-सेक्शन के प्रत्येक बिंदु पर तनावों के परिमाण को खोजने के लिए, इस खंड पर उनके वितरण के नियम को जानना आवश्यक है।

एक बार के क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनावों के वितरण के नियम को आमतौर पर एक ग्राफ द्वारा दर्शाया जाता है जो क्रॉस-सेक्शन की ऊंचाई या चौड़ाई के साथ उनके परिवर्तन को दर्शाता है। इस तरह के ग्राफ को सामान्य तनाव प्लॉट (प्लॉट ए) कहा जाता है।

व्यंजक (1.2) को कई प्रकार के तनाव आरेखों से संतुष्ट किया जा सकता है a (उदाहरण के लिए, चित्र a के साथ, चित्र 4.2 में दिखाया गया है)। इसलिए, बीम के क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनावों के वितरण के नियम को स्पष्ट करने के लिए, एक प्रयोग करना आवश्यक है।

आइए हम छड़ के लोड होने से पहले उसकी पार्श्व सतह पर रेखाएँ खींचते हैं, छड़ की धुरी के लंबवत रेखाएँ (चित्र 5.2)। ऐसी प्रत्येक रेखा को बार के क्रॉस-सेक्शनल प्लेन के निशान के रूप में माना जा सकता है। जब बीम को अक्षीय बल P से लोड किया जाता है, तो ये रेखाएं, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, सीधी और एक दूसरे के समानांतर रहती हैं (बीम को लोड करने के बाद उनकी स्थिति को चित्र 5.2 में धराशायी रेखाओं द्वारा दिखाया गया है)। यह हमें यह विचार करने की अनुमति देता है कि बीम के क्रॉस-सेक्शन, लोड होने से पहले फ्लैट, लोड की कार्रवाई के तहत भी फ्लैट रहते हैं। इस तरह का अनुभव फ्लैट वर्गों (बर्नौली की परिकल्पना) की परिकल्पना की पुष्टि करता है, जिसे 6.1 के अंत में तैयार किया गया है।

मानसिक रूप से एक बार की कल्पना करें जिसमें अपनी धुरी के समानांतर फाइबर के असंख्य सेट होते हैं।

कोई भी दो क्रॉस-सेक्शन जब लकड़ी को फैलाया जाता है तो एक दूसरे के समतल और समानांतर रहते हैं, लेकिन एक निश्चित मात्रा में एक दूसरे से दूर चले जाते हैं; प्रत्येक फाइबर को समान मात्रा में बढ़ाया जाता है। और चूंकि समान तनाव समान बढ़ाव के अनुरूप होते हैं, तो सभी तंतुओं के क्रॉस-सेक्शन में तनाव (और, इसलिए, बार के क्रॉस-सेक्शन के सभी बिंदुओं पर) एक दूसरे के बराबर होते हैं।

यह व्यंजक (1.2) में मात्रा a को समाकलन चिह्न से बाहर निकालने की अनुमति देता है। इस तरह,

तो, केंद्रीय तनाव या संपीड़न के तहत बीम के क्रॉस-सेक्शन में, समान रूप से वितरित सामान्य तनाव उत्पन्न होते हैं, जो अनुप्रस्थ क्षेत्र में अनुदैर्ध्य बल के अनुपात के बराबर होता है।

बार के कुछ वर्गों (उदाहरण के लिए, रिवेट्स के लिए छेद) के कमजोर होने की उपस्थिति में, इन वर्गों में तनाव का निर्धारण करते समय, किसी को कम किए गए कुल क्षेत्रफल के बराबर कमजोर खंड के वास्तविक क्षेत्र को ध्यान में रखना चाहिए। कमजोर पड़ने वाले क्षेत्र का मूल्य

बार के क्रॉस-सेक्शन (इसकी लंबाई के साथ) में सामान्य तनावों में परिवर्तन के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, सामान्य तनावों का एक आरेख तैयार किया जाता है। इस आरेख की धुरी एक सीधी रेखा खंड है जो बार की लंबाई के बराबर है और इसकी धुरी के समानांतर है। निरंतर क्रॉस-सेक्शन की एक पट्टी के साथ, सामान्य तनावों के आरेख में अनुदैर्ध्य बलों के आरेख के समान रूप होता है (यह केवल स्वीकृत पैमाने में इससे भिन्न होता है)। परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की एक पट्टी के साथ, इन दो आरेखों की उपस्थिति अलग है; विशेष रूप से, क्रॉस-सेक्शन में परिवर्तन के चरणबद्ध कानून के साथ एक बार के लिए, सामान्य तनाव आरेख न केवल उन वर्गों में कूदता है जिसमें केंद्रित अक्षीय भार लागू होते हैं (जहां अनुदैर्ध्य बल आरेख कूदता है), बल्कि स्थानों पर भी जहां क्रॉस-सेक्शनल आयाम बदलते हैं। बार की लंबाई के साथ सामान्य तनावों के वितरण के आरेख का निर्माण उदाहरण 1.2 में माना जाता है।

आइए अब हम बीम के झुके हुए वर्गों में प्रतिबलों पर विचार करें।

आइए हम झुकाव वाले खंड और क्रॉस सेक्शन के बीच के कोण से निरूपित करें (चित्र 6.2, ए)। हम कोण को सकारात्मक मानने के लिए सहमत होते हैं जब क्रॉस-सेक्शन को इस कोण से वामावर्त घुमाया जाना चाहिए ताकि इच्छुक खंड के साथ गठबंधन किया जा सके।

जैसा कि पहले से ही जाना जाता है, बार के अक्ष के समानांतर सभी तंतुओं के बढ़ाव समान होते हैं जब फैला या संकुचित होता है। यह हमें यह मानने की अनुमति देता है कि झुकाव (साथ ही क्रॉस सेक्शन) के सभी बिंदुओं पर तनाव p समान है।

बार के निचले हिस्से पर विचार करें, एक खंड द्वारा काटा गया (चित्र। 6.2, बी)। इसके संतुलन की स्थितियों से यह निम्नानुसार है कि तनाव बार की धुरी के समानांतर होते हैं और बल P के विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं, और अनुभाग में अभिनय करने वाला आंतरिक बल P के बराबर होता है। यहाँ, का क्षेत्रफल झुका हुआ खंड बराबर है (जहां बार का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है)।

इसलिये,

बीम के क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनाव कहां हैं।

आइए हम प्रतिबल को दो प्रतिबल घटकों में विखंडित करें: खंड तल के सामान्य लंबवत और इस तल के समानांतर स्पर्शरेखा टा (चित्र 6.2, ग)।

भाव और जो भावों से प्राप्त होंगे

सामान्य तनाव को आमतौर पर तनाव में सकारात्मक और संपीड़न में नकारात्मक माना जाता है। स्पर्शरेखा तनाव सकारात्मक है यदि इसका प्रतिनिधित्व करने वाला वेक्टर शरीर को किसी भी बिंदु C के सापेक्ष घुमाता है जो खंड के आंतरिक सामान्य पर स्थित है, दक्षिणावर्त। अंजीर में। 6.2, c एक धनात्मक अपरूपण प्रतिबल टा दिखाता है, और चित्र में। 6.2, डी - नकारात्मक।

सूत्र (6.2) से यह निम्नानुसार है कि सामान्य तनावों का मान (पर से शून्य (ए पर) होता है। इस प्रकार, बीम के क्रॉस-सेक्शन में सबसे बड़ा (निरपेक्ष मूल्य में) सामान्य तनाव उत्पन्न होता है। इसलिए, की ताकत एक फैला हुआ या संपीड़ित बीम की गणना इसके क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनावों का उपयोग करके की जाती है।

ताकत और मरोड़ कठोरता के लिए एक गोल बार की गणना

ताकत और मरोड़ कठोरता के लिए एक गोल बार की गणना

मरोड़ की ताकत और कठोरता की गणना का उद्देश्य लकड़ी के क्रॉस-सेक्शन के ऐसे आयामों को निर्धारित करना है, जिस पर तनाव और विस्थापन परिचालन स्थितियों द्वारा अनुमत निर्दिष्ट मूल्यों से अधिक नहीं होगा। अनुमेय अपरूपण प्रतिबलों के संदर्भ में मजबूती की स्थिति को आम तौर पर इस रूप में लिखा जाता है। अनुमेय मरोड़ तनाव पर निर्भर करता है 0 सामग्री की खतरनाक स्थिति के अनुरूप तनाव, और अपनाया सुरक्षा कारक n: ─ उपज ताकत, एनटी प्लास्टिक सामग्री के लिए सुरक्षा कारक है; परम शक्ति, नायब- भंगुर सामग्री के लिए सुरक्षा कारक। इस तथ्य के कारण कि तनाव (संपीड़न) की तुलना में मरोड़ प्रयोगों में β के मूल्यों को प्राप्त करना अधिक कठिन होता है, फिर, सबसे अधिक बार, एक ही सामग्री के लिए अनुमेय तन्यता तनाव के आधार पर अनुमेय मरोड़ तनाव लिया जाता है। तो स्टील के लिए [कच्चा लोहा के लिए। मुड़ सलाखों की ताकत की गणना करते समय, तीन प्रकार के कार्य संभव हैं, ताकत की स्थिति का उपयोग करने के रूप में भिन्न: 1) तनाव की जांच (सत्यापन गणना); 2) एक खंड का चयन (डिजाइन गणना); 3) अनुमेय भार का निर्धारण। 1. एक बार के दिए गए भार और आयामों के लिए तनाव की जाँच करते समय, इसमें उत्पन्न होने वाले सबसे बड़े स्पर्शरेखा तनावों को निर्धारित किया जाता है और उनकी तुलना सूत्र (2.16) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। यदि ताकत की स्थिति पूरी नहीं होती है, तो या तो क्रॉस-सेक्शनल आयामों को बढ़ाने के लिए, या बीम पर अभिनय करने वाले भार को कम करने के लिए, या उच्च शक्ति की सामग्री का उपयोग करने के लिए आवश्यक है। 2. किसी दिए गए भार के लिए एक क्रॉस-सेक्शन का चयन करते समय और ताकत की स्थिति (2.16) से स्वीकार्य तनाव के दिए गए मान, बार के क्रॉस-सेक्शन के प्रतिरोध के ध्रुवीय क्षण का मूल्य निर्धारित किया जाता है। मूल्य से प्रतिरोध के ध्रुवीय आघूर्ण में छड़ के ठोस वृत्ताकार या वलयाकार अनुप्रस्थ काट के व्यास पाए जाते हैं। 3. किसी दिए गए अनुमेय वोल्टेज और प्रतिरोध WP के ध्रुवीय क्षण के लिए अनुमेय भार का निर्धारण करते समय, अनुमेय टॉर्क MK को पहले (3.16) के आधार पर निर्धारित किया जाता है, और फिर, टॉर्क आरेख का उपयोग करके, KM और बाहरी के बीच एक कनेक्शन स्थापित किया जाता है। टोक़ ताकत के लिए बार की गणना उन विकृतियों की संभावना को बाहर नहीं करती है जो इसके संचालन के दौरान अस्वीकार्य हैं। एक बार के घुमा के बड़े कोण बहुत खतरनाक होते हैं, क्योंकि वे प्रसंस्करण भागों की सटीकता का उल्लंघन कर सकते हैं यदि यह बार एक प्रसंस्करण मशीन का संरचनात्मक तत्व है, या मरोड़ वाले कंपन हो सकते हैं यदि बार मरोड़ वाले क्षणों को प्रसारित करता है जो परिवर्तनशील हैं समय में, इसलिए, कठोरता के लिए बार पर भी विचार किया जाना चाहिए। कठोरता की स्थिति निम्नलिखित रूप में लिखी जाती है: जहां बार के घुमाव का सबसे बड़ा सापेक्ष कोण है, जो अभिव्यक्ति (2.10) या (2.11) से निर्धारित होता है। तब शाफ्ट के लिए कठोरता की स्थिति रूप लेगी। ताकत की स्थिति में और कठोरता की स्थिति में अधिकतम या अधिकतम का निर्धारण करते समय, हम ज्यामितीय विशेषताओं का उपयोग करेंगे: WP प्रतिरोध का ध्रुवीय क्षण और IP जड़ता का ध्रुवीय क्षण। जाहिर है, इन वर्गों के समान क्षेत्र वाले गोल ठोस और कुंडलाकार क्रॉस-सेक्शन के लिए ये विशेषताएँ भिन्न होंगी। विशिष्ट गणनाओं के माध्यम से, कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि एक कुंडलाकार खंड के लिए जड़ता के ध्रुवीय क्षण और प्रतिरोध के क्षण एक ठोस परिपत्र खंड की तुलना में बहुत अधिक हैं, क्योंकि कुंडलाकार खंड में केंद्र के करीब क्षेत्र नहीं हैं। इसलिए, मरोड़ के दौरान एक कुंडलाकार खंड के साथ एक बार एक ठोस परिपत्र खंड के साथ एक बार की तुलना में अधिक किफायती है, अर्थात इसमें कम सामग्री की खपत की आवश्यकता होती है। हालांकि, इस तरह के एक बार का निर्माण अधिक जटिल है और इसलिए, अधिक महंगा है, और इस परिस्थिति को भी टोरसन में संचालित सलाखों को डिजाइन करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए। हम ताकत और मरोड़ वाली कठोरता के साथ-साथ दक्षता के बारे में तर्क के लिए बार की गणना करने की विधि का उदाहरण के साथ वर्णन करेंगे। उदाहरण 2.2 दो शाफ्ट के वजन की तुलना करें, जिनमें से अनुप्रस्थ आयामों को एक ही टोक़ के लिए चुना जाना चाहिए एमके 600 एनएम एक ही अनुमेय तनाव पर 10 आर और 13 अनाज के साथ खिंचाव पी] 7 आरपी 10 अनाज के साथ संपीड़न और कुचल [सेमी ] 10 आरसी, आरसीएम 13 तंतुओं में कुचलना (कम से कम 10 सेमी लंबाई में) [सेमी] 90 2.5 आरसीएम 90 3 झुकने के दौरान तंतुओं के साथ छिलना [और] 2 आरके 2.4 पायदान के साथ तंतुओं के साथ चिपिंग 1 आरके 1.2 - 2.4 चिपिंग तंतुओं में पायदान में

परोक्षइस प्रकार के झुकने को कहा जाता है जिसमें झुकने वाले सभी बाहरी भार एक बल विमान में कार्य करते हैं जो किसी भी मुख्य विमान से मेल नहीं खाता है।

एक छोर पर पिन किए गए बीम पर विचार करें और बल द्वारा मुक्त छोर पर लोड किया गया एफ(अंजीर.11.3)।

चावल। 11.3. तिरछा झुकने के लिए डिजाइन मॉडल

बाहरी बल एफअक्ष से एक कोण पर जुड़ा हुआ है वाईबल का विस्तार करें एफबार के मुख्य विमानों में पड़े घटकों में, फिर:

दूरी पर लिए गए एक मनमाना खंड में झुकने वाले क्षण जेडमुक्त छोर से बराबर होगा:

इस प्रकार, बीम के प्रत्येक खंड में, दो झुकने वाले क्षण एक साथ कार्य करते हैं, जो मुख्य विमानों में झुकने का निर्माण करते हैं। इसलिए, तिरछा झुकने को स्थानिक झुकने का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

तिरछी झुकने के दौरान एक बार के क्रॉस-सेक्शन में सामान्य तनाव सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

तिरछा झुकने के दौरान सबसे बड़ा तन्यता और संपीड़न सामान्य तनाव खोजने के लिए, बार के एक खतरनाक खंड का चयन करना आवश्यक है।

अगर झुके हुए पल | एम एक्स| और | मेरे| एक निश्चित खंड में उच्चतम मूल्यों तक पहुंचें, तो यह एक खतरनाक खंड है। इस तरह,

खतरनाक वर्गों में वे खंड भी शामिल हैं जहां झुकने वाले क्षण | एम एक्स| और | मेरे| एक ही समय में पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों तक पहुँचें। इसलिए, एक तिरछे मोड़ के साथ, कई खतरनाक खंड हो सकते हैं।

सामान्य तौर पर, जब - विषम खंड, अर्थात तटस्थ अक्ष बल के तल के लंबवत नहीं है। सममित वर्गों के लिए, तिरछा झुकना संभव नहीं है।

11.3. तटस्थ अक्ष और खतरे के बिंदुओं की स्थिति

क्रॉस सेक्शन में। तिरछी झुकने ताकत की स्थिति।

क्रॉस-सेक्शन आयामों का निर्धारण।

तिरछी झुकने की हरकत

तिरछी झुकने के दौरान तटस्थ अक्ष की स्थिति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

जहां अक्ष के लिए तटस्थ अक्ष के झुकाव का कोण एक्स;

बल तल के अक्ष पर झुकाव का कोण पर(अंजीर.11.3)।

लकड़ी के खतरनाक खंड में (समाप्ति में, चित्र 11.3), कोने के बिंदुओं पर तनाव सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

तिरछी झुकने में, स्थानिक झुकने की तरह, तटस्थ अक्ष बीम के क्रॉस-सेक्शन को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है - एक तनाव क्षेत्र और एक संपीड़न क्षेत्र। एक आयताकार खंड के लिए, इन क्षेत्रों को अंजीर में दिखाया गया है। 11.4.

चावल। 11.4. तिरछी झुकने के साथ क्लैंप्ड बीम का अनुभागीय आरेख

अत्यधिक तन्यता और संपीड़न तनावों को निर्धारित करने के लिए, तटस्थ अक्ष के समानांतर तनाव और संपीड़न क्षेत्रों में खंड के लिए स्पर्शरेखा रेखाएं खींचना आवश्यक है (चित्र 11.4)।

तटस्थ अक्ष से सबसे दूर संपर्क बिंदु एतथा साथ- क्रमशः संपीड़न और तनाव क्षेत्रों में खतरनाक बिंदु।

प्लास्टिक सामग्री के लिए, जब तनाव और संपीड़न के तहत लकड़ी सामग्री का परिकलित प्रतिरोध एक दूसरे के बराबर होता है, अर्थात [ पी] = = [सी] = [σ ], खतरनाक खंड में निर्धारित किया जाता है और ताकत की स्थिति को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

सममित वर्गों (आयत, आई-सेक्शन) के लिए, ताकत की स्थिति इस प्रकार है:

ताकत की स्थिति से तीन प्रकार की गणनाएं होती हैं:

जाँच;

डिजाइन - अनुभाग के ज्यामितीय आयामों का निर्धारण;

लकड़ी (अनुमेय भार) की असर क्षमता का निर्धारण।

यदि क्रॉस सेक्शन के पक्षों के बीच का अनुपात ज्ञात है, उदाहरण के लिए, एक आयत के लिए एच = 2बी, फिर संयमित पट्टी की ताकत की स्थिति से मापदंडों को निर्धारित करना संभव है बीतथा एचइस अनुसार:

या

आखिरकार।

किसी भी खंड के पैरामीटर एक समान तरीके से निर्धारित किए जाते हैं। तिरछी झुकने के दौरान बार के क्रॉस-सेक्शन का कुल विस्थापन, बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, मुख्य विमानों में विस्थापन के ज्यामितीय योग के रूप में निर्धारित किया जाता है।

बार के मुक्त सिरे की गति ज्ञात कीजिए। आइए वीरशैचिन की विधि का उपयोग करें। हम आरेखों (चित्र 11.5) को सूत्र से गुणा करके ऊर्ध्वाधर विस्थापन पाते हैं

आइए क्षैतिज विस्थापन को उसी तरह परिभाषित करें:

तब कुल विस्थापन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

चावल। 11.5. कुल विस्थापन के निर्धारण की योजना

तिरछे मोड़ पर

पूर्ण यात्रा की दिशा कोण द्वारा निर्धारित की जाती है β (अंजीर.11.6):

परिणामी सूत्र बार अनुभाग के तटस्थ अक्ष की स्थिति निर्धारित करने के सूत्र के समान है। यह हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि, अर्थात, विक्षेपण की दिशा तटस्थ अक्ष के लंबवत है। नतीजतन, विक्षेपण विमान लोडिंग विमान के साथ मेल नहीं खाता है।

चावल। 11.6. विक्षेपण तल को परिभाषित करने की योजना

तिरछे मोड़ पर

मुख्य अक्ष से विक्षेपण तल के विक्षेपण कोण आपजितना अधिक होगा, विस्थापन उतना ही अधिक होगा। इसलिए, एक लोचदार खंड वाले बार के लिए, जिसके लिए अनुपात जे एक्स/जे यूबड़ा है, तिरछा झुकना खतरनाक है, क्योंकि यह कम से कम कठोरता के विमान में बड़े विक्षेपण और तनाव का कारण बनता है। के साथ एक बार के लिए जे एक्स= जे यू, कुल विक्षेपण बल तल में होता है और तिरछा झुकना असंभव है।

11.4. ऑफ-सेंटर स्ट्रेचिंग और बार का संपीड़न। साधारण

लकड़ी के क्रॉस-सेक्शन में तनाव

ऑफ-सेंटर स्ट्रेचिंग (निचोड़) एक प्रकार की विकृति है जिसमें तन्य (संपीड़ित) बल बीम के अनुदैर्ध्य अक्ष के समानांतर होता है, लेकिन इसके आवेदन का बिंदु क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मेल नहीं खाता है।

इमारतों के स्तंभों की गणना करते समय इस प्रकार की समस्या का उपयोग अक्सर निर्माण में किया जाता है। बार के सनकी संपीड़न पर विचार करें। आइए हम बल के आवेदन के बिंदु के निर्देशांक को निरूपित करें एफआर - पार एक्स एफतथा एफ पर,और क्रॉस-सेक्शन की मुख्य कुल्हाड़ियों के माध्यम से एक्स और वाई।एक्सिस जेडइस तरह से प्रत्यक्ष करें कि निर्देशांक एक्स एफतथा F . परसकारात्मक थे (चित्र 11.7, ए)

यदि आप बल को स्थानांतरित करते हैं एफएक बिंदु से स्वयं के समानांतर साथखंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में, फिर सनकी संपीड़न को तीन सरल विकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: दो विमानों में संपीड़न और झुकना (चित्र 11.7, बी)। इस मामले में, हमारे पास है:

निर्देशांक के साथ, पहले चतुर्थांश में स्थित, सनकी संपीड़न के तहत खंड के एक मनमाना बिंदु पर तनाव एक्स और वाईबलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत के आधार पर पाया जा सकता है:

खंड के परिक्रमण की त्रिज्या के वर्ग, फिर

कहाँ पे एक्सतथा आप- खंड बिंदु के निर्देशांक जिस पर तनाव निर्धारित किया जाता है।

तनाव का निर्धारण करते समय, बाहरी बल के आवेदन के बिंदु और उस बिंदु पर जहां तनाव निर्धारित किया जाता है, दोनों के निर्देशांक के संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

चावल। 11.7 सनकी संपीड़न के साथ एक बीम का आरेख

बार के विलक्षण खिंचाव के मामले में, परिणामी सूत्र में "माइनस" चिन्ह को "प्लस" चिन्ह से बदल दिया जाना चाहिए।