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Ege एक आसान प्रोफ़ाइल स्तर है। बुनियादी और विशिष्ट स्तर के गणित में परीक्षा की तैयारी

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

यूएमके लाइन जीके मुराविन। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहराई से)

UMK Merzlyak लाइन। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और एक शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफाइल स्तर पर परीक्षा कार्य 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता असाइनमेंट का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) होते हैं और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) होते हैं (निर्णय का एक पूरा रिकॉर्ड के औचित्य के साथ कार्रवाई की गई)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवना, विद्यालय की उच्चतम श्रेणी के गणित के शिक्षक, कार्य अनुभव 20 वर्ष:

"स्कूल प्रमाण पत्र प्राप्त करने के लिए, स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी, जिनमें से एक गणित है। रूसी संघ में गणितीय शिक्षा के विकास की अवधारणा के अनुसार, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफाइल लेवल के विकल्पों पर विचार करेंगे।"

टास्क नंबर 1- प्रायोगिक गतिविधियों में प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के दौरान अर्जित कौशल को लागू करने के लिए USE प्रतिभागियों की क्षमता का परीक्षण करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, दशमलव अंशों को गोल करने में सक्षम होना चाहिए, माप की एक इकाई को दूसरी में बदलने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 1।जिस अपार्टमेंट में पीटर रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर (मीटर) लगाया गया था। 1 मई को मीटर ने 172 क्यूबिक मीटर की खपत दिखाई। पानी का मी, और 1 जून को - 177 घन मीटर। मीटर 1 घन मीटर की कीमत अगर पीटर मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए। ठंडे पानी का मी 34 रूबल 17 कोप्पेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

समाधान:

1) आइए प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात करें:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) आइए जानें कि खर्च किए गए पानी के लिए कितना पैसा देना होगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

टास्क नंबर 2-सबसे सरल परीक्षा कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो कार्य की अवधारणा की परिभाषा के कब्जे की गवाही देता है। आवश्यकताओं के अनुसार कार्य संख्या 2 का प्रकार कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है। कार्य संख्या 2 में मात्राओं और उनके रेखांकन की व्याख्या के बीच विभिन्न वास्तविक संबंधों के कार्यों का उपयोग करके विवरण शामिल है। टास्क नंबर 2 टेबल, डायग्राम, ग्राफ में प्रस्तुत जानकारी को निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के विभिन्न तरीकों से तर्क के मूल्य से फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने और उसके शेड्यूल के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने और अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने में सक्षम होना भी आवश्यक है। समस्या कथन को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक हैं।

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उदाहरण 2।यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के बाजार मूल्य में बदलाव को दर्शाता है। 7 अप्रैल को, व्यवसायी ने इस कंपनी के 1,000 शेयरों का अधिग्रहण किया। 10 अप्रैल को, उसने खरीदे गए शेयरों का तीन-चौथाई हिस्सा बेच दिया, और 13 अप्रैल को उसने बाकी सभी को बेच दिया। इन कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को बिक्री के बाद 1000 शेयर प्राप्त हुए।

7)340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

टास्क नंबर 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का एक असाइनमेंट है, पाठ्यक्रम "प्लानिमेट्री" की सामग्री के अनुसार ज्यामितीय आकृतियों के साथ क्रियाओं को करने की क्षमता का परीक्षण करता है। टास्क 3 में, चेकर पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों के डिग्री उपायों की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना आदि का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 3. 1 सेमी गुणा 1 सेमी के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर दर्शाए गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (आकृति देखें)। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

समाधान:किसी दिए गए आंकड़े के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आप पिक फॉर्मूला का उपयोग कर सकते हैं:

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम चयन सूत्र का उपयोग करेंगे:

एस= बी +	जी
	2

जहां बी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

यह भी देखें: भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा: दोलन समस्याओं को हल करना

टास्क नंबर 4- पाठ्यक्रम का कार्य "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी"। सरलतम स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4.वृत्त पर 5 लाल और 1 नीले बिंदु अंकित हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज अधिक हैं: वे सभी शीर्षों वाले लाल हैं, या वे जिनमें से एक शीर्ष नीला है। अपने उत्तर में, इंगित करें कि कुछ में से कितने दूसरों की तुलना में अधिक हैं।

समाधान: 1) हम संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसमें सभी शीर्ष लाल हैं।

3) एक पंचभुज जिसमें सभी शीर्ष लाल हों।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज, एक नीली चोटी के साथ लाल चोटियों के साथ।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिसमें सभी शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज नीले बिंदु का उपयोग करते हुए।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - एक कोने के साथ कितने बहुभुज - एक नीला बिंदु, सभी शीर्षों वाले बहुभुज से अधिक केवल लाल।

उत्तर: 10.

टास्क नंबर 5- पहले भाग का मूल स्तर सरलतम समीकरणों (तर्कहीन, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5.समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एन एस 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एन एस	=	2	,
5 3 + एन एस			5				5

जहां से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

टास्क नंबर 6ज्यामिति की भाषा में वास्तविक स्थितियों की मॉडलिंग करते हुए, ज्यामितीय मात्रा (लंबाई, कोण, क्षेत्र) खोजने के लिए योजनामिति पर। ज्यामितीय अवधारणाओं और प्रमेयों का उपयोग करके निर्मित मॉडलों की जांच। कठिनाइयों का स्रोत, एक नियम के रूप में, आवश्यक योजनामिति प्रमेयों की अज्ञानता या गलत अनुप्रयोग है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर है। डे- पक्ष के समानांतर मध्य रेखा अब... समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

समाधान।त्रिकोण सीडीईत्रिकोण की तरह टैक्सीदो कोनों में, शीर्ष कोण के बाद से सीसामान्य, कोण सीडीईकोण के बराबर टैक्सीसंगत कोणों के रूप में डे || अबकाटनेवाला एसी... चूंकि डे- त्रिभुज की मध्य रेखा स्थिति से, फिर मध्य रेखा के गुण से | डे = (1/2)अब... इसका मतलब है कि समानता का गुणांक 0.5 है। ऐसे आंकड़ों के क्षेत्र समानता के गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित हैं, इसलिए

अत, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

टास्क नंबर 7- फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के आवेदन की जांच करता है। सफल कार्यान्वयन के लिए, व्युत्पन्न की अवधारणा का एक सार्थक, गैर-औपचारिक ज्ञान आवश्यक है।

उदाहरण 7.फंक्शन ग्राफ पर जाएं आप = एफ(एक्स) एब्सिस्सा के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्श रेखा खींची जाती है, जो इस आलेख के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा पर लंबवत होती है। पाना एफ′( एक्स 0).

समाधान। 1) आइए दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें और बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16 | · (-1)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा का ढाल ज्ञात कीजिए क 2, जो सीधी रेखा के लंबवत है आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) स्पर्शरेखा का ढलान स्पर्शरेखा के बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न है। माध्यम, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

उत्तर: –0,25.

टास्क नंबर 8- प्रारंभिक स्टीरियोमेट्री के परीक्षा ज्ञान के प्रतिभागियों का परीक्षण करता है, सतहों के क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा, डायहेड्रल कोणों को खोजने के लिए सूत्रों को लागू करने की क्षमता, समान आंकड़ों के संस्करणों की तुलना करने के लिए, ज्यामितीय आंकड़ों के साथ कार्रवाई करने में सक्षम होने के लिए, निर्देशांक और वैक्टर, आदि।

गोले के चारों ओर वर्णित घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = ए 3 (जहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में अंकित है, इसका अर्थ है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = ए, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

टास्क नंबर 9- बीजीय व्यंजकों को बदलने और सरल बनाने के लिए स्नातक की आवश्यकता होती है। एक संक्षिप्त उत्तर के साथ बढ़े हुए कठिनाई स्तर का कार्य संख्या 9। परीक्षा में "गणना और परिवर्तन" अनुभाग के कार्य कई प्रकारों में विभाजित हैं:

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक / वर्णानुक्रमिक अपरिमेय भावों को परिवर्तित करना;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

संख्यात्मक/वर्णमाला त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना।

उदाहरण 9. tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क के सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

टीजी 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, टीजी 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए, α द्वितीय तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # टास्क नंबर 10- अभ्यास और रोजमर्रा की जिंदगी में शुरुआती अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता का परीक्षण करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी में समस्याएँ हैं, गणित में नहीं, बल्कि सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ स्थिति में दी गई हैं। कार्यों को एक रैखिक या द्विघात समीकरण, या एक रैखिक या द्विघात असमानता को हल करने के लिए कम कर दिया जाता है। इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर या तो एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश होना चाहिए।

दो शवों का वजन एम= 2 किग्रा प्रत्येक, समान गति से गति करते हुए वी= 10 मी/से एक दूसरे से 2α के कोण पर। उनके पूर्णतः बेलोचदार संघटन के दौरान निर्मुक्त ऊर्जा (जूल में) व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α. सबसे छोटा कोण क्या है 2α (डिग्री में) पिंडों को हिलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल निकल सकें?
समाधान।समस्या को हल करने के लिए, हमें अंतराल 2α (0 °; 180 °) पर असमानता Q 50 को हल करने की आवश्यकता है।

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 पाप 2 α 50

चूंकि α (0 °; 90 °), हम केवल हल करेंगे

आइए हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें:

चूंकि, परिकल्पना से, α (0 °; 90 °), इसका अर्थ 30 ° α . है< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- विशिष्ट है, लेकिन छात्रों के लिए मुश्किल साबित होता है। कठिनाई का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल (एक समीकरण तैयार करना) का निर्माण है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11.स्प्रिंग ब्रेक के दौरान, 11-ग्रेडर वास्या को यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना था। 18 मार्च को, स्कूल के आखिरी दिन, वास्या ने 5 समस्याओं का समाधान किया। फिर, हर दिन, उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही अधिक समस्याओं को हल किया। निर्धारित करें कि छुट्टी के आखिरी दिन 2 अप्रैल को वास्या ने कितनी समस्याओं का समाधान किया।

समाधान:हम निरूपित करते हैं ए 1 = 5 - वास्या ने 18 मार्च को हल की गई समस्याओं की संख्या, डी- वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक के दिनों की संख्या को मिलाकर, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, ए 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल की गई समस्याओं की संख्या। यह जानते हुए कि हर दिन वास्या ने पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में समस्याएँ हल कीं, तो आप एक अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

उत्तर: 65.

टास्क नंबर 12- कार्यों के साथ कार्य करने के लिए छात्रों की क्षमता का परीक्षण करें, किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10ln ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ) से संबंधित है। आइए हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को चित्रित करें:

अधिकतम बिंदु की तलाश एक्स = –8.

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टास्क नंबर 13-एक विस्तृत उत्तर के साथ कठिनाई का बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया गया।

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ों को खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	क्योंकि एक्स =	4,5	के बाद से \|कोस एक्स\| ≤ 1,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		क्योंकि एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

आकृति से यह देखा जा सकता है कि जड़ें

11π	तथा	13π	.
6		6

उत्तर:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

टास्क नंबर 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार की परिधि का व्यास 20 है, बेलन का जनक 28 है। समतल अपने आधार को 12 और 16 लंबाई की जीवाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक तरफ होते हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान: a) 12 की लंबाई वाली एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से = 8 की दूरी पर स्थित है, और एक जीवा जिसकी लंबाई 16 है, इसी तरह, 6 की दूरी पर। इसलिए, एक पर उनके प्रक्षेपणों के बीच की दूरी बेलन के आधारों के समांतर तल या तो 8 + 6 = 14, या 8 - 6 = 2 है।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरे मामले का एहसास हुआ, जिसमें जीवाओं के अनुमान सिलेंडर अक्ष के एक तरफ होते हैं। इसका अर्थ है कि अक्ष इस तल को बेलन के भीतर नहीं काटता है, अर्थात आधार इसके एक तरफ स्थित है। क्या साबित करना था।

बी) आइए ओ 1 और ओ 2 के लिए आधारों के केंद्रों को नामित करें। आइए हम आधार के केंद्र से 12 लंबाई की एक जीवा के साथ इस जीवा पर एक मध्य लंबवत खींचते हैं (इसकी लंबाई 8 है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरी जीवा तक। वे एक ही तल β में स्थित हैं, जो इन जीवाओं के लंबवत हैं। हम छोटी जीवा B के मध्य बिंदु को A से बड़ा और दूसरे आधार H (H β) पर A के प्रक्षेपण को कहते हैं। तब AB, AH ∈ β और इसलिए AB, AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात दिए गए तल के साथ आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा।

अत: अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटजी	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- एक विस्तृत उत्तर के साथ कठिनाई का एक बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

उदाहरण 15.असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

समाधान:इस असमानता का क्षेत्र अंतराल (-1; + ) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी एन एस= 0 या एन एस= 3. इस मामले में, यह असमानता सच हो जाती है, इसलिए, इन मूल्यों को समाधान में शामिल किया जाता है।

2) अब चलो एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी एक्स(-1; 0) (3; + )। इसके अलावा, इस असमानता को फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और सकारात्मक से विभाजित करें एक्स 2 – 3एक्स... हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स 0.5 -1 या एक्स-0.5। परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स(0; 3)। इस मामले में, मूल असमानता को फिर से लिखा जाएगा (3 .) एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. सकारात्मक अभिव्यक्ति द्वारा विभाजन के बाद 3 एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स 1. क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

टास्क नंबर 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांक और वैक्टर के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं। पहले पैराग्राफ में, कार्य को सिद्ध किया जाना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में इसकी गणना की जानी चाहिए।

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में शीर्ष A पर 120° का कोण है, एक समद्विभाजक BD खींचा गया है। आयत DEFH को त्रिभुज ABC में अंकित किया गया है ताकि भुजा FH खंड BC पर स्थित हो, और शीर्ष E खंड AB पर स्थित हो। a) सिद्ध कीजिए कि FH = 2DH। b) आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AB = 4 है।

समाधान:ए)

1) ΔBEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, फिर EF = BE 30 ° के कोण के विपरीत स्थित पैर के गुण से।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ABC समद्विबाहु है, इसका अर्थ है कि B = C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2 (3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

उत्तर: 24 – 12√3.

टास्क नंबर 17- एक विस्तृत उत्तर के साथ एक कार्य, यह कार्य अभ्यास और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के आवेदन, गणितीय मॉडल बनाने और तलाशने की क्षमता का परीक्षण करता है। यह असाइनमेंट आर्थिक सामग्री के साथ एक टेक्स्ट समस्या है।

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि को चार साल के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में अपनी जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा की भरपाई करता है एन एसमिलियन रूबल, जहां एन एस - पूरा का पूरासंख्या। सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए एन एस, जिसमें बैंक चार साल में जमा पर 17 मिलियन से कम रूबल अर्जित करेगा।

समाधान:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) होगा (24.2 + .) एन एस), और अंत में - (24,2 + एनएस) + (24,2 + एनएस) 0.1 = (26.62 + 1.1 .) एन एस) चौथे वर्ष की शुरुआत में योगदान होगा (26.62 + 2.1 .) एनएस), और अंत में - (26.62 + 2.1 .) एन एस) + (26,62 + 2,1एन एस) 0.1 = (29.282 + 2.31 .) एन एस) परिकल्पना के द्वारा, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक x ज्ञात करना होगा जिसके लिए असमानता

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

टास्क नंबर 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों के गणितीय प्रशिक्षण के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। टास्क 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अलावा उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किसके अंदर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1

	आप + ए ≤ \|एक्स\| – ए

ठीक दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– ए) 2 ≤ 1

	आप ≤ \|एक्स\| – ए

यदि हम समतल पर पहली असमानता के हलों का समुच्चय खींचते हैं, तो हमें बिंदु (0, ए) दूसरी असमानता के समाधान का समुच्चय समतल का वह भाग है जो फलन के ग्राफ के नीचे स्थित होता है आप = | एक्स| – ए, और बाद वाला फंक्शन ग्राफ है
आप = | एक्स| द्वारा नीचे स्थानांतरित किया गया ए... इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानता के समाधान सेट का प्रतिच्छेदन है।

नतीजतन, इस प्रणाली के केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। 1.

सीधी रेखाओं वाले वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदु निकाय के दो हल होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा 45 ° के कोण पर कुल्हाड़ियों की ओर झुकी होती है। तो त्रिभुज पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु। बिंदु क्यूनिर्देशांक हैं (0, ए), और बिंदु आर- निर्देशांक (0, - ए) इसके अलावा, खंड जनसंपर्कतथा पी क्यू 1 के बराबर वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए,

क्यूआर= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

उत्तर: ए =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों के गणितीय प्रशिक्षण के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों के प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता का कार्य एक समाधान पद्धति को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन के लिए है। कार्य 19 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, ज्ञात विधियों में से विभिन्न दृष्टिकोणों को चुनकर, अध्ययन की गई विधियों को संशोधित करते हुए, समाधान खोजने में सक्षम होना आवश्यक है।

रहने दो एस.एन.योग एन एसअंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक) यह जाना जाता है कि एस नहीं + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र को इंगित करें एन एसइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) कम से कम मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें एन एसजिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

समाधान: ए) यह स्पष्ट है कि एक = एस नहीं – एस नहीं- 1. इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) चूंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स |... इसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

जाहिर है, सबसे छोटा मान पूर्णांक बिंदुओं पर पहुंचता है जो फ़ंक्शन के शून्य के सबसे करीब होते हैं। जाहिर है ये बिंदु हैं एन एस= 1, एन एस= 12 और एन एस= 13. चूंकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, एस(13) = |एस 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) पिछले बिंदु से यह इस प्रकार है कि एस.एन.सकारात्मक रूप से से शुरू एन= 13. चूंकि एस नहीं = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन- 25), तब स्पष्ट स्थिति जब यह व्यंजक एक पूर्ण वर्ग होता है, तब प्राप्त होता है जब एन = 2एन- 25, यानी, अत एन एस= 25.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13, एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 2321, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए एन एसपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं होता है।

उत्तर:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

________________

* मई 2017 से, संयुक्त प्रकाशन समूह "DROFA-VENTANA" "रूसी पाठ्यपुस्तक" निगम का एक हिस्सा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच भी शामिल है। अलेक्जेंडर ब्रिचकिन, रूसी संघ की सरकार के तहत वित्तीय अकादमी के स्नातक, अर्थशास्त्र में पीएचडी, डिजिटल शिक्षा के क्षेत्र में DROFA प्रकाशन गृह की नवीन परियोजनाओं के प्रमुख (पाठ्यपुस्तकों के इलेक्ट्रॉनिक रूप, रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल, डिजिटल शैक्षिक मंच LECTA) को सामान्य निदेशक नियुक्त किया गया है। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के लिए उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज प्रकाशन निगम "रूसी पाठ्यपुस्तक" के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, एक विशेष स्कूल के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर)। निगम के प्रकाशन गृह भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान - ज्ञान के क्षेत्रों पर रूसी स्कूलों द्वारा देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक पाठ्यपुस्तकों के सेट के मालिक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में प्राथमिक विद्यालय की पाठ्यपुस्तकें और शिक्षण सहायक सामग्री शामिल हैं जिन्हें राष्ट्रपति शिक्षा पुरस्कार मिला है। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और नियमावली हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और उत्पादन क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

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माध्यमिक सामान्य शिक्षा

UMK Merzlyak लाइन। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

गणित

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और एक शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफाइल स्तर पर परीक्षा कार्य 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता असाइनमेंट का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में एक पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) होते हैं और एक विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) होते हैं (निर्णय का एक पूरा रिकॉर्ड के औचित्य के साथ कार्रवाई की गई)।

समाधान:

1) आइए प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात करें:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) आइए जानें कि खर्च किए गए पानी के लिए कितना पैसा देना होगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

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समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - सभी खरीदे गए शेयरों का 3/4 बनाते हैं।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - व्यवसायी को बिक्री के बाद 1000 शेयर प्राप्त हुए।

7)340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - सभी कार्यों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम चयन सूत्र का उपयोग करेंगे:

एस= बी +	जी
	2

जहां बी = 10, जी = 6, इसलिए

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

जिसमें सभी शीर्ष लाल हैं।

3) एक पंचभुज जिसमें सभी शीर्ष लाल हों।

4) 10 + 5 + 1 = 16 बहुभुज जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

जिनके शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज, एक नीली चोटी के साथ लाल चोटियों के साथ।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिसमें सभी शीर्ष लाल या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज नीले बिंदु का उपयोग करते हुए।

उत्तर: 10.

उदाहरण 5.समीकरण को हल करें 2 3 + एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3 + . से भाग दें एन एस 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एन एस	=	2	,
5 3 + एन एस			5				5

जहां से यह इस प्रकार है कि 3 + एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

अत, स अबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

(आप – आप 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(आप 2 – आप 1)

(आप – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(आप – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–आप + 3 = –4एक्स+ 16 | · (-1)

आप – 3 = 4एक्स – 16

आप = 4एक्स- 13, जहां क 1 = 4.

उत्तर: –0,25.

गोले के चारों ओर वर्णित घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = ए 3 (जहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों के रूपांतरण;

संख्यात्मक / वर्णानुक्रमिक अपरिमेय भावों को परिवर्तित करना;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

संख्यात्मक/वर्णमाला त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना।

उदाहरण 9. tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 and

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क के सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

टीजी 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

इसलिए, टीजी 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए, α द्वितीय तिमाही का कोण है और tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

एमवी 2 पाप 2 α 50

2 10 2 पाप 2 α 50

200 पाप 2 α 50

चूंकि α (0 °; 90 °), हम केवल हल करेंगे

आइए हम असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

उत्तर: 65.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें आप= 10ln ( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> -9, यानी x (–9; )।

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

अधिकतम बिंदु की तलाश एक्स = –8.

a) समीकरण को हल करें 2log 3 2 (2cos .) एक्स) - 5 लोग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ों को खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos .) एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	क्योंकि एक्स =	4,5	के बाद से \|कोस एक्स\| ≤ 1,

लॉग 3 (2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		क्योंकि एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

आकृति से यह देखा जा सकता है कि जड़ें

11π	तथा	13π	.
6		6

उत्तर:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

a) सिद्ध कीजिए कि बेलन के आधारों के केंद्र इस तल के एक तरफ होते हैं।

ख) इस तल और बेलन के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

तब जीवाओं के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

अत: अभीष्ट कोण है

एबीएच = आर्कटजी	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक 14.
	बिहार		8 – 6

उदाहरण 15.असमानता को हल करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

समाधान:इस असमानता का क्षेत्र अंतराल (-1; + ) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

प्राप्त समाधानों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

समाधान:ए)

1) ΔBEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, फिर EF = BE 30 ° के कोण के विपरीत स्थित पैर के गुण से।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स 3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ABC समद्विबाहु है, इसका अर्थ है कि B = C = 30˚।

BD, B का समद्विभाजक है, इसलिए ABD = DBC = 15˚।

4) DBH - आयताकार पर विचार करें, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - 3

2) एसडीईएफ़एच = ईडी ईएफ = (3 - √3) 2 (3 - √3)

एसडीईएफ़एच = 24 - 12√3।

उत्तर: 24 – 12√3.

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

किसके अंदर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + आप 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1

	आप + ए ≤ \|एक्स\| – ए

ठीक दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (आप– ए) 2 ≤ 1

	आप ≤ \|एक्स\| – ए

नतीजतन, इस प्रणाली के केवल अंजीर में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। 1.

क्यूआर= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

उत्तर: ए =	√2	.
	2

ए) सूत्र को इंगित करें एन एसइस प्रगति के वें सदस्य।

बी) कम से कम मॉड्यूल योग खोजें एस नहीं.

सी) सबसे छोटा खोजें एन एसजिस पर एस नहींएक पूर्णांक का वर्ग होगा।

एस नहीं = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस नहीं – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

यह 13 से 25 तक के मूल्यों की जांच करने के लिए बनी हुई है:

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए एन एसपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं होता है।

उत्तर:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

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इस खंड में, हम एक बुनियादी, विशेष स्तर के रूप में गणित में परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं - हम समस्या विश्लेषण, परीक्षण, परीक्षा विवरण और उपयोगी सिफारिशें प्रस्तुत करते हैं। हमारे संसाधन का उपयोग करके, आप कम से कम यह पता लगाएंगे कि समस्याओं को कैसे हल किया जाए और 2019 में गणित में परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने में सक्षम हो। शुरू!

गणित में USE कक्षा 11 में किसी भी छात्र के लिए एक अनिवार्य परीक्षा है, इसलिए इस खंड में प्रस्तुत जानकारी सभी के लिए प्रासंगिक है। गणित की परीक्षा को दो प्रकारों में बांटा गया है - बेसिक और प्रोफाइल। इस खंड में, मैं दो विकल्पों के लिए विस्तृत विवरण के साथ प्रत्येक प्रकार के कार्य का विश्लेषण प्रदान करता हूं। यूएसई असाइनमेंट सख्ती से विषयगत हैं, इसलिए, प्रत्येक मुद्दे के लिए, आप सटीक सिफारिशें दे सकते हैं और इस प्रकार के असाइनमेंट को हल करने के लिए आवश्यक सिद्धांत को सटीक रूप से दे सकते हैं। नीचे आपको असाइनमेंट के लिंक मिलेंगे, जिन पर क्लिक करके आप थ्योरी का अध्ययन कर सकते हैं और उदाहरणों को अलग कर सकते हैं। उदाहरण लगातार अपडेट और अपडेट किए जाते हैं।

गणित में परीक्षा के बुनियादी स्तर की संरचना

बुनियादी गणित में परीक्षा के पेपर में शामिल हैं एक टुकड़ा , जिसमें संक्षिप्त उत्तर के साथ 20 कार्य शामिल हैं। सभी कार्यों का उद्देश्य रोजमर्रा की स्थितियों में गणितीय ज्ञान को लागू करने में बुनियादी कौशल और व्यावहारिक कौशल में महारत हासिल करना है।

प्रत्येक कार्य का उत्तर 1-20 है पूर्णांक, अंतिम दशमलव , या संख्याओं का क्रम .

एक संक्षिप्त उत्तर वाला सत्रीय कार्य पूरा माना जाता है यदि सही उत्तर उत्तर प्रपत्र संख्या 1 में दिए गए प्रपत्र में नियत कार्य को पूरा करने के लिए दिए गए निर्देशों में दर्ज किया जाता है।

प्रकार