सामग्री का प्रतिरोध, झुकने के प्रकार। श्रेणी अभिलेखागार: झुकने की समस्याएँ। सामान्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

झुकना एक बीम की लोडिंग का प्रकार है जिसमें अनुदैर्ध्य अक्ष से गुजरने वाले विमान में लेटे हुए उस पर एक क्षण लगाया जाता है। झुकने वाले क्षण बीम के क्रॉस सेक्शन में होते हैं। झुकने पर विकृति उत्पन्न होती है जिसमें अक्ष मुड़ जाता है सीधी लकड़ीया टेढ़ी किरण की वक्रता बदलना।

वह किरण जो झुकती है, कहलाती है खुशी से उछलना . एक संरचना जिसमें कई मोड़ने योग्य छड़ें होती हैं, जो अक्सर 90° के कोण पर एक दूसरे से जुड़ी होती हैं, कहलाती हैं चौखटा .

मोड़ कहा जाता है सपाट या सीधा , यदि लोड विमान अनुभाग की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष से होकर गुजरता है (चित्र 6.1)।

चित्र.6.1

समतल अनुप्रस्थ झुकने के दौरान, बीम में दो प्रकार की आंतरिक शक्तियाँ उत्पन्न होती हैं: अनुप्रस्थ बल क्यूऔर झुकने का क्षण एम. सपाट अनुप्रस्थ झुकने वाले फ्रेम में, तीन बल उत्पन्न होते हैं: अनुदैर्ध्य एन, अनुप्रस्थ क्यूबल और झुकने का क्षण एम.

यदि बंकन आघूर्ण ही एकमात्र आंतरिक बल कारक है, तो ऐसे बंकन को कहा जाता है साफ (चित्र 6.2)। जब अपरूपण बल होता है तो झुकना कहलाता है आड़ा . कड़ाई से बोलते हुए, को सरल प्रकारप्रतिरोध ही लागू होता है शुद्ध मोड़; अनुप्रस्थ झुकने को पारंपरिक रूप से एक सरल प्रकार के प्रतिरोध के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि ज्यादातर मामलों में (पर्याप्त लंबी बीम के लिए) ताकत की गणना करते समय अनुप्रस्थ बल के प्रभाव को नजरअंदाज किया जा सकता है।

22.सपाट अनुप्रस्थ मोड़. आंतरिक बलों और बाहरी भार के बीच अंतर निर्भरता।झुकने के क्षण के बीच, कतरनी बलऔर वितरित भार की तीव्रता, ज़ुरावस्की प्रमेय के आधार पर भिन्न निर्भरताएँ हैं, जिसका नाम रूसी पुल इंजीनियर डी.आई. ज़ुरावस्की (1821-1891) के नाम पर रखा गया है।

यह प्रमेय इस प्रकार तैयार किया गया है:

अनुप्रस्थ बल बीम अनुभाग के भुज के साथ झुकने वाले क्षण के पहले व्युत्पन्न के बराबर है।

23. सपाट अनुप्रस्थ मोड़। अपरूपण बलों और बंकन क्षणों के आरेख आलेखित करना। अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 1

आइए बीम के दाहिने हिस्से को हटा दें और बाईं ओर इसकी क्रिया को अनुप्रस्थ बल और झुकने वाले क्षण से बदलें। गणना में आसानी के लिए, आइए बीम के छोड़े गए दाहिने हिस्से को कागज के एक टुकड़े से ढक दें, शीट के बाएं किनारे को विचाराधीन अनुभाग 1 के साथ संरेखित करें।

बीम के खंड 1 में अनुप्रस्थ बल बंद होने के बाद दिखाई देने वाले सभी बाहरी बलों के बीजगणितीय योग के बराबर है

हम केवल नीचे की ओर निर्देशित समर्थन की प्रतिक्रिया देखते हैं। इस प्रकार, अपरूपण बल है:

के.एन.

हमने "माइनस" चिन्ह इसलिए लिया क्योंकि बल पहले खंड के सापेक्ष हमें दिखाई देने वाले किरण के हिस्से को वामावर्त घुमाता है (या क्योंकि यह संकेत नियम के अनुसार अनुप्रस्थ बल की दिशा के समान दिशा में है)

बीम के खंड 1 में झुकने का क्षण उन सभी बलों के क्षणों के बीजगणितीय योग के बराबर है जो हम विचाराधीन खंड 1 के सापेक्ष बीम के छोड़े गए हिस्से को बंद करने के बाद देखते हैं।

हम दो बल देखते हैं: समर्थन की प्रतिक्रिया और क्षण एम। हालाँकि, बल का एक कंधा होता है जो व्यावहारिक रूप से शून्य के बराबर होता है। इसलिए, झुकने का क्षण बराबर है:

केएनएम.

यहां हमने "प्लस" चिह्न लिया क्योंकि बाहरी क्षण एम हमें दिखाई देने वाले किरण के हिस्से को उत्तल के साथ नीचे की ओर मोड़ता है। (या क्योंकि यह संकेत नियम के अनुसार झुकने के क्षण की दिशा के विपरीत है)

अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 2

पहले खंड के विपरीत, प्रतिक्रिया बल में अब कंधे के बराबर है।

कतरनी बल:

केएन;

बेंडिंग मोमेंट:

अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 3

कतरनी बल:

बेंडिंग मोमेंट:

अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 4

अब यह अधिक सुविधाजनक है बीम के बाईं ओर को एक शीट से ढक दें.

कतरनी बल:

बेंडिंग मोमेंट:

अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 5

कतरनी बल:

बेंडिंग मोमेंट:

अपरूपण बलों और बंकन क्षणों का निर्धारण - खंड 1

कतरनी बल और झुकने का क्षण:

.

पाए गए मानों का उपयोग करते हुए, हम अनुप्रस्थ बलों (चित्र 7.7, बी) और झुकने वाले क्षणों (चित्र 7.7, सी) का एक आरेख बनाते हैं।

आरेखों के निर्माण की शुद्धता का नियंत्रण

आइए, आरेख निर्माण के नियमों का उपयोग करके यह सुनिश्चित करें कि बाहरी विशेषताओं के आधार पर आरेख सही ढंग से बनाए गए हैं।

कतरनी बल आरेख की जाँच करना

हम आश्वस्त हैं: अनलोड किए गए क्षेत्रों के तहत अनुप्रस्थ बलों का आरेख बीम की धुरी के समानांतर चलता है, और वितरित भार क्यू के तहत - नीचे की ओर झुकी हुई सीधी रेखा के साथ। अनुदैर्ध्य बल के आरेख पर तीन छलांगें हैं: प्रतिक्रिया के तहत - 15 kN नीचे, बल P के तहत - 20 kN नीचे और प्रतिक्रिया के तहत - 75 kN ऊपर।

बंकन आघूर्ण आरेख की जाँच करना

झुकने वाले क्षणों के आरेख में हम संकेंद्रित बल पी के तहत और समर्थन प्रतिक्रियाओं के तहत किंक देखते हैं। फ्रैक्चर कोण इन बलों की ओर निर्देशित होते हैं। एक वितरित भार q के तहत, झुकने वाले क्षणों का आरेख एक द्विघात परवलय के साथ बदलता है, जिसकी उत्तलता भार की ओर निर्देशित होती है। खंड 6 में झुकने वाले क्षण के आरेख पर एक चरम है, क्योंकि इस स्थान पर अनुप्रस्थ बल का आरेख शून्य मान से होकर गुजरता है।

सीधा झुकना- यह एक प्रकार की विकृति है जिसमें छड़ के क्रॉस सेक्शन में दो आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं: झुकने का क्षण और अनुप्रस्थ बल।

साफ़ मोड़- यह विशेष मामला सीधा मोड़, जिसमें छड़ के क्रॉस सेक्शन में केवल एक झुकने वाला क्षण होता है, और अनुप्रस्थ बल शून्य होता है।

शुद्ध मोड़ का एक उदाहरण - एक खंड सीडीछड़ी पर अब. बेंडिंग मोमेंटमात्रा है देहातबाहरी बलों की एक जोड़ी जो झुकने का कारण बनती है। रॉड के बायीं ओर का भाग संतुलन से बाहर हो गया क्रॉस सेक्शन एम.एन.इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस खंड पर वितरित आंतरिक बल सांख्यिकीय रूप से क्षण के समतुल्य हैं एम, झुकने वाले क्षण के बराबर और विपरीत देहात.

क्रॉस सेक्शन पर इन आंतरिक बलों के वितरण को खोजने के लिए, रॉड के विरूपण पर विचार करना आवश्यक है।

सबसे सरल मामले में, छड़ में समरूपता का एक अनुदैर्ध्य विमान होता है और यह इस विमान में स्थित बलों के बाहरी झुकने वाले जोड़े की कार्रवाई के अधीन होता है। फिर झुकना उसी तल में होगा।

रॉड अक्ष एनएन 1यह अपने अनुप्रस्थ काट के गुरुत्वाकर्षण केन्द्रों से होकर गुजरने वाली एक रेखा है।

माना कि छड़ का अनुप्रस्थ काट एक आयत है। आइए इसके किनारों पर दो लंबवत रेखाएँ खींचें मिमीऔर पीपी. झुकते समय, ये रेखाएँ सीधी रहती हैं और घूमती हैं ताकि वे छड़ के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लंबवत रहें।

झुकने का आगे का सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि न केवल रेखाएँ मिमीऔर पीपी, लेकिन रॉड का पूरा सपाट क्रॉस-सेक्शन, झुकने के बाद, रॉड के अनुदैर्ध्य तंतुओं के लिए सपाट और सामान्य रहता है। इसलिए, झुकने के दौरान, क्रॉस सेक्शन मिमीऔर पीपीझुकने वाले तल (ड्राइंग तल) के लंबवत अक्षों के चारों ओर एक दूसरे के सापेक्ष घूमें। इस मामले में, उत्तल पक्ष पर अनुदैर्ध्य फाइबर तनाव का अनुभव करते हैं, और अवतल पक्ष पर फाइबर संपीड़न का अनुभव करते हैं।

तटस्थ सतह- यह एक ऐसी सतह है जो झुकने पर विरूपण का अनुभव नहीं करती है। (अब यह ड्राइंग के लंबवत स्थित है, रॉड की विकृत धुरी एनएन 1इस सतह से संबंधित है)।

अनुभाग की तटस्थ धुरी- यह किसी भी क्रॉस-सेक्शन (अब ड्राइंग के लंबवत भी स्थित) के साथ एक तटस्थ सतह का प्रतिच्छेदन है।

मान लीजिए कि एक मनमाना फाइबर कुछ दूरी पर है यएक तटस्थ सतह से. ρ – घुमावदार अक्ष की वक्रता त्रिज्या. डॉट हे– वक्रता का केंद्र. चलो एक रेखा खींचते हैं एन 1 एस 1समानांतर मिमी.एसएस 1- पूर्ण फाइबर बढ़ाव।

बढ़ाव ε एक्सफाइबर

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अनुदैर्ध्य तंतुओं का विरूपणदूरी के समानुपाती यतटस्थ सतह से और वक्रता त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती ρ .

छड़ के उत्तल पक्ष के तंतुओं का अनुदैर्ध्य बढ़ाव होता है पार्श्विक संकुचन, और अवतल पक्ष का अनुदैर्ध्य छोटा होना है पार्श्व विस्तार, जैसा कि साधारण खिंचाव और संपीड़न के मामले में होता है। इसके कारण, सभी क्रॉस सेक्शन का स्वरूप बदल जाता है, आयत की ऊर्ध्वाधर भुजाएँ झुक जाती हैं। पार्श्व विकृति जेड:

μ - पिज़ोन अनुपात।

इस विकृति के कारण सभी सीधी अनुप्रस्थ काट रेखाएं अक्ष के समानांतर हो जाती हैं जेड, इस प्रकार मुड़े हुए हैं कि अनुभाग के पार्श्व भाग सामान्य बने रहें। इस वक्र की वक्रता त्रिज्या आरसे भी अधिक होगा ρ उसी संबंध में ε निरपेक्ष मान में x से अधिक है ε z और हमें मिलता है

अनुदैर्ध्य तंतुओं की ये विकृतियाँ तनाव के अनुरूप होती हैं

किसी भी फाइबर में वोल्टेज तटस्थ अक्ष से उसकी दूरी के समानुपाती होता है एन 1 एन 2. तटस्थ अक्ष स्थिति और वक्रता त्रिज्या ρ - समीकरण में दो अज्ञात σ x - इस स्थिति से निर्धारित किया जा सकता है कि किसी भी क्रॉस सेक्शन पर वितरित बल बलों की एक जोड़ी बनाते हैं जो बाहरी क्षण को संतुलित करता है एम.

उपरोक्त सभी भी सत्य हैं यदि छड़ में समरूपता का एक अनुदैर्ध्य विमान नहीं है जिसमें झुकने वाला क्षण कार्य करता है, जब तक कि झुकने वाला क्षण अक्षीय विमान में कार्य करता है, जिसमें दो में से एक होता है मुख्य अक्षक्रॉस सेक्शन। इन विमानों को कहा जाता है मुख्य झुकने वाले विमान.

जब समरूपता का एक तल होता है और बंकन आघूर्ण इस तल में कार्य करता है, तो विक्षेपण ठीक उसी में होता है। अक्ष के सापेक्ष आंतरिक बलों के क्षण जेडबाहरी क्षण को संतुलित करें एम. धुरी के बारे में प्रयास के क्षण यपरस्पर नष्ट हो जाते हैं।

झुकने के दौरान बीम (छड़) के विरूपण की प्रकृति का दृश्य रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए, निम्नलिखित प्रयोग किया जाता है। रबर बीम के पार्श्व किनारों पर आयताकार खंडरेखाओं का एक ग्रिड बीम की धुरी के समानांतर और लंबवत लगाया जाता है (चित्र 30.7, ए)। फिर क्षणों को बीम के सिरों पर लागू किया जाता है (चित्र 30.7, बी), बीम के समरूपता के विमान में कार्य करते हुए, इसके प्रत्येक क्रॉस सेक्शन को जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक के साथ काटते हुए। बीम की धुरी और उसके प्रत्येक क्रॉस सेक्शन की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक से गुजरने वाले विमान को मुख्य विमान कहा जाएगा।

क्षणों के प्रभाव में, किरण एक सीधे शुद्ध मोड़ का अनुभव करती है। विरूपण के परिणामस्वरूप, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, बीम की धुरी के समानांतर ग्रिड रेखाएं मुड़ जाती हैं, जिससे उनके बीच समान दूरी बनी रहती है। जब चित्र में दर्शाया गया है। 30.7, बी क्षणों की दिशा में, बीम के ऊपरी हिस्से में ये रेखाएं लंबी हो जाती हैं, और निचले हिस्से में इन्हें छोटा कर दिया जाता है।

बीम की धुरी के लंबवत प्रत्येक ग्रिड लाइन को बीम के कुछ क्रॉस सेक्शन के विमान के निशान के रूप में माना जा सकता है। चूँकि ये रेखाएँ सीधी रहती हैं, इसलिए यह माना जा सकता है कि बीम के क्रॉस सेक्शन, विरूपण से पहले सपाट, विरूपण के दौरान सपाट रहते हैं।

अनुभव पर आधारित इस धारणा को समतल खंडों की परिकल्पना या बर्नौली की परिकल्पना के रूप में जाना जाता है (देखें § 6.1)।

समतल खंडों की परिकल्पना न केवल शुद्ध झुकने पर लागू होती है, बल्कि अनुप्रस्थ झुकने पर भी लागू होती है। अनुप्रस्थ झुकने के लिए यह अनुमानित है, और शुद्ध झुकने के लिए यह सख्त है, जिसकी पुष्टि लोच सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके किए गए सैद्धांतिक अध्ययनों से होती है।

आइए अब ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में सममित क्रॉस सेक्शन वाले एक सीधे बीम पर विचार करें, जो दाएं छोर पर एम्बेडेड है और बीम के मुख्य विमानों में से एक में अभिनय करने वाले बाहरी क्षण के साथ बाएं छोर पर लोड किया गया है (चित्र 31.7)। इस बीम के प्रत्येक क्रॉस सेक्शन में, केवल झुकने वाले क्षण उत्पन्न होते हैं जो क्षण के समान विमान में कार्य करते हैं

इस प्रकार, अपनी पूरी लंबाई के साथ बीम सीधी, शुद्ध झुकने की स्थिति में है। बीम के अलग-अलग खंड शुद्ध झुकने की स्थिति में हो सकते हैं, भले ही यह अनुप्रस्थ भार के अधीन हो; उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए बीम का खंड 11 शुद्ध झुकने का अनुभव करता है। 32.7; इस अनुभाग के अनुभागों में कतरनी बल

विचाराधीन बीम से (चित्र 31.7 देखें) हम लंबाई का एक तत्व चुनते हैं। विरूपण के परिणामस्वरूप, जैसा कि बर्नौली की परिकल्पना से होता है, खंड सपाट रहेंगे, लेकिन एक निश्चित कोण पर एक दूसरे के सापेक्ष झुकेंगे। आइए हम बाएं खंड को सशर्त रूप से स्थिर मानें। फिर, एक कोण के माध्यम से दाएं खंड को घुमाने के परिणामस्वरूप, यह स्थिति ले लेगा (चित्र 33.7)।

सीधी रेखाएँ एक निश्चित बिंदु A पर प्रतिच्छेद करेंगी, जो तत्व के अनुदैर्ध्य तंतुओं की वक्रता का केंद्र (या, अधिक सटीक रूप से, वक्रता अक्ष का निशान) है, जब प्रश्न में दिखाया गया है अंजीर। 31.7 क्षण की दिशा में लंबा कर दिया गया है, और निचले हिस्से को छोटा कर दिया गया है। क्षण की क्रिया के तल के लंबवत कुछ मध्यवर्ती परत के तंतु अपनी लंबाई बनाए रखते हैं। इस परत को तटस्थ परत कहा जाता है।

आइए हम तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या को निरूपित करें, अर्थात, इस परत से वक्रता केंद्र A तक की दूरी (चित्र 33.7 देखें)। आइए तटस्थ परत से y दूरी पर स्थित एक निश्चित परत पर विचार करें। इस परत के तंतुओं का पूर्ण बढ़ाव सापेक्ष बढ़ाव के बराबर होता है

समरूप त्रिभुजों पर विचार करते हुए हम यह स्थापित करते हैं कि इसलिए,

झुकने के सिद्धांत में, यह माना जाता है कि बीम के अनुदैर्ध्य फाइबर एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं। प्रायोगिक और सैद्धांतिक अध्ययन से पता चलता है कि यह धारणा गणना परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करती है।

शुद्ध झुकने के साथ, बीम के क्रॉस सेक्शन में कतरनी तनाव उत्पन्न नहीं होता है। इस प्रकार, शुद्ध रूप से झुकने वाले सभी तंतु एकअक्षीय तनाव या संपीड़न की स्थिति में होते हैं।

हुक के नियम के अनुसार, एकअक्षीय तनाव या संपीड़न के मामले में, सामान्य तनाव ओ और संबंधित सापेक्ष विरूपण निर्भरता से संबंधित होते हैं

या सूत्र के आधार पर (11.7)

सूत्र (12.7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बीम के अनुदैर्ध्य तंतुओं में सामान्य तनाव तटस्थ परत से उनकी दूरी y के सीधे आनुपातिक होते हैं। नतीजतन, प्रत्येक बिंदु पर बीम के क्रॉस सेक्शन में, सामान्य तनाव इस बिंदु से तटस्थ अक्ष तक की दूरी y के समानुपाती होता है, जो क्रॉस सेक्शन (छवि) के साथ तटस्थ परत के चौराहे की रेखा है।

34.7, ए). बीम और भार की समरूपता से यह पता चलता है कि तटस्थ अक्ष क्षैतिज है।

तटस्थ अक्ष के बिंदुओं पर, सामान्य तनाव शून्य होते हैं; तटस्थ अक्ष के एक तरफ वे तन्य हैं, और दूसरी तरफ वे संपीड़ित हैं।

तनाव आरेख ओ एक सीधी रेखा से घिरा एक ग्राफ है, जिसमें तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं के लिए तनाव का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान होता है (चित्र 34.7बी)।

आइए अब चयनित बीम तत्व की संतुलन स्थितियों पर विचार करें। आइए तत्व के खंड पर बीम के बाएं हिस्से की कार्रवाई को झुकने वाले क्षण के रूप में प्रस्तुत करें (चित्र 31.7 देखें) शुद्ध झुकने के साथ इस खंड में शेष आंतरिक बल शून्य के बराबर हैं; आइए हम प्रत्येक प्राथमिक क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र (चित्र 35.7) पर लागू प्राथमिक बलों के रूप में और बीम की धुरी के समानांतर तत्व के क्रॉस-सेक्शन पर बीम के दाहिने तरफ की कार्रवाई की कल्पना करें।

आइए एक तत्व के लिए छह संतुलन स्थितियाँ बनाएँ

यहां तत्व पर क्रमशः अक्षों पर कार्य करने वाले सभी बलों के अनुमानों का योग है - अक्षों के सापेक्ष सभी बलों के क्षणों का योग (चित्र 35.7)।

अक्ष अनुभाग के तटस्थ अक्ष के साथ मेल खाता है और y-अक्ष इसके लंबवत है; ये दोनों अक्ष क्रॉस-अनुभागीय तल में स्थित हैं

एक प्राथमिक बल y-अक्ष पर प्रक्षेपण उत्पन्न नहीं करता है और अक्ष के बारे में एक क्षण का कारण नहीं बनता है, इसलिए संतुलन समीकरण o के किसी भी मान के लिए संतुष्ट होते हैं।

संतुलन समीकरण का रूप है

आइए हम सूत्र (12.7) के अनुसार समीकरण (13.7) में a का मान प्रतिस्थापित करें:

चूँकि (एक घुमावदार बीम तत्व माना जाता है, जिसके लिए), तो

इंटीग्रल तटस्थ अक्ष के बारे में बीम के क्रॉस सेक्शन के स्थिर क्षण का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी शून्य के बराबर होने का मतलब है कि तटस्थ अक्ष (यानी, अक्ष) क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। इस प्रकार, बीम के सभी क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, और इसलिए बीम की धुरी, जो गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों का ज्यामितीय स्थान है, तटस्थ परत में स्थित हैं। इसलिए, तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या बीम के घुमावदार अक्ष की वक्रता त्रिज्या है।

आइए अब तटस्थ अक्ष के सापेक्ष बीम तत्व पर लागू सभी बलों के क्षणों के योग के रूप में संतुलन समीकरण बनाएं:

यहां अक्ष के सापेक्ष प्राथमिक आंतरिक बल के क्षण का प्रतिनिधित्व किया गया है।

आइए हम तटस्थ अक्ष के ऊपर - तटस्थ अक्ष के नीचे स्थित बीम के क्रॉस-सेक्शन के क्षेत्र को निरूपित करें।

फिर यह तटस्थ अक्ष के ऊपर, तटस्थ अक्ष के नीचे लागू प्राथमिक बलों के परिणाम का प्रतिनिधित्व करेगा (चित्र 36.7)।

ये दोनों परिणाम निरपेक्ष मान में एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि शर्त (13.7) के आधार पर उनका बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है। ये परिणाम बीम के क्रॉस सेक्शन में कार्यरत बलों की एक आंतरिक जोड़ी बनाते हैं। बलों की इस जोड़ी का क्षण, उनमें से एक के परिमाण और उनके बीच की दूरी के उत्पाद के बराबर (चित्र 36.7), बीम के क्रॉस सेक्शन में एक झुकने वाला क्षण है।

आइए हम सूत्र (12.7) के अनुसार समीकरण (15.7) में a का मान प्रतिस्थापित करें:

यहां जड़ता के अक्षीय क्षण को दर्शाया गया है, अर्थात, खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी। इस तरह,

आइए मान को सूत्र (16.7) से सूत्र (12.7) में प्रतिस्थापित करें:

सूत्र (17.7) निकालते समय, इस बात पर ध्यान नहीं दिया गया कि बाहरी बलाघूर्ण निर्देशित है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 31.7, स्वीकृत संकेत नियम के अनुसार, झुकने का क्षण नकारात्मक है। यदि हम इसे ध्यान में रखते हैं, तो हमें सूत्र (17.7) के दाईं ओर के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा। फिर, बीम के ऊपरी क्षेत्र में एक सकारात्मक झुकने वाले क्षण के साथ (यानी, पर), ए का मान नकारात्मक हो जाएगा, जो इस क्षेत्र में संपीड़न तनाव की उपस्थिति का संकेत देगा। हालाँकि, आमतौर पर ऋण चिह्न को सूत्र (17.7) के दाईं ओर नहीं रखा जाता है, और इस सूत्र का उपयोग केवल तनाव के निरपेक्ष मान निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसलिए, झुकने के क्षण और कोटि y के निरपेक्ष मानों को सूत्र (17.7) में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। तनाव का संकेत हमेशा क्षण के संकेत या बीम के विरूपण की प्रकृति से आसानी से निर्धारित होता है।

आइए अब हम y-अक्ष के सापेक्ष बीम तत्व पर लागू सभी बलों के क्षणों के योग के रूप में संतुलन समीकरण बनाते हैं:

यहां यह y-अक्ष के बारे में प्राथमिक आंतरिक बल के क्षण का प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 35.7 देखें)।

आइए हम सूत्र (12.7) के अनुसार अभिव्यक्ति (18.7) में a का मान प्रतिस्थापित करें:

यहां इंटीग्रल y और अक्ष के सापेक्ष बीम के क्रॉस सेक्शन की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह,

लेकिन फिर

जैसा कि ज्ञात है (§ 7.5 देखें), अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण जड़ता के मुख्य अक्षों के सापेक्ष शून्य के बराबर है।

विचाराधीन मामले में, y-अक्ष बीम के क्रॉस-सेक्शन की समरूपता की धुरी है और इसलिए, y-अक्ष और इस खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं। इसलिए, शर्त (19.7) यहां संतुष्ट है।

ऐसे मामले में जब मुड़े हुए बीम के क्रॉस सेक्शन में समरूपता की कोई धुरी नहीं होती है, स्थिति (19.7) संतुष्ट होती है यदि झुकने के क्षण की कार्रवाई का विमान अनुभाग की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक से होकर गुजरता है या समानांतर है इस अक्ष पर.

यदि झुकने वाले क्षण की कार्रवाई का विमान बीम के क्रॉस सेक्शन की जड़ता के किसी भी मुख्य केंद्रीय अक्ष से नहीं गुजरता है और इसके समानांतर नहीं है, तो स्थिति (19.7) संतुष्ट नहीं है और इसलिए, कोई नहीं है सीधा झुकना - बीम तिरछा झुकने का अनुभव करता है।

फॉर्मूला (17.7), जो विचाराधीन बीम खंड के एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव निर्धारित करता है, लागू होता है बशर्ते कि झुकने वाले क्षण की कार्रवाई का विमान इस खंड की जड़ता के मुख्य अक्षों में से एक से होकर गुजरता है या इसके समानांतर है . इस मामले में, क्रॉस सेक्शन का तटस्थ अक्ष इसकी जड़ता का मुख्य केंद्रीय अक्ष है, जो झुकने वाले क्षण की कार्रवाई के विमान के लंबवत है।

फॉर्मूला (16.7) से पता चलता है कि सीधे शुद्ध झुकने के दौरान, बीम के घुमावदार अक्ष की वक्रता लोचदार मापांक ई के उत्पाद और जड़ता के क्षण के सीधे आनुपातिक होती है। हम उत्पाद को झुकने के दौरान खंड की कठोरता कहेंगे; इत्यादि में व्यक्त किया गया है।

निरंतर क्रॉस-सेक्शन के बीम के शुद्ध झुकने में, झुकने के क्षण और अनुभाग की कठोरता इसकी लंबाई के साथ स्थिर होती है। इस मामले में, बीम के घुमावदार अक्ष की वक्रता त्रिज्या का एक स्थिर मान होता है [देखें। अभिव्यक्ति (16.7)], यानी, किरण एक गोलाकार चाप के साथ झुकती है।

सूत्र (17.7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि बीम के क्रॉस सेक्शन में सबसे बड़ा (सकारात्मक - तन्य) और सबसे छोटा (नकारात्मक - संपीड़ित) सामान्य तनाव इसके दोनों किनारों पर स्थित तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर उत्पन्न होता है। तटस्थ अक्ष के बारे में सममित क्रॉस सेक्शन के लिए, सबसे बड़े तन्यता और संपीड़न तनाव के पूर्ण मान समान हैं और सूत्र द्वारा निर्धारित किए जा सकते हैं

उन वर्गों के लिए जो तटस्थ अक्ष के बारे में सममित नहीं हैं, उदाहरण के लिए, एक त्रिकोण, टी, आदि के लिए, तटस्थ अक्ष से सबसे दूर तक फैले और संपीड़ित फाइबर की दूरी अलग-अलग होती है; इसलिए, ऐसे वर्गों के लिए प्रतिरोध के दो क्षण हैं:

तटस्थ अक्ष से सबसे दूर तक फैले और संपीड़ित तंतुओं की दूरी कहां है।

झुकने के दौरान समतल खंडों की परिकल्पनाएक उदाहरण से समझाया जा सकता है: आइए हम एक अपरिवर्तित बीम की पार्श्व सतह पर अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ (अक्ष के लंबवत) सीधी रेखाओं से युक्त एक ग्रिड लागू करें। बीम को मोड़ने के परिणामस्वरूप, अनुदैर्ध्य रेखाएं एक घुमावदार रूपरेखा ले लेंगी, जबकि अनुप्रस्थ रेखाएं व्यावहारिक रूप से बीम की घुमावदार धुरी पर सीधी और लंबवत रहेंगी।

समतल खंड परिकल्पना का निरूपण: क्रॉस सेक्शन जो पहले बीम की धुरी पर सपाट और लंबवत होते हैं, विकृत होने के बाद घुमावदार धुरी पर सपाट और लंबवत रहते हैं।

यह परिस्थिति इंगित करती है: जब पूरा हो समतल खंड परिकल्पना, जैसा कि और के साथ है

समतल खंडों की परिकल्पना के अलावा, इस धारणा को भी स्वीकार किया जाता है: बीम के अनुदैर्ध्य फाइबर झुकने पर एक दूसरे पर दबाव नहीं डालते हैं।

समतल खण्ड परिकल्पना एवं धारणा कहलाती है बर्नौली की परिकल्पना.

आयताकार क्रॉस-सेक्शन के एक बीम पर विचार करें जो शुद्ध रूप से झुक रहा है ()। आइए लंबाई के साथ एक बीम तत्व का चयन करें (चित्र 7.8। ए)। झुकने के परिणामस्वरूप, बीम के क्रॉस सेक्शन घूमेंगे, जिससे एक कोण बनेगा। ऊपरी तंतु संपीड़न का अनुभव करते हैं, और निचले तंतु तनाव का अनुभव करते हैं। हम तटस्थ फाइबर की वक्रता त्रिज्या को इस प्रकार निरूपित करते हैं।

परंपरागत रूप से, हम मानते हैं कि तंतु सीधे रहते हुए अपनी लंबाई बदलते हैं (चित्र 7.8.बी)। फिर तटस्थ फाइबर से दूरी y पर स्थित फाइबर का पूर्ण और सापेक्ष बढ़ाव:

आइए हम दिखाते हैं कि अनुदैर्ध्य फाइबर, जो बीम के झुकने पर तनाव या संपीड़न का अनुभव नहीं करते हैं, मुख्य केंद्रीय अक्ष x से गुजरते हैं।

चूंकि झुकने के दौरान बीम की लंबाई नहीं बदलती है, इसलिए क्रॉस सेक्शन में उत्पन्न होने वाला अनुदैर्ध्य बल (एन) शून्य होना चाहिए। प्राथमिक अनुदैर्ध्य बल.

अभिव्यक्ति दी गई है :

कारक को अभिन्न चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है (पर निर्भर नहीं करता है)। एकीकरण चर).

अभिव्यक्ति तटस्थ x-अक्ष के बारे में बीम के क्रॉस सेक्शन का प्रतिनिधित्व करती है। जब तटस्थ अक्ष क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है तो यह शून्य होता है। नतीजतन, जब बीम झुकता है तो तटस्थ अक्ष (शून्य रेखा) क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है।

जाहिर है: झुकने का क्षण रॉड के क्रॉस सेक्शन में बिंदुओं पर उत्पन्न होने वाले सामान्य तनाव से जुड़ा होता है। प्राथमिक बल द्वारा निर्मित प्राथमिक झुकने का क्षण:

,

तटस्थ एक्स-अक्ष के सापेक्ष क्रॉस सेक्शन की जड़ता का अक्षीय क्षण कहां है, और अनुपात बीम अक्ष की वक्रता है।

कठोरता झुकने में किरणें(जितनी बड़ी होगी, वक्रता त्रिज्या उतनी ही छोटी होगी)।

परिणामी सूत्र का प्रतिनिधित्व करता है हुक का छड़ के लिए झुकने का नियम: क्रॉस सेक्शन में होने वाला झुकने का क्षण बीम अक्ष की वक्रता के समानुपाती होता है।

झुकने के दौरान किसी छड़ के लिए हुक के नियम के सूत्र से वक्रता त्रिज्या () को व्यक्त करना और उसके मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करना , हम तटस्थ अक्ष x से दूरी y पर स्थित बीम के क्रॉस सेक्शन में एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव () के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

बीम के क्रॉस सेक्शन में एक मनमाना बिंदु पर सामान्य तनाव () के सूत्र में, झुकने वाले क्षण () के पूर्ण मान और बिंदु से तटस्थ अक्ष (y निर्देशांक) की दूरी को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। किसी दिए गए बिंदु पर तनाव तन्य होगा या संपीड़ित, यह बीम के विरूपण की प्रकृति या झुकने वाले क्षणों के आरेख द्वारा आसानी से निर्धारित किया जा सकता है, जिसके निर्देशांक बीम के संपीड़ित फाइबर के किनारे पर प्लॉट किए जाते हैं।

सूत्र से यह स्पष्ट है: सामान्य तनाव () एक रैखिक कानून के अनुसार बीम के क्रॉस सेक्शन की ऊंचाई के साथ बदलते हैं। चित्र में. 7.8, आरेख दिखाता है. बीम झुकने के दौरान सबसे बड़ा तनाव तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर होता है। यदि बीम के क्रॉस सेक्शन में तटस्थ x अक्ष के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, तो इसके सभी बिंदुओं पर समान सामान्य तनाव उत्पन्न होता है।

सरल विश्लेषण सामान्य तनाव आरेखदर्शाता है कि जब कोई किरण झुकती है, तो तटस्थ अक्ष के पास स्थित सामग्री व्यावहारिक रूप से काम नहीं करती है। इसलिए, बीम के वजन को कम करने के लिए, क्रॉस-सेक्शनल आकार चुनने की सिफारिश की जाती है जिसमें अधिकांश सामग्री तटस्थ अक्ष से हटा दी जाती है, जैसे कि आई-सेक्शन।

1. सीधा शुद्ध झुकना अनुप्रस्थ झुकना - बलों द्वारा छड़ का विरूपण अक्ष के लंबवत(अनुप्रस्थ) और जोड़े, जिनकी क्रिया के तल सामान्य वर्गों के लंबवत हैं। झुकने वाली छड़ को बीम कहा जाता है। रॉड के क्रॉस सेक्शन में सीधे शुद्ध झुकने के साथ, केवल एक बल कारक उत्पन्न होता है - झुकने का क्षण Mz। चूँकि Qy=d. Mz/dx=0, तब Mz=स्थिरांक और शुद्ध सीधा मोड़ तब महसूस किया जा सकता है जब रॉड को रॉड के अंतिम खंडों में लगाए गए बलों के जोड़े के साथ लोड किया जाता है। σ परिभाषा के अनुसार झुकने वाले क्षण Mz के बाद से योग के बराबरओज़ अक्ष के सापेक्ष आंतरिक बलों के क्षण सामान्य तनाव के साथ इस परिभाषा से अनुसरण करने वाले स्थैतिक समीकरण से जुड़े होते हैं:

शुद्ध झुकने के दौरान तनाव की स्थिति का विश्लेषण आइए हम रॉड मॉडल की पार्श्व सतह पर विकृतियों का विश्लेषण करें, जिसमें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ निशानों का एक ग्रिड लगाया जाता है: चूंकि अंत में लगाए गए बलों के जोड़े द्वारा रॉड को मोड़ने पर अनुप्रस्थ निशान होते हैं खंड सीधे और घुमावदार अनुदैर्ध्य निशानों के लंबवत रहते हैं, इससे हमें फ्लैट खंडों की परिकल्पना का निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है, और इसलिए अनुदैर्ध्य जोखिमों के बीच की दूरी में परिवर्तन को मापकर, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि गैर-दबाव के बारे में परिकल्पना अनुदैर्ध्य फाइबर वैध है, अर्थात, शुद्ध झुकने के दौरान तनाव टेंसर के सभी घटकों में से, केवल तनाव σx=σ और प्रिज्मीय रॉड का शुद्ध सीधा झुकना शून्य के बराबर नहीं है, अनुदैर्ध्य तनाव या संपीड़न को कम करता है तनाव द्वारा फाइबर σ. इस मामले में, तंतुओं का एक भाग तनाव क्षेत्र में है (चित्र में ये निचले तंतु हैं), और दूसरा भाग संपीड़न क्षेत्र (ऊपरी तंतु) में है। इन क्षेत्रों को एक तटस्थ परत (एन-एन) द्वारा अलग किया जाता है, जिससे इसकी लंबाई नहीं बदलती है, और जिसमें तनाव शून्य होता है।

झुकने वाले क्षणों के संकेतों के नियम सैद्धांतिक यांत्रिकी और सामग्रियों की ताकत की समस्याओं में क्षणों के संकेतों के नियम मेल नहीं खाते हैं। इसका कारण विचाराधीन प्रक्रियाओं में अंतर है। सैद्धांतिक यांत्रिकी में, विचाराधीन प्रक्रिया ठोस पिंडों की गति या संतुलन है, इसलिए चित्र में दो क्षण रॉड को Mz में घुमाते हैं अलग-अलग पक्ष(दायाँ क्षण दक्षिणावर्त, और बायाँ क्षण वामावर्त) सैद्धांतिक यांत्रिकी की समस्याओं में है अलग संकेत. ताकत की समस्याओं में शरीर में होने वाले तनाव और विकृतियों पर विचार किया जाता है। इस दृष्टिकोण से, दोनों क्षण ऊपरी तंतुओं में संपीड़न तनाव और निचले तंतुओं में तन्य तनाव का कारण बनते हैं, इसलिए क्षणों का एक ही संकेत होता है। झुकने वाले क्षणों के संकेतों के संबंध में नियम अनुभाग सी-सीचित्र में प्रस्तुत हैं:

शुद्ध झुकने के लिए तनाव मूल्यों की गणना आइए तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या और रॉड में सामान्य तनाव की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें। आइए हम ऊर्ध्वाधर अक्ष ओए के संबंध में सममित क्रॉस सेक्शन के साथ प्रत्यक्ष शुद्ध झुकने की स्थितियों के तहत एक प्रिज्मीय रॉड पर विचार करें। हम ऑक्स अक्ष को एक तटस्थ परत पर रखते हैं, जिसकी स्थिति पहले से अज्ञात है। ध्यान दें कि प्रिज्मीय छड़ के क्रॉस सेक्शन की स्थिरता और झुकने का क्षण (Mz=const) छड़ की लंबाई के साथ तटस्थ परत की वक्रता त्रिज्या की स्थिरता सुनिश्चित करता है। निरंतर वक्रता के साथ झुकने पर, छड़ की तटस्थ परत कोण φ द्वारा सीमित एक गोलाकार चाप बन जाती है। आइए हम एक छड़ से काटे गए लंबाई dx के एक अत्यंत छोटे तत्व पर विचार करें। झुकने पर, यह एक अतिसूक्ष्म कोण dφ द्वारा सीमित एक अतिसूक्ष्म चाप तत्व में बदल जाएगा। φ ρ dφ वृत्त की त्रिज्या, कोण और चाप की लंबाई के बीच संबंधों को ध्यान में रखते हुए:

चूँकि तत्व की विकृतियाँ, उसके बिंदुओं के सापेक्ष विस्थापन द्वारा निर्धारित होती हैं, रुचिकर होती हैं, तत्व के अंतिम खंडों में से एक को स्थिर माना जा सकता है। dφ की छोटीता के कारण, हम मानते हैं कि क्रॉस-अनुभागीय बिंदु, जब इस कोण से घुमाए जाते हैं, चाप के साथ नहीं, बल्कि संबंधित स्पर्शरेखा के साथ चलते हैं। आइए हम तटस्थ परत से y पर स्थित अनुदैर्ध्य फाइबर AB के सापेक्ष विरूपण की गणना करें: त्रिकोण COO 1 और O 1 BB 1 की समानता से यह निम्नानुसार है: अनुदैर्ध्य विकृतितटस्थ परत से दूरी का एक रैखिक कार्य निकला, जो समतल खंडों के नियम का प्रत्यक्ष परिणाम है। तब हुक के नियम के आधार पर फाइबर एबी का सामान्य तन्य तनाव बराबर होगा:

परिणामी सूत्र व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसमें दो अज्ञात शामिल हैं: तटस्थ परत 1/ρ की वक्रता और तटस्थ ऑक्स अक्ष की स्थिति, जिससे y समन्वय मापा जाता है। इन अज्ञात को निर्धारित करने के लिए, हम स्थैतिक संतुलन समीकरणों का उपयोग करेंगे। पहला इस आवश्यकता को व्यक्त करता है कि अनुदैर्ध्य बल शून्य के बराबर हो: इस समीकरण में σ के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए: और इसे ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं कि: इस समीकरण के बाईं ओर का अभिन्न अंग क्रॉस सेक्शन के स्थिर क्षण का प्रतिनिधित्व करता है। तटस्थ अक्ष ऑक्स के सापेक्ष छड़ का, जो हो सकता है शून्य के बराबरकेवल अपेक्षाकृत केंद्रीय धुरी(अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी)। इसलिए, तटस्थ अक्ष ऑक्स क्रॉस सेक्शन के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। दूसरा स्थैतिक संतुलन समीकरण वह है जो सामान्य तनाव को झुकने के क्षण से जोड़ता है। इस समीकरण में तनाव के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी समीकरण में अभिन्न का पहले अध्ययन किया गया था: Jz, Oz अक्ष के सापेक्ष जड़ता का क्षण है। समन्वय अक्षों की चयनित स्थिति के अनुसार, यह अनुभाग की जड़ता का मुख्य केंद्रीय क्षण भी है। हम तटस्थ परत की वक्रता के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: तटस्थ परत 1/ρ की वक्रता सीधे शुद्ध झुकने के दौरान छड़ के विरूपण का एक माप है। झुकने के दौरान क्रॉस-अनुभागीय कठोरता कहे जाने वाले ईजेजेड का मान जितना अधिक होगा, वक्रता उतनी ही छोटी होगी। अभिव्यक्ति को σ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: इस प्रकार, प्रिज्मीय छड़ के शुद्ध झुकने के दौरान सामान्य तनाव y समन्वय और पहुंच का एक रैखिक कार्य है उच्चतम मूल्यतटस्थ अक्ष से सबसे दूर तंतुओं में। एम 3 के आयाम वाली एक ज्यामितीय विशेषता को झुकने के दौरान प्रतिरोध का क्षण कहा जाता है।

क्रॉस सेक्शन के प्रतिरोध Wz के क्षणों का निर्धारण - संदर्भ पुस्तक (व्याख्यान 4) में सबसे सरल आंकड़ों के लिए या इसे स्वयं गणना करें - GOST रेंज में मानक प्रोफाइल के लिए

शुद्ध झुकने के लिए ताकत की गणना डिजाइन गणना शुद्ध झुकने की गणना के लिए ताकत की स्थिति का रूप होगा: से यह शर्त Wz निर्धारित किया जाता है, और फिर या तो मानक रोल्ड उत्पादों की श्रेणी से आवश्यक प्रोफ़ाइल का चयन किया जाता है, या ज्यामितीय निर्भरता का उपयोग करके अनुभाग आयामों की गणना की जाती है। भंगुर सामग्रियों से बने बीम की गणना करते समय, उच्चतम तन्यता और अधिकतम संपीड़न तनाव के बीच अंतर करना आवश्यक है, जिनकी तुलना क्रमशः अनुमेय तन्यता और संपीड़न तनाव के साथ की जाती है। इस मामले में, तनाव और संपीड़न के लिए अलग-अलग दो ताकत की स्थितियाँ होंगी: यहाँ क्रमशः अनुमेय तन्यता और संपीड़न तनाव हैं।

2. प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने τxy τxz σ सीधे अनुप्रस्थ झुकने के साथ, एक झुकने वाला क्षण Mz और एक अनुप्रस्थ बल Qy रॉड के वर्गों में उत्पन्न होता है, जो सामान्य और स्पर्शरेखा तनाव से जुड़ा होता है। शुद्ध झुकने के मामले में प्राप्त सूत्र प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के मामले में सामान्य तनाव की गणना के लिए रॉड, कड़ाई से बोलते हुए, लागू नहीं होता है, क्योंकि स्पर्शरेखीय तनाव के कारण होने वाली कैंची के कारण, क्रॉस सेक्शन का विचलन (वक्रता) होता है, अर्थात, फ्लैट सेक्शन की परिकल्पना का उल्लंघन होता है। हालाँकि, अनुभाग ऊँचाई h वाले बीम के लिए

शुद्ध झुकने के लिए ताकत की स्थिति प्राप्त करते समय, अनुदैर्ध्य फाइबर की अनुप्रस्थ बातचीत की अनुपस्थिति की परिकल्पना का उपयोग किया गया था। अनुप्रस्थ झुकने के दौरान, इस परिकल्पना से विचलन देखा जाता है: ए) उन स्थानों पर जहां केंद्रित बल लागू होते हैं। एक संकेंद्रित बल के तहत, अनुप्रस्थ अंतःक्रिया तनाव σy काफी बड़ा और अनुदैर्ध्य तनाव से कई गुना अधिक हो सकता है, जबकि सेंट-वेनेंट सिद्धांत के अनुसार, बल के अनुप्रयोग के बिंदु से दूरी के साथ घटता है; बी) उन स्थानों पर जहां वितरित भार लागू होते हैं। तो, चित्र में दिखाए गए मामले में, तनाव बीम के ऊपरी तंतुओं पर दबाव के कारण होता है। उनकी तुलना अनुदैर्ध्य तनाव σz से करने पर, जो परिमाण के क्रम के होते हैं: हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तनाव σy है

प्रत्यक्ष अनुप्रस्थ झुकने के दौरान स्पर्शरेखा तनाव की गणना आइए मान लें कि स्पर्शरेखा तनाव क्रॉस सेक्शन की चौड़ाई में समान रूप से वितरित हैं। तनाव τyx का प्रत्यक्ष निर्धारण मुश्किल है, इसलिए हम समान स्पर्शरेखीय तनाव τxy पाते हैं जो बीम z x Mz से काटे गए लंबाई dx के एक तत्व के निर्देशांक y के साथ अनुदैर्ध्य क्षेत्र पर उत्पन्न होते हैं।

इस तत्व से तटस्थ परत से y द्वारा दूरी वाले अनुदैर्ध्य खंड के साथ, हमने काट दिया शीर्ष भाग, स्पर्शरेखीय तनावों के साथ अस्वीकृत निचले हिस्से की कार्रवाई को प्रतिस्थापित करना τ। हम तत्व के अंतिम क्षेत्रों पर कार्य करने वाले सामान्य तनाव σ और σ+dσ को परिणामी तनाव y Mz τ Mz+d से भी बदल देंगे। Mz द्वारा ω y z Qy Qy +d. Qy dx Nω+d Nω d. T, Oz अक्ष के सापेक्ष क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र ω के कट-ऑफ भाग का स्थिर क्षण है। आइए कटे हुए तत्व के लिए स्थैतिक समीकरण Nω dx b संकलित करके उसकी संतुलन स्थिति पर विचार करें

जहां से, सरल परिवर्तनों के बाद, यह ध्यान में रखते हुए कि हम ज़ुरावस्की फॉर्मूला प्राप्त करते हैं, खंड की ऊंचाई के साथ स्पर्शरेखा तनाव एक द्विघात परवलय के नियम के अनुसार बदलते हैं, तटस्थ अक्ष Mz z पर अधिकतम तक पहुंचते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि उच्चतम सामान्य तनाव उत्पन्न होते हैं सबसे बाहरी तंतुओं में, जहां कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है, और कई मामलों में उच्चतम स्पर्शरेखा तनाव, तटस्थ परत में होते हैं, जहां इन मामलों में सामान्य तनाव शून्य होते हैं, सामान्य और कतरनी तनाव के लिए अलग-अलग तैयार किए जाते हैं;

3. समग्र बीम्सझुकने के दौरान अनुदैर्ध्य खंडों में स्पर्शरेखीय तनाव अनुप्रस्थ झुकने के दौरान छड़ की परतों के बीच मौजूदा संबंध की अभिव्यक्ति है। यदि यह कनेक्शन कुछ परतों में टूट जाता है, तो छड़ के झुकने की प्रकृति बदल जाती है। चादरों से बनी छड़ में, प्रत्येक चादर घर्षण बल की अनुपस्थिति में स्वतंत्र रूप से मुड़ती है। झुकने का क्षण मिश्रित शीटों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। झुकने वाले क्षण का अधिकतम मान बीम के मध्य में होगा और बराबर होगा। एमजेड=पी एल. शीट के क्रॉस सेक्शन में सबसे बड़ा सामान्य तनाव इसके बराबर है:

यदि शीटों को पर्याप्त कठोर बोल्टों से कसकर कस दिया जाए, तो छड़ पूरी तरह से झुक जाएगी। इस मामले में, अधिकतम सामान्य तनाव n गुना कम हो जाता है, अर्थात। बोल्ट के क्रॉस सेक्शन में, जब रॉड मुड़ी होती है, तो अनुप्रस्थ बल उत्पन्न होते हैं। सबसे बड़ा कतरनी बल घुमावदार छड़ के तटस्थ तल से मेल खाने वाले खंड में होगा।

इस बल को बोल्ट के वर्गों में अनुप्रस्थ बलों के योग की समानता और पूरे रॉड के मामले में अनुदैर्ध्य परिणामी स्पर्शरेखा तनाव से निर्धारित किया जा सकता है: जहां एम बोल्ट की संख्या है। आइए कनेक्टेड और अनकनेक्टेड पैकेजों के मामले में सील में रॉड की वक्रता में परिवर्तन की तुलना करें। कनेक्टेड पैकेज के लिए: असंबद्ध पैकेज के लिए: वक्रता में परिवर्तन के आनुपातिक, विक्षेपण भी बदलते हैं। इस प्रकार, एक पूरी छड़ की तुलना में, ढीली मुड़ी हुई चादरों का एक सेट n 2 गुना अधिक लचीला और केवल n गुना कम मजबूत होता है। शीट पैकेज में जाने पर कठोरता और ताकत में कमी के गुणांक में यह अंतर लचीले स्प्रिंग सस्पेंशन बनाते समय अभ्यास में उपयोग किया जाता है। शीटों के बीच घर्षण बल पैकेज की कठोरता को बढ़ाते हैं, क्योंकि वे रॉड की परतों के बीच स्पर्शरेखा बलों को आंशिक रूप से बहाल करते हैं, जो शीट पैकेज में संक्रमण के दौरान समाप्त हो जाते हैं। इसलिए स्प्रिंग्स को पत्ती स्नेहन की आवश्यकता होती है और इसे संदूषण से बचाया जाना चाहिए।

4. झुकने के दौरान क्रॉस सेक्शन के तर्कसंगत रूप सबसे तर्कसंगत वह अनुभाग है जिसमें बीम पर दिए गए भार के लिए न्यूनतम क्षेत्र होता है। इस मामले में, बीम के निर्माण के लिए सामग्री की खपत न्यूनतम होगी। न्यूनतम सामग्री खपत के साथ एक बीम प्राप्त करने के लिए, किसी को यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि सामग्री की सबसे बड़ी संभावित मात्रा अनुमेय तनाव के बराबर या उसके करीब काम करती है। सबसे पहले, झुकने के दौरान बीम के तर्कसंगत खंड को बीम के तन्य और संपीड़ित क्षेत्रों की समान ताकत की स्थिति को पूरा करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि उच्चतम तन्य तनाव और उच्चतम संपीड़न तनाव एक साथ अनुमेय तनाव तक पहुँचें। हम एक ऐसे अनुभाग पर पहुंचते हैं जो एक सममित आई-बीम के रूप में प्लास्टिक सामग्री के लिए तर्कसंगत है, जिसमें सामग्री का सबसे बड़ा संभावित हिस्सा दीवार से जुड़े फ्लैंग्स पर केंद्रित होता है, जिसकी मोटाई शर्तों से निर्धारित होती है स्पर्शरेखा तनाव के संदर्भ में दीवार की ताकत का। . तर्कसंगतता की कसौटी के अनुसार, तथाकथित बॉक्स अनुभाग आई-सेक्शन के करीब है

भंगुर सामग्री से बने बीम के लिए, सबसे तर्कसंगत खंड एक असममित आई-बीम के रूप में होगा, जो तनाव और संपीड़न में समान ताकत की स्थिति को संतुष्ट करता है, जो आवश्यकता की तर्कसंगतता के विचार से आता है झुकने के दौरान छड़ों का क्रॉस-सेक्शन सामान्य और मिश्रित उच्च गुणवत्ता वाले संरचनात्मक स्टील्स, साथ ही एल्यूमीनियम और एल्यूमीनियम मिश्र धातुओं से गर्म दबाव या रोलिंग द्वारा प्राप्त मानक पतली दीवार वाली प्रोफाइल में लागू किया जाता है। ए-आई-बीम, बी-चैनल, सी-असमान कोण, ठंड से बना बंद डी-समबाहु कोण। वेल्डेड प्रोफाइल